三角形角平分线

例1 如图1，已知△ABC的∠B和∠C的平分线BD、CE相交于点O，求证：

∠BOC= 90°+∠A。

解：∵BD平分∠ABC

∴∠ABC=2∠ABD=2∠DBC

同理：∠ACB=2∠ACE=2∠ECB.

在△BOC中，∠BOC+∠DBC+∠ECB= 180°，

∴∠BOC=180°-(∠DBC+∠ECB)

∵在△ABC中, ∠A+∠ABC+∠ACB= 180°,

∴∠ABC+∠ACB =180°-∠A

∴2∠DBC+2∠ECB =180°-∠A

∴∠DBC+∠ECB =90°-∠A

∴∠BOC=180°-(90°-∠A)

即∠BOC= 90°+∠A。

结论1：在一个三角形中，任意两个内角的角平分线相交形成的钝角等于90°加上第三个角的一半。

例2 如图2，已知BO平分∠EBC，CO平分∠FCB，BO、CO相交于点O，探究∠BOC与∠A的关系。

解：∵BO平分∠EBC

∴∠EBC=2∠CBO=2∠EBO

同理：∠FCB=2∠BCO=2∠FCO

又∵∠ABC+∠EBC=180°

∴∠ABC=180°-∠EBC=180°-2∠CBO

同理：∠ACB=180°-∠FCB=180°-2∠BCO

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°

∴∠A+180°-2∠CBO+180°-2∠BCO =180°

∴∠CBO+∠BCO= 90°+∠A

又∠BOC+∠CBO+∠BCO =180°

∴∠BOC =180°-(∠CBO+∠BCO)

=180°-(90°+∠A)

=90°-∠A

结论2：三角形两个外角的角平分线相交形成的角等于90°减去第三个外角对应的内角的一半。

例3 如图3，已知△ABC中，BE平分∠ABC,CE平分∠ACD，BE、CE相交于点E，探究∠E与∠A的关系。

解：∵BE平分∠ABC

∴∠ABC=2∠ABE=2∠EBC

同理：∠ACD=2∠ACE=2∠ECD

又∵∠ACB+∠ACD=180°

∴∠ACB=180°-∠ACD=180°-2∠ACE

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°

∴∠A+2∠EBC+180°-2∠ACE=180°

∴∠ACE-∠EBC=∠A。①

在△BEC中，∠EBC +∠BCE+∠E=180°

∴∠EBC +∠ACB+∠ACE+∠E =180°

即∠EBC +180°-2∠ACE +∠ACE+∠E =180°

∴∠ACE-∠EBC=∠E. ②

由①和②得：∠E=∠A。

结论3：三角形的一个内角的角平分线与另一个内角的邻补角的角平分线相交形成的角等于三角形中的第三个内角的一半。