2004年考研数学一真题

1
（4）欧拉方程
x2 d 2 y 4x dy 2y 0(x 0) 的通解为
dx2
dx
y
wk.baidu.com
c1 x
c2 x2
.
【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换 x et 化为常系数线性齐次微分方程即可。
【详解】 令 x et ，则 dy dy dt et dy 1 dy ， dx dt dx dt x dt
（7）把 x 0 时的无穷小量
x cost 2dt,
x2
tan
tdt,
x sin t 3dt ，使排在后面的是前一个
0
0
0
的高阶无穷小，则正确的排列次序是
(A) , , . (B) , , . (C) ,, . (D) , , .
[B]
【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.
【详解】 又
x2
l i m l i m 0 t a n tdt l i mt a nx 2x 0 ，可排除(C),(D)选项，
x0 x0 x c o ts2dt 0
x0 c o sx 2
lim lim
0
x sin t 3dt
lim
3
sin x 2
1 2x
x0
x0
x2
tan
tdt
于是 x d y 2y d x 2 [ 2 c o s 2 c o s 2 2 s i n 2 s i n ]d
L
0
=
2
2sin 2 d
3
.
0
2
【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法 化为定积分计算即可.
完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143 例 10.11，《考研数学大串讲》P122 例 5、例 7 .
本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.
（2）已知 f (ex ) xex ，且 f(1)=0, 则 f(x)= 1 (ln x)2 . 2
【分析】 先求出 f (x) 的表达式，再积分即可。
【详解】 令 e x t ，则 x ln t ，于是有
f (t) ln t ， 即 f (x) ln x .
9 【评 注 】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵 A* ，一般均应先利用公式
2
A* A AA* A E 进行化简。
完全类似例题见《数学最后冲刺》P107 例 2，P118 例 9
（6）设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 P{X
DX }=
1
.
e
【分析】 已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。
0 0 1 则B 1 .
9
【分析】 可先用公式 A* A A E 进行化简
【详解】 已知等式两边同时右乘 A，得
ABA* A 2BA* A A ， 而 A 3 ，于是有
3AB 6B A， 即 (3A 6E)B A ，
再两边取行列式，有 3A 6E B A 3 ， 而 3A 6E 27 ，故所求行列式为 B 1 .
d2y dx2
1 x2
dy dt
1 x
d2y dt 2
dt dx
1 x2
[
d2 dt
y
2
dy ] ， dt
代入原方程，整理得
d 2 y 3 dy 2y 0 ， dt2 dt
解此方程，得通解为
y c1et
c2e2t
c1 x
c2 x2
.
【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令 x et ，则欧拉方程
ax2
d2y dx2
bx dy dx
cy
f
(x)
，
可化为
a[d 2 y dy] b dy cy f (et ). dt2 dt dt
完全类似的例题见《数学复习指南》P171 例 6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342 第六题.，《考研数 学大串讲》P75 例 12.
2 1 0 （5）设矩阵 A 1 2 0 ，矩阵 B 满足 ABA* 2BA* E ，其中 A* 为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，
（3）设 L 为正向圆周 x2 y2 2 在第一象限中的部分，则曲线积分 xdy 2ydx 的值为 3 .
L
2
【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。
【详解】 正向圆周 x2 y2 2 在第一象限中的部分，可表示为
x 2 cos,
y
2 sin,
:0 . 2
【详解】 由 y (ln x) 1 1，得 x=1, 可见切点为 (1,0) ，于是所求的切线方程为 x
y 0 1 (x 1) ， 即 y x 1 .
【评注】 本题也可先设切点为 (x0 , ln x0 ) ，曲线 y=lnx 过此切点的导数为 y
x x0
1 x0
1，得 x0
1，
由此可知所求切线方程为 y 0 1 (x 1) ， 即 y x 1 .
【详解】 由题设，知 DX 1 ，于是 2
P{X
DX }= P{X 1}
1
e
x
dx
= ex
1
1. e
【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。 完全类似例题见《数学一临考演习》P35 第 5 题.
二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内）
x0
2x tan x
0
1 = lim
4 x0
x x2
，可见
是比
低阶的无穷小量，故应选(B).
【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将, , 分别与 x n 进行比较，再确定相互的高低次序.
完全类似例题见《数学一临考演习》P28 第 9 题.
t
x
积分得 f (x) ln xdx 1 (ln x)2 C . 利用初始条件 f(1)=0, 得 C=0，故所求函数为 f(x)= 1 (ln x)2 .
x2
2
【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。
完全类似的例题见《数学复习指南》P89 第 8 题, P90 第 11 题.
2004 年数学一试题 详解和评注
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
（1）曲线 y=lnx 上与直线 x y 1垂直的切线方程为 y x 1 .
【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切点的坐标。