双曲线及其标准方程(一)
§3.1 双曲线及其标准方程
x
y
F2 o Mx
F1
3.例题与练习
x2
y2
例1. 填空：已知方程 2 m m 1 1表示双曲线,则m的取值范围
是_(__,__2)_U_(__1_, __)_.
变式练习1：
x2
y2
（1）填空：已知方程 2 m m 1 1表示焦点在y轴上的双
曲线,则m的取值范围是___(___,__2_) ____.
12
§3.1 双曲线及其标准方程（一）
1.双曲线定义
平面内与两个定点F1、 F2的距
M
离的差的绝对值等于常数 (小于 F1F2 )
的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点
F1
F2
叫做双曲线的焦点, 两焦点的距离叫
做双曲线的焦距.
双曲线集合表示：M | MF1 MF2 | 2a,(a 0), 2a F1F2
b2 c2 a2 537600 a2 6802 462400
x2 y2 1( x 0).
462400 537600
变式练习3.一动圆P与两定圆O ：x2+y2=1和O1：x2+y2-8x+7=0
均内切, 那么动圆P圆心的轨迹是（ D ）
A.椭圆 B.圆 C.双曲线 D.双曲线的一支
注意！
（1）当 2a F1F2 时, 点M的轨迹是_分_别__以__F_1_、__F_2为__端__点__的__两_条__射__线__； （2）若定义中常数2a为0, 此时动点轨迹为_线__段__F__1F__2的__垂__直__平__分___线____； （3）当2a F1F2 时, 无轨迹； （4）若定义中“差的绝对值”中“绝对值”去掉的话, 点的轨迹成为双曲 线的一支.
由定义可知, 双曲线就是集合 P M MF1 MF2 2a
双曲线及其标准方程1
2. 判断下列各双曲线方程焦点所在的坐标轴；求a、b、 2 2 2 2 c各为多少？ x y 1 (2) y x 1 (1) 25 16 25 16 2 2 2 2 ( 3 ) 4 x 9 y 36 ( 4 ) 4 x 9 y 36 2 2 x y 1 3.若双曲线 25 上的一点P到一个焦点的距离 9 为12，则它到另一个焦点的距离是＿＿＿＿＿. 2或22
3.已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到 焦点的距离差的绝对值等于6，则 5 4 3 (1) a=______ , c =_______ , b =_______
(2) 双曲线的标准方程为______________
探究展示 1.已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差为8, 双曲线的右支 则M点的轨迹是什么? 2.已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差的绝 对值为10,则M点的轨迹是什么? 焦 动点M的轨迹是分别以点A,B为端点，方向指向AB外侧 点 的两条射线． 跟 3.已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差的绝 不存在 着 对值为12,则M点的轨迹是什么? 4.已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差的绝 正 对值为0,则M点的轨迹是什么? 线段AB的垂直平分线的 5.如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ 跑 2 2 看 x , y 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上
作业：P61A组1，2
推导焦点在y轴上的双曲线的标准方程
C.椭圆的一部分
6.
归纳延伸
1.椭圆是圆的遗传，双曲线是椭圆的变异，尽管双曲线 与椭圆的定义和标准方程有一些相似之处，但它们的图 形却大不相同，二者有着本质的区别. 2.在椭圆中,c2＝a2－b2，a是老大,b、c的大小关系不定; 在双曲线中,c2＝a2＋b2，c是老大,a、b的大小关系不定. 3.求标准方程的方法：定义法、待定系数法
2.3.1 双曲线及其标准方程1
2.3 双曲线2．3.1 双曲线及其标准方程整体设计教材分析“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后，学习的又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用，也是大纲中明确要求学生必须熟练掌握的重要内容．双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教科书的处理方法也相仿，也就是说，本小节在数学思想和方法上没有新内容，因此，这一小节的教学可以参照第2.2.1节进行．教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点．课时分配本节内容分两课时完成．第1课时讲解双曲线的定义，要求学生类比椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程；第2课时讲解运用双曲线的定义及其标准方程解题．第1课时教学目标知识与技能使学生掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导过程，能根据条件确定双曲线的标准方程．过程与方法在与椭圆的类比中，掌握双曲线的标准方程的推导方法，增强合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力．情感、态度与价值观发挥类比的作用，与椭圆形成对比，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，通过引入b2，使方程形式更对称、简洁，无疑会让学生感到数学的特殊魅力，增强学生学习数学的浓厚兴趣．重点难点教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．教学难点：双曲线标准方程的推导.教学过程复习引入1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2.椭圆的标准方程(1)焦点在x 轴x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a>b>0)； (2)焦点在y 轴y 2a 2＋x 2b 2＝1，(a>b>0)． 3．a 、b 、c 之间有何种关系？a 2＝c 2＋b 2.探究新知探究：如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？用几何画板演示拉链的轨迹：(A) (B)活动成果：以上两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．