2.3.1双曲线及其标准方程公开课教学设计
双曲线教案完整篇
2.3.1双曲线及其标准方程教学目标：1.知识与技能掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.3.情感、态度与价值观通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.教学重点:双曲线的定义、标准方程及其简单应用教学难点:双曲线标准方程的推导授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程:一.情境设置1.复习提问：(由一位学生口答，教师利用多媒体投影)问题 1：椭圆的定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？2.探究新知:(1)演示：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。
(2)设问：①|MF1|与|MF2|哪个大？②点M到F1与F2两点的距离的差怎样表示？③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系？（请学生回答：应小于|F1F2| 且大于零，当常数等于|F1F2| 时，轨迹是以F 1、F2为端点的两条射线；当常数大于|F1F2| 时，无轨迹）二.理论建构1.双曲线的定义引导学生概括出双曲线的定义：定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F1F2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
（投影）概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ” 2.双曲线的标准方程现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）（1）建系取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。
数学 2.3.1双曲线及其标准方程教学设计1 新人教A版选修2 1 教案
2015高中数学 双曲线及其标准方程教学设计1 新人教A 版选修2-1教学设计（一）创设情境，引出新课某火力发电厂通风塔图片并指出：实际生活中有与双曲线有关的实例，它在自然界和科学技术中也有着广泛的应用，比如有的无周期彗星的运动轨迹是双曲线;卫星导航系统等.那如何定义双曲线呢？怎样建立它的方程呢？这就是本节课所要研究的内容，由此引出课题： 双曲线及其标准方程.【设计意图】让学生形成双曲线的感性认识，感受数学的应用价值，体现数学来源于生活实际，又服务于生活实际.同时培养学生学会用数学眼光去观察周围事物的能力 .（二）探究定义1、拉链与双曲线小实验：2、实验分析：分析实验中的“变”与“不变”的条件.3、定义平面内与两个定点F 1, F 2的距离的等于的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫做双曲线的.4、思考：(1)2a=0, 动点M 的轨迹是什么？(2)0<2a<2c ， 动点M 的轨迹是什么？(3)0<2a=2c, 动点M 的轨迹是什么？(4)2a>2c, 动点M 的轨迹是什么？ 【设计意图】{}a MF －MF M P ＝221=的动点M 的轨迹的全面说明,体现了数学的严谨.（三）类比探究 建立方程1 、先引导学生回顾求曲线方程的一般步骤，然后循此步骤，并类比椭圆标准方程的推导过程，在教师的启发下，由学生自主推导双曲线的标准方程.第一步，建立直角坐标系及设点：设M(x ，y)，焦点分别为)0,(1c F -和)0,(2c F .第二步，根据定义写出M 点的轨迹构成的点集：{}a MF MF M P 221±=-=第三步，列出方程：a y c x y c x 2)()(2222±=+--++第四步，化简方程：移项：平方：整理(将根式放在一边，其余项移至等式的另一边)：第二次平方：整理得：思考：如果焦点在y 轴上呢？ 标准方程应该是【设计意图】为了真正做到让学生主动思考、学习，让学生自己动手，独立的完成这个任务，从而进一步体会用坐标法求曲线方程的思想.前三步学生容易掌握，第四步的二次根式较复杂，学生常因运算能力不强而功亏一篑.故在此，教师搭设台阶引导学生比较椭圆标准方程推导中的二次根式的化简：移项，平方，整理，第二次平方，再整理，赋值，将含有两个根式之差的等式转化为含有a ，b ，c 三字母的整式，再化为等号右端为1的方程形式.教师对个别有困难的学生进行必要的指导，并选一名学生在黑板上书写化简过程，然后教师点评.有效的突破本节的教学难点.2、判断下列双曲线焦点的位置：思考：如何确定双曲线焦点的位置？能力提升：已知方程表示双曲线，则m 的取值X 围是__________【设计意图】观察、比较，发现问题;概括、归纳，解决问题，不仅加强了学生对所学知识的进一步理解，而且培养了学生自主探究和鉴别的能力，检验了学生的掌握情况.四 典型例题【例1】 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5(1-F 、)0,5(2F ，双曲线上一点P 到1F 、2F 的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.【变式练习】两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足126PF PF -=,求动点P 的轨迹方程.【设计意图】数学概念是要在运用中得以巩固的，通过该例题使学生进一步理解双曲线的定义，掌握标准方程，使知识内化为智能.五 巩固与练习求适合下列条件的双曲线标准方程(1)a=4,b=5,焦点在y 轴(2)a=3,c=522222222(1)1,(2)1,(3)1,(4)143343443x y x y y x x y -=-=-=-=-22121x y m m -=++(3)焦点为(0,6) , (0，-6)且经过点（2，-5）【设计意图】检验学生对双曲线标准方程的掌握情况.六、本课小结：通过本节课的学习，你学到了哪些知识？你又掌握了哪些数学思想方法？双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较：【设计意图】对比双曲线和椭圆的标准方程和c b a ,,的关系，有助于学生克服椭圆学习中的思维定势.七、作业：基础题：课本P61：1、2发展题：1 方程22322x y -=-表示的是双曲线吗？若是，写出焦点坐标；2 方程22221x y m m +=-表示焦距为3的双曲线，求m 的值；3 请给出一个焦距为2的双曲线的方程。
高中数学人教A版选修2-1第二章《2.3.1 双曲线及其标准方程》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学人教A版选修2-1第二章《2.3.1 双曲线及其标准方程》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,理解双曲线的定义,体会双曲线标准方程的探索推导过程.
2. 使学生在学会知识的过程中,进一步熟练用坐标法建立曲线方程,培养学生等价转化、数形结合等数学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力.
2学情分析
学生刚刚学习了椭圆及其标准方程,在此基础上对于双曲线的标准方程的推导有一定的帮助。
3重点难点
双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点.
定义中“差的绝对值”、a与c的大小关系的理解与标准方程的建立是难点.
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】双曲线及其标准方程
一、课题导入
师:椭圆的定义是什么?
(抽学生口述椭圆的定义.)
