平面向量综合练习题集
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量,若向量c=2向量a-3向量b,向量d=向量a+4向量b,那么向量c和向量d的夹角的余弦值是()A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4,且它们的夹角为60°,则向量a和向量b的点积是()A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=(1,2),向量b=(3,4),则向量a和向量b的向量积的大小是()A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=(x,y),向量b=(2,-1),且向量a与向量b共线,则x=______,y=______。
5. 向量a=(3,4),向量b=(-1,2),则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。
三、计算题6. 已知向量a=(2,3),向量b=(4,-1),求向量a和向量b的点积。
7. 已知向量a=(-1,3),向量b=(2,-4),求向量a和向量b的向量积。
8. 已知向量a=(1,0),向量b=(2,3),求向量a在向量b上的投影。
四、解答题9. 设向量a=(1,-1),向量b=(2,3),求证向量a和向量b不共线。
10. 已知向量a=(x,y),向量b=(1,1),若向量a和向量b的点积为6,求x和y的值。
答案:1. B2. C3. B4. 2,-15. 根号下((3+4)的平方-(3*(-1)+4*2)的平方)除以(5*根号下2)6. 向量a和向量b的点积为:2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为:(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为:(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2,3)9. 证:假设向量a和向量b共线,则存在实数k使得向量a=k向量b。
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练(附答案详解)一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$,$b=(1,1)$,则 $a\cdot b$ 等于()A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$,$b=(2,x)$,若 $a//b$,则 $x$ 的值是()A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$,$b=(-1,0,2)$,且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直,则 $k$ 的值是()A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中,$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$,$AC=BC=2$,点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点,且 $BP=2PA$,那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于()A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量,则 $a=2b$ 是成立的()A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$,$b+c=4$,$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点,则 $AE\cdot AF$ 的最小值为()A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$,$b=2$,且 $a-b\perp a$,则 $a$ 与 $b$ 的夹角是()A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$,$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$,且 $a\perp (a-kb)$,则实数 $k$ 的值为()A。
18 B。
平面向量综合题答案
1、已知O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足[).,0(+∞∈++=λλ则P 点的轨迹一定通过△ABC 的(A )A .重心B .垂心C .内心D .外心3、已知向量OA ,OB 的夹角为60°,|OA |=|OB |=2,若OC =2OA +OB ,则△ABC 为( C ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【方法】选择基底;数量积公式4、非零向量OA a =,OB b =,若点B 关于OA 所在直线的对称点为1B ,则向量1OB OB +为( A )A 、22(a b )aa⋅ B 、2(a b )aa⋅ C 、2(a b )aa⋅ D 、(a b )a a⋅【方法】待定系数法;向量三角形法则5、如右图所示,,,A B C 是圆O 上的三点,CO 的延长线与线段AB交于圆内一点D ,若OC xOA yOB =+,则( C ) A .01x y <+< B .1x y +>C .1x y +<-D .10x y -<+<6、定义平面向量的正弦积为||||sin 2a b a b θ⋅=,(其中θ为a 、b 的夹角),已知△ABC 中,AB BC ⋅=BC CA ⋅,则此三角形一定是( A )A .等腰三角形B . 直角三角形C . 锐角三角形D . 钝角三角形7、已知四边形ABCD的对角线相交于一点,()1,3 AC=,()3,1BD=-,则AB CD⋅的取值范围是()A.()2,0B.(]4,0C.[)0,2-D.[)0,4-【答案】C.【解析】取(0,0)A,则(1,3)C;设11(,)B x y,22(,)D x y,则21213,1.x xy y⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩所以()()1122,3,1AB x y x y==+-,()221,3CD x y=--,求得22223131()()2222AB CD x y-+⋅=++--≥-,当1131,231,2xy⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩且2231,231,2xy⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩时,AB CD⋅取到最小值2-,此时四边形ABCD的对角线恰好相交于一点,故选C.9、已知点OAOQOPAyxyxyxyxP(sin),0,3(,13211294:),(∠⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+≥-+则设的坐标满足为坐标原点)的最大值为 510、如图,已知1||=→OA,3||=→OB,0=⋅→→OBOA点C在线段AB上,且AOC∠=030,设→→→+=OBnOAmOC,)(Rnm∈,则mn等于 311、已知→→ba,为平面向量,若→→+ba与→a的夹角为3π,→→+ba与→b的夹角为4π,则→→||||ba=【解】图解法12、已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点,且||||OA OB OA OB +=-(其中O 为坐标原点),则实数a 的值为 2或2-13、设O 为ABC ∆的外心,且543=++ ,则ABC ∆的内角C 的值为4π【方法】基底选择C AOB ∠=∠2 , o 22900)5()43(=∠⇒=•⇒-=+→→→→→AOB OB OA OC OB OA15、设P 为ABC ∆所在平面内一点,且→→→→=--025AC AB AP ,则PAB ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于 15【方法】图解法;向量平行四边形法则16、在直角△ABC 中,︒=∠90BCA ,1==CB CA ,P 为AB 边上的点且AB AP λ=,若PB PA AB CP ⋅≥⋅,则λ的取值范围是 ]1,222[- 【方法】建立坐标系18、在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且→→=CD BC 3,点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合),若→→→-+=AC x AB x AO )1(则x 的取值范围是 1(,0)3-【方法】选择基底;向量相等19、在△ABC 中,E 、F 分别为AB ,AC 中点.P 为EF 上任一点,实数x ,y 满足PA +x PB +y PC =0.设△ABC ,△PBC ,△PCA ,△P AB 的面积分别为S ,1S ,2S ,3S ,记11S S λ=,22SS λ=,33S Sλ=,则当λ2·λ3取最大值时,2x +y 的值为220、已知向量与AC 的夹角为0120,32==,若+=λ,且,⊥,则实数λ的值为712 【解析】 0)()(=-⋅+=⋅λ得712039430))()(22=⇒=++--⇒=⋅-+-⋅λλλλλAB AC AC AB AC AB ,选D21、已知向量与AC 的夹角为0120,32==,若+=λ,且,⊥,则实数λ的值为712 【解】 0)()(=-⋅+=⋅λ得712039430))()(22=⇒=++--⇒=⋅-+-⋅λλλλλ,选D 22、已知点G 是ABC ∆的重心,AB μλ+=(λ, R ∈μ ),若0120=∠A ,2-=⋅AC AB3223、在矩形ABCD P若→→→+=AD AB AP μλ,24、P 是ABC ∆所在平面上一点,满足→→→→=++AB PC PB PA 2,若12ABC S ∆=,则PAB ∆的面积为4【解析】由()22PA PB PC AB PB PA ++==-,得3PA PB PC CB =-=,所以PABC ,且13PA BC=,ABC∆的边AB上的高是ABP∆边AB上的高的3倍,所以13ABPABCSS∆∆=,由12,4ABC ABPS S∆∆=∴=25、已知点O为ABC∆内一点,且→→→→=++0OCOBOA则:ABC BOCS S∆∆=________3:1.【解】330OA OB OC OA OA AB OA AC OA AB AC OA AD++=++++=++=+=,即3AO AD=,又12AE AD=,所以有21,33AO AE OE AE==即,则:ABC BOCS S∆∆=3:1AE OE=:.26、已知菱形ABCD的边长为a,∠DAB=60°,2EC DE=,则.AE DB的值为32a-.27、如图,∆AOB为等腰直角三角形,1OA=,CO为斜边AB的高,点P在射线CO上,则AP⋅OP 的最小值为18-.【解析】如图所示,AP =OP -OA ,设0t OP =≥.∴()2AP ⋅OP =OP -OA ⋅OP =OP -OA ⋅OP2222112488t t t⎛⎫=-=--≥- ⎪ ⎪⎝⎭,当24t =时取等号,∴AP ⋅OP 的最小值为18-.28、在长方形ABCD 中,,,12==AD AB 点N M 、分别是CD BC 、边上的点,且._________,的取值范围是则AN AM CDCN BCBM ⋅=2),(4329、在ABC ∆中,若D 是AB 的中点,P 在线段CD 上移动,当222CP BP AP ++最小时,求:PC PD 的比值为 230、在ABC ∆中,D 是BC 上一点,→→-=DB DC 2,若2||=→AB ,3||=→AC ,则||→AD 的取值范围为 .)37,31(31、已知平面向量)(,βαβα≠满足2=α,且α与αβ-的夹角为120°,t R ∈,则βαt t +-)1( 的取值范围是 ),3[+∞.32、 设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,ABC ∆中BC 边上的高为h ,且216BC =||||→→→→-=+AC AB AC AB 则h 的最大值为_____________2.平面向量8.O 是ABC ∆所在平面内一点,动点P 满足(),0sin sin AB AC OP OA AB BAC Cλλ=++>,则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的 ( C )(A) 内心 (B) 外心 (C) 重心 (D) 垂心10.如图放置的正方形, 1.,ABCD AB A D =分别在x 轴、y 轴的正半轴(含原点) 上滑动,则OC OB ⋅的最大值是 ( D ) (A) 1 (B)2(C) 3 (D) 2ABOC第10题图13.已知正△ABC 的边长为1,点G 为边BC 的中点,点,D E 是线段,AB AC 上的动点,DE 中点为F .若AD AB λ=,(12)AE AC λ=-()λ∈R ,则FG 的取值范围为 17,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14@.如图,//AB MN ,且2OA OM =,若OP xOA yOB =+,(其中,x y R ∈),则终点P 落在阴影部分(含边界) 时,21y x x +++的取值范围是 4[,4]3 .16.已知O 是ABC ∆的外心,2,3AB AC ==,若AO xAB y AC =+且21x y +=,则cos BAC ∠=4316.已知(0,0)O ,(cos ,sin )A αα,(cos ,sin )B ββ,(cos ,sin )C γγ,若(2)0kOA k OB OC +-+=,(02)k <<,则cos()αβ-的最大值是 12-.14.已知向量,a b 满足:||13a =,||1b =,|5|12a b -≤,则b 在a 上的投影的取值范围是 5113[,].8.(2009山东卷理)设P 是△ABC 所在平面内的一点,2BC BA BP +=,则( ) A.0PA PB += B.0PC PA += C.0PB PC += D.0PA PB PC ++= 【解析】:因为2BC BA BP +=,所以点P 为线段AC 的中点,所以应该选B 。
