2.3.1 双曲线及其标准方程
2.3.1双曲线及其标准方程
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
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预习引导
2.双曲线的标准方程
焦点在 x 轴上 标准方程 焦点坐标 a,b,c 的关系
x2 a2
焦点在 y 轴上
y2 a2
− 2=1(a>0,b>0)
b
y2
− 2=1(a>0,b>0)
b
x2
(± c,0) c2=a2+b2
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KETANG HEZUO TANJIU
问题导学
当堂检测
这两点与椭圆的定义有本质的不同,若|PF1|-|PF2|=2a<|F1F2|,点 P 的轨迹仅为双曲线焦点 F2 这一侧的一支,若|PF2|-|PF1|=2a<|F1F2|,点 P 的轨迹仅为双曲线焦点 F1 这一侧的一支,而双曲线是由两个分支组成 的,故定义中应为“差的绝对值”.
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:根据双曲线的定义,乙⇒ 甲,但甲 乙,只有当 0<2a<|F1F2|时, 其轨迹才是双曲线.
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KEQIAN YUXI DAOXUE
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问题导学
当堂检测
根据双曲线的定义判断动点轨迹时,一定要注意双曲线的定义中 的各个条件,不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数 , 就认为其轨迹是双曲线,还要看该常数是否小于两个已知定点之间的 距离且大于零,否则就不是双曲线.
课前预习导学
2.3.1 双曲线及其标准方程1
2.3 双曲线2．3.1 双曲线及其标准方程整体设计教材分析“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后，学习的又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用，也是大纲中明确要求学生必须熟练掌握的重要内容．双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教科书的处理方法也相仿，也就是说，本小节在数学思想和方法上没有新内容，因此，这一小节的教学可以参照第2.2.1节进行．教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点．课时分配本节内容分两课时完成．第1课时讲解双曲线的定义，要求学生类比椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程；第2课时讲解运用双曲线的定义及其标准方程解题．第1课时教学目标知识与技能使学生掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导过程，能根据条件确定双曲线的标准方程．过程与方法在与椭圆的类比中，掌握双曲线的标准方程的推导方法，增强合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力．情感、态度与价值观发挥类比的作用，与椭圆形成对比，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，通过引入b2，使方程形式更对称、简洁，无疑会让学生感到数学的特殊魅力，增强学生学习数学的浓厚兴趣．重点难点教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．教学难点：双曲线标准方程的推导.教学过程复习引入1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2.椭圆的标准方程(1)焦点在x 轴x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a>b>0)； (2)焦点在y 轴y 2a 2＋x 2b 2＝1，(a>b>0)． 3．a 、b 、c 之间有何种关系？a 2＝c 2＋b 2.探究新知探究：如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？用几何画板演示拉链的轨迹：(A) (B)活动成果：以上两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．下面请同学们思考以下问题：设问：①定点与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？②两条曲线中到“两定点的距离的差”有什么关系？③这个常数是否会大于或等于两定点间的距离？(几何画板演示当常数等于|F 1F 2|及常数大于|F 1F 2|时的点的轨迹，帮助学生理解)请学生回答：1.不能．指出必须“在平面内”．2．到两定点的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，且到两定点的距离的差的绝对值为一个常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a.3．应小于两定点间距离且大于零．当常数等于|F 1F 2|时，轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线；当常数大于|F 1F 2|时，无轨迹．活动设计：小组讨论，实验演示，通过提出问题，让学生讨论问题，并尝试解决问题．让学生了解双曲线的前提条件，并培养学生的全面思考能力．感受曲线，解读演示得到的图形是双曲线(一部分)．提出问题：类比椭圆的定义，给出双曲线的定义．活动设计：学生先独立思考，教师加以引导，与椭圆有一个类比，允许学生自愿合作、讨论、交流．学情预测：学生的回答可能不全面、不准确，我们可以用几何画板演示学生的回答，让他们发现问题，然后不断补充、纠正，趋于完善．活动成果：师生共同概括出双曲线的定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(在归纳定义时强调定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数、常数小于|F 1F 2|且大于零)下面我们类比椭圆方程的推导，选择适当的坐标系，建立双曲线方程．为今后通过方程研究双曲线的性质做好准备．提出问题：求椭圆方程的步骤是什么？。
2.3.1-1-双曲线及其标准方程
(1) 焦点在x轴上时,
x2 a2
y2 b2
1(a
0，b 0)
焦点F1(c,0), F2(c,0)
(2) 焦点在y轴上时,
y2 a2
x2 b2
1(a
0，b 0)
焦点F1(0,c), F2(0,c)
y
M
F1 O F2 x
y M
F2
x
O
F1
例1. 已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线
y2 x2 a2 b2 1
双曲线的标准方程的再认识：
（1）双曲线的标准方程形式是: 左边是两个分式的差，两个 分式的分子是x2、y2，分母都是正数；右边是1；
（2）在双曲线的标准方程中,被减分式的分母为a2，减分式的 分母为b2;若被减分式所含的未知数为x(y)，则焦点在 x(y)轴上.
