九年级数学代数和几何的综合专题

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九下代数几何复习总结

ABCA 1A 2A 3B 1 B 2 B 3 代数专题复习考点一、有关数与式需要注意题目要求1、()22-的算术平方根是， -2的绝对值= ，3的相反数为 -1/3的倒数是2、化简x x -+-11 _______．3、已知：3212323=⨯⨯=C ，1032134535=⨯⨯⨯⨯=C ，154321345646=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C ，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算=610C ．4、如图，△ABC 的面积为1，分别取AC 、BC 两边的中点A 1、B 1，则四边形A 1ABB 1的面积为3 4，再分别取A 1C 、B 1C 的中点A 2、B 2，A 2C 、B 2C 的中点A 3、B 3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出3 4＋3 42＋3 43＋…＋34n ＝_____．5、观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个★ 6、某种商品降低x%后是a 元，则原价是( )A 、元、元、元、元；100x -1a D x 100a C )100x a(1B 100+ax7、若x 2+2(m-3)x+16, 是一个完全平方式，那么m 应为（）A.-5B.3C.7D.7或-18、下列各式中，运算正确的是（）A ．（x 4）3=x 7B ．a 8÷a 4=a 2C ．583523=+D ．533153=÷ 考点二、计算专题（1）11(π1)527232-⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭（2） 308(π2)12----．（3）22221(1)121a a a a a a +-÷+---+ （4） 223124x x x --=+- （5）用配方法解一元二次方程：2213x x +=.（6）先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷++++其中22a =．考点三、反比例函数的图像与性质例1 如图，函数y ＝kx与y ＝-kx+1（k ≠0）在同一坐标系内的图像大致为（）例2当n 取什么值时，y ＝（n 2+2n ）x 是反比例函数?它的图像在第几象限内?在每个象限内，y 随x的增大而增大或是减小?例3若点A(x 1,1)、B(x 2,2)、C(x 3,－3)在双曲线上，则（）A 、x 1>x 2>x 3B 、x 1>x 3>x 2C 、x 3>x 2>x 1D 、x 3>x 1>x 2例4若双曲线y=x k 12-的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是A.k ＞21 B. k ＜21 C. k =21D. 不存在考点四、二次函数的图像与性质 1、二次函数的图像例1、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（）例2、已知函数y ＝a (x ＋2)和y ＝a (x 2＋2)，那么它们在同一坐标系内图象的示意图是( )例3、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0，其中正确结论的个数为（） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个小结： a 决定开口方向及开口大小b 和a 共同决定对称轴的位置，遵循“左同右异”的原则c 决定抛物线与y 轴交点的位置同步练习：1、已知反比例函数xk y =的图象在二、四象限，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（）2、已知函数y=x 2﹣2x ﹣2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是（）A 、﹣1≤x ≤3B 、﹣3≤x ≤1C 、x ≥﹣3D 、x ≤﹣1或x ≥33、函数y=ax+b 和y=ax 2+bx+c （a ≠0）在同一个坐标系中的图象可能为（）A 、B 、C 、D 、4、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如右图所示，下列结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③2a+b=0；④a+b ＞m （am+b ）（m ≠1的实数）．其中正确的结论有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个5、如右图，抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=1，下列结论：①b ＜0；②（a+c ）2＞b 2；③2a+b-c ＞0；④3b ＜2c ．其中正确的结论有（填上正确结论的序号）． 6、二次函数y=x 2＋mx ＋n ，若m ＋n=0，则它的图象必经过点（）A ．（－1，1）B ．（1，－1）C ．（－1，－1）D ．（1，1）】7、已知二次函数y=a 2x +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b 2-4ac ＞0②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，则其中结论正确的个数是（）A 、2yO x yO xyO xyO x个 B 、3个 C 、4个 D 、5个2、二次函数的增减性与比较大小注意：a ＞0时，x ＞a b 2-与a ＜0时，x ＜a b 2-都是同增；反之，一增一减。

中考数学代数+几何知识点总结

中考数学代数+几何知识点总结第一章实数考点一、实数的概念及分类（3分）1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值（3分）1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根（3—10分）1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a 的平方根记做“a ±”。

2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0） 0≥a==a a2；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

初中数学九年级中考复习代数与几何综合题专题讲解

当A沿数轴移动4个单位到点B时，点B
所表示的实数是( )
A2
B -6
C -6或2 D 以上都不对
直接分类法
练习1、商场促销活动中，将标价为 200元的商品，在打8折的基础上，再打8折销售，现该商品的售价是( ) A 160元 B 128元 C 120元 D 88元
②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等
腰梯形，则AD=BC, ∴a=4, ∴B(4,1).
设直线ＡＢ的函数解析式为y=kx+b ，把点A,B的
坐标代入，得 4 k b，
1 4k b.
解得
k 1， b 5
直线AB的函数解析式是．Y=-x+5
综上所述，所求直线的函数解析式是Y=-2x+6
4 3
,
c 2.
6
则抛物线的解析式为
y

1 6
x2

4 3Βιβλιοθήκη x2∴C(0,2)
（2）如图①，抛物线对称轴l是 x＝4．
∵ Q（8，m）抛物线上，∴ m＝2．过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK＝2，AK＝6，
∴AQ= AK 2 QK 2 2 10
又∵ B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称，
下面举例再回顾一下解数学选择题的几种常用方法，供大家复习时参考，希望对同学们有所启发和帮助。
一、直接法：
直接根据选择题的题设，通过计算、推理、判断得出正确选项
例1、抛物线y=x2-4x+5的顶点坐标是（ A、（-2，1） B、（-2，-1） C、（2，1） D、（2，-1）
）。
类比：点A为数轴上表示-2的动点，
或．Y=-x+5

上册微专题十一概率与代数、几何知识的综合-新人教版九级数学全一册课件

A (x，y) B
－5
0 (0，－5)
2 (2，－5)
3 (3，－5)
－1
(0，－1)
(2，－1)
(3，－1)
1
(0，1)
(2，1)
(3，1)
由表可知，总共有 9 种等可能的结果，甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程 ax －y＝5 的解的结果有 3 种：(0，－5)，(2，－1)，(3，1)，
∴甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程 ax－y＝5 的解的概率为39＝13.
[2018·株洲]从－5，－130，－ 6，－1，0，2，π 这七个数中随机抽取一
个数，恰好为负整数的概率为( A )
A.27
B．37
C．47
D．57
【解析】 ∵负整数有－5 和－1，∴恰好为负整数的概率为27.故选 A.
有三张卡片(形状、大小、颜色、质地都相同)，正面分别写上整式 x2 ＋1，－x2－2，3.将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记卡片上的整式为 A，再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡片上的整式为 B，于是得到代数式 A B.
2 概率是___3___；
(2)搅匀后先从中摸出 1 个盒子(不放回)，再从余下的 2 个盒子中摸出 1 个盒子，把摸出的 2 个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．(不重叠无缝隙拼接)
解：(2)画树状图如答图所示，
变形 2 答图共有 6 种等可能的结果，其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有 2 种，故 P(拼成轴对称图形)＝26＝13.
∴PAB是分式＝46＝23.
二概率与几何的综合
[2019·黔三州]平行四边形 ABCD 中，AC，BD 是两条对角线，现从以

中考数学复习专题7几何综合题、几何与代数综合题 (2)

≥0的解集． 9.阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：（1﹣ ﹣ ﹣ ）×（ + + + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣
）×（ + + ）．令 + + =t，则原式=（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t =t+ ﹣t2﹣ t﹣ t+t2 = 问题：（1）计算（1﹣
﹣ ﹣ ﹣…﹣ ）×（ + + + +…+ + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣
的代数式表示）；（2）设该格点多边形外的格点数为，则 =
二、应用题 3.定义运算max{a， b}：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a， b}=b．如max{﹣3，2}=2．（1）max{ ， 3}= 3 ；（2）已知y1= 和y2=k2x+b在同一坐标系中的图象如图所示，若max{ ，k2x+b}= ，结合图象，直接写出x的取值范围；（3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x﹣2}的值．
归纳证明 (2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；拓展应用 (3)如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝，AB＝3．求AF的长．
5.阅读理解材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半．如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC ∵E、F是AB、CD的中点 ∴EF∥AD∥BC EF=

