曲线与方程-课时作业(解析版)
2021学年高中数学第三章圆锥曲线与方程课时作业13椭圆的简单性质课件北师大版选修2_1
D．[2，＋∞)
解析：因为 P(m，n)是椭圆 x2＋y22＝1 上的一个动点，所以 m2＋n22＝1，即 n2＝2－2m2，所以 m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1， 所以 1≤2－m2≤2，所以 1≤m2＋n2≤2，故选 B.
二、填空题
9．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是
0，
2 2
.
解析：由题意 2b>2c，
即 b>c，即 a2－c2>c，
∴a2－c2>c2，则 a2>2c2.
∴ac22<12，∴0<e<
2 2.
10．已知 F1，F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于 A，B 两点，若△ABF2 是正三角形，则这个椭圆
3 的离心率是 3 .
B．[38，34]
C．[12，1]
D．[34，1]
解析：如图：
直线 A2M 的方程为 y＝－(x－2)＝2－x. 代入椭圆方程x42＋y32＝1，得 3x2＋4y2＝3x2＋4(4－4x＋x2)＝12， 整理得 7x2－16x＋4＝0，
∴2＋x＝176，∴x＝27.
∴M 点坐标为(27，172)．
若焦点在 y 轴上，则 b2＝5，a2＝m. ∴m－m 5＝25，∴m＝235. 所以 m 的值为 3 或235.
2．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于
12，则 C 的方程是( D )
A.x32＋y42＝1
B.x42＋
y2 ＝1 3
C.x42＋y22＝1
D.x42＋y32＝1
解析：由 8x2＋3y2＝24，得x32＋y82＝1. ∴－ 3≤m≤ 3，4－2 3≤2m＋4≤4＋2 3.
课时作业9：三 简单曲线的极坐标方程
三 简单曲线的极坐标方程一、基础达标1.圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标方程为( ) A. ρ＝1 B.ρ＝cos θ C.ρ＝2cos θD.ρ＝2sin θ解析 圆的直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程. 答案 C2.在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1解析 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2. 答案 B3.在极坐标系中，如果一个圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝1，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是( ) A.ρsin θ＝3 B.ρsin θ＝－3 C.ρcos θ＝2D.ρcos θ＝－2解析 圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的圆心为(2，3)，∴过圆心且与极轴平行的直线方程是y ＝3，即ρsin θ＝3. 答案 A4.在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π4(ρ∈R )交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的极坐标方程为( )A.ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4B.ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4C.ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4D.ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4解析 根据题意可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，联立两方程，解方程组可得交点的直角坐标为(0，0)，(2，2)，所以在直角坐标系中，以AB 为直径的圆的圆心为(1，1)、半径为2，则方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，所以所求极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.答案 A5.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，直线θ＝π4被圆ρ＝2sin θ截得的弦长是________.解析 直线为y ＝x (x ≥0)，圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1，交于原点和点A (1，1)，弦长为 2. 答案26.在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析 由2ρcos 2θ＝sin θ⇒2ρ2cos 2θ＝ρsin θ⇒2x 2＝y .又由ρcos θ＝1⇒x ＝1，由⎩⎨⎧2x 2＝y ，x ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，故曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2).答案 (1，2)7.已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6. 二、能力提升8.下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2π3解析 点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－23π的极坐标满足ρ＝12，θ＝－23π，且ρ≠cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＝－12. 答案 D9.在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A.ρcos θ＝12 B.ρcos θ＝2 C.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3D.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3解析 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x ＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切. 答案 B10.在极坐标系中，曲线ρcos 2θ＝4sin θ的焦点的坐标为________ (规定：ρ≥0，0≤θ<2π).解析 易知曲线ρcos 2θ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＝4y ，故该曲线焦点的直角坐标为(0，1)，极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 11.在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程.解 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)，因为圆C 的经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.12.(2019·全国卷Ⅲ理，22)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标. 解 (1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ，所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6； 若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6.综上，P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.三、探究与创新13.在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，半径r ＝1，P 在圆C上运动.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴)中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程.解 (1)设圆C 上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＋3＝0.(2)设Q (x ，y )，则P (2x ，2y )，由于圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，P 在圆C 上，所以(2x －1)2＋(2y －3)2＝1，则Q 轨迹的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝14.。
20202021学年数学高中选修21课时作业231双曲线及其标准方程含解析.docx
课射作业10 甄曲线及其标准方程 |基础巩固| （25分钟，60分）~、选择题（每小题5分，共25分）1、巳知 E C-8, 3J, Fi C2, 3J,动点尸满足\PFi\- | PFi \=10,则尸点的轨迹是（）A、改曲线B、改曲线的~支C、直线D, —条射线解析:Fi, ”2是定点，且成1F2I = 10,所以满足条件I PFi \ —\PFi I =10的点户的轨迹应为~条射线.答案：D2 .巳知叹曲线方程为x2 - 2y2 = 1,则它的右焦点坐标为（JA.错误！B.错误！C.错误！D、（错误!,0）解析：将改曲线方程化为标准方程，用错误！-错误！ = 1, /.a2 =1 , Z?2 =错误!，.*.C=错误！二错误!，右焦点坐标为错误!.答案：C3.焦点分别为（-2,0）, （2, 0J且经过点（2, 3J的叹曲线的标准方程为（）A、必一错误！ = 1 B.错误！一寸=1C. y2 一错误！ = 1D.错误！一错误！二1解析：由改曲线定义知，2ci —错误！一错误！— 5 — 3 = 2,a = 1.又c = 2, /?2 = c2— <22 = 4 — 1 = 3,因此所求改曲线的标准方程为X2 -错误！ = lo答案:A4、下面各选项中的改曲线，与错误! -错误! = 1共焦点的改曲线是（JA.错误！ +错误！ = 1 Bo错误！一错误！ = 1C.错误！ 一错误！ = 1 Do 错误！ +错误！ = 1解析：方法~ 因为所求曲线为改曲线，所以可排除选项A,D;又改曲线正-错误！ = 1的焦点在工轴上，所以排除选项B,综 上可知，选C 。
方法二 与错误！ 一错误！ = 1共焦点的改曲线系方程为错误！ 一错误! =1,对此四个选项中的曲线方程，发现只有选项C 中的方程符 合条件（此酎久=一 2）、答案:C5. 巳知定A A,B 且| AB| = 4,动点尸满足|B4| - \ PB \ = 3,则| PA |的放小值为（ ）Ao 错误！ Bo 错误！C.错误！D. 5解析：如图所示，点尸是以A, 3为焦点的改曲线的右支上 的点，当P 在M 处酎，||最小，景小禽为a + c =错误！ + 2 =错误!.答案:C 二、埴空题（每小题5分，共15分）6. 设m 是常教，若点"（0,5J 是改曲线错误! 一错误！ = 1的~ 个焦点，则m =o解析：由A F CO, 5）可知该改曲线错误!-错误！ = 1的焦点恣在 y 轴上，所以m>0,且m + 9 = 52,解得m = 16o 答秦：167、 巳知尸是改曲线错误！ -错误！ = 1上~ A,F1,F2是改曲线的左、 右焦点，X|PF I | = 17,^|PF 2| =o BA O\ Ml解析：由改曲线方程错误！一错误！ = 1可得<2 = 8, b = 6, c = 10, 由改曲线的图象可得点尸到右焦点”2的d>c-a = 2.因为IIPFil - \PF2 I | = 16, |PFi| = 17,所以 | PF2 I =1（舍去）或I P^2 I = 33.答案:33x28、巳知改曲线E：三一错误！= 1（。
高三数学第一轮复习课时作业(53)曲线与方程
课时作业(五十三) 第53讲 曲线与方程时间：45分钟 分值：100分基础热身1．与两圆x 2＋y 2＝1及x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上 D ．一个圆上2．2011·湖南师大附中月考 已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足·＝x22，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线3．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝04．已知A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x248＝1C ．y 2－x248＝－1 D ．x 2－y248＝1 能力提升5．2011·江门质检 设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若＝2，且·＝1，则P 点的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)6．已知||＝3，A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，＝13＋23，则动点P 的轨迹方程是( )A.x24＋y 2＝1 B ．x 2＋y24＝1 C ．.x29＋y 2＝1 D ．.x 2＋y29＝1 7．已知二面角α－l －β的平面角为θ，点P 在二面角内，PA ⊥α，PB ⊥β，A ，B 为垂足，且PA ＝4，PB ＝5，设A ，B 到棱l 的距离分别为x ，y ，当θ变化时，点(x ，y )的轨迹方程是( )A ．x 2－y 2＝9(x ≥0)B ．x 2－y 2＝9(x ≥0，y ≥0)C ．y 2－x 2＝9(y ≥0)D ．y 2－x 2＝9(x ≥0，y ≥0)8．2011·南平测试 已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y28＝1(x <－1) B ．x 2－y28＝1(x >1)C ．x 2＋y28＝1(x >0) D ．x 2－y210＝1(x >1)9．2011·哈尔滨第三中学三模 已知动点P 在直线x ＋2y －2＝0上，动点Q 在直线x ＋2y ＋4＝0上，线段PQ 中点M (x 0，y 0)满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y 0≤x 03＋2，y 0≤－x 0＋2，则x 20＋y 20的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，34 B.⎣⎡⎦⎤15，34C.⎣⎡⎦⎤15，10 D ．10,34 10．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点．若2＝，则点Q 的轨迹方程是________________．11．已知F 1、F 2为椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．12．设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且AB 中点为M ，则点M 的轨迹方程是________．13．2011·北京卷 曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．14．(10分)2011·课标全国卷 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足∥，·＝·，M 点的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．15．(13分)2011·银川一中一模 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆短半轴长为1，动点M (2，t )(t >0)在直线x ＝a2c(a 为长半轴长，c 为半焦距)上．(1)求椭圆的标准方程；(2)求以OM 为直径且被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2的圆的方程；(3)设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．难点突破16．(12分)2011·东北三省四市测试 已知A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB的长为23，D是AB的中点．(1)求动点D的轨迹C的方程；(2)过点N(1,0)作与x轴不垂直的直线l，交曲线C于P、Q两点，若在线段ON上存在点M(m,0)，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，试求m的取值范围．课时作业(五十三)【基础热身】1．B 解析圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到(4,0)的距离减去到(0,0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．2．B 解析设点P(x，y)，则＝(1－x,1－y)，＝(－1－x，－1－y)，所以·＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2.由已知x2＋y2－2＝x22，即x24＋y22＝1，所以点P的轨迹为椭圆．3．A 解析设P点的坐标为(x，y)，则(x－1)2＋(y＋2)2＝3x2＋y2，整理，得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.4．