练习:
已知双曲线的方程为：16x2-9y2+144 = 0 , (1) a =___4__，b =___3____，c =___5____， 两焦点坐标为：_(0_,_-_5)_,__(0_,_5_) ; (2)若双曲线上一点P到一个焦点的距离为2, 则点P到另一个焦点的距离等于__1_0___，
例1 . 已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线
解: 如图所示，取直线AB为x轴, 线段AB的垂直平分线为
y轴, 建立直角平分线.
设爆炸点P的坐标为(x,y),则
y
P
PA PB 340 2 680 所以,爆炸点P的轨迹是以A、B 为焦点的双曲线的右支.点的轨迹方程为
x2
y2
1( x 0)
115600 44400
2.3.1双曲线及其标准方程
复习与问题
1、椭圆的定义是什么？
平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常 数（大于 大于 |F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆。
M M
F1
F2
思考
问题1 到平面上两定点
F1，F2的距离之差为非零 常数的点的轨迹是什么?
P= P= {M {M ||| |MF |MF ||| MF | MF | |=2 2a } 11 2|2= P= {M ||MF | -F | MF 2| =－2a } 平面内与两个定点 F1 ， 的距离的差的绝对值等于常
因此，在应用定义时，首先要考查 2a与2c的大小
பைடு நூலகம்
.
双曲线的标准方程
1. 建系设点. 以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的 垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系 焦点F1,F2的坐标分别为F1(-c,0),F2(c,0) 设M(x,y) 2.找几何条件． |MF1| - |MF2|=±2a 3.点坐标带入列出方程
x y y F
y
M M
1
o o o
F11 F
x x
x F 2
y
x
x
问题1：双曲线的标准方程与椭圆的标准 方程之间的区别与联系？ 椭 定义 方程 圆 双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
x2 y 2 1 所求双曲线的方程为： 9 16
例题分析
例1. 已知 F1 (5, 0), F2 (5, 0) , 动点 P 到 F 1、F2 的 距离之差的绝对值为6，求点 P 的轨迹方程. 所求轨迹的方程为：
2.3.1双曲线及其标准方程
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
定义 方程
| | MF1 | － | MF2 | | = 2a ( 2a ＜| F1F2
|)
x2 y2 a2 b2 1(a, b o)
x2 y2 b2 a2 1(a, b o)
图象
y
. .B
A1 o A x B1
y
. B.