九年级数学专题复习代数综合问题

中考冲刺：代数综合问题【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．* 审题(读题、断句、找关键)；* 先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、公式)* 由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；* 观察——挖掘题目结构特征；联想——联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破；寻求——学会寻求解题思路．(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．【典型例题】类型一、函数综合例1．已知函数2yx和y＝kx+1(k≠0)．(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?【变式】如图，一元二次方程0322=-+x x 的两根1x ，2x （1x ＜2x ）是抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标； (3)在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．类型二、函数与方程综合例2．已知关于x 的二次函数2212m y x mx +=-+与2222m y x mx +=--，这两个二次函数的图象中的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．(1)试判断哪个二次函数的图象经过A ，B 两点；(2)若A 点坐标为(-1，0)，试求B 点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小?xyO【变式】已知关于x 的一元二次方程mx 2+(3m +1)x +3=0．（1）求证该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与x 轴交于A 、B 两个整数点（点A 在点B 左侧），且m 为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与y 轴交于点C ，点B 关于y 轴的对称点为D ，设此抛物线在－3≤x ≤12之间的部分为图象G ，如果图象G 向右平移n （n ＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．类型三、以代数为主的综合题例3．如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°得到线段OB．(1)求点B的坐标；(2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．例4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y axbx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y 轴交于点C ．（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标;（3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.举一反三：【变式】如图所示，抛物线23y ax bx =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，1tan 3OCA ∠=，6ABC S =△．(1)求点B 的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点坐标；(3)若E 点在x 轴上，F 点在抛物线上，如果A ，C ，E ，F 构成平行四边形，直接写出点E 的坐标．例5．已知函数y 1＝x ，y 2＝x 2+bx+c ，α，β为方程120y y -=的两个根，点M(t ，T)在函数y 2的图象上．(1)若13α=，12β=，求函数y 2的解析式； (2)在(1)的条件下，若函数y 1与y 2的图象的两个交点为A ，B ，当△ABM 的面积为3112时，求t 的值； (3)若0＜α＜β＜1，当0＜t ＜l 时，试确定T ，α，β三者之间的大小关系，并说明理由．【巩固练习】一、选择题1. 如图，已知在直角梯形AOBC 中，AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9，对角线OC 、AB 交于点D ，点E 、F 、G 分别是CD 、BD 、BC 的中点，以O 为原点，直线OB 为x 轴建立平面直角坐标系，则G 、E 、D 、F 四个点中与点A 在同一反比例函数图象上的是（）A ．点GB ．点EC ．点D D ．点F2．已知函数y=()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--)3(1)5(31)1(22x x x x ，若使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．33.已知二次函数y=ax 2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＜0；②4ac ﹣b 2=0；③a ＞2；④4a ﹣2b+c ＞0．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题4．若a+b-21a --42b -=33c --12c-5，则a+b+c 的值为 .5．已知关于x 的方程x 2+（k-5）x+9=0在1＜x ＜2内有一实数根，则实数k 的取值范围是．6.关于x 的方程，2kx 2-2x-3k=0的两根一个大于1，一个小于1，则实数k 的的取值范围是 .三、解答题7．关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2+1=0有两个不等实根x 1、x 2．（1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根x 1、x 2满足x 1+x 2=﹣x 1•x 2，求k 的值．8. 已知关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x ．（1）求证：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线()31+-=x m y 与函数m x y +=2的图象1C 的一个交点的横坐标为2，求关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x 的解．（3）在（2）的条件下，将抛物线()312-+--=m x m x y 绕原点旋转︒180，得到图象2C ，点P为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别与图象1C 、2C 交于N M 、两点，当线段MN 的长度最小时，求点P 的坐标．9. 抛物线2y ax bx c =++，a ＞0，c ＜0，2360a b c ++=．（1）求证：1023b a +>；（2）抛物线经过点1(,)2P m ，Q (1,)n ．① 判断mn 的符号；② 若抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 1(,0)x ，点B 2(,0)x （点A 在点B 左侧），请说明116x <，2112x <<．10. 已知：二次函数y=22(2)x n m x m mn +-+-．（1）求证：此二次函数与x 轴有交点；（2）若m-1=0,求证方程22(2)0x n m x m mn +-+-=有一个实数根为1；（3）在（2）的条件下，设方程22(2)0x n m x m mn +-+-=的另一根为a,当x=2时，关于n 的函数1y nx am =+与222(2)y x n m ax m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线L 与1y nx am =+、222(2)y x n m ax m mn =+-+-的图象分别交于点C 、D ，若CD=6，求点C 、D 的坐标.。

中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题四代数与几何综合问题的基本类型和解题策略第一节用数学思想方法解

专题四代数与几何综合问题根本类型与解题策略类型与策略几何与代数综合题一般题量较大、梯度明显，是初中数学中覆盖面最广、综合性最强题型，试题中综合题大多以代数与几何综合题形式出现，而且留有自主探究空间，表达个性开展与新课程标准理念，代数与几何大型综合题为以下类型：①在几何图形背景下建立函数或方程；②坐标系下几何图形；③函数图象与几何图形相结合问题：近几年来中考几何与代数综合题主要以压轴题形式出现，涉及到题型有关开放性探索问题、动点问题、存在性问题等居多．解答这类综合题，一般要仔细读题，细致分析，找到切入点，迅速解决第一问，然后抓住关键，由此及彼，逐层深入，合理猜测，细致演练确保第二问正确，在时间充裕情况下攻克第三问，需综合运用几何、代数方法及分类讨论思想逐一解决．规律与预测纵观遵义近5年中考，其综合压轴题，一般以二次函数为背景与几何图形综合，由浅入深设置多问，难度较大，考察方式综合运用知识与解决问题能力，预计2021年遵义中考压轴题也会是代数几何综合题，要有针对性剖析训练．第一节用数学思想方法解决问题,中考重难点突破)数学思想方法是指对数学知识与方法形成规律性理性认识，是解决数学问题根本策略．数学思想方法提醒概念、原理、规律本质，是沟通根底知识与能力桥梁，是数学知识重要组成局部．数学思想方法是数学知识在更高层次上抽象与概括，它蕴含于数学知识发生、开展与应用过程中．中考常用到数学思想方法有：整体思想、化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它实质，就可以把所学知识融会贯穿，解题时可以举一反三．【例1】(2021遵义二中二模)如图，菱形ABCD 对角线长分别为3与4，P 是对角线AC 上任一点(点P 不与A ，C 重合)，且PE∥BC 交AB 于点E ，PF ∥CD 交AD 于点F ，那么图中阴影局部面积________．【学生解答】3【规律总结】在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目题设与结论中所隐含信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．【例2】(2021随州中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)局部图象如下图，图象上点(－1，0)，对称轴为直线x ＝2，以下结论：①4a＋b ＝0；②9a＋c>3b ；③8a＋7b ＋2c>0；④假设点A(－3，y 1)，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，y 2，点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫72，y 3在该函数图象上，那么y1<y3<y2；(5)假设方程a(x＋1)(x－5)＝－3两根为x1与x2，且x1<x2，那么x1<－1<5<x2.其中正确结论有( )A．2个B．3个C．4个D．5个【学生解答】B【例3】(2021遵义六中二模)⊙O半径为2，弦BC＝23，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，那么AD长为________．【学生解答】1或3【规律总结】在几何题没有给出图形时，最好先画出图形，运用数形结合与分类讨论数学思想进展解答，防止出现漏解．【例4】(2021三明中考)如图，AB是⊙O直径，分别以OA，OB为直径作半圆．假设AB＝4，那么阴影局部面积是________．【学生解答】2π【规律总结】此类题就是化未知为、化繁为简、化难为易，通过一定策略与手段，使复杂问题简单化，陌生问题熟悉化，抽象问题具体化．具体地说，比方把隐含数量关系转化为明显数量关系；把从这一个角度提供信息转化为从另一个角度提供信息，转化内涵非常丰富，与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题转机．模拟题区1．(2021遵义航中二模)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，假设△PAD与△PBC 是相似三角形，那么满足条件点P个数是( C)A．1个B．2个C．3个D．4个(第1题图)(第2题图)2．(2021红花岗二模)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象如下图，那么以下结论：①ac＞0；②方程ax2＋bx＋c＝0两根之与大于0；③y随x增大而增大；④a －b＋c＞0，其中正确是( A)A．②B．②④C．①②④D．①②③④3．(2021金华中考)在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH 垂直平分AC，点H为垂足．设AB＝x，AD＝y，那么y关于x函数关系用图象大致可以表示为( D),A) ,B),C) ,D)4．(2021淄博中考)如图，△ABC面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝14BC ，点G 是AB 上一点，点H 在△ABC 内部，且四边形BDHG 是平行四边形，那么图中阴影局部面积是( B )A ．3B ．4C ．5D ．6(第4题图)(第5题图)5．(2021岳阳中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b(k 、b 为常数，且k≠0)与反比例函数y ＝4x (x>0)图象交于A ，B 两点，利用函数图象直接写出不等式4x<kx ＋b 解集是__1<x<4__．6．(2021 遵义十一中二模)如图，正方形边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，那么图中阴影局部面积为__8－2π__．(结果用含π式子表示)中考真题区7．(2021 温州中考)假设a ＋b ＝22，ab ＝2，那么a 2＋b 2值为( B ) A ．6 B ．4 C ．3 2 D ．238．(2021凉山中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象如图，那么反比例函数y ＝－a x与一次函数y ＝bx －c 在同一坐标系内图象大致是( C ) ,A ) ,B ),C ) ,D )9．(2021 牡丹江中考)矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，点P 是直线BD 上一点，且DP ＝DA ，直线AP 与直线BC 交于点E ，那么C E ＝__5－2或5＋2__．10．(2021德州中考)如图，半径为1半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧中点M 与圆心O 重合，那么图中阴影局部面积是__32－π6__．。