师:椭圆定义是由轨迹的问题引出来的,我们把满足几何条件|PF1|+|PF2|=2a(常数)(2a>|F1 F2|)的动点P的轨迹叫椭圆.下面,我们来做这样一个实验:
(同学分组实验:利用绳子模仿实验演示双曲线的生成过程,导入课题)
师:通过这个实验,我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线,这是一类什么曲线呢?这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”(板书课题)
活动2【导入】新课探究。
高中数学_2.3.1双曲线及其标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思
2.3.1双曲线及其标准方程学案学情分析1、高中学生思维活跃，参与积极性高，已 初步形成了对数学问题的合作探究能力。
我在设计中注意渗透小组交流，合作探究 知识的形成过程.2、学生刚学习完椭圆的知识，对椭圆的定义及标准方程非常熟悉，类比椭圆的定义和标准方程，学习双曲线的定义和标准方程. 3.培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.通过本节课教学，学生在以下几个方面有较大的收获和启发：1.通过类比学习双曲线的定义与标准方程，让学生体会到由简单到复杂，特殊到一般的化归思想；让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法．2. 课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立意识和独立思考能力；小组交流中，学会合作意识；在解决问题的难点时，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想．在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．教材分析本节课是新课程人教A 版选修2-1 第2章 第三节第一课时。
它是在学生学习了直线、圆和椭圆的基础上进一步研究学习的，也为后面的抛物线及其标准方程做铺垫。
所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。
评测练习1．动点P 到点()1,0M 及点()3,0N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）． A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线2．双曲线2255x ky +=的一个焦点是)，那么实数k 的值为（ ）．A ．25-B ．25C ．1-D ．13．双曲线的两焦点分别为()()123,0,3,0,F F -若2a =，则b =（ ）．A. 5B. 13C.-4．已知点()()2,0,2,0M N -，动点P满足条件PM PN -=则动点P 的轨迹方程为___________．5．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围为____________．课后反思本节课在教学设计充分体现了“老师为主导，学生为主体”的教学原则，在教学过程中体现了三个特色：（1）以问题为教学线索；问题是教学的心脏，本节教学始终以教学的解决为线索，在老师的引导下，使学生的思维从问题开始到问题深化；（2）以学生为课堂主体，重视学生的自主参与能力，重视学生探究能力和创新能力的培养，激励学生积极思考、大胆思考并且亲自动手实践；（3）以类比为教学方法，在学生原有的知识体系上，通过类比一步步引导学生在椭圆的基础上学习双曲线的知识。
双曲线及其标准方程教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学课题：2.3.1双曲线及其标准方程二、教学目标：1．理解双曲线的定义并能独立推导双曲线标准方程；2．通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；3．通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。
三、教学重点及难点：重点：双曲线的定义及其标准方程；难点：准确理解表述双曲线的定义，标准方程的推导四、教学策略：教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．五、教学过程：1、回顾椭圆，寻求引领方法问题1：椭圆的第一定义是什么？椭圆的标准方程是怎么样的？怎么推导而来？问题2：如何作椭圆？边回顾知识，边播放课件，展示椭圆的形成过程，注重于研究问题的方法2、动手演示，感受双曲线形成问题：在椭圆定义中，到两定点的距离之“和”改为到两定点的距离之“差”为定值，则曲线的轨迹又会如何？能否利用手头的长绳来演示得到满足这样条件的曲线呢？学生动手，老师指导，然后在讲台上演示。
师生共同研究探索作图方案，主要解决如何来实现距离之差为定值；3、剖析特征，探索双曲线定义(1)在画双曲线的过程中，绳的长度变了没有？说明了什么？(2)在画双曲线的过程中，绳长度与两定点距离大小有怎样的关系？(3)改变绳长度与两定点距离的大小，轨迹又是什么？（4）交换绳两个端点再固定在小黑板上，又形成什么曲线？学生小组讨论，并总结规律||||||||2121F F MF MF <-双曲线||||||||2121F F MF MF =- 轨迹为以21,F F 为端点的两条射线；||||||||2121F F MF MF >-轨迹不存在．本环节中并不是急于向学生交待双曲线的定义，而是设计一个实验，让学生体会双曲线上点的运动规律；二是通过课件演示,增强直观性,帮助学生迅速准确地发现相关数量关系总结归纳，形成概念．4、归纳定义引导学生概括出双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F1F2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．学生类比椭圆的定义，逐步总结出双曲线的定义，感受定义中强调“绝对值”的目的。
高中数学新人教版B版精品教案《2.3.1 双曲线的标准方程》
《双曲线及其标准方程》教学设计一、教材内容解析（一）课标要求：《双曲线及其标准方程》是人教A版普通高中课程选修2-1第二章的第三节内容课程标准对本节内容的要求是：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想（二）教材地位双曲线与科研、生产以及人类生活有着密切的关系，因此，研究它的几何特征及其性质有着极其现实的意义。