A1 o A x B1
2
2
(x c)2 y2 2a (x c)2 y2
cx a 2 a (x c)2 y 2
(c2 a 2 )x2 a 2 y 2 a 2 (c2 a 2 )
令c2 a2 b2
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16
小结
1.双曲线定义及标准方程
2.焦点位置的确定方法 3.求双曲线标准方程关键（定位，定量）
例 1. 已 知 两 定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动 点 P 满 足
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
双曲线中， c 2 = a 2 + b 2。
椭圆的标准方程中，哪个二次项的分母大， 焦点就在哪个相应的轴上；
初中数学：2.3.1双曲线及其标准方程
三、将几何条件化为 代数条件。
根据两点的间的距离公式得：
四、化简
代数式化简得：
因为三角形F2PF1的两边之 差必小于第三边，所以 2a<2c, a<c, a2<c2, c2-a2>0 于是令：c2-a2=b2 代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
立体几何课件
2.2.1 双曲线的 定义及标准方程
1、求曲线方程的步骤
一、建立坐标系，设动点的坐标； 二、找出动点满足的几何条件； 三、将几何条件化为代数条件； 四、化简，得所求方程。
2、椭圆的定义
到平面上两定点F1，F2的距离之和（大于 |F1F2|）为常数的点的轨迹
3、椭圆的标准方程有几类？
C2=a2+b2
思考 如果双曲线的焦点在y轴上，焦点的
方程是怎样？
C2=a2+b2
双曲线的标准方程
C2=a2+b2
图像1 图像2
[练习一] 判断下列各双曲线方程焦点所 在的坐标轴；求a、b、c各为多少？
[练习二]写出双曲线的标准方程
1、已知a=3,b=4焦点在x轴上，双曲线的
标准方程为
。
2、已知a=3,4焦点在y轴上，双曲线的
[两类]
[思考]
到平面上两定点F1，F2的距离之差（小于 |F1F2|）为常量的点的轨迹是什么样的图 形?
看图
双曲线标准方程的推导
一、建立坐标系；设动 点为P(x,y)
注：设两焦点之间的距离 为2c(c>0), 即焦点F1(c,0),F2(-c,0)
二、根据双曲线的定 义找出P点满足的几 何条件。
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[布置作业]
2.3.1双曲线及其标准方程
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.3.1
小结
(1) 双曲线标准方程的求解方法是 “ 先定型，后计
算”． 先看焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴，从而设出 相应的标准方程． (2)在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨 论，或可直接设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1 (AB<0)． x2 y2 (3)与双曲线 2－ 2＝1 共焦点的双曲线的标准方程可设为 a b x2 y2 2 2 － ＝ 1( － b < λ < a )． a2－ λ b2＋ λ
点建立平面直角坐标系． (2)设点：设 M(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的 焦点坐标为 F1(－c,0)，F2(c,0)． (3)列式：由|MF1|－|MF2|＝± 2a， 可得 x＋c2＋y2－ x－c2＋y2＝± 2a. 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为 x2 y2 － ＝1 (a>0，b>0)． a2 b2 ① (4)化简： 移项， 平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．
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2.3.1
问题 4 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列 各条件下点 P 的轨迹是什么图形？ (1)| x＋52＋y2－ x－52＋y2|＝6； (2) x＋42＋y2－ x－42＋y2＝6.
解 (1)∵| x＋52＋y2－ x－52＋y2|表示点 P(x，y) 到两定点 F1(－5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值， |F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|， 故点 P 的轨迹是双曲线．
2.3.1 双曲线及其标准方程 课件(共23张ppt)
o
x
因 为 PA PB 340 2 680 0,所 以 x 0.
因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为
x2 y2 1( x 0). 115 600 44 400
【举一反三】 1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点 的轨迹是什么? 解: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.
X
离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.
问题2：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距
离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？
即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常
数的点的轨迹 ”是什么？
看图分析动点M满足的条件： ①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F| =2a. ②如图(B)，
解:
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A，B两点在x
轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
PA PB 340 2 680，
y
A
P B
即 2a=680，a=340. 又 AB 800，
所以 2c=800,c=400,
b2 c 2 a 2 44 400，
3.列式 由定义可知，双曲线就是集合： P= {M
|||MF1
| - | MF2|| = 2a },
即
( x c )2 y 2 ( x c )2 y 2 2a .