2019年中考数学复习专题《代数综合、代数几何综合》(有答案)

代数综合题一：对于实数a，b，我们用符号min{a，b}表示a，b两数中较小的数，如min{3，5}=3，因此，min{－1，－2}=________；若{}22min(1),4+=，则x=___________．x x题二：对于实数c，d，我们用符号max{c，d}表示c，d两数中较大的数，如max{3，5}=5，因此，题四：在平面直角坐标系中，点P(0，m2)(m>0)在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y A、B，交抛物线C2：y于点C、D．(1)如图①，原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC 和QD，求△AOB与△CQD面积比为_______．(2)如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F，在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为_______．题七：设函数y =⎩⎨⎧<+≥+-0130242x x x x x ，　，，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3，满足y 1=y 2=y 3，求x 1+x 2+x 3的取值范围．题八：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =243x x ++与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ． (1)求直线AC 的表达式；(2)在x 轴下方且垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，与直线AC 交于点N (x 3，y 3)，若x 1>x 2>x 3，结合函数的图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围．参考答案题一：－2，－3或2．详解：∵－2<－1，∴min{－1，－2}=－2，∵{}22+=，x xmin(1),4当(x+1)2=x2时，解得：x=－0.5，(x+1)2=x2=0.25，这时不可能得出最小值为4，当x>－0.5，(x+1)2>x2，则x2=4，解得x1=2或x2=－2(舍去)，当x<－0.5，(x+1)2<x2，则(x+1)2=4，解得x1=－3或x2=1(舍去)，∴x=－3或x=2．题二：∵{}22++=，max22,2x x x当x2+2x+2=x2时，解得：x=－1，x2+2x+2=x2=1，这时不可能得出最大值为2，当x>－1，x2+2x+2>x2，则x2+2x+2=2，解得x1=0或x2=－2(舍去)，∴x=0．题三：∴C (－3m ，m 2)，D (3m ，m 2)，∴CD =6m ，∵O 、Q 关于直线CD 对称， ∴PQ =OP ，∵CD ∥x 轴，∴∠DPQ =∠DPO =90°，∴△AOB 与△CQD 的高相等， PQ CD PO AB ⋅⋅2121=mm 64=32．AEM DFMS S=∵S △OEF +S △OFD =S △OEC +S 梯形ECDF ，而S △OFD =S △OEC =2， 2详解：先作出函数y =⎩⎨⎧<+≥+-0130242x x x x x ，　，的图象，如图，不妨设x 1<x 2<x 3，∵y =242x x -+(x ≥0)的对称轴为x =2，y 1=y 2，∴x 2+x 3=4， ∵y =242x x -+(x ≥0)的顶点坐标为(2，－2)，令y =－2，代入y =3x +1，解得：x =－1，∴－1<x 1<0，则x 1+x 2+x 3的取值范围是：－1+4<x 1+x 2+x 3<0+4，∴3<x 1+x 2+x 3<4．题八： (1)y =x +3；(2)－8<x 1+x 2+x 3<－7．详解：(1)由y =243x x ++得到：y =(x +3)(x +1)，C，∴A (－3，0)，B (－1，0)，设直线AC 的表达式为：y =kx +b (k ≠0)， ∴⎩⎨⎧==+303-b b k ，解得:⎩⎨⎧==31b k ，所以直线AC 的表达式为y =x +3，(2)由y =243x x ++得到：y =(x +2)2－1，∴抛物线y =243x x ++的对称轴是x =－2，顶点坐标是(－2，－1)，∵y 1=y 2，∴x 1+x 2=－4，令y =－1，代入y =x +3，解得：x =－4，∵x 1>x 2>x 3，∴－4<x 3<－3，∴－4－4<x 1+x 2+x 3<－3－4，∴－8<x 1+x 2+x 3<－7．代数几何综合题一：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△P AC的周长最小，并求出点P 的坐标.题二：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-4，0），B（1，0），与y轴交于点D（0，4），点C（-2，n）也在此抛物线上．（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；（2）设BC交y轴于点E，连接AE，AC请判断△ACE的形状，并说明理由.题三：在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．（1）如图1，⊙O的半径为2，①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）=，d（B，⊙O）=.是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．参考答案题一：（1）y =214x --+（），M （1，4）；（2）P （1，2）. 详解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）过A （-1，0）、B （3，0），C （0，3）三点，∴93003a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得12c=3a b =-⎧⎪=⎨⎪⎩.故抛物线的解析式为222314y x x x =-++=--+（），故顶点M 为（1，4）；（2）如图1，∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ．设对称轴与x 轴交于点H ，题二：（1）y =-x 2-3x +4，C （-2，6）；（2）△ACE 为等腰直角三角形.详解：（1）∵抛物线经过A 、B 、D 三点，∴代入抛物线解析式可得164004a b c a b c c -+⎧⎪++⎨⎪⎩＝＝＝，解得134a b c -⎧⎪-⎨⎪⎩＝＝＝，∴抛物线的解析式为 y =-x 2-3x +4， ∵点C （-2，n ）也在此抛物线上，∴n =-4+6+4=6，∴C 点坐标为（-2，6）；∴AE2+CE2=20+20=40=AC2，且AE=CE，∴△ACE为等腰直角三角形.。