平面向量与数列函数的综合运用练习初二数学下册综合算式专项练习题
平面向量与数列函数的综合运用练习初二数学下册综合算式专项练习题一. 平面向量综合题1. 已知向量AB = 3i - 2j,向量AC = -4i + 3j,求向量BC。
解: 由向量相减得到向量BC = AC - AB。
BC = (-4i + 3j) - (3i - 2j)= -4i + 3j - 3i + 2j= -7i + 5j所以向量BC = -7i + 5j。
2. 已知向量AB = 2i + 3j,向量AC = 5i - j,求向量BA 和向量CA。
解:向量BA = -AB = -(2i + 3j) = -2i - 3j向量CA = -AC = -(5i - j) = -5i + j所以向量BA = -2i - 3j,向量CA = -5i + j。
二. 数列函数综合题1. 给定数列 {an} 的通项公式为 an = 3n + 2,计算前5项的和 Sn。
解:数列的前5项分别为 a1 = 3(1) + 2 = 5, a2 = 3(2) + 2 = 8, a3 = 3(3) + 2 = 11, a4 = 3(4) + 2 = 14, a5 = 3(5) + 2 = 17。
前5项的和 Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 55。
所以前5项的和 Sn = 55。
2. 给定数列 {bn} 的通项公式为 bn = 2n^2 + n,计算前4项的乘积Pn 和后4项的平均数 Mn。
解:数列的前4项分别为 b1 = 2(1^2) + 1 = 3, b2 = 2(2^2) + 2 = 10, b3 =2(3^2) + 3 = 21, b4 = 2(4^2) + 4 = 36。
前4项的乘积 Pn = b1 * b2 * b3 * b4 = 3 * 10 * 21 * 36 = 22680。
数列的后4项分别为 b5 = 2(5^2) + 5 = 55, b6 = 2(6^2) + 6 = 90, b7= 2(7^2) + 7 = 147, b8 = 2(8^2) + 8 = 232。
2024全国高考真题数学汇编:平面向量及其应用章节综合
2024全国高考真题数学汇编平面向量及其应用章节综合一、单选题1.(2024全国高考真题)已知向量,a b满足1,22a a b ,且2b a b ,则b ()A .12B C .2D .12.(2024全国高考真题)已知向量(0,1),(2,)a b x ,若(4)b b a,则x ()A .2B .1C .1D .23.(2024全国高考真题)设向量 1,,,2a x x b x,则()A .“3x ”是“a b”的必要条件B .“3x ”是“//a b”的必要条件C .“0x ”是“a b”的充分条件D .“1x ”是“//a b”的充分条件4.(2024全国高考真题)在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若π3B ,294b ac ,则sin sin A C ()A .13B .13C .2D .135.(2024北京高考真题)设a ,b 是向量,则“·0a b a b”是“a b 或a b ”的().A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件二、填空题6.(2024上海高考真题)已知 ,2,5,6,k a b k R ,且//a b ,则k 的值为.7.(2024天津高考真题)在边长为1的正方形ABCD 中,点E 为线段CD 的三等分点,1,2CE DE BE BA BC u u r u u r u u u r ,则;F 为线段BE 上的动点,G 为AF 中点,则AF DG的最小值为.三、解答题8.(2024天津高考真题)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知92cos 5163a Bbc ,.(1)求a ;(2)求sin A ;(3)求 cos 2B A 的值.9.(2024全国高考真题)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin 2A A .(1)求A .(2)若2asin sin 2C c B ,求ABC 的周长.10.(2024北京高考真题)在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,A 为钝角,7a ,sin 2cos B B .(1)求A ;(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得ABC 存在,求ABC 的面积.条件①:7b ;条件②:13cos 14B;条件③:sin c A 注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.11.(2024全国高考真题)记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin C B ,222a b c (1)求B ;(2)若ABC 的面积为3c .参考答案1.B【分析】由2b a b 得22b a b,结合1,22a a b ,得22144164a b b b ,由此即可得解.【详解】因为 2b a b ,所以20b a b ,即22b a b,又因为1,22a a b ,所以22144164a b b b ,从而2b .故选:B.2.D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为 4b b a ,所以40b b a,所以240b a b即2440x x ,故2x ,故选:D.3.C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程,解出即可.【详解】对A ,当a b 时,则0a b,所以(1)20x x x ,解得0x 或3,即必要性不成立,故A 错误;对C ,当0x 时, 1,0,0,2a b ,故0a b,所以a b,即充分性成立,故C 正确;对B ,当//a b时,则22(1)x x ,解得1x ,即必要性不成立,故B 错误;对D ,当1x 时,不满足22(1)x x ,所以//a b不成立,即充分性不立,故D 错误.故选:C.4.C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C ,再利用余弦定理有22134a c ac ,由正弦定理得到22sin sin A C 的值,最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac,则由正弦定理得241sin sin sin 93A C B .由余弦定理可得:22294b ac ac ac ,即:22134a c ac,根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C ,所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C,因为,A C 为三角形内角,则sin sin 0A C ,则sin sin A C .故选:C.5.B【分析】根据向量数量积分析可知0a b a b 等价于a b,结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为220a b a b a b ,可得22a b ,即a b ,可知0a b a b 等价于a b ,若a b 或a b ,可得a b ,即0a b a b,可知必要性成立;若0a b a b ,即a b,无法得出a b 或a b ,例如 1,0,0,1a b,满足a b ,但a b 且a b ,可知充分性不成立;综上所述,“0a b a b”是“a b 且a b ”的必要不充分条件.故选:B.6.15【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程,解出即可.【详解】//a b ,256k ,解得15k .故答案为:15.7.43518【分析】解法一:以,BA BC 为基底向量,根据向量的线性运算求BE,即可得 ,设BF BE k u u u r u u r ,求,AF DG u u u r u u u r ,结合数量积的运算律求AF DG 的最小值;解法二:建系标点,根据向量的坐标运算求BE,即可得 ,设 1,3,,03F a a a,求,AF DG u u u r u u u r ,结合数量积的坐标运算求AF DG 的最小值.【详解】解法一:因为12CE DE ,即13CE BA ,则13BE BC CE BA BC u u u r u u r u u u u r r u u u r ,可得1,13,所以43;由题意可知:1,0BC BA BA BC,因为F 为线段BE 上的动点,设 1,0,13BF k BE k BA k BC k,则113AF AB BF AB k BE k BA k BC,又因为G 为AF 中点,则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC,可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC22111563112329510k k k k,又因为 0,1k ,可知:当1k 时,AF DG 取到最小值518;解法二:以B为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,则 11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E,可得 11,0,0,1,,13BA BC BE,因为 ,BE BA BC 131,所以43 ;因为点F 在线段1:3,,03BE y x x 上,设 1,3,,03F a a a,且G 为AF 中点,则13,22a G a ,可得 131,3,,122a AF a a DG a,则 22132331522510a AF DG a a a,且1,03a,所以当13a 时,AF DG 取到最小值为518 ;故答案为:43;518 .8.(1)4(3)5764【分析】(1)2,3a t c t ,利用余弦定理即可得到方程,解出即可;(2)法一:求出sin B ,再利用正弦定理即可;法二:利用余弦定理求出cos A ,则得到sin A ;(3)法一:根据大边对大角确定A 为锐角,则得到cos A ,再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可;法二:直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】(1)设2,3a t c t ,0t ,则根据余弦定理得2222cos b a c ac B ,即229254922316t t t t ,解得2t (负舍);则4,6a c .(2)法一:因为B 为三角形内角,所以sin 16B ,再根据正弦定理得sin sin a b A B ,即4sin A sin 4A ,法二:由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc ,因为 0,πA ,则sin 4A(3)法一:因为9cos 016B ,且 0,πB ,所以π0,2B,由(2)法一知sin 16B,因为a b ,则A B ,所以3cos 4A ,则3sin 22sin cos 24A A A2231cos 22cos 12148A A9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A.法二:3sin 22sin cos 24A A A,则2231cos 22cos 12148A A,因为B 为三角形内角,所以sin 16B,所以 9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A9.(1)π6A(2)2【分析】(1)根据辅助角公式对条件sin 2A A 进行化简处理即可求解,常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组,亦可利用导数,向量数量积公式,万能公式解决;(2)先根据正弦定理边角互化算出B ,然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】(1)方法一:常规方法(辅助角公式)由sin 2A A 可得1sin 122A A ,即sin()1π3A ,由于ππ4π(0,π)(,)333A A ,故ππ32A ,解得π6A方法二:常规方法(同角三角函数的基本关系)由sin 2A A ,又22sin cos 1A A ,消去sin A 得到:224cos 30(2cos 0A A A ,解得cos 2A,又(0,π)A ,故π6A方法三:利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x ,则π()2sin (0π)3f x x x,显然π6x时,max ()2f x ,注意到π()sin 22sin(3f A A A A ,max ()()f x f A ,在开区间(0,π)上取到最大值,于是x A 必定是极值点,即()0cos sin f A A A ,即tan 3A ,又(0,π)A ,故π6A方法四:利用向量数量积公式(柯西不等式)设(sin ,cos )a b A A ,由题意,sin 2a b A A,根据向量的数量积公式,cos ,2cos ,a b a b a b a b,则2cos ,2cos ,1a b a b ,此时,0a b,即,a b 同向共线,根据向量共线条件,1cos sin tan A A A 又(0,π)A ,故π6A方法五:利用万能公式求解设tan 2A t,根据万能公式,22sin 21t A A t整理可得,2222(2(20((2t t t ,解得tan22A t 223tan 13t A t ,又(0,π)A ,故π6A(2)由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B ,又,(0,π)B C ,则sin sin 0B C,进而cos 2B ,得到π4B ,于是7ππ12C A B,26sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A,由正弦定理可得,sin sin sin a b cA B C ,即2ππ7πsin sin sin6412bc,解得b c 故ABC的周长为2 10.