学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步巩固、深化和提高如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质以及进一步学习抛物线，解决更复杂的解析几何综合问题奠定良好的基础二、学习目标依据教材的地位与作用，以及新课改对教学目标的要求，确定本节课的教学目标为：1、理解双曲线的定义并能推导标准方程；2、通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；3、通过教师指导下的学生交流探索活动，让学生体会数学的理性和严谨，培养学生实事求是和锲而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度三、重点难点教学重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程突出重点的手段：通过信息技术手段揭示出双曲线上的点所满足的条件，归纳得出双曲线的定义；对于双曲线的方程，可类比椭圆方程的推导得出方程并加以比较，加深认识教学难点：双曲线定义的得出和标准方程的建立突破难点的策略：始终以“类比”作为主线，利用计算机模拟作图，引导学生动手实验、观察、交流、归纳定义；回顾坐标法求椭圆方程的步骤，亲自体验建立双曲线标准方程的过程四、学情分析从知识方面来说，学生从必修“平面解析几何初步”到选修“圆锥曲线”，已经学习直线、圆和椭圆，较为系统地研究了他们的性质，对解析几何的基本思想方法有了一定的认识，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，并对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会从能力方面来说，作为高二年级的学生，其学习能力与理性思维都达到了一定的水平具备一定的计算、推理、知识迁移、归纳概括和分析问题、解决问题的能力等能力，并对数形结合、类比等思想方法有了一定的感悟五、教学策略本节课采用了“实验操作”、“启发探究”、“类比教学”的教学方式，重点突出以下两点：1、以类比思维作为教学的主线2、以自主探究作为学生的学习方式六、教学过程（一）问题探究、概念学习（高中数学人教A 版选修2-1第49页习题第7题及第62页习题第5题）问题：圆1F 的半径为定长r ，2F 是圆内一个定点，P 是圆上任意一点，线段2F P 垂直平分线l 和半径2F P 相交于点M ，当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹是什么？为什么？提出问题：如果定点2F 在圆外时，M 的轨迹又是怎样？探究结果：2F 在圆外时，通过计算机模拟M 的轨迹，发现得了两条新的曲线，当M 在新曲线的左支时，满足()211MF MF MP MF r -=-=常数，当M 在新曲线右支上时，满足()211MF MF MP MF r -=-=-常数引导同学们将两个等量关系变成21MF MF -=常数，此时我们把满足该定义的点的轨迹称之为双曲线，类比椭圆，212MF MF a -=，定点1F 、2F 为焦点，12F F 的距离称之为焦距，记为2c 进一步通过图象判断12||r F F <，即022a c <<趁热打铁，探究当22a c =时，点M 的轨迹是怎样的？当22a c >时，是否存在点的轨迹？当20a =时，动点的轨迹是什么？如果是212MF MF a -=（不含绝对值）时，点M 的轨迹是怎样的？【设计意图】通过教材上椭圆的习题，复习椭圆的定义，通过问题引导，激发学生的求知欲，也教会学生主动发现问题、探究问题的方法在此基础上引入双曲线定义，增加学生对知识的熟悉感向学生展示双曲线形成过程，让学生更深刻的理解这双曲线的定义及注意事项练习 已知两定点()15,0F -，()25,0F ,且动点P 满足128PF PF -=，请判断P 的轨迹变式1 128PF PF -=变式2 1210PF PF -=【设计意图】 学双曲线的定义之后，马上让学生应用，能加深学生的记忆和理解，通过两个变式，提醒学生要注意绝对值以及2a 与2c 的关系（二） 合作交流，导出方程1、类比：类比椭圆标准方程的建立过程（用屏幕显示图形），让学生思考最合适的建系位置（力求使其方程形式最简单）2、合作：师生合作共同推导双曲线的标准方程（学生推导，然后教师归纳）按下列六步骤进行：建系、设点、列式、代入、化简、检验从而得出了焦点在x 轴上的双曲线的标准方程双曲线标准方程：焦点在x 轴上22221(0,0)x ya b a b-=>>3、探究：在建立椭圆的标准方程时，选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程那么双曲线的标准方程还有哪些形式？焦点在y 轴上 ()222210,0y x a b a b-=>> 其中：222c a b =+【设计意图】这一过程在教师指导下由学生自主完成，使学生成了学习的主人，由被动的接受变成主动的获取通过双曲线标准方程的建立过程，训练学生的运算能力、推理论证能力、探究能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生严谨的学习态度（三） 对比分析，记忆知识 双曲线的标准方程对比焦点在x 轴上焦点在y 轴上22221x y a b -= 22221y x a b-= 222b c a =- 焦点看正负椭圆和双曲线的方程对比椭圆双曲线图像方程22221x y a b += 22221y x a b += 22221x y a b -= 22221y x a b -= 连接符号 号连接- 号连接焦点位置看分母的大小看系数的正负,,a b c 关系 222a b c =+，a 最大222c b a =+，c 最大【设计意图】通过双曲线焦点在不同轴的标准方程的对比，找出两种情况下双曲线的相同点和不同点通过椭圆和双曲线标准方程的对比，明确椭圆和双曲线的同与不同便于学生能更好的通过类比方法掌握所学知识（三）练习反馈，巩固提高例题：已知两定点()15,0F -，()25,0F ,且动点P 满足128PF PF -=，求动点P 的轨迹方程变式：已知双曲线两焦点12,F F 在坐标轴上且12||10F F =，双曲线上一点P 满足12||||8PF PF -= ，求双曲线的标准方程【设计意图】此题意在写方程利用刚才所学知识判断曲线的轨迹，在焦点明确的情况下直接写出方程即可，当焦点不确定时应分两种情况讨论练习2：说出下列双曲线方程所表示的焦点位置及,,a b c 的值（1）22149x y -= （2）22194x y -=（3）224936x y -= （4）224x y -=-【设计意图】此题意在识方程让学生了解双曲线方程的多种形式，能从中找出焦点位置、焦点坐标、及,,a b c拓展：方程22113x y m m+=+-表示双曲线（圆，椭圆），求实数m 的取值范围【设计意图】强调双曲线方程系数的范围，并用2个变式将双曲线，椭圆，圆的方程联系起来，让学生对这三者标准方程的区别有更深刻的认识 四 小结与回顾 诗歌结尾：解析研究双曲线，类比椭圆灵光显定义方程差相连，焦点位置正负辨勾股关系C最大，绝对对应图两边双曲应用处处有，努力学习开新篇【设计意图】用郎朗上口的诗句，总结本堂课的主要知识要点，思想方法及核心素养，引领学生体会数学与文学之美八、课后记_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________。
高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程教学设计 新人教A版选修2-1
2.3.1双曲线及其标准方程
教学设计
教学目标
（一）知识与技能目标
掌握双曲线的定义，焦点，焦距的概念和标准方程；理解双曲线标准方程的推导；并能初步运用定义和标准方程解决有关问题.
（二）过程与方法目标
通过学生自主探索，亲身经历双曲线的定义及其标准方程的获得过程，体验数形结合的思想在处理几何问题中优越性；培养学生观察、比较、分析、归纳、概括等思维能力，形成良好的思维品质.
（三）情感态度与价值观目标
通过实例，激发学生对数学的好奇心，引导学生从数学的角度发现和提出问题，正确使用数学语言表达问题、进行交流，形成用数学的意识.让学生在自主探索，合作交流中获得新知识，培养学生实事求是的科学态度，锲而不舍的探索精神以及对数学学科的热爱，坚定学好数学的信心，形成正确的数学观.
