2019中考数学知识点-函数及其相关概念

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初三函数全部知识点总结

初三函数全部知识点总结一、函数的概念1. 函数的定义函数是一种对应关系，它把一个自变量的值对应到一个因变量的值上。

一般地，函数f(x)可以表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。

2. 自变量与因变量自变量是函数中独立变化的变量，通常用x表示；因变量是根据自变量的取值而定的变量，通常用y表示。

3. 定义域和值域定义域是自变量的所有可能取值的集合；值域是因变量的所有可能取值的集合。

4. 函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的点的集合。

二、函数的表示方法1. 用一个通项公式表示函数函数f(x)有时可以用一个表达式y=f(x)表示。

2. 用函数的图像表示函数函数的图像是函数在平面直角坐标系中的点的集合。

三、常见函数及其性质1. 线性函数线性函数是具有形式y=kx的函数，其中k为常数。

2. 幂函数幂函数是具有形式y=ax^n的函数，其中a和n为常数。

3. 指数函数指数函数是具有形式y=a^x的函数，其中a为正数且不等于1。

4. 对数函数对数函数是指数函数的逆运算。

5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

四、函数的性质1. 奇偶性如果对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。

2. 增减性如果函数f(x)在区间(a,b)上有f'(x)>0，那么f(x)在区间(a,b)上是增函数；如果函数f(x)在区间(a,b)上有f'(x)<0，那么f(x)在区间(a,b)上是减函数。

3. 最值和零点函数在定义域内可能有最大值、最小值和零点。

4. 对称性有关函数的图像可能有关于y轴对称、关于x轴对称、或者关于原点对称的性质。

五、函数的运算1. 基本函数的运算加减乘除四则运算和复合运算。

2. 复合函数复合函数是一个函数作为另一个函数的自变量而得到的函数。

3. 函数的反函数函数的反函数是满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的函数。

初中数学函数基本概念总结

初中数学函数基本概念总结函数是数学中的重要概念之一，它在解决实际问题以及进行数学推理中具有重要作用。

初中阶段是学习函数的关键时期，因此掌握函数的基本概念是非常重要的。

本文将对初中数学函数的基本概念进行总结。

一、函数的定义与符号表示函数是一种特殊的关系，它把一个集合中的每个元素都对应于另一个集合中唯一确定的元素。

函数通常用符号f(x)或y来表示，其中x是自变量，y是因变量。

函数可以用集合的形式表示为f={(x,y)|x∈A，y=f(x)}，其中A是自变量的定义域。

二、函数的图象函数的图象是函数在平面直角坐标系中的几何表示。

对于一元函数，图象是在二维平面上的曲线。

对于二元函数，图象则是在三维空间中的曲面。

函数的图象可以通过描点法或者绘制函数的坐标轴上的象限来求得。

三、函数的性质与分类1. 奇偶性：如果对于任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则函数称为奇函数；如果对于任意x∈D，都有f(-x)=f(x)，则函数称为偶函数；如果既不是奇函数也不是偶函数，则函数称为既非奇函数也非偶函数。

2. 单调性：如果对于任意x1<x2，都有f(x1)≤f(x2)，则函数在区间[x1,x2]上是增函数；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)≥f(x2)，则函数在区间[x1,x2]上是减函数。

如果在一个区间上既有增函数又有减函数，则函数在该区间上是非单调的。

3. 周期性：如果存在常数T>0，使得对于任意x∈D，有f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数，T称为函数的周期。

4. 指数函数、对数函数与幂函数：指数函数是以底为常数的幂的形式定义的函数，而对数函数则是指数函数的逆函数。

幂函数是以底为变量的幂的形式定义的函数。

四、函数的运算与复合1. 函数的加减运算：如果对于任意x∈D，有(f+g)(x)=f(x)+g(x)，则函数f+g是函数f和函数g的和函数。

类似地，可以定义函数的差。

2. 函数的乘法运算：如果对于任意x∈D，有(fg)(x)=f(x)g(x)，则函数fg是函数f和函数g的乘积函数。

(完整版)初中数学函数知识点归纳

初中数学函数板块的知识点总结与归类学习方法初中数学知识大纲中，函数知识占了很大的知识体系比例，学好了函数，掌握了函数的基本性质及其应用，真正精通了函数的每一个模块知识，会做每一类函数题型，就读于中考中数学成功了一大半，数学成绩自然上高峰，同时，函数的思想是学好其他理科类学科的基础。

初中数学从性质上分，可以分为：一次函数、反比例函数、二次函数和锐角三角函数，下面介绍各类函数的定义、基本性质、函数图象及函数应用思维方式方法。

一、一次函数1. 定义：在定义中应注意的问题y ＝kx ＋b 中，k 、b 为常数，且k ≠0，x 的指数一定为1。

2. 图象及其性质（1）形状、直线（）时，随的增大而增大，直线一定过一、三象限时，随的增大而减小，直线一定过二、四象限200k y x k y x ><⎧⎨⎪⎩⎪（）若直线：：3111222l y k x b l y k x b =+=+当时，；当时，与交于，点。

k k l l b b b l l b 121212120===//()（4）当b>0时直线与y 轴交于原点上方；当b<0时，直线与y 轴交于原点的下方。

（5）当b=0时，y ＝kx （k ≠0）为正比例函数，其图象是一过原点的直线。

（6）二元一次方程组与一次函数的关系：两一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。

3. 应用：要点是（1）会通过图象得信息；（2）能根据题目中所给的信息写出表达式。

（二）反比例函数 1. 定义：应注意的问题：中（）是不为的常数；（）的指数一定为“”y kxk x =-1021 2. 图象及其性质：（1）形状：双曲线（）对称性：是中心对称图形，对称中心是原点是轴对称图形，对称轴是直线和212()()y x y x==-⎧⎨⎪⎩⎪（）时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内随的增大而减小时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内随的增大而增大300k y x k y x ><⎧⎨⎪⎩⎪（4）过图象上任一点作x 轴与y 轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。