(1)2π3A;(2)选择①无解;选择②和③△ABC【分析】(1)利用正弦定理即可求出答案;(2)选择①,利用正弦定理得3B,结合(1)问答案即可排除;选择②,首先求出sin B 式子得3b ,再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ,最后利用三角形面积公式即可;选择③,首先得到5c,再利用正弦定理得到sin Csin B ,最后利用三角形面积公式即可;【详解】(1)由题意得2sin cos cos B B B,因为A 为钝角,则cos 0B,则2sin B,则7sin sin sin b a BA A,解得sin A ,因为A 为钝角,则2π3A.(2)选择①7b ,则333sin 714142B,因为2π3A ,则B 为锐角,则3B ,此时πA B ,不合题意,舍弃;选择②13cos 14B ,因为B 为三角形内角,则sin B ,则代入2sin 7B得2147,解得3b , 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B3131335321421414,则1153153sin 7322144ABC S ab C.选择③sin c Ac 5c ,则由正弦定理得sin sin a c A C 5sin C ,解得sin C ,因为C 为三角形内角,则11cos 14C ,则 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C3111533321421414,则11sin 7522144ABC S ac B △11.(1)π3B (2)【分析】(1)由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ,最后结合已知sin C B 得cos B 的值即可;(2)首先求出,,A B C ,然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示,结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】(1)由余弦定理有2222cos a b c ab C ,对比已知222a b c ,可得222cos 222a b c C ab ab,因为 0,πC ,所以sin 0C ,从而sin2C ,又因为sin C B,即1cos2B ,注意到0,πB ,所以π3B .(2)由(1)可得π3B,cos2C ,0,πC ,从而π4C ,ππ5ππ3412A ,而5πππ1sin sin sin12462A,由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c,从而,a b,由三角形面积公式可知,ABC的面积可表示为21113sin222228ABCS ab C c c,由已知ABC的面积为323338c所以c。
平面向量复习综合练习题及答案
10、(全国2 理5)在?ABC中,已知D是AB边上一点,若 =2 , = ,则?=
(A) (B) (C) - (D) -
11、(北京理4)已知 是 所在平面内一点, 为 边中点,且 ,那么
A. B. C. D.
12、(福建理4文8)对于向量,a、b、c和实数 ,下列命题中真命题是
A.(2,14)B.(2,- )C.(-2, )D.(2,8)
答案:选B
16.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a⊙b= mq-np,下面说法错误的是( )
A.若a与b共线,则a⊙b =0B.a⊙b =b⊙a
C.对任意的 R,有( a)⊙b = (a⊙b)D.(a⊙b)2+(a·b)2= |a|2|b|2
求 。
31、已知A(2,0),B(0,2),C(cos ,sin ),且0< <
(1)若|OA+OC|= ,求OB与OC的夹角;
(2)若AC⊥BC,求tan 的值。
32、
求证:(1)A、B、D三点共线.
33、已知 之间有关系 ,其中k>0,
(1)k表示 ;(2)求 的最小值,并求此时 夹角的大小。
20.P是圆C: 上的一个动点,A( ,1),则 的最小值为______2( -1)
21.已知 =(3,2), =(-1,0),向量 + 与 -2 垂直,则实数 的值为_________1
22.在直角三角形 中, ,点 是斜边 上的一个三等分点,则
23、(江西理15)如图,在 中,点 是 的中点,过点 的直线分别交直线 , 于不同的两点 ,若 , ,则 的值为.
(1)求角 的大小;
平面向量练习题
1、AB BC AD +-=( )A.ADB.CDC.DBD.DC2、已知P ,A ,B ,C 是平面内四点,且P A →+P B →+P C →=A C →,那么一定有( )A .PB →=2CP → B .C P →=2PB → C .A P →=2PB →D .P B →=2AP →3、在△ABC 中,A D →=2DC →,B A →=a ,B D →=b ,B C →=c ,则下列等式成立的是( ) A .c =2b -a B .c =2a -b C .c =3a 2-b 2 D .c =3b 2-a 24、已知向量A B →=a +3b ,B C →=5a +3b ,C D →=-3a +3b ,则( )A .A ,B ,C 三点共线 B .A ,B ,D 三点共线C .A ,C ,D 三点共线 D .B ,C ,D 三点共线5、已知平面向量(11)(11)==-,,,a b ,则向量1322-=a b ( )A.(21)--, B.(21)-, C.(10)-, D.(12)-,6、已知向量(5,6)a =-,(6,5)b =,则a 与b ( )A .垂直B .不垂直也不平行C .平行且同向D .平行且反向7、已知向量a =(-1,2),b =(3,m ),m ∈R ,则“m =-6”是“a ∥(a +b )”的() A .充要条件 B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件8、已知,向量与垂直,则实数的值为 ( )A. B. C. D.9、在四边形ABCD 中,AC →=(1,2),BD →=(-4,2),则该四边形的面积为( )A. 5 B .2 5 C .5 D .1010、已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC =60°,则BD →·CD →=( )A .-32a 2B .-34a 2 C.34a 2 D.32a 211、已知(1,2),(3,)OA OB m =-=,若OA OB ⊥,则m =12、设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===,则k =_____时,A,B,C 共线13、△ABC 中,3||=−→−AB ,4||=−→−AC ,5||=−→−BC ,则=⋅BC AB _________()()3,2,1,0a b =-=-a b λ+2a b -λ17-1716-1614、已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b==-=+=-,c与d的夹角为4π,则k等于____15、已知2,5,3a b a b===-,则a b+等于____。
平面向量综合题
1.若平面向量,αβ满足1,1a β=≤,且以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积为12,则α与β的夹角θ的取值范围是 。
2.3、若b a ,是两个非零向量,且]1,33[|,|||||∈+==λλb a b a ,则b 与b a -的夹角的4.在△ABC 中,()||||AB AC AB AC + ·0,||BA BC BA = ·13||BC BC =,则△ABC 的形状为A .直角三角形B . 等边三角形C .三边均不相等的三角形D .等腰非等边三角形5.在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且3BC CD =,点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合),若(1),AO xAB x AC x =+-则的取值范围是( )A .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C .1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D .1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭6.如图所示, A , B , C 是圆O 上的三点, CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D,若,则的取值范围是 ( ) A .B .C .D .OC mOA nOB =+m n +(0,1)(1,)+∞(,1)-∞-(1,0)-7.8.在△ABC 中,∠B=6π,,6||,33||==BC AB 设D 是AB 的中点,O 是△ABC 所在平面内一点, 且023=++OC OB OA ,则||DO 的值是A .21 B .1C .3D .29.已知O 是ABC ∆的外心,2,3AB AC ==,若AO x AB y AC =+且21x y +=,则cos BAC ∠=10. 已知的三个顶点C B A ,,及所在平面内一点P 满足,则点P 与的关系A .P 在内部B .P 在外部C .P 在边上D .P 在边上11.在△ABC 中,已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ∆⋅==⋅=,P 为线段AB 上的点,且,||||C A C B C P x y x yC A C B =⋅+⋅则的最大值为 A .1B .2C .3D .413. 已知非零向量,,a b c 满足||1,()()0,||a b a c b c c -=-⋅-=设的最大值与最小值分别为m ,n ,则m-n 值为 ( )A .1B .2C .12D .1414. 若 △ABC 内接于以O 为圆心,1为半径的圆,且 3450OA OB OC ++= ,则 OC AB⋅的值为 (A) 15-(B)15(C) 65-(D)6515ABC ∆PA PB PC AB ++=ABC ∆ABC ∆ABC ∆AB AC16. 如图,在ΔABC 中,,,,则=( )A .B .CD 17.已知平面内两个单位向量α,b ,设向量c =λα ,且| c | ≠ 1,α·(b – c )= 0, 则实数λ的取值范围是 . 18.19.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,已知点D 是BC 边的中点,且21()2AD BC a ac ∙=- ,则角B = ▲ .20.已知35=+=-=,= ▲ .21.若向量(2,4),(1,1)a b ==,满足()b a b λ⊥+,则实数λ的值是 ___▲ . -22.已知)2,1(-=a ,)1,(λ=b ,若5|2|=-b a ,则=λ ▲ .AD AB ⊥BC BD1AD = AC AD ⋅21.设,x y 为实数,若2241xy xy ++=,则2x y +的最大值是 .2.已知,,x y z R +∈,230x y z-+=,则2y xz的最小值 .33.已知,a b R +∈,且21a b +=,则224s a b =-的最大值为 。
平面向量经典练习题(含答案)
平面向量经典练习题(含答案)1、向量a=(2,4),b=(-1,-3),则向量3a-2b的坐标是(8,22)。
2、已知向量a与b的夹角为60°,a=(3,4),|b|=1,则|a+5b|=√61.3、已知点A(1,2),B(2,1),若AP=(3,4),则BP=(-1,-1)。
4、已知A(-1,2),B(1,3),C(2,0),D(x,1),若AB与CD共线,则|BD|=2.5、向量a、b满足|a|=1,|b|=2,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为30°。
6、设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=7.7、已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是60°。
8、在△ABC中,D为AB边上一点,AD=2DB,CD=3CA+mCB,则m=1.9、已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,a⊥(2a+b),则a与b的夹角是53.13°。
10、在三角形ABC中,已知A(-3,1),B(4,-2),点P(1,-1)在中线AD上,且AP=2PD,则点C的坐标是(6,-3)。
二、选择题1、设向量OA=(6,2),OB=(-2,4),向量OC垂直于向量OB,向量BC平行于OA,若OD+OA=OC,则OD坐标=(11,6)。
2、把A(3,4)按向量a(1,-2)平移到A',则点A'的坐标(4,2)。
3、已知向量a,b,若a为单位向量,且|a|=|2b|,则(2a+b)⊥(a-2b),则向量a与b的夹角是30°。
4、已知向量ab的夹角60°,|a|=2,b=(-1,√3),则|2a-3b|=13.5、在菱形ABCD中,∠DAB=60°,|2·0C+CD|=4,则|BC+CD|=2.6、略。
7、略。
8、若向量a=(3,4),向量b=(2,1),则a在b方向上的投影为2.9、略。
平面向量及其应用全章综合测试卷(基础篇)(教师版)
D.两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同
【解题思路】根据零向量的方向是任意的; ⋅ = ⋅ , ≠ 0 ,则 = 或 与, 都垂直;长度相等的向
量是相等向量或相反向量;即可解决.