下面请同学们思考以下问题：设问：①定点与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？②两条曲线中到“两定点的距离的差”有什么关系？③这个常数是否会大于或等于两定点间的距离？(几何画板演示当常数等于|F 1F 2|及常数大于|F 1F 2|时的点的轨迹，帮助学生理解)请学生回答：1.不能．指出必须“在平面内”．2．到两定点的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，且到两定点的距离的差的绝对值为一个常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a.3．应小于两定点间距离且大于零．当常数等于|F 1F 2|时，轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线；当常数大于|F 1F 2|时，无轨迹．活动设计：小组讨论，实验演示，通过提出问题，让学生讨论问题，并尝试解决问题．让学生了解双曲线的前提条件，并培养学生的全面思考能力．感受曲线，解读演示得到的图形是双曲线(一部分)．提出问题：类比椭圆的定义，给出双曲线的定义．活动设计：学生先独立思考，教师加以引导，与椭圆有一个类比，允许学生自愿合作、讨论、交流．学情预测：学生的回答可能不全面、不准确，我们可以用几何画板演示学生的回答，让他们发现问题，然后不断补充、纠正，趋于完善．活动成果：师生共同概括出双曲线的定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(在归纳定义时强调定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数、常数小于|F 1F 2|且大于零)下面我们类比椭圆方程的推导，选择适当的坐标系，建立双曲线方程．为今后通过方程研究双曲线的性质做好准备．提出问题：求椭圆方程的步骤是什么？。
3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)(1)
方法归纳
(1)求双曲线标准方程的步骤：
①定位:确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下,确定焦点位
于哪条坐标轴上，以确定方程的情势.
②定量:确定a2、b2的值，常由条件列方程组求解.
(2)双曲线标准方程的两种求法：
①定义法:根据双曲线的定义得到相应的a、b、c,再写出双曲线的标准
方程.
②待定系数法:先设出双曲线的标准方程，然后根据条件求出待定的
的点的轨迹叫做双曲线.
M
| |MF1| - |MF2| |= 2a (0<2a<|F1F2|)
这两个定点叫做双曲线的焦点，
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距=2c，
焦距的一半称为半焦距.
F1
F2
概念辨析
思考：
（1）如果定义中去掉“绝对值”三个字会有什么影响？
如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支.
使得|OB|=b吗?
新知探究
3.双曲线的标准方程
y
y
M
F1
O
•
F2 x
x2 y2
焦点在x轴上： 2 2 1(a 0, b 0)
a
b
焦点坐标：
F1(-c,0)、F2(c,0)
a,b,c关系： c2=a2+b2
M
F2
O
x
F1
y2 x2
焦点在y轴上： 2 2 1(a 0, b 0)
段PB为半径作圆.
（1）当点P在线段AB上运动时，如果|F1F2|>|AB|，两圆不相交，不存在
交点轨迹;
（2）如果|F1F2|<|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是 椭圆 .
l
A
双曲线及其标准方程(一)
高二年级数学教学讲义 编号_______==================================================== 备课人： 备课组长：级部主任：双曲线及其标准方程（一）学习提纲：（1） 双曲线的定义（2） 双曲线的标准方程（3） c b a 、、之间的关系（注意与椭圆的不同之处）（4） 若点P 是以21F F 、为焦点的双曲线192522=-y x 上的一点，且12||1=PF ，则||2PF =__________.（5） 双曲线的方程是161022-=-y x ，则它的两焦点的坐标____________. （6） 21F F 、分别是双曲线14522=-y x 的左右焦点，AB 是过1F 的一条弦，A 、B 均在双曲线的左支上且|AB|=10，则2ABF ∆的周长为__________. 讨论精讲：考点一：双曲线的定义例1、在ABC ∆中，)0,4(),0,4(-C B ，点A 运动时满足A C B sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹。
练习1、已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=62,5,62,5y x b y x a ，曲线1=⋅b a 上一点M 到F(7,0)的距离为11，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，则|ON|= ( )A 、211B 、221C 、21D 、221或21 练习2：求过点A （5，0）且与圆B ：36)5(22=++y x 外切的圆的圆心轨迹方程。
考点二：求双曲线的标准方程例3、求适合下列条件的双曲线的标准方程：1、经过点)2,5(-，焦点为)0,6(；2、实半轴长为32，且与双曲线141622=-y x 有公共焦点； 3、经过点)72,3(P ， )7,26(-Q 。
练习：求以椭圆191622=+y x 的两个定点为焦点，以椭圆焦点为定点的双曲线方程。
课堂练习：1、双曲线14122222=--+my m x 的焦距是___________. 2、若椭圆14222=+k y x 与双曲线1222=-y k x 有相同的焦点，则实数K 的值为___________.3、已知：方程12||522=---k y k x 的图形是双曲线，则实数K 的取值范围为___________.4、已知双曲线与椭圆1362722=+y x 有相同的焦点且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的标准方程。
2.3.1双曲线及其标准方程
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
定义 方程
| | MF1 | － | MF2 | | = 2a ( 2a ＜| F1F2
|)
x2 y2 a2 b2 1(a, b o)
x2 y2 b2 a2 1(a, b o)
图象
y
. .B
A1 o A x B1
y
. B.