九年级数学基础与综合(人教版下)--第二十四讲代数与几何综合题

第二十四讲代数与几何综合题一、选择题1.如图24- 1，抛物线y = x 2 + bx + c 与x 轴交于点 A 、点B ，与y 轴交于点 6若厶AOC 为等腰三角形，则下列各式成立的是（）.图 24 - 1A . c + b + 1 = 0B . c + b - 1 = 0C . c -b - 1 = 0D . c - b + 1 = 0 2 .如图24- 2，在平面直角坐标系中，二次函数y = ax 2 + c （a ^ 0）的图象经过正方形 ABOC 的三个顶点 A 、B 、C ,则ac 的值是（）. A . 1 B . - 1 C . 2 D . - 2 （2009兰州）如图24- 3,点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点 P 从圆心O 出发，沿 0宀C T D T O 的路线做匀速运动.设运动时间为图象中，表示y 与t 之间函数关系最恰当的是二、填空题16（x > 0）图象上五个整 x数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这个五个橄榄形的面积总和是 _______ （用含兀的代数式表示）.3. t （秒），/ APB 的度数为y （度），则下列）. 4. （2009福州）如图24- 4,已知A 、B 、C 、D 、E 是反比例函数(图 24 - 39045图24 - 45 .如图24- 5①，矩形ABCD 中，AB= 12cm , BC = 24cm;直线PQ 从AB 出发，以1cm/s 的速度向DC作匀速运动，PQ与AD、BC分别交于P、Q;点M从点C出发，沿C宀D T A T B T C方向逆时针运动，点M与PQ同时出发，当点M运动到D后改变速度；当点M与Q相遇后，点M与直线PQ均停止运动.图24- 5②是点M运动的路线长y(cm) 与运动时间t(s)的函数关系图象.图24 - 5(1) 点M在CD上运动的速度为_______ c m/s, M点改变速度后的速度为 _______ cm/s；(2) y关于运动时间t的函数关系式为________ , P、M的相遇时间是________ (s), M、Q相遇的时间是______ (s);(3) 当O W t v8时，△ PQM的面积S关于运动时间t的函数关系式为______________ ，当S=60cm1 2时，t的值为_______ ;(4) 当PM = QM时，此时的时间为 ______ s.二、解答题6 .如图24- 6,在平面直角坐标系中，Rt△ AOB也Rt△ CDA，且A( —1, 0)、B(0, 2)，抛物线y= ax2+ ax—2经过点C.1 27.已知：二次函数y x2bx c的图象经过点A(—3, 6)，并与x轴交于点B( —1, 0)2和点C,顶点为P.1 求抛物线的解析式；2 在抛物线(对称轴右侧)上是否存在两点P, Q,使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P, Q的坐标，若不存在，请说明理由.(1)求这个二次函数的解析式；⑵设D为线段0C上的点，满足/ DPC = Z BAC,求点D的坐标.&已知：抛物线y = x2+ (2n—1)x+ n2—1(n为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求它所对应的函数关系式；⑵设A是(1)所确定的抛物线上，位于x轴下方且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB丄x轴于B, DC丄x轴于C.①当BC = 1时，求矩形ABCD的周长；②矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.9. 如图24 —7,对称轴为直线X=7的抛物线经过点A(6, 0)和B(0, 4).2⑵设点E(x, y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以0A为对角线的平行四边形•求口OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并求变量x的取值范围；①当口OEAF的面积为24时，请判断D OEAF是否为菱形？并说明理由；②是否存在点E,使口OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在请说明理由.10. 如图24 —8,直线AB交x轴于点A(2 , 0)，交抛物线y= ax2于点B(1，-、3)，点C到△ OAB各顶点的距离相等，直线AC交y轴于点D .（1）求直线0C 及抛物线的解析式；⑵当x >0时，在直线0C 和抛物线尸ax 2上是否分别存在点 P 和点Q,使四边形DOPQ 为特殊的梯形？若存在，求点P 、Q 的坐标；若不存在，说明理由.②图 24 - 9⑴当AD = 2，且点Q 与点B 重合时（如图24 — 9②所示），求线段PC 的长；3⑵在图24 — 9①中，连结AP ，当AD = 2，且点Q 在线段AB 上时，设点B ,的距离为x ,字^ =y ，其中S SPQ 、S MBC 分别表示厶APQ 和厶PBC 的面积，求y关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； ⑶当AD V AB ,且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图24 - 9③所示），求/ QPC 的大小. 12. （2009哈尔滨）如图24 — 10①，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形11. （2009 上海）已知：如图，24- 9①/ ABC = 90°, AB = 2, BC = 3, AD // BC , PAD为线段BD 上的动点，点 Q 在射线AB 上，且满足 PQPC ABA 1 ! D! D A 1 rxKA £C c QQ 之间 ①DABCO是菱形，点A的坐标为（一3, 4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M , AB 边交y轴于点H .（1）求直线AC的解析式;⑵连结BM,如图24- 10②，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△ PMB的面积为S(S M 0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；(3) 在(2)的条件下，当t为何值时，/ MPB与/ BCO互为余角？并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.13. (2009温州)如图24- 11,在平面直角坐标系中，点AC，3,0), B(^3, 2),C(0, 2).动点D以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿AB向终点B运动.过点E作EF丄AB，交BC 于点F，连结DA、DF •设运动时间为t秒.(1) 求/ ABC的度数；⑵当t为何值时，AB// DF?(3)设四边形AEFD的面积为S,求S关于t的函数关系式及自变量x的取值范围.14. 把一张宽AD = 2的矩形纸片ABCD，如图24- 12①那样折叠，折叠后的点A落在CD 边上.现将矩形纸片放在如图24- 12②所示的平面直角坐标系中，设折叠后A的落点A',与AD、AB的交点分别为E、F , EF交x轴于点G ,过点A作x轴的垂线，交x轴于点H，交EF于点T.设DA = x,点T的纵坐标为y,求y与x之间的函数关系式.图24 - 1215. (2007福州)如图24- 13①，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB 所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 点D的坐标为(8, 0)，点B的标为(0, 6).点F在对角线AC 上运动(点F不与点A、C重合)，过点F分别作x轴、y轴的垂线，垂足为G、E.设四边形BCFE 的面积为◎,四边形CDGF的面积为S2,^ AFG的面积为S3.图24 - 13⑴试判断Si、S2的关系，并加以证明；⑵当S3 : S2= 1 : 3时，求点F的坐标；⑶如图24- 13②，在⑵的条件下，把△ AEF沿对角线AC所在的直线平移，得到△ A' E' F '且A '、F '两点始终在直线AC上.是否存在这样的点 E '，使点E ' 到x轴的距离与到y轴的距离比是5 ：4?若存在，请求出点E'的坐标；若不存在，请说明理由.216. (2008 武汉)如图24- 14①，抛物线y= ax - 3ax+ b 经过A( —1, 0), C(3, 2)两点，与y 轴交于点D，与x轴交于另一点B.图24 - 14(1)求此抛物线的解析式；⑵若直线y= kx- 1(k z 0)将四边形ABCD面积二等分，求k的值；⑶如图24- 14②，过点E(1 , - 1)作EF丄x轴于点F-将厶AEF绕平面内某点旋转180°后得①②△ MNQ(点M、N、Q分别与点A、E、F对应)，使点M、N在抛物线上，求点M、N的坐标.17. (2009重庆)已知：如图24 —15,在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y 轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA= 2, OC = 3.过原点O作/ AOC的平分线交AB于点D，连结DC ,过点D作DE丄DC ,交OA于点E .⑴求过点E、D、C的抛物线的解析式；⑵将/ EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段0C交于点G.如果DF与⑴中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为-,5那么EF = 2G0是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△ PCG是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案第二十四讲代数与几何综合题D . 2. D . 