函数的概念知识点总结

函数的概念知识点总结本节主要知识点（1）函数的概念.（2）函数的三要素与函数相等.（3）区间的概念及其表示.知识点一函数的概念初中学习的函数的传统定义一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对应,我们就说x 是自变量,y 是因变量,此时也称y 是x 的函数. 函数的近代定义设A , B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应,那么就称f :B A →为从集合A 到集合B 的一个函数,记作)(x f y =,A x ∈.其中,x 叫作自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫作函数值,函数值的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集.对函数的近代定义的理解（1）只有两个非空的数集之间才可能建立函数关系.定义域或值域为空集的函数是不存在的.如x x y --=11就不是函数.（2）注意函数定义中的“三性”:任意性、存在性和唯一性.任意性:集合A 中的任意一个元素x 都要考虑到.存在性:集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都存在对应元素y .唯一性:在集合B 中,与每一个元素x 对应的元素y 是唯一的.（3）集合B 不一定是函数的值域,值域是集合B 的子集.在集合B 中,可以存在元素在集合A 中没有与之对应者.例1. 讨论二次函数的定义域和值域.解:二次函数的一般式为()02≠++=a c bx ax y ,为整式函数,所以其定义域为R ,其值域的确定分为两种情况:①当0>a 时,函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 442; ②当0<a 时,函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 442. 注意:上面讨论二次函数值域的结果是定义在实数集R 上的,若二次函数的定义域是R 的子集,则其值域的确定要结合二次函数的性质和图象的简图来确定.经过后面的学习可以知道,求函数的值域前要先确定函数的定义域.知识点二函数的三要素函数的三要素分别是定义域、对应关系和值域.在函数的三要素中,只要定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了. 定义域使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x 的取值范围.确定函数定义域时,要从两个方面考虑:（1）使函数解析式有意义;（2）符合客观实际.对应关系用f 表示,对应关系又叫对应法则,它是函数的本质特征,是沟通定义域和值域的桥梁.对应关系的作用相当于对自变量x 施以某种运算,类似于程序的作用.值域在函数的定义域内,所有对应的函数值的集合,叫做函数的值域.例2. 讨论反比例函数()0≠=k x k y 的定义域和值域. 解:反比例函数()0≠=k xk y 的定义域为{}0≠x x ,值域为{}0≠y y . ()()A a a f ∈与()x f 的区别与联系)(a f 表示当a x =时()x f 的函数值,是其值域内的一个值,它表示的是常量;)(x f表示自变量为x 的函数,它表示的是变量.如x x f 2)(=表示的是一个函数,()63=f 是它的一个函数值,是常量.知识点三具体函数的定义域的确定方法所谓具体函数,指的是给出解析式的函数,与之相对的是抽象函数.根据函数解析式的特点来确定函数的定义域:（1）如果函数解析式是整式,则函数的定义域是全体实数,即R .（2）如果函数解析式中含有分式,则函数的定义域是使分式的分母不等于零的实数集;（3）如果函数解析式中含有二次根式,则函数的定义域是使二次根式的被开方数为非负数的实数集;（4）如果函数解析式中含有零指数幂或负整指数幂,则函数的定义域是使底数不等于零的实数集.（5）如果函数解析式含有上述两种或两种以上的结构特点,则函数的定义域是使每一部分有意义的实数集的交集.（6）如果函数解析式是由实际问题得到的,则函数的定义域还要符合客观实际.知识点四函数的相等只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数. 对函数的相等理解时要注意:（1）当一个函数的定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了,所以当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,两个函数才相等,即表示同一个函数.（2）定义域和对应关系二者中只要有一个不相同,两个函数就不相等.（3）定义域和值域分别相同的两个函数,不一定相等.如函数2)(-=x x f 与函数x x f 2)(=的定义域都是R ,值域都是R ,但它们表示的不是同一个函数,两个函数不相等.（4）因为函数是两个非空数集之间的对应关系,所以与用什么字母表示自变量,用什么字母表示因变量没有关系.如函数1)(2+=x x f 与函数1)(2+=t t f 表示的就是同一个函数.（5）对)(x f 中x 的理解:如果两个函数解析式的右边相同,但f 施加关系的对象不同,两个函数也不相等.如函数2)(x x f =和函数2)1(x x f =-表示的就不是同一个函数.例3. 下列各组函数表示同一函数的是【】（A ）x x f =)(,()2)(x x g = （B ）1)(2+=x x f ,()12+=t t g（C ）1)(=x f ,xx x g =)( （D ）x x f =)(,()x x g =分析:这是判断两个函数相等的问题.只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数.所以,当两个函数的定义域和对应关系二者中只要有一个不相同,两个函数就不相等.解:（A ）选项中,函数x x f =)(的定义域为R ,函数()2)(x x g =的定义域为{}0≥x x ,它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数;（B ）选项中,两个函数的定义域和对应关系都相同,所以它们是同一函数,与用哪个字母表示自变量没有关系;（C ）选项中,函数1)(=x f 为常数函数,其图象为一条平行于x 轴的直线,其定义域为R ,函数xx x g =)(的定义域为{}0≠x x ,它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数;（D ）选项中,函数x x f =)(与函数()x x g =的定义域均为R ,但二者的对应关系不相同,它们不是同一函数.选择【 B 】.例4. 求下列函数的定义域:（1）2322---=x x x y ; （2）x x y -⋅-=11; （3）x y --=113; （4）2253x x y -+-=.分析:例4给出的三个函数均为具体函数,求具体函数的定义域的方法是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合,要表示成集合的形式或区间的形式.解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧≠--≥-023202x x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧-≠≠≤2120x x x 且,解之得:x ≤0且21-≠x . ∴函数2322---=x x x y 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧-≠≤210x x x 且; （2）由题意可知:⎩⎨⎧≥-≥-0101x x ,解之得:1=x . ∴函数x x y -⋅-=11的定义域为{}1=x x ;（3）由题意可知:⎩⎨⎧≠--≥-01101x x ,即⎩⎨⎧≠≤01x x ,解之得:x ≤1且0≠x . ∴函数x y --=113的定义域为{}01≠≤x x x 且;（4）由题意可知:⎩⎨⎧≥-≥-050322x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≥5533x x x 或解之得:5-≤x ≤3-或3≤x ≤5. ∴函数2253x x y -+-=的定义域为{}5335≤≤-≤≤-x x x 或. 注意: （1）函数的定义域要表示成集合或区间的形式.（2）若函数的解析式为综合型,则定义域为解析式各部分有意义的交集.若交集在数轴上表示有两部分,则这两部分之间用“或”字.知识点五区间的概念及其表示设b a ,是两个实数,且b a <,规定:（1）满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合,叫做闭区间,表示为[]b a ,;（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合,叫做开区间,表示为()b a ,;（3）满足不等式a ≤x b <或x a <≤b 的实数x 的集合,叫做半开半闭区间,分别表示为)[b a ,,](b a ,.这里的实数b a ,叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时,包含端点的那一端用中括号表示,不包含端点的那一端用小括号表示.区间的数轴表示（几何表示）实数集R 可以用区间表示为()+∞∞-,.“∞”读作“无穷大”,“∞-”读作“负无穷大”,“∞+”读作“正无穷大”.把满足不等式a x >,x ≥a ,b x <,x ≤b 的实数x 的集合,分别表示为()+∞,a ,)[∞+,a ,()b ,∞-,](b ,∞-.对区间的概念及其表示的理解:（1）区间用来表示连续的数集,并不是所有的集合都可以用区间来表示,如集合{}3,2,1就不能用区间来表示.（2）区间的左端点必须小于右端点.（3）区间符号里的两个字母或数字之间用“,”隔开.（4）在将连续的数集表示为区间时,包含端点的用中括号表示,不包含端点的,用小括号表示.（5）在用数字表示区间时,包含端点的,画成实心点,不包含端点的,画成空心点.（6）若a 为区间的左端点,b 为区间的右端点,则把a b -叫做区间的长度.区间的长度必须大于0.（因为a b >）（7）连续的数集既可以用集合表示,也可以用区间来表示.例5. 函数513)(-+-=x x x f 的定义域是【】（A ）)[∞+,3 （B ）)()[+∞,44,3（C ）()+∞,3 （D ）)[4,3分析:不等式（组）的解集为连续的数集时,既可以用集合表示,也可以用区间来表示.在用区间表示数集时,一定要弄清是否包含端点,包含端点的用中括号表示,不包含端点的,用小括号表示.解:由题意可知:⎩⎨⎧≠-+≥-05103x x ,即⎩⎨⎧-≠≠≥643x x x 且,解之得:x ≥3且4≠x . ∴函数513)(-+-=x x x f 的定义域用集合表示为{}43≠≥x x x 且,用区间表示为)()[+∞,44,3 .选择【 B 】.知识点六复合函数与抽象函数复合函数的概念如果y 是u 的函数,记为)(u f y =,u 又是x 的函数,记为)(x g u =,且)(x g 的值域与)(u f 的定义域的交集非空,那么y 通过u 的联系也是自变量x 的函数,我们称y 为x 的复合函数,记为))((x g f y =.其中u 叫做中间变量,)(x g u =叫做内层函数, )(u f y =叫做外层函数.对复合函数概念的理解由复合函数的定义可知,内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集,外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域.例6. 下列函数中,是复合函数的是【】（A ）32)(x x x f += （B ）1)(+=x x f（C ）x x f =)( （D ）xx f 2)(= 分析:判断一个函数是不是复合函数,就是看它是否是两个函数复合而成的. 解:函数1)(+=x x f 是由函数u y =和1+=x u 两个函数复合而成的,是复合函数.选择【 B 】.抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数,叫做抽象函数.知识点七求抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域,要明确以下几点:（1）函数)(x f 的定义域是自变量x 的范围.（2）函数))((x g f 的定义域是自变量x 的范围,而不是)(x g 的范围.（3）)(x f 、))((x g f 两个函数中,x 、)(x g 在对应关系f 下的范围相同. 求抽象函数或复合函数定义域的方法（1）已知)(x f 的定义域为A ,求))((x g f 的定义域,其实质是)(x g 的取值范围为A ,求x 的取值范围;（2）已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域,其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ,求)(x g 的范围（值域）,此范围就是)(x f 的定义域.（3）已知))((x g f 的定义域,求))((x h f 的定义域,要先按（2）求出)(x f 的定义域. 例7. 