不等式约束最优化的非光滑精确罚函数的一个光滑近似
约束优化问题的序列近似方法收敛性
段庆松
【摘 要】对抽象约束优化问题的序列近似方法的收敛性进行讨论，证明了在目标函数序列连续收敛和约束集合序列收敛的条件下，序列近似问题的全局最优值收敛到原问题的最优值。进一步，证明了在序列近似问题目标函数和约束集合具有某些单调性质的前提下，把目标函数序列连续收敛减弱到上图收敛，该结论仍然成立。最后，将这一结果用于分析互补约束优化问题的光滑化方法的收敛性中。%T he convergence of the sequential approximation method for abstract constrained optimization problems is discussed .It is proved that the global optimal solutions of the sequential approximation problems converge to the optimal solutions of the original problem under the continuous convergency of the objective function sequence and the convergency of the constrained set sequence .Moreover ,if the objective function sequence is assumed to be epi‐convergence instead of continuous convergence ,the conclusion still holds w hen some monotonicity property of the objective functions and the constrained sets of the sequential approximation problems is satisfied .At last ,the research result can be applied to analyze the convergence of the smoothing method in solving complementarity constraint optimization problem .
带约束的非线性优化问题解法小结
(1)带约束的非线性优化问题解法小结考虑形式如下的非线性最优化问题(NLP):min f(x)「g j (x )“ jI st 彳 g j (x)=O j L其 中， ^(x 1,x 2...x n )^ R n， f : R n > R ， g j :R n > R(j I L) ， I 二｛1,2,…m ｝， L ={m 1,m 2...m p}。
上述问题(1)是非线性约束优化问题的最一般模型，它在军事、经济、工程、管理以 及生产工程自动化等方面都有重要的作用。
非线性规划作为一个独立的学科是在上世纪 50年 代才开始形成的。
到70年代，这门学科开始处于兴旺发展时期。
在国际上，这方面的专门性 研究机构、刊物以及书籍犹如雨后春笋般地出现，国际会议召开的次数大大增加。
在我国， 随着电子计算机日益广泛地应用，非线性规划的理论和方法也逐渐地引起很多部门的重视。
关于非线性规划理论和应用方面的学术交流活动也日益频繁，我国的科学工作者在这一领域 也取得了可喜的成绩。
到目前为止，还没有特别有效的方法直接得到最优解，人们普遍采用迭代的方法求解： 首先选择一个初始点，利用当前迭代点的或已产生的迭代点的信息，产生下一个迭代点，一 步一步逼近最优解，进而得到一个迭代点列，这样便构成求解( 1)的迭代算法。
利用间接法求解最优化问题的途径一般有：一是利用目标函数和约束条件构造增广目标 函数，借此将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，然后利用求解无约束最优化问题的 方法间接求解新目标函数的局部最优解或稳定点，如人们所熟悉的惩罚函数法和乘子法；另 一种途径是在可行域内使目标函数下降的迭代点法，如可行点法。
此外，近些年来形成的序 列二次规划算法和信赖域法也引起了人们极大的关注。
在文献［1］中，提出了很多解决非线性 规划的算法。
下面将这些算法以及近年来在此基础上改进的算法简单介绍一下。
1. 序列二次规划法序列二次规划法，简称SQ 方法.亦称约束变尺度法。
最优化方法 第三章(罚函数法)
这种惩罚策略，对于在无约束的求解过程中企图违反约
束的迭代点给予很大的目标函数值，迫使无约束问题的 极小点或者无限地向可行域D靠近，或者一直保持在可 行域D内移动，直到收敛到原来约束最优化问题的极小 点。
不改变可行域局部极小值，可以将 约束域之外的局部极小值变大。
p ( x) 0, x D p ( x) 0, x D
k k
k 1
k 1
xk 1是F x, M k 1 的最优解.