3. C .S 圆 T HC 2 1 S 4 S OHC 4 OH HC = 4 n — 8,所以S 大橄榄形=2S = 8n -16同理，D 处橄榄形所在正方形边长为2, 所以 S D 橄榄形=2( — ：: 22 一丄：：2 ：： 2) = 2 n —4.4 2n .S E 橄榄形=——1.2而同图可知S B 橄榄形= S D 橄榄形, S A 橄榄形=S E 橄榄形,n所以 S 总面积=8“一 16+ 2(2 二一4) + 2(— 1) = 13J — 26.2① 当 P 、M 相遇时，AP = t , DM = y —12= 4t — 16, 由 AP + DM = 24 可得 t + (4t — 16) = 24.解得 t = &② 当M 、Q 相遇时，BQ = t , BM = y — 2AB — AD = 4t — 52.52 由 BM = BQ 得 4t — 52= t .解得 t 工52 - 3<-6t +144(0 兰t 兰4), 厂30t +240(4<t V8).当 S = 60 时，若—6t + 144= 60，解得 t = 14,因为此时0w t w 4,所以t = 14(舍去).若—30t + 240= 60,解得t = 6(符合题意).所以当S = 60时，t 的值为6.(4) 2或11.5.提示：当 M 点运动到CD 或AB 中点时，有PM = QM .分别计算时间就可4. 13二-26 .提示：观察图象结合16), B(2, 8), C(4, 4), D(8, 个橄榄形 16 A 、B 、C 、D 、E 为y 的五个整数点可推断： A(1 ,x 5. (1)3, 4.(2)y =』航―)8,52.卑―4(4ctW6) . 3 ⑶SR G答图24 - 1以了.6 .解： ⑴由 Rt △ AOB 也 Rt A CDA ，得 0D = 2+ 1 = 3, CD = 1 ,••• C 点坐标为（一3, 1）.可得抛物线的解析式为 y =J x 2」X_2.2 2（2）在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P 、Q ,使四边形 ABPQ 是正方形.以 AB 为边在 AB 的右侧作正方形 ABPQ .过P 作PE 丄0B 于E , QG 丄x 轴于G （见答图24 -2）, i A\ 0 /"討p< 1 答图24 - 2 可证△ PBE ◎△ AQG ◎△ BAO .• PE = AG = B0= 2, BE = QG = A0= 1 .• P 点坐标为(2, 1), Q 点坐标为(1 , - 1).由(1)抛物线y =」x 2 •丄X -2 ,2 2当x = 2时，y = 1，当x = 1时，y =— 1 .• P 、Q 在抛物线上.故在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P(2, 1)、Q(1,— 1),使四边形 ABPQ 是正方形. 1 2 37. (1) y x - x -22 (2)C(3, 0).可证/ ACB =Z PCD = 45°.(见答图 24 — 3)易求得 AC = 6 .2 , PC = 2 .2 , BC = 4,4 45 5• DC = -, OD = 3— = - .• D(Y , 0).3 3 3 32 c8. (1)y = x — 3x .•••/ DPC = Z BAC ,• △ DPC BAC .(2)抛物线与x轴的另一个交点为(3, 0), 顶点为(3, —9),对称轴为直线x = 3,2 4 2其大致位置如答图24—4所示.竹答图24 — 4①••• BC = 1,由抛物线和矩形的对称性可知OB = - X (3 —1) = 1 ,••• B(1 , 0), A(1 , —2) , AB = 2.2矩形ABCD的周长为6.②可设A点的坐标为(x , x2—3x),3• B 点的坐标为(x , 0)(0v x v -) , BC = 3—2x.2••• A在x轴下方，•- x?—3x v 0 , AB = |x?—3x|= 3x — / ,•矩形ABCD 的周长P= 2[(3x—x2)+ (3 —2x)] = —2(x—- )2+ 13.2 2•/ 0 v -v 3, •当x=-时，矩形ABCD的周长P有最大值为13.2 2 2 2此时点A的坐标为A(-,—-).2 49. 解：(1)由抛物线的对称轴是x=7,及抛物线经过点A(6 , 0)可知抛物线还经过(1 , 0)2占八、、♦设抛物线的解析式为y= a(x—1)(x—6).2 2 o 14由抛物线经过点B(0 , 4)可得a二？.故抛物线解析式为y上x2 - 14x • 4 ,顶点3 3 3为昇25、为(二)•2 62 7 25(2)•••点E(x , y)在抛物线上，位于第四象限，• y v0且坐标适合y=—(x-7)2-—-3 2 6•/ OA是口OEAF的对角线，1 7 2--S= 2S A OAE= 2 X X OA • |y|=—6y =—4(x—) + 25.2 2•••抛物线与x轴的两个交点是(1, 0)和(6 , 0)，•自变量x的取值范围是1 v x v 6.①根据题意，当S= 24时，即—4(x —7)2+ 25= 24.2化简，得(x - 7) 2 = 1 .解之，得 X 1 = 3 , x 2= 4 •2 4 此时点E 坐标分别为E I (3, - 4), E 2(4,— 4).点 E I (3, — 4)满足 0E = AE ,点 E 2(4,— 4)不满足 0E = AE ,•••当口 OEAF 的面积为24,且点E 坐标为(3, — 4)时，口 OEAF 是菱形. ②当0A 丄EF ，且0A = EF 时，D OEAF 是正方形，此时点E 的坐标只能是(3,— 3).而坐标为(3, — 3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E ,使口OEAF 为正方形.10. 简解：(1)见答图24 — 5 — 1，可得直线 AB 的解析式为y - -.、3x • 2、、3..抛物线的解析式为 y = .. 3x 2.又•••点C 到厶OAB 各顶点距离相等，可得△ OAB 为等边三角形，即点C 是厶OAB 三边的垂直平分线的交点.连结 BC ,并延长交OA 于E ,则 BE 丄 OA , OE = AE . •••点E 的坐标为(1 , 0). 可得点C 的坐标为C(1,-).3•直线OC 的解析式为y =x ,直线AC 的解析式为y =— x +-. 333⑵可得点D 的坐标为D(0,今卫),OD =仝卫.33① OD // PQ .(i )当DQ 1 = OP 1时，四边形DOPg 为等腰梯形.(如答图24 — 5①)由题意得,△ OCD 为等边三角形，/ CDO = / COD ,• Q 1是直线AC 与抛物线的交点，(ii )当/ ODQ 2= 90°时，四边形 DOP 2Q 2为直角梯形(如答图24 — 5②).£，2®3答图24 - 5②设过点D （0,竽）且平行于x 轴的直线交抛物线 y 二,3x 2于点Q 2,则Q 2的纵3 坐标为2、3，可得点Q 2的坐标为（学,23），点P 2的坐标为（学,：；2）.3 3^3 3 ' 3 ② DQ // OP .过点D （O ,^^）且平行于oc 的直线为y •為3 ,交抛物线 y = ..3X 2 于点 Q .「. ^x 233 r3x 2,2解得禺=1或x 2（舍）.3把 x = 1 代入 y = 3x 2 中，得 y = 3,•••点Q 的坐标为（1, 3）（与点B 重合）.（i ）当 OD = P 3Q 3时，四边形DOP 3Q 3是等腰梯形，如答图 24- 5 — 1.•••△ OCD 为等边三角形，/ DOC = / Q 3P 3O = 60°,「. Q 3P 3/ AC . 可得Q 3P 3的解析式为，433 •33点P 3为直线Q 3P 3与直线OC 的交点，.••点P 3的坐标为 Q 4（1,、3）（与点B 重合）时，四边形DOPQ 为直角梯形.思路分析： ⑴考虑到 AB = AD = 2，贝U PQ : PC = 1，即PQ = PC ; （2）先分别表示出S^ APQ 和PBC ，然后再去表示两三角形面积之比，列出函数关系式；⑶（2等（ii ）Z OP 4Q 4= 90°时，四OC 与直线AB 的交点.,2 4、32.3Q 1 （-^9 ）和卩3（2,卞），合）时，四边形DOPQ 为等腰梯形；当P2^36^32） ^Q 2^36,2233）和卩4（? 迈）、3 3 3 3 2 2Q 3（1,，3）（与点 B 重y利用三角形相似与等量代换.简解：⑴当AD = 2时可得/ PBC = 45°.PQ AD,AD = AB ，点 Q 与点 B 重合，• PB = PQ = PC . PC AB•••/ PCB =Z PBC = 45°.「./ BPC = 90°. 在 Rt △ BPC 中，PC = BC • cosC = 3 X cos45°=⑵如答图24- 6①，过点P 作PE 丄BC , PF 丄AB ,垂足分别为可得四边形FBEP 是矩形.••• PF // BC , PE = BF .3•- CG = — ,PG = AB =2, PC2AD 可得 PQ =15 ABE、•/ AD // BC ,「. PF // AD .BF•/ AQ = AB - QB = 2 — x , BC = 3,PF.AD 又 AD 旦AB =2,. 2AB PF PEPF BF1S.APQ 2 SPBC 1BCPF PE••• y 与x 的函数关系是为 yrB G C当点Q 与点B 重合时,x = 0; 答图24 - 6 当点P运动到与点D 重合时，x 取得最大值.作 PG 丄BC 于G .AD =3 , BC =23可得PB = PC , G 为BC 中点.在 Rt △ FAQ 中, PA 2 + AQ 2= PQ 2, （扩（2—t ）2 =（舟）2.整理，得t 2_4t晋"解得t1计,t225 8QA DQPN •/ AD // BC,「. PN // AD . -BN ADABPNPMADAB由0v t v 2 得t =78•自变量x的取值范围是0^t _7 -8(3) 如答图24- 6③，过点P作PM丄BC,PN丄AB,垂足分别为M、N，可得四边形PNBM 为矩形，PN // BC, PM = BN，/MFN = 90°._ PQ AD . PN PQ"AB " P M "PC又•••/ PMC = Z PNQ = 90 °,「. Rt △ PCM s Rt △ PQN .•••/ CPM = Z QPN .•••/ MPN = 90°,「./ QPC = Z CPM + Z QPM = Z MPN = 90°.12 .