已知函数xx x f 3)(+=,则函数)1(-x f 的定义域为【】（A ）{}1,4-≠-≥x x x 且（B ）{}1,2≠-≥x x x 且（C ）{}0,2≠-≥x x x 且（D ）{}1,4≠-≥x x x 且分析:本题需要根据具体函数)(x f 的解析式,先求出函数)(x f 的定义域,然后再确定抽象函数)1(-x f 的定义域:函数)(x f 中自变量x 的取值范围与()1-x 的范围相同,从而列出关于x 的不等式（组）,解集即为函数)1(-x f 的定义域. 解:∵函数xx x f 3)(+= ∴⎩⎨⎧≠≥+003x x ,解之得:x ≥3-且0≠x . ∴函数xx x f 3)(+=的定义域为{}03≠-≥x x x 且. 对于函数)1(-x f ,则有:⎩⎨⎧≠--≥-0131x x ,解之得:x ≥2-且1≠x . ∴函数)1(-x f 的定义域为{}1,2≠-≥x x x 且.选择【 B 】.例8. 已知()12-x f 的定义域为[]3,0,则)(x f 的定义域为_________. 分析:函数()12-x f 的定义域为[]3,0,指的是x 的取值范围是[]3,0,而不是()12-x 的范围.先根据[]3,0∈x ,求出()12-x 的范围,此范围即为函数)(x f 的定义域. 解:∵()12-x f 的定义域为[]3,0∴0≤x ≤3,根据二次函数的知识可得:1-≤12-x ≤8∴)(x f 的定义域为[]8,1-.例9. 若函数()1+x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21,则函数()1-x f 的定义域为__________. 分析:本题为已知已知))((x g f 的定义域,求))((x h f 的定义域,要先确定)(x f 的定义域.解:∵函数()1+x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21 ∴21-≤x ≤2,∴121+-≤1+x ≤12+ ∴21≤x ≤3 ∴函数)(x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21. 对于函数()1-x f ,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-31211x x ,解之得:23≤x ≤4 ∴函数()1-x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,23. 知识点八求函数的函数值（1）若函数为具体函数,把自变量的值代入函数解析式即可求得对应额函数值;（2）求抽象函数的函数值,常采用赋值法求求解.例10. 已知xx f +=11)(()1-≠x ,2)(2+=x x g . （1）求)2(f 和()2g ;（2）求()()2f g ,())(x g f ;（3）若()4)(1=x g f ,求x . 分析:函数的本质是对应关系f ,()f 表示的是对括号里的内容施以某种运算.计算())(a f f 的值时,应从内到外依次计算.解:（1）31211)2(=+=f ,()62222=+=g ; （2）()()9192313122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g f g ()31211)(11)(22+=++=+==x x x g x g f ;（3）∵()4)(1=x g f∴43112=+x ,432=+x ,解之得:1±=x . 例11. 已知函数()x f 对任意实数b a ,,都有()()()b f a f ab f +=成立. （1）求()0f ,()1f 的值;（2）若()()q f p f ==3,2（q p ,为常数）,求()36f 的值. 解:（1）∵函数()x f 对任意实数b a ,,都有()()()b f a f ab f += ∴令0==b a ,则有:()()()000f f f += ∴()00=f .令0,1==b a ,则有:()()()010f f f += ∴()01=f .（2）∵()()q f p f ==3,2∴()()()()()p f f f f f 22222224==+=⨯=()()()()()q f f f f f 23233339==+=⨯=∴()()()()q p f f f f 22949436+=+=⨯=.例12. 已知函数()x f 的定义域为()+∞,0,对任意正实数y x ,都有()()()y f x f xy f +=,且()24=f ,则()=2f_________.解:∵()()()y f x f xy f +=,且()24=f∴令2==y x ,则有:()()()()222224=+=⨯=f f f f ,∴()12=f . 令2==y x ,则有:()()()()122222=+=⨯=f ff f∴()212=f.知识点九求函数的值域求函数值域的方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法、图象法、判别式法、反表示法等.方法1 观察法通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域. 如函数211xy +=,因为12+x ≥1,所以y <0≤1,即该函数的值域为{}10≤<y y .方法2 配方法常用于求二次函数的值域.通过配方把二次函数化为顶点式,结合函数的定义域来求函数值域的一种方法.注意:在求函数的值域时,要先确定函数的定义域. 方法3 分离常数法形如bax dcx y ++=的函数常用分离常数法求值域.分离过程为: ()b ax a bc d a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx y +-+=+-++=++= ∵0≠+-b ax a bcd ,∴a c y ≠ 所以函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠a c y y .方法4 换元法形如d cx b ax y +++=()0≠a 的函数常用换元法求值域.具体做法是:先令d cx t +=（t ≥0）,用t 表示出x ,并标明t 的取值范围,并代入函数解析式,将y 表示成关于t 的二次函数,最后用配方法求出值域.用换元法求函数的值域时,注意换元后要标明新元的取值范围.方法5 图象法有些函数的图象比较容易画出,可以通过其图象得出函数的值域.方法6 判别式法形如fex dx cbx ax y ++++=22（d a ,中至少有一个不为0）的函数常用判别式法求值域.具体做法是:先把函数转化为关于x 的一元二次方程,然后通过方程有实数根,判别式∆≥0,求出y 的取值范围,即为原函数的值域.（注意对二次项系数的讨论）.方法7 反表示法根据函数解析式用y 表示出x ,根据原函数中x 的取值范围列出关于y 的不等式,不等式的解集即为原函数的值域. 例13. 求函数1-=x y 的值域. 分析:采用观察法求其值域. 解:∵x ≥0（x ≥0） ∴1-x ≥1-∴函数1-=x y 的值域为)[∞+-,1.例14. 求函数322+-=x x y 的值域,其中)[3,0∈x .分析:求二次函数的值域常用配方法.通过配方把函数的一般式转化为顶点式,根据自变量的取值范围并结合二次函数图象的简图求解. 解:∵()213222+-=+-=x x x y∴函数图象的顶点坐标为( 1 , 2 ) ∵)[3,0∈x ,1)[3,0∈ ∴函数的最小值为2.∵()()633233,303=+⨯-==f f∴函数的值域为)[6,2. 例15. 求函数312-+=x x y 的值域. 分析:求形如bax dcx y ++=的函数的值域,常用分离常数法.解:()3723732312-+=-+-=-+=x x x x x y∵037≠-x ,∴2≠y ∴函数312-+=x x y 的值域为()()+∞∞-,22, .例16. 函数12++=x x y 的值域为__________.分析:形如d cx b ax y +++=()0≠a 的函数常用换元法求值域. 解:令12+=x t ,则t ≥0∴212-=t x∴()1121211222-+=+-=++=t t t x x y ∵t ≥0,01<- ∴y 随t 的增大而增大 ∴当0=t 时,21min -=y ,无最大值.∴y ≥21-. ∴函数12++=x x y 的值域为)⎢⎣⎡∞+-,21.注意:用换元法求函数的值域时,必须要根据已知函数的定义域求新元的取值范围,例17. 求下列函数的值域:（1）123422--+-=x x x x y ;（2）3274222++-+=x x x x y . 分析:对于形如fex dx cbx ax y ++++=22（d a ,中至少有一个不为0）的函数,若分子、分母能进行因式分解并化简,在化简后再求其值域;若不能化简,常用判别式法求其值域.要求会用十字相乘法分解二次三项式.解:方法一（分离常数法）:∵123422--+-=x x x x y∴()()()()()()1227211227122112312131+-=+-+=+-=+---=x x x x x x x x x y （1≠x 且21-≠x ）. ∵()01227≠+x ,∴21≠y当1=x 时,3211231-=+⨯-=y∴函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2121,3232, .方法二（反表示法）:由上面的方法得到:123+-=x x y （1≠x ） ∴y y x 213-+=（21≠y ） ∵1≠x ,∴1213≠-+y y ,解之得:32-≠y ∴函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2121,3232, .（2）∵3274222++-+=x x x x y∴整理得:()()0732222=++-+-y x y x y . 当2=y 时,0723≠+⨯,不符合题意,舍去;当2≠y 时,∵函数3274222++-+=x x x x y 的定义域为R∴()[]()()2734222-+--=∆y y y ≥0,解之得:29-≤y ≤2. 综上,函数的值域为)⎢⎣⎡-2,29.例18. 已知函数41)(xx x f -+=,求函数)(x f 的值域. 分析:先把函数解析式里面的绝对值去掉,化为分段函数的形式,然后画出函数的图象,由图象得出函数的值域.解:∵41)(xx x f -+= ∴()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=021101)(x x x x f ,其图象如图所示.由图象可知,函数的只有为](1,∞-.例19. 求函数122+--=x x xx y 的值域.解:方法一（配方法）:∵122+--=x x xx y∴4321111111112222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+--=+--+-=x x x x x x x y ∵43212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ≥43,∴4321102+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<x ≤34∴31-≤14321112<+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x ∴函数的值域为)⎢⎣⎡-1,31.方法二（判别式法）:∵122+--=x x xx y∴x x y xy y x -=+-22,整理得:()()0112=+-+-y x y x y∵函数122+--=x x xx y 的定义域为R∴关于x 的方程()()0112=+-+-y x y x y 有实数根.当1=y 时,01≠,不符合题意,舍去;当1≠y 时,有()()1412---=∆y y y ≥0,解之得:31-≤y ≤1综上,31-≤1<y∴函数的值域为)⎢⎣⎡-1,31.★例20. 已知)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83,试求())(21)(x f x f x F -+=的值域.解:∵)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83∴83≤)(x f ≤94,∴98-≤)(2x f -≤43-,∴91≤1)(2x f -≤41 ∴31≤)(21x f -≤21. 令)(21x f t -=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31t ,∴()212t x f -=∴()()112121)(22+--=+-==t t t t F x F . ∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31t ,∴)(t F 随着t 的增大而增大.∴当31=t 时,()971131212min =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=t F当21=t 时,()871121212max =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=t F ∴)(t F 的值域即()x F 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡87,97.。