k 1 k k 1 k 0 M k 1 M k p ( x ) p ( x ) p ( x ) p ( x )
M k 1 M k
(3) f ( x k 1 ) M k p( x k 1 ) F ( x k 1 , M k ) F ( x k , M k ) f ( x k ) M k p( x k )
gi ( x) gi ( x) max gi ( x), 0 = 罚函数p(x)的构造 2 m l p( x) (max gi ( x), 0) 2 h 2 j ( x)
i 1 j 1
(1) p(x)连续 (2) p( x) 0, x D (3) p( x) 0, x D
二、外点法 外点罚函数法算法步骤 1：给定初始点 x 0 ，初始罚因子M1 0 (可取M1 1 ), 精度 0, k : 1. 2：以 x k 1初始点，求解无约束优化问题
min F ( x, M k ) f ( x) M k p( x)
得到极小点 x* ( M k )，记为 x k ， 其中
p( x) (max gi ( x), 0) h 2 j ( x)
2 i 1 j 1 m l
拉格朗日神经网络解决带等式和不等式约束的非光滑非凸优化问题
拉格朗日神经网络解决带等式和不等式约束的非光滑非凸优化问题喻昕;许治健;陈昭蓉;徐辰华【摘要】Nonconvex nonsmooth optimization problems are related to many fields of science and engineering applications, which are research hotspots. For the lack of neural network based on early penalty function for nonsmooth optimization problems, a recurrent neural network model is proposed using Lagrange multiplier penalty function to solve the nonconvex nonsmooth optimization problems with equality and inequality constrains. Since the penalty factor in this network model is variable, without calculating initial penalty factor value, the network can still guarantee convergence to the optimal solution, which is more convenient for network computing. Compared with the traditional Lagrange method, the network model adds an equality constraint penalty term, which can improve the convergence ability of the network. Through the detailed analysis, it is proved that the trajectory of the network model can reach the feasible region in finite time and finally converge to the critical point set. In the end, numerical experiments are given to verify the effectiveness of the theoretic results.%非凸非光滑优化问题涉及科学与工程应用的诸多领域,是目前国际上的研究热点.该文针对已有基于早期罚函数神经网络解决非光滑优化问题的不足,借鉴Lagrange乘子罚函数的思想提出一种有效解决带等式和不等式约束的非凸非光滑优化问题的递归神经网络模型.由于该网络模型的罚因子是变量,无需计算罚因子的初始值仍能保证神经网络收敛到优化问题的最优解,因此更加便于网络计算.此外,与传统Lagrange方法不同,该网络模型增加了一个等式约束惩罚项,可以提高网络的收敛能力.通过详细的分析证明了该网络模型的轨迹在有限时间内必进入可行域,且最终收敛于关键点集.最后通过数值实验验证了所提出理论的有效性.【期刊名称】《电子与信息学报》【年(卷),期】2017(039)008【总页数】6页(P1950-1955)【关键词】拉格朗日神经网络;收敛;非凸非光滑优化【作者】喻昕;许治健;陈昭蓉;徐辰华【作者单位】广西大学计算机与电子信息学院南宁 530004;广西大学计算机与电子信息学院南宁 530004;广西大学计算机与电子信息学院南宁 530004;广西大学电气工程学院南宁 530004【正文语种】中文【中图分类】TP183作为解决优化问题的并行计算模型，递归神经网络在过去的几十年里受到了极大的关注，不少神经网络模型被提出。
最优化问题的数学模型
为凸集．
1,
0 证明： x , y 为超球中的任意两点， 设
则有：
x 1 y
r ???
x 1 y
r r r 1
即点 x 1 y 属于超球
所以超球为凸集．
注： 常见的凸集：空集，整个欧氏空间 超平面： H
T
aR
n
和实数
,
使得： T x a
a y , x D ,
xR a x
n T
即存在超平面 H y 与凸集 D .
严格分离点
注： 点与闭凸集的分离定理。
y.
D
定理
(点与凸集的分离定理)
是非空凸集，x D, 则存在 非零向量 a R n 使成立
DR
n
目标函数
R ( i 1, 2 , , p )
1
• 根据实际问题的不同要求，最优化模型有不同的形式， 但经过适当的变换都可以转换成上述一般形式.
最优化问题的分类
最优化问题
根据约束条件 分类
m in f ( x ), x R .
n
无约束最优化问题 约束最优化问题 等式约束最优化问题 不等式约束最优化问题 混合约束优化问题
设
a xa x
T T
x D . ( D代 表 D 的 闭 包 )
_ _
定理
(两个凸集的分离定理)
n
x
x
设 D1 , D2 是
且 R 的两个非空凸集， D1 D2 ,
则存在超平面分离 D1 和 D2 , 即存在非零向量 n a R 使得 aT x aT y , x D , y D . 1 2
3不等式约束最优化问题的最优性条件.
不等式约束最优化问题
min
s.t .
f x
n
ci x 0,
3.3.1
i 1,2, m ,
n
其中f : R R,ci :R R(i 1,2 ,...,m).
不等式约束最优化问题的最优性条件
定 义
闭包：
Closure
设S R n , S的闭包定义为： clS { x | S N ( x ) , 0}.
x 处的可行方向锥 x
处的可行方向锥是全空间Rn .
D {d | d 0, 0, 使x d S , (0, )}.
注:当 x int S 时, S在
不等式约束最优化问题的最优性条件
定 下降方向(descent direction)： 义设S R n , x S , d R n , d 0, 且f : S R在点x处可微，
* * 则存在非零的向量* * 0 , 1 , , m , 使得：
* * * * f x c x i i 0 0 m
* 0 i 1,2,, m * c x i i * i 0,1,2, , m i 0
2 x1 12 8 f x 2 . 2x 4 , f x 2 T T d 设 d d , d , 则 c1 x 0, d1 2d 2 0;
1 2
d T c2 x 0, 3d1 2d 2 0; d T f x 0, 8d1 2d 2 0.
