圆锥曲线常考题型总结-配有大题练习

圆锥曲线大综合

第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题

一．常考题型

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题

题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题

题型十：范围为题（本质是函数问题）

题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m =+，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）

二．热点问题

1.定义与轨迹方程问题

2.交点与中点弦问题

3.弦长及面积问题

4.对称问题

5.范围问题

6.存在性问题

7.最值问题

8.定值，定点，定直线问题

第二部分 知识储备

一． 与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠相关的知识（三个“二次”问题）

1. 判别式：24b ac ∆=-

2. 韦达定理：若一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则

12b x x a +=-

，12c x x a

⋅= 3. 求根公式：若一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则

1,22b x a

-=

二．与直线相关的知识

1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式

2. 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tan y θ=，[0,)θπ∈；

②点到直线的距离公式：

d =

d =

（斜截式）

3. 弦长公式：直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：

1212)AB x AB y =-==-或 4. 两直线1111122222:

,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系：

① 12121l l k k ⊥⇔⋅=- ②121212//l l k k b b ⇔=≠且

5. 中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)A x y B x y ，若点(),M x y 线段AB 的中点，则

111

2

,22

x x y y x y ++=

= 三．圆锥曲线的重要知识

考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。 文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线

1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。

2. 圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程

②双曲线的标准方程 ③抛物线的标准方程 3. 圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数,,a b c 三者的关系，p 的几何意义等

4. 圆锥曲线的其他知识：①通径：椭圆22b a ，双曲线2

2b a

，抛物线2p

②焦点三角形的面积：p 在椭圆上时122tan

2

F PF S b θ

=⋅V

p 在双曲线上时122/tan

2

F PF S b θ

=V

四．常结合其他知识进行综合考查

1． 圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系

2． 导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识

3． 向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等 4． 三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质

5． 不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等

五．不同类型的大题 （1）圆锥曲线与圆

例1.（本小题共14分）

已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b

-=>>

，右准线方程为x =

（Ⅰ）求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）设直线l 是圆2

2

:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，证明AOB ∠的大小为定值…

【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

（Ⅰ）由题意，得23a c

c a

⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，解得1,a c ==， ∴2

2

2

2b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2

2

12

y x -=. （Ⅱ）点()()0000,0P x y x y ≠在圆2

2

2x y +=上，

圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0

000

x y y x x y -=-

-， 化简得002x x y y +=.

由

2

20

0122

y x x x y y ⎧-=⎪⎨

⎪+=⎩及

22

002

x y +=得

()2

22

00344820x

x x x x --+-=，

∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且2

002x <<，

∴20340x -≠，且()()

222

00016434820x x x ∆=--->，

设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，

则2

00

121222

00482,3434

x x x x x x x x -+==--， ∵cos OA OB

AOB OA OB

⋅∠=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，且