A1 o A x B1
2
2
(x c)2 y2 2a (x c)2 y2
cx a 2 a (x c)2 y 2
(c2 a 2 )x2 a 2 y 2 a 2 (c2 a 2 )
令c2 a2 b2
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16
小结
1.双曲线定义及标准方程
2.焦点位置的确定方法 3.求双曲线标准方程关键（定位，定量）
例 1. 已 知 两 定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动 点 P 满 足
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
双曲线中， c 2 = a 2 + b 2。
椭圆的标准方程中，哪个二次项的分母大， 焦点就在哪个相应的轴上；
双曲线及其标准方程(1)
双曲线及其标准方程 （1） 理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的意义；能根据定义，按求 曲线方程的步骤导出双曲线的标准方程， 并能熟练写出两类标准 方程； 培养学生分析问题能力和抽象概括能力。
学会用辩证的观 点从椭圆的定义到双曲线定义的“变化”中认识其“不变”性， 并从中发现数学曲线的简洁美和对称美， 培养学生学习数学的兴 趣。
双曲线的定义和双曲线的标准方程．（ 解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出 双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．双曲线的标准方程的推导 （解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导 类比． ）教学过程：复习椭圆的定义及标准方程 7 新知探索 7双曲线 7 展示现实生活中的双曲线7 对定义的思考 7 双曲线标准方程的推导 7 课堂小结 7 作业 7 研究性学习一、 复习引入：前面我们已经学习了椭圆的有关知识， 请同学们回忆一下椭圆的定义。
问题 1：椭圆的定义是什么？（板书）平面内与两定点 F i 、F 2的距离的和等于常数（大于|F I F 2|）的点的 轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做焦距。
二、新知探索 思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么这样 点是否存在？若存在，轨迹会什么？ 2、实物拉链演示：双曲线的形成（请同学参与协助画图） （取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边的长度相等，现将 其中的一边剪掉一段（长为2a ），两端点分别固定在黑板的两个定点 F1、F2上，把粉笔放在拉链关上，随着拉链的逐渐拉开或闭合，粉教学方法： 启发式福建师大附中苏诗圣教学目标： 教学重点： 教学难点： 数学实验 7 双曲线的定义7 例与练1、笔就画出了一条曲线。
请同学们观察在变化中哪些量在变化，哪些量不变。
进作图工具？ 3、对双曲线有了初步的认识，现实生活中的双曲线的实物图(古代建筑、现代建筑、冷却塔、北京市区交通图)，这些古今中外与双曲线有关的图片给人一种对称、简洁、流畅的美的享受。
3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)(1)
2
则有 25 4
,解得 2
,双曲线的标准方程为 5 －y2＝1.
− 2 = 1
=1
2
法二∵焦点在x轴上，c＝
25
2
y2
6，∴设所求双曲线方程为 λ －6−λ＝1(其中0<λ<6)．
4
∴ λ －6−λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
2
∴所求双曲线的标准方程是 5 －y2＝1.
P到焦点F2的距离．
【错解一】
a=4，由|PF1|－|PF2|＝8，即9－|PF2|＝8，得|PF2|＝1.
【错解二】
a=4，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，
所以|PF2|＝1或17.