x
f ( x )
S
D
不等式约束最优化问题的最优性条件
约束优化-惩罚函数法
( p) 1
,r
( p) 2
f x r G g x r H h x
( p) 1 m j 1 j ( p) 2 l k 1 k
的无约束最优化问题。
min x, r1( p ) , r2( p ) f x r1( p ) G g j x r2( p ) H hk x
k 1 l
对于每次迭代的 M ( p )，都可以求得相应的惩 罚函数最小 值和最优解X ( M ( p ) )。
当M为足够大的值时，惩罚 函数最小值将收敛于一 个有 限的极限值 *，且满足hk ( x) 0，而序列｛X ( M ( p ) )｝将 收敛于某一点X *。 *即为原问题f ( x)在等式约束hk ( x) 0 条件下的最小值， X *即为原问题的最优解。 即： lim M ( p ) lim M
2 另外，惩罚项形式 M h ( x ) k k 不是唯一的， k 1 l
任何仅仅当约束条件得 到满足时才等于零的 非负函数都可以当作惩 罚项，可以根据具体情 况选择。
四、惩罚函数法
将约束最优化问题 min f x f x1 , x2 , , xn s.t. g j x g j x1 , x2 , , xn 0 hk x hk x1 , x2 , , xn 0 转化为形如： min x, r ( j 1,2, , m) (k 1,2, , l )
为便于在计算机上用直 接寻优的方法进行迭代 计算， 可以构造一个新的函数 ： F F Z x i 1 k 1 i k
n l 2 l F 2 x hk ( x) i 1 k 1 i n 2 2
penalty函数
penalty函数Penalty函数是一种数学变换函数，广泛应用于数学、物理和工程等领域中，作为优化算法的基础之一；它是一种特殊的非光滑函数，常常被用来惩罚表现不好的决策方案，从而使其在优化过程中趋近于最优解。
本文将介绍Penalty函数的定义、性质、应用和发展等方面的研究进展，以期为相关领域的研究提供参考和借鉴。
1. Penalty函数的定义和性质Penalty函数是一种由罚函数与约束函数组成的函数，其可表示为：P(x,ρ) = f(x) + ρ·h(x)其中，x是决策向量，f(x)是优化目标函数，h(x)是用来描述决策向量是否满足约束限制的函数，ρ是一个正常数，也叫作惩罚系数。
当决策向量满足所有的约束条件时，Penalty函数的值等于优化目标函数的值；否则，惩罚项将对优化目标函数进行惩罚，从而使得决策向量的取值趋近于约束条件的限制。
Penalty函数的惩罚项通常是由约束条件的违反程度和惩罚系数共同组成的，它可以采取线性、平方和指数等形式，以体现违反约束条件的严重程度。
例如，一个约束条件为h(x)≤0，假设决策向量x不满足该条件，当ρ>0时，Penalty函数的值可以表示为：其中，[h(x)]+表示h(x)的正部分，即当h(x)>0时，[h(x)]+=h(x)，否则，[h(x)]+=0。
惩罚系数ρ的大小决定了相应的惩罚力度，ρ越大，则惩罚力度越大，决策向量越趋近于满足约束条件的限制。
Penalty函数的主要优点是简单易实现，适用于各种优化算法中，如牛顿法、共轭梯度法、遗传算法等。
同时，Penalty函数也具有一些较好的性质，如：（1）可导性：如果约束函数h(x)是可导的，则Penalty函数也是可导的；（3）非负性：Penalty函数的值通常都是非负的，但在非线性的罚函数中，可能会存在局部最小值的情况，需要格外注意。
由于Penalty函数具有一些良好的性质，因此被广泛用于一些任务中，如：（1）约束优化问题：Penalty函数通常用来处理带有约束条件的优化问题，如不等式约束优化问题、等式约束优化问题等；（2）非线性规划问题：Penalty函数常常被用来求解非线性规划问题，如非线性规划问题、混合整数规划问题等；（3）优化算法：Penalty函数作为优化算法的基础，经常被用来设计各种求解最优化问题的算法，如牛顿法、遗传算法、蚁群算法等。
非光滑最优化讲义2
第二章 凸函数§1 凸函数及其连续性定义1.1 设定义在非空凸集f nR ⊂Ω上，如果对任意Ω∈y x ,和]1,0[∈α，有 ),()()1())1((y f x f y x f αααα+−≤+−则称是上的凸函数；如果对任意f ΩΩ∈y x ,和)1,0(∈α，当y x ≠时，有),()()1())1((y f x f y x f αααα+−<+−则称是上的严格凸函数；如果存在常数，使得f Ω0>c ,)1()()()1())1((2y x c y f x f y x f −−−+−≤+−αααααα则称是上的强凸函数，称c 是的强凸常数．f Ωf 如果是上的凸函数（严格凸函数，强凸函数），则称是f −Ωf Ω上的凹函数（严格凹函数，强凹函数）．基本性质：（1）强凸⇒严格凸⇒凸；（2）如果是f Ω上的凸函数，则对任意Ω∈i x 和0≥i α，r i ,,2,1 =，，有 ∑==r i i 11α∑∑==≤ri i i r i i i x f x f 11)()(αα；（3）如果是i f Ω上的凸函数，r i i ,,2,1,0 =≥α，则也是上的凸函数；∑=r i i i f 1αΩ（4）是上的凸函数的充分必要条件是的上图 f Ωf )}(,|),{(x f x x f epi ≥Ω∈=ββ为Ω×R 中的凸集。
