现代设计方法课件PPT 第2章 优化设计的数学基础
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02-优化的设计数学基础
22
2.7 最优解与最优解条件
1.无约束优化设计问题的最优解条件
无约束优化问题的最优解的实质是求目 标函数的最 min f (X ) f (X *) X En
小值:
对一维问题
数x*等为于极零值的点ff ''的'((xx**)必)00要极条大件点 f’(x)=0。一阶导
点为驻点，极f '值'(x*点) 是0 极驻小点点 ，但驻点不一定
1
2
x1
x1(k ) ,
x2
x2(k ) ,,
xn
x(k) n
2 f (X (k x12
2 f (X (k x2x1
) )
) )
, ,
2 f (X (k x1x2 2 f (X (k
x22
) )
) )
,, ,,
2 f (X (k x1xn 2 f (X (k x2xn
) )
) )
x1 x2
x(k) 1
x(k) 2
.
2 f (X (k))
xnx1
,
2 f (X (k)) xnx2
,,
2
f (X xn2
(
k
)
)
xn
xn(k )
f ( X (k) ) f ( X (k) )T ( X X (k) ) 1 ( X X (k) )T 2 f ( X (k) )(X X (k) ) 2
2 f (X (k x2x1
)
)
,
2
f (X x22
(k
)
)
,,
2 f (X (k x2xn
)
)
,,
2 f (X (k)
现代设计理论与方法(优化设计第二章)
证明：作变换 X Y Q b 式中： (Y ) f (Y Q 1b)
1
致 1 结论：Q为正定矩阵的二次型 Y QY 的等值面是以 Y 0知 2 的同心椭球面族。原二次函数就是以 X Q b 为中 力 行 心的同心椭球面族，椭圆中心为极小值点。
0
f x2
f xn x
T
0
明 德x0
f i 1 xi
n
cos i f ( x0 )T d f ( x0 ) cos(f , d )
x0
多元函数的梯度的模：
f 1/ 2 f ( x0 ) [ ( ) ] i 1 xi x0
x2 1
该方向上的单位向量为
4 2 2 5 0 5 f ( x ) e 0 2 2 1 f ( x ) 4 (2) 5 5
2 2 1 0 5 5 5 5 新点 x x1 x 0 e 1 1 1 5 1 5 5 5
明 德 任 责
Q为对称矩阵，f ( X ) X T QX
二次型
f ( X ) 致 2QX
知 力 行
第二节 多元函数的泰勒展开
1、一元函数
f x 在
x x0
点处的泰勒展开为：
1 x0 x f x0 x 2 f x f x0 f 2
f x1 x x2 x 2 0
2 f x1x2 x1 2 x f 2 致 2 知 x2 x
0
明 德 任 责
力 行
2 f x12 令 G ( x0 ) 2 f x x 2 1
1
致 1 结论：Q为正定矩阵的二次型 Y QY 的等值面是以 Y 0知 2 的同心椭球面族。原二次函数就是以 X Q b 为中 力 行 心的同心椭球面族，椭圆中心为极小值点。
0
f x2
f xn x
T
0
明 德x0
f i 1 xi
n
cos i f ( x0 )T d f ( x0 ) cos(f , d )
x0
多元函数的梯度的模：
f 1/ 2 f ( x0 ) [ ( ) ] i 1 xi x0
x2 1
该方向上的单位向量为
4 2 2 5 0 5 f ( x ) e 0 2 2 1 f ( x ) 4 (2) 5 5
2 2 1 0 5 5 5 5 新点 x x1 x 0 e 1 1 1 5 1 5 5 5
明 德 任 责
Q为对称矩阵，f ( X ) X T QX
二次型
f ( X ) 致 2QX
知 力 行
第二节 多元函数的泰勒展开
1、一元函数
f x 在
x x0
点处的泰勒展开为：
1 x0 x f x0 x 2 f x f x0 f 2
f x1 x x2 x 2 0
2 f x1x2 x1 2 x f 2 致 2 知 x2 x
0
明 德 任 责
力 行
2 f x12 令 G ( x0 ) 2 f x x 2 1
现代设计方法-优化设计
T
19
ADM
1.3.4 多元函数极值
第一章 优化设计的数学基础
( X 0 ) 内，若
X0为严格极大值点； X0为严格极小值点；
极值定义：在X0点的某邻域
F(X0) F(X ) F(X0) F(X )
极值存在的必要条件：梯度为[0]T向量
F ( X 0 ) 0
极值存在的充分条件：
1.3 多元函数
1.3.1 梯度：函数增加最快的方向
F F ( X ) , i 1,2,..., n xi
T
18
ADM
第一章 优化设计的数学基础
1.3.2 多元函数的二阶偏导与海赛矩阵
2F H , i, j 1,2,..., n xi x j
22
ADM
6. 例
第二章 优化设计的基本概念
x2 g2(X) g1(X)
min F ( X ) x x 4 x1 4
2 1 2 2
X*
g1 ( X ) x1 x2 2 0 g 2 ( X ) x12 x2 1 0 g 3 ( X ) x1 0 g 4 ( X ) x2 0
1.1. 2 n维矢量
O
x1
X OP [ x1 , x2 ,..., xn ]T
14
ADM
1.2 矩阵
1.2.1 定义
第一章 优化设计的数学基础
由一组数按一定次序排列成的具有m行n列的表
a11 a12 ... a1n a a22 ... a2 n 21 A ... am1 am 2 ... amn
目 录
4.1.2 几何方程
4.1.3 物理方程 4.2 三角形截面环单元 4.3 轴对称问题的有限元矩阵表达式 4.3.1 单元刚度矩阵 4.3.2 组装总体刚度矩阵 4.3.3 单元等效节点力
19
ADM
1.3.4 多元函数极值
第一章 优化设计的数学基础
( X 0 ) 内，若
X0为严格极大值点； X0为严格极小值点；
极值定义：在X0点的某邻域
F(X0) F(X ) F(X0) F(X )
极值存在的必要条件：梯度为[0]T向量
F ( X 0 ) 0
极值存在的充分条件：
1.3 多元函数
1.3.1 梯度：函数增加最快的方向
F F ( X ) , i 1,2,..., n xi
T
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ADM
第一章 优化设计的数学基础
1.3.2 多元函数的二阶偏导与海赛矩阵
2F H , i, j 1,2,..., n xi x j
22
ADM
6. 例
第二章 优化设计的基本概念
x2 g2(X) g1(X)
min F ( X ) x x 4 x1 4
2 1 2 2
X*
g1 ( X ) x1 x2 2 0 g 2 ( X ) x12 x2 1 0 g 3 ( X ) x1 0 g 4 ( X ) x2 0
1.1. 2 n维矢量
O
x1
X OP [ x1 , x2 ,..., xn ]T
14
ADM
1.2 矩阵
1.2.1 定义
第一章 优化设计的数学基础
由一组数按一定次序排列成的具有m行n列的表
a11 a12 ... a1n a a22 ... a2 n 21 A ... am1 am 2 ... amn
目 录
4.1.2 几何方程
4.1.3 物理方程 4.2 三角形截面环单元 4.3 轴对称问题的有限元矩阵表达式 4.3.1 单元刚度矩阵 4.3.2 组装总体刚度矩阵 4.3.3 单元等效节点力
第2章 优化方法的数学基础
X ∈ D 对满足 ,
F ( X ) ( X X * ) ≥ 0
*
T
注意: 注意:
不论是无约束或有约束的优化问题,在实际应用中, 不论是无约束或有约束的优化问题,在实际应用中,要证明一个 优化问题是否为凸规划,一般比较困难, 优化问题是否为凸规划,一般比较困难,有时甚至比求解优化问题本 身还要麻烦.尤其对一些工程问题,由于其数学模型的性态都比较复 身还要麻烦.尤其对一些工程问题, 杂,更难实现.因此,在优化设计的求解中,就不必花精力进行求证, 更难实现.因此,在优化设计的求解中,就不必花精力进行求证, 而通常是从几个初始点出发,找出几个局部最优解, 而通常是从几个初始点出发,找出几个局部最优解,从中选择目标函 数值最好的解. 数值最好的解.
