第二章初等模型习题解答 (1)

1 题目：

生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动动物 体重（g ） 心率（次/分）

田鼠 家鼠 兔 小狗 大狗 羊 人 马

25 670 200 420 2000 205

5000 120 30000 85 50000 70 70000 72 450000 38

解：

动物消耗的能量P 主要用于维持体温，而体内热量通过表面积S 散失，记动物体重为ω，则3/2-∝∝ωS P 。P α正比于血流量Q ，而qr Q =，其中q 是动物每次心跳泵出的血流量，r 为心率。合理地假设q 与ω成正比，于是r P ω∝。综上可得3/1-∝ωr ，或3/1-=ωk r 。由所给数据估计得310897.20⨯=k ，将实际数据与模型结果比较如下表： 动物

实际心率（次/分） 模型结果（次/分） 田鼠 家鼠 兔 小狗

670 715 420 375

205 166 120 122

大狗 羊 人 马

85 67 70 57 72 51 38 27

一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身长()cm 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 重量()g 756 482 1162 737 482 1389 652 454 胸围()cm

24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6

问题分析

本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。

模型假设⑴ 设鱼的重量为；

⑵ 语的身长记为；

模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量w 与身长l 的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。即

31v k w =，1k 为比例系数。不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型，

因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是l d k w 22=，2k 为比例系数。

利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：

1k =0.0146，2k =0.0322,

将实际数据与模型结果比较如下表：

实际重量()g

765

482

1162

737

482

1389

652

454

模型31v k w = 727 469 1226 727 483 1339 675 483 模型l d k w 22=

730

465

1100

730

483

1471

607

483

结果分析及评注

通过上面的一系列分析，可见估计的两个模型基本上都能让垂钓者满意， 上表中我们可以看到，两个模型算得的结果与鱼的实际结果相差不大，所以，在同一种鱼整体形状相似的，密度也相同的情况下，用身体长度去估计它的体重和考虑鱼身的情况下估计鱼的体重都是可行的。可见这种类比法对于解释一些问题，还是非常重要的，我们得多多借鉴。 3 题目：

考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期。

本题是由关物理量之间关系的问题，很明显我们可以用物理量的量纲齐次原则，建立模型确定各个物理量之间的关系。本题中涉及的物理量有阻力f 、摆长l 、质量m 、重力加速度g 、周期t 。分别分析各个物理量的量纲，由于阻力f 与摆的速度成正比所以

f

的量纲与

v 的量纲相同

[f]=[v]=LT 1-,[t]=T,[m]=M;[g]=LT 2-,[l]=L 。设这些物理量之间的关系为：

4

321a a a a f

g l m t λ=,因此量纲表达为：

4321][][][][][a a a a f g l m t =把各个物理量的量纲带入量纲表达式得：4321)()(12a a a a LT LT L M T --= 按照量纲齐次原则应有 最后解得：)(2

12

1

mg kl g r t ϕ=

作物理模拟的比例模型时，设g 和 k 不变，设模拟模型和原模型的周期、摆长、质量分别为：m m l l t t ''',,,,,那么只要m m r r //'='就有r r t t '='

4 题目：

小球做竖直上抛运动：质量为m 的小球以速度v 竖直上抛，阻力与速度成正比，比例系数k 。设初始位置为x =0，x 轴竖直向上，则运动方程为：m •

•x +k •

x +mg=0,x(0)=0,•

x （0）=v ，方程的解可表为x =x (t ;v ,g ,m ,k ).试

选择两种特征尺度将问题无量纲化，并讨论k 很小时求近似解的可能性

]

30[

建模与解题：

注意到[k ]=m t

1

-,,(1)选取特征尺度

t

c

=m 1

-k

,

x

c

=2

v ,则方程化为

2ε•

•-

x

+2ε•

-

x +1=0，-

x （0）=0，•

-

x （0）=1

-ε——（1）

其中ε=kv /mg ，解可表示为-x =-x （-

t ；ε）。k 很小时ε很小，（1）无解。 （2）选取t

c

=v 1

-g ，c x =2v 1-g ，则•

•-

x +ε•

-

x +1=0，-x （0）=0，•

-

x （0）=1

ε同上，-

x 表达式同上。但当k 很小时（2）有解。它正是原问题忽略阻力时的近似解。

5 录象机计数器的用途

一、问题：

老式的录象机上有计数器，而没有计时器,计数器的读数并非均匀增长，而是先快后慢，那么计数器读数与录象带转过的时间之间有什么样的关系呢？在适当的假设下建立表述这个关系的数学模型． 二、模型假设：

1）录象带的线速度是常数v ；

2）计数器的读数n 与右轮盘转的圈数（记作m ）成正比n k m *=，k 为比例系数；

3）录象带的厚度（加上缠绕时两圈间的空隙）是常数w ，空右轮盘半径为r ; 4)初始时刻t =0时n =0; 三、建立模型：

当右轮盘转到第i 圈时其半径为i w r *+，周长为2π*(r+w*i)π，m 圈的总长度恰等于录象带转过的长度t v *，即： 四、模型求解：

因为m=k*n 有:12*(*)*m

i r w i v t π=+=∑

推出：221

()*2******2

r w k n K n w v t

ππ++=

考虑w<

推出：222******k r n k n w

t v v

ππ=+