教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用
教学难点：双曲线标准方程的推导。
教法学法
（一）教学方法引导探索、发现法
（二）学习方法自主探索、合作交流．
（三）教学手段多媒体辅助教学．
（四）学具毛线一根，钥匙环一个.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教学情境设计。
2.3.1双曲线及其标准方程-教学设计
高二数学选修2-1 第二章 2.3双曲线《2.3.1双曲线及其标准方程》教学设计一、教学目标1.知识与技能理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决问题；了解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用方法．2．过程与方法通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力．3．情感、态度与价值观通过教师指导下学生的交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题．二、重点难点重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程．难点：双曲线标准方程的推导．三、教学方法探究法，自主练习四、教学过程（一）探究双曲线的轨迹形成1．我们知道，与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆，（利用几何画板，演示椭圆的形成）那么与两定点距离的差（小于两定点的距离之差）为非零常数的点的轨迹是什么？如图，固定的两个点F1，F2，动点M到点F1，F2的距离M F1与M F2之差为非零常数，动点M形成的轨迹是什么？（几何画板演示，这样的动点M形成的轨迹，是双曲线。
）2．若定义中的常数大于或等于|F1F2|时，轨迹是什么？【提示】当常数等于|F1F2|时，轨迹为以F1，F2为端点，在直线F1F2上反向的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示．当常数大于|F1F2|时，轨迹不存在．双曲线的定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．这里主要是和椭圆进行类比教学，通过椭圆向双曲线过度，也就是类比椭圆的形成，学生自由探究双曲线的形成。
（二）探究双曲线的标准方程（推导）类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？【提示】以经过两焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴建坐标系．焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c，c2＝a2＋b2这里主要也是和椭圆进行类比教学，回忆椭圆的标准方程是怎样推导的，自己尝试推导出双曲线的标准方程。
(公开课) 双曲线的标准方程教学设计
(公开课) 双曲线的标准方程教学设计引言本教学设计旨在帮助学生理解和掌握双曲线的标准方程。
通过一系列的教学活动和练，学生将学会如何确定双曲线的方程以及其图形的一些特征。
教学目标- 理解双曲线的定义和基本特性- 掌握双曲线的标准方程的推导和使用方法- 能够确定双曲线图形的一些基本特征- 运用所学知识解决相关问题教学内容1. 双曲线的定义和基本特性- 介绍双曲线的定义和基本特性- 解释双曲线与直线、椭圆以及抛物线的区别2. 双曲线的标准方程- 推导双曲线的标准方程- 解释方程中各项的含义- 演示如何将方程转化为标准形式3. 确定双曲线图形的基本特征- 指导学生如何通过标准方程确定双曲线图形的中心、焦点、顶点等基本特征- 通过练题加深学生对基本特征的理解和掌握4. 解决相关问题- 提供一些实际问题，要求学生运用所学知识解决- 指导学生如何建立方程模型并求解教学活动- 讲解双曲线的定义和基本特性，引导学生思考与其他曲线的区别- 演示推导双曲线的标准方程过程，并解释各项的含义- 给予学生一些练题，要求他们将方程转化为标准形式- 指导学生如何通过标准方程确定双曲线图形的基本特征，例如中心、焦点、顶点等- 给予学生一些练题，加深他们对基本特征的理解和掌握- 提供一些实际问题，要求学生建立方程模型并求解，加强他们的问题解决能力教学评估- 在教学过程中观察学生的参与状况和理解程度- 批改和评价学生的练题和问题解决过程- 给予学生反馈，鼓励他们继续努力提高参考资源- 教材中关于双曲线的章节- 相关练题和题答案- 互动教学工具或软件，用于可视化双曲线的图像以上是本教学设计的简要内容，请根据实际教学情况进行调整和补充。
希望本设计能够帮助学生更好地理解和掌握双曲线的标准方程。
《2.3.1双曲线及其标准方程》教学案3
《2.3.1双曲线及其标准方程》教学案3教学目标：1， 知识与技能目标理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求双曲线的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法2.过程与方法目标：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力3.情感、态度与价值观目标通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线。
4.能力目标（1）.培养想象与归纳能力，培养学生的辩证思维能力，培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（2）.数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．（3）.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．新课讲授过程（1）双曲线的定义〖板书〗把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=．强调：a 的条件是什么；如果去掉绝对值还是双曲线了吗？（2）双曲线标准方程的推导过程提问：已知双曲线的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求双曲线标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．类比双曲线：设参量b 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义．类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程()222210,0y x a b b a-=>>． （3）例题讲解、引申与补充例1 已知双曲线两个焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，双曲线上一点P 到1F ，2F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c ．补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与⊙C ：()2222x y ++=内切，且过点()2,0A ；② 与⊙1C ：()2211x y +-=和⊙2C ：()2214x y +-=都外切；③ 与⊙1C ：()2239x y ++=外切，且与⊙2C ：()2231x y -+=内切． 解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆M 的半径为r ．① ∵⊙C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外，∴2MC r =-，MA r =，因此有2MA MC -=，∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是()2222127y x x -=≤-； ② ∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 均外切，∴11MC r =+，22MC r =+，因此有211MC MC -=，∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，∴M 的轨迹方程是22434134x y y ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭； ③ ∵M e 与1C e 外切，且M e 与2C e 内切，∴13MC r =+，21MC r =-，因此124MC MC -=，∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，∴M 的轨迹方程是()221245x y x -=≥． 例 2 已知A ，B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A ，B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A ，B 两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s ．已知各观察点到该中心的距离都是1020m ．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为340/m s ；相关点均在同一平面内）． 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向分别为x 轴、y轴方向，建立直角坐标系，设A 、B 、C 分别是西、东、北观察点，则()1020,0A -，()1020,0B ，()0,1020C ．设(),P x y 为巨响发生点，∵A 、C 同时听到巨响，∴OP 所在直线为y x =-……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，∴()43401360PB PA m -=⨯=．由双曲线定义知，680a =，1020c =，∴3405b =，∴P 点在双曲线方程为222216805340x y -=⨯()680x ≤-……②．联立①、②求出P 点坐标为()6805,6805P -．即巨响在正西北方向68010m 处．探究：如图，设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49，求点M 的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发现？ 探究方法：若设点(),M x y ，则直线AM ，BM 的斜率就可以用含,x y 的式子表示，由于直线AM ，BM 的斜率之积是49，因此，可以求出,x y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程．练习：第54页1、2、3 课堂小结：作业：第60页1、2补充作业：1.【2015高考福建，理3】若双曲线22:1916x yE-=的左、右焦点分别为12,F F，点P在双曲线E上，且13PF=，则2PF等于（B）A．11 B．9C．5 D．32.【2015高考四川，理5】过双曲线2213yx-=的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则AB=（ D ）(A)433(B)23(C)6 （D）43。