2 2
设: 则有
cos θ1 s≡ 为单位向量. 为单位向量. cos θ 2 F = F ( x0 )T s = F ( x0 ) cos(F , s ) x s 0
梯度方向是函数值变化最快的方向,而梯度的模 梯度方向是函数值变化最快的方向, 就是函数变化率的最大值 .
x2 x0
-f(x0) 最速下降方向 下降方向 变化率为零的方向 上升方向 f(x 0) 最速上升方向
凸规划的一些性质: 凸规划的一些性质: 1)可行域 D = X g j ( X ) ≤ 0
{
j = 1, 2, , m
}
为凸集; 为凸集;
2)凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解; 凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解; 为凸规划问题 最优解的充分必要条件 规划问题的 可微, 3 ) 若 F ( X ) 可微 , 则 X* 为凸规划问题的 最优解的充分必要条件 为: 对任意
0
现代设计方法-优化设计-数学基础
2 f x1xn 2 f x2 xn 2 f xn xn X X ( 0 )
f x 1 f f ( X (0) ) x2 f xn ( 0 ) X X
g1 ( X ) 0
g 2 ( X * )
g2 (X ) 0
X*
g1 ( X * )
0
x1
以上两点可以统一用一个条件来表示：
K-T（Kuhn-Tucker)条件：
设g i ( X ) 0(i I k )是点X ( k )的n个起作用约束，且X ( k )是极值点， 则必有 f ( X ( k ) ) i g i ( X ( k ) ) 0 iI k 0 i
令L( X , ) 0，即可得到
f ( X * ) v hv ( X * ) 0
v 1 p
这就是等式约束问题在点X*取得极值的必要条件，
它的含义是： 在等式约束问题的极值点上，目标函数的负梯
度等于诸约束函数在该点梯度的线性组合。
不等式约束的极值条件 对于不等式约束问题
1 (0) (0) 2 f ( x) f ( x ) f '( x )( x x ) f ''( x )( x x ) 2
(0) (0) (0)
函数的泰勒展开
（2）二元函数f(x1，x2) 的泰勒展开：
x1 X x2
f x f ( X ( 0 ) ) 1 f x2 X X ( 0 )
2 f ( x(0) ) :目标函数f(x)在点x(0)的所有二阶偏导数组成
的矩阵 (二阶导数矩阵或海色矩阵，记作 H(x)），n×n阶对称矩阵
现代设计理论与方法 优化设计
第2章 优化设计
主要内容： 了解优化设计； 会建立优化设计的数学模型； 了解优化设计的数学基础知识； 掌握一维优化方法； 了解多维优化方法。
1
2.1 概述
2.1.1 优化设计的概念
优化设计是借助最优化数值计算方法和计算 机技术，求取工程问题的最优设计方案。
即：进行最优化设计时，首先必须将实际问 题加以数学描述，形成一组由数学表达式组成 的数学模型，然后选择一种最优化数值计算方 法和计算机程序，在计算机上运算求解，得到 一组最佳的设计参数。
D X | gu( X ) 0，hv ( X ) 0,(u 1,2,, m；v 1,2,, p)
19
2.1.3 优化设计的数学模型
3）约束条件
（2）可行域
g1 ( x1 , x2 ) 9 x1 4 x2 360 g1 ( x1 , x2 ) 9 x1 4 x2 360 0
连续变量 可以在实数范围内连续取值的变量。 离散变量 只在给定数列或集合中取值的变量。
6
2.1.3 优化设计的数学模型
1）设计变量
（3） 设计空间
若n个设计变量x1,x2,…xn相互独立，则由它们形 成的向量X=[x1,x2,…xn]T的全体集合构成的一个n维 实欧氏空间，称为设计空间，记Rn。
设计变量的个数n称为优化设计的维数。
g5 ( x1 , x2 ) x2 0 20 g5 ( x1 , x2 ) x2 0
4
2.1.3 优化设计的数学模型 1）设计变量
设计变量是指在设计过程中可以进行调整 和优选的独立参数。
（1）设计变量的选择： 应该选择那些与目标函数和约束函数密切
相关的，能够表达设计对象特征的基本参数。
应注意各设计变量应相互独立，否则会给 优化带来困难。
主要内容： 了解优化设计； 会建立优化设计的数学模型； 了解优化设计的数学基础知识； 掌握一维优化方法； 了解多维优化方法。
1
2.1 概述
2.1.1 优化设计的概念
优化设计是借助最优化数值计算方法和计算 机技术，求取工程问题的最优设计方案。
即：进行最优化设计时，首先必须将实际问 题加以数学描述，形成一组由数学表达式组成 的数学模型，然后选择一种最优化数值计算方 法和计算机程序，在计算机上运算求解，得到 一组最佳的设计参数。
D X | gu( X ) 0，hv ( X ) 0,(u 1,2,, m；v 1,2,, p)
19
2.1.3 优化设计的数学模型
3）约束条件
（2）可行域
g1 ( x1 , x2 ) 9 x1 4 x2 360 g1 ( x1 , x2 ) 9 x1 4 x2 360 0
连续变量 可以在实数范围内连续取值的变量。 离散变量 只在给定数列或集合中取值的变量。
6
2.1.3 优化设计的数学模型
1）设计变量
（3） 设计空间
若n个设计变量x1,x2,…xn相互独立，则由它们形 成的向量X=[x1,x2,…xn]T的全体集合构成的一个n维 实欧氏空间，称为设计空间，记Rn。
设计变量的个数n称为优化设计的维数。
g5 ( x1 , x2 ) x2 0 20 g5 ( x1 , x2 ) x2 0
4
2.1.3 优化设计的数学模型 1）设计变量
设计变量是指在设计过程中可以进行调整 和优选的独立参数。
（1）设计变量的选择： 应该选择那些与目标函数和约束函数密切
相关的，能够表达设计对象特征的基本参数。
应注意各设计变量应相互独立，否则会给 优化带来困难。
最优化_第2章 优化设计的数学基础
(0) (0) f ( x1(0) , x2 x2 ) f ( x1(0) , x2 ) f ( x) lim x2 X ( 0) x2 0 x2
分别表示沿坐标轴x1和x2方向在X (0)处的f(X)变化率。
§2.1
多元函数的导数与梯度