A 解析由题意|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．又c＝7，a＝1，b2＝48，所以轨迹方程为y2－x248＝1(y≤－1)．【能力提升】5．A 解析设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由＝2得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝32x>0，b＝3y>0.由题知点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a，b代入上式得，所求的轨迹方程为32x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．6．A 解析设A(0，a)，B(b,0)，则由||＝3得a2＋b2＝9.设P(x，y)，由＝13＋23得(x，y)＝13(0，a)＋23(b,0)，由此得b＝32x，a＝3y，代入a2＋b2＝9得9y2＋94x2＝9⇒x24＋y2＝1.7．B 解析实际上就是求x，y所满足的一个等式，设平面PAB与二面角的棱的交点是C，则AC＝x，BC ＝y，在两个直角三角形Rt△PAC，Rt△PBC中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x，y所满足的关系式．如图，x2＋42＝y2＋52，即x2－y2＝9(x≥0，y≥0)．8．B 解析设直线PM、PN与圆C|AM|＝|MB|，|PD|＝|PA|，|DN|＝|NB|，所以|PM|－|PN|＝|PA|＋|AM|－|PD|－|DN|＝|MB|－|NB|＝2<|MN|，由双曲线的定义知点P的轨迹是以M、N为焦点、实轴长为2的双曲线的右支(除去点B)．9．B 解析 ＝0，点M (x 0，y 0)就是直线x ＋2y ＋1＝0位于区域⎩⎪⎨⎪⎧y 0≤x 03＋2，y 0≤－x 0＋2内的线段上，如图．根据几何意义，坐标原点到直线x ＋2y ＋1＝0的距离是15，故最小值是15，根据图形在点A 处取得最大值，点A 的坐标是(5，－3)，故最大值是34.10．2x ＋4y ＋1＝0 解析 设点Q 11)．根据2＝得2(x ，y )＝(x 1－x ，y 1－y )，即⎩⎨⎧x 1＝3x ，y 1＝3y .∵点P 在直线l 上，∴2x 1＋4y 1＋3＝0，把x 1＝3x ，y 1＝3y 代入上式并化简，得2x ＋4y ＋1＝0，为所求轨迹方程．11．x 2＋y 2＝4 解析 延长F 1D 与F 2A 交于B ，连接DO ，可知|DO |＝12|F 2B |＝2，∴动点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.12．y 2＝2(x －1) 解析 F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，后两式相减并将前两式代入得(y 1－y 2)y ＝2(x 1－x 2)，当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2×y ＝2.又A 、B 、M 、F 四点共线，y 1－y 2x 1－x 2＝y x －1，代入得y 2＝2(x －1)，当x 1＝x 2时，M (1,0)也适合这个方程，即y2＝2(x －1)是所求的轨迹方程．13．②③ 解析 ①曲线C 经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a ＝1，与条件不符；②曲线C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF 1||PF 2|＝a 2，关于原点的对称点处也一定符合|PF 1||PF 2|＝a 2；③三角形的面积S △F 1F 2P 2≤a 22，很显然S △F 1F 2P ＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝a 22.所以②③正确．14．解答 (1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)，A (0，－1)． 所以＝(－x ，－1－y )，＝(0，－3－y )，＝(x ，－2)． 再由题意可知(＋)·＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0，所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点，因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.因此直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.则O 点到l 的距离d ＝||2y 0－x 20x 20＋4，又y 0＝14x 20－2，所以d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20＋4＋4x 20＋4≥2， 当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2. 15．解答 (1)由点M 在直线x ＝a 2c 上，得a2c＝2，又b ＝1，故1＋c2c＝2，∴c ＝1，从而a ＝ 2.∴椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)以OM 为直径的圆的方程为x (x －2)＋y (y －t )＝0，即(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －t 22＝t24＋1，其圆心为⎝⎛⎭⎫1，t 2，半径r ＝t 24＋1.因为以OM 为直径的圆被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x －4y －5＝0的距离d ＝r 2－1＝t 2，所以|3－2t －5|5＝t 2，解得t ＝4，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5. (3)证法一：设OM ，FN 交于点K .由平面几何的性质知|ON |2＝|OK ||OM |，直线OM ：y ＝t 2x ，直线FN ：y ＝－2t (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝t 2，y ＝－2t(x －1)，得x K ＝4t 2＋4. ∴|ON |2＝⎝⎛⎭⎫1＋t 24x K ·⎝⎛⎭⎫1＋t 24x M ＝⎝⎛⎭⎫1＋t 24·4t 2＋4·2＝2，所以线段ON 的长为定值 2.证法二：设N (x 0，y 0)，则＝(x 0－1，y 0)，＝(2，t )， ＝(x 0－2，y 0－t )，＝(x 0，y 0)，∵⊥，∴2(x 0－1)＋ty 0＝0，∴2x 0＋ty 0＝2， 又∵⊥，∴x 0(x 0－2)＋y 0(y 0－t )＝0，∴x 20＋y 20＝2x 0＋ty 0＝2，所以，||＝x 20＋y 20＝2为定值． 【难点突破】16．解答 (1)设D (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，33x 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－33x 2. 因为D 是线段AB 的中点， 所以x ＝x 1＋x 22，y ＝33·x 1－x 22. 因为|AB |＝23，所以(x 1－x 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33x 1＋33x 22＝12，所以(23y )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33×2x 2＝12， 即x29＋y 2＝1.故点D 的轨迹C 的方程为x29＋y 2＝1.(2)设l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入椭圆方程x29＋y 2＝1，得(1＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－9＝0，所以x 1＋x 2＝18k21＋9k，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋9k 2. 所以PQ 中点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫9k 21＋9k 2，－k 1＋9k 2. 因为以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形， 所以k MH ·k ＝－1.所以－k1＋9k 29k 21＋9k2－m ·k ＝－1，即m ＝8k 21＋9k2.因为k ≠0，所以0<m <89.又点M (m,0)在线段ON 上，所以0<m <1.综上，0<m <89.。
课时作业10：2.3.1 双曲线的标准方程
§2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程一、选择题1．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( ) A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3答案 D解析 由双曲线的标准方程可知，a 2＝10，b 2＝2.于是有c 2＝a 2＋b 2＝12，则2c ＝4 3.故选D.2．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( ) A.x 25－y 24＝1 B.y 25－x 24＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 29－y 216＝1 答案 A解析 焦点在x 轴上，c ＝3，b ＝2，a ＝ 5.3．已知双曲线x 2m －y 23m＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m 的值是( ) A ．1B ．－1C ．－105 D.105 答案 B解析 由焦点坐标知，焦点在y 轴上，∴m <0，∴双曲线的标准方程为y 2－3m －x 2－m＝1， ∴－m －3m ＝4，∴m ＝－1.4．若k ∈R ，则“k >5”是“方程x 2k －5－y 2k －2＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当k >5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k >5或k <2.故选A.5．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点的坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 答案 B解析 据已知条件得焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则a 2＋b 2＝5.①∵线段PF 1的中点的坐标为(0,2)，∴点P 的坐标为(5，4)，将其代入双曲线的方程，得5a 2－16b 2＝1.② 由①②解得a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1. 6．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值是( )A ．1B ．－1 C.653 D ．－653答案 B解析 原方程可化为x 21k －y 28k＝1，由焦点坐标是(0,3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，∴k <0.c 2＝－1k －8k ＝－9k＝9，∴k ＝－1，故选B. 7．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( ) A.14 B.35 C.34 D.45答案 C解析 由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，|F 1F 2|＝2c ＝2 a 2＋b 2＝4.∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝32＋8－162×42×22＝2416×2＝34. 8．已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20答案 B解析 △ABF 2的周长＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，∵|AB |＝4，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16.根据双曲线定义知，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，∴4a ＝(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，∴a ＝3，∴m ＝a 2＝9.故选B.二、填空题9．与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线方程为________________． 答案 x 23－y 23＝1 解析 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上， ∴设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 又∵两曲线有相同的焦点，∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6.①又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上， ∴4a 2－1b2＝1.② 由①②得，a 2＝b 2＝3，故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1. 10．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到F (3,0)的距离为6，O 为坐标原点，若OQ →＝12(OP →＋OF →)，则|OQ →|的值为________．答案 1或5解析 由题意得Q 为PF 的中点，设左焦点为F ′，其坐标为(－3,0)，∴|OQ |＝12|PF ′|. 若P 在双曲线的左支上，则|OQ |＝12|PF ′| ＝12(|PF |－2a )＝12×(6－2×2)＝1； 若P 在双曲线的右支上，则|OQ |＝12|PF ′| ＝12(|PF |＋2a )＝12(6＋2×2)＝5. 综上，|OQ →|＝1或5.11．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其左、右焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．答案 2 3解析 设P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝2＋x ，|PF 2|＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2， 所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以|PF 2|＋|PF 1|＝3－1＋3＋1＝2 3.三、解答题12．设F 1，F 2是双曲线x 24a －y 2a＝1(a >0)的两个焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，求双曲线的方程．解 ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＝20a .①又||PF 1→|－|PF 2→||＝4a .②①－②2，得2|PF 1→|·|PF 2→|＝4a .∵|PF 1→|·|PF 2→|＝2，∴a ＝1.∴双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 13．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．解 (1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，①又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴S △MF 1F 2＝12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，∴h ＝255. (2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)， 由于双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.四、探究与拓展14．已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，M 为△F 1F 2P 的内心，若S △F 1MP ＝S △F 2MP ＋4，则△F 1F 2M 的面积为( )A ．5B ．6C ．27D ．10答案 A解析 由双曲线方程x 216－y 29＝1，知 焦点在x 轴上，实轴长为2a ＝8，虚轴长为2b ＝6，焦距2c ＝10.设△PF 1F 2的内切圆半径为r .由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝8，|F 1F 2|＝10，1F MP S ＝12|PF 1|·r ， 2F MP S ＝12|PF 2|·r . ∵1F MP S ＝2F MP S ＋4，∴12|PF 1|·r ＝12|PF 2|·r ＋4， 解得r ＝1，∴12F F M S ＝12·2c ·r ＝c ·r ＝5，故选A. 15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上， 且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设M 点在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23， 又|F 1F 2|＝25，所以在△MF 1F 2中 ，MF 1边最长，cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2|·|F 1F 2|<0， 所以∠MF 2F 1为钝角，△MF 2F 1为钝角三角形．。