双曲线及其标准方程教学设计(教案)
双曲线及其标准方程教学设计(教案)第一章：双曲线的概念引入1.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的起源和发展历程。
(2) 通过实例让学生感受双曲线的几何性质。
1.2 教学内容：(2) 双曲线的历史：介绍双曲线在数学、天文学和物理学等领域的应用，让学生了解双曲线的重要性。
(3) 双曲线的图形展示：利用多媒体展示双曲线的图形，让学生感受双曲线的美丽和神秘。
1.3 教学方法：(1) 实例分析：通过具体的例子，让学生感受双曲线的特点。
(3) 多媒体展示：利用多媒体展示双曲线的图形，增强学生的直观感受。
第二章：双曲线的标准方程2.1 教学目标：(1) 使学生掌握双曲线的标准方程及其实际应用。
(2) 培养学生利用双曲线标准方程解决实际问题的能力。
2.2 教学内容：(1) 双曲线的标准方程：介绍双曲线标准方程的推导过程，让学生理解并掌握双曲线标准方程。
(2) 双曲线标准方程的应用：通过实例，让学生了解双曲线标准方程在实际问题中的应用。
2.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线标准方程的推导过程，利用图形演示双曲线标准方程的特点。
(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线标准方程的应用。
(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线标准方程的计算，分组讨论解决问题。
第三章：双曲线的性质3.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的基本性质。
(2) 培养学生利用双曲线性质解决实际问题的能力。
3.2 教学内容：(1) 双曲线的性质：介绍双曲线的几何性质，如渐近线、离心率等。
(2) 性质的应用：通过实例，让学生了解双曲线性质在实际问题中的应用。
3.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线的性质，利用图形演示性质的特点。
(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线性质的应用。
(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线性质的计算，分组讨论解决问题。
第四章：双曲线方程的求解4.1 教学目标：(1) 使学生掌握求解双曲线方程的方法。
人教课标版高中数学选修2-1：《双曲线及其标准方程》教案-新版
2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程一、教学目标 （一）学习目标1．理解并掌握双曲线的定义，了解双曲线的焦点、焦距；2．掌握双曲线的标准方程，能够根据双曲线的标准方程确定焦点的位置． （二）学习重点 1．双曲线的定义； 2．双曲线的标准方程． （三）学习难点1．由双曲线的标准方程确定焦点位置； 2．根据条件求双曲线的标准方程． 二、教学设计 （一）预习任务设计 1．预习任务 写一写：（1）定义：平面内与两个定点12,F F 的距离差的绝对值 等于常数 2a ，小于|F 1F 2| 的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两定点间距离叫做 焦距 ．（2）双曲线的标准方程：焦点在x 轴上：22221(0,0)x y a b a b -=>>．焦点在y 轴上：22221(0,0)y x a b a b -=>>．2．预习自测1．下面语句正确的个数是（ ）①平面内到点12(0,4),(0,4)F F -的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线． ②双曲线标准方程中,,a b c 的关系是222a b c +=．③双曲线2213y x -=的焦点在y 轴上．A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B （二）课堂设计探究一：结合实例，认识双曲线 ●活动① 回顾旧知，实验探索前面我们学习了椭圆，椭圆是如何定义的？平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数122(2||)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆．若将椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”．即平面内与两个定点21,F F 的距离的差等于非零常数的点的轨迹是什么?我们不妨通过画图来探究，借助于拉链来说明作图方法．（如图）取一条拉链，拉开它的一部分，在拉链拉开的两边上各选择一点，分别固定在纸板上的点F 1 ，F 2处，取拉头处为M 点，由于拉链两段是等长的，则221FF MF MF =-，把笔尖放在点M 处，随着拉链的拉开或闭拢，M 点到F 1，F 2的距离的差为常数．这样的动点M 的轨迹是什么呢？【学生活动】请一位同学上黑板演示(用两段绳子来模拟拉链，进行作图)，其他同学观察、思考．画出一条曲线（如图1），这条曲线就是满足下面条件的点的集合：12{|||||}P M MF MF =-=常数如果使点M 到F 2的距离减去到点F 1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线（图2）．这条曲线是满足下面条件的点的集合：21{|||||}P M MF MF =-=常数．现在我们知道，平面内到两定点距离的差为常数的点的轨迹是这样的两条曲线．这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．双曲线在科研和日常生产生活中应用广泛．(如：冷却塔、立交桥、广州塔、埃菲尔铁塔) 这是继椭圆之后我们要学习的第二种圆锥曲线．【设计意图】通过复习回顾椭圆概念，引出新问题．从学生认知的最近发展区入手，激发学生的求知欲． ●活动② 抽象概括，归纳定义类比椭圆的定义，归纳概括出双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点12,F F 叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．记为122F F c =．我们通常将定义中的常数记为2a,也就是说，双曲线就是点集：1212{|||||||2,02||}P M MF MF a a F F =-=<<． 当a =0时，点的轨迹为12F F 的垂直平分线； 当a <c 时，点的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线； 当a =c 时，点的轨迹为线段12F F 的延长线或反向延长线； 当a >c 时，点的轨迹不存在．图1图2【设计意图】本环节在学生经历双曲线形成的基础上，类比椭圆定义，归纳概括双曲线定义，有助于学生对双曲线定义的理解． 探究二：探究双曲线的方程 ●活动① 类比椭圆，建立方程得到了双曲线的定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究． 根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立双曲线的方程“定量”的描述，然后通过对双曲线的方程的讨论，来研究其几何性质．你能类比椭圆标准方程的建立过程，建立适当的坐标系，推导双曲线的标准方程吗？ 分析如下：（1）建系设点：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设M (x,y )为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c (c >0)，那么21,F F 的坐标分别是12(,0),(,0)F c F c -．又设点M 与21,F F 的距离的差的绝对值为2a ．（2）写动点满足的集合:由定义可知，点M 满足集合：1212{|||||||2,02||}P M MF MF a a F F =-=<<． （3）列方程（用坐标表示条件）：1||MF =,2||MF =,2-=±a（4）化简方程:将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：2222222222222()44(),:(-)-(-)x c y a x c y c a x a y a c a ++=±-+=移项整理两边平方可得类比椭圆的标准方程的处理方式进行简化,使其简洁美观，即222221x y a c a-=-设222(0)c a b b -=>，代入上式222221x y a c a -=-，将式子进一步简化,使其简洁、对称，得到方程：22221(0,0)x y a b a b-=>>．类比椭圆，只要交换方程中的x 和y 即可，这样就得到了焦点在y 轴上的双曲线的标准方程，即为()222210,0-=>>y x a b a b ．●活动② 归纳梳理，强化概念得到了双曲线的定义和方程．借助于表格进行双曲线再认识．●活动③ 巩固基础，检查反馈例1：求满足条件的双曲线方程：a =，经过点A (2,-5)． 【知识点】双曲线的定义及标准方程．【解题过程】若焦点在x 轴上，设其方程为2221(0)20x y b b -=>，将A (2,-5)代入得2425120b -=，22545b =-无解； 若焦点在y 轴上，设其方程为222120y x b -=，将A (2,-5)代入得2254120b-=，216b =， 综上，所求双曲线的方程为2212016y x -=．【思路点拨】求双曲线标准方程与求椭圆标准方程类似，要先“定位”，确定焦点在哪个坐标轴上，再“定量”，即确定a 、b 的值，从而写出标准方程，这里一般使用待定系数法，需要注意双曲线有两支，在具体问题中是否需要舍去某一支．【答案】2212016y x -=．同类训练 求满足条件的双曲线方程：焦点在y 轴上，中心在原点，且经过点)24,3(1-P 和)5,49(2P ． 【知识点】双曲线的定义及标准方程．【解题过程】法一：因为双曲线的焦点在，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为：12222=-bx a y （0,0>>b a ）则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--1)49(513)24(22222222b a b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-⋅=⋅-⋅1116811251191322222b a b a 解关于221,1b a 的二元一次方程组，得911,161122==b a所以，所求双曲线的标准方程为191622=-x y法二：因为双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为221(0,0)my nx m n -=>>则1329116811251169m n m m n n ⎧-==⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪=⎩⎪⎩故所求双曲线的标准方程为191622=-x y 【思路点拨】用待定系数法来求解b a ,时，得到关于待定系数b a ,的一个分式方程组，并且分母的次数是2，可将22,b a 的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组也可用一般方程，利用形式更为简便的二元一次方程组来求解．