【解答过程】零向量的方向是任意的,故 A 错;
若 ⋅ = ⋅ , ≠ 0 ,则 = 或 与, 都垂直,故 B 错;
13.(5 分)(2024·高一课时练习)下列各量中,向量有: ③⑤⑥⑧⑩
.(填写序号)
①浓度;②年龄;③风力;④面积;⑤位移;⑥人造卫星的速度;⑦电量;⑧向心力;⑨盈利;⑩加速
度.
【解题思路】根据向量的概念判断即可.
【解答过程】解:向量是有大小有方向的量,故符合的有:风力,位移,人造卫星的速度,向心力,加速
A.1
B.2
)
C. 2
D. 3
1
【解题思路】由正弦定理及余弦定理得cos = 2,然后利用余弦定理结合三角形的面积公式,即可求解.
【解答过程】∵sin2 + sin2−sinsin = sin2,
∴2 + 2− = 2,cos =
2 2−2
2
1
= 2,可得sin = 1−cos2 =
∵2 + 2− = ( + )2−3 = 2, + = 4, = 2,
∴ = 4,
1
1
所以三角形的面积为 = 2sin = 2 × 4 ×
3
2
= 3.
故选:D.
二.多选题(共 4 小题,满分 20 分,每小题 5 分)
9.(5 分)(2024·高一课时练习)下列说法中正确的是(
【解答过程】由题设sin = 1−cos2 =
平面向量全章综合练习
平面向量全章综合练习一、选择题1.向量OM CB BO MB AB +-++)()(化简后等于( )(A ) (B ) (C ) (D )2.点A 的坐标为(1,-3),向量的坐标为(3,7),则点B 的坐标为( )(A )(4,4) (B )(-2,4) (C )(2,10) (D )(-2,-10)3.已知向量a =(-2,4),b =(-1,-2),c =(2,3),则(a +b )·(a -c )的值为( )(A )10 (B )14 (C )-10 (D )-144.已知向量a =(2,t ),b =(1,2).若t =t 1时,a ∥b ;t =t 2时,a ⊥b ,则( )(A )t 1=-4,t 2=-1 (B )t 1=-4,t 2=1(C )t 1=4,t 2=-1 (D )t 1=4,t 2=15.若点O 是△ABC 所在平面内一点,满足⋅⋅⋅==,则点O 是△ABC 的( )(A )三个内角的角分线的交点 (B )三条边的垂直平分线的交点(C )三条中线的交点 (D )三条高线的交点二、填空题6.河水的流速为2 m /s ,一只小船想要以垂直于河岸方向10 m /s 的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度的大小应为______________.7.数轴上的点A ,B ,点A 的坐标为-3,且向量的长度为5,则点B 的坐标为______.8.已知p =(-2,2),q =(1,3),则p 在q 方向上的正射影的数量为______.9.已知向量a =(2,3),b =(-1,2),若(a +b )⊥(a +λb ),则实数λ=______.10.给出下列命题: ①;2ab a b a =⋅ ②|a |-|b |<|a -b |; ③|a ·b |=|a ||b |; ④(b ·c )a -(c ·a )b 与c 垂直; ⑤已知a ,b 是非零向量,若|a +b |=|a -b |,则a ⊥b ;⑥已知a ,b 是两个单位向量,则a 2=b 2.所有正确的命题的序号为____________.三、解答题11.已知点A (-2,1),B (1,3).求线段AB 中点M 和三等分点P ,Q 的坐标.12.已知|a |=2,|b |=4,〈a ,b 〉3π2.求|a -b |和〈a ,a -b 〉的余弦值. 13.已知向量a =(1,2),b =(x ,1).(1)求与a 垂直的单位向量的坐标;(2)求|b -2a |的最小值以及此时b 的坐标;(3)当x 为何值,a +2b 与b -2a 平行,并确定它们此时是同向还是反向.14.如图,以原点O 和A (5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB ,使∠B =90°.求点B 的坐标和的坐标.一、选择题1.A 2.A 3.B 4.C 5.D二、填空题6.m/s 262 7.-8或2 8.5102 9.917- 10.④⑤⑥三、解答题11.解:)2,3(=-=OA OB AB ,),2,21()(21-=+=OM 所以)2,21(-M ,)35,1(31-=+=,所以)37,0(32),35,1(=+=-p ,所以)37,0(Q .12.答:|a -b |72=,cos 〈a ,a -b 〉772=.13.略解:(1)设单位向量为e =k (-2,1)=(-2k ,k ),因为|e |=1,得55±=k , )55,552(-=e 或)55,552(-=e .(2)9)2(|2|2+-=-x a b ,当x =2时,|b -2a |最小值为3,此时b =(2,1).(3) 21=x ,反向.14.解:设B (x ,y ),则),(),2,5(y x y x =--=,由已知得⎪⎩⎪⎨⎧==⋅||||0OB AB ,所以⎩⎨⎧-+-=+=-+-2222)2()5(0)2()5(y x y x y y x x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧==232272271231y x y x 或, 所以)27,23(B 或)23,27(-B ,)21,23(--=AB 或)23,27(-=AB ,。
含解析高中数学《平面向量》专题训练30题(精)
含解析高中数学《平面向量》专题训练30题(精)含解析高中数学《平面向量》专题训练30题(精)1.已知向量.(1)若,求x的值;(2)记,求函数y=f(x)的最大值和最小值及对应的x的值.【答案】(1)(2)时,取到最大值3;时,取到最小值.【解析】【分析】(1)根据,利用向量平行的充要条件建立等式,即可求x的值.(2)根据求解求函数y=f(x)解析式,化简,结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值.【详解】解:(1)∵向量.由,可得:,即,∵x∈[0,π]∴.(2)由∵x∈[0,π],∴∴当时,即x=0时f(x)max=3;当,即时.【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.2.已知中,点在线段上,且,延长到,使.设.(1)用表示向量;(2)若向量与共线,求的值.【答案】(1),;(2)【解析】【分析】(1)由向量的线性运算,即可得出结果;(2)先由(1)得,再由与共线,设,列出方程组求解即可.【详解】解:(1)为BC的中点,,可得,而(2)由(1)得,与共线,设即,根据平面向量基本定理,得解之得,.【点睛】本题主要考查向量的线性运算,以及平面向量的基本定理,熟记定理即可,属于常考题型.3.(1)已知平面向量、,其中,若,且,求向量的坐标表示;(2)已知平面向量、满足,,与的夹角为,且(+)(),求的值.【答案】(1)或;(2)【解析】【分析】(1)设,根据题意可得出关于实数、的方程组,可求得这两个未知数的值,由此可得出平面向量的坐标;(2)利用向量数量积为零表示向量垂直,化简并代入求值,可解得的值.【详解】(1)设,由,可得,由题意可得,解得或.因此,或;(2),化简得,即,解得4.已知向量,向量.(1)求向量的坐标;(2)当为何值时,向量与向量共线.【答案】(1)(2)【解析】【详解】试题分析:(1)根据向量坐标运算公式计算;(2)求出的坐标,根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;试题解析:(1)(2),∵与共线,∴∴5.已知向量与的夹角,且,.(1)求,;(2)求与的夹角的余弦值.【答案】(1),;(2).【解析】【分析】(1)利用平面向量数量积的定义可计算得出的值,利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值;(2)计算出的值,利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值.【详解】(1)由已知,得,;(2)设与的夹角为,则,因此,与的夹角的余弦值为.6.设向量,,记(1)求函数的单调递减区间;(2)求函数在上的值域.【答案】(1);(2).【解析】【详解】分析:(1)利用向量的数量积的坐标运算式,求得函数解析式,利用整体角的思维求得对应的函数的单调减区间;(2)结合题中所给的自变量的取值范围,求得整体角的取值范围,结合三角函数的性质求得结果.详解:(1)依题意,得.由,解得故函数的单调递减区间是.(2)由(1)知,当时,得,所以,所以,所以在上的值域为.点睛:该题考查的是有关向量的数量积的坐标运算式,三角函数的单调区间,三角函数在给定区间上的值域问题,在解题的过程中一是需要正确使用公式,二是用到整体角思维.7.在中,内角,,的对边分别是,,,已知,点是的中点.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,求中线的最大值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】【分析】(1)由正弦定理,已知条件等式化边为角,结合两角和的正弦公式,可求解;(2)根据余弦定理求出边的不等量关系,再用余弦定理把用表示,即可求解;或用向量关系把用表示,转化为求的最值.【详解】(Ⅰ)由已知及正弦定理得.又,且,∴,即.(Ⅱ)方法一:在中,由余弦定理得,∵,当且仅当时取等号,∴.∵是边上的中线,∴在和中,由余弦定理得,,①.②由①②,得,当且仅当时,取最大值.方法二:在中,由余弦定理得,∵,当且仅当时取等号,∴.∵是边上的中线,∴,两边平方得,∴,当且仅当时,取最大值.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用,考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用,是一道综合题.8.已知平面向量,.(1)若,求的值;(2)若,与共线,求实数m的值.【答案】(1);(2)4.【解析】(1)求出,即可由坐标计算出模;(2)求出,再由共线列出式子即可计算.【详解】(1),所以;(2),因为与共线,所以,解得m=4.9.已知向量.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)若,求向量与夹角的大小.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)首先求出的坐标,再根据,可得,即可求出,再根据向量模的坐标表示计算可得;(Ⅱ)首先求出的坐标,再根据计算可得;【详解】解:(Ⅰ)因为,所以,由,可得,即,解得,即,所以;(Ⅱ)依题意,可得,即,所以,因为,所以与的夹角大小是.10.如图,在中,,,,,.(1)求的长;(2)求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)将用和表示,利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值,即可得出的长;(2)将利用和表示,然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值.【详解】(1),,,,,,.;(2),,,.【点睛】本题考查平面向量模与数量积的计算,解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来,考查计算能力,属于中等题.11.如图所示,在中,,,,分别为线段,上一点,且,,和相交于点.(1)用向量,表示;(2)假设,用向量,表示并求出的值.【答案】(1);(2),.【解析】【分析】(1)把放在中,利用向量加法的三角形法则即可;(2)把,作为基底,表示出,利用求出.【详解】解:由题意得,,所以,(1)因为,,所以.(2)由(1)知,而而因为与不共线,由平面向量基本定理得解得所以,即为所求.【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则;(2)树立“基底”意识,利用基向量进行线性运算.12.已知向量与的夹角为,且,.(1)若与共线,求k;(2)求,;(3)求与的夹角的余弦值【答案】(1);(2),;(3).【解析】【分析】(1)利用向量共线定理即可求解.(2)利用向量数量积的定义:可得数量积,再将平方可求模.(3)利用向量数量积即可夹角余弦值.【详解】(1)若与共线,则存在,使得即,又因为向量与不共线,所以,解得,所以.(2),,(3).13.已知.(1)当为何值时,与共线(2)当为何值时,与垂直?(3)当为何值时,与的夹角为锐角?【答案】(1);(2);(3)且.【解析】【分析】(1)利用向量共线的坐标表示:即可求解.(2)利用向量垂直的坐标表示:即可求解.(3)利用向量数量积的坐标表示,只需且不共线即可求解.