2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量评估二课时作业含解析人教A版选修2_1.doc
第二章单元质量评估(二)时限：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( C ) A ．4B ．－4C ．－14D.142．若椭圆x 23m ＋y 22m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则实数m 的取值范围是( B )A.⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(0,1) C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 解析：本题主要考查椭圆的基本概念．由题意得3m >0,2m ＋1>0且2m ＋1>3m ，得0<m <1，故选B.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( C )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x解析：本题主要考查有关双曲线基本概念的运算．∵e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，∴b 2a 2＝14.又a >0，b >0，∴b a ＝12，∴C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C. 4．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( C )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1 解析：如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义得|AF 1|＝2a －32①.在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝⎛⎭⎫322＋22②. 由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，应选C.5．已知双曲线y 2－x 2＝1的离心率为e ，且抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(e 2,0)，则p 的值为( D )A ．－2B ．－4C ．2D ．4解析：由条件知，双曲线的离心率为e ＝2，所以抛物线焦点坐标为(2,0)，所以p2＝2，所以p ＝4.故选D.6．如图，过抛物线y 2＝3x 的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则|AB |＝( A )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：本题主要考查抛物线的定义．如图，分别过点A ，B 作AA 1，BB 1垂直于准线l ，垂足分别为A 1，B 1，由抛物线的定义得|BF |＝|BB 1|.∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°. 又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3， ∴|BF |＝1，|AB |＝4，故选A.7．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( C )A ．－13 B.13 C ．±13 D ．±12解析：本题主要考查椭圆的焦点、离心率等概念及斜率公式的应用．由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点间的线段F 1F 2正好被椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点三等分，则该双曲线的渐近线方程为( B )A ．y ＝±53xB ．y ＝±255xC ．y ＝±355x D ．y ＝±5x解析：∵双曲线的焦距为2a 2＋b 2，椭圆的焦距为2a 2－b 2，∴2a 2－b 2＝13·2a 2＋b 2，整理得4a 2＝5b 2，则a ＝52b .代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±255x . 9．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( A )A ．m >n ，且e 1e 2>1B ．m >n ，且e 1e 2<1C ．m <n ，且e 1e 2>1D ．m <n ，且e 1e 2<1解析：∵椭圆与双曲线的焦点重合，∴m 2－1＝n 2＋1.∴m 2－n 2＝2，∴m >n . ∵e 1＝1－1m2，e 2＝1＋1n2，∴e 1e 2＝⎝⎛⎭⎫1－1m 2⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＝1＋1n 2－1m 2－1m 2n2＝1＋m 2－n 2－1m 2n 2＝1＋1m 2n2>1. 10．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，在椭圆上有一个异于点A ，B 的动点P ，若直线P A 的斜率为k 0，则直线PB 的斜率为( B )A.34k 0 B ．－34k 0 C ．－34k 0 D ．－32k 0 解析：本题主要考查斜率公式及椭圆方程的综合运算．由题设知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x 0，y 0)(x 0≠±2)，∴k P A ＝y 0x 0＋2，k PB ＝y 0x 0－2.∵点P 在椭圆上，∴x 204＋y 203＝1，∴y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204，∴k P A ·k PB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204x 20－4＝－34.∵k P A ＝k 0，∴k PB ＝－34k 0，故选B.。
课时评价作业(二十八) 双曲线及其标准方程
项正确.
当 t=0 时,C 为双曲线,则双曲线的焦距为 2 5 + 1=2 6,所以 C 项
不正确.
答案:BD
2
2
5.若关于 x,y 的方程 - =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则实
+3 2 -1
数 m 的取值范围是(-∞,-3).
2
2
解析:因为关于 x,y 的方程 - =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,
由
9
2
36
2
= 1,
-
9
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
解得 1,
2 = 9, 2 = 3,
22
所以双曲线的标准方程为 - =1.
93
(2)因为 a=2 5,且焦点在 y 轴上,
22
所以可设双曲线的标准方程为 -
20
2=1(b>0).
又因为双曲线经过点(2,-5),所以2250- 42=1,
解得 b2=16,
22
所以双曲线的标准方程为 - =1.
5- -1
个命题中正确的是
()
A.若 1<t<5,则 C 为椭圆
B.若 t<1,则 C 为双曲线
C.若 C 为双曲线,则焦距为 4
D.若 C 为焦点在 y 轴上的椭圆,则 3<t<5
22
5- > 0,
解析:若关于 x,y 的方程 + =1 表示椭圆,则满足 -1 > 0, 解得
5- -1
5- ≠ -1,
|MF1|=2|MF2|,试求△MF1F2 的面积.
22
解:(1)椭圆方程可化为 + =1,焦点在 x 轴上,且 c= 5,
2022届高考数学一轮复习课时作业曲线与方程
曲线与方程1．若方程x 2＋y 2a ＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )A ．任意实数a 方程表示椭圆B ．存在实数a 方程表示椭圆C ．任意实数a 方程表示双曲线D ．存在实数a 方程表示抛物线2．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ→，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4x3．(2020·静安区二模)方程2x 2－9xy ＋8y 2＝0的曲线C 所满足的性质为( ) ①不经过第二、四象限；②关于x 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y ＝x 对称．A ．①③B ．②③C ．①④D ．①②4．(2020·成都模拟)设C 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AC 至点P ，使得|PC |＝|BC |，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝20B ．x 2＋(y ＋2)2＝20C ．x 2＋(y －2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝55．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，A (x ，y )，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：A ．C 3，C 1，C 2B ．C 1，C 2，C 3 C ．C 3，C 2，C 1D ．C 1，C 3，C 26．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程为( )A ．x 29＋y 24＝1 B ．y 29＋x 24＝1 C ．x 225＋y 29＝1D ．y 225＋x 29＝17．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________．8．一条线段的长等于6，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上滑动，P 在线段AB 上且AP→＝2PB →，则点P 的轨迹方程是________．9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．10．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，求顶点A 的轨迹方程．11.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM→＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形； (2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．能力提高1．(2020·宁城模拟)如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是( )A ．抛物线B ．双曲线一支C ．椭圆D ．抛物线或双曲线2．(2020·湖北八校二联)如图，AB 是与平面α交于点A 的斜线段，点C 满足|BC |＝λ|AC |(λ＞0)，且在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C 的轨迹是抛物线；②当λ＝1时，点C 的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C 的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C 的轨迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C 的轨迹是双曲线．其中正确的命题是________(将所有正确命题的序号填到横线上)．所以当λ＝2时，点C 的轨迹是圆．故②③正确．]3．在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x,1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →(O 为坐标原点)．求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型．扩展应用1．(2020·浦东新区三模)数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物．曲线C ：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有( )①方程(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2(xy ＜0)，表示的曲线在第二和第四象限； ②曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2； ③曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；④曲线C 上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)． A ．①② B ．①②③ C ．①②④D ．①③④2．(2020·宝山区模拟)如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点A ，B ，C ，且|OA |＝|OB |＝|OC |＝30 km ，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40V 0秒(注：信号每秒传播V 0千米)．(1)以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；(2)若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离；(3)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？曲线与方程1．若方程x 2＋y 2a ＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )A ．任意实数a 方程表示椭圆B ．存在实数a 方程表示椭圆C ．任意实数a 方程表示双曲线D ．存在实数a 方程表示抛物线B [当a ＞0且a ≠1时，该方程表示椭圆；当a ＜0时，该方程表示双曲线；当a ＝1时，该方程表示圆．故选B.]2．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ→，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4xA [设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)．∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .]3．(2020·静安区二模)方程2x 2－9xy ＋8y 2＝0的曲线C 所满足的性质为( ) ①不经过第二、四象限；②关于x 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y ＝x 对称．A ．①③B ．②③C ．①④D ．①②A [由题意，2x 2－9xy ＋8y 2＝0化为：9xy ＝2x 2＋8y 2≥0，说明x ，y 同号或同时为0，所以图形不经过第二、四象限，①正确；－y 换y ，方程发生改变，所以图形不关于x 轴对称，所以②不正确；以－x 代替x ，以－y 代替y ，方程不变，所以③正确；方程2x 2－9xy ＋8y 2＝0，x ，y 互换，方程化为8x 2－9xy ＋2y 2＝0，方程已经改变，所以④不正确．故选A.]4．(2020·成都模拟)设C 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AC 至点P ，使得|PC |＝|BC |，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝20B ．x 2＋(y ＋2)2＝20C ．x 2＋(y －2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5B [如图，由椭圆方程x 2＋y 25＝1，得a 2＝5，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝2，则A (0，－2)，B (0,2)为椭圆两焦点，∴|CA |＋|CB |＝2a ＝25，∵|PC |＝|BC |， ∴|P A |＝|PC |＋|CA |＝|BC |＋|CA |＝2 5.∴点P 的轨迹是以A 为圆心，以25为半径的圆，其方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.故选B.]5．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，A (x ，y )，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：条件方程 ①△ABC 周长为10 C 1：y 2＝25 ②△ABC 面积为10 C 2：x 2＋y 2＝4(y ≠0) ③△ABC 中，∠A ＝90°C 3：x 29＋y 25＝1(y ≠0)A ．C 3，C 1，C 2B ．