【错因】 错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解二没有验证两解
将P、Q两点坐标代入可得
y2
225
9
−
=1
162
2
25
256
−
=1
2
92
2
2 =9
,解得 2
,
= 16
y2
2
（三）典型例题
1.求双曲线的标准方程
例1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．
15
16
(1)经过点P(3， 4 )，Q(－ 3 ，5)．
2 y2
法二：设双曲线方程为 ＋ ＝1(mn<0)．
焦点
两个定点叫做双曲线的焦点
焦距
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
集合
语言
P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}
双曲线及其标准方程(第一课时)
【自学导引】1．我们把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程有两种情形．(1)焦点在x 轴上，标准方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，焦点F 1 (－c ，0)、F 2 (c ，0)，这里有c 2＝a 2＋b 2．(2)焦点在y 轴上，标准方程为)0,0(12222>>=-b a b x a y ，焦点F 1 (0，－c )、F 2 (0，c )，这里有c 2＝a 2＋b 2．【思考导学】1．双曲线的定义应注意差的绝对值和2a <|F 1F 2|．2．在双曲线的定义中，P 为动点．(1)若|PF 1|－|PF 2|＝2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线．(2)若|PF 1|－|PF 2|＝－2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线．(3)若|F 1F 2|＝2a 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线．(4)若|F 1F 2|<2a 时，动点的轨迹不存在．3．判定双曲线的焦点在哪条轴上，不像椭圆比较x 2、y 2的分母的大小而是看x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数为正的那条轴上．【典例剖析】［例1］已知双曲线的一个焦点坐标为F 1(0，－13)，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．解：因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为2222b x a y -＝1(a ＞0，b ＞0) ∵2a ＝24，c ＝13，∴a ＝12，c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝132－122＝25． 所以所求双曲线的标准方程为2514422x y -＝1． 点评：本例是运用待定系数法求双曲线的标准方程，即：求双曲线的标准方程就是求a 、b 的值．同时还考查了如何判断焦点所在的坐标轴及a 、b 、c 间的关系：c 2＝a 2＋b 2．［例2］在△MNG 中，已知NG ＝4．当动点M 满足条件sin G －sin N ＝21sin M 时，求动点M 的轨迹方程．解：以NG 所在的直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．∵sin G －sin N ＝21sin M∴由正弦定理，得|MN |－|MG |＝21×4∴由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以N 、G 为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴的交点)∴2c ＝4，2a ＝2，即c ＝2，a ＝1∴b 2＝c 2－a 2＝3．∴动点M 的轨迹方程为x 2－32y ＝1(x ＞0，且y ≠0)点评：求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系，动点M 的轨迹是双曲线的一支并且去掉一个点．这种情况一般在求得方程的后面给以说明，并把说明的内容加上括号． ［例3］已知双曲线的两个焦点坐标为F 1(－2，－2)、F 2(2，2)，双曲线上一点P 到F 1、F 2的距离的差的绝对值等于22，求双曲线的方程． 解：设P 点的坐标为(x ，y )∵|PF 1|＝22)2()2(+++y x ，|PF 2|＝22)2()2(-+-y x ，|PF 1|－|PF 2|＝±22， ∴22)2()2(+++y x －22)2()2(-+-y x ＝±22．将这个方程移项后，两边平方，得(x ＋2)2＋(y ＋2)2 ＝8±4222)2()2(-+-y x ＋(x －2)2＋(y －2)2，x ＋y －2＝±22)2()2(-+-y x ，两边再平方，得x 2＋y 2＋2＋2xy －22x －22y ＝x 2－22x ＋2＋y 2－22y ＋2，整理得xy ＝1为所求曲线的方程．点评：在初中我们知道函数y ＝x 1的图象是双曲线，为什么是双曲线并不清楚．通过本例知道y ＝x 1的图象满足双曲线的定义，因此它是双曲线．由于本例中的双曲线的焦点F 1(－2，－2)、F 2(2，2)不在坐标轴上，所以求得的双曲线方程不是标准方程．【随堂训练】1．在双曲线标准方程中，已知a ＝6，b ＝8，则其方程是( )A ．643622y x -＝1B ．366422y x -＝1C ．643622x y -＝1D ．643622y x -＝1或643622x y -＝1解析：∵双曲线的标准方程是2222b y a x -＝1或2222b x a y -＝1 ∴双曲线的方程是1643622=-y x 或643622x y -＝1．答案：D2．已知方程k y k x --+1122＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1＜k ＜1B ．k ＞0C ．k ≥0D ．k ＞1或k ＜－1解析：∵方程k y k x --+1122＝1表示双曲线，∴(1＋k )(1－k )＞0∴－1＜k ＜1．答案：A3．双曲线k y m x --+112222＝1的焦距是( )A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关解析：c 2＝a 2＋b 2＝m 2＋12＋(4－m 2)＝16，c ＝4，焦距2c ＝8．答案：C4．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4答案：A5．k ＞9是方程4922-+-k y k x ＝1表示双曲线的________条件． 解析：当k ＞9时，9－k ＜0，k －4＞0．方程表示双曲线．当k ＜4时，9－k ＞0，k －4＜0．方程也表示双曲线．∴k ＞9是方程4922-+-k y kx ＝1表示双曲线的充分不必要条件． 答案：充分不必要6．已知双曲线16922y x -＝1上的一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为________．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，则||PF 1|－|PF 2||＝6．设|PF 2|＝3，由3＜5知P 在右支上．∴|PF 1|＝6＋3＝9．答案：9【强化训练】1．已知点F 1(－4，0)、F 2(4，0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2的距离之差为6，则曲线的方程为( )A ．7922y x -＝1(x ＞0) B ．7922y x -＝1 C ．7922x y -＝1(y ＞0) D ．7922x y -＝1 解析：∵c ＝4，a ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝7．∴P 点的坐标应满足方程7922y x -＝1．∵|PF 1|－|PF 2|＝6．