【答案】191622=-x y例2．已知△ABC 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使A CB sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹【知识点】双曲线的定义及标准方程．【解题过程】以底边BC 为x 轴，底边BC 的中点为原点建立xoy 坐标系，这时)0,6(),0,6(C B -，由A C B sin 21sin sin =-得621==-a c b ,即6||||=-AB AC所以，点A 的轨迹是以)0,6(),0,6(C B -为焦点，2'6a =（为了与前面的a 进行区分）的双曲线的左支其方程为：)3(127922-<=-x y x【思路点拨】解决轨迹方程问题，需要突出数形结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的【答案】)3(127922-<=-x y x同类训练 求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(22=++y x 都外切的动圆圆心的轨迹 【知识点】双曲线的定义及标准方程．【解题过程】设动圆的圆心为M ，半径为r ，圆（x +3）2+y 2=9的圆心为F 1，圆（x -3）2+y 2=1的圆心为F 2，则由动圆与定圆都外切得r MF r MF +=+=1,321，又因为2)1()3(21=+-+=-r r MF MF ，由双曲线的定义可知，点M 的轨迹是双曲线的一支所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：18122=-y x )1(≥x ． 【思路点拨】求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂．【答案】18122=-y x )1(≥x ．●活动④ 强化提升，灵活应用例3． 已知双曲线的两个焦点为M 、N ，M (-2,-12)且点S (-7,0)、T (7,0)在双曲线上，利用双曲线的定义求点N 的轨迹方程． 【知识点】双曲线的定义．【解题过程】设点N 的坐标为(x,y )，它不同于点M (-2,-12)，由双曲线的定义知||||||||||||0SM SN TM TN -=-≠．(7,0)(7,0)S T -Q 、||13,||15SM TM ∴==①当||||||||SM SN TM TN -=-时，有||||214||TN SN ST -=<=，∴点N 的轨迹是中心在ST 中点(0,0)，焦点为S 、T 的双曲线的左支，除去点M (-2,-12)和点D (-2,12)．∴点N 的轨迹方程是221(0,2)48y x x x -=<≠-． ②当||||(||||)SM SN TM TN -=--时，有||||2814||TN SN ST +=>=，∴点N 的轨迹是中心在ST 中点(0,0)，焦点为S 、T 的椭圆，除去点M (-2,-12)和点D (-2,12)．∴点N 的轨迹方程是221(2)196147x y x +=≠-． 综上，N 的轨迹方程是221(0,2)48y x x x -=<≠-和221(2)196147x y x +=≠-． 【思路点拨】解本题的关键就是抓住双曲线定义中动点到两定点的距离之差的绝对值为定值这一特征，找出N 满足的几何条件，判断出曲线类型，要注意，依定义解题是圆锥曲线中的重要方法．【答案】221(0,2)48y x x x -=<≠-和221(2)196147x y x +=≠-．3． 课堂总结 知识梳理（1）双曲线定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线．（2）双曲线标准方程：焦点在x 轴上：22221(0,0)x y a b a b -=>>；焦点在y 轴上：()222210,0-=>>y x a b a b重难点归纳（1）定义中的距离之差的“绝对值”不可缺少，若点P 满足12||||2(0)PF PF a a c -=<<时，则点P 的轨迹为双曲线右支；若点P 满足 21||||2(0)PF PF a a c -=<<时，则点P 的轨迹为双曲线左支；（2）求双曲线标准方程与求椭圆标准方程类似，要先“定位”，确定焦点在哪个坐标轴上，再“定量”，即确定a 、b 的值，从而写出标准方程，这里一般使用待定系数法，需要注意双曲线有两支，在具体问题中是否需要舍去某一支． （三）课后作业 基础型 自主突破1．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程的曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线【知识点】双曲线的方程．【解题过程】方程mx 2－my 2＝n 可化为：y 2－n m －x 2－n m＝1，∵mn <0，∴－nm >0，∴方程的曲线是焦点在y 轴上的双曲线． 【思路点拨】几何性质判断图形． 【答案】D ．2．双曲线x 225－y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ） A ．22或2 B ．7 C ．22D ．2【知识点】双曲线的几何性质．【解题过程】∵a 2＝25，∴a ＝5，由双曲线定义可得||PF 1|－|PF 2||＝10，由题意知|PF 1|＝12，∴|PF 1|－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝22或2． 【思路点拨】几何性质判断图形． 【答案】A ．3．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．－3<k <－2 B ．k <－3 C ．k <－3或k >－2D ．k >－2 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】由题意可知，⎩⎨⎧k ＋3>0，k ＋2<0，解得－3<k <－2．【思路点拨】由双曲线定义判断即可． 【答案】A ．4．椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 22＝1有相同的焦点，则m 的值是（ ） A ．±1 B ．1 C ．－1D ．不存在 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】验证法：当m ＝±1时，m 2＝1， 对椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3． 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3， 故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上， 故4－m 2＝m 2＋2．∴m 2＝1，即m ＝±1【思路点拨】注意到椭圆与双曲线中,,a b c 三者的不同关系． 【答案】A5．双曲线2x 2－y 2＝m 的一个焦点是(0，3)，则m 的值是__________________． 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m ＝1，由题意得a 2＝－m ，b 2＝－m 2，∴c 2＝－32m ＝3， ∴m ＝－2．【思路点拨】由双曲线性质即可． 【答案】－26．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为________． 【知识点】双曲线的方程．【解题过程】椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，且c ＝3，a 2＋b 2＝9．由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A (15，4)、B (－15，4)， 由点A 在双曲线上知，16a 2－15b 2＝1． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a2－15b 2＝1，得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝5.∴所求曲线的方程为y 24－x 25＝1．【思路点拨】充分利用两种圆锥曲线的相同焦点，再结合,,a b c 三者关系解题． 【答案】y 24－x 25＝1能力型 师生共研7．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是（ ） A ．16 B ．18 C ．21D ．26【知识点】双曲线的几何性质．【解题过程】|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26． 【思路点拨】由双曲线性质求解即可． 【答案】D8．设θ∈(3π4，π)，则关于x 、y 的方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1 所表示的曲线是（ ） A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】方程即是x 2sin θ＋y 2－cos θ＝1，因θ∈(3π4，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，且－cos θ>sin θ，故方程表示焦点在y 轴上的椭圆，故选C ． 【思路点拨】由双曲线性质求解即可． 【答案】C 探究型 多维突破9．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？ 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】(1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝1和x ＝－1．(2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1．①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆． ②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝2．③当45°<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆． (3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝1和y ＝－1． (4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线． 