初三数学函数知识点归纳

初三数学函数知识点归纳一、函数的概念1. 定义在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数。

2. 函数的表示方法解析法：用数学式子表示两个变量之间的函数关系，如。

列表法：通过列出自变量与函数的对应值来表示函数关系，例如，在研究正方形面积与边长的关系时，可列出时，；时，等表格。

图象法：用图象来表示函数关系，如一次函数的图象是一条直线。

二、一次函数1. 定义形如是常数，的函数叫做一次函数。

当时，叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

2. 一次函数的图象与性质图象：一次函数的图象是一条直线，叫做直线在轴上的截距。

当，时，图象经过一、二、三象限；当，时，图象经过一、三、四象限；当，时，图象经过一、二、四象限；当，时，图象经过二、三、四象限。

性质当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小。

3. 一次函数的解析式的确定通常采用待定系数法，设出函数解析式，根据已知条件列出关于、的方程组，解方程组求出、的值，从而确定函数解析式。

三、反比例函数1. 定义形如为常数，的函数叫做反比例函数。

2. 反比例函数的图象与性质图象：反比例函数的图象是双曲线。

当时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小；当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大。

反比例函数图象关于原点对称，它的对称轴是直线和。

3. 反比例函数解析式的确定同样采用待定系数法，设，把已知点的坐标代入求出的值即可确定解析式。

四、二次函数1. 定义形如是常数，的函数叫做二次函数。

2. 二次函数的图象与性质图象：二次函数的图象是一条抛物线。

顶点坐标：。

对称轴：直线。

性质当时，抛物线开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大，函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，函数有最大值。

函数初高中总结知识点

函数初高中总结知识点一、初中阶段的函数知识点总结1. 函数的概念函数是一种对应关系，它将每一个自变量的取值都对应唯一的一个因变量的取值。

数学上通常用字母来表示一个函数，比如y=f(x)。

其中y是因变量，x是自变量，f(x)表示函数关系的表达式。

2. 函数的性质（1）定义域和值域函数的定义域是所有可能的自变量值的集合，值域是所有可能的因变量值的集合。

在初中阶段，我们通常研究的是一元函数，也就是函数的自变量只有一个。

（2）奇函数和偶函数当函数f(x)满足f(-x)=-f(x)时，称函数f(x)为奇函数；当函数f(x)满足f(-x)=f(x)时，称函数f(x)为偶函数。

奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y轴对称。

（3）单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。

如果对于定义域上的任意两个不同的自变量值x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在定义域上是递增的；如果对于定义域上的任意两个不同的自变量值x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在定义域上是递减的。

3. 函数的图像初中阶段，我们接触到的函数的图像，一般是一元一次函数、一元二次函数和一元绝对值函数的图像。

一元一次函数的图像是一条直线；一元二次函数的图像是一个抛物线；一元绝对值函数的图像是一个V形。

以上就是初中阶段的函数知识点总结，接下来我们来看一下高中阶段的函数知识点。

二、高中阶段的函数知识点总结1. 函数的概念在高中阶段，我们将学习更多种类的函数，如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

这些函数都是我们在高中数学中要重点学习的内容。

2. 函数的性质（1）函数的奇偶性除了初中阶段学习的奇函数和偶函数外，高中阶段还要学习更多类型的奇偶函数，如正弦函数、余弦函数等。

这些函数的奇偶性对于函数的图像和性质具有很大的影响。

（2）周期性在高中阶段，我们还要学习到周期函数的性质。

初中函数知识点总结非常全

初中函数知识点总结非常全初中函数知识点总结一、函数的概念：函数是一种特殊的关系，它将自变量的取值与因变量的取值进行对应关系，用数学符号表示为y=f(x)。

二、函数的定义域和值域：1.定义域是指函数中自变量的取值范围，表示为{x，x满足其中一种条件}。

2.值域是指函数中因变量的取值范围，表示为{y，y满足其中一种条件}。

三、函数的图像表示：函数的图像是由函数的所有点(x,f(x))在坐标系中所组成的图形。

四、函数的分类：1. 一次函数：f(x) = kx + b，k和b是常数，k称为斜率，b称为截距。

-斜率k表示函数图像在x轴方向的倾斜程度，正数表示上升，负数表示下降。

-截距b表示函数图像与y轴的交点在y轴上的坐标。

2. 二次函数：f(x) = ax² + bx + c，a、b、c是常数，且a≠0。

-a决定了二次函数的开口方向，正数表示开口向上，负数表示开口向下。

-函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

3.反比例函数：f(x)=k/x，k是常数，且k≠0。

-函数图像的特点是经过原点(0,0)并且没有定义域为0的取值。

4.幂函数：f(x)=xⁿ，n是常数，且n≠0。

-当n>0时，函数的图像自左下方向右上方增长。

-当n<0时，函数的图像自左上方向右下方增长。

五、函数的特性：1.奇偶性：-函数f(x)为奇函数，当且仅当f(-x)=-f(x)。

-函数f(x)为偶函数，当且仅当f(-x)=f(x)。

-一次函数和绝对值函数是奇函数，二次函数和指数函数是偶函数。

2.单调性：-函数f(x)在区间I上单调增加，当且仅当对于任意的x₁和x₂，若x₁<x₂，则f(x₁)<f(x₂)。

-函数f(x)在区间I上单调减少，当且仅当对于任意的x₁和x₂，若x₁<x₂，则f(x₁)>f(x₂)。

3.极值和最值：-极大值：若f(x)在特定点x₀处取得最大值f(x₀)，则称f(x₀)为函数f(x)在区间I上的极大值。

初中数学知识归纳函数的概念和性质的归纳

初中数学知识归纳函数的概念和性质的归纳初中数学知识归纳：函数的概念和性质函数在数学中占据着重要的地位，它是数学中最基本的概念之一。

通过对函数的学习，我们可以更好地理解和应用各类数学知识。

本文将对函数的概念和性质进行归纳，帮助初中生更好地掌握这一内容。

一、函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素和另一个集合中的唯一元素相对应。

这里，我们通常将前一个集合称为自变量的定义域，后一个集合称为函数值的值域。

函数用符号f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为对应的函数值。

1. 定义域和值域函数的定义域是指所有自变量可能的取值范围，而值域是指函数所有可能的函数值。

在解决函数题目时，我们需要明确定义域和值域的范围。

例如，函数f(x) = 2x + 1中，自变量x可以是任意实数，所以定义域为全体实数集R；函数值为对应x的表达式2x + 1的值，即f(x) = 2x + 1的值域也是全体实数集R。