定理1.1 设是非空凸集Ω上的凸函数，如果存在f Ω∈21,x x 和数]1,0[∉α，使得,)1(21Ω∈−+=x x x αα则).()1()()(21x f x f x f αα−+≥定理 1.2 设是非空凸集Ω上的严格凸函数（强凸常数为的强凸函数），如果存在和数f c Ω∈21,x x ]1,0[∉α，使得Ω∈−+=21)1(x x x αα，则)()1()()(21x f x f x f αα−+> （22121)1()()1()()(x x c x f x f x f −−−−+≥αααα）。
【5A文】关于序列二次规划(SQP)算法求解非线性规划问题研究
关于序列二次规划（SQP）算法求解非线性规划问题研究兰州大学硕士学位论文关于序列二次规划（SQP）算法求解非线性规划问题的研究姓名：石国春申请学位级别：硕士专业：数学、运筹学与控制论指导教师：王海明20090602兰州大学2009届硕士学位论文摘要非线性约束优化问题是最一般形式的非线性规划NLP问题，近年来，人们通过对它的研究，提出了解决此类问题的许多方法，如罚函数法，可行方向法，Quadratic及序列二次规划SequentialProgramming简写为SOP方法。
本文主要研究用序列二次规划SOP算法求解不等式约束的非线性规划问题。
SOP算法求解非线性约束优化问题主要通过求解一系列二次规划子问题来实现。
本文基于对大规模约束优化问题的讨论，研究了积极约束集上的SOP 算法。
我们在约束优化问题的s一积极约束集上构造一个二次规划子问题，通过对该二次规划子问题求解，获得一个搜索方向。
利用一般的价值罚函数进行线搜索，得到改进的迭代点。
本文证明了这个算法在一定的条件下是全局收敛的。
关键字：非线性规划，序列二次规划，积极约束集Hl兰州人学2009届硕二t学位论文AbstractNonlinearconstrainedarethemostinoptimizationproblemsgenericsubjectsmathematicalnewmethodsareachievedtosolveprogramming．Recently,Manyasdirectionit，suchfunction，feasiblemethod，sequentialquadraticpenaltyprogramming??forconstrainedInthisthemethodspaper,westudysolvinginequalityabyprogrammingalgorithm．optimizationproblemssequentialquadraticmethodaofSQPgeneratesquadraticprogrammingQPsequencemotivationforthisworkisfromtheofsubproblems．OuroriginatedapplicationsinanactivesetSQPandSQPsolvinglarge-scaleproblems．wepresentstudyforconstrainedestablishontheQPalgorithminequalityoptimization．wesubproblemsactivesetofthesearchdirectionisachievedQPoriginalproblem．AbysolvingandExactfunctionsaslinesearchfunctionsubproblems．wepresentgeneralpenaltyunderobtainabetteriterate．theofourisestablishedglobalconvergencealgorithmsuitableconditions．Keywords：nonlinearprogramming，sequentialquadraticprogrammingalgorithm，activesetlv兰州大学2009届硕士学位论文原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。
一个新的光滑低阶精确罚函数
．
（ ３ ）ｌ ｉ Ｐ （ ） ＝ Ｐ （ ｕ ） ． 证 明 （ １ ） 可 由二次 连续 可微 的定 义得 出． （ ２ ） 对Ｖ Ｍ ∈Ｒ， 有
１
—１
≥
所 以对 Ｖ ｕ∈Ｒ， Ｐ （ ｕ ） ≥ｐ （ Ｍ ）
ｍｉ ｎ
一
（ ）
（ Ｐ Ｂ ）
般的精确罚函数并不光滑， 文献［ ３ ］ 讨论了将（ １ ） 光滑化 ， 并提出了修正的精确罚函数 ， 文献［ ４ ］ 引进了 光 滑的低 阶罚 函数． 此处将 对 问题 （ Ｐ ） 引入一种新 的光滑低 阶精确罚 函数的构造 ， 并证 明它 的一些 定理和性质 ．
性 条件 ， 则对 任意 的 ０ ＜ ｖ ＜ ｌ ， ０， 必 是低 阶罚 函数 （ ） 的局 部严 格最 优解．
．
由引理 １ ， 容易得到低阶罚函数
定理 １ 对 Ｖ ∈（ ０ ， １ ） ， ｅ ＞ ０， 有
（ ） 的局部精确罚性质．
ｍ
≥
２
（ １ ） Ｐ （ ｕ ） 在 Ｒ上 至少 二次 连续 可微 ．
Ａｕ ｇ ． ２ ０１ ３
文章 编 号 ： １ ６ ７ ２ － ０ ５ ８ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ８ — ０ ０ １ ５ — ０ ４
一