∴P 点的横坐标应大于0．答案：A2．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn ＜0，则方程的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线解析：把方程mx 2－my 2＝n 写成标准方程m ny mn x 22-＝1 ∵mn ＜0，∴m n ＜0，－m n＞0．∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线．答案：D3．双曲线91622y x -＝1上的点P 到点(5，0)的距离为15，则P 到点(－5，0)的距离是( ) A ．7B ．23C ．25或7D ．7或23解析：∵a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝25∴点(5，0)、(－5，0)是双曲线的焦点F 2、F 1．∵|PF 2|＝15，∴|PF 1|＝±8＋15即|PF 1|＝23或|PF 1|＝7．答案：D4．已知双曲线的方程为2222b y a x -＝1，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m解析：∵A 、B 在双曲线的右支上，∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a∴|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m ．答案：B5．F 1、F 2是双曲线16922y x -＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32．则∠F 1PF 2＝_________解析：设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2． 在△F 1PF 2中，由余弦定理得(2c )2＝r 12＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝21221221242)(r r c r r r r -+-＝641006436-+＝0∴α＝90°答案：90°6．已知双曲线42x －y 2＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°．则△F 1PF 2的面积是________．解析：设P 为左支上的点，F 1为左焦点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2．则②－①2得r 1r 2＝2∴21PF F S ∆＝21r 1r 2＝1．答案：17．双曲线2x 2－y 2＝k 的焦距是6，求k 的值．解：把双曲线的方程写成标准形式，ky k x 222-＝1．当k ＞0时，a 2＝2k ，b 2＝k ，由题知2k＋k ＝9即k ＝6．当k ＜0时，a 2＝－k ，b 2＝－2k ，－k －2k＝9即k ＝－6综上所述k ＝±6为所求．8．已知定点A (3，0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．解：设P 的坐标为(x ，y )∵圆C 与圆P 外切且过点A ，∴|PC |－|PA |＝4∵|AC |＝6＞4，∴点P 的轨迹是以C 、A 为焦点，2a ＝4的双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝5．∴5422y x -＝1(x ＞0)为动圆圆心P 的轨迹方程．9．过双曲线2514422y x -＝1的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离． 解：∵双曲线方程为2514422y x -＝1 ∴c ＝25144+＝13，于是焦点F 1(－13，0)、F 2(13，0)，设过点F 1的垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y >0)． ∴144251144132522=-=y ，∴y ＝1225，即|AF 1|＝1225 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24，∴|AF 2|＝24＋|AF 1|＝24＋1225＝12313故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为1225或12313．【学后反思】1．如果双曲线的焦点在坐标轴上，并且关于原点对称，那么双曲线的方程是标准的，否则是不标准的．求双曲线的标准方程就是求a 、b ，并且判断焦点所在的坐标轴．a 、b 、c 之间的关系是a 2＋b 2＝c 2．2．当P 满足0＜|PF 1|－|PF 2|＜|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的一支；当0＜|PF 2|－|PF 1|＜|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的另一支；当|PF 1|－|PF 2|＝±|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线，||PF 1|－|PF 2||不可能大于|F 1F 2|．3．已知|PF 1|求|PF 2|可以利用|PF 1|－|PF 2|＝±2a ．已知∠F 1PF 2时，往往利用余弦定理，并且对|PF 1|－|PF 2|＝±2a 进行平方．。
双曲线及其标准方程(一)
课 题：8．3双曲线及其标准方程（一）教学目的：1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力； 3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）；5．培养学生发散思维的能力教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”、“椭圆及其标准方程”之后，学习又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何中学习的重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术止有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握 而掌握好双 应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环 坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具 犹如前面学 双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起 因此我们要充分利用这节教材对学生进行好思想教育双曲线的标准方程，内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程以及课本中的例1；第二课时主要是课本中的例2、例3及几个变式例题 教学过程：一、复习引入： 1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（ 线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关2.椭圆标准方程：（1）2222=+b y a x （2）2222=+bx a y 其中22b c a +=二、讲解新课：1．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线 即a MF MF 221=-这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距 概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ”在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关2．