2. 函数的图象函数的图象是函数在平面直角坐标系上的表示，用于描述函数的性质和变化规律。

函数的图象通常是一条曲线，通过观察图象可以得到函数的一些重要信息。

二、函数的性质函数有许多重要的性质，这些性质帮助我们更深入地理解和分析函数的特点。

1. 奇偶性如果对于函数f(x)，对于任意实数x，有f(-x) = f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)为奇函数。

例如，函数f(x) = x^2是一个偶函数，因为对于任意实数x，都有f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)；函数g(x) = x^3是一个奇函数，因为对于任意实数x，都有g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x)。

2. 单调性函数的单调性描述了函数值随自变量的变化而变化的规律。

函数可以是增函数、减函数或者不变函数。

增函数是指随着自变量的增大，函数值也随之增大；减函数则是指随着自变量的增大，函数值减小；不变函数则是指自变量的改变不会导致函数值的变化。

九年级函数知识点归纳

九年级函数知识点归纳函数是数学中非常重要的概念，在九年级数学课程中也有着重要的地位。

为了帮助大家对九年级函数的知识点有更清晰的理解，下面将对函数的定义、函数的性质以及函数的图像等几个方面进行归纳总结。

1. 函数的定义函数是一种数学关系，它将一个集合中的每一个元素都对应到另一个集合中唯一的元素上。

函数通常用符号表示，如 y=f(x)。

其中，x是自变量，y是因变量，f表示函数的规则。

2. 函数的性质(1) 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

(2) 单调性：函数可以是递增的（随着自变量的增加，因变量增加）、递减的（随着自变量的增加，因变量减小）或者常数函数（因变量保持不变）。

(3) 奇偶性：如果函数满足 f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；如果函数满足 f(-x)=f(x)，则函数为偶函数。

(4) 周期性：如果存在正数T，使得对于任意x，有f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数。

3. 函数的图像函数的图像是了解函数性质的一种重要方式。

(1) 直角坐标系中的图像：在直角坐标系中，自变量x位于横轴上，因变量y位于纵轴上，通过将各个自变量对应的因变量连接起来，可以得到函数的图像。

(2) 坐标轴上的特殊点：对于函数图像上的特殊点，如最大值、最小值、切线与坐标轴的交点等，可以通过求导数来判断。

(3) 函数的变化趋势：通过观察函数图像的上升下降、拐点等特点，可以判断函数的单调性、极值点等性质。

4. 常见函数类型(1) 一次函数：y=ax+b，其中a和b为常数，a为斜率，b为截距。

(2) 二次函数：y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，a不等于0，其图像为抛物线。

(3) 绝对值函数：y=|x|，该函数的图像为以原点为对称轴的V 字形。

(4) 幂函数：y=x^a，其中a为常数，具体形态根据a的值的正负和大小而定。

(5) 反比例函数：y=k/x，其中k为常数，该函数的图像为双曲线。

初三函数知识点总结

初三函数知识点总结函数是数学中的重要概念，它在数学、物理、化学、计算机等许多学科中都有广泛的应用。

函数的概念也是初中数学中的重点内容之一。

下面我来总结一下初三学习函数的知识点。

一、函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值与一个因变量的值相对应。

用函数来描述自变量与因变量之间的关系，可以用一条曲线或一组点的形式表示出来。

二、函数的表示方法1. 函数的解析表示：y=f(x)，其中f(x)是一个公式，表示自变量x与因变量y之间的关系。

2. 函数的图像表示：在坐标系中，用曲线或者一组点来表示函数。

三、函数的性质1. 定义域：函数的自变量的取值范围。

2. 值域：函数的因变量的取值范围。

3. 奇偶性：函数的奇偶性决定了函数图像关于坐标轴的对称性。

4. 单调性：函数的单调性描述了函数图像上的点的变化趋势。

5. 极值：函数在某个区间内取得的最大值或最小值。

6. 零点：函数与x轴的交点。

四、常见的函数类型1. 一次函数：y=kx+b，k和b是常数，表示有一个斜率和一个截距的直线。

2. 二次函数：y=ax^2+bx+c，a、b、c是常数，表示以抛物线为图像的函数。

3. 三次函数：y=ax^3+bx^2+cx+d，a、b、c、d是常数。

4. 幂函数：y=ax^n，a和n是常数，表示自变量的n次幂与因变量的关系。

5. 指数函数：y=a^x，a和x是常数，表示指数的幂与因变量的关系。

6. 对数函数：y=loga(x)，a是常数，表示以a为底的对数与因变量的关系。

五、函数的图像特点1. 一次函数的图像是一条斜率为k的直线。

2. 二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

3. 三次函数的图像是一个有两个拐点的曲线。

4. 幂函数的图像是一个不经过原点的曲线。

5. 指数函数的图像是一个向上或向下开口的曲线。

6. 对数函数的图像是在x轴的右半平面上，有一个垂直渐近线的曲线。

六、函数的运算1. 四则运算：函数之间可以进行加减乘除四则运算。

函数概念与知识点总结

函数概念与知识点总结一、函数的概念1.1 函数的定义函数是数学中的一个基本概念，它描述了一种对应关系，将一个或多个输入参数映射到一个输出结果。

在数学中，函数通常表示为f(x)，其中x是输入参数，f(x)是输出结果。

函数也可以表示为y=f(x)，其中y是输出结果，x是输入参数。

函数还可以表示为y=f(x1,x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是多个输入参数。

1.2 函数的特性函数具有一些特性，包括单值性、有限性、定义域和值域。

单值性表示对于每个输入参数，函数有且只有一个输出结果。

有限性表示函数的定义域和值域都是有限的。

定义域是函数能接受的输入参数的集合，而值域是函数输出结果的集合。

1.3 函数的分类函数可以根据其形式、性质和用途进行分类。

常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数等。

函数还可以根据其定义域和值域的不同进行分类，如有界函数、无界函数、周期函数等。

二、函数的性质与图像2.1 函数的奇偶性函数可以根据其图像的对称性来判断奇偶性。

若函数的图像关于原点对称，则函数是奇函数；若函数的图像关于y轴对称，则函数是偶函数。

2.2 函数的增减性函数的增减性描述了函数在定义域内的增加和减少情况。

若对于定义域内的任意两个值x1和x2，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)，则函数是单调递增的；若x1<x2，则f(x1)>f(x2)，则函数是单调递减的。

2.3 函数的最值函数的最值指在定义域内的最大值和最小值。

函数的最值可以通过求导数或利用一阶导数的性质进行判断。

2.4 函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示。

通过绘制函数的图像，可以直观地理解函数的性质和变化规律。

例如，线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线。

三、函数的运算3.1 函数的加减运算当两个函数f(x)和g(x)相加或相减时，可以将它们的对应项相加或相减，得到一个新的函数h(x)=f(x)±g(x)。

初中数学函数知识点

初中数学函数知识点初中数学函数知识点（一）一、函数的基本概念1. 函数的定义与表达式：函数是一种具有确定性的关系，将一个数（自变量）唯一地对应到另一个数（因变量）。