C 1，C 2，C 3 C ．C 3，C 2，C 1D ．C 1，C 3，C 2A [①△ABC 的周长为10，即|AB |＋|AC |＋|BC |＝10，又|BC |＝4，所以|AB |＋|AC |＝6>|BC |，此时动点A 的轨迹为椭圆，与C 3对应；②△ABC 的面积为10，所以12|BC |·|y |＝10，即|y |＝5，与C 1对应；③因为∠A ＝90°，所以AB →·AC →＝ (－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2＋y 2－4＝0，与C 2对应．故选A.]6．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M的轨迹方程为( )A ．x 29＋y 24＝1 B ．y 29＋x 24＝1 C ．x 225＋y 29＝1D ．y 225＋x 29＝1A [设M (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(x 0,0)＋25(0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝35x 0，y ＝25y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53x ，y 0＝52y ，由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝25，化简得x 29＋y 24＝1.]7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________．(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) [设A (x ，y )， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.∴|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋y24＝3， 化简得(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上， 即y ≠0.]8．一条线段的长等于6，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上滑动，P 在线段AB 上且AP→＝2PB →，则点P 的轨迹方程是________．4x 2＋y 2＝16(x ＞0，y ＞0) [设P (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )， 则a 2＋b 2＝36.因为AP→＝2PB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 3，y ＝2b3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，代入a 2＋b 2＝36，得9x 2＋94y 2＝36，即4x 2＋y 2＝16.]9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．x 24＋y 23＝1(y ≠0) [设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，所以|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．]10．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，求顶点A 的轨迹方程．[解] 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E ，F 分别为两个切点．则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |.所以|AB |－|AC |＝22＜4，所以点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2， 所以b ＝2，所以轨迹方程为x 22－y 22＝1(x ＞2)．11.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM→＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形； (2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．[解] (1)设M (x ，y )，则D (x,0)， 由DM→＝12DP →知，P (x,2y )，∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 为椭圆． (2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在， 设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1， 得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k1＋4k 2.∵四边形OAEB 为平行四边形， ∴OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2，又OE →＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k1＋4k 2，消去k ，得x 2＋4y 2－6x ＝0，由(*)中Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0， 得k 2<15，∴0<x <83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <83.能力提高1．(2020·宁城模拟)如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是( )A ．抛物线B ．双曲线一支C ．椭圆D ．抛物线或双曲线B [房间壁灯向上照射，区域可理解为顶点在下面的圆锥，墙面不与圆锥面的母线平行，结果不是抛物线，又壁灯轴线与墙面平行，则不是椭圆，而墙面与圆锥侧面相交，且不过圆锥顶点，又与壁灯轴线平行，则结果为双曲线的一支．故选B.]2．(2020·湖北八校二联)如图，AB 是与平面α交于点A 的斜线段，点C 满足|BC |＝λ|AC |(λ＞0)，且在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C 的轨迹是抛物线；②当λ＝1时，点C 的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C 的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C 的轨迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C 的轨迹是双曲线．其中正确的命题是________(将所有正确命题的序号填到横线上)．②③ [在△ABC 中，|BC |＝λ|AC |，当λ＝1时，|BC |＝|AC |，过AB 的中点作线段AB 的垂面β，则点C 在α与β的交线上，所以点C 的轨迹是一条直线．当λ＝2时，|BC |＝2|AC |，设B 在平面α内的射影为D ，连接BD ，CD ，AD (图略)．设|BD |＝h ，则|BC |＝|CD |2＋h 2.设|AD |＝2a ，在平面α内，以AD 所在直线为x 轴，AD 的垂直平分线为y 轴，AD→的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，设C (x ，y )，则A (－a,0)，D (a,0)，|CA |＝(x ＋a )2＋y 2，|CD |＝(x －a )2＋y 2，|CB |＝|CD |2＋h 2＝(x －a )2＋y 2＋h 2，所以(x －a )2 ＋y 2＋h 2＝2(x ＋a )2＋y 2，化简可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53a 2＋y 2＝16a 29＋h23，所以当λ＝2时，点C 的轨迹是圆．故②③正确．]3．在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x,1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →(O 为坐标原点)．求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型．[解] OM →＝(x,1)，ON →＝(x ，－2)，A 1P →＝(x ＋2，y )，A 2P →＝(x －2，y )． ∵λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →，∴(x 2－2)λ2＝x 2－2＋y 2，整理得(1－λ2)x 2＋y 2＝2(1－λ2)．①当λ＝±1时，方程为y ＝0，轨迹为一条直线；②当λ＝0时，方程为x 2＋y 2＝2，轨迹为圆；③当λ∈(－1,0)∪(0,1)时，方程为x 22＋y 22(1－λ2)＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆；④当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为x 22－y 22(λ2－1)＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．扩展应用1．(2020·浦东新区三模)数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物．曲线C ：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有( )①方程(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2(xy ＜0)，表示的曲线在第二和第四象限；②曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；④曲线C 上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)．A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①③④A [对于①，因为xy ＜0，所以x 与y 异号，故图象在第二和第四象限，即①正确．对于②，因为x 2＋y 2≥2xy (x ＞0，y ＞0)，所以xy ≤x 2＋y 22，所以(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2≤16×(x 2＋y 2)24＝4(x 2＋y 2)2， 所以x 2＋y 2≤4，即②正确．对于③，以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即③错误．把x ＝2，y ＝2代入曲线C ，可知等号两边成立，所以曲线C在第一象限过点(2，2)，由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点M，对于④，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C只经过整点(0,0)，即④错误．故选A.]2．(2020·宝山区模拟)如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30 km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早40V0秒(注：信号每秒传播V0千米)．(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；(2)若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离；(3)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？[解](1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早40V0秒，可知野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号的位置，在以AB为焦点的双曲线的左支，所以c＝30,2a＝40，所以a＝20，则b＝105，所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程为x2400－y2500＝1，x＜0.(2)已知C点与A点接收到信号的时间相同，则观察员遇险地点既在双曲线上，又在y＝－x(x＜0)上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ，x 2400－y 2500＝1，可得x ＝－205，y ＝205，观察员遇险地点坐标(－205，205)，观察员遇险地点与监测中心O 的距离为 2 000＋2 000＝2010.(3)由题意可得以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，可得x 2＋(y －30)2＝r 2，与x 2400－y 2500＝1，x ≤0联立，消去x 可得9y 2－300y ＋6 500－5r 2＝0， Δ＝90 000－36(6 500－5r 2)≥0，解得r ≥20 2.为保证有救援希望，扫描半径r 至少是202公里．。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程配套课时作业 理(含解析)新人教A版-新人
第8讲 曲线与方程配套课时作业1．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线 答案 D解析 由已知知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．2．(2019·某某模拟)如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于点E ，则点E 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 B解析 由题意知，|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r >|OA |，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆．故选B.3．到点F (0,4)的距离比到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x 2B ．y ＝－16x 2C ．x 2＝16y D ．x 2＝－16y 答案 C解析 由条件知，动点M 到F (0,4)的距离与到直线y ＝－4的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,4)为焦点，直线y ＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝16y .4．(2019·某某模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2 答案 D解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1.又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.5．在△ABC 中，已知A (－1,0)，C (1,0)，且|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，则顶点B 的轨迹方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 23＋y 24＝1(x ≠±3)C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) 答案 D解析 因为|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，所以|BC |＋|BA |＝2|CA |＝4.所以点B 的轨迹是以A ，C 为焦点，半焦距c ＝1，长轴长2a ＝4的椭圆．又B 是三角形的顶点，A ，B ，C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为x 24＋y 23＝1，且x ≠±2.故选D.6．动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x 答案 B解析 设双曲线x 2－y 23＝1的左焦点为F (－2,0)，因为动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，所以圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .7．(2019·某某某某检测)已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任意一点，从焦点F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 B解析 不妨设点Q 在双曲线的右支上，延长F 1P 交直线QF 2于点S ，∵QP 是∠F 1QF 2的平分线，且QP ⊥F 1S ，∴P 是F 1S 的中点．∵O 是F 1F 2的中点，∴PO 是△F 1SF 2的中位线，∴|PO |＝12|F 2S |＝12(|QS |－|QF 2|)＝12(|QF 1|－|QF 2|)＝a (定值)，∴点P 的轨迹为圆． 8．