(0) (0) f x1(0) x1 , x2 x2 f x1(0) , x2 f lim d X ( 0 ) d 0 d (0) (0) (0) f x1 x1 , x2 f x1(0) , x2 x1 lim d 0 x1 d
n元函数极值充分条件:海塞矩阵为正定。
2 f 2 x 1 2 f x2 x1 (0) G( X ) 2 f xn x1
2 f xn x2
§2.4
凸集、凸函数与凸规划
f X f X*
函数f(X)在X*附近的一切X均满足不等式
2.二阶导数（ Hessian矩阵)判断
Hessian矩阵G(X)在R上处处半正定。
(0) 1 (0) 2
X (0)
x2
§2.2
多元函数的泰勒展开
二元函数泰勒展开矩阵形式:
f x1 , x2 f X
(0)
f ( X
(0) T
1 ) X X TG ( X (0) )X 2
2 f x 2 1 其中: G ( X (0) ) 2 f x2 x1
2 2
2 5 5 5 1 5 1 5 5
f
X
(1)
26 3x 4 x1 x2 x |X ( 0 ) 5 2 5
2 1
现代设计理论与方法-优化设计.ppt
变异运算用来模拟生物在自然的遗传环境 中由于各种偶然因素引起的基因突变，它以很 小的概率随机地改变遗传基因（表示染色体的 符号串的某一位）的值。在染色体以二进制编 码的系统中，它随机地将染色体的某一个基因 由1变为0，或由0变为1。
若只有选择和交叉，而没有变异，则无法在 初始基因组合以外的空间进行搜索，使进化过 程在早期就陷入局部解而进入终止过程，从而 影响解的质量。为了在尽可能大的空间中获得 质量较高的优化解，必须采用变异操作。
可见，这是一个三维非线形规划问题。为了
简化问题，可根据等式约束条件消去一个设计变
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量：
h = 3 /（ l ·w）
则该问题从原来的三维问题转化为二维问题。
4．建立数学模型的一般过程 1）分析设计问题，初步建立数学模型 即使是同一设计对象，如果设计目标和设计
条件不同，数学模型也会不同。因此，要首先弄 清问题的本质，明确要达到的目标和可能的条件， 选用或建立适当的数学、物理、力学模型来描述 问题
交叉体现了自然界中信息交换的思想。交叉 有单点交叉、多点交叉、还有一致交叉、顺序 交叉和周期交叉。单点交叉是最基本的方法， 应用较广。它是指染色体切断点有一处，例：
A:101100 1110 101100 0101
B : 001010 0101001010 1110
（3）变异 (Mutation Operator)
3．约束条件 1）概念 为产生一个可接受的设计，设计变量本身或
相互间应该遵循的限制条件，称为约束条件。
2）表示方法
约束条件一般可表示为设计变量的不等式约束函数 形式和等式约束函数形式，即
gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≤0 或者 gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≥0
若只有选择和交叉，而没有变异，则无法在 初始基因组合以外的空间进行搜索，使进化过 程在早期就陷入局部解而进入终止过程，从而 影响解的质量。为了在尽可能大的空间中获得 质量较高的优化解，必须采用变异操作。
可见，这是一个三维非线形规划问题。为了
简化问题，可根据等式约束条件消去一个设计变
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量：
h = 3 /（ l ·w）
则该问题从原来的三维问题转化为二维问题。
4．建立数学模型的一般过程 1）分析设计问题，初步建立数学模型 即使是同一设计对象，如果设计目标和设计
条件不同，数学模型也会不同。因此，要首先弄 清问题的本质，明确要达到的目标和可能的条件， 选用或建立适当的数学、物理、力学模型来描述 问题
交叉体现了自然界中信息交换的思想。交叉 有单点交叉、多点交叉、还有一致交叉、顺序 交叉和周期交叉。单点交叉是最基本的方法， 应用较广。它是指染色体切断点有一处，例：
A:101100 1110 101100 0101
B : 001010 0101001010 1110
（3）变异 (Mutation Operator)
3．约束条件 1）概念 为产生一个可接受的设计，设计变量本身或
相互间应该遵循的限制条件，称为约束条件。
2）表示方法
约束条件一般可表示为设计变量的不等式约束函数 形式和等式约束函数形式，即
gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≤0 或者 gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≥0
优化设计基础PPT讲稿
其中，x1 x1 x10，x2 x2 x20
二元函数泰勒展开式的矩阵形式：
f
x
f
x0
f x1
f x2
x0
x1
x2
1 2
x1
2 f
x2
x12 2 f
x2x1
f
x0
f
T
1T
x0 x x G
x0
x …
2
2 f
x1x2 2 f x22
x0
例：设目标函数f (x)
f (x1, x2 ) 4
x12 x2 , 求点x0
[1
1]T 处沿
d1和d2两个方向的方向导数。
向量d1的方向为：1
2
，
4
向量d2的方向为：1
3
，2
6
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
f
梯度：二元函数f
(x1, x2 )在点x0处的梯度是f
优化设计基础课件
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
一个多元函数可用偏导数的概念来研究函数沿各坐标方向 的变化率。
二元函数的偏导数：
一个二元函数f (x1, x2 )在点x0 (x10 , x20 )处的偏导数是
f lim f x10 x1, x20 f x10 , x20
(x0 )
x1
f
x2
x0
f
x1
T
f
,
x2
x0
方向导数与梯度的关系： f f (x0 )T d f (x0 ) cos(f , d) d x0
二元函数f
(
x1,
x2
第2章优化设计ppt课件
2.1 概述
2.1.1 优化设计根本概念