函数通常用符号表示，如f(x)、g(x)等。

2. 自变量与因变量：自变量是指函数中输入的数，通常用x表示；因变量是指自变量通过函数转化所得到的输出数，通常用y表示。

3. 定义域和值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围。

4. 函数的图象：函数的图象是自变量与因变量的对应关系在平面直角坐标系上的图形表示。

二、一次函数1. 一次函数的形式：一次函数是指函数的表达式中只有一次幂的项，通常表示为f(x) = kx + b，其中k、b为常数。

2. 一次函数的图象：一次函数的图象是一条直线，其斜率k表示该直线的倾斜程度，截距b表示该直线与y轴的交点。

3. 一次函数的特点：当斜率k>0时，函数单调递增；当斜率k<0时，函数单调递减；当斜率k=0时，函数为常值函数。

三、二次函数1. 二次函数的形式：二次函数是指函数的表达式中含有x的二次幂的项，通常表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。

2. 二次函数的图象：二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由二次项的系数a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 二次函数的顶点：二次函数的图象上最高（或最低）的点称为顶点，其横坐标为 x = -b / (2a)，纵坐标为 f(-b / (2a))。

4. 二次函数的轴对称性：二次函数的图象以顶点为对称轴关于y轴对称。

四、绝对值函数1. 绝对值函数的形式：绝对值函数是指函数的表达式中含有绝对值运算符| |，通常表示为f(x) = |x|。

2. 绝对值函数的图象：绝对值函数的图象是一条以原点为中心的V字形曲线，其左右两段的斜率大小相等。

3. 绝对值函数的特点：当自变量为正数时，函数的值与自变量相等；当自变量为负数时，函数的值为自变量取相反数。

初中数学函数概念总结

初中数学函数概念总结1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个变量的值映射到另一个变量的值上。

函数通常用字母表示，如f(x)。

2. 定义域和值域函数的定义域是指所有输入变量的可能取值范围，值域是指所有输出变量的可能取值范围。

3. 函数图像函数图像是函数在坐标系中的表示，横轴表示输入变量，纵轴表示输出变量。

通过绘制函数图像，我们可以更直观地了解函数的性质和变化。

4. 奇偶函数若函数满足f(-x) = f(x)（对称于y轴），则称其为偶函数；若函数满足f(-x) = -f(x)（对称于坐标原点），则称其为奇函数。

5. 单调性函数的单调性指的是函数在定义域内的增减趋势。

如果对于区间内的任意两个数a和b，当a < b时，有f(a) < f(b)，则称函数为递增函数；反之，如果对于任意的a和b，当a < b时，有f(a) >f(b)，则称函数为递减函数。

6. 周期函数周期函数是指满足f(x + T) = f(x)的函数，其中T是一个正数。

周期函数的图像在同一周期内有重复的形状。

7. 反函数若函数f的定义域和值域互换，且满足f(f^(-1)(x)) = x和f^(-1)(f(x)) = x，则f的反函数为f^(-1)。

8. 复合函数复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入的函数。

例如，复合函数f(g(x))表示先对x应用g函数，再对结果应用f函数。

9. 零点函数的零点指的是使函数的值为0的输入变量的取值。

找到函数的零点可以帮助我们解方程或者求函数的交点。

以上是初中数学函数的一些重要概念总结，希望对你的学习有所帮助。

初中基本函数知识点总结

初中基本函数知识点总结一、函数的基本概念1. 函数的定义：函数是一个对应关系，它把一个数集中的每一个数映射成另一个数集中的唯一一个数。

2. 自变量和因变量：在函数中，自变量是输入的值，因变量是输出的值。

3. 函数的表示：一般来说，函数可以用表格、图像、公式或者文字描述。

4. 定义域和值域：在函数中，定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

二、函数的图像和性质1. 函数的图像：函数的图像是自变量和因变量之间的关系的几何表示。

2. 函数的性质：函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性等。

三、基本初等函数1. 常数函数：常数函数的表达式是f(x) = C (C为常数)，它的图像是一条水平的直线。

2. 一次函数：一次函数的表达式是f(x) = kx + b (k和b为常数,k≠0)，它的图像是一条斜线。

3. 二次函数：二次函数的表达式是f(x) = ax² + bx + c (a、b、c为常数，且a≠0)，它的图像是一条开口向上或向下的抛物线。

4. 幂函数：幂函数的表达式是f(x) = xᵐ (m为常数)，它的图像是经过原点的曲线。

5. 指数函数：指数函数的表达式是f(x) = aˣ (a为正实数，且a≠1)，它的图像是逐渐上升或逐渐下降的曲线。

6. 对数函数：对数函数的表达式是f(x) = logₐx (a为正实数，且a≠1)，它的图像是一条拐点在(1,0)处的曲线。

四、函数的运算1. 函数的和、差、积、商：函数的和、差、积、商分别对应于两个函数的和、差、积、商。

2. 复合函数：复合函数是指一个函数的自变量被另一个函数的因变量代替。

3. 反函数：若函数y=f(x)的定义域为D，值域为R，则对于D中的任意一个数x，能使f(x) = y成立的y是唯一的，那么函数y=f(x)的反函数是一个函数，其定义域为R，值域为D。

五、函数的应用1. 函数的应用：在实际生活中，函数的运用十分广泛，包括表示物体的运动规律、生活中的购物花费、投资收益等。

初中函数知识点总结图文

一、基本概念1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值上。

通俗来讲，函数就是可以输入一个值并返回一个值的规则或者过程。

2. 函数的图像函数的图像是它的输入和输出之间的一种对应关系，在直角坐标系中，函数的图像通常是一条曲线。

3. 自变量和因变量在函数中，自变量是输入的值，因变量是通过函数规则得到的输出值。

4. 定义域和值域函数的定义域是所有可能的输入值的集合，值域是所有可能的输出值的集合。

二、函数的表示和性质1. 函数的表示函数可以用各种形式表示，比如用表格、公式、图像等。

2. 函数的性质函数可以是奇函数、偶函数、增函数、减函数等。

奇函数在定义域内满足f(-x)=-f(x)，偶函数在定义域内满足f(-x)=f(x)；增函数有f(x1)<f(x2)当x1<x2，减函数有f(x1)>f(x2)当x1<x2。

三、函数的运算1. 函数的加减法给定两个函数f(x)和g(x)，它们的和函数是f(x)+g(x)，差函数是f(x)-g(x)。

2. 函数的乘法给定两个函数f(x)和g(x)，它们的乘积函数是f(x)•g(x)。

3. 函数的复合给定两个函数f(x)和g(x)，它们的复合函数是f(g(x))。

表示为h(x)=f(g(x))。

1. 反函数如果函数f的定义域和值域分别为D和R，对于任意的y∈R，方程y=f(x)有唯一解x∈D，那么就存在一个函数g：R→D，使得f(g(y))=y，并且g(f(x))=x，此时g就是f的反函数。

2. 反比例函数如果两个变量x、y之间的关系可以用y=k/x表示，其中k≠0是常数，那么y与x成反比例关系。

五、函数的应用1. 实际问题中的函数函数在数学中有广泛的应用，比如经济学、物理学、化学等领域都会用到函数来描述各种关系。

2. 函数的图像函数的图像可以帮助我们更直观地了解函数的性质，通过观察图像可以发现函数的奇偶性、单调性、极值等重要特征。

初中数学函数知识点归纳

初中数学函数知识点归纳一、函数的概念和性质1.函数的定义：函数是一个由一个或多个自变量和一个因变量组成的数学关系。

对于每一个自变量的取值，函数都有一个确定的因变量值与之对应。

2.函数的表示：函数可以用函数表、函数图、函数解析式等形式来表示。

3.函数的自变量和因变量：自变量是输入值，因变量是对应的输出值。

4.定义域：函数可以接受的自变量的取值范围称为函数的定义域。

5.值域：函数所有可能的因变量值的集合称为函数的值域。

二、常见函数的性质和图像1.奇偶性：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

2.单调性：增函数在定义域内满足f(x1)<f(x2)当x1<x2，减函数在定义域内满足f(x1)>f(x2)当x1<x23.分段函数：定义域被分为不同区间，每个区间内可以使用不同的函数关系来表达。