双曲线的标准方程：根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲 过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明取过焦点21F F ，的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设P （y x ,）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c （0>c ）则 )0,(),0,(21c F c F -，又设M 与)0,(),0,(21c F c F -距离之差的绝对值等于2a （常数），a 22<{}a PF PF P P 221±=-=∴ 221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222±=+--++∴，化简，得：)()(22222222a c a y a x a c -=--，由定义c a 22< 022>-∴a c令222b a c =-∴代入，得：222222b a y a x b =-，两边同除22b a 得：12222=-by a x ，此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -， 其中222b ac +=若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在y 轴上，则焦点是),0(),,0(21c F c F -，将y x ,互换，得到12222=-b x a y ，此也是双曲线的标准方程 3．双曲线的标准方程的特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b y a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx a y (0>a ,0>b )(2)c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且0,0,0>>>c b a其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上三、讲解范例：例1 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y （1232222=-x y ） 分析：双曲线标准方程的格式：平方差，2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，2x 项的分母是2a ；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上，2y 项的分母是2a解：①是双曲线，6,2,2===c b a ；② 是双曲线，2,2,2===c b a ； ③是双曲线，6,2,2===c b a ；④是双曲线，,2,3===c b a 例 2 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=-b y a x (0>a ,0>b ) ∵102,62==c a ∴5,3==c a ∴35222=-=b所求双曲线标准方程为116922=-y x 四、课堂练习：1．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程2．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程3．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同4．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限5．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ）A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23练习答案：1. 191622=-y x ; 2. 1162022=-x y ; 3. 22525922=+y x ⇒)0,4(192522±⇒=+F y x , 151522=-y x ⇒ )0,4(111522±⇒=-F y x ; 4. D.1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线⇒Ⅳ∈⇒⎩⎨⎧><ααα0cos 0sin ,所以选D. 5. D. =⇒==-d a d 82|15|7或23 五、小结 ：双曲线的两类标准方程是)0,0(12222>>=-b a b y a x 焦点在x 轴上，)0,0(12222>>=-b a bx a y 焦点在y 轴上 c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,六、课后作业： 七、板书设计（略）八、课后记：。
43.双曲线及其标准方程(1)
1.平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常 数2a ( 2a>F1F2>0)的点的轨迹是什么？
P
F1
P F1 P F2 2 a
F2
椭圆
2.平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等 于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹是什么？
P
|PF1-PF2|= 2a (双曲线) （差的绝对值）
9
16
或
y
2
x
2
1
9
16
例题分析
例2.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)a=3,b=4,焦点在x轴上; (2)a=2 5 ,经过点A(2,-5),焦点在y轴上. (3)经过点(0,1),与椭圆
x
2
+
y
2
= 1
5
8
有相同焦点
例3.已知A,B两地相距800m，一炮弹在某处爆炸， 在A处听到爆炸声的时间比在B处迟2秒，且声速为 340米/秒(不考虑其它因素对声音的传播的影响)
F 焦点坐标：
1
焦点在y轴上
F1 ( 0 , c ) F2 (0, c )
( c , 0 ) F2 (c , 0 )
2 2
c 数量特征： a b（ a , b , c 0 )
2
M F1 M F 2 2 a
F1 F 2 2 c
F1
o
F2
(1) PF1－PF2=2a (双曲线的右支) (2) PF2－PF1=2a (双曲线的左支)
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
双曲线及其标准方程(1)
2
2
小结
1.双曲线定义及标准方程 1.双曲线定义及标准方程
2.焦点位置的确定方法 焦点位置的确定方法 3求双曲线标准方程关键（定位，定量） 求双曲线标准方程关键（定位，定量） 求双曲线标准方程关键
4.双曲线与椭圆之间的区别与联系 4.双曲线与椭圆之间的区别与联系
作 业
P54 A、2,
1 2
y
M
o
F2
x
(x + c)2 + y 2 − (x − c)2 + y 2 = ±2a
2 ± 移项平方整理得 cx -a =±a (x-c)2+y2 再次平方， 再次平方，得： (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2) 由双曲线的定义知， 由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a,故c2-a2>0, 即 故 其中b>0,代入整理得： b>0,代入整理得 令c2-a2=b2,其中b>0,代入整理得：
F2
x
y22 y 2 x -x 1 方程 a2 b2 = (a>0,b>0) x 叫做双曲线的标准方程 y
它表示的双曲线焦点在y轴上， 它表示的双曲线焦点在 轴上， 轴上 焦点为F1(0,-c),F2(0,c),且c2=a2+b2 且
M M
y x y
F F22
x y y F y y
1
o o o
F F11
(1)过点P (3, −4)、Q (4，， 5) 且焦点在坐标轴上；
7y − 9x = 31
2 2
课堂练习
变式. 变式 已知双曲线的焦点在坐 标轴上， 标轴上，
并且双曲线上两点 P1、 P2的坐标分别 9 ( 5 为( 3,−4 2 )、 ，)，求双曲线的标准 4 方程 .