优化设计〔Optimal Design〕是20世纪60年代开展起来的一种 现代设计方法。它是将最优化原理和计算机技术运用于设计领域， 为工程设计提供一种重要的科学设计方法。
利用这一设计方法，设计者就可从众多的设计方案中寻觅出最 正确设计方案，从而大大提高设计效率和质量，因此优化设计是现 代设计实际和方法的一个重要领域，它已广泛运用于各个工业设计 领域和各种产品设计中。
所谓优化设计，就是在规定的设计限制条件下，运用最优化原 理和方法将实践工程设计问题转化为最优化问题，然后以计算机为 工具进展寻优计算，在全部可行设计方案中，寻求满足预定设计目 的的最正确设计方案。
进展最优化设计时：
首先必需将实践问题加以数学描画，构成一组由数学表达式组成 的数学模型；
然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上进 展寻优运算求解，得到一组最正确的设计参数。这组设计参数就是设 计的最优解。
由等式约束条件可知，三个设计变量中只需两个是独立变量，即
x3
5 x1 x 2
。所以，该问题的优化数学模型应写为：
设计变量：
X [x1 x2]T
目的函数的极小化： m inf(X ) x 1 x 2 2 (x 1 x 3 x 2 x 3 ) x 1 x 2 1 0 (x 1 2 x 1 1 )
约束条件：
与传统设计方法不同，优化设计过程普通分为如下四步：
● 设计课题分析
● 建ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数学模型
● 选择优化设计方法
● 上机电算求解
获得最优解
〔１〕设计课题分析： 经过对设计课题的分析，提出设计目的，它可以是单项设计目的，也可以是多项设计目的的组合。 从技术经济的观念出发，对机械设计而言，机器的运动学和动力学性能、体积、分量、效率、本钱、可靠性等 都可以作为设计追求的目的。 然后分析设计应满足的要求，主要的有：某些参数的取值范围；某种设计性能或目的按设计规范推导出的技术 性能；还有工艺条件对设计参数的限制等。
现代设计方法第二讲优化设计概念
1
X 2 , f X 2
, f X 1 和约束最优解
（3）若加入等式约束 h X x1 x2 0在图中标出约束最优解
X 3 , f X 3
X2
g4(X) h (X)
A B C
g2(X)
o
g3(X)
X1
g1(X)
（3）数值迭代法
设计空间
若n个设计变量x1,x2,…xn相互独立，则由它们形成 的向量X=[x1,x2,…xn]T的全体集合构成的一个n维实欧 氏空间，称为设计空间，记Rn。 一组设计变量可看作设计空间中的一个点，称为设 计点。 设计变量的个数n称为优化设计的维数。 1）如n=2就是二维设计问题，可用平面直角坐标来 表示； 2）如n=3就是三维设计问题，可用直角空间坐标来 表示。
5.CAD/CAPP/CAM集成系统中的优化技术
6.智能优化算法 7.多学科综合优化
四. 优化设计的基本概念
1.优化设计的数学模型 现用薄板制造一体积为5m3，长度不小于4m的无上 盖的立方体货箱，要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定 货箱的长宽高尺寸。 设：长x1,宽x2，高x3 1）目的：耗费量最少 S= x1 x2+2 x1 x3+2 x2 x3 2）条件 x1 x2 x3=5 目标函数 数学模型 设计变量
s.t.g1 X x2 x1 2 0 g 2 X x12 x2 1 0 g3 X x1 0 g 4 X x2 0
练习1：求下列二维优化问题的最优解
min f ( X ) ( x1 2)2 ( x2 2)2
设计点
设计点
求设计变量 X x1 , x2
X 2 , f X 2
, f X 1 和约束最优解
（3）若加入等式约束 h X x1 x2 0在图中标出约束最优解
X 3 , f X 3
X2
g4(X) h (X)
A B C
g2(X)
o
g3(X)
X1
g1(X)
（3）数值迭代法
设计空间
若n个设计变量x1,x2,…xn相互独立，则由它们形成 的向量X=[x1,x2,…xn]T的全体集合构成的一个n维实欧 氏空间，称为设计空间，记Rn。 一组设计变量可看作设计空间中的一个点，称为设 计点。 设计变量的个数n称为优化设计的维数。 1）如n=2就是二维设计问题，可用平面直角坐标来 表示； 2）如n=3就是三维设计问题，可用直角空间坐标来 表示。
5.CAD/CAPP/CAM集成系统中的优化技术
6.智能优化算法 7.多学科综合优化
四. 优化设计的基本概念
1.优化设计的数学模型 现用薄板制造一体积为5m3，长度不小于4m的无上 盖的立方体货箱，要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定 货箱的长宽高尺寸。 设：长x1,宽x2，高x3 1）目的：耗费量最少 S= x1 x2+2 x1 x3+2 x2 x3 2）条件 x1 x2 x3=5 目标函数 数学模型 设计变量
s.t.g1 X x2 x1 2 0 g 2 X x12 x2 1 0 g3 X x1 0 g 4 X x2 0
练习1：求下列二维优化问题的最优解
min f ( X ) ( x1 2)2 ( x2 2)2
设计点
设计点
求设计变量 X x1 , x2
现代设计方法第二章优化设计1-2
1) 优化设计问题的分类:
①按约束情况来分:
无约束 ：其数学模型为 minf((X)) X Rn
约束优化 其数学模型为:同一般形式
②按 f ( X ) g (X ) h ( X ) 是否线性分：
u
v
线性优化 非线性优化
③按 f ( X ) 的维数分：
一维优化（也称一维搜索） 多维优化
④按目标函数 f ( X ) 的个数分：
求X使 min f (X ) X Rn
R n 表示n维
空间,包括了所有
约束：gu (X ) 0 (u 1,2,3......m)
设计变量,称为设 计空间。
s.t. hv ( X ) 0 (v 1,2,3......p; p n)
通过优化方法对数学模型求解。求设计变量
X x1 x2 ...... xn T X * 最优点
跨度2B=152㎝,架为圆钢管,其弹性摸量 E 2.1105 Mpa
材料密度为 7.8103 Kg / m3 许用应力 y 420Mpa
钢管壁厚t=0.25㎝,求满足强度条件和稳定条件下钢管总重 量最轻的设计方案?
