最新高中圆锥曲线经典题型归纳

基本方法：点差法

适用类型：出现弦中点和斜率的关系

已知椭圆C ：2

2

2

33b y x =+，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点，求直线ON （O 为坐标原点）的斜率K ON 。

解：设00(,)N x y ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将其带入椭圆C 得：

22211222

223333x y b x y b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①

②

①减②，并整理，得：12121212()()3()()x x x x y y y y +-=-+- 进一步整理：012012111333

ON AB y x x k x y y k -==-=-=--

题型：求轨迹方程

类型：弦中点型

曲线E ：

22

12516

x y +=，过点Q （2,1）的E 弦的中点的轨迹方程。 解：设直线与椭圆交与1122(,),(,)G x y H x y 两点，中点为00(,)S x y

由点差法可得：弦的斜率0121212120

1616()

25()25x y y x x k x x y y y -+=

=-=-

-+, 由00(,)S x y ，Q （2,1）两点可得弦的斜率为001

2

y k x -=

-, 所以00

00

116225y x k x y -=

=-

-， 化简可得中点的轨迹方程为：2

2

162532250x y x y +--=.

练习：

已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点.设

1

()2

OR OP OQ =+（O 为原点）

，求点R 的轨迹方程 答案：2220x y x +-=

类型：动点型

在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段PP ′，P ′为垂足.求线段PP ′中点M 的轨迹C 的方程。

解：设M (x ，y )，P （x 1，y 1），则).,0(1y P '

则有：44,2,222

21111

1=+⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

+==y x y y x x y y y x x 代入即

得轨迹C 的方程为.1422=+y x

练习

设12,F F 分别是椭圆C ：22

1

43

x y +=的左右焦点，K 是椭圆C 上的动点，求线段1

KF 的中点B 的轨迹方程。

解：

2

21()1324y x ++=

练习：

已知)0,3(-P ,点R 在y 轴上，点Q 在x 的正半轴上，点M 在直线RQ 上，且

0=⋅2

3

,-=.当R 在y 轴上移动时，求M 点轨迹C

答案：x y 42

=

类型：动线交点型

设向量(0,2),(1,0)a b ==，过定点(0,2)A -，以a b λ+方向向量的直线与经过点

(0,2)B ，以向量2b a λ-为方向向量的直线相交于点P ，其中R λ∈，求点P 的轨迹C 的方

程。

解：设(,)P x y ∵(0,2),(1,0)a b ==，

∴(0,2)(1,0)(,2)a b λλλ+=+=，2(1,0)2(0,2)(1,4)b a λλλ-=-=-, 过定点(0,2)A -，以a b λ+方向向量的直线方程为：2(2)0x y λ-+=, 过定点(0,2)P ，以2b a λ-方向向量的直线方程为：420x y λ+-=, 联立消去λ得：2

2

84x y +=

∴求点P 的轨迹C 的方程为2

2

84x y +=.

在△ABC 中AC =，B 是椭圆22

154x y +=在x 轴上方的顶点，l 是双曲线222x y -=-位于x 轴下方的准线，当AC 在直线l 上运动时，求△ABC 外接圆的圆心P 的

轨迹E 的方程。

解：易知点(0,2),B 直线l 方程是1y =-

AC ∴=且AC 在直线l 上运动。可设(1),(1),A m C m -+-

则AC 的垂直平分线方程为x m = ①

AB 的垂直平分线方程为12y x -

=- ② P 是△ABC 的外接圆圆心，∴点P 的坐标(,)x y 满足方程①和②。

由①和②联立消去m 得26

x y =，故圆心P 的轨迹E 的方程为2

6x y =

题型：动态定值问题

类型：存在性问题

双曲线C ：2

2

13

y x -=的左右焦点分别为12F F 、，直线l 过点2F 且与双曲线C 交于P 、Q 两点。设点(, 0)M m ，问：是否存在实数m ，使得直线l 绕点2F 无论怎样转动，都有0MP MQ ⋅=成立？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.

解：当直线l 的斜率不存在时，易知(2,3),(2,3)P Q -，计算得(1,0)M -； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为(2)y k x =-，与双曲线方程联立消y 得0344)3(2

2

2

2

=++--k x k x k ， 设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，

则21222

12243433k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩

∴1212()()MP MQ x m x m y y ⋅=--+

2121222221212222222

22()()(2)(2)(1)(2)()4(1)(43)4(2)433x m x m k x x k x x k m x x m k k k k k m m k k k =--+--=+-+++++++=-++-- 2

22

3(45)3

m k m k -+=+-. 假设存在实数m ，使得0MP MQ ⋅=，故得2

2

2

3(1)(45)0m k m m -+--=恒成立，

∴2

210450

m m m ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩， 解得 1.m =-

∴当1m =-时，0MP MQ ⋅=.，