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程为( )A.x 29＋y 24＝1B.y 29＋x 24＝1C.x 225＋y 29＝1 D.y 225＋x 29＝1 答案 A解析 设M (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(x 0,0)＋25(0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35x 0，y ＝25y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53x ，y 0＝52y ，由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝25，化简得x 29＋y 24＝1.9．已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线 答案 C解析 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ<0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线．10．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1 D ．x 2－y 248＝1 答案 A解析 由题意，得|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．∵双曲线中c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴焦点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13，点P 在平面ABCD内，且动点P 到直线A 1D 1的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 D解析 在平面ABCD 内过点P 作PF ⊥AD ，垂足为F ，过点F 在平面AA 1D 1D 内作FE ⊥A 1D 1，垂足为E ，连接PE ，则有PE ⊥A 1D 1，即PE 为点P 到A 1D 1的距离．由题意知|PE |2－|PM |2＝1，又因为|PE |2＝|PF |2＋|EF |2，所以|PF |2＋|EF |2－|PM |2＝1，即|PF |2＝|PM |2，即|PF |＝|PM |，所以点P 满足到点M 的距离等于点P 到直线AD 的距离．由抛物线的定义知点P 的轨迹是以点M 为焦点，AD 为准线的抛物线，所以点P 的轨迹为抛物线．12．(2019·某某质量检查)已知A (－2,0)，B (2,0)，斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ，N 满足|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，且线段MN 的中点为(6,1)，则k 的值为( )A ．－2B ．－12 C.12 D ．2答案 D解析 因为|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，由双曲线的定义知，点M ，N 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，且c ＝2，a ＝3，所以b ＝1，所以该双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入双曲线的方程，消去y ，得(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6mk 1－3k 2＝12①，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝12k ＋2m ＝2②，由①②解得k ＝2，故选D.13．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋y 2＝4解析 设P (x ，y )，x 2＋y 2＝1的圆心为O ，因为∠APB ＝60°，OP 平分∠APB ，所以∠OPB ＝30°，因为|OB |＝1，∠OBP 为直角，所以|OP |＝2，所以x 2＋y 2＝4.14．(2019·某某模拟)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．答案x 29－y 216＝1(x >3)解析 如图，令内切圆与三边的切点分别为D ，E ，F ，可知|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝|AE |－|BE |＝8－2＝6<|AB |＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．15．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的方程为________．答案x 24＋y 23＝1(x ≠－2) 解析 设圆M 的半径为r 1，圆N 的半径为r 2，圆P 的半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．16．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析 (1)当直线斜率k 存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.y ＝y 1＋y 2＝4kk 2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．(2)当直线斜率k 不存在时，直线方程为x ＝1，由O P →＝2O F →得P (2,0)，适合y 2＝4(x －2)．综合(1)(2)，点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －2)．17．(2019·某某质检)如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程． 解 (1)设A (x 0，y 0)，则S 矩形ABCD ＝4|x 0y 0|， 由x 209＋y 20＝1，得y 20＝1－x 209， 从而x 20y 2＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t 2＝x 20＋y 20＝5，t ＝5，所以当t ＝5时，矩形ABCD 的面积取到最大值6. (2)由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，由曲线的对称性及A (x 0，y 0)，得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)，② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③，得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．18．(2019·某某某某模拟)已知动点M (x ，y )满足：x ＋12＋y 2＋x －12＋y 2＝2 2.(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)设过点N (－1,0)的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C (点C 与点B 不重合)．证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标．解 (1)由已知，动点M 到点P (－1,0)，Q (1,0)的距离之和为22，且 |PQ |<22，所以动点M 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，所以b ＝1，所以动点M 的轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (x 1，－y 1)， 由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.又直线BC 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)， 即y ＝y 2＋y 1x 2－x 1x －x 1y 2＋x 2y 1x 2－x 1， 令y ＝0，得x ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝2kx 1x 2＋k x 1＋x 2k x 1＋x 2＋2k＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1＋x 2＋2＝4k 2－41＋2k 2－4k21＋2k 2－4k 21＋2k 2＋2＝－2， 所以直线BC 恒过定点D (－2,0)．19．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.20．(2019·某某模拟)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点．(1)求椭圆Γ的方程；(2)设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，求证：1|OA |2＋1|OB |2为定值；(3)设点C 在椭圆Γ上运动，OC ⊥OD ，且点O 到直线CD 的距离为常数3，求动点D 的轨迹方程．解 (1)∵椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点，∴b ＝c ＝2，∴a ＝2＋2＝2，∴椭圆Γ的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设A (x 0，y 0)，则OB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝0，由y ＝2，得B ⎝⎛⎭⎪⎫－2y 0x 0，2，∴1|OA |2＋1|OB |2＝1x 20＋y 20＋14＋4y 20x 2＝4＋x 24x 20＋y 2＝4＋x 24⎝⎛⎭⎪⎫x 20＋2－x 22＝12， ∴1|OA |2＋1|OB |2为定值12. (3)设C (x 1，y 1)，D (x ，y )，由OC ⊥OD ，得x 1x ＋y 1y ＝0，①由点C 在椭圆上，得x 214＋y 212＝1，②联立①②，得x 21＝4y 22x 2＋y 2，y 21＝4x 22x 2＋y2.③由OC ⊥OD ，点O 到CD 的距离为3，得|OC |·|OD |＝3|CD |， ∴|OC |2·|OD |2＝3(|OC |2＋|OD |2)．将③代入得 1|OC |2＋1|OD |2＝1x 21＋y 21＋1x 2＋y2 ＝14y 22x 2＋y 2＋4x 22x 2＋y2＋1x 2＋y 2＝2x 2＋y 2＋44x 2＋y 2＝13， 化简，得点D 的轨迹方程为y 212－x 26＝1.。
课时作业2：3.2.1 双曲线及其标准方程
3.2.1 双曲线及其标准方程1.若双曲线2213x y m m-=+的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A.12B.1或32.双曲线2221x y a-=过点()P ，则双曲线的焦点坐标是( )A.)(), B.)(),C. ((,0,D. ((,0,3.当0ab <时，方程22ax ay b -=所表示的曲线是( )A ． 焦点在x 轴的椭圆B ． 焦点在x 轴的双曲线C ． 焦点在y 轴的椭圆D ． 焦点在y 轴的双曲线4.若椭圆222134x y n +=和双曲线222116x y n -=有相同的焦点，则实数n 的值是( )A.5±B.3±C.5D.95.已知双曲线过点1P ⎛- ⎝⎭和2P ⎫⎪⎪⎝⎭，则双曲线的标准方程为( ) A.221916x y -= B.221916y x -= C.221169x y -= D.221169y x -= 6.设双曲线221(0)27x y m m m+=>的焦距为12，则m = ( )A.1B.2C.3D.47.如果方程22121x y m m +=++表示双曲线，则m 的取值范围是( )A.()2,1--B.(),1-∞-C.()1,2D.()2,+∞8.已知12,F F 为平面内两个定点，P 为动点，若12PF PF a -=(a 为大于零的常数)，则动点P 的轨迹为( )A.双曲线B.射线C.线段D.双曲线的一支或射线9.已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A.(1,3)-B.(-C.(0,3)D.10.已知双曲线的一个焦点为1(F ，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的标准方程是( )A.2214x y -= B.2214y x -=C.22123x y -=D.22132x y -= 11.双曲线221916x y -=的焦点坐标为__________.12.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是__________.13.设m 是常数，若点()0,5F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m =_______.14.设双曲线22219x y b-=(0)b >的焦点为1F ，2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，2||PF =___________.15.求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点是(0,6)-，经过点(5,6)A -；(2)与双曲线221164x y -=有相同焦点，且经过点；(3)过(1,1),(2,5)M N -两点.参考答案1.【答案】A【解析】∵双曲线的一个焦点为(2,0)，∴焦点在x 轴上且2c =，∴234m m c ++==， ∴12m =. 2.【答案】B【解析】将点()P 代入双曲线2221x y a -=，解得2221x y a-=，∴25c =，∴双曲线的焦点坐标是((5,0)±3.【答案】D【解析】化简得22b y x a -=-，因为0ab <，所以0b a->，所以曲线是焦点在y 轴的双曲线.故选D. 4.【答案】B【解析】由题意，可知椭圆222134x y n +=的半焦距1c =222116x y n -=的半焦距2c =3n =±，故选B.5.【答案】B【解析】因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为221(0)mx ny mn +=<.因为12,4P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两点在双曲线上，所以454141121619m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得11619m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，于是所求双曲线的标准方程为221916y x -=.故选B.6.【答案】B【解析】因为22227x y m m -=可化为221414x y m m -=，所以221241418()362c m m =+==，则2m =. 7.【答案】A【解析】由题意知()()210m m ++<，解得11m -<<-.故m 的范围是()2,1--.故选A. 8.【答案】D【解析】两个定点的距离为12F F ，当12a F F <，即1212PF PF F F -<时，点 P 的轨迹为双曲线的一支；当12a F F =，即1212PF PF F F -=时，点 P 的轨迹为射线；不存在1212PF PF F F ->的情况.综上所述，动点P 的轨迹为双曲线的一支或射线.故选D.9.【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ．10.【答案】B【解析】由双曲线的焦点可知c =，线段1PF 的中点坐标为(0,2)，所以P .设右焦点为2F ，则有24PF =，且2PF x ⊥轴，点P 在双曲线的右支上，所以16PF ，所以126422PF PF a -=-==，所以2221,4a b c a ==-=，所以双曲线的标准方程为2214y x -=，故选B.11.【答案】(50)±,【解析】双曲线221916x y -=，29a =，216b =，则22225c a b =+=，则焦点坐标为()5,0±.12.【答案】【解析】∵ 27a =，23b =，∴2227310c a b =+=+=，∴c =2c =13.【答案】16【解析】由于点()0,5F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点， 故该双曲线的焦点在y 轴上，从而0m >. 从而得出925m +=，解得16m =. 故答案为：16. 14.【答案】11【解析】 226||11a PF =⇒=.15.【答案】(1)由已知，得6c =，且焦点在y 轴上，则另一焦点为(0,6).由双曲线的定义，得28a ==，∴4a =，∴22220b c a =-=.∴所求双曲线的标准方程为2211620y x -=.(2)由条件可知焦点在x 轴上，设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则2222164201841a b a b ⎧+=+=⎪⎨-=⎪⎩，解得22128a b ⎧=⎨=⎩， ∴所求双曲线的标准方程为221128x y -=.(3)∵双曲线的焦点位置不定，∴设双曲线的方程为221(0)mx ny mn +=<.∵点(1,1),(2,5)M N -在双曲线上，∴14251m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得8717m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴所求双曲线的标准方程为221778x y -=.。
2021_2022学年高中数学课时分层作业12双曲线的标准方程(含解析)新人教B版选修2_1