【思路点拨】由双曲线性质分类讨论求解即可． 【答案】见解析10．在△ABC 中，A 、B 、C 所对三边分别为a 、b 、c ，B (－1,0)、C (1,0)，求满足sin C －sin B ＝12sin A 时，顶点A 的轨迹，并画出图形． 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】∵sin C －sin B ＝12sin A ，∴c －b ＝12a ＝12×2＝1， 即|AB |－|AC |＝1<|BC |＝2．∴动点A (x ，y )的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线∴⎩⎨⎧2a ′＝1，2c ′＝2，b ′2＝c ′2－a ′2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ′＝12，b ′＝32.∴A 点轨迹方程为x 214－y 234＝1．由于c >b 就是|AB |>|AC |，可知A 点的轨迹是双曲线的右支，还需除去点(12，0)如图所示．【思路点拨】注意利用线段的长度判断轨迹是双曲线的左支还是右支． 自助餐1．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线C 上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线C 的方程为（ ） A ．x 29－y 27＝1B ．x 29－y 27＝1(y >0) C ．x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D ．x 29－y 27＝1(x >0)【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)． 【思路点拨】利用双曲线的定义求解,,a b c ． 【答案】D2．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于（ ） A ．23 B ．1 C ．2D ．4【知识点】双曲线的定义．【解题过程】NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线定义知，|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D ． 【思路点拨】利用几何关系结合双曲线定义解题． 【答案】D3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ） A ．4 2 B ．8 3 C ．24D ．48【知识点】双曲线的定义．【解题过程】由3|PF 1|＝4|PF 2|知|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又c 2＝a 2＋b 2＝1＋24＝25，∴c ＝5，∴|F 1F 2|＝10， ∴△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24． 【思路点拨】利用双曲线的定义计算△PF 1F 2的三边求解面积． 【答案】C4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线2212511x y -=的左支上，则sin A －sin C sin B ＝________．【知识点】双曲线的定义．【解题过程】由条件可知|BC |－|BA |＝10，且|AC |＝12，又在△ABC 中，有|BC |sin A ＝|AB |sin C ＝|AC |sin B ＝2R ，从而sin A －sin C sin B ＝|BC |－|AB ||AC |＝56． 【思路点拨】圆锥曲线的定义是主要考查目标之一，当涉及圆锥曲线的焦半径时，常考虑应用定义解决． 【答案】565．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的直线被双曲线截取的线段的长度为________．【知识点】双曲线的方程．【解题过程】∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该直线方程为x ＝7， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833．【思路点拨】通过点的坐标计算长度．【答案】8336．已知圆(x ＋4)2＋y 2＝25的圆心为M 1，圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为M 2，动圆与这两圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为______________． 【知识点】双曲线的定义．【解题过程】设动圆圆心为M ，动圆半径为r ，根据题意得，|MM 1|＝5＋r ，|MM 2|＝1＋r ，两式相减得|MM 1|－|MM 2|＝4<8＝|M 1M 2|，故M 点在以M 1(－4,0)，M 2(4,0)为焦点的双曲线的右支上，故圆心M 的轨迹方程为x 24－y 212＝1(x ≥2)．【思路点拨】注意结合线段的长度大小确定双曲线的左右支． 【答案】x 24－y 212＝1(x ≥2)．。
教学设计2：3.2.1 双曲线及其标准方程
2222x c y x c y a()()2，222222（）（）x c y x c y a()()2，222cx a a x c y()，22222222c a x a y a c a()()，c a b，代入化简得：（强调优化结构）令22222221(0,0)x ya ba b.从上述过程可以看到，双曲线上的任意一点的坐标都是上述方程的解，反过来，以上述方程的解为坐标的点与双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为2a,即以上述方程的解为坐标的点都在双曲线上，所以上述方程是双曲线的标准方程。
追问5：焦点在y轴上的双曲线标准方程？师生活动：得到焦点在x轴上的双曲线的标准方程后，让学生类比回答焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是什么．当学生类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程，回答22221y xa b-=（a＞0，b＞0）后，可通过如下两个方面对22221x ya b-=，22221y xa b-=（a＞0，b＞0）进行比较：一是两个焦点的位置（在x轴上还是在y轴上）与负号的位置，二是方程中,x y与,a b的对应位置，要使他们认识到：若2x项的系数是正数，则双曲线的焦点在x轴上；若2y项的系数是正数，则双曲线的焦点在y轴上．对于双曲线，要强调a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小判断焦点在哪一条坐标轴上．四、例题例1设双曲线的两个焦点分别为F1(−5,0),F2(5,0),双曲线上一点P与F1，F2的距离绝对值等于6，求双曲线标准方程.解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为22221(0,0)x ya ba b由2c=10，2a=6，得c=5，a=3，因此，b2=52−32=16.所以，双曲线得标准方程为221.916x y例2 已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340求炮弹爆炸点的轨迹方程．分析：双曲线的应用。
2340PB点轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支。
2.3.1 双曲线及其标准方程导学案
2.3.1 双曲线及其标准方程【教学目标】1.知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；2.过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；3.情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。
【教学重难点】重点：双曲线的定义及其标准方程难点：双曲线定义的理解，双曲线标准方程的推导一、自主学习1.复习回顾（1）椭圆的定义：（2）椭圆的标准方程：①焦点在x轴上：______________________________________________②焦点在y轴上：______________________________________________③a,b,c之间的关系：___________________________________________2.思考：我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？二、合作探究1.双曲线的定义：定义：把平面内的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的_________,两焦点间的距离叫做双曲线的___________. 2.探究：试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？（F1,F2是两定点，|MF1|−|MF2|=2a，|F1F2|=2c，a,c都为正常数）（1）当|MF1|−|MF2|=2a时，点M的轨迹（2）当|MF2|−|MF1|=2a时，点M的轨迹（3）当2a=2c时，点M的轨迹（4）当2a>2c时，点M的轨迹（5）当2a=0时，点M的轨迹3.双曲线标准方程的推导（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程①建系、设点：②写出动点M满足的条件：③将相应点的坐标代如条件，列出方程：④化简：焦点在x轴上的双曲线的标准方程为___________________________________(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，双曲线的焦点分别为F1(0,−c)，F2(0,c),a,b的意义同上，这时双曲线的标准方程是什么？三、典例讲解例.已知双曲线两个焦点分别为F1(−5,0)，F2(5,0)，双曲线上一点P到F1,F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.四、当堂检测1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，a＝4，b＝3；（2）焦点为（0，－6），（0，6），且经过点（2，－5）．五、小结总结一下我们这节课学了些什么？六、作业1.教材P61 A组 1、2、32.从定义、标准方程、焦点坐标及a,b,c之间关系等四个方面比较双曲线与椭圆的区别和联系。
高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程教案设计 新人教A版必修1
2.3.1 双曲线及其标准方程教学设计
【教学目标】
根据本节教材特点，结合学生已有的认知水平，制定如下三维教学目标：
1．知识和技能目标
（1）理解n次方根与根式的概念；
（2）正确运用根式运算性质化简、求值；
（3）了解分类讨论思想在解题中的应用.