个 新 的光 滑低 阶精 确 罚 函数
张 霞
（ 重庆师 范大学 数学学院 ， 重庆 ４ ０ １ ３ ３ １ ）
摘
要： 对不 等式 约束优 化 问题提 出 了一 种新 的低 阶 精 确 罚 函数 的构 造 ， 使 其 转 化 为 易求 解 的无 约束
对于问题（ Ｐ ） ， 常用的罚函数是 ｚ 罚 函数 ： ｉ ｓ （ ） ＝ 厂 （ ）＋
求解非线性约束优化问题精确罚函数方法
独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其它人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得山东理工大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。
与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
研究生签名：时间：年月日关于论文使用授权的说明本人完全了解山东理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅；学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。
(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)研究生签名：导师签名：时间：时间：年年月月日日山东理工大学硕士学位论文摘要摘要精确罚函数方法是求解非线性约束优化问题的一种重要方法。
理论上，精确罚函数方法只需求解罚参数取某一有限值的罚问题，就可得到约束优化问题的解，从而避免了当罚参数的值趋于无穷大时产生病态的缺点。
精确罚函数又分为不可微精确罚函数和连续可微精确罚函数。
通常情况下，简单精确罚函数一定是不可微的，从而会在一些快速算法中阻止局部快速收敛，产生“ Maratos效应”。
连续可微精确罚函数就克服了上述缺点，因此具有更好地性质。
增广拉格朗日函数就是这样一种特殊的连续可微精确罚函数。
对于一般的非线性约束优化模型，本文将提出一种新的非线性Lagrange函数,讨论该函数在KKT 点处的性质，并证明在适当条件下，基于该函数的对偶算法产生的迭代点列具有局部收敛性，然后给出与罚参数有关的解的误差估计。
这为解决非线性约束优化问题又提供了一种新途径。
然后对非光滑罚函数进行二阶可微光滑逼近，并给出原优化问题、相应的非光滑罚函数、光滑罚函数最优值间的误差估计，然后设计基于该光滑罚函数的算法，并证明在适当条件下它具有全局收敛性，最后再利用数值实验来说明算法的有效性。
一个新的简单精确光滑罚函数
摘要： 针对一般约束优化 问题 ， 通过添加一个 变量 ， 出一 个新 的简单 精确 光滑罚 函数． 给 在较 弱 的约 束 品性 的条 件 下 ， 明所给 出的罚 函数 具有一定的连续可微性 ， 证 而且 当罚参数 充分大 时 ， 给 出的罚 问题 的局 部极 小点为 原 问题 所
的局 部 极 小 点 ．
一 ’ ∈
个局 部极 小点 ． 但在 实 际计 算 中 ， 当 ＞ ０时 ， 能 仅 的罚 函数在 ＝ ０处 是不 可微 的 ， 在实 际计 算 中会 这
计 算罚 问题 的 Ｋ Ｔ点 ． 一 方 面 ， 献 ［ ３ 中给 出 Ｋ 另 文 １］
受 到很 多 的限制 ．
对 任 意的 （ 占 ∈Ｒ”。有 ， ） ，
第 １ ８卷 第 ４期
２１ ０ ２年 ８月
上海 戈
振 （ 然 科 学 版） 自
Ｖ １ １ ． ｏ ． ８ Ｎｏ ４ Ａｕ ．２ １ ｇ ０２
ＪＵ Ｎ ＬＯ Ｈ Ｎ Ｈ Ｉ ＮＶ Ｒ Ｉ （ Ａ Ｕ Ａ ＣＥ Ｃ Ｏ Ｒ Ａ ＦＳ Ａ Ｇ Ａ ＩＥ Ｓ Ｙ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ ＩＮ Ｅ Ｕ Ｔ
ｐ ｇ ｍ ｉ ，Ｑ ） ｒ ｒ ｍｎ Ｓ Ｐ 方法 、Ｑ ｏａ ｇ Ｓ Ｐ信赖域法 、 虑子法 …以
收 稿 日期 ：０ １０ －６ ２ １－ ０ ７
基 金 项 目 ： 家 自然科 学基 金 资 助 项 目（ ０ ７ １６，１７ ４ １ 国 １５ １ １ ５ ０ ５ ２ ）
通 信作者 ： 张连生（ ９ ７ ， ， １３ ～） 男 教授 ， 博士生导师 ， 研究方 向为非线性最优化 ． － ａ ： ａｇ ＠ｓ ｆ ｓｕ ｅｕ ｃ Ｅｍ ｉ ｚ ｎ ｌ ｔｆ ｈ ．ｄ ． ｎ ｌ ｈ ｓ ａ．
关键词 ： 非线性规划 ； 约束极小化 问题 ； 局部解 ； 确罚 函数 精
第五章约束优化方法2惩罚函数法课件
5.3.4.1 内点法
㈠引例 设有一维不等式约束优化问题的数学模型
S.T. :
由图可见，目标函数的可行域为x≥b，在可行域内目标函数 单调上升，它的最优解显然是
x*=b ，F*=ab
对引例的惩罚函数进行分析，以对内点法有初步认识：
⑴本问题是不等式约束优化问题，故只有一项惩罚项
，一个罚因子 ⑵规定罚因子 为某一正数，当迭代点是在可行域内 时，则惩罚项的值必为正值，因此必有
⑹由终止准则，若满足则转步骤⑺，否则转⑸
⑺,
输出最优解(x*,F*)
入口
给定：x(0) ∈D,r(0),C,ε1,ε2
内
点
k←0
法
流 程 图
用无约束优化方法求罚函数
的优化点 xk* F F(xk* )
出口
x* xk* , F* F(xk* )
+
-
K=0?