课时分层作业(十二) 双曲线的标准方程(建议用时：60分钟)[根底达标练]一、选择题1．双曲线x 2a ＋y 2a －1＝1的焦距为( )A ．1B ．2C ．22a －1D ．21－2aB [∵a (a －1)＜0，∴0＜a ＜1，方程化为标准方程为x 2a －y 21－a＝1，∴c 2＝a ＋1－a ＝1，∴焦距2c ＝2.]2．F 1(－5,0)，F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 为3或5时，点P 的轨迹分别是( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条直线D ．双曲线的一支和一条射线D [依题意得|F 1F 2|＝10，当a ＝3时，2a ＝6<|F 1F 2|，故点P 的轨迹为双曲线的一支；当a ＝5时，2a ＝10＝|F 1F 2|，故点P 的轨迹为一条射线．应选D.]3．以下各选项中，与x 212－y 224＝1共焦点的双曲线是( )A.x 212＋y 214＝1B.y 224－x 212＝1C.x 210－y 226＝1 D.x 210＋y 226＝1 C [法一：因为所求曲线为双曲线，所以可排除选项A ，D ；又双曲线x 212－y 224＝1的焦点在x 轴上，所以排除选项B.法二：与x 212－y 224＝1共焦点的双曲线方程为x 212＋λ－y 224－λ＝1，比照四个选项中的曲线方程，发现只有选项C 中的方程符合条件(此时λ＝－2)．应选C.]4．双曲线的一个焦点坐标为(6，0)，且经过点(－5,2)，那么双曲线的标准方程为 ( )A.x 25－y 2＝1 B.y 25－x 2＝1C.x 225－y 2＝1 D.x 24－y 22＝1 A [依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，那么有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，故双曲线标准方程为x 25－y 2＝1.]5．点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，那么P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x ＞1)B ．x 2－y 210＝1(x ＞0)C ．x 2－y 28＝1(x ＞0)D ．x 2－y 210＝1(x ＞1)A [设过点P 的两切线分别与圆切于S ，T ，那么|PM |－|PN |＝(|PS |＋|SM |)－(|PT |＋|TN |)＝|SM |－|TN |＝|BM |－|BN |＝2＝2a ，所以曲线为双曲线的右支且不能与x 轴相交，a ＝1，c ＝3，所以b 2＝8，故P 点的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >1)．]二、填空题6．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，假设双曲线上的点P 到点F 1的距离为12，那么点P 到点F 2的距离为________．2或22 [设F 1为左焦点，F 2为右焦点，当点P 在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝10，|PF 2|＝22；当点P 在双曲线右支上时，|PF 1|－|PF 2|＝10，|PF 2|＝2.]7．定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，那么|PF |＋|PA |的最小值为________．9 [由双曲线的方程可知a ＝2，设右焦点为F 1，那么F 1(4,0)．|PF |－|PF 1|＝2a ＝4，即|PF |＝|PF 1|＋4，所以|PF |＋|PA |＝|PF 1|＋|PA |＋4≥|AF 1|＋4，当且仅当A ，P ，F 1三点共线时取等号，此时|AF 1|＝(4－1)2＋42＝25＝5，所以|PF |＋|PA |≥|AF 1|＋4＝9，即|PF |＋|PA |的最小值为9.]8．F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．假设PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，那么△PQF 的周长为________．44 [由x 29－y 216＝1得a ＝3，b ＝4，c ＝5.∴|PQ |＝4b ＝16>2a . 又∵A (5,0)在线段PQ 上， ∴P ，Q 在双曲线的右支上， 且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知⎩⎪⎨⎪⎧|PF |－|PA |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6，∴|PF |＋|QF |＝28.∴△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.] 三、解答题9．方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型． [解] (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k <0时，方程变为y 24－x 2－4k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0<k <1时，方程变为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k >1时，方程变为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．10．根据以下条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P (4，－2)和点Q (26，22)； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上． [解] (1)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)． ∵点P (4，－2)和点Q (26，22)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16m ＋4n ＝1，24m ＋8n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝－14，∴双曲线的方程为x 28－y 24＝1.(2)法一：依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1.∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1. 法二：∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0＜λ＜6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.[能力提升练]1．假设双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，那么点P 到它的左焦点的距离是 ( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6C [由题意知c ＝4＋12＝4，设双曲线的左焦点为F 1(－4,0)，右焦点为F 2(4,0)，且|PF 2P 点在双曲线右支上时，|PF 1|－|PF 2|＝4，解得|PF 1|＝12；当P 点在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝4，解得|PF 1|＝4，所以|PF 1|＝4或12，即P 到它的左焦点的距离为4或12.]2．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，那么△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48C [由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，可解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10可得△PF 1F 2是直角三角形， 那么S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.]3．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，那么此双曲线的方程为________．y 24－x 25＝1 [法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，根据双曲线的定义，知2a ＝|(15)2＋12－(15)2＋72|＝4，故ab 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，那么a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2y 24－x 25＝1. 法三：设双曲线方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为y 24－x25＝1.] 4．从双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT交双曲线右支于点P ，假设M 是线段PF 的中点，O 为原点，那么|MO |－|MT |的值是________．b －a [如下图，设双曲线的右焦点为F 1，连接PF 1，那么|PF |－|PF 1|＝2a ，在Rt△FTO 中，|OF |＝c ，|OT |＝a ，所以|FT |＝|OF 2|－|OT 2|＝c 2－a 2＝b ，又M 是线段PF 的中点，O 为FF 1中点，所以|PF |＝2|MF |＝2(|MT |＋b )， 所以|MO |＝12|PF 1|＝12(|PF |－2a )＝12(2|MT |＋2b －2a )＝|MT |＋b －a ，即|MO |－|MT |＝b －a .] 5．双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有一样的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)假设点M 在双曲线上，F 1，F 2分别为左、右焦点，且|MF 1|＝2|MF 2|，试求△MF 1F 2的面积．[解] (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，那么⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)因为点M 在双曲线上，又|MF 1|＝2|MF 2|， 所以点M 在双曲线的右支上，那么有|MF 1|－|MF 2|＝23，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23，又|F 1F 2|＝25， 因此在△MF 1F 2中，cos∠F 1MF 2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－|F 1F 2|22|MF 1|·|MF 2|＝56，所以sin∠F 1MF 2＝116，所以S △MF 1F 2＝12|MF 1|·|MF 2|·sin∠F 1MF 2＝12×43×23×116＝211.。
课时作业5：2.2.1 双曲线及其标准方程
2.2.1 双曲线及其标准方程1.设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )(A)22x y1916-=(B)22y x1916-=(C)22x y1x3)916-=≤-（(D)22x y1(x3)916-=≥2.双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是（0，3），则k的值是( )（A）-1 （B）1 （C）3-（D）33.k＞9是方程22x y19k k4＋＝－－表示双曲线的( )（A）充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分又不必要条件4.若椭圆22x y12516+=和双曲线22x y45-=1的共同焦点为F1,F2,P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为( )(A)21 (B)212(C)4 (D)35.设m为常数，若点F(0,5)是双曲线22y x1m9-=的一个焦点，则m=_______.6.若方程22x y1k25k-=+-表示双曲线，则k的取值范围是_______.7.已知A(-7,0),B(7,0),C(2,-12)，椭圆过A、B两点且以C为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程.8.已知与双曲线22x y 1169－＝共焦点的双曲线过点P 2(－，求该双曲线的标准方程．9.双曲线2222x y 1(a 0b 0)a b>>－＝，满足如下条件：(1)ab (2)过右焦点F 的直线l ，交y 轴于点P ，线段PF 交双曲线于点Q ，且|PQ |∶|QF |＝2∶1.求双曲线的方程．答案解析1.【解析】选D由题意知点P的轨迹是双曲线靠近B点的右支，且c＝5，a＝3，∴b＝4.∴点P的轨迹方程是22x y1(x3) 916≥－＝．2.【解析】选A.由题知双曲线焦点在y轴上，且c=3,双曲线方程可化为22y x811,9, 81k kk k-=∴--= --∴k=-1.3.【解析】选B.当k＞9时，9－k<0，k－4>0，方程表示双曲线．当k<4时，9－k>0，k－4<0，方程也表示双曲线．∴k>9是方程22x y19k k4＋＝－－表示双曲线的充分不必要条件．4.【解析】选A.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝10.①由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝4. ②由(①2-②2)÷4得|PF1|·|PF2|＝21.5.【解析】由题知c=5，根据双曲线中“a，b，c”的关系知m=25-9=16.答案：166.【解析】方程表示双曲线需满足(5－k)(k+2)>0，解得-2<k<5,即k的取值范围是(-2,5)．答案：(-2,5)7.【解析】设椭圆的另一个焦点为P（x,y),则由题意知|AC|+|AP|=|BC|+|BP|，∴|BP|-|AP|=|AC|-|BC|=2＜|AB|=14,所以点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c=7,a=1,∴b2=c2-a2=48.∴所求的轨迹方程为22yx1.48-=8.【解析】已知双曲线22x y1.169－＝据c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，∴c＝5.设所求双曲线的标准方程为2222x y1(a0b0) a b>>－＝，．依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2， 故双曲线方程可写为2222x y 1a 25a －＝，－∵点P(2在双曲线上，2222(21.a 25a∴－＝－ 化简得，4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或2125a .4＝又当2125a 4＝时，b 2＝25－a 2＝1252525044<－＝－，不合题意,舍去，故a 2=1,b 2=24. ∴所求双曲线的标准方程为22y x 1.24－＝ 9【解析】设右焦点F (c ,0)，点Q (x ，y )，设直线l：y (x c)2＝－， 令x ＝0，得P(0c)2，－， 则有PQ 2QF ＝，所以(x y c)2(c x y).2，＋＝－，－ ∴x ＝2(c －x )且y 2y 2＋＝－，解得：2x c y 3＝，即2Q(c 36，且在双曲线上，2222222b (c)a (c)a b 36∴－－＝， 又∵a 2＋b 2＝c 2，22224b 7a (1)(1)19a 12b∴＋－＋＝， 解得22b 3a ＝，又由ab22a 1.b 3⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝ ∴所求双曲线方程为22y x 1.3－＝。
【红对勾】高中数学 2-1-1 曲线与方程课时作业 新人教A版选修2-1(1)