三、常见的数学函数1. 线性函数：f(x)=ax+b，其中a和b为常数，表示一条直线的函数关系。

2. 幂函数：f(x)=ax^n，其中a和n为常数，表示自变量的n次幂关系。

3.反比例函数：f(x)=a/x，其中a为常数，表示自变量和因变量之间的反比例关系。

4.指数函数：f(x)=a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，表示指数和对数之间的关系。

5. 对数函数：f(x)=log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，表示指数和对数之间的关系。

6.三角函数：如正弦函数、余弦函数、正切函数等，主要描述角度和边长之间的关系。

7.复合函数：由多个函数通过代数运算组合而成的函数。

四、函数的性质和运算1.函数的相等：两个函数f(x)和g(x)在其定义域内的每个点上的值都相等时，称这两个函数相等。

2.函数的复合：将一个函数的输出作为另一个函数的输入，得到的新函数称为复合函数。

3.函数的逆函数：若一个函数f(x)的定义域和值域互换，且满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x,则f(x)的逆函数为f^(-1)(x)。

专题05一次函数的图象和性质(讲)-2019年中考数学二轮复习(原卷版)

备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题5 一次函数的图象和性质（讲案）一讲考点——考点梳理（一）概念1、一次函数：一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数.正比例函数：特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）.这时，y 叫做x 的正比例函数.（二）函数的图象1.一次函数的图象：所有一次函数的图象都是一条直线（三）函数图象的主要特征一次函数b kx y +=的图象是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图象是经过原点（0，0）的直线；|k|越大，直线越陡，|k|越小直线越缓.（四）函数的性质1.正比例函数的性质一般地，正比例函数kx y =有下列性质：（1）当k ＞0时，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；（2）当k ＜0时，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小.2.一次函数的性质一般地，一次函数b kx y +=有下列性质：（1）当k ＞0时，y 随x 的增大而增大（2）当k ＜0时，y 随x 的增大而减小（五）函数解析式的确定待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.二讲题型——题型解析（一）对一次函数图象与系数的关系的考查.例1、如图，直线m ⊥n ，在某平面直角坐标系中，x 轴∥m ，y 轴∥n ，点A 的坐标为（－4，2），点B 的坐标为（2，－4），则坐标原点为（）A ．O 1B ．O 2C ．O 3D ．O 4 （二）对一次函数图象与几何变换的考查.例2、如图示直线33y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当直线绕着点A 按顺时针方向旋转到与x 轴首次重合时，点B 运动的路径的长度为．（三）对两条直线相交或平行的考查例3、如图，已知直线l 1：y =﹣2x +4与直线l 2：y =kx +b （k ≠0）在第一象限交于点M ．若直线l 2与x 轴的交点为A （﹣2，0），则k 的取值范围是（）A ．﹣2＜k ＜2B ．﹣2＜k ＜0C ．0＜k ＜4D ．0＜k ＜2（四）对点的坐标规律的考查例4、如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线33y x=-上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O1的位置，使点O1的对应点O2落在直线33y x=-上，依次进行下去…若点B的坐标是（0，1），则点O12的纵坐标为．例5如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线32y x=于点B1，B2，过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2，过点A2作x轴的平行线交直线32y x=于点B3，…，按照此规律进行下去，则点A n的横坐标为．（五）对函数图象上线段、距离最短的考查例6如图，直线243y x=+与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（）A ．（﹣3，0）B ．（﹣6，0）C ．（32-，0）D ．（52-，0）（六）对线段、面积计算的考查例7、如图，过点A （2，0）作直线l ：33y x =的垂线，垂足为点A 1，过点A 1作A 1A 2⊥x 轴，垂足为点A 2，过点A 2作A 2A 3⊥l ，垂足为点A 3，…，这样依次下去，得到一组线段：AA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，则线段A 2016A 2107的长为（）A ．20153()2B ．20163()2C ．20173()2D ．20183()2 （七）一次函数与几何的综合问题例8如图，已知一次函数443y x =-+的图象是直线l ，设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ．（1）求线段AB 的长度；（2）设点M 在射线AB 上，将点M 绕点A 按逆时针方向旋转90°到点N ，以点N 为圆心，NA 的长为半径作⊙N ．①当⊙N 与x 轴相切时，求点M 的坐标；②在①的条件下，设直线AN 与x 轴交于点C ，与⊙N 的另一个交点为D ，连接MD 交x 轴于点E ，直线m 过点N 分别与y 轴、直线l 交于点P 、Q ，当△APQ 与△CDE 相似时，求点P 的坐标．三讲方法——方法点睛（一）解决有关函数的问题主要要结合图象进行（1）正比例函数图象上点的纵坐标y与横坐标x之比，是固定不变的，等于常量k.图象在横轴上方的部分都有y>0；在横轴下方的部分都有y<0；与横轴的交点都有y=0.（2）直线y=kx+b（k≠0)与直线y=kx平行，是由直线y=kx平移不|b|个单位得到的，平移的方向，当b>0时，向上；当b<0时，向下.（3）对于一次函数的一次项系数k，当k>0时，y随x的增大而增大，从左向右看，直线呈上升趋势，当k<0时，y随x的增大而减小，从左向右看，直线呈下降趋势．（二）运用待定系数法时，常用的方法是：按所求的函数类型，设也解析式；把题目中提供的坐标代入所设解析式中；解这个方程或者方程组；解这个方程或方程组，得到待定系数的值；将求出的结果代入所设的解析式中，得到函数解析式.通常，有几个待定系数，就要列几个方程，也就需要几个点的坐标.（三）解决两个函数图象在同一坐标系中表示的时候，要注意相同字母的取值是一样的，解选择题时，通常用排除法.四练实题——随堂小练1.已知点A在函数11yx=-（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对2.当12≤X≤2时，函数y=2x+b的图象上到少有一个点在函数1yx=的图象下方，则b的取值范围为（）A．b≥22B．b＜92C．b＜3D．22＜b＜923.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是A. B.C. D.4.规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是．（写出所有正确说法的序号）①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=6；②当x=﹣2.1时，[x]+（x）+[x）=﹣7；③方程4[x]+3（x）+[x）=11的解为1＜x＜1.5；④当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点．5.如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，将沿直线AB翻折，得，则点C的坐标为________．6.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则A n的坐标是．7.如图，在平面直角坐标系中，直线l：33y x=与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是；（2）设点P为线段OB的中点，连结P A，PC，若∠CP A=∠ABO，则m的值是．9．如图，一次函数364y x=+的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．五练原创——预测提升1．已知函数y=ax+b 经过（2，4），（1，﹣1），则a ﹣b=（）A ．1B ．﹣5C ．5D ．112．如图，函数y=x 和y=ax+3的图象相交于点A （m ，4），则不等式x≥ax+3的解集为（）A ．x≥4B ．x≤4C ．x≤2D ．x≥23．已知直线l 1：y =﹣3x +b 与直线l 2：y =﹣kx +1在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2），那么方程组31x y b kx y +=⎧⎨+=⎩的解是（） A ．12x y =⎧⎨=-⎩ B ．12x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =-⎧⎨=-⎩D ．12x y =-⎧⎨=⎩ 4．如图，已知直线l ：y =2x ，分别过x 轴上的点A 1（1，0）、A 2（2，0）、…、A n （n ，0），作垂直于x 轴的直线交l 于点B 1、B 2、…、B n ，将△OA 1B 1，四边形A 1A 2B 2B 1、…、四边形A n ﹣1A n B n B n ﹣1的面积依次记为S 1、S 2、…、S n ，则S n =（）A ．n 2B ．2n +1C ．2nD ．2n ﹣15. 如图所示，已知点C （1，0），直线y =﹣x +7与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E 分别是AB ，OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值是．6. 如图，点A 的坐标为（﹣4，0），直线3y x n =+与坐标轴交于点B 、C ，连接AC ，如果∠ACD =90°，则n 的值为．7. 直线y =kx +b 与抛物线214y x =交于A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）两点，当 OA ⊥OB 时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为．8.在平面直角坐标系xOy 中，直线()y kx 4k 0=+≠与y 轴交于点A.（1）如图，直线y 2x 1=-+与直线()y kx 4k 0=+≠交于点B ，与y 轴交于点C ，点B 横坐标为1-.①求点B 的坐标及k 的值；②直线y 2x 1=-+与直线y kx 4=+与y 轴所围成的△ABC 的面积等于；（2）直线()y kx 4k 0=+≠与x 轴交于点E （0x ，0），若02<x <1--，求k 的取值范围．9. 已知点P （0x ，0y ）和直线y =k x +b ，则点P 到直线y =kx +b 的距离证明可用公式d 0021kx y b k -++计算．例如：求点P （﹣1，2）到直线y =3x +7的距离．解：因为直线y =3x +7，其中k =3，b =7．所以点P （﹣1，2）到直线y =3x +7的距离为：d =0021kx y b k -++=23(1)271k ⨯--++=210=105．根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P （1，﹣1）到直线y =x ﹣1的距离；（2）已知⊙Q 的圆心Q 坐标为（0，5），半径r 为2，判断⊙Q 与直线39y x =+的位置关系并说明理由；（3）已知直线y =﹣2x +4与y =﹣2x ﹣6平行，求这两条直线之间的距离．。