2
4.化简 代数式化简得：(c 2 a 2) x 2 a 2 y a 2(c 2 a 2)，
两 边 同 除 以 a 2 ( c 2 a 2 ), 得
x2 y2 2 1. 2 2 a c a
第2章2.3.1 双曲线及其标准方程
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
(2)如图，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，且三内角 A，B，C 满足 2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹 方程．
【思路分析】 建立坐标系后利用正弦定理与双曲线的定义确 定轨迹方程．
第17页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
第2页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
(1)距离之差的绝对值．若没有“绝对值”，则动点的轨迹是 双曲线的一支．当|MF1|－|MF2|＝2a 时，曲线仅表示焦点 F2 所对 应的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点 F1 所对应 的一支．
(2)0＜2a＜|F1F2|.当 2a＝|F1F2|时，则动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线；当 2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在；当 2a＝0 时，动点的轨迹是线段 F1F2 的中垂线．
第13页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 (1)∵| （x＋5）2＋y2－ （x－5）2＋y2|表示点 P(x，y)到两定点 F1(－5，0)、F2(5，0)的距离之差的绝对值，|F1F2| ＝10，
∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|， 故点 P 的轨迹是双曲线． (2)∵ （x＋4）2＋y2－ （x－4）2＋y2表示点 P(x，y)到两 定点 F1(－4，0)、F2(4，0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2| ＝6<|F1F2|，故点 P 的轨迹是双曲线的右支．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
第12页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
2.3.1《双曲线及其标准方程》课件(人教A版选修2-1)
5.（2010·厦门高二检测）经过双曲线 x2 -y2 =1 的左焦点，
3
且与直线x+y=0垂直的直线方程是________. 【解析】由双曲线方程可知a= 3,b=1, ∴c= 3+=12, ∴左焦点为（-2，0）, 又∵直线与x+y=0垂直,∴斜率k=1. ∴所求方程为y=x+2，即x-y+2=0. 答案：x-y+2=0
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.已知椭圆x2+2y2=32的左、右两个焦点分别为F1，F2，动点P 满足|PF1|-|PF2|=4. 求动点P的轨迹E的方程.
【解析】由椭圆的方程可化为
x2 32
+
1y得62 =|1F1F2|=2c=
=8,
2 32-16
|PF1|-|PF2|=4<8. ∴动点P的轨迹E是以F1（-4，0），F2（4，0）为焦点， 2a=4,a=2的双曲线的右支，
∴a=1,b= 2,得c=
2
a2 +b2 = 12 +( 2 )2 = 6 , 22
∴它的右焦点坐标为 ( 6,,故0)C正确.
2
2.（2010·豫东高二检测）若双曲线
x2 m2 -4
-
y2 m+1
=1的焦点在y
轴上，则m的取值范围是( )
（A）（-2，2）
（B）（-2，-1）
（C）（1，2）
（D）（-1，2）
答案：x2 - y2(=x1≥2)
45
45
4.（15分）如图，圆x2+y2=4与x轴相交于 A、B两点，以AB为焦点，坐标轴为对称 轴的双曲线与圆在x轴上方相交于C、D两 点，当梯形ABCD的周长最大时，求此双 曲线方程.