双曲线及其标准方程
x y a b
2
2
1(a 0, b 0)
x
9
2
y
2
16
1
例2: 求适合下列条件的双曲线的标准方程。
廓就是双曲线。
下面我们来做个实验：
• 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边 上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔 尖放在M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔 尖所经过的点在画一条曲线，请思考是什么样 的曲线？
这条曲线是满足下面条件的点的集合： ①如图(A)
|MF1|-|MF2|=2a
②如图(B)
|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
上面两条曲线合起来叫做 双曲线。 你能不能类别椭圆的定义，给双曲线下定义呢？
二、双曲线的定义
• 平面内与两定点F1`F2的距离的差的绝对值等 于常数（小于|F1F2| ）的点的轨迹叫做双曲 线。 • 这两个定点叫做双曲线的焦点（F1和F2） • 两焦点的距离叫做双曲线的焦距（ |F1F2| ）
M
焦点在y轴上： y M F2
F1
O
F2
x
x
O
F1
x y 2 1(a, b 0) 2 a b
2
2
y2 x2 2 1(a, b 0) 2 a b
如何判断双曲线的焦点的位置
？
x2项的系数为正，则焦点在x轴上；而
y2项的系数为正，则焦点y在轴上。
第1课时 双曲线及其标准方程(1)
平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离的 差的绝对值等于常数（小于 |F1F2| ）的 点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做 双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双 曲线的焦距．
思考5:若把双曲线定义中的常数记为2a, 如何用集合语言表述双曲线的定义特征？
M F1 F2
P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，2a＜|F1F2|}
2.在椭圆中，c2＝a2－b2，a是老大，b、c的 大小关系不定； 在双曲线中，c2＝a2＋b2，c是老大，a、b的 大小关系不定.
3.双曲线的标准方程的外在形式与其焦点所 在坐标轴有关,由方程分析有关性质时,一般 先将方程化为标准方程,再确定a、b、c的值.
(±C,0)
(0,±C)
2
2
2
c2=a2+b2,c最大,a,b大小不确定.
迁移运用
例 1. 已 知 双 曲 线 两 个 焦 点 分 别 为 F1( － 5， 0) ， F2(5， 0) ，双曲线上一点 P到点F1，F2的距离之差的绝对值等于6， 2 求双曲线的标准方程. x 2 y
9
-
16
=1
例2.已知双曲线过点P(－5，2)，一 个焦点为F1( 6, 0) ，求双曲线的标准方 2 程. x 2
5
- y =1
x y 例3.若方程 1 表示的曲线是 k 5 k 2
2
2
双曲线，求k的取值范围.
例4.已知双曲线 8kx - ky = 2 的一个
3 焦点为 (0, ) ，求k的值. 2
2
2
k＝－1
小结作业 作业：P55练习：1，2，3.
1.双曲线与椭圆的定义和标准方程虽然有一 些相似之处，但它们的图形却大不相同，二 者有着本质的区别.
双曲线及其标准方程一
• 建系：如图建立直角坐标系
xOy，使x轴经过点F 1，F 2，
并且点O与线段F1F2中点重
合.
