最新数学建模试卷及参考答案

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数学建模 试卷及参考答案

一.概念题(共3小题,每小题5分,本大题共15分)

1、一般情况下,建立数学模型要经过哪些步骤?(5分)

答:数学建模的一般步骤包括:模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。

2、学习数学建模应注意培养哪几个能力?(5分)

答:观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。

3、人工神经网络方法有什么特点?(5分)

答:(1)可处理非线性;(2)并行结构.;(3)具有学习和记忆能力;(4)对数据的可容性大;

(5)神经网络可以用大规模集成电路来实现。

二、模型求证题(共2小题,每小题10分,本大题共20分)

1、 某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一

路径下山,下午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明:

记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.

设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t 是一天内时刻变量,则f(t),g(t)在

[a,b]是连续函数。

作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的,

则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F (a )<0, F(b)>0,

由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。

2、三名商人各带一个随从乘船过河,一只小船只能容纳二人,由他们自己划行,随从们秘约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货,但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中,商人们怎样才能安全渡河呢?(15分)

解:模型构成

记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ,随从数为k y ,k=1,2,........,k x ,k y =0,1,2,3。将二维向量k s =(k x ,k y )定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合,记做S 。S=()}{2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x (3分)

记第k 次渡船上的商人数为k u 随从数为k v 将二维向量k d =(k u ,k v )定义为决策。允许决策集合记作D ,由小船的容量可知

D=(){2

,1,0,,1|,=≤+≤v u v v u v u } (3分)

状态k s 随k d 的变化规律是: 1+k s = k s +()k k

d *-1 (3分) 模型求解 用图解法解这个模型更为方便,如下:(6分)

三、计算题(共5小题,每小题9分,本大题共45分)

1、⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=14/13/1411311A 试用和法求出A 的最大特征值,并做一致性检验(n=3时, RI=0.58)。

答:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=14/13/1411

311A 中各列归一化 ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛8/19/17/18/49/47/38/39/47/3 各行求和 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛569.0373.1248.1=w 2分 而⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=328.1897.4328.4Aw ,(1分) 所以最大特征根为

123.3)569

.0328.1373.1897.4248.1328.4(31)(3131=++==∑=i i i w Aw λ 2分 其一致性指标为: CI=

061.023123.3133=-=--λ 2分 CR=

1.0106.058

.0061.0>==RI CI 所以A 不通过一致性检验。 2分

2、 一块土地,若从事农业生产可收100元,若将土地租给某乙用于工业生产,可收200元。

若租给某丙开发旅游业可收300元。当丙请乙参与经营时,收入达400元,为促成最高收入的实现,试用shapley 值方法分配各人的所得。(9分)

答:甲、乙、丙所得应为250元,50元,100元(步骤略)

3、产品每天需求量为常数r, 每次生产准备费用为C 1,每天每件产品贮存费用为C 2, 缺货损失费为C 3,试作一合理假设,建立允许缺贷的存贮模型,求生产周期及产量使总费用最小。(9分) 解:模型假设:

1. 产品每天需求量为常数r

2. 每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2

3. 生产能力无限大 ,缺货损失费为C 3 ,当t=T 1时产品已用完

4. 生产周期为T ,产量为Q (2分) 模型建立

一周期总费用如下: 2

)(2213121T T r C Q T C C C -++= (2分) 一周期平均费用为 rT

Q rT C rT Q C T C Q T f 2)(2),(2

3221-++= (2分) 模型求解: 用微分法解得周期 32321)(2C rC C C C T +=

(1分) 产量 )

(232231C C C C rC Q += (1分) 4、人的状态分为三种:1(健康),2(患病),3(死亡)。

设对特定年龄段的人,今年健康,明年保持健康的概率为0.8,患病的概率为0.18,而今年患病的人明年健康的概率为0.65,健康的概率为0.25,构造马氏链模型,说明它是吸收链,并求健康,患病出发变成死亡的平均转移次数。

解:状态()()()死亡患病健康32,1===,i i i

依歇易得转移概率阵为 ⎝⎛=065.08.0P 025.018.0 ⎪⎪⎪⎭

⎫11.002.0 2分

记()()()

)(),(,321n a n a n a n =α, 则 ()P n n ⋅=+)(1αα ),2,1(⋯⋯=n ………… (1分)

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