课件12：2.3.1 双曲线及其标准方程
核心必知
1．预习教材，问题导入
(1)观察教材，思考下列问题：
①在点 M 移动的过程中，|MF1|－|MF2|的值发生变化吗？
提示： 不变.|MF1|－|MF2|＝|FF2|
．
②动点 M 的轨迹是什么？
提示： 双曲线 ．
(2)利用教材所建立的坐标系，类比椭圆标准方程的
类题·通法
(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首 先要注意定义中的条件||PF1|-| PF2|| ＝2a的应用；其 次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式 等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些 变形技巧的应用．
练一练 2．已知双曲线x92－1y62 ＝1 的左、右焦点分别是 F1、F2， 若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2 的面积．
练一练
3．如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2： (x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆 圆心M的轨迹方程．
解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1； 圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4. 设动圆M的半径为R，
(2)双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在 x 轴上 焦点位置 焦点在 x 轴上
a，b，c 的 关系
焦点在 y 轴上 焦点在 y 轴上
c2＝a2＋b2
问题思考
(1)双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差 的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ 提示： 双曲线的一支 ．
(2)在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么 “常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时， 动点的轨迹是什么？ 提示：①如果定义中常数等于|F1F2|，此时动点的轨迹 是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)． ②如果定义中常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在． ③如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂 直平分线．
2.3.1 双曲线及其标准方程
探 究
这两个定点F1、F2叫做 双曲线的焦点，两焦点 间的距离叫做双曲线的 焦距（2c）
M
O
F1
F2
x
思 考
你还记得求椭圆方程时如何建立直角坐标 系吗？那么求双曲线方程怎样建系？
解：如图建立直角坐标系,则F1(-c,0)，F2(c,0).设M(x,y) ||MF1|-|MF2||=2a. 是双曲线上任意一点，则：
东莞市樟木头中学 李鸿艳
目标 重点 难点
掌握双曲线的定义和标准方 程，以及标准方程的推导； 培养学生分析、归纳、推理 等能力
双曲线的定义和双曲线的标准方 程 在与椭圆的类比中获得双曲线的 知识，从而培养学生分析、归纳、 推理等能力
观察动画 ，类比椭圆定义，总结双曲 线定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值(2a) 等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
A O B
x
x2 y2 所以爆炸点的轨迹方程为： 1 ( x 0) 115600 44400
注意
从实际问题中建立数学模型。
x2 y 2 1、已知椭圆的方程为 1，以此椭圆的顶点为焦点 9 16 的双曲线过度椭圆的顶点，求此双曲线的的标准方程. 2、求下列动圆的圆心M的轨迹方程： ①与⊙C:(x+2)2+y2=2内切，且过点(2,0)； ②与⊙C1:x2 +(y-1)2=1和⊙C2:x2 +(y-1)2=4都外切； ③与⊙C1: (x+3)2+y2=9外切，且与⊙C2: (x-3)2+y2=1内 切．
解析：这表面上看是圆的相切问题，实际上是双 曲线的定义问题．具体解：设动圆M的半径为r， 消参法求解．
双曲线的
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2.3.1双曲线及其标准方程课件人教新课标
叫做双曲线。 记：
F 焦距为 2c(c 0)，那么 焦点
F1(c,0), F2 (c,0)
1
常数=2a, F1F2 =2c
又设点 M 与 F1, F2 的差的
绝对值等于常数 2a 。
y
M
o F2 x
MF1 MF2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
化简得 (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2)
记：
常数=2a, F1F2 =2c 2、若常数2a=0,轨迹是什么?
垂直平分线
3、若2a= F1F2 轨迹是什么？ 两条射线
25 9
的一个交点为P，F1是椭圆 的左焦点， 求 PF1 。
(2)焦点在 y 轴上
c2 a2 b2
◆小结： ◆作业：习题2．３：1、２
Hale Waihona Puke 1、定义：使 x轴经过两焦点 F1, F2 ，y
平面内与两定点F1， F2的距离的差的绝对
轴为线段F1, F2 的垂直平分线。
值等于常数（小于
F1F2 ）的点的轨迹 设 M (x, y)是双曲线上任一点，
1、定义：
平面内与两定点F1，
x F2的距离的差的绝对 使
值等于常数（小于
轴经过两焦点 F1, F2 ，y
F1F2 ）的点的轨迹 轴为线段F1, F2 的垂直平分线。
叫做双曲线。
F 2、双曲线的标准方程 设 M (x, y)是双曲线上任一点， 1
(1)焦点在 x 轴上
焦距为 2c(c 0)，那么 焦点
2、双曲线的标准方程
(1)焦点在 x 轴上
思考：如果A，B两处同时听到爆炸声， 那么爆炸点在什么曲线上？为什么？
(2)焦点在 y 轴上
2.3.1双曲线及其标准方程
例3、已知A,B两地相距800m，在A地听
到炮弹爆炸声比B在地晚2s，且声速为 340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.
