19估计量的评选标准

X
n
)
服从参数为 的指数分布,
n
概率密度
fmin ( x; )
n
e
nx
,
0,
x 0, 其他.
故知 E(Z ) ,
n
E(nZ ) ,
所以 nZ 也是 的无偏估计量.
由以上两例可知,一个参数可以有不同的无 偏估计量.
可得矩估计量 aˆ X
3 n
n i1
(Xi
X
)2
, bˆ
X
3 n
n i1
(Xi
X )2
最大似然估计量：
aˆ
min
1in
Xi
,
bˆ
max
1in
X
i
.
二、无偏性
若 X1, X2 ,, Xn 为总体 X 的一个样本，
是包含在总体X 的分布中的待估参数, ( 是 的取值范围)
若估计量ˆ ( X1, X2 ,, Xn ) 的数学期望 E(ˆ) 存在, 且对于任意 有 E(ˆ) , 则称 ˆ 是 的无偏估计量.
《概率论与数理统计》 第十九课：估计量的评选标准
19 估计量的评选标准
问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么?
下面介绍几个常用标准.
例1 设总体 X 在 [a,b] 上服从均匀分布,其中 a,
b 未知, (X1, X 2, , X n ) 是来自总体X的样本,求a, b 的估计量.
无偏估计的实际意义: 无系统误差.
例2 设总体 X 的k 阶矩 k E( X k ) (k 1)存在,
又设 X1, X2 ,, Xn 是 X 的一个样本，试证明不论
总体服从什么分布,
k 阶样本矩 Ak
1 n
n i 1
X
k i
是k
阶总体矩 k 的无偏估计.
证 因为 X1, X2 ,, Xn 与 X 同分布，
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(
x;
)
1
x
e
,
0,
x 0, 其他.
其中参数 0, 又设 X1, X2,, Xn 是来自总体X 的
样本, 试证 X 和nZ n[min(X1, X2 ,, Xn )] 都是
的无偏估计.
证明 因为 E( X ) E( X ) ,
所以 X 是 的无偏估计量.
而
Z
min(
X1,
X2 ,,
故有
E
(
X
k i
)
E(X
k
)
k
,
i 1,2,,n.
即
E( Ak
)
1 n
n i 1
E(
X
k i
)
k
.
故 k 阶样本矩 Ak 是 k 阶总体矩 k 的无偏估计.
特别的: 不论总体 X 服从什么分布, 只要它的数学期望存在,
X 总是总体 X 的数学期望1 E( X )的无偏
估计量.
例3 设总体 X 服从参数为 的指数分布, 概率密度