解: ①重量最轻的数学描述
W D t l D t(B 2 H 2 )1 / 2
2维目标函数等值线
c.可行域:
由满足约束条件 gu(X) 0 hv (X) 0
的 X 在空间构成的区域称为可行域,否则称
为非可行域.在可行域内的点称为可行点.
以n=2为例: 设 g1(X)x10g2(X)x20
g 3(X )x 1 2x2 2 10
2.4 优化数学模型的求解方法及优化设计问 题的分类:
解: ①设边长为x 体积为V
②V与x的关系式 V x(6 2x)2
现代设计方法(第二章 优化设计).
1.直接搜索法。
它只利用目标函数值构成的搜索方法,如POWELL,单纯形法;2.梯度法。
它需要有目标函数及其导数的解析式。
对于非线性的显函数,且变量数较少或中等的问题,用复合形法或罚函数法(其中尤其是内点罚函数法的求解效果一般都比较理想,前者求得全域最优解的可能性较大。
建议当找不到一个可行的初始点时,才用外点罚函数法。
在用罚函数法解优化问题时,必须选用一个合适的无约束优化方法。
如果目标函数的一阶和二阶偏导数易于计算(用解析法,且设计变量不是很多(如n ≤20时,建议用拟牛顿法;若n>20,且每一步的Hessian 矩阵求解变得很费时时,则选用变尺度法较好。
若目标函数的导数计算困难(用解析法或者不存在连续的一阶偏导数,则用Powell共轭方向法效果是最好的。
对于一般工程设计问题,由于维数都不很高(n<50,且函数的求导计算都存在不同程度的困难,因此用内点罚函数法调用Powell无约束优化方法求序列极小化。
优化设计:它是以数学规划理论为基础,以电子计算机为辅助工具的一种设计方法。
它首先将设计问题按规定的格式建立数学模型,并选择合适的优化方法,选择或编制计算机程序,然后通过电子计算机自动获得最优设计方案。
两类优化方法:1.直接法:直接计算目标函数值,比较目标函数值,并以之作为迭代、收敛根据的方法。
2.求导法:以多变量函数极值理论为基础,利用目标函数的性态,并以之作为寻优、迭代、收敛根据的方法。
综合设计法:以程序设计、优化技术、仿真技术及自动绘图技术的综合为基础,以计算机工作站为工具,将工业设计方法提高到更新的阶段,使产品设计,换代、创新更趋于自动化,并展示了有可能向智能化发展的前景。
优化问题的分类:按照目标函数的性质和约束条件可分为无约束问题和有约束问题。
无约束问题按照目标函数包含的单变量或多变量来分类。
(直接搜索法:它只利用目标函数值构成的搜索方法,如POWELL法,单纯形法等。
梯度法:它需要有目标函数及其导数的解析式。
现代设计方法课件----讲稿
现代设计方法课件----讲稿讲稿课程名称：现代设计方法Modern Design Method 课型：选修课总学时：40学分数：2任课教师：ooooo授课对象：2006级华中农业大学工学院《现代设计方法》课程大纲第一章绪论（2h）第一节概述第二节现代设计方法的概念第三节现代设计方法的主要内容第四节现代设计方法的学习的目的与意义第二章优化设计（20h）第一节优化设计的基本概念与数学模型第二节优化设计的几何意义与终止准则第三节一维搜索方法第四节无约束优化方法第五节约束优化方法第六节多目标优化方法与离散变量优化问题第三章可靠性设计（8h）第一节可靠性设计概述第二节可靠性基本概念和理论第三节系统可靠性模型的建立、可靠性预计和分配第四节可靠性设计方法第四章有限元法（8h）第一节有限元法概述第二节有限元法的基本思想及其应用第三节有限元法求解实例第四节几种大型有限元分析系统简介第五章其他现代设计方法（2h）第一节可靠性设计第二节动态设计第三节人机工程学第四节其它方法简介本章小结第一章绪论第一节概述一、现代设计的概念设计：设计在通俗中说来是把各种先进技术成果转化为生产力的一种手段和方法。
它是从给出的合理的目标参数出发，通过各种方法和手段创造出一个所需的优化系统或结构的过程。
设计方法设计中的一般过程及解决具体设计问题的方法、手段。
传统设计(Traditional Design)：人类的设计活动经历了直觉设计阶段、经验设计阶段、半理论半经验设计阶段，即所谓的传统设计阶段。
现代设计(Modern Design)：以市场需求为驱动、以知识获取为中心、以现代设计思想、方法和现代技术手段为工具，考虑产品的整个生命周期和人、机、环境相容性等因素的设计。
二、现代设计方法的产生背景（以机械工业为例）：1)设计理论和实践的变化：过去，机械产品设计理论主要以力学为基础，在实践上主要以经验作为基础，现在，作为基础的理论远不止力学，还有系统论、控制论、信息论、传感理论、信号处理理论、电子学、计算机等等，作为实践的基础远不止经验，而且还涉及各有关的学科，同时，自身也在形成自己的学科体系——制造理论、工艺理论。
精品课件-现代设计方法-第2章
总之，认识一种需求本身就是一件创造性的工作，有时提 出设计并不比完成设计容易，应努力探求有价值的创意与构思。
第2章 项目策划及功能分析设计方法
2．产品开发需求分析方法 需求分析可按照市场调查和预测来进行。 1）市场调查 市场调查是指根据具体的目的和任务，通过市场调研员与 消费者面对面的交流访谈，或充分利用现代信息技术，展开广 泛的市场需求调研，以获得社会需求的大量数据和信息。
（1）市场需求状况，开发该项目的必要性。既要看到现 实需求，还要看到潜在的、未来的需求。
（2）国内外发展现状及水平。是否有同类同功能的产品？ 技术先进程度如何？特别是其存在的不足或问题。
（3）拟开发产品的性能特点、技术规格和参数。对市场 中已经存在的同类产品，计方法
（2）感觉、领悟能力。以直觉预感到某种社会需要，特 别是潜在的市场需求。
（3）捕获、解读及评判信息的能力。
第2章 项目策划及功能分析设计方法
产品设计一般有两种情况：其一是全新原创设计，获得这 种需求的关键是信息，应充分掌握产品及市场情况；其二是再 设计（或重新设计），当市场对某产品不满意时，可通过重新 设计来解决其存在的问题，例如提高产品质量，降低成本，减 少或根治环境污染，采用最新技术等。对于重新设计，提出需 求的关键是明确存在的问题是什么，为什么要重新设计。
第2章 项目策划及功能分析设计方法
确定项目及设计任务后，即可根据设计要求进行原理方案 设计。开发一项全新的技术系统，其原理方案往往是未知数， 即便是开发非全新的一般系统，要获得市场的认可，设计人员 也要花费很大的心血。为此，需要设计师开展创造性思维和技 术活动，充分应用现代设计方法、设计原理，广纳成熟的、先 进的科学技术成果，尽力使设计在原理上新颖、正确，在实践 中可行，在技术上先进，在经济上合理，富有时代感。设计的 核心是创意、构思、规划原理方案以及通过什么样的技术途径 获得特定功能的系统。
第2章 项目策划及功能分析设计方法
2．产品开发需求分析方法 需求分析可按照市场调查和预测来进行。 1）市场调查 市场调查是指根据具体的目的和任务，通过市场调研员与 消费者面对面的交流访谈，或充分利用现代信息技术，展开广 泛的市场需求调研，以获得社会需求的大量数据和信息。