x y 练习：若 1 表 m2 5m 示双曲线，求实数m的取值范围。
2
2
x y 例3：已知双曲线 1 9 16 的左、右焦点为F1，F2，点P 在双曲线上，∠F1PF2=60°， 求△F1PF2的面积。
一、复习回顾：
1、椭圆的第一定义
2、椭圆的标准方程 思考： 若改为“到两定点的距离差为 常数”，这样的点的轨迹怎样？方 程又怎样？
思考：|MF1| 和|MF2|哪个 大？
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的 绝对值是常数 （2a，a＞0且小于|F1F2|） 的点的轨迹
二、双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的 绝对值是常数（2a，a＞0且小于|F1F2|） 的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，
2
2
两个焦点的距离|F1F2|叫做双曲线的焦距。
定义 图象
MF1 MF2 2a， 0 2a F1F2
方程
x y 2 1 1 2 a b
2
2
焦点 a.b.c的 关系
F c,0
F 0, c
2
c a b
2 2
谁正谁是 a
思考： 1）当2a=|F1F2|时，动点M的轨迹是什么？ 动点M的轨迹是分别以点F1、F2为端点， 方向指向F1F2外侧的两条射线． 2）当2a>|F1F2|时，动点M的轨迹是什么？ 动点M的轨迹不存在. 3）若常数2a=0,轨迹是什么? 线段F1F2的垂直平分线
（4）定义中绝对值去掉有什么 变化？
（5）双曲线和椭圆有何不同之处？
2.3.1双曲线及其标准方程
文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
1如有帮助欢迎下载支持2.3.1 双曲线及其标准方程富源县第六中学 董云【学习目标】 1．记住双曲线的定义及标准方程的形式； 2．会求给定条件下的双曲线的标准方程．【学习重点】双曲线的定义与标准方程的形式.【学习难点】双曲线标准方程的推导与化简【使用说明及学法指导】带着教材助读设置的问题，阅读并探究课本4845-P P 的内容（15min ），完成学案自主学习部分（15min ）.将预习中不能解决的问题标记出来，并写到后面“我的疑问”处.自主学习一、教材助读问题1：椭圆定义与双曲线定义的区别是什么？问题2：分别写出焦点在x 轴上、y 轴上的双曲线的标准方程.已知方程，如何判断焦点的位置？ 问题3：点P 是双曲线上任意一点，1F 、2F 为其焦点，你能得到怎样的关系式？二、自学检测1.已知)0,2()0,2(-N M 、，动点P 满足PM -PN =2，则动点P 的轨迹是 ，轨迹方程为 . 2.已知双曲线116-922=y x ，则a = ，b =，c = ，交点坐标为 和合作探究基础知识梳理1.定义：我们把 叫做双曲线,而这个常数通常用a 2表示，这两个定点21,F F 叫做双曲线的两个焦点之间的距离叫做双曲线的 ，通常用 c 2（0>c）表示，双曲线用集合表示为：定义中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ”注：如果的系数是正时，那么焦点在轴上；2如果2y 的系数是正时，那么焦点在y 轴上.探究一求下列双曲线的标准方程： （1）10,14==+c b a（2）经过两点(7,A --，B ．规律方法总结： 探究二点,A B 的坐标分别是(5,0)-，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们斜率之积是49，试求点M 的轨迹方程式，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状．规律方法总结：探究三反馈练习1. 双曲线的两焦点坐标是)0,3(1F ，)0,3(2-F 42=b ，则双曲线的标准方程是( ) A.x 25－y 24＝1 B.y 25－x 24＝1C.x 23－y 22＝1D.x 29－y 216＝1 2. 椭圆14222=+a y x 与双曲线12-22=y a x 有相同的焦点，则a 的值是( ) A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1 3. 已知双曲线的焦点在x 轴上，且9=+c a ，3=b ，则它的标准方程是________．4.已知双曲线221169x y -=的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为5.求与椭圆152522=+y x 有共同焦点且过点（2,23）的双曲线的标准方程。
§2.3.1 双曲线及其标准方程
§2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标1．理解双曲线的概念和双曲线的标准方程的推倒过程，掌握双曲线方程标准式。
2．会根据已知条件求双曲线的标准方程。
重点：双曲线的定义和标准方程。
a 难点：双曲线方程的推倒。
a 学习过程 一：知识回顾复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程．二：自主学习新知1：双曲线的定义把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。
两定点12,F F 叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ． 反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 2a >12F F 时，轨迹是20a =时，轨迹是_____________________练一练：已知(2,0),(2,0),4M N PM PN --= 则动点P 的轨迹是（ ）（A ）双曲线 (B) 双曲线左边一支 （C ）一条射线 （D ）双曲线边一支新知2：双曲线的标准方程： 1.双曲线标准方程的推导： （1）建系 （2）设点 （3）限制条件 （4）列式（5）化简方程 22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点在x 轴）其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？探究1：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点是在x 轴上还是在y 轴上？判断：221169x y -=与221169y x -=的焦点位置？ 结论：探究2：方程221x y m n+=，当参数,m n 的取值怎样时，方程分别表示焦点在x 轴上与焦点在y 轴上双曲线？ 针对训练：1.求a=4，b=3，焦点在x 轴上双曲线方程2.双曲线12322=-y x 的焦点坐标是（ ）A 、（0,5±） B 、（5,0±）C 、（0,1±） D 、（1,0±） 3.已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围是三：典型例题例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．针对训练：1.求适合下列条件的双曲线的标准方程 （1）焦点为（0，-6），（0，6），且经过点（2，-5)。
第二章 2.3.1 双曲线及其标准方程