2．过程和方法目标
通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质．
3．情感和价值目标
（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
（2）培养学生认识、接受新事物的能力.
【教学重点、难点】
教学重点（1）根式概念的理解；
（2）掌握并运用根式的运算性质.
教学难点根式概念的理解.
【教学方法】
本节概念性较强，为突破根式概念的理解这一难点，使学生易于接受，故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念，在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解，并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发现，学生合作交流，自主探索的教学方法.
【教学过程】
为了充分发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．本节课的教学，大致按照以基本流程进行组织：。
【重磅】双曲线及其标准方程教学设计
《2.3.1双曲线及其标准方程》教学设计袁敏敏：一等奖教学内容：本节内容为人教A版普通高中课程标准实验教科书选修2-1第2章第3节双曲线的第一课时。
教材分析：圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容。
“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”、“椭圆及其标准方程”之后，学习又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何中学习的重要的内容之一，双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握标准方程的关键生基本技能和基本能力的必要环节坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具本节仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法犹如前面学习的圆和椭圆一样，双曲线也是一种动点的轨迹双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起本节知识再次巩固这个知识。
学情分析：学生先前已经学习了椭圆，基本掌握了椭圆的有关问题及研究方法，而双曲线问题，它与椭圆问题有类似性，类比椭圆可以很好地学习双曲线的知识，此外学生已经学习了求点的轨迹的方法与步骤；因此学习本课已具备一定的基础．但在学习过程，较椭圆而言，从直观图形轨迹到抽象概念的形成，中间一些细节问题的处理要求学生有更细致入微的分析和更强的领悟性，因此学生概括起来有更高的难度．特别是对于为什么需要加绝对值，c与a的有怎么样大小关系，为什么是这样的等等。
由于学生的运算能力较差，在推导双曲线的标准方程时，涉及到绝对值和根式，会遇到一定的困难。
设计思想：本课为解析几何内容，充分体现了解析法的应用．为了学生能很好的理解概念，在辅助媒体的选用上我选择了几何画板和powerpoint，1.借助于几何画板演示双曲线的形成，让学生观察分析动画过程中的特点，归纳总结定义。
2.要学生动手运算推导双曲线的标准方程。
数学 2.3.1双曲线的标准方程教学设计 新人教B版选修2 1 教案
关于人教B版选修2-1《双曲线的标准方程》的教学设计(四)双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？引起学生思考，多媒体给出椭圆的标准方程的证明过程，让学生类比，自己动手推导双曲线的标准方程，然后小组合作交流，小组代表汇报展示交流的成果.（用实物投影仪展示）标准方程的推导：(1)建系设点取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)建立直角坐标系．设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．(3)代数方程(4)化简方程(先由学生独立思考，再小组合作交流，最后组代表出示讨论的结果) 将这个方程移项，两边平方得：化简，两边再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) (推导完全可以仿照椭圆方程的推导)由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0．设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2．这就是双曲线的标准方程．思考：焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？两种标准方程的比较(引导学生归纳)：【总结】求双曲线标准方程，一般包括定位和定量两大步骤.若不能定位，要分成两种情况.跟踪训练1（选）已知双曲线的焦点在x轴上，并且双曲线过点(4，－2)和2622（，），求双曲线的标准方程.先由学生独立思考，小组合作交流，组代表展示结果.教师引导学生总结a,b,c中可知二求一，体现了方程的思想.2如果方程22121x ym m-=++表示双曲线，求m的取值X围.跟踪训练2（选）方程22121x ym m-=++表示焦点在y轴双曲线时，求m的取值X围学生独立完成，投影仪展示学生结果.(七)课堂小结知识方面：1．定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．3．图形(见图2-25)：4．焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2.3.1双曲线及其标准方程
海南华侨中学王芳文
1．教学背景
1.1 学生特征分析
我授课班级是海南侨中理科班，方法储备上，学生经过学习，已经基本适应高中数学学习规律，但是学习方法还是停留在简单模仿，反复练习层次上，对知识的生成与发展，区别与联系认识不深，缺少抽象概括及分析综合能力。
知识储备上，学生已经系统的学习了直线方程，圆的方程以及椭圆的相关知识，学生熟知椭圆的定义，会根据题目条件求简单的椭圆的标准方程。
但是由于接触学习椭圆的时间还相对较短，对椭圆的基本性质了解不深，而且理性思维比较欠缺，且计算能力的短板约束使得在处理直线与椭圆等综合问题时还存在困难。
把新问题转化为已解决问题的能力有待提高，缺乏选择、调整解决问题策略的能力。
1.2教师特点分析
自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。
不足：课堂教学语言相对不够准确简练、板书不够清晰美观。
1.3 学习内容分析
1、内容分析：学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。
如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。
所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。
从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。
正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。
而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。
在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。
2、例题分析：
温故：帮助学生复习椭圆的定义，提出问题。
探究：如图，实验操作：1.取一条拉链，拉开一部分；
2.在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上；
3.把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，画出一条曲线.
点M在运动过程中满足什么几何条件？(如图（A）、（B）)
点M满足的几何条件：点M满足的几何条件：
从直观上让学生认识双曲线,分析双曲线上动点所满足的几何关系,类比椭圆定义，帮助学生归纳双曲线的定义。
例题：例1已知双曲线的两个焦点分别为
1(5,0)
F ，
2(5,0)
F，双曲线上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于6，（1）求双曲线的标准方程.（2）双曲线上一点Ｐ，若|PF1|=10，则|PF2|= .
让学生能够在初步认识双曲线的定义和标准方程的情况下，分清,,
a b c，能直接写出标准方程。
思考：把例1中的绝对值去掉，求点P的轨迹，再次从轨迹方程的角度辨析概念，帮助学生形成完整准确的理性认识。
2．教学目标
1、掌握双曲线的定义和标准方程。
2、学生经历定义的归纳、发现，和标准方程的推导过程，进一步体会类比和数形结合的思想方法，提高观察能力和探究分析能力。
3、在教师的指导下进行交流探索，能用联系的观点认识问题，对数学学科方法有所认识，能对数学学科产生兴趣。
【教学重点】理解和掌握双曲线的定义及其标准方程
【教学难点】双曲线标准方程的推导
【教学方式】启发式、探究式
【辅助工具】多媒体课件，几何画板。
3．教学方法
著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现。
”
双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，因此在教学中采用了“启发探究”式的教学方法，重点突出以下两点：（1）以类比思维作为教学的主线（2）以自主探究作为学生的学习方法
三、教学过程与设计
归纳双曲线定义
回忆椭圆标准方程，类比椭圆标准 1.类比椭圆标准方程的建立
为何可令222
c a b
-=？
a和b有没有大小关系？
22
221(0,0)
y x
a b a b
-=>>
板书设计。