（1）市场需求状况，开发该项目的必要性。既要看到现 实需求，还要看到潜在的、未来的需求。
（2）国内外发展现状及水平。是否有同类同功能的产品？ 技术先进程度如何？特别是其存在的不足或问题。
（3）拟开发产品的性能特点、技术规格和参数。对市场 中已经存在的同类产品，计方法
（2）感觉、领悟能力。以直觉预感到某种社会需要，特 别是潜在的市场需求。
（3）捕获、解读及评判信息的能力。
第2章 项目策划及功能分析设计方法
产品设计一般有两种情况：其一是全新原创设计，获得这 种需求的关键是信息，应充分掌握产品及市场情况；其二是再 设计（或重新设计），当市场对某产品不满意时，可通过重新 设计来解决其存在的问题，例如提高产品质量，降低成本，减 少或根治环境污染，采用最新技术等。对于重新设计，提出需 求的关键是明确存在的问题是什么，为什么要重新设计。
第2章 项目策划及功能分析设计方法
确定项目及设计任务后，即可根据设计要求进行原理方案 设计。开发一项全新的技术系统，其原理方案往往是未知数， 即便是开发非全新的一般系统，要获得市场的认可，设计人员 也要花费很大的心血。为此，需要设计师开展创造性思维和技 术活动，充分应用现代设计方法、设计原理，广纳成熟的、先 进的科学技术成果，尽力使设计在原理上新颖、正确，在实践 中可行，在技术上先进，在经济上合理，富有时代感。设计的 核心是创意、构思、规划原理方案以及通过什么样的技术途径 获得特定功能的系统。
现代设计方法-优化设计部分 ppt课件
12
x1
PPT课件
23
约束条件（函数）
起作用约束 （Active constraints）
设X为设计空间中的一个点： 满足所有约束条件的点称为可行点（内点和边界点）; 不满足所有约束条件的点称为非可行点（外点）; X 在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的起作用约束; X 不在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的不起作用
在约束边界上的点称为边界点
两个以上约束边界的交点称为PPT角课件点
21
约束条件（函数）
例1：作出下列约束条件构成的可行域
g1(x1, x2 ) 9x1 4x2 360
g2 g3
( x1 , ( x1 ,
x2 x2
) )
3 4
x1 x1
10x2 300 5x2 200
优化模型三要素
1. 设计变量 2. 目标函数 3. 约束条件
• 等式约束
• 不等式约束
x=(x1,x2,…,xn) F(x)=(f1(x), f2(x), …, fm(x))
hi(x)=0, i=1,2,…, p gi(x)0, i=1,2,…, q
优化问题分类 1. 单目标优化问题 2. 多目标优化问题
例 1：篱笆围墙设计
PPT课件
7
优化设计的数学模型
例 2：阶梯型悬臂粱设计
确定尺寸b, h, l 使端部偏转最小、
用材最少，同时不 会断裂！
截面尺寸
工作载荷
弹性模量 总长
最大容许应力
PPT课件
8
例 3：压缩弹簧设计
有一个螺旋压缩弹簧，已知载荷为F，弹簧材料的剪切弹性模量
为G，能承受的剪切应力上限为[ ]，弹簧的非工作圈数为n2，
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1 [ X X (1) ]T 2 f ( X (1) )[ X X (1) ] 2
3x2 6 6(x1 1)2 6x12 12x1 3x2
将 X (点 X (1) 的值相等。
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5
现代设计方法——第2章 优化设计的数学基础
分析式（2-9）中的取值对方向导数 f ( X k) ) / S 影响，可知，在设计空间
中，凡是与梯度方向成锐角的方向函数值都增加；凡是与梯度方向成钝角的方
向函数值都减小；梯度 f (X ) 的方向为函数 f(X) 过 X (k) 点的等值线（或等值面）
的外法线方向。
Δ Δ Δ
x2
变化率为零的方向
下降方向
将代数式（2-6）写成矩阵形式，则有
f
(X (k) S
)
f
(X (k) x1
)
cos1
f
(X (k) x2
)
cos2
f ( X (k) )
x1
f ( X (k) ) cos1
x2
cos
2
f ( X (k) )
令
f ( X (k) )
x1
,
f ( X (k) )
S
cos1 cos2
当 X (k) 为函数的极小点时，有 f (X ) f (X (k) ) 0 ，故必有
[ X X (k) ]T 2 f ( X (k) )[ X X (k) ] 0
根据线性代数的二次型有关知识，上式说明函数的二阶导数矩阵必 须是正定的，这就是多元函数极小值的充分条件。故，多元函数在点 X (k) 取得极小值的充分必要条件是：函数在该点的梯度为零，海赛矩阵（二 阶导数矩阵）正定，即
求展开式的二次项
1 [ X X ] (1) T 2 f ( X (1) )[ X X (1) ] 2
1 2
[
x1
1
x2
1]
12
0
0 0
x1 x2
1 1
6(
x1
1)2
代入式（2-1）得简化的二次函数
f ( X ) f ( X (1) ) [f ( X (1) )]T [ X X (1) ]
梯度的概念可以推广到多元函数中去，对于 n 元函数 f (X ) ，梯度可记为
f
(
X
)
f (X x1
)
,
f ( X ) ,
x2
f ( X ) T
,
xn
（2-12）
它是一个向量，沿此方向函数的变化率最大，亦即梯度 f (X )的方向是函
数 f (X ) 的最速上升方向，负梯度 f (X ) 则为函数 f (X ) 的最速下降方向。
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现代设计方法——第2章 优化设计的数学基础
例2-3 求函数 f (x1, x2 ) x12 x22 4x1 2x2 5 的极值。
解：根据极值存在的必要条件
f
(
X
)
f ( X x1
)
,
f ( X ) T
x2
0
f ( X x1
)
2 x1
4
0
f ( X x2
)
2 x2
解：分别求函数在点 X (1)的函数值、梯度和海赛矩阵
f ( X (1) ) 3
f
(X
(1) )
3x132 x226x61 x291
0 3
1
2
f
(
X
(1)
)
6
x1 0
6
0 12
6x2
6 1
0
0 0
1
X
X
(1)
x1
x2
1 1
x1 1
x2
1
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现代设计方法——第2章 优化设计的数学基础
x2
则方向导数 f (X k) ) 可用矢量的内积形式表示如下：
S
f ( X (K ) ) f ( X (K ) )T S f ( X (K ) ) S cos S
S 1 由（2-9）知：方向导数等于梯度在该方向的投影