思路分析：由 A( — 3, 4)可知AO = 5,贝U OC = 5，所以点C 坐标(5, 0)，可求出直线 AC1的解析式；当点 P 在AB 上时，S 二丄BPMH ，当点P 在BC 上时，由菱形性质可知2 △ MOCMBC ，从而/ MBC = 90°，所以 S =丄 BR MB. 2解：⑴过点A 作AE 丄x 轴，垂足为E （如答图24 — 7①）.答图24 — 7①由A （— 3，4）及四边形ABCO 为菱形，可得 OC = CB = BA = OA = 5，C 点的坐标为 C （5，0）. 可得直线AC 的解析式为y = _丄x • 5 •2 2 1 S = BP •2 2 2 2②当P 点在BC 边上运动时，记为 P i .•••/ OCM = Z BCM ，CO = CB ，CM = CM ，5• △ OMC ◎△ BMC . • BM = OM = -，Z MBC = Z MOC = 90°5 5⑵由⑴得M 点坐标为（0，- ），• OM =2 2①如答图24 — 7②，当P 点在AB 边上运动时,2ci 1 5 5 25 5•- S= P1B • BM = (2t —5) •= t—( v t w 5).2 2 2 2 4 2⑶设OP与AC相交于点Q，连结OB交AC与K.3可得 tan / BCO = tan / AOE =里，由/ MPB 与/ BCO 互余可得 tan / MPB =•44①当P 点在AB 边上运动时，如答图 24- 7②.MH MH =OH -OM , PH 2.2 tan ZMPB1 由 PH = AH — AP 得 3- 2t = 2. t 2AQ AP 1由 AB//OC 可得△ AQPCQO .…CQ CO 5 在 Rt △ AEC 中，AC =:：：AE 2 EC 2〉』42 82 =4.5,25 10 ..5 ^,QC3-在 Rt △ OHB 中，OB h 』HB 2 HO 2 =：；22 42 =2、、5. 由菱形性质可得OK 」O B = . 5,AK 二匹=2 .5,. QK =AK — AQ 二爲^, 2 2 3 ••• tan. OQC =巴=3QK 4②当P 点在BC 边上运动时，如答图 24 - 7③..QK =KC —CQ 二 5.—OKOK", tan OQK =OKMtan._ MPB 3 10由PB =2t -5 解得325由 PC // OA 可得△ PQC s^ OQA . CQ AQCP CQ」,CQ 」AC-5.4AO AQ 3综上所述，当t =1或t =竺时，/ MPB与/ BOC互为余角，直线OP与直线AC所 2 63夹锐角的正切值为3或1.413•思路分析：第(1)(2)题，通过解直角三角形解决，第⑶题求四边形AEFD的面积时，要把它转化为规则图形的面积的和或•/ C(0, 2), B(3.3 , 2),••• BC // OA.差来解答.解：•••/ ABC = Z BAM .•/ BM = 2, AM = 2 3 , • tan/BAM =圧3•••/ ABC = Z BAM = 30°.(2)若AB / DF，则/ CFD = Z ABC = 30°.在Rt△ DCF 中，CD = 2-t，/ CFD = 30 °，/3•- S= S 梯形OABC —S A OAD —S A CDF —S A FEB=4 . 3 一J『- ](2 7)(4t 1) - 6(4 -2t)2二-3t -3.(0 :: t =2)14•简解：连结AA',由折叠的对称性知，EF垂直平分AA '于点G.在Rt A A' GT中，2 GH 丄A' T, AA'丄EF，所以△ A' GH GTH，所以HG : HT = A' H : GH，即HG•/ AB = 4 ,• BE = 4- 2t ,/ FBE = 30°.. BF"厂2—.E( 3・3t,t) ,• DE // x 轴.11S = S ^DEF + S A DEA = DE CD DE22CF = , 3 (2 -1). = 2(4_2t) _ 3⑶方法一：过点 E 作EG 丄x 轴于点G ,则 EG = t , OG 3 •.3t.OD =丄 DE OC 二2方法二：BF’D, CF 43-2(4切/ 1=H「A' H•而A' H= 1，HG持，所以HT Jx2.又因为点T在第四象限，所以T 的纵坐标为_】x4 5，故所求的函数关系式为415. 解:(1)S i= S2-证明：如答图24- 9①,4 15口，叫).答图24 - 9①•/ FE 丄y 轴，FG 丄 x 轴，/ ABD = 90°, •••四边形AEFG 是矩形. ••• AE = GF , EF = AG .• S ^AEF = S A A FG .冋理 S A ABC = S A A CD .• S ^ABC — S ^AEF = S X ACD — S A AFG ，即 S 1 = S 2 .=3— 5a ,同理可得②如答图24 — 9③，若点 E'在第二象限，•设 E '—4a , 5a), a > 0, 得 AN = 4a , A N(2) •/ FG // CD ,•••△ AFG ACD .S SFG 2 AG 21 1K=(CD )=(AD )二门=4CD = BA = 6, AD = BC = 8,「. FG = 3, ⑶假设存在符合条件的点 E '.V A A ' E 'E ' A '= EA = 3, E 'F ' = EF = 4. ①如答图24 — 9②，若点1 __2 'AG = 4, • F(4, 3).F '是由△ AEF 沿直线AC 平移得到的, 设 E ' (4, 5a), a > 0.延长 E'A'交 x 轴于 M ，得 AM = 5a — 3, AM = 4a . 由 tan. A AM =列AM5a - 34a答图24 — 9③3③ 如答图24- 9④，若点E '在第三象限,答图24 - 9④ 设 E ' （— 4a , — 5a ）, a >0,延长 E ' F'交 y 轴于点 P ,得 AP = 5a , PF '= 4a -4.同理可得0 = 5a ■3 4a —43 a （a v 0，舍去）. 2 在第三象限不存在点 E '. ④点E '不可能在第四象限. •••存在满足条件的 E '坐标分别是（6兰）或（_3'2 2' 81 2 316. 解：⑴抛物线解析式为 y-- — x —x 2.2 2（2）方法一：（见答图24 - 10①）, 1 2 3由 yx 2 x 2，得 B(4, 0), D(0, 2). 2 2• CD // AB . 1…S 梯形 ABCD =(5 + 3) X 2 = 8.2设直线y = kx - 1分别交AB 、CD 于点H 、T , 小 1 3 则 H( , 0), T( , 2).kk•••直线y = kx - 1平分四边形 ABCD 的面积，131( 1) 2=4.2 k k方法二：过点 C 作CH 丄AB 于点H .(见答图24- 10②)13「5a4a3 15 E (S ，R.• • S 梯形=—S 梯形 ABCD =4. 23答图24 - 10①. 12 3由y x2x 2 得B(4 , 0), C(0, 2).2 2••• CD // AB.由抛物线的对称性得四边形ABCD是等腰梯形.• S^AOD = S A BHC .3设矩形ODCH的对称中心为P,贝y P(—,1).2由矩形的中心对称性知：过P点任一直线将它的面积平分.•••过P点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD的面积平分. 当直线y= kx- 1经过点P时，得1 = 3k -1..2 34 4•••当k =—时，直线y =—x -1将四边形ABCD面积二等分.3 3⑶见答图24- 10③.假设△ AEF绕点G旋转180°后得到△ MNQ，由中心对称性可知△ AEF MNQ .MQ = AF = 2, NQ = EF = 1，/ MQN = Z AFE = 90°. 设M(m, n)，则N(m-2, n+ 1).T M、N在抛物线上，.n = -丄m2—m 2,2 21 23且n 1 (m —2) (m —2) 2.2 2"，口 m = 3, 解得』• M(3, 2), N(1 , 3).“ =1.17 .分析(1)设抛物线的解析式为y= ax2+ bx+ c(a^ 0)，由已知先求出C、D、E的坐标后再代入求出a、b、c的值即可；(2)先假设EF = 2GO成立，再根据题设条件给予证明；(3)方法同⑵.简解：(1)由已知，得C(3, 0), D(2, 2).•••/ ADE = 90°—/ CDB = Z BCD ,1 AE = AD • tan / ADE = 2x tan /BCD =2 x = 1. 2 .E(0, 1).可得过点E 、D 、C 的抛物线的解析式为 y =_£x 21.6 6(2)EF = 2GO 成立.6 12 •••点M 在该抛物线上，且它的横坐标为一，.点M 的纵坐标为一 •55可得直线DM 的解析式为y• 3.2答图24 — 11①•••/ ADK =/ FDG = 90 °，•/ FDA = / GDK . 又•••/ FAD = / GKD = 90° ,•△ DAF ◎△ DKG .KG = AF = 1.. GO = 1 .• EF = 2GO .⑶如答图24 — 11②.点P 在AB 上，G(1 , 0), C(3,A 4-r6 H C\?答图24 — 11②则设 P(t , 2). • PG 2= (t — 1)2+ 22, PC 2= (3 — t)2 + 22, GC = 2. ① 若 PG = PC ,贝U (t — 1)2 + 22 = (3 — t)2+ 22. 解得t = 2 ,• P 1(2, 2),此时点Q 1与点P 1重合. • Q 1 (2, 2).② 若 PG = GC ,贝U (t — 1)2 + 22= 22,得t = 1, • P 2(1 , 2).此时GP 2丄x 轴，GP 2与该抛物线在第一象限内的交点 Q 2的横坐标为1,•••点Q 2的纵坐标为-■ Q 2(1,-)••• F(0, 3), EF = 2.K ，则 DA = DK .0),3 3③若PC = GC,贝y （3 —1）2+ 22= 22,解得t = 3,「. P3（3, 2），此时P3C= GC = 2,△ P3CG为等腰直角三角形.过点Q3作Q3H 丄x 轴于点H，贝y Q3H = GH，设Q3H = h,••• Q3（h+ 1, h）. ••• Q3 在抛物线上，_§（h 1）2 12（h 1）+ 1 = h.6 67 12 7解得h1= , h2=—2（舍去）..Q3（12,7）5 5 57 12 7综上所述，存在三个满足条件的点Q.即Q1(2, 2)或Q2(1,-)或Q3(—，—厂3 5 54 4•••当y时，直线yxT将四边形ABCD面积二等分.。