+
r ( k 1) Cr ( k )
1
u1 gu (x)
关于惩罚因子规定为正，即 。且在优化过程中
是减小的，为确保为递减数列，取常数C
r (k) Cr (k1) ,
0<C<1
称系数C为罚因子降低系数
=0 或
p
关于惩罚项 r (k)
，1由于在可行域内有
u1 gu (x)
g，u (x) 0
且 r(永k) 远取正值，故在可行域内惩罚项永为正。 r ( k )的值越小则惩罚项的值越小。
先讨论解不等式约束优化问题 设有不等式约束优化问题
S.T. :
u=1，2……，p
构造外点法惩罚函数的常见形式
取正递增
引入罚因子递增系数C>1，并令
一种解决非光滑非凸优化问题的暂态混沌神经网络
小型微型计算机系统Journal of Chinese Computer Systems 2020年12月第12期 Vol.41 N o.12 2020一种解决非光滑非凸优化问题的暂态混沌神经网络喻昕，汪炎林，徐柳明，伍灵贞(广西大学计算机与电子信息学院，南宁530004)E-mail ：****************摘要：提出了一个新的递归神经网络模型，目标是解决一类带等式与不等式约束的非光滑非凸优化问题.证明了当可行域有 界时，递归神经网络能在有限时间内收敛到可行域，并且能最终收敛到优化问题的一个关键点•并针对一般的递归神经网络在 解决非凸优化问题过程中容易陷入局部最优解的情况，本文的递归神经网络扩展为暂态混沌神经网络，能通过混沌遍历收敛到 优化问题的全局最优点.最终通过实验验证了提出模型的有效性和全局寻优能力.关键词：神经网络;非凸优化问题;暂态混沌神经网络;最优解中图分类号：T P183 文献标识码:A文章编号：1000-1220(2020)12-2522>07Transient Chaotic Neural Network for Nonsmooth and Nonconvex Optimization ProblemsY U X i n.W A N G Yan-lin,XU Liu-m i n g,W U Ling-zhen(Department of Computer and Electronic Information,Guangxi University,Nanning 530004 .China)Abstract：A new r e c u r r e n t n e u r a l network model i s proposed t o s o l v e a c l a s s of nonsmooth nonconvex o p t i m i z a t i o n problems with e-q u a l i t y and i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s I t i s proved t h a t when t h e f e a s i b l e r e g i o n i s bounded,t h e r e c u r r e n t n e u r a l network can converge t o t h e f e a s i b l e r e g i o n i n f i n i t e time and f i n a l l y t o a key p o i n t of t h e o p t i m i z a t i o n problem.For t h e g e n e r a l r e c u r r e n t n e u r a l network i s easy t o f a l l i n t o t h e l o c a l optimal s o l u t i o n i n t h e p r oc es s of s o l v i n g t h e nonconvex o p t i m i z a t i o n problem,t h e r e c u r r e n t n e u r a l network i n t h i s paper i s extended t o t h e t r a n s i e n t c h a o t i c n e u r a l network,which can converge t o t h e g l o b a l optimal s o l u t i o n of t h e o p t i m i z a t i o n problem through c h a o t i c ergodic.F i n a l l y,t h e e f f e c t i v e n e s s and g l o b a l o p t i m i z a t i o n a b i l i t y of t h e proposed model a r e v e r i f i e d by e x p e r iments.Key words：n e u r a l network；nonconvex o p t i m i z a t i o n problems；t r a n s i e n t c h a o t i c n e u r a l network；optimal s o l u t i o ni前言在科学与工程应用中，优化问题作为一类重点问题在最 近几十年内得到了广泛的关注与发展.