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（2-8） （2-9）
9
现代设计方法——第2章 优化设计的数学基础
数矩阵或海赛（Hessian）矩阵，经常记作 H (X (k) ) 。二阶偏导数矩阵的组
成形式如下：
2 f (X (k))
x12
2 f (X (k))
H
(
X
(k
)
)
2
f
(
X
(k
)
)
x2x1
2 f (X (k))
xnx1
2 f (X (k)) x1x2
2 f (X (k)) x22
2 f (X (k)) xnx2
2
0
联立求解得驻点 X * [2,1]T 。
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现代设计方法——第2章 优化设计的数学基础
现考察该驻点是否满足极值点的充分条件，函数在该点的海赛矩阵
2 f (X ) 2 f (X )
H(X*)
x12
2 f (X )
x2x1
x1x2
2 f (X )
x22
x*
2 0
2.2 函数的方向导数和梯度
我们需要研究寻找极值点的途径，即研究在设计空间中沿什么方 向才能迅速地越过不同的等值线达到等值线族的中点——极值点。显 然，函数值下降最大的方向才是向极值点逼近最快的方向。为此，首 先应研究函数的变化率。
2.2.1方向导数
由多元函数的微分学知，对于一个连续可微多元函数 f (X ) ，
在某一点 X (k) 的一阶偏导数为
f ( X (k) ) , f ( X (k) ) ,
x1
x2
, f ( X (k) ) xn
（2-4）
简记为
f ( X (k) ) ,
i 1, 2,
,n
xi
（2-5）
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6
现代设计方法——第2章 优化设计的数学基础
它即是该函数 f (X ) 在 X (k) 点沿各坐标轴
x1 , x2(k )
x2 ) x1
f
(x1(k ) , x2(k )
x 2 )
x1 S
f
(
x(k) 1
,
x(k) 2
x2 ) x2
f
(x1(k )
,
x(k) 2
)
x2 S
（2-6）
f
(X (k) x1
)
cos1
f
(X (k) x2
)
cos2
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现代设计方法——第2章 优化设计的数学基础
解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量 p表示，
函数变化率最大的数值是梯度的模 f (X (1)) 。则由梯度的定义式可求得
f (X )
f
(
X
(1)
)
x1 f (X
)
2 x1 2x2
4 2
X
(1)
4 2
x2 X (1)
f ( X (1) ) 的模为
2
2
f ( X (1) )
对于任何一个单值、连续并可微的一元函数 f (x) ，在点 x(k ) 取得极值 的必要条件是函数在该点的一阶导数为零，充分条件是对应的二阶导数不 为零，即
f '(x(k ) ) 0
f "(x(k) ) 0
当 f "(x(k) ) 0时，则函数f (x)在点x(k )取得极小值；当 f "(x(k) ) 0 时，则 函数f (x)在点 x(k ) 取得极大值。其极值点和极值分别记作 x* x(k)和 f * f (x*)。
f ( X ) f ( X (k) ) [f ( X (k) )]T [ X X (k ) ] 1 [ X X (k ) ]T 2 f ( X (k ) )[ X X (k ) ] 2
（2-1）
此式称为函数 f (X ) 的泰勒二次近似式。其中，2 f (X (k)) 是由函数在
点 X (0) 的所有二阶偏导数组成的矩阵，称为函数 f (X ) 在点 X (k) 的二阶偏导
- f(x (k))
最速下降方向
f(x (k ))最速上升方向
X (k) 上升方向
f( (k)) f(X)= 0
o
x1
图2-2 梯度方向与等值线的关系
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图2-3 方向导数与等值面的关系 10
现代设计方法——第2章 优化设计的数学基础
例2-2 求函数 f ( X ) (x1 2)2 (x2 1)2在点 X (1) [0 0]T 处函数变化率最 大的方向和数值。
式（2-7）表明，在同一点，函数沿不同的方向的方向导数值是不等的， 亦即函数沿不同的方向上有不同的变化率。我们把函数在某点沿某给定方
向的变化率称为函数在该点沿此方向的方向导数，其值为正，表明函数在
该点沿此方向增加；为负，则减小。
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2.2.2 梯度
f (X )
x1
f (X x2
)
42 22 2 5
该梯度的单位向量p 为
f ( X (1) ) 1 4 1 2
p
f ( X (1) )
2
5 2
5 1
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2.3 无约束优化问题的极值条件
无约束优化问题求解的实质是求解目标函数 f (X ) 在n 维空间 Rn 中的极 值点和极值。
3x2 6 6(x1 1)2 6x12 12x1 3x2
将 X (点 X (1) 的值相等。
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分析式（2-9）中的取值对方向导数 f ( X k) ) / S 影响，可知，在设计空间
中，凡是与梯度方向成锐角的方向函数值都增加；凡是与梯度方向成钝角的方
向函数值都减小；梯度 f (X ) 的方向为函数 f(X) 过 X (k) 点的等值线（或等值面）
的外法线方向。
Δ Δ Δ
x2
变化率为零的方向
下降方向
将代数式（2-6）写成矩阵形式，则有
f
(X (k) S
)
f
(X (k) x1
)
cos1
f
(X (k) x2
)
cos2
f ( X (k) )
x1
f ( X (k) ) cos1
x2
cos
2
f ( X (k) )
令
f ( X (k) )
x1
,
f ( X (k) )
S
cos1 cos2
当 X (k) 为函数的极小点时，有 f (X ) f (X (k) ) 0 ，故必有
[ X X (k) ]T 2 f ( X (k) )[ X X (k) ] 0
根据线性代数的二次型有关知识，上式说明函数的二阶导数矩阵必 须是正定的，这就是多元函数极小值的充分条件。故，多元函数在点 X (k) 取得极小值的充分必要条件是：函数在该点的梯度为零，海赛矩阵（二 阶导数矩阵）正定，即
求展开式的二次项
1 [ X X ] (1) T 2 f ( X (1) )[ X X (1) ] 2
1 2
[
x1
1
x2
1]
12
0
0 0
x1 x2
1 1
6(