课时作业8 曲线与方程时刻：45分钟 分值：100分一、选择题(每题6分，共36分)1．方程(x －2)2＋(y ＋2)2＝0表示的图形是( )A ．圆B ．两条直线C ．一个点D ．两个点解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x＝2，y ＝－2.因此方程表示点(2，－2)．答案：C2．已知直线l ：x ＋y －3＝0和曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，那么点M(2,1)知足()A ．在直线l 上，但不在曲线C 上B ．既在直线l 上，也在曲线C 上C ．既不在直线l 上，也不在曲线C 上D ．不在直线l 上，但在曲线C 上解析：把M 的坐标代入直线方程和曲线方程验证即可．答案：B3．方程1－|x|＝1－y 表示的曲线是( )A ．两条线段B ．两条直线C ．两条射线D ．一条射线和一条线段解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0，因此y ＝|x|(y≤1)．答案：A4．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是( )A ．x ＋y ＝5B ．x ＋y ＝5(x≥0)C ．x ＋y ＝5(y≥0)D ．x ＋y ＝5(0≤x≤5)答案：D5．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是图中的( )解析：分x≥0，y≥0；x≥0，y≤0；x≤0，y≥0；x≤0，y≤0四种情形去绝对值号，即可作出判定． 答案：D6．假设曲线y ＝x 2－x ＋2与直线y ＝x ＋m 有两个交点，那么( )A ．m ∈RB ．m ∈(－∞，1)C ．m ＝1D ．m ∈(1，＋∞)解析：联立y ＝x 2－x ＋2与y ＝x ＋m 得x 2－2x ＋2－m ＝0.由Δ＝4－4(2－m )>0，得m >1.答案：D二、填空题(每题8分，共24分)7．假设P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，那么a 的值为________．解析：由22－a (－3)2＝1，得a ＝13. 答案：138．方程x 2－y 2＝0表示的图形是________．解析：由x 2－y 2＝0得y ＝±x ，因此方程x 2－y 2＝0表示的图形是两条直线．答案：两条直线9．曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积是________．解析：在y ＝|x |－1中令x ＝0得y ＝－1，令y ＝0得x ＝±1，因此曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积为12×2×1＝1. 答案：1三、解答题(共40分)10．(10分)已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判定P (1，－2)，Q (2，3)两点是不是在此方程表示的曲线上； (2)假设点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值． 解：(1)因为12＋(－2－1)2＝10，而(2)2＋(3－1)2≠10.因此点P (1，－2)在方程表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程表示的曲线上．(2)因为点M (m 2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185. 11．(15分)求曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标． 解：在方程x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，得x 2－3x －4＝0，x ＝4或x ＝－1. ∴曲线与x 轴的交点为(4,0)和(－1,0)．12．(15分)求证：对任意m∈R，曲线mx －y －m ＋1＝0和曲线(x －2)2＋y 2＝4恒有交点． 证明：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧mx －y －m ＋1＝0 ①x －22＋y 2＝4 ②由①得y ＝mx －m ＋1.代入②得，(x －2)2＋[mx －(m －1)]2＝4，∴(m 2＋1)x 2－[2m (m －1)＋4]x ＋(m －1)2＝0， Δ＝4(m 2－m ＋2)2－4(m 2＋1)(m －1)2＝4(3m 2－2m ＋3)＝4[3(m －13)2＋83]>0，对任意m ∈R 成立，因此两曲线对任意m ∈R 恒有交点．。
课时作业(十八) 曲线与方程
课时作业(十八)曲线与方程一、选择题1．在点A(4，4)，B(3，4)，C(－3，3)，D(2，2√6)中，有几个点在方程x2－2x＋y2＝24的曲线上()A．1个B．2个C．3个D．4个2. “点M在曲线x2＝4y上”是“点M的坐标满足方程x＝2√y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．方程y＝－√12−x2表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．一个半圆4．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线()A．恒过定点(－2，3)B．恒过定点(2，3)C．恒过点(－2，3)和点(2，3)D．都是平行直线二、填空题5．已知动点M到点A(9，0)的距离是M到点B(1，0)的距离的3倍，则动点M的轨迹方程是________．6．已知动点P(x，y)与两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P的轨迹C的方程为________．y＝x x＝√y x＋y＝1(1)________________________________________________________________________；(2)________________________________________________________________________；(3)________________________________________________________________________．三、解答题8．已知曲线C的方程为x＝√4−y2，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．9.已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．[尖子生题库]10．在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则不正确的说法是()A．曲线E经过坐标原点B．曲线E关于x轴对称C．曲线E关于y轴对称D．若点(x，y)在曲线E上，则－3≤x≤3。
课时作业17：2.2.1 双曲线及其标准方程
2.2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程基础过关1．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( ) A ．32 B ．42 C ．3 D ．4 3答案 D解析 由双曲线的标准方程可知，a 2＝10，b 2＝2.于是有c 2＝a 2＋b 2＝12，则2c ＝4 3.故选D.2．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 B解析 依题意应有m ＋1>0，即m >－1.3．已知A (0，－5)、B (0,5)，|P A |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为( )A ．双曲线或一条直线B ．双曲线或两条直线C ．双曲线一支或一条直线D ．双曲线一支或一条射线答案 D解析 当a ＝3时，2a ＝6，此时|AB |＝10，∴点P 的轨迹为双曲线的一支(靠近点B )．当a ＝5时，2a ＝10，此时|AB |＝10，∴点P 的轨迹为射线，且是以B 为端点的一条射线．4．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值是( )A ．1B ．－1 C.653 D ．－653答案 B解析 原方程可化为x 21k －y 28k＝1，由焦点坐标是(0,3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，∴k <0.c 2＝－1k －8k ＝－9k＝9，∴k ＝－1，故选B. 5．已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．答案 x 24－y 212＝1 解析 设动圆M 的半径为r ，依题意有|MB |＝r ，另设A (4,0)，则有|MA |＝r ±4，即|MA |－|MB |＝±4.亦即动圆圆心M 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于常数4，又4<|AB |，因此动点M 的轨迹为双曲线，且c ＝4,2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，故轨迹方程是x 24－y 212＝1.6．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________．答案 18解析 由双曲线定义可知|AF 1|＝2a ＋|AF 2|＝4＋|AF 2|；|BF 1|＝2a ＋|BF 2|＝4＋|BF 2|， ∴|AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AF 2|＋|BF 2|＝8＋|AB |＝13.△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝18.7．△ABC 一边的两个顶点B (－a,0)，C (a,0)(a >0)，另两边的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形．解 设顶点A 的坐标为(x ，y )，则k AB ＝y x ＋a ，k AC ＝y x －a. 由题意，得y x ＋a ·y x －a＝m ，即x 2a 2－y 2ma 2＝1(y ≠0)． 当m >0时，轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(两顶点除外)；当m <0且m ≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x 轴的两个交点)，其中当－1<m <0时，椭圆焦点在x 轴上；当m <－1时，椭圆的焦点在y 轴上；当m ＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆(除去与x 轴的两个交点)．能力提升8．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为________．答案 x 216－y 29＝1 解析 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1，∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵双曲线过(42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1， 又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9，∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 9．设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________． 答案 x 2－y 2＝1解析 由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2，a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.10．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．答案 9解析 如图所示，F (－4,0)，设F ′为双曲线的右焦点，则F ′(4,0)，点A (1,4)在双曲线的两支之间，由双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝2a ＝4，而|PF |＋|P A |＝4＋|PF ′|＋|P A |≥4＋|AF ′|＝4＋5＝9.当点P 在第一象限且A ，P ，F ′三点共线时取等号．11．双曲线x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，试求m 的取值范围． 解 (1)当焦点在x 轴上，有m >5，则c 2＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7；(2)当焦点在y 轴上，有m <0，则c 2＝－m ＋5－m ＝9，∴m ＝－2；综上所述，m ＝7或m ＝－2.12．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型． 解 (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；(2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k <0时，方程变为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线． (4)当0<k <1时，方程变为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆； (5)当k >1时，方程变为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆． 创新突破13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状． 解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， 则有⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2， 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设M 点在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23，又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长，而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22·|MF 2|·|F 1F 2|<0， 所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。
高中数学第二章圆锥曲线与方程习题课()课时作业(含解析)11
习题课（3)一、选择题1．[2014·人大附中月考］以双曲线错误!－错误!＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )A. y2＝16xB. y2＝－16xC. y2＝8x D。
y2＝－8x解析：本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程及其几何性质．因为双曲线错误!－错误!＝1的右顶点为(4,0），即抛物线的焦点坐标为(4，0）,所以抛物线的标准方程为y2＝16x，故选A。
答案：A2．若抛物线y2＝2px（p〉0）上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是( ) A．成等差数列B．既成等差数列又成等比数列C．成等比数列D．既不成等比数列也不成等差数列解析：设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2),P3（x3，y3)，则y错误!＝2px1,y错误!＝2px2,y错误!＝2px3，因为2y2，2＝y错误!＋y错误!,所以x1＋x3＝2x2，即｜P1F｜－错误!＋|P3F｜－错误!＝2错误!，所以|P1F｜＋|P3F|＝2｜P2F｜。
答案：A3．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为( )A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8x解析：y2＝ax的焦点坐标为错误!，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2错误!，令x＝0得y＝－错误!。
∴错误!×错误!×错误!＝4，∴a2＝64,∴a＝±8.答案：B4．设直线l1：y＝2x，直线l2经过点P(2,1),抛物线C:y2＝4x，已知l1、l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为（) A．1 B．2C．3 D．4解析：∵点P（2,1)在抛物线内部,且直线l1与抛物线C相交于A，B两点,∴过点P的直线l2在过点A或点B或与x轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l2共有3条．答案：C5．过抛物线y2＝ax(a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q 两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则错误!＋错误!等于（）A．2a B。
课时作业23：2.3.1 双曲线及其标准方程