【详解】解:(1).与平行,,解得.(2)与垂直,,即,(3)由题意可得且不共线,解得且.14.如图,在菱形ABCD中,,.(1)若,求的值;(2)若,,求.(3)若菱形ABCD的边长为6,求的取值范围.【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】(1)由向量线性运算即可求得值;(2)先化,再结合(1)中关系即可求解;(3)由于,,即可得,根据余弦值范围即可求得结果.【详解】解:(1)因为,,所以,所以,,故.(2)∵,∴∵ABCD为菱形∴∴,即.(3)因为,所以∴的取值范围:.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算;(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.15.已知,,与夹角是.(1)求的值及的值;(2)当为何值时,?【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)利用数量积定义及其向量的运算性质,即可求解;(2)由于,可得,利用向量的数量积的运算公式,即可求解.【详解】(1)由向量的数量积的运算公式,可得,.(2)因为,所以,整理得,解得.即当值时,.【点睛】本题主要考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系,其中解答中熟记向量的数量积的运算公式,以及向量垂直的坐标运算是解答的关键,着重考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16.设向量(I)若(II)设函数【答案】(I)(II)【解析】【详解】(1)由=(sinx)2+(sinx)2=4sin2x,=(cosx)2+(sinx)2=1,及,得4sin2x=1.又x∈,从而sinx=,所以x=.(2)sinx·cosx+sin2x=sin2x-cos2x+=sin+,当x∈时,-≤2x-≤π,∴当2x-=时,即x=时,sin取最大值 1.所以f(x)的最大值为.17.化简.(1).(2).【答案】(1);(2).【解析】(1)利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果;(2)利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.【详解】(1);(2).18.已知点,,,是原点.(1)若点三点共线,求与满足的关系式;(2)若的面积等于3,且,求向量.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)由题意结合三点共线的充分必要条件确定m,n满足的关系式即可;(2)由题意首先求得n的值,然后求解m的值即可确定向量的坐标.【详解】(1),,由点A,B,C三点共线,知∥,所以,即;(2)由△AOC的面积是3,得,,由,得,所以,即,当时,,?解得或,当时,,方程没有实数根,所以或.【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件,向量垂直的充分必要条件等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.如图,在直角梯形中,为上靠近B的三等分点,交于为线段上的一个动点.(1)用和表示;(2)求;(3)设,求的取值范围.【答案】(1);(2)3;(3).【解析】【分析】(1)根据给定条件及几何图形,利用平面向量的线性运算求解而得;(2)选定一组基向量,将由这一组基向量的唯一表示出而得解;(3)由动点P设出,结合平面向量基本定理,建立为x的函数求解.【详解】(1)依题意,,,;(2)因交于D,由(1)知,由共起点的三向量终点共线的充要条件知,,则,,;(3)由已知,因P是线段BC上动点,则令,,又不共线,则有,,在上递增,所以,故的取值范围是.【点睛】由不共线的两个向量为一组基底,用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.20.设向量满足,且.(1)求与的夹角;(2)求的大小.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由已知得,展开求得,结合夹角公式即可求解;(2)由化简即可求解.【详解】(1)设与的夹角为θ由已知得,即,因此,得,于是,故θ=,即与的夹角为;(2)由.21.已知,,(t∈R),O是坐标原点.(1)若点A,B,M三点共线,求t的值;(2)当t取何值时,取到最小值?并求出最小值.【答案】(1)t;(2)当t时,?的最小值为.【解析】【分析】(1)求出向量的坐标,由三点共线知与共线,即可求解t的值.(2)运用坐标求数量积,转化为函数求最值.【详解】(1),,∵A,B,M三点共线,∴与共线,即,∴,解得:t.(2),,,∴当t时,?取得最小值.【点睛】关键点点睛:(1)由三点共线,则由它们中任意两点构成的向量都共线,求参数值.(2)利用向量的数量积的坐标公式得到关于参数的函数,即可求最值及对应参数值.22.设向量,,.(1)求;(2)若,,求的值;(3)若,,,求证:A,,三点共线.【答案】(1) 1(2)2(3)证明见解析【解析】【分析】(1)先求,进而求;(2)列出方程组,求出,进而求出;(3)求出,从而得到,得到结果.(1),;(2),所以,解得:,所以;(3)因为,所以,所以A,,三点共线.23.在平面直角坐标系中,已知,.(Ⅰ)若,求实数的值;(Ⅱ)若,求实数的值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)求出向量和的坐标,然后利用共线向量的坐标表示得出关于的方程,解出即可;(Ⅱ)由得出,利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的方程,解出即可.【详解】(Ⅰ),,,,,,解得;(Ⅱ),,,解得.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,考查利用共线向量和向量垂直求参数,考查计算能力,属于基础题.24.在中,,,,点,在边上且,.(1)若,求的长;(2)若,求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)先设,,根据题意,求出,,再由向量模的计算公式,即可得出结果;(2)先由题意,得到,,再由向量数量积的运算法则,以及题中条件,得到,即可求出结果.【详解】(1)设,,则,,因此,所以,,(2)因为,所以,同理可得,,所以,∴,即,同除以可得,.【点睛】本题主要考查用向量的方法求线段长,考查由向量数量积求参数,熟记平面向量基本定理,以及向量数量积的运算法则即可,属于常考题型.25.已知向量,,,且.(1)求,;(2)求与的夹角及与的夹角.【答案】(1),;(2),.【解析】【分析】(1)由、,结合平面向量数量积的运算即可得解;(2)记与的夹角为,与的夹角为,由平面向量数量积的定义可得、,即可得解.【详解】(1)因为向量,,,且,所以,所以,又,所以;(2)记与的夹角为,与的夹角为,则,所以.,所以.【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算与应用,考查了运算求解能力,属于基础题.26.平面内给定三个向量,,.(1)求满足的实数,;(2)若,求实数的值.【答案】(1),;(2).【解析】【分析】(1)依题意求出的坐标,再根据向量相等得到方程组,解得即可;(2)首先求出与的坐标,再根据向量共线的坐标表示计算可得;【详解】解:(1)因为,,,且,,,,.,解得,.(2),,,.,,,.,解得.27.如图,已知中,为的中点,,交于点,设,.(1)用分别表示向量,;(2)若,求实数t的值.【答案】(1),;(2).【解析】(1)根据向量线性运算,结合线段关系,即可用分别表示向量,;(2)用分别表示向量,,由平面向量共线基本定理,即可求得t的值.【详解】(1)由题意,为的中点,,可得,,.∵,∴,∴(2)∵,∴∵,,共线,由平面向量共线基本定理可知满足,解得.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,平面向量共线基本定理的应用,属于基础题.28.已知,向量,.(1)若向量与平行,求k的值;(2)若向量与的夹角为钝角,求k的取值范围【答案】(1)或;(2).【解析】(1)利用向量平行的坐标表示列式计算即得结果;(2)利用,且不共线,列式计算即得结果.【详解】解:(1)依题意,,,又,得,即解得或;(2)与的夹角为钝角,则,即,即,解得或.由(1)知,当时,与平行,舍去,所以.【点睛】思路点睛:两向量夹角为锐角(或钝角)的等价条件:(1)两向量夹角为锐角,等价于,且不共线;(2)两向量夹角为钝角,等价于,且不共线.29.已知.(1)若,求的值;(2)若,求向量在向量方向上的投影.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先得到,根据可得,即可求出m;(2)根据求出m=2,再根据求在向量方向上的投影.【详解】;;;;;;;在向量方向上的投影为.【点睛】本题主要考查了向量坐标的加法和数量积的运算,向量垂直的充要条件及向量投影的计算公式,属于中档题.30.平面内给定三个向量.(1)求;(2)求满足的实数m和n;(3)若,求实数k.【答案】(1)6;(2);(3).【解析】(1)利用向量加法的坐标运算得到,再求模长即可;(2)先写的坐标,再根据使对应横纵坐标相等列方程组,解方程组即得结果;(3)利用向量垂直则数量积为零,再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.【详解】解:(1)由,得,;(2),,,,故,解得;(3),,,,,,即,解得.【点睛】结论点睛:若,则等价于;等价于.试卷第1页,共3页试卷第1页,共3页。
(完整版)平面向量专项训练(含答案)
平面向量专题训练知识点回顾1.向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。
每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下:运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA +→--OB =→--OC→--OB -→--OA =→--AB记→--OA =(x 1,y 1),→--OB =(x 1,y 2) 则→--OA +→--OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)AB OB --→=u u u r -→--OA =(x 2-x 1,y 2-y 1)→--OA +→--AB =→--OB实数与向量 的乘积→--AB =λ→aλ∈R记→a =(x,y) 则λ→a =(λx,λy)两个向量 的数量积→a ·→b =|→a ||→b | cos<→a ,→b >记→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2) 则→a ·→b =x 1x 2+y 1y 2(3)两个向量平行 :设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔a b λ=r r⇔x 1y 2-x 2y 1=0(4)两个向量垂直:设→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2),则→a ⊥→b⇔a 0b •=r r ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 课堂精练一、选择题1. 已知平面向量a =,1x () ,b =2,x x (-), 则向量+a b ( )A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线2. 已知向量(1,2)=a ,(2,3)=-b .若向量c 满足()//+c a b ,()⊥+c a b ,则c =( ) A .77(,)93 B .77(,)39-- C .77(,)39 D .77(,)93--ECBA 3.已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-,如果//c d 那么 ( ) A .1k =且c 与d 同向B .1k =且c 与d 反向C .1k =-且c 与d 同向D .1k =-且c 与d 反向 4已知平面向量(11)(11)==-,,,a b ,则向量1322-=a b ( ) A.(21)--, B.(21)-,C.(10)-,D.(12),5.设P 是△ABC 所在平面内的一点,2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r,则( )A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r6.