x1
1)2
代入式（2-1）得简化的二次函数
f ( X ) f ( X (1) ) [f ( X (1) )]T [ X X (1) ]
梯度的概念可以推广到多元函数中去，对于 n 元函数 f (X ) ，梯度可记为
f
(
X
)
f (X x1
)
,
f ( X ) ,
x2
f ( X ) T
,
xn
（2-12）
它是一个向量，沿此方向函数的变化率最大，亦即梯度 f (X )的方向是函
数 f (X ) 的最速上升方向，负梯度 f (X ) 则为函数 f (X ) 的最速下降方向。
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例2-3 求函数 f (x1, x2 ) x12 x22 4x1 2x2 5 的极值。
解：根据极值存在的必要条件
f
(
X
)
f ( X x1
)
,
f ( X ) T
x2
0
f ( X x1
)
2 x1
4
0
f ( X x2
)
2 x2
解：分别求函数在点 X (1)的函数值、梯度和海赛矩阵
f ( X (1) ) 3
f
(X
(1) )
3x132 x226x61 x291
0 3
1
2
f
(
X
(1)
)
6
x1 0
6
0 12
6x2
6 1
0
0 0
1
X
X
(1)
x1
x2
1 1
x1 1
x2
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x2
则方向导数 f (X k) ) 可用矢量的内积形式表示如下：
S
f ( X (K ) ) f ( X (K ) )T S f ( X (K ) ) S cos S
S 1 由（2-9）知：方向导数等于梯度在该方向的投影
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数矩阵或海赛（Hessian）矩阵，经常记作 H (X (k) ) 。二阶偏导数矩阵的组
成形式如下：
2 f (X (k))
x12
2 f (X (k))
H
(
X
(k
)
)
2
f
(
X
(k
)
)
x2x1
2 f (X (k))
xnx1
2 f (X (k)) x1x2
2 f (X (k)) x22
2 f (X (k)) xnx2
2
0
联立求解得驻点 X * [2,1]T 。
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现考察该驻点是否满足极值点的充分条件，函数在该点的海赛矩阵
2 f (X ) 2 f (X )
H(X*)
x12
2 f (X )
x2x1
x1x2
2 f (X )
x22
x*
2 0
2.2 函数的方向导数和梯度
我们需要研究寻找极值点的途径，即研究在设计空间中沿什么方 向才能迅速地越过不同的等值线达到等值线族的中点——极值点。显 然，函数值下降最大的方向才是向极值点逼近最快的方向。为此，首 先应研究函数的变化率。
2.2.1方向导数
由多元函数的微分学知，对于一个连续可微多元函数 f (X ) ，
在某一点 X (k) 的一阶偏导数为
f ( X (k) ) , f ( X (k) ) ,
x1
x2
, f ( X (k) ) xn
（2-4）
简记为
f ( X (k) ) ,
i 1, 2,
,n
xi
（2-5）
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它即是该函数 f (X ) 在 X (k) 点沿各坐标轴
x1 , x2(k )
x2 ) x1
f
(x1(k ) , x2(k )
x 2 )
x1 S
f
(
x(k) 1
,
x(k) 2
x2 ) x2
f
(x1(k )
,
x(k) 2
)
x2 S
（2-6）
f
(X (k) x1
)
cos1
f
(X (k) x2
)
cos2
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现代设计方法——第2章 优化设计的数学基础
解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量 p表示，
函数变化率最大的数值是梯度的模 f (X (1)) 。则由梯度的定义式可求得
f (X )
f
(
X
(1)
)
x1 f (X
)
2 x1 2x2
4 2
X
(1)
4 2
x2 X (1)
f ( X (1) ) 的模为
2
2
f ( X (1) )
对于任何一个单值、连续并可微的一元函数 f (x) ，在点 x(k ) 取得极值 的必要条件是函数在该点的一阶导数为零，充分条件是对应的二阶导数不 为零，即
f '(x(k ) ) 0
f "(x(k) ) 0
当 f "(x(k) ) 0时，则函数f (x)在点x(k )取得极小值；当 f "(x(k) ) 0 时，则 函数f (x)在点 x(k ) 取得极大值。其极值点和极值分别记作 x* x(k)和 f * f (x*)。
f ( X ) f ( X (k) ) [f ( X (k) )]T [ X X (k ) ] 1 [ X X (k ) ]T 2 f ( X (k ) )[ X X (k ) ] 2
（2-1）
此式称为函数 f (X ) 的泰勒二次近似式。其中，2 f (X (k)) 是由函数在
点 X (0) 的所有二阶偏导数组成的矩阵，称为函数 f (X ) 在点 X (k) 的二阶偏导
- f(x (k))
最速下降方向
f(x (k ))最速上升方向
X (k) 上升方向
f( (k)) f(X)= 0
o
x1
图2-2 梯度方向与等值线的关系
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图2-3 方向导数与等值面的关系 10
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例2-2 求函数 f ( X ) (x1 2)2 (x2 1)2在点 X (1) [0 0]T 处函数变化率最 大的方向和数值。
式（2-7）表明，在同一点，函数沿不同的方向的方向导数值是不等的， 亦即函数沿不同的方向上有不同的变化率。我们把函数在某点沿某给定方
向的变化率称为函数在该点沿此方向的方向导数，其值为正，表明函数在
该点沿此方向增加；为负，则减小。
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2.2.2 梯度
f (X )
x1
f (X x2
)
42 22 2 5
该梯度的单位向量p 为
f ( X (1) ) 1 4 1 2
p
f ( X (1) )
2
5 2
5 1
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2.3 无约束优化问题的极值条件
无约束优化问题求解的实质是求解目标函数 f (X ) 在n 维空间 Rn 中的极 值点和极值。