2.3.1 双曲线及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程的曲线是 ( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线2．双曲线x 225－y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为 ( )A ．22或2B ．7C ．22D ．23．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是 ( )A ．－3<k <－2B ．k <－3C ．k <－3或k >－2D ．k >－24．椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k 2－y 23＝1有相同的焦点，则k 的值为 ( )A ．k ＝3B ．k ＝4C ．k ＝2D ．k ＝15．△ABC 中，A (－5,0)、B (5,0)，点C 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin A －sin B sin C ＝ ( )A ．35B ．±35C ．－45D ．±456．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是 ( ) A ．16 B ．18 C ．21 D ．26二、填空题7．双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点A (－5，6)，则双曲线的标准方程为________. 8．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为________. 三、解答题9．已知双曲线经过两点M (1,1)、N (－2,5)，求双曲线的标准方程.10．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.B 级 素养提升一、选择题1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)为定点，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a ＝3和a ＝5时，P 点的轨迹分别为 ( ) A ．双曲线和一条直线 B ．双曲线的一支和一条直线 C ．双曲线和一条射线D ．双曲线的一支和一条射线2．椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 22＝1有相同的焦点，则m 的值是 ( )A ．±1B ．1C ．－1D ．不存在3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右焦点为F ，点A 在双曲线的右支上，以AF 为直径的圆M 与圆x 2＋y 2＝a 2的位置关系是 ( ) A ．相交 B ．外切 C ．相离D ．内切4．设F 为双曲线x 216－y 29＝1的左焦点，在x 轴上F 点的右侧有一点A ，以F A 为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M 、N ，则|FN |－|FM ||F A |的值为 ( )A ．25B ．52C ．54D ．45二、填空题5．设F 1、F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于_________.6．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________. 三、解答题7．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？8．在△ABC 中，A 、B 、C 所对三边分别为a 、b 、c ，B (－1,0)、C (1,0)，求满足sin C －sin B ＝12sin A 时，顶点A 的轨迹，并画出图形.C 级 能力拔高讨论x 225－k ＋y 29－k＝1表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征参考答案A 级 基础巩固一、选择题 1．【答案】D【解析】方程mx 2－my 2＝n 可化为：y 2－n m －x 2－n m＝1，∵mn <0，∴－nm>0，∴方程的曲线是焦点在y 轴上的双曲线． 2．【答案】A【解析】∵a 2＝25，∴a ＝5，由双曲线定义可得||PF 1|－|PF 2||＝10，由题意知|PF 1|＝12， ∴|PF 1|－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝22或2． 3．【答案】A【解析】由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3>0k ＋2<0，解得－3<k <－2．4．【答案】C【解析】双曲线x 2k －y 23＝1的焦点(±3＋k ，0)，椭圆的焦点坐标(±9－k 2，0)，椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，可得：3＋k ＝9－k 2，k ＞0，解得k ＝2.故选C ．5．【答案】D【解析】在△ABC 中，sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R ＝102R． ∴sin A －sin B sin C ＝|BC |－|AC |2R 102R ＝|BC |－|AC |10．又∵|BC |－|AC |＝±8， ∴sin A －sin B sin C ＝±810＝±45．6．【答案】D【解析】|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26． 二、填空题7．【答案】y 216－x 220＝1【解析】解法一：由已知得，c ＝6，且焦点在y 轴上，则另一焦点坐标是(0,6)．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即 2a ＝|(－5)2＋(6＋6)2－(－5)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8， 得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20．因此，所求的双曲线标准方程是y 216－x 220＝1．解法二：由焦点坐标知c ＝6，∴a 2＋b 2＝36， ∴双曲线方程为y 2a 2－x 236－a 2＝1．∵双曲线过点A (－5,6)，∴36a 2－2536－a 2＝1，∴a 2＝16，b 2＝20． 双曲线方程为y 216－x 220＝1．8．【答案】y 24－x 25＝1【解析】椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，且c ＝3，a 2＋b 2＝9．由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A (15，4)、B (－15，4)，由点A 在双曲线上知，16a 2－15b 2＝1．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝916a 2－15b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝5．∴所求曲线的方程为y 24－x 25＝1．三、解答题9．解：设所求双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 将点M (1,1)、N (－2,5)代入上述方程，得到⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝14m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝87n ＝－17．所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1．10．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4．设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3．∴M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线左支，且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝c 2－a 2＝914．∴双曲线方程为4x 29－4y 291＝1(x ≤－32)．B 级 素养提升一、选择题 1．【答案】D【解析】|F 1F 2|＝(－8－2)2＋(3－3)2＝10 a ＝3时，|PF 1|－|PF 2|＝6<10 ∴P 点轨迹为靠近F 2的双曲线一支 a ＝5时，|PF 1|－|PF 2|＝10＝|F 1F 2| ∴P 点轨迹为靠近F 2的一条射线． 2．【答案】A【解析】验证法：当m ＝±1时，m 2＝1， 对椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3． 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3， 故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上， 故4－m 2＝m 2＋2． ∴m 2＝1，即m ＝±1． 3．【答案】B【解析】设F ′为左焦点，则AF ′－AF ＝2a ，从而圆心O 到AF 中点M 距离为a ＋AF2，所以以AF 为直径的圆M 与圆x 2＋y 2＝a 2的位置关系是外切，选B ． 4．【答案】D【解析】对点A 特殊化，不妨设点A 为双曲线的右焦点，依题意得F (－5,0)，A (5,0)， |FN |－|NA |＝8，|FM |＝|NA |， 所以|FN |－|FM |＝8，|FN |－|FM ||F A |＝810＝45，选D ．二、填空题 5．【答案】24【解析】由3|PF 1|＝4|PF 2|知|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又c 2＝a 2＋b 2＝1＋24＝25，∴c ＝5，∴|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24．6．【答案】9【解析】∵F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，∴a ＝2，b ＝23，c ＝4，F (－4,0)，右焦点H (4,0) 由双曲线定义|PF |＋|P A |＝2a ＋|PH |＋|P A |≥2a ＋|AH | ＝4＋(4－1)2＋0－42＝9三、解答题7．解：(1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝1和x ＝－1． (2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1．①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝2．③当45°<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝1和y ＝－1． (4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线． 8．解：∵sin C －sin B ＝12sin A ，∴c －b ＝12a ＝12×2＝1，即|AB |－|AC |＝1<|BC |＝2．∴动点A (x ，y )的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ′＝12c ′＝2b ′2＝c ′2－a ′2，∴⎩⎨⎧a ′＝12b ′＝32．∴A 点轨迹方程为x 214－y 234＝1．由于c >b 就是|AB |>|AC |，可知A 点的轨迹是双曲线的右支，还需除去点(12，0)如图所示．C级能力拔高解：由于k≠9，k≠25，则k的取值范围为k<9,9<k<25，k>25，分别进行讨论．①当k<9时，25－k>0,9－k>0，所给方程表示椭圆，此时，a2＝25－k，b2＝9－k，a2－b2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．②当9<k<25时，25－k>0,9－k<0，所给方程表示双曲线，此时，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．③当k>25时，所给方程不表示任何圆锥曲线．。
双曲线及其标准方程练习题.doc
B. m>Q22A — 1课时作业（十）［学业水平层次］一、选择题221. 方程尸一「―= 1表示双曲线，则m 的取值范围（）2 十2—m A. -2<m<2 C.mNO【解析】,「已知方程表示双曲线，.•.（2+〃7）（2—〃7）>O. .L —2<m<2. 【答案】A2. 设动点P 到刀（一5,0）的距离与它到3（5,0）距离的差等于6,则 P 点的轨迹方程是（）2 22 2A&—匕=1 R 以_革=1A.9 16一116-12222C.3—七=13W-3）D.^—］|= 1（x^3）【解析】 由题意知，轨迹应为以/（一5,0）, 5（5,0）为焦点的双曲线的右支.由c=5, o=3,知衍=16,22•"点的轨迹方程为3—希=l （x 》3）・ 【答案】D3. （2014-福州高级中学期末考试）已知双曲线的中心在原点，两 个焦点丹，已分别为（V5, 0）和（一⑧ 0）,点P 在双曲线上，且P 丹 -LPF 2, 4PF\Fa 的面积为1,则双曲线的方程为（）%2B •厂AW— 2—1 n 2_土1C.4~y—1D. x — 1[lPFil・l沈1 = 2,【解析】由 2 L °or习(IPF|| —|PF2I)2=16,即2(7=4,解得Q=2,又c=书,所以b=l,故选C.【答案】c2 24.已知椭圆方程亍+==1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为()A.«B.y[3C. 2D. 3【解析】椭圆的焦点为(1,。
)，顶点为(2,0),即双曲线中"=1,一 c 2c=2,所以双曲线的国心率为e=~=~7=2.JL【答案】c二、填空题2 25.设点尸是双曲线*=1上任意一点，Fi，死分别是其左、右焦点，若I户月1=10,则1尸月=・【解析】由双曲线的标准方程得"=3, b=4.于是c—\la2-\~b2— 5.(1)若点P在双曲线的左支上，贝lJIPF2|-IPF1l = 267=6, /. 1^21 = 6+1^1=16；(2)若点P在双曲线的右支上，则明I —" = 6,A \PF2\ = \PF}\-6= 10-6=4.在尸中，利用正弦定理和双曲线的定义知, Isin A —sinBlsin P综上，IPF2I=16 或4.【答案】16或46.（2014-河南省洛阳高一月考）已知尸|（一3,0）, F2（3,0）,满足条件IP几1一1辨21=2〃7—1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则〃2可以是下列数据中的.（填序号）①2；②一1；③4；④一3.2 2【解析】设双曲线的方程为与一%=1,则c=3, V2a<2c=6, a b5 7 ]/. I2m-ll<6,且l2m-ll^0, 且〃注5,二①②满足条件.【答案】①②7.（2014-哈尔滨高二检测）已知△佬P的顶点刀、3分别为双曲线C：壬一另=1的左、石焦点，顶点尸在双曲线。
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课时作业8 曲线与方程
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．方程(x －2)2＋(y ＋2)2＝0表示的图形是( )
A ．圆
B ．两条直线
C ．一个点
D ．两个点
解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝－2. 所以方程表示点(2，－2)．
答案：C
2．已知直线l ：x ＋y －3＝0和曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M(2,1)满足( )
A ．在直线l 上，但不在曲线C 上
B ．既在直线l 上，也在曲线
C 上
C ．既不在直线l 上，也不在曲线C 上
D ．不在直线l 上，但在曲线C 上
解析：把M 的坐标代入直线方程和曲线方程验证即可． 答案：B
3．方程1－|x|＝1－y 表示的曲线是( )
A．两条线段B．两条直线
C．两条射线D．一条射线和一条线段
解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0，所以y＝|x|(y≤1)．
答案：A
4．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是( )
A．x＋y＝5 B．x＋y＝5(x≥0)
C．x＋y＝5(y≥0) D．x＋y＝5(0≤x≤5)
答案：D
5．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是图中的( )
解析：分x≥0，y≥0；x≥0，y≤0；x≤0，y≥0；x≤0，y≤0四种情形去绝对值号，即可作出判断．
答案：D
6．若曲线y＝x2－x＋2与直线y＝x＋m有两个交点，则( ) A．m∈R B．m∈(－∞，1)
C ．m ＝1
D ．m ∈(1，＋∞)
解析：联立y ＝x 2－x ＋2与y ＝x ＋m 得x 2－2x ＋2－m ＝0.由Δ＝4－4(2－m )>0，得m >1.
答案：D
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为________．
解析：由22－a (－3)2
＝1，得a ＝13. 答案：13
8．方程x 2－y 2＝0表示的图形是________．
解析：由x 2－y 2＝0得y ＝±x ，所以方程x 2－y 2＝0表示的图形是两条直线．
答案：两条直线
9．曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积是________．
解析：在y ＝|x |－1中令x ＝0得y ＝－1，令y ＝0得x ＝±1，所
以曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积为12
×2×1＝1. 答案：1
三、解答题(共40分)
10．(10分)已知方程x 2＋(y －1)2＝10.
(1)判断P (1，－2)，Q (2，3)两点是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．
解：(1)因为12＋(－2－1)2＝10，而(2)2＋(3－1)2≠10.所以点P (1，－2)在方程表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程表示的曲线上．
(2)因为点M (m
2
，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185. 11．(15分)求曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标． 解：在方程x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，得x 2－3x －4＝0，x ＝4或x ＝－1.
∴曲线与x 轴的交点为(4,0)和(－1,0)．
12．(15分)求证：对任意m∈R，曲线mx －y －m ＋1＝0和曲线(x －2)2＋y 2＝4恒有交点．
证明：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
mx －y －m ＋1＝0 ①x －22＋y 2＝4 ② 由①得y ＝mx －m ＋1.
代入②得，(x －2)2＋[mx －(m －1)]2＝4，
∴(m 2＋1)x 2－[2m (m －1)＋4]x ＋(m －1)2＝0，
Δ＝4(m 2－m ＋2)2－4(m 2＋1)(m －1)2＝4(3m 2
－2m ＋3)＝4[3(m －13)2＋83
]>0，对任意m ∈R 成立，所以两曲线对任意m ∈R 恒有交点．。