【初三数学】代数几何综合题(含答案)(共15页)

代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。

例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ）（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。

解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥,∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO 9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90∴∆∆BOP PAC ~∴=PO AC BOPA，∴=+||||||x y x 22， x y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122（2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 ,当x =-1时，y =-32，∴=CA 32BO a BOQ CAQ OQ AQ BOCA//~,，∴∴=∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2∴-=∴=m m m 223287，Q 点坐标为()870，说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。

关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。

练习1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.(1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。

（4分）B2．如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O 的两根，且x1<0<x2．(1)求m的取值范围；(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式.3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。

初三数学重要知识总结几何与代数的综合运用

初三数学重要知识总结几何与代数的综合运用初三数学重要知识总结：几何与代数的综合运用数学是一门综合性强的学科，其中几何和代数作为数学的两个重要分支，在初三阶段更是有着非常重要的知识点。

几何注重空间形状和图形的运算，代数则侧重于符号和式子的变量规律。

在初三数学中，几何和代数这两个部分经常需要进行综合运用。

本文将重点总结初三数学中几何与代数的综合运用的知识点和方法。

1. 平面几何知识在初三数学中，平面几何的知识点非常重要，其中包括：平行线与垂直线的性质、三角形的性质、相似三角形的判定和性质等。

这些知识点常常需要通过代数方法进行求解和证明。

2. 代数方程的应用代数方程是数学中的一种重要工具，可以用于表示和解决实际问题。

在初三数学中，常常通过代数方程来解决几何问题。

例如，通过设未知数x表示一个角的大小，根据已知条件列出方程，通过求解方程得到问题的解。

3. 代数式的变形在初三数学中，代数式的变形是解决几何与代数综合运用问题的重要方法。

通过对代数式进行等价变形，可以推导出与几何形状相关的关系式，进而解决问题。

例如，通过变形二次根式可以转化为一次根式，从而简化计算。

4. 利用几何关系构建代数方程利用几何关系构建代数方程是几何与代数综合运用的常见方法。

例如，通过面积和周长的关系构建方程，通过角的性质构建方程等。

通过将几何问题转化为代数问题，可以更加灵活地解决问题。

5. 代数与几何的证明几何证明和代数证明是数学中常见的证明方法。

在初三数学中，常常需要通过几何与代数的综合运用来进行证明。

例如，通过数学归纳法证明等式或不等式的成立，通过几何图形的性质证明代数关系等。

6. 解析几何与坐标系解析几何是几何与代数综合运用的重要手段之一，在初三数学中也是常见的知识点。

通过引入坐标系，将几何问题转化为代数问题，可以更加直观地解决问题。

例如，通过坐标系求解直线与曲线的交点、判定三角形的位置关系等。

综上所述，初三数学中几何与代数的综合运用是重要的知识点。

初三中考总复习代数几何综合题解题策略

【说明】1、本例说明，坐标系里的图形与动点相关的问题，其基础问题仍然是求点的坐标和线段的长度，只是此时有关的量，可能要用与“运动”有关的数量的代数式来表示。
从本题解的过程可以看到，善于构造恰当的直角三角形，以及灵活恰当地实施“坐标”与“线段长”之间的转换，是落实解法的可靠保证。
练习：
如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是等腰梯形，，点P为轴上的一个动点，点P不与点，点A重合，连结CP，过点P作交AB于点D。
轴向右平移轴向右平移轴向右平移11个单位个单位个单位轴向上平移轴向上平移轴向上平移22个单位个单位个单位关于关于关于xx轴作轴对称变换沿轴作轴对称变换沿轴作轴对称变换沿xx关于关于关于yy轴作轴对称变换沿轴作轴对称变换沿轴作轴对称变换沿yy关于原点作中心对称变换绕原点旋转关于原点作中心对称变换绕原点旋转关于原点作中心对称变换绕原点旋转180180180从数的角度从数的角度从数的角度由于图形在作变换时抛物线的大小形状并未改变由于图形在作变换时抛物线的大小形状并未改变由于图形在作变换时抛物线的大小形状并未改变所以所以所以aa不变不变不变根据局部带动整体可由原顶点坐标求出变换后新顶点坐标再用草图判断开口方向确定根据局部带动整体可由原顶点坐标求出变换后新顶点坐标再用草图判断开口方向确定根据局部带动整体可由原顶点坐标求出变换后新顶点坐标再用草图判断开口方向确定aaa代入顶代入顶代入顶点式求得解析式
代数几何综合题解题策略
代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题．
从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。经常考察的题目是以函数为背景，在平面直角坐标系下研究几何问题（简称坐标几何问题），以及在图形运动过程中的探究性问题等。

2023年中考数学总复习：代数几何综合问题

2023年中考数学总复习：代数几何综合问题【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径.解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.第1页共23页。

【优质】初三九年数学：《专题二十四)圆与代数、几何的综合》ppt课件

解：(1)由(b2＋c2)(b2＋c2－14)－72＝0，得 b2＋c2＝18，b2＋c2＝－4(舍去)，∵b， c 是方程 x2＋kx＋9＝0 的两根，∴b＋c＝－k，bc＝9，∴b2＋c2＝(b＋c)2－2bc ＝18，即(－k)2－2×9＝18，解得 k＝6 或 k＝－6，∵b＋c＝－k，c，b 是三角形的边长，∴k＝6 舍去，即 k＝－6 (2)把 k＝－6 代入方程得：x2－6x＋9＝0，解得 x1＝x2＝3，即 b＝c＝3，AB＝AC＝3，∵AP 是直径，∴∠ADP＝90°＝
∴△AHM∽△NHB，∴HAMH ＝HHNB，∴HM·HN＝AH·HB，∴HE·HF＝ AH·HB＝2×(10－2)＝16
4. (烟台中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝12 cm，BD＝16 cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2 cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1 cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t(s)(t＞0)，以点M为圆心，MB长为半径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN.
∵PE∥AB，∴△CPE∽△CBA，∴BPAE ＝BCCP ，P3E＝2－23x，∴PE＝－92x＋3，
∴四边形 ADPE 的面积 S＝12(PE＋AD)×PD＝12×(－92x＋Байду номын сангаас＋3－x)·2 2x＝－121 2x2＋6 2x (3)⊙O 能与 BC 相切，理由：根据圆的切线的性质，当∠APB＝
90°时，⊙O 能与 BC 相切，∵AP 是直径，∴∠ADP＝90°，∵AC＝AB＝3， BC＝2，∴BP＝PC＝1，由(2)知：PB＝3x＝1，∴x＝13
2. (黔东南州中考)如图，⊙M 的圆心 M(－1，2)，⊙M 经过坐标原点 O，与 y 轴交于点 A.经过点 A 的一条直线 l 表达式为：y＝－12x＋4 与 x 轴交于点 B，以 M 为顶点的抛物线经过 x 轴上点 D(2，0)和点 C(－4，0)．

浙教版九年级上册数学第二章微专题概率与代数、几何的综合(解析版)