已知向量a = (2,1),a ·b = 10,︱a + b ︱=b ︱=( ) 7.设a 、b 、c 是单位向量,且a ·b =0,则()()a c bc -•-的最小值为( )A.2-2C.1-D.18已知向量(1)(1)n n ==-,,,a b ,若2-a b 与b 垂直,则=a( )A .1BC .2D .49平面向量a 与b 的夹角为060,(2,0)a =,1b= 则2ab +=( )B.10.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=( )A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b11.如图1, D ,E ,F 分别是∆ABC 的边AB ,BC ,CA 的中点,则 ( )A .0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r rB .0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC .0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r rD .0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r12.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r,那么( )A.AO OD =u u u r u u u rB.2AO OD =u u u r u u u rC.3AO OD =u u u r u u u rD.2AO OD =u u u r u u u r13.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||,则>=<b a ,( )A .150° B.120° C.60° D.30°14.已知()()3,2,1,0a b =-=-,向量a b λ+与2a b -垂直,则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.1615.已知1,6,()2==-=g a b a b a ,则向量a 与向量b 的夹角是( )A .6πB .4π C .3π D .2π16.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行,则实数x 的值是 ( ) A .-2B .0C .1D .217.在ABC △中,AB =u u u r c ,AC =u u u r b .若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ,则AD =u u u r ( )A .2133+b cB .5233-c bC .2133-b c D .1233+b c 18.在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,若(2,4)AB =u u u r ,(1,3)AC =u u u r ,则BD =u u u r ( )A . (-2,-4)B .(-3,-5)C .(3,5)D .(2,4)19.设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( ( )A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 二、填空题1.若向量a r ,b r 满足12a b ==r r ,且a r 与b r 的夹角为3π,则a b +=r r .2.设向量(12)(23)==,,,a b ,若向量λ+a b 与向量(47)=--,c 共线,则=λ3.已知向量a 与b 的夹角为120o,且4==a b ,那么(2)+gb a b 的值为4.已知平面向量(2,4)a =r ,(1,2)b =-r .若()c a a b b =-⋅r r r r r ,则||c =r____________.5.a r ,b r 的夹角为120︒,1a =r,3b =r 则5a b -=r r .6.已知向量2411()(),,,a =b =.若向量()λ⊥b a +b ,则实数λ的值是7.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°,则b a b a ··+=8.已知向量(3,1)a =r ,(1,3)b =r , (,2)c k =r ,若()a c b -⊥r r r则k = .9.已知向量(3,1)a =r ,(1,3)b =r ,(,7)c k =r ,若()a c -r r∥b r ,则k = .10.在平面直角坐标系xoy 中,四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(-2,0),B (6,8),C(8,6),则D 点的坐标为__________.平面向量专题训练答案:一选择题1 C2 D3 D 4D 5 B 6 C 7 D 8 C 9 B 10 B11 A 12 A 13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 C 二 填空题2 23 0 _4 285 76 -37 -18 09 5 10_(0,-2)。
(完整版)平面向量综合试题(含答案)
BACD平面向量一.选择题: 1. 在平面上,已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0).给出下面的结论:①BCCAAB=-②OBOCOA=+③OAOBAC2-=其中正确..结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.0个2.下列命题正确的是()A.向量AB的长度与向量BA的长度相等B.两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同C.若非零向量AB与CD是共线向量,则A、B、C、D四点共线D.若→a→b→c,则→a→c3. 若向量= (1,1), = (1,-1), =(-1,2),则等于( )A.+B.C.D.+4.若,且与也互相垂直,则实数的值为( )A. B.6 C. D.35.已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为()A. B. C. D. 6.己知(2,-1) .(0,5) 且点P在的延长线上,, 则P点坐标为( )A.(-2,11)B.(C.(,3)D.(2,-7)7.设,a b是非零向量,若函数()()()f x x x=+-a b a b的图象是一条直线,则必有()A.⊥a b B.∥a b C.||||=a b D.||||≠a b8.已知D点与ABC三点构成平行四边形,且A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),则D点坐标为()A.(2,2)B.(4,6)C. (-6,0)D.(2,2)或(-6,0)或(4,6)9.在直角ABC∆中,CD是斜边AB上的高,则下列等式不成立的是(A)2AC AC AB=⋅(B)2BC BA BC=⋅(C)2AB AC CD=⋅(D)22()()AC AB BA BCCDAB⋅⨯⋅=10.设两个向量22(2,cos)aλλα=+-和(,sin),2mb mα=+其中,,mλα为实数.若2,a b=则mλ的取值范围是 ( ) A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]-10.已知P={a|a=(1,0)+m(0,1),m∈R},Q={b|b=(1,1)+n(-1,1),n∈R}是两个向量集合,则P∩Q等于()A.{(1,1)} B.{(-1,1)} C.{(1,0)} D.{(0,1)}二. 填空题:11.若向量a b,的夹角为60,1a b==,则()a a b-=.12.向量2411()(),,,a=b=.若向量()λ⊥b a+b,则实数λ的值是.13.向量a 、b=1,a 3-=3,则a +3 =14. 如图,在ABC ∆中,120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点,2,DC BD =则AD BC =__________.15.如图,在ABC △中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M N ,,若AB mAM =,AC nAN =,则m n +的值为.三. 解答题:16.设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果AB =e 1+e 2,=BC 2e 1+8e 2,CD =3(e 1-e 2) ⑴求证:A 、B 、D 共线; ⑵试确定实数k,使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线.17. 已知△ABC 中,A (2,4),B (-1,-2),C (4,3),BC 边上的高为AD .⑴求证:AB ⊥AC ;⑵求点D 与向量AD 的坐标.17.(10分)已知sin(α+π2)=-55,α∈(0,π).(1)求sin (α-π2)-cos (3π2+α)sin (π-α)+cos (3π+α)的值;(2)求cos(2α-3π4)的值.18.已知矩形相邻的两个顶点是A (-1,3),B (-2,4),若它的对角线交点在x 轴上,求另两个顶点的坐标.19. 已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、. (1)若5=c ,求sin ∠A 的值;(2)若∠A 是钝角,求c 的取值范围.20.已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<<.(1)若a b ⊥,求θ; (2)求a b +的最大值.21.设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =⋅+.(Ⅰ)求函数()f x 的最大值与最小正周期; (Ⅱ)求使不等式3()2f x ≥成立的x 的集合.22.(12分)已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),|a -b |=255. (1)求cos(α-β)的值; (2)若0<α<π2,-π2<β<0,且sin β=-513,求sin α.平面向量参考答案一、选择题:1-5:BABBC 6.A 7. A 【解析】222()()()(||||)f x x x x x =+-=-+-+a b a b a b a b a b ,若函数()f x 的图象是一条直线,即其二次项系数为0, ∴a b =0, ⇒⊥a b.8.D 9. C.【分析】: 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =⋅⇔⋅-=⇔⋅=,A 是正确的,同理B 也正确,对于D 答案可变形为2222CD AB AC BC ⋅=⋅,通过等积变换判断为正确.10. A 【分析】由22(2,cos )a λλα=+-,(,sin ),2m b m α=+2,a b =可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩,设k m λ=代入方程组可得22222cos 2sin km m k m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭,再化简得22422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+-= ⎪--⎝⎭再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因而11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A 10. A二、填空题: 11. 21【解析】()2211cos60122a a b a a b a a b -=-⋅=-⋅︒=-=。
第五章 §5.4 平面向量中的综合问题
