三角函数公式大全及其推导方法

三角函数公式大全及其推导三角函数的定义1.Figure I由此，我们定义：ΔABC中如Figure I, 在对边b??(?sin?) 的正弦值：斜边c邻边a??)?(?的余弦值：cos斜边c对边b??)?的正切值：tan?(邻边a邻边11a??)?(?的余切值：cot??b?对边tanb a斜边11c???的正割值：sec???()a?邻边acos c斜边1c1???的余割值：?csc??() b?对边sinb c备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写∠符号，但用三个子母表tan。

、示时，不能省略。

在本文中，我们只研究sin、cos额外的定义2.22??)(sinsin?22??)(cos?cos22??)?tan(tan简便计算公式3.b???)sin??cosA?cos(90?cc??)??A?cossin(90??sin b11b1?????tana?)??tanaAtan(90b22??1?cossin?证明：90ABC???ABC中,在222c???ab22ba1?????1?sincos??证完b?sinb c???tan?a?cosa22cc21??sinAB?sin22c22??1cossin2????1tan?222???coscoscos任意三角形的面积公式4.Figure II,如Figure II．1ahS?ABC?21?absinC21?acsinB (两边和其夹角正弦的乘积)25.余弦定理：任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与两邻边积的两倍之比。

证明：如Figure II,222h?db?22)B(cccosB)sin??(a?22222B?cccossin?aB?2accosB?2222)sin(cosBB?=aac?2cosB?c22?2acacos?cB?222222bca?b??ac??cosB???2ac2ac证完海伦公式6.证明：,Figure 如II1absinC?S ABC?212C?cos?ab122222??1ca?b??ab?1??ab22??444222222c??2?ba?c2?2acbb1a?ab1?22b24a22444222222c2c?2abb?14a?b?a2?bc?a?ab22ba24??22444222222c??2a?ab?2?cc?2aba14bb22?ab?22b4a4222422244cbc?2b?2a?2ac?a?b?122?ab?22b4a4????????c????????abcabcbcaab?16． ????????c?b?b?c2acc?2?a?b?c?2baa?a?b??2?2?22?c?b??c?2aa?2ca?bc?2ba?b?a?bc?????2222cb?b?ca???b?cab?ca?a??????cb??a????????2222??????c?a?b=设：s2??????css?a?s?bS?s ABC?正弦定理7.Figure III,Figure如III,外接圆的直径c为ΔABC a?Asin ca的外接圆半径）ABC r2 （r为???c?Asin同理：cb c, c??CsinsinB cabr??2??CAsinsinsinB加法定理8.两角差的余弦(1)Figure IV, Figure IV如???AOC?????BOC??????AOB?AO=BO=r令?cos?rx A的横坐标为点A?sin?ry的纵坐标为A点A?cos?rx的横坐标为点B B?sinry?点B的纵坐标为????????cos??rsinr?rsincosr?2222222222????????cossincosr?rs B22????2xxy?AB??y?BBAA22incos??r2rsinrsin??r2cos???22222????????cossin????r2sinsincossin?cos2cos???22222?? ??????cos?cos??sin??r2sinsin2cos?cossin??2????cos?inscossin??r1?12??????2????c os?r2?2sincossin???????2????cos2?r1?sinsin?cos????由余弦公式可得：??22???cos?2r??rr?r??22????2rrcos?2222?2AC?BCACcos?BC?ABACB???2???2r?2cos???????2???1r?cos?2???????????? sin综上得：coscossin?cos??(2)两角和的余弦??????????coscos????????????????sin?sincos?cos????cossin?cos??sin????sin?cos?cossin两角和的正弦(3)???????????90??cossin?????????90??cos?????????????cossin?cos?sin?90??90?????cos?cos?sinsin(4)两角差的正弦 ?????????sin?sin?????????????????cossinsin?cos????cossin?sin??cos????sin?cos?sincos两角和的正切(5)?????sin??????tan?????cos????coscos?sinsin?????sincossincos?????cossinsin?cos??coscos?????sin?cossincos??coscos??sinsin???coscos???sinsin1???coscos??tantan????tan1?tan(6)两角差的正切?????????tan?tan????????????tantan??????tantan1???tan?tan???tantan1?9.两倍角公式????????2?sinsin????coscossin?sin???cos2sin?????????coscos?2????sin??cossincos22??sin??cos22????2sin2cos1??1???2sin????2tan???2cos??cos2sin?22??sin?cos??cos2sin2?cos?22??sincos?2?cos?2sin?cos?2?sin?12?cos?tan2?2?nta1?10.积化和差公式1??????cossin?cos2sin21??????????sinsin??sincossin?coscos?cos 21??????????sin?sin?????21??????coscos?cos2cos21??????????sincos???sincossincossin?cos 21??????????cos?cos?????21??????sinsin?sin2sin21??????????cos??cossin?sincos?sincossin21?????????cos??cos?????211.和差化积公式(1)设：A=α+β, B=α-β,??????????Asin?sinB?sin?sin????????sinsinsin?coscos?coscossin????cos?2sin???? ???????????????2sincos????22????A?BA?B?????2sincos????22???? ?????????sinsin??sinA?sinB?????????sin?sin??sincoscoscos?cossin??n2cossi????? ??????????????sin2cos?????22????B?BAA?????sin2cos?????22???? (2)ba22????1cossin??设：∵, ??, sincos2222b?ba?aab2222????cos??sin??a?sinasin?bb?a?b?2222ba?ba???22????cosa?b??cossinsin???22????sinba??12.其他常用公式??0??sin??nsin?360??0??cos??ncos?360??0??tann?tan360??????cos90??sin????? sin90??cos?1?????90?tan?tan????cossin?90??????sin??cos?90?1??????tan?90?tan????cos?90?sin??????sin90cos???1?????tan90???tan????sinsin180???????cos?180??cos?????tan???tan?180????sin?180sin??????? cos??cos?180?????tan180tan???????sinsin???????coscos??????tan???tan???90?不存在tan2n?1???????cos1?1?1??cos??1??1?sinsin1??在计算机中，三角函数的算法是这样的，其中x用弧度计算???sinx??????!?2n7!1!3!5!1??nn62040xxxxx 13572n?10xxxxx???xcos??????!6!2n4!2!0! ??n推导公式：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R为外接圆半径)由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R所以a=2R*sinAb=2R*sinBc=2R*sinC加起来a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R 两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinA?CosA对数的性质及推导的对数b为底，a表示以log(a)(b)表示乘方，用^用*表示乘号，/表示除号定义式：若a^n=b(a>0且a≠1)则n=log(a)(b)基本性质：1.a^(log(a)(b))=b2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)推导1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)2.MN=M*N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3.与2类似处理MN=M/N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)4.与2类似处理M^n=M^n由基本性质1(换掉M)a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n由指数的性质a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)其他性质：性质一：换底公式log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)推导如下N=a^[log(a)(N)]a=b^[log(b)(a)]综合两式可得N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}又因为N=b^[log(b)(N)]所以b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}所以}这步不明白或有疑问看上面的log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{ 所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性质二：（不知道什么名字）log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]推导如下由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)由基本性质4可得log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}再由换底公式log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]--------------------------------------------（性质及推导完）公式三:log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如下:由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数,log(b)(b)=1=1/log(b)(a)还可变形得:log(a)(b)*log(b)(a)=1平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·商的关系：α/sinα=cosαcotα/cosα=sinαtan·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：αsin）＝－α（－sincos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinααcot）＝α－/2π（tancot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)一般的最常用公式有:Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB) 平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαα*sinα=cotαcostanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。