微专题__概率与代数、几何的综合_一概率与代数式的综合教材P59作业题第2题)下表是中国人民银行公布的中国人寿保险经验生命表(2019～2019年)女性表的局部摘录．根据下表估算以下概率(结果精确到(1)一名女性79(2)一名61岁的女性活到80岁的概率．解：(1)一名女性79岁当年死亡的概率P＝d79l79＝32 429649 175≈0.050 0；(2)一名61岁的女性活到80岁的概率P＝616 746938 005≈0.657 5.【思想方法】概率与代数、几何的综合运用其本质还是求概率 ,只不过应用代数和几何的方法确定某些限制条件的事件数．一般的方法是先利用列表或画树状图求出所有等可能的情况 ,然后求出满足所涉及知识的情形 ,再求概率 ,此类问题能很好地考查概率与其他知识的综合运用．[2019·滨州]有5张看上去无差异的卡片 ,上面分别写着0 ,π , 2 ,19,1.333 ,随机抽取1张 ,那么取出的数是无理数的概率是__25__．有3张卡片(形状、大小、颜色、质地都相同) ,正面分别写上整式x2＋1 ,－x2－2 ,3.将这3张卡片反面向上洗匀 ,从中任意抽取1张卡片 ,记卡片上的整式为A,再从剩下的卡片中任意抽取1张 ,记卡片上的整式为B ,于是得到代数式A B.(1)请用画树状图或列表的方法 ,写出代数式AB 所有可能的结果；(2)求代数式A B恰好是分式的概率．解：(1)画树状图如答图；变形2答图(2)代数式A B 所有可能的结果共有6种 ,每种结果出现的可能性相等 ,其中代数式A B是分式的结果有4种 ,∴代数式A B 恰好是分式的概率P ＝46＝23.二概率与几何图形的综合小江玩投掷飞镖的游戏 ,他设计了一个如图1所示的靶子 ,E ,F 分别是矩形ABCD 的两边AD ,BC 上的点 ,且EF ∥AB ,M ,N 是EF 上任意两点 ,那么投掷一次 ,飞镖落在阴影局部的概率是( C ) A.13 B.23 C.12D.34图1 图2如图2 ,有以下3个条件：①AC ＝AB ；②AB ∥CD ；③∠1＝∠2 ,从这3个条件中选2个作为题设 ,另1个作为结论 ,那么组成的命题是真命题的概率是( D )A ．0B.13C.23D ．1如图3 ,在方格纸中 ,△ABC 的三个顶点及D ,E ,F ,G ,H 五个点分别位于小正方形的顶点上．(1)现以D ,E ,F ,G ,H 中的三个点为顶点画三角形 ,在所画的三角形中与△ABC 不全等但面积相等的三角形是__△DFG 或△DHF __(只需要填一个三角形)；(2)先从D ,E 两个点中任意取一个点 ,再从F ,G ,H 三个点中任意取两个不同的点 ,以所取的这三个点为顶点画三角形 ,求所画三角形与△ABC 面积相等的概率(用画树状图或列表法求解)．图3解：(2)画树状图如答图．变形3答图由树状图可知共有6种等可能结果 ,其中与△ABC 面积相等的有3种 ,即△DHF ,△DGF 和△EGF , ∴所画三角形与△ABC 面积相等的概率P ＝36＝12.三概率与方程(或不等式)的综合有 9 张卡片 ,分别写有 1～9 这九个数字 ,将它们反面朝上洗匀后 ,任意抽出1张 ,记卡片上的数字为 a ,那么使关于 x 的不等式组⎩⎨⎧4x ≥3〔x ＋1〕 2x －x －12<a 有解的概率为__49__．【解析】设不等式组有解 ,那么不等式组⎩⎨⎧4x ≥3〔x ＋1〕 2x －x －12<a的解为3≤x <2a －13,那么必须满足条件2a －13>3⇒a >5 ,∴满足条件的a 的值为6 ,7 ,8 ,9 ,∴有解的概率P ＝49. 大课间活动时 ,有两个同学做了一个数字游戏：有三张正面写有数字－1 ,0 ,1的卡片 ,它们反面完全相同 ,将这三张卡片反面朝上洗匀后 ,其中一个同学随机抽取一张 ,将其正面的数字作为p 的值；然后将卡片放回并洗匀 ,另一个同学再从这三张卡片中随机抽取一张 ,将其正面的数字作为q 的值 ,两次结果记为(p ,q )．(1)请你帮他们用树状图或列表法表示(p ,q )所有可能出现的结果； (2)求满足关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0没有实数解的概率．解：(1)(2)当p 2有3对：(－1 ,1) ,(0 ,1) ,(1 ,1) ,∴关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0没有实数解的概率P ＝39＝13.四概率与平面直角坐标系的综合[2019·湘潭]从－2 ,1 ,3这三个数中任取两个不同的数 ,作为点的坐标． (1)写出该点所有可能的坐标； (2)求该点在第一象限的概率．解： (1)画树状图如答图 ,变形1答图∴所有可能的坐标为(1 ,3) ,(1 ,－2) ,(3 ,1) ,(3 ,－2) ,(－2 ,1) ,(－2 ,3)； (2)∵共有6种等可能的结果 ,其中点(1 ,3) ,(3 ,1)落在第一象限 , ∴该点刚好落在第一象限的概率为26＝13.五概率与反比例函数的综合[2019·甘肃]在甲、乙两个不透明的布袋里 ,都装有3个大小、材质完全相同的小球 ,其中甲袋中的小球上分别标有数字0 ,1 ,2 ,乙袋中的小球上分别标有数字－1 ,－2 ,0.现从甲袋中任意摸出1个小球 ,记其标有的数字为x ,再从乙袋中任意摸出1个小球 ,记其标有的数字为y ,以此确定点M 的坐标(x ,y )．(1)请你用画树状图或列表的方法 ,写出点M 的所有可能的坐标； (2)求点M (x ,y )在函数y ＝－2x的图象上的概率．解：(1)列表如下；(2)由上表可知 , ,其中在函数y ＝－2x的图象上(记为事件A )的点M 有2种 ,即(1 ,－2)和(2 ,－1) ,∴所求概率P (A )＝29.六概率与一次函数的综合在一个不透明的布袋里装有4个标有1 ,2 ,3 ,4的小球 ,它们的形状、大小完全相同．小明从布袋里随机取出一个小球 ,记下数字为x ,小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球 ,记下数字为y ,这样确定了点Q 的坐标(x ,y )．(1)画树状图或列表 ,写出点Q 所有可能的坐标； (2)求点Q (x ,y )在函数y ＝－x ＋5的图象上的概率； (3)小明和小红约定做一个游戏 ,其规那么为：假设x ,y 满足xy ＞6那么小明胜 ,假设x ,y 满足xy＜6那么小红胜 ,这个游戏公平吗？说明理由；假设不公平 ,请写出公平的游戏规那么．解：(1)画树状图如答图 ,变形1答图那么点Q所有可能的坐标为(1 ,2) ,(1 ,3) ,(1 ,4) ,(2 ,1) ,(2 ,3) ,(2 ,4) ,(3 ,1) ,(3 ,2) ,(3 ,4) ,(4 ,1) ,(4 ,2) ,(4 ,3) ,共12种；(2)∵共有12种等可能的结果,其中在函数y＝－x＋5的图象上的有4种：(1 ,4) ,(2 ,3) ,(3 ,2) ,(4 ,1) ,∴点(x ,y)在函数y＝－x＋5的图象上的概率为412＝13；(3)这个游戏不公平．理由：∵x ,y满足xy＞6有(2 ,4) ,(3 ,4) ,(4 ,2) ,(4 ,3) ,共4种情况 ,x ,y满足xy＜6有(1 ,2) ,(1 ,3) ,(1 ,4) ,(2 ,1) ,(3 ,1) ,(4 ,1) ,共6种情况．∴P(小明胜)＝412＝13,P(小红胜)＝612＝12,∴这个游戏不公平．公平的游戏规那么：假设x ,y满足xy≥6那么小明胜 ,假设x ,y满足xy＜6那么小红胜．。

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精典专题七代数与几何的综合问题
一、探究与证明
【例1】【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】
（1）证明：AM=AD+MC；
（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
二、探究与计算
【例2】（盐城）（12分）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点P 为边BC 上的任一点，过点P 作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF⊥AB，垂足为F ．求证：PD+PE=CF ．
小军的证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD+PE=CF ．小俊的证明思路是：如图2，过点P 作PG⊥CF，垂足为G ，可以证得：PD=GF ，PE=CG ，则PD+PE=CF ．
【变式探究】如图3，当点P 在BC 延长线上时，其余条件不变，求证：PD ﹣PE=CF ；
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
【结论运用】如图4，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C′处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G 、H ，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；
三、坐标与几何
例3.如图，抛物线y=2
1（x-3）2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求点A ，B ，D 的坐标；
（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ，求证：∠AEO=∠ADC ；
（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．
四、二次函数与存在性例4.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=22
3212++-=x x 的图象与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ．过动点H （0，m ）作平行于x 轴的直线l ，直线l 与二次函数 y 22
3212++-=x x 的图象相交于点D ，E ．（1）写出点A ，点B 的坐标；
（2）若m ＞0，以DE 为直径作⊙Q ，当⊙Q 与x 轴相切时，求m 的值；
（3）直线l 上是否存在一点F ，使得△ACF 是等腰直角三角形？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．
【当堂训练】
1.如图，已知△BAD 和△BCE 均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M 为DE 的中点，过点E 与AD 平行的直线交射线AM 于点N ．
（1）当A ，B ，C 三点在同一直线上时（如图1），求证：M 为AN 的中点；
（2）将图1中的△BCE 绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN 为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE 绕点B 旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
2.（绍兴中考）（1）如图1，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF=45°，延长CD 到点G ，使DG=BE ，连结EF ，AG ．求证：EF=FG ．
（2）如图，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点M ，N 在边BC 上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN 的长．
3.在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，将△COD 绕点O 按逆时针方向旋转得到△C 1OD 1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC 1、BD 1，AC 1与BD 1交于点P .
（1）如图1，若四边形ABCD 是正方形.
①求证：△AOC 1≌△BOD 1.
②请直接写出AC 1与BD 1的位置关系.
（2）如图2，若四边形ABCD 是菱形，AC =5，BD =7，设AC 1=k BD 1.
判断AC 1与BD 1的位置关系，说明理由，并求出k 的值.
（3）如图3，若四边形ABCD 是平行四边形，AC =5，BD =10，连接DD 1，设AC 1=kBD 1.
请直接写出k 的值和2
121)(kDD AC 的值.
4.已知抛物线经过A （﹣2，0），B （0，2），C （，0）三点，一动点P 从原点出发以1个单位/秒的速度沿x 轴正方向运动，连接BP ，过点A 作直线BP 的垂线交y 轴于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当BQ=2
1AP 时，求t 的值；（3）随着点P 的运动，抛物线上是否存在一点M ，使△MPQ 为等边三角形？若存在，请直接写t 的值及相应点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
5.如图，直线y=x ﹣4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y=3
1x 2+bx+c 经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ，连接BC ．
（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；
（2）点M 在抛物线上，连接MB ，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M 的坐标；
（3）点P 从点C 出发，沿线段CA 由C 向A 运动，同时点Q 从点B 出发，沿线段BC 由B 向C 运动，P 、Q 的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q 点到达C 点时，P 、Q 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D ，使P 、Q 运动过程中的某一时刻，以C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D 的坐标；若不存在，说明理由．。