§2.3双曲线2．3.1双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．知识点一双曲线的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}．3．焦点：两个定点F1，F2.4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.知识点二双曲线标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)焦点(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b21．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．() 2．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()3．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．() 4．在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．()题型一 求双曲线的标准方程例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a ＝4，经过点A ⎝⎛⎭⎫1，－4103；(2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22)； (3)过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5且焦点在坐标轴上．反思感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂．若双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m ，n ，避免了讨论，从而简化求解过程．跟踪训练1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，10)．题型二 双曲线定义的应用命题角度1 双曲线中的焦点三角形问题 例2 若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)如图，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． 引申探究将本例(2)中的条件“|PF 1|·|PF 2|＝32”改为“∠F 1PF 2＝60°”，求△F 1PF 2的面积．反思感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式12PF F S △＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．(2)方法二：利用公式12PF F S △＝12×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．跟踪训练2 已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．命题角度2 利用定义确定与双曲线有关的轨迹方程例3 在△ABC 中，已知|AB |＝42，A (－22，0)，B (22，0)，且内角A ，B ，C 满足sin B －sin A ＝12sin C ，求顶点C 的轨迹方程．反思感悟(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．跟踪训练3 如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．双曲线在生活中的应用典例 “神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心(记A ，B ，C )，A 在B 的正东方向，相距6千米，C 在B 的北偏西30°方向，相距4千米，P 为航天员着陆点．某一时刻，A 接收到P 的求救信号，由于B ，C 两地比A 距P 远，在此4秒后，B ，C 两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A 处发现P 的方位角．[素养评析] 利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：(1)建立适当的坐标系； (2)求出双曲线的标准方程；(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题． 注意：①解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用．②实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．直线D ．一条射线2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A ．1B ．1或－2C ．1或12D.123．过点(1,1)，且ba＝2的双曲线的标准方程是( )A.x 212－y 2＝1 B.y 212－x 2＝1 C ．x 2－y 212＝1 D.x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2为其两个焦点，若过焦点F 1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为( )A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m5．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________．1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式求解．一、选择题1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫62，0 C.⎝⎛⎭⎫52，0 D ．(3，0) 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 3．已知双曲线x 2a －3＋y 22－a＝1，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a 等于( )A.32 B ．5 C ．7 D.124．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为10，则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为( )A ．3或7B ．6或14C ．3D ．75．“mn <0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B.x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 7．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．椭圆D ．双曲线8．若双曲线x 2n －y 2＝1(n >1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．1 B.12 C ．2 D ．4二、填空题9．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是________．10．若曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为________．11．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________． 三、解答题12．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．13．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．14．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.3215．已知△OFQ 的面积为26，且OF →·FQ →＝m ，其中O 为坐标原点． (1)设6<m <46，求OF →与FQ →的夹角θ的正切值的取值范围；(2)设以O 为中心，F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ，如图所示，|OF →|＝c ，m ＝⎝⎛⎭⎫64－1c 2，当|OQ →|取得最小值时，求此双曲线的标准方程．。
高中数学人选修2-1第二章 2.3.1 双曲线的标准方程
[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
思考：
方程 x2 y2 1表示焦点在y轴
2m m1
双曲线时，则m的取值范围__________.