函数概念和知识点总结

函数概念和知识点总结一、函数概念1. 函数是数学中的一个重要概念，是指对于一个集合中的每一个元素，都有唯一确定的输出元素与之对应的关系。

2. 在数学中，函数通常用f(x)来表示，其中x是自变量，f(x)是因变量，表示x经过函数f的映射得到的结果。

3. 函数可以看作是一种特殊的关系，它描述了输入和输出之间的对应关系，是研究自然界和社会现象中变量之间相互依存关系的重要工具。

4. 函数的图像通常用坐标系中的曲线来表示，通过观察函数的图像可以了解函数的变化规律和性质。

5. 函数在现实生活中有着广泛的应用，例如物理学、经济学、工程学等领域都需要使用函数来描述和分析问题。

二、函数的定义与性质1. 函数的定义：对于集合A和集合B，如果存在一种规律，使得集合A中的每一个元素a都与集合B中唯一确定的元素b相对应，那么我们称这种规律为函数。

2. 函数的自变量和因变量：函数中自变量是指输入的变量，通常用x来表示；因变量是指输出的变量，通常用f(x)来表示。

3. 定义域和值域：函数的定义域是指能够取值的自变量的范围；值域是指因变量的取值范围。

在定义和使用函数时，需要注意其定义域和值域的范围。

4. 函数的性质：函数有着一些重要的性质，如奇偶性、周期性、单调性、极值点、渐近线等，这些性质可以通过函数的分析和图像来进行确定。

5. 函数的分段定义：有些函数在不同的定义域上有不同的表达式，这种函数称为分段函数，需要根据具体的定义域来确定函数的表达式。

三、函数的表示和求解1. 函数的表示：函数可以通过不同的方法来表示，如用表达式形式、图像形式、数据表形式、文字描述等方式来表示函数。

2. 函数的求解：对于给定的函数，我们通常需要求解其零点、极值、最值、导数等问题，这些问题都涉及到函数的求解。

3. 函数的复合与逆函数：函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，逆函数是指可以将原函数的输入和输出进行对调得到的函数。

4. 函数的图像与性质：函数的图像可以通过绘制坐标系中的曲线来表示，通过观察函数的图像可以了解函数的性质和特点。

初中函数知识点全面总结

初中函数知识点全面总结一、函数的基本概念1.1 函数的引入在日常生活和数学问题中，我们经常遇到一些问题，例如：已知椭圆的长轴、短轴的长度，我们可以求椭圆的面积；已知一个正方体的边长，我们可以求它的体积，这些问题都是函数的具体例子。

函数研究的对象是一对对象之间的依赖关系。

1.2 函数的定义函数是一个变量间的依赖关系。

如果对于每一个自变量x，都有唯一的因变量y和它对应，那么这个变量x和它所对应的y就构成函数。

通常记作y=f(x)。

1.3 自变量、因变量和函数符号在函数f(x)中，x称为自变量，y称为因变量，而f(x)则是函数的符号表示。

1.4 自变量和因变量的关系自变量和因变量之间存在着一一对应的关系。

当自变量x取不同的值时，因变量y也会随之变化。

这种变化规律可以用图象或公式来表示。

1.5 函数的图象对于函数y=f(x)，其图象是平面直角坐标系内一条曲线。

曲线上的每一个点(x,y)都满足方程y=f(x)。

1.6 函数的定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

例如，对于函数f(x)=x^2，其定义域是实数集R，值域是非负实数集[0,+∞)。

二、函数的表示方法2.1 列表法通过若干对自变量和因变量对照，列出所有自变量和因变量的对应关系，就是列表法表示函数。

2.2 公式法用一个能够表示自变量与因变量之间的对应关系的等式来表示函数。

2.3 函数关系图象法可以通过函数的图象来表达函数。

三、函数的性质3.1 函数的奇偶性当自变量为-x时，若f(x)=-f(-x)，则函数f(x)为奇函数；当自变量为-x时，若f(x)=f(-x)，则函数f(x)为偶函数。

3.2 增减性与极值若在自变量的某一邻域内，函数值随着自变量的增大而增大，则称此函数在此邻域内是增函数；反之，则是减函数。

当函数在某一点上取得最大值或最小值时，称这个函数在这一点有极值。

3.3 奇偶性与周期性若f(x+T)=f(x)对于一切x都成立，则称T为函数f(x)的周期。

九年级数学函数常考知识点

九年级数学函数常考知识点在九年级数学学习中，函数是一个常见且重要的概念。

理解函数的性质、性质和应用是九年级数学学习的关键之一。

本文将介绍九年级数学中常考的函数知识点，帮助同学们更好地掌握这一知识。

一、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一个或多个数域上的元素之间的对应关系，每个自变量对应唯一的一个函数值。

2. 定义域和值域：函数的定义域是所有可能的自变量的取值范围，值域是函数所有可能函数值的集合。

3. 函数的图象：函数的图象是在直角坐标系上表示函数各个自变量和函数值之间对应关系的图形。

4. 奇偶性：如果对于函数中任意一个自变量x，有f(-x) = f(x)，则该函数是偶函数；如果对于函数中任意一个自变量x，有f(-x) = -f(x)，则该函数是奇函数。

5. 单调性：函数的单调性指的是函数值随自变量增大或减小而增大或减小的趋势。

二、函数的表示和运算1. 函数的表示：函数可以通过函数解析式或函数关系式来表示。

- 函数解析式是用代数表达式表示的函数形式，常见的有一次函数y = kx + b和二次函数y = ax^2 + bx +c。

- 函数关系式是通过函数的定义关系来表示的，常见的有反比例函数y = k/x和平方根函数y = √x。

2. 函数的运算：函数之间可以进行四则运算，包括函数的加、减、乘和除。

- 函数的加法： (f + g)(x) = f(x) + g(x)，即将两个函数在同一个自变量x上的函数值相加。

- 函数的减法： (f - g)(x) = f(x) - g(x)，即将两个函数在同一个自变量x上的函数值相减。

- 函数的乘法： (f × g)(x) = f(x) × g(x)，即将两个函数在同一个自变量x上的函数值相乘。

- 函数的除法： (f ÷ g)(x) = f(x) ÷ g(x)，即将两个函数在同一个自变量x上的函数值相除，其中除数的函数值不能为零。