在1986年，由Hopfield 和 Tank⑴提出一种Hopfield 神经网络（Hopfield Neural Network,H N N)作为解决优化问题的并行计算模型，引起了大家的兴趣并开始广泛应用.Zhang等人利用Laga-range乘子法创建了一个新的递归神经网络来处理凸光滑非 线性优化问题,Xia等人[3]提出了基于投影方法的递归神经 网络用以解决光滑凸（伪凸）优化问题.不久后，应用范围从光滑问题发展到非光滑优化问题，如 L i等人[4]在基于Clark次梯度的递归神经网络模型之中引人 投影方法以解决R"上闭凸子集的非凸非光滑优化问题.Liu 等人[5]尝试投影方法建立递归神经网络模型解构线性等式 和R"上闭凸子集共同约束的非光滑非凸优化问题.Bian等 人[6]也开始利用光滑递归神经网络来解决非光滑非凸的优 化问题，使用光滑逼近技术即用一个与目标函数逼近的光滑 函数构造光滑神经网络模型.Y u等人[7]基于微分包含的思 想，建立了一个不依赖罚参数的神经网络模型用以解决非光 滑非凸优化问题.然而上述的模型的本质仍是基于“梯度”或“次梯度”下 降的动力系统，无法避免“陷人”局部最优解.尤其是当优化 的目标函数是非凸时会存在多处局部最优解,这将无法保证 获得全局最优解.为了解决这个问题，Aihara等人[8]受生物神经元混沌特 性的启发，于1990年在H N N中增加一个自反馈项以引人混 沛机制开创了混纯神经网络（Chaotic Neural Network,C N N).此后，C h e n和Aihara[9]将模拟退火优化算法引人到C N N中提出了暂态混纯神经网络（T r a n s i e n t l y Chaotic Neural Net-work，T C N N).T C N N的动力系统对自反馈链接权值敏感，它 可以类比模拟退火算法中一直衰减的温度.当“温度”较大 时，整个系统处于“粗搜索”阶段，搜索过程符合混沌动态的 特性，会按照混沌轨道进行遍历，并且不受目标函数的限制，能克服陷人局部最优解；当“温度”开始减少并达到一定程度 时，系统进入“细搜索”阶段，这时的自反馈权值对系统的影 响变得很小，这时的神经网络类似于以粗搜索得到的解为初始点，根据_梯度下降机制在小范围进行搜索，并 收敛到一个平衡点，最终T C N N会收敛到一个全局最优解.TCNN提出后，不少学者对此展开研究.文献[1〇，11]分 别将TCNN应用于解决组播路由和蜂窝信道分配等组合优收稿日期:2〇2〇>01-14收修改稿日期:202(M)3>09基金项目：国家自然科学基金项目（61862004)资助.作者简介：喻昕，男，1973年 生，博士，教授,CCF会员，研究方向为神经网络、优化计算;汪炎林，男，1995年生，硕士，研究方向为神经网络;徐柳明，男，1994年生，硕士，研究 方向为神经网络;伍灵贞，女，1995年生，硕士，研究方向为神经网络.喻昕等:一种解决非光滑非凸优化问题的暂态混沌神经网络2523 12期化问题;Zhang等人0]利用小波函数作为激活函数的T C N N 来解决函数优化问题;Babak等人[|3]利用T C N N改进了反应 曲面法在函数优化问题中应用的性能.借助脑电波的生物机制，分析不同频率的正弦信号叠加 形成的脑电波模型，H u等人[14]用变频正弦（Frequency Conv e r s i o n Sinusoidal,F C S)函数与 Sigmoid 函数加权和作为混纯 神经元的激励函数，建立了一个新的神经网络模型一变频正 弦混沛神经网络（Frequency Conversion S i n u s o i d a l Chaotic Neural Network,F C S C N N)模型，并在文献[15,16]进一步分 析和优化了这种新的模型.综上，为了解决非凸非光滑优化问题，本文提出一个能收 敛到优化问题关键点集的递归神经网络，并在此基础上构建 了一个暂态混沌神经网络，用于实现非凸优化问题的全局寻优.2预备知识考虑如下问题：min f(x)s.t.g(x)^0A x-b(1)当j c= U,;c2,T e R",/:R”—R，目标函数是正则 的，但可以是非凸的和非光滑的,= (A U) ,g2(x)，…，SPU))T:1R R P 是 P-维向量值函数U= 1，2,…，P)是凸的，但可能是非光滑的，A e R是满行秩矩阵，而且办=(办1，2,"-九）^1?'我们假设优化问题（1)具有至少一个局部最小解.定义：\ = |x:衮U)矣0!S2 = \x：Ax= b\贝I J S= \n s2,S= U e R"j U)«0，/U= 是优化问题 (1)的可行域.为便于后续的证明，首先给出下面两个假设：假设1.存在一个点i e R",满足i e i n t(\)n\,使得 i>0.其中 min-gy+(i).假设2.存在义€11”，;*>0，使得;^池（451)门152,5(=5 (i,r).其中 5(i,r) = U e R n:||x- i|| 矣rl.在假设1和2成立的前提下，根据罚函数思想，对\引人罚函数=$111狀丨0,容;(文）丨，则U:Z)U)系0丨=5■卜因为以;〇〇1,2,:",/〇是凸的，那么1)(;〇为凸函数，且对任 意 a:e R n:0，x e i n t(5,)明u)=,;玉)[0，1]啤⑴，xebd(s')Z[0,l]^y(^)+I d g j(x)1X^S lVsJ〇(*);«■/+(*)这里：U) = U e 11,2,…，pi :g;(A：) >〇1,U) = b'e|l，2r__，p|:&(j c)=0|定义1.若对于集合£C R"上的任意点;c，都存在一个非 空集合R j c)C R",则；c—F(j c)是£—R"上的集值映射.若对 于任意的开集V3F(;c。
求解无约束最优化问题的一个新的拟牛顿方法.