[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
思考：
方程 x2 y2 1表示焦点在y轴
2m m1
双曲线时，则m的取值范围___m_<_－__2___.
(3) 若2a=0,则轨迹是什么？
思考：
(1) 若2a=2c,则轨迹是什么？ 两条射线
(2) 若2a>2c,则轨迹是什么？ 不表示任何轨迹
(3) 若2a=0,则轨迹是什么？ 线段F1F2的垂直平分线
双曲线的标准方程
双曲线的标准方程 1. 建系.
y
以F1,F2所在的直线
x
为x轴，线段F1F2的中点
变式训练1：已知两定点F1(－5, 0)、
F2(5, 0)，动点P满足：||PF1|－|PF2|| =10，求动点P的轨迹方程.
变式训练2：已知两定点F1(－5,
0)、F2(5, 0)，动点P满足：|PF1|－|PF2| =6，求动点P的轨迹方程.
[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
轴上？
***问题*** 1. 如何判断双曲线的焦点在哪个
轴上？ 2. 双曲线的标准方程与椭圆的标
准方程有何区别与联系?
[例1] 已知两定点F1(－5, 0)、F2(5, 0)，动点P满足：||PF1|－|PF2||=6，求动 点P的轨迹方程.
§2.3.1双曲线及其标准方程
课题：§2.3.1双曲线及其标准方程教学目的：1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力； 3．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程；4．使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）； 5．培养学生发散思维的能力。
教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用。
教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组。
内容分析： 程”、“椭圆及其标准方程”之后，学习又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何中学习的重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术止有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握。
本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法。
双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握，而掌握好双曲线标准方程的推导过程又是理解和记忆标准方程的关键。
应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环节。
坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具。
犹如前面学习的圆和圆锥曲线一样，双曲线也是一种动点的轨迹双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起 因此我们要充分利用这节教材对学生进行好思想教育。
教学过程：一、复习引入： ◆椭圆定义：平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）。
两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆），椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关。
◆椭圆标准方程：⑴22221x y a b +=；⑵22221y x a b+=，其中222a c b =+。
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§ 2.3双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为________________________________________________________________________． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做__________________，两焦点间的距离叫做__________________．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( )A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B .x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1D .x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y 23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A .12B ．1或3C .1＋22D .2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A .x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C .x 22－y 23＝1D .x 23－y 22＝1二、填空题8．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 9．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝________________________________________________________________________.三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升A．[3－23，＋∞) B．[3＋23，＋∞)C．[－74) D．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距 2．(1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) (－c,0) (c,0) (2)y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0) (0，－c ) (0，c ) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙，只有当2a <|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．] 2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以b a<0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线，故选B.]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)． 由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b2＝1.② 由①②解得a 2＝1，b 2＝3， ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.] 4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m ＋3＋m ＝c 2＝4.∴m ＝12.] 5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a2 1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.] 7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4，又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2.8．－1<k <1解析 因为方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线， 所以(1＋k )(1－k )>0.所以(k ＋1)(k －1)<0.所以－1<k <1.解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0. ∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2x 2b 2＝1 (a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)， 又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5， 所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 11．解 设A 点的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，代入sin B －sin C ＝12sin A ， 得|AC |2R －|AB |2R ＝12·|BC |2R，又|BC |＝8， 所以|AC |－|AB |＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1 (x >2)． 12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设P (x ，y )(x ≥3)，13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1， 且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知， 中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1， ∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y 25＝1.。