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦 距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
y M
F
1
O
F
2
x
4
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双曲线及其标准方程(一)
3.列式: MF1 MF2 2a即 (xc)2y2(xc)2y2 2a
方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点， 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。
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y
y
M
FO
1
F2 x
O
x
方案一
方案二
x2 a2
yபைடு நூலகம் b2
1
y2 a2
x2 b2
1
(a0， b0)
6
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双曲线及其标准方程(一)
y
x2 y2 a2 b2 1
FO
F ( ±c, 0) 1
M
F2 x
y
O
x
y2 a2
x2 b2
1
F(0, ± c)
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
(二次项系数为正,焦点在相应的轴上)
§2.3.1 双曲线及其标准方程(一)
探求轨迹:
平面内到两个定点F1、F2的距离 的差的绝对值等于常数2a的动点的轨
迹是怎样的图形？
M
⑴当 0< 2a F1F2 时,轨迹是 F 1
F2
⑵当 2a F1F2 时,轨迹是 两条射线
双曲线及其标准方程(一)
人教版高中数学第二册（上）8.3 双曲线及其标准方程（一）教学目标：（1） 知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准方程；（2） 过程与方法：通过定义及标准方程的深刻挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比发现及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；（3） 情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。
教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用教学难点：双曲线定义中关于绝对值，2a<2c 的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体 ， 一根拉链，小夹子 教学过程： 一、复习提问 师：椭圆定义是什么？生：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆。
（幻灯片展示椭圆图形及其定义）二、新课引入 1、设问师：平面内与两个定点21,F F 的距离之差等于常数的点的轨迹是什么？学生思考（老师在黑板上画出两个点21,F F ,使F 1在左侧,F 2在右侧.记21F F =2c,2c>0）。
师： 在椭圆里到两个定点的距离的和这个常数是正数，那么，平面内到两定点的差这个常数还一定是正数吗生：不一定。
师：可能是什么数呢？（学生甲回答：是正数，负数或零） 师：当常数是零时动点的轨迹是什么？生：是线段F 1F 2的中垂线。
老师做出21,F F 的中垂线。
师：当常数是正数时的点的位置在什么地方？ 生：在线段F 1F 2的中垂线的右侧。
师：当常数是负数时的点的位置在什么地方？生：在线段F 1F 2的中垂线的左侧。
师：平面内与两个定点21,F F 的距离之差等于非零常数的点的轨迹到底是是什么呢？我们一起做一个实验来探索。
2、实验：（师生共同完成） 道具：一根拉链具体做法：老师在拉开的拉链两侧各取一点打结（实验前已经测量好，使两结之间的距离小于两定点间的距离），请两位同学协助将两点分别固定在定点F 1，F 2处，使拉链头在21,F F 的上方。
2.3.1双曲线及其标准方程(一)
①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
焦点在 轴上时为： ( , )；
焦点在 轴上时为： ( , )
方程 就不能肯定焦点在哪个轴上；由于 的大小关系判断焦点在那个坐标轴上。
② 有关系式 成立，且
其中a与b的大小关系:可以为
问题7：如何从分母的系数来判断双曲线的位置？
焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母 、 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即 项的系数是正的，那么焦点在 轴上； 项的系数是正的，那么焦点在 轴上
即:
（4）化简方程
由一位学生板演，教师巡视。化简，整理得：
移项两边平方得
两边再平方后整理得
由双曲线定义知
这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0），
问题6：思考:双曲线的焦点F1（0,－c）、F2（0,c）在y轴上的标准方程是什么?
学生得到:双曲线的标准方程: .
3.情感、态度与价值观
(1)学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；
(2)培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
教学重点
双曲线的定义和标准方程。
教学难点
双曲线标准方程的推导。
教学方法
对比法、数形结合。
教学过程：
批注
活动一：创设情景、引入课题（5分钟）
回忆前面几节课学习，说一说椭圆的相关知识？
课题：2.3.1双曲线及其标准方程（一）总第个教案
课型：新授课上课时间：年月日星期____
教
学
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双曲线及其标准方程（一）
教学目的：
1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．通过对双曲线标准方程的推导，提升学生求动点轨迹方程的水平； 3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；
4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）； 5．培养学生发散思维的水平
教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用
教学难点：
教 具：多媒体 教学过程： 一、复习引入： 1 椭圆定义：
平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭
圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
2.椭圆标准方程：
（1）2222=+b y a x （2）2222=+b
x a y 其中22b
c a +=二、讲解新课：
1．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于2
1F F ）的动点的轨迹叫双曲线
即
a MF MF 221=-
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距
概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于2
1F F ”
2．双曲线的标准方程：
根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证
明
12
222=-b y a x ，此即为双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -，其中222
b a c
+=
若坐标系的选择不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在
y 轴上，则焦点是),0(),,0(21c F c F -，将y
x ,互换，得到122
22=-b
x a y ，此也是双曲线的标准方程
3．双曲线的标准方程的特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：
焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：122
22=-b y a x (0>a ,0>b )；
焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：122
22=-b
x a y (0>a ,0>b )
(2)c b a ,,相关系式222
b a c
+=成立，且0
,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系有三种情况。
4.焦点的位置：从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2
x 、2
y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即
2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上
5.双曲线与椭圆之间的区别与联系 三、讲解范例：
例1 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F -，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程
变题1：将条件改为双曲线上一点P 到
1F ,2F 的距离的差等于6,如何?
变题2：将条件改为双曲线上一点P 到1F ,2F 的距离的差的绝对值等于10,如何? 例2
四、课堂练习： 五、小结 ：
1、双曲线的两类标准方程是)0,0(12222>>=-b a b y a x 焦点在x 轴上，)0,0(122
22>>=-b a b
x a y 焦点
在
y 轴上 c b a ,,相关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系：能够为
a b a b a ><=,,
2、焦点位置的确定方法。
3、求双曲线标准方程的关键。
4、双曲线与椭圆之间的区别与联系。
六、课后作业：习题8.3 2.3。