４数值试验………………………………………………………………。３６ 总 结……………………………………………………………………………………．４ｌ 致 谢………………………………………………………………………………………４２ 参考文献…………………………………………………………………。４３
１绪论……………………………………………………………………………………………………………………。ｌ
１．１研究背景和意义……………………………………………………………………１ １．２求解无约束最优化问题的几种基本方法的简介………………………………１
１．２．１最速下降法简介……………………………………………………………．．１ １．２．２牛顿法简介…………………………………………………………………一２ １．２．３共轭梯度法简介……………………………………………………………．．３ １．２．４拟牛顿法简介…………………………………………………………………３ １．３拟牛顿法的研究近况简介……………………………………………………．６ １．４本文的主要内容………………………………………………………………．９
１．２．２牛顿法简介
牛顿法【１，２１主要是把目标模型函数取定为目标函数的二次泰勒展开式，并把这个目 标模型函数的极小点序列的极限值作为目标函数ｆ（ｘ）的最优值的近似值。
假设函数厂（ｘ）是二次连续可微的，ｘ∈Ｒ”，其海森矩阵Ｖ２ｆ（ｘ）ＰｅＪＥｆｇ的，则把ｆ（ｘ）
在ｘ。处二次泰勒展开可以得到：
厂Ｇ）＝厂Ｇ。）＋夥Ｇ。）７’瓯＋ｉ１ Ｄ。ＴＶ２厂Ｇ。声。， 二
最优化理论与方法
内点法基本原理摘要：内点法是求解含不等式约束最优化问题的一种十分有效的算法。
内点法通过构造障碍函数，求解一系列只含等式约束最优化问题，逐步得到原问题的最优解，具有找初始点容易、线性收敛、迭代次数少等特点。
本文主要介绍了内点法的基本原理，障碍方法的一般步骤并分析了该方法的优缺点，进行了算例实践。
关键词：内点法；障碍方法；Newton法The Theory of Interior Point MethodAbstract: Interior point method is a very effective algorithm for solving optimization problems with inequality constrained. Interior point method is constructed to solve a series of optimization problems with equality constraints, and the optimal solution of the original problem is obtained, which has the characteristics of finding the initial point easier, linear convergence, less iteration number and so on. This paper mainly introduces the theory of interior point method, the general steps of barrier method and analyzing the advantages and disadvantages of the method.Key words: interior point method; barrier method;Newton method1 引言内点法是由John von Neumann 利用戈尔丹的线性齐次系统提出的，后被Narendra Karmarkar 于1984年推广应用到线性规划，即Karmarkar 算法。
最优化方法-罚函数法
������(2)= 0.32,0.625 ，������ ������(2), ������1 = 1.5237
22:06
2.罚函数的基本原理
F(x)的等价表达式： ������ ������, ������ = ������ + ������[max 0, −������ + 2 ]2
其中，μ是一个充分大的数。 记 ������ ������ = [max 0, −������ + 2 ]2
通常把������������ ������ 称为罚函数（Penalty Function），记为 P ������, ������ = ������������ ������
2������1 + 2 + ������ = 0
令൞���������′���2 = 0 即ቐ
4������2+������ = 0
���������′��� = 0
������1 + ������2 − 1 = 0
解得������∗ = ������ , ������ , ������ ������∗ ≈ ������. ������������������������
利用图解法不难看出，原问题的约束极小点正是������∗ = 2.
22:06
2.罚函数的基本原理
约束极小化的一般问题为
������������������������ ������
约束最优化方法-43页PPT精选文档
s.t.
g1(x1, x2 ) x12 x22 5 0
g2 (x1, x2 ) x1 2x2 4 0
g3(x1, x2 ) x1 0
g4 (x1, x2 ) x2 0
g3=0
x2
▽g2(x*) -▽f(x*)
(3,2)T
2 1
x*
▽g1(x*)
二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续）
f ( x)
m
uig i ( x) 0
i
u i 0, i 1,2, , m
ui g i (x) 0
2(x1 3) u1 2x1 u2 u3 0(1)
2(x2 2) u1 2x2 2u2 u4 0(2)
f T ( x ) B f T ( x ) B 1 N 为既约梯度
一、解线性约束问题的既约梯度法 （续）
寻找下降可行方向：
d
(1) d 为可行方向
Ad 0
d
j
0,当 x j
0时 .
proof . :" " d 为可行方向，即
0 , 当 （ 0， ）时，
i
g
i
(x
)
i1
l
v
j
h
j
(
x
)
0
j1
u
i
0
i 1,2 , , m
u
i
带等式约束的光滑优化问题的一类新的精确罚函数
带等式约束的光滑优化问题的一类新的精确罚函数
连淑君;唐加会;杜爱华
【期刊名称】《运筹学学报》
【年(卷),期】2018(022)004
【摘要】罚函数方法是将约束优化问题转化为无约束优化问题的主要方法之一.不包含目标函数和约束函数梯度信息的罚函数,称为简单罚函数.对传统精确罚函数而言,如果它是简单的就一定是非光滑的;如果它是光滑的,就一定不是简单的.针对等式约束优化问题,提出一类新的简单罚函数,该罚函数通过增加一个新的变量来控制罚项.证明了此罚函数的光滑性和精确性,并给出了一种解决等式约束优化问题的罚函数算法.数值结果表明,该算法对于求解等式约束优化问题是可行的.
【总页数】9页(P108-116)
【作者】连淑君;唐加会;杜爱华
【作者单位】曲阜师范大学管理学院,山东日照273165;华东理工大学理学院数学系,上海200237;曲阜师范大学管理学院,山东日照273165
【正文语种】中文
【中图分类】O221.2
【相关文献】
1.等式约束优化问题的一类新的简单光滑精确罚函数 [J], 连淑君;杜爱华;唐加会
2.不等式约束优化问题的低阶精确罚函数的光滑化算法 [J], 连淑君
3.关于一类等式约束优化的简单光滑精确罚函数 [J], 戴国文;崔洪泉;杨永建;张连
生
4.求解不等式约束问题的一类新的精确罚函数方法 [J], 许雨晴;周芳宇;刘茜
5.非线性不等式约束优化问题三角型精确罚函数算法 [J], 罗福;姚奕荣
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。