一、单项选择题1.(2023·邢台模拟)在四边形ABCD 中,AC →=(1,2),BD →=(-4,2),则四边形ABCD 的面积S等于( ) A.52 B .5 C .10 D .20 2.已知△ABC 中,AB =AC =10,BC =12,点D 为AC 的中点,点M 为边BC 上一动点,则MD →·MC →的最小值为( )A .-32B .-74C .-94D .-54 3.(2023·绵阳模拟)已知圆C 的方程为(x -1)2+(y -1)2=2,点P 在直线y =x +3上,线段AB为圆C 的直径,则|P A →+PB →|的最小值为( )A.322B .3 2C .4 2D .3 4.(2023·上饶模拟)如图,AB 是圆O 的一条直径且AB =2,EF 是圆O 的一条弦,且EF =1,点P 在线段EF 上,则P A →·PB →的最小值是( )A.12 B .-14 C .-12 D .-345.(2024·沈阳模拟)已知单位向量a ,b ,若对任意实数x ,|x a +b |≥32恒成立,则向量a ,b 的夹角的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤π4,3π4B.⎣⎡⎦⎤π3,2π3C.⎣⎡⎦⎤π4,π2D.⎣⎡⎦⎤π3,π2 二、多项选择题6.设点D 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的有( )A .若AD →=12(AB →+AC →),则点D 是边BC 的中点B .若AD →=13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B +AC →|AC →|cos C ,则直线AD 过△ABC 的垂心 C .若AD →=2AB →-AC →,则点D 在边BC 的延长线上D .若AD →=xAB →+yAC →,且x +y =12,则△BCD 是△ABC 面积的一半 7.(2024·六安模拟)正方形ABCD 的边长为4,E 是BC 中点,如图,点P 是以AB 为直径的半圆上任意一点,AP →=λAD →+μAE →,则( )A .μ最大值为1B .λ最大值为2C.AP →·AD →最大值是8D.AP →·AE →最大值是8+4 5三、填空题8.已知向量a ,b ,|b |=2,|a -b |=1,则|a |的最大值为________.9.(2023·广州模拟)在△ABC 中,D 为AC 上一点且满足AD →=13DC →,若P 为BD 上一点,且满足AP →=λAB →+μAC →,λ,μ为正实数,则λμ的最大值为________.10.(2023·福州模拟)已知平面向量a ,b 满足a ·b =|a |=|b |=2,若e 为单位向量,则|a ·e +b ·e |的最大值为________.。
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一、选择题1.下列命题中正确的是 ( )→ → → A. OA - OB = AB → → B.AB +BA = 0→C .0·AB =0 → → → → D.AB + BC + CD = AD考点 向量的概念 题点 向量的性质 答案 D解析 起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量, → → → → →OA -OB = BA ;AB ,BA 是一对相反向量,它们的和应该为零向量,→ → →AB +BA = 0; 0·AB = 0.2.已知 A , B ,C 三点在一条直线上,且 A(3,- 6), B(- 5,2),若 C 点的横坐标为 6,则 C点的纵坐标为 ( )A .- 13B . 9C .- 9D . 13考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 已知三点共线求点的坐标 答案 C解析→→设 C 点坐标 (6, y),则 AB= ( -8,8), AC = (3, y + 6).3y + 6∵ A , B , C 三点共线, ∴ -8= 8 , ∴ y =- 9.3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 ABCD 是平行四边形, → →AB =(1,- 2),AD = (2,1) , → → 则 AD ·AC 等于 () A . 5 B . 4 C . 3 D . 2考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 A解析→ → →→ → ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AC = AB + AD = (1,- 2)+ (2,1) = (3,- 1),∴ AD ·AC= 2× 3+ (- 1)× 1= 5.4. (2017 ·宁大连庄河高中高一期中辽 )已知平面向量a = (1,- 3),b = (4,- 2) ,a + λb 与 a垂直,则λ等于 ( )A .- 2 B. 1C.- 1 D. 0考点向量平行与垂直的坐标表示的应用题点已知向量垂直求参数答案 C解析a+λb=(1+ 4λ,- 3- 2λ),因为 a+λb 与 a 垂直,所以 (a+λb) ·a=0,即 1+4λ- 3(- 3- 2λ)= 0,解得λ=- 1.5.若向量 a 与 b 的夹角为60°, |b|= 4,( a+2b) ·(a- 3b) =- 72,则向量 a 的模为 ()A . 2 B. 4C.6 D. 12考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点利用坐标求向量的模答案 C解析因为 a·b= |a| ·|b| ·cos 60 °= 2|a|,所以 (a+2b) ·(a-3b)=|a|2- 6|b|2-a·b=|a|2- 2|a|-96=- 72.所以 |a|= 6.6.定义运算 |a× b|= |a| ·|b| ·sin θ,其中θ是向量 a,b 的夹角.若 |x |= 2, |y|= 5, x·y=- 6,则|x× y|等于 ( )A . 8 B.- 8C.8 或- 8 D. 6考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案 A解析∵ |x|= 2, |y|=5, x·y=- 6,∴ cos θ=x·y -6=-3=|x| |y|· 2×5 5.4又θ∈ [0,π],∴ sin θ=5,∴|x×y|= |x| ·|y| ·sin θ= 2× 5×45=8.→→→7.如图所示,在△ ABC 中,AD = DB,AE= EC,CD 与 BE 交于点 F .设 AB= a,AC= b,AF =xa+ yb,则 (x, y)为 ()1, 1B. 2,2A. 2 2 3 31, 1D. 2, 1C. 3 3 3 2 考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数答案 C解析→→令 BF.由题可知,→→→→→AF= AB + BF= AB+λBE→ 1 →→→ 1 →= AB+λ2AC -AB =(1-λ)AB+2λAC.→→令 CF =μCD,→→→→→则 AF = AC+ CF = AC+μCD→ 1 →→ 1 →→= AC+μ2AB -AC =2μAB + (1-μ)AC.→→因为 AB 与 AC不共线,1 2所以1-λ=2μ,解得λ=3,1 22λ=1-μ,μ=3,→ 1 → 1 →所以 AF =3AB +3AC,故选 C.二、填空题8.若 |a|= 1, |b|= 2,a 与 b 的夹角为60°,若 (3a+ 5b)⊥ (ma- b),则 m 的值为 ________.考点平面向量数量积的应用题点已知向量夹角求参数23答案8解析由题意知 (3a+ 5b) ·(ma- b)= 3ma2+ (5m- 3)a·b-5b2= 0,即 3m+ (5m- 3)×2× cos 60 °23- 5× 4= 0,解得 m=8 .→→→9.若菱形 ABCD 的边长为2,则|AB-CB+CD|= ________.考点题点答案解析向量加、减法的综合运算及应用利用向量的加、减法化简向量2→→→→→→→→→|AB-CB+CD|= |AB+BC+CD |= |AC+CD |=|AD|=2.10.已知向量a, b 夹角为 45°,且 |a|= 1, |2a- b|=10,则 |b|= ________.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案3 2解析因为向量a, b 夹角为 45°,且|a|=1, |2a- b|= 10.所以4a2+ b2- 4a·b=10,化为 4+ |b|2- 4|b|cos 45 =°10,化为 |b|2- 22|b|- 6=0,因为 |b|≥ 0,解得 |b|= 3 2.11.已知 a 是平面内的单位向量,若向量 b 满足 b·(a- b) =0,则 |b|的取值范围是________.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案[0,1]解析b·(a- b)= a·b-|b|2= |a||b|cos θ- |b|2= 0,∴|b|= |a|cos θ= cos θ(θ为 a 与 b 的夹角,θ∈ 0,π2),∴0≤ |b|≤ 1.三、解答题→→12. (2017 四·川宜宾三中高一月考)如图,在△ OAB 中, P 为线段 AB 上一点,且 OP=xOA+→ yOB.→ →(1)若 AP = PB ,求 x , y 的值;→ → → →→ → → →(2)若 AP = 3PB , |OA|= 4, |OB|= 2,且 OA 与 OB 的夹角为 60°,求 OP ·AB 的值.考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 解→ → →1 → 1 →(1) 若 AP+ ,= PB ,则 OP =2OA 2OB1故 x = y = 2.→ →(2)若 AP = 3PB ,→→ + 3 → ,则 OP =14OA 4OB→ → 1 → + 3 → → →)= OA OB · - OA4 4(OB1 → 1 → →3 →=- 4OA 2 -2OA ·OB +4OB 2=- 1× 42- 1× 4× 2× cos 60 °+ 3× 224 24=- 3.→→θ, 2cos θ),其中 θ∈ 0, π→13.若 OA = (sin θ,- 1), OB = (2sin,求 |AB|的最大值.2 考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点 利用坐标求向量的模解 → → →θ+ 1), ∵AB =OB - OA = (sin θ, 2cos ∴→sin 2θ+ 4cos 2θ+ 4cos θ+ 1 |AB|== 3cos 2 θ+ 4cos θ+ 2=3 cos θ+ 2 2+ 2,33→∴ 当 cos θ= 1,即 θ= 0 时, |AB|取得最大值 3.四、探究与拓展→ → → → →14.在△ ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且 |BO|=3|CO|,当 AO = xAB + yAC 时, x -y= ________.考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 - 2解析 →→ →→,由 |BO|= 3|CO|,得 BO = 3CO→3 →则 BO = 2BC ,→→ →→ 3 → → 3 → →所以 AO = AB + BO = AB +2BC = AB + 2(AC - AB) 1 → 3 →=- 2AB +2AC .1 31 3所以 x =- 2, y =2,所以 x - y =- 2-2=- 2.→ → →15.已知 OA = (1,0) , OB = (0,1) , OM = (t , t)(t ∈ R ),O 是坐标原点. (1)若 A ,B , M 三点共线,求 t 的值;→ →(2)当 t 取何值时, MA ·MB 取到最小值?并求出最小值.考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数→ → →解(1)AB = OB - OA = (- 1,1),→ → →AM =OM - OA =( t - 1, t).→ →∵ A , B , M 三点共线, ∴ AB 与 AM 共线,1∴ - t - (t - 1)= 0, ∴t = .→→→ → 1 1 (2)∵ MA = (1-t ,- t),MB = (- t,1- t),∴MA ·MB = 2t 2- 2t = 2 t -22- ,故当21 → →t = 2时,MA ·MB1取得最小值- 2.。
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1.下列命题中正确的是( )
A.OA→-OB→=AB→
B.AB→+BA→=0
C.0·AB→=0
D.AB→+BC→+CD→=AD→
考点向量的概念
题点向量的性质
答案 D
解析起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量,OA→-OB→=BA→;AB→,BA→是一对相反向量,它们的和应该为零向量,AB→+BA→=0;0·AB→=0.
2.已知A,B,C三点在一条直线上,且A(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则C 点的纵坐标为( )
A.-13 B.9 C.-9 D.13
考点向量共线的坐标表示的应用
题点已知三点共线求点的坐标
答案 C
解析设C点坐标(6,y),则AB→=(-8,8),AC→=(3,y+6).
∵A,B,C三点共线,∴3
-8=
y+6
8
,∴y=-9.
3.在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB→=(1,-2),AD→=(2,1),则AD→·AC→等于( )
A.5 B.4 C.3 D.2
考点平面向量数量积的坐标表示与应用
题点坐标形式下的数量积运算
解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AC →=AB →+AD →=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),
∴AD →·AC →=2×3+(-1)×1=5.
4.(2017·庄河高中高一期中)已知平面向量a =(1,-3),b =(4,-2),a +λb 与a 垂直,则λ等于( )
A .-2
B .1
C .-1
D .0
考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点 已知向量垂直求参数
答案 C
解析 a +λb =(1+4λ,-3-2λ),
因为a +λb 与a 垂直,
所以(a +λb )·a =0,
即1+4λ-3(-3-2λ)=0,解得λ=-1.
5.若向量a 与b 的夹角为60°,|b |=4,(a +2b )·(a -3b )=-72,则向量a 的模为( )
A .2
B .4
C .6
D .12
考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点 利用坐标求向量的模
答案 C
解析 因为a ·b =|a |·|b |·cos 60°=2|a |,
所以(a +2b )·(a -3b )=|a |2-6|b |2-a ·b
=|a |2-2|a |-96=-72.
所以|a |=6.
6.定义运算|a ×b |=|a |·|b |·sin θ,其中θ是向量a ,b 的夹角.若|x |=2,|y |=5,x ·y =-
6,则|x ×y |等于( )
A .8
B .-8
C .8或-8
D .6
考点 平面向量数量积的概念与几何意义
题点 平面向量数量积的概念与几何意义
答案 A
解析 ∵|x |=2,|y |=5,x ·y =-6,
∴cos θ=x ·y |x|·|y|=-6
2×5
=-35. 又θ∈[0,π],∴sin θ=45
, ∴|x ×y |=|x |·|y |·sin θ=2×5×45
=8. 7.如图所示,在△ABC 中,AD =DB ,AE =EC ,CD 与BE 交于点F .设AB →=a ,AC →=b ,AF
→=x a +y b ,则(x ,y )为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12,12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23,23 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13,13 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23,12 考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数
答案 C
解析 令BF →=λBE →.
由题可知,AF →=AB →+BF →=AB →+λBE →
=AB →
+λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →-AB →=(1-λ)AB →+12λAC →. 令CF →=μCD →,
则AF →=AC →+CF →=AC →+μCD →
=AC →
+μ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →-AC →=12μAB →+(1-μ)AC →. 因为AB →与AC →不共线,
所以⎩
⎪⎨⎪⎧ 1-λ=12μ,12λ=1-μ,解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ=23,μ=23, 所以AF →=13AB →+13
AC →,故选C. 二、填空题
8.若|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为60°,若(3a +5b )⊥(m a -b ),则m 的值为________. 考点 平面向量数量积的应用
题点 已知向量夹角求参数
答案 238
解析 由题意知(3a +5b )·(m a -b )=3m a 2+(5m -3)a ·b -5b 2=0,即3m +(5m -
3)×2×cos 60°-5×4=0,解得m =238
. 9.若菱形ABCD 的边长为2,则||
AB →-CB →+CD →=________.
考点 向量加、减法的综合运算及应用
题点 利用向量的加、减法化简向量
答案 2
解析 ||AB
→-CB →+CD →=||AB →+BC →+CD →=||AC →+CD →=||AD →=2. 10.已知向量a ,b 夹角为45°,且|a |=1,|2a -b |=10,则|b |=________. 考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的模
答案 3 2
解析 因为向量a ,b 夹角为45°,
且|a |=1,|2a -b |=
10. 所以4a 2+b 2-4a ·b =
10, 化为4+|b |2-4|b |cos 45°=10,
化为|b |2-22|b |-6=0,
因为|b |≥0,解得|b |=3
2. 11.已知a 是平面的单位向量,若向量b 满足b ·(a -b )=0,则|b |的取值围是________. 考点 平面向量数量积的应用
题点 利用数量积求向量的模
答案 [0,1]
解析 b ·(a -b )=a ·b -|b |2=|a||b |cos θ-|b |2=0,
∴|b |=|a |cos θ=cos θ (θ为a 与b 的夹角,θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0,π2), ∴0≤|b |≤1.
三、解答题
12.(2017·三中高一月考)如图,在△OAB 中,P 为线段AB 上一点,且OP →=xOA →+yOB →.
(1)若AP →=PB →,求x ,y 的值;
(2)若AP →=3PB →,|OA →|=4,|OB →|=2,且OA →与OB →的夹角为60°,求OP →·AB →的值.
考点 平面向量数量积的概念与几何意义
题点 平面向量数量积的概念与几何意义
解 (1)若AP →=PB →,则OP →
=12OA →+12OB →, 故x =y =12
. (2)若AP →=3PB →,
则OP →
=14OA →+34OB →, OP →·AB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫14OA →+34OB →·()
OB →-OA → =-14OA →2-12OA →·OB →+34
OB →2 =-14×42-12×4×2×cos 60°+34
×22 =-3.
13.若OA →=(sin θ,-1),OB →
=(2sin θ,2cos θ),其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,求|AB →|的最大值. 考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点 利用坐标求向量的模
解 ∵AB →=OB →-OA →=(sin θ,2cos θ+1),
∴|AB →|=
sin 2θ+4cos 2θ+4cos θ+1 =
3cos 2θ+4cos θ+2 =3⎝
⎛⎭⎪⎫cos θ+232+23, ∴当cos θ=1,即θ=0时,|AB →|取得最大值3.
四、探究与拓展
14.在△ABC 中,点O 在线段BC 的延长线上,且|BO →|=3|CO →|,当AO →=xAB →+yAC →时,x
-y =________.
考点 向量共线定理及其应用
题点 利用向量共线定理求参数
答案 -2
解析 由|BO →|=3|CO →|,得BO →=3CO →,
则BO →
=32BC →, 所以AO →=AB →+BO →=AB →
+32BC →=AB →+32(AC →-AB →) =-12AB →+32
AC →. 所以x =-12,y =32,所以x -y =-12-32
=-2. 15.已知OA →=(1,0),OB →=(0,1),OM →=(t ,t )(t ∈R ),O 是坐标原点.
(1)若A ,B ,M 三点共线,求t 的值;
(2)当t 取何值时,MA →·MB →取到最小值?并求出最小值.
考点 向量共线的坐标表示的应用
题点 利用三点共线求参数
解 (1)AB →=OB →-OA →=(-1,1),
AM →=OM →-OA →=(t -1,t ).
∵A ,B ,M 三点共线,∴AB →与AM →共线,
∴-t -(t -1)=0,∴t =12.。