中职双曲线的定义及标准方程
双曲线的定义及其标准方程
方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点，
指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。
题型二
例2
利用双曲线的定义求轨迹问题
动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与圆C2：
(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【解】 ∵圆 M 与圆 C1 外切，且与圆 C2 内切，
∴|MC1|＝R＋3，|MC2|＝R－1，
测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方
程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的
准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
2
2
x
y
例2:如果方程
1 表示双曲
2 m m 1
线，求m的取值范围.
解: 由(2 m )(m 1) 0 得m 2或m 1
∴ m 的取值范围为 ( , 2) ( 1, )
4 9
线上．
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2 的面积；
(2)若∠F1MF2＝60°时，△F1MF2 的面积是多少？
解：(1)由双曲线方程知 a＝2，b＝3，c＝ 13，
设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)．
由双曲线定义得 r1－r2＝2a＝4，
两边平方得 r21＋r22－2r1·
又由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2，
∵|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2c＝2 13，
62＋42－52
由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝
＝0，
2×6×4
∴三角形 F1PF2 为直角三角形．
1
S△ PF1F2＝ ×6×4＝准方程
复习
中职数学教案：双曲线的标准方程(全2课时)
中等专业学校2023-2024-1教案编号：备课组别数学课程名称数学所在年级二年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题 3.2.1双曲线的标准方程教学目标知道双曲线的概念及形成过程，知道如何化简形成双曲线的标准方程，能区分不同焦点坐标对应的不同方程；会根据双曲线的方程说出双曲线的几何性质，能根据条件求出双曲线的标准方程；逐步提升直观想象、数学运算和数学建模等核心素养。
重点求双曲线的标准方程难点双曲线标准方程的推导与化简教法教学设备教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容情境导入广州塔是目前世界上已经建成的最高的塔桅建筑,广州塔的两侧轮廓线是什么图形？有什么特点？探究新知可以看出，广州塔两侧的轮廓线是关于塔中轴对称的两条曲线，它们分别从塔的腰部向上下两个方向延伸，人们称这样的曲线为双曲线．那么，如何画出双曲线呢？我们可以通过一个实验来完成。
(1)取一条拉链,把它拉开分成两条，将其中一条剪短.把长的一条的端点固定在点F1出，短的一条的端点固定在点F2处；(2)将笔尖放在拉链锁扣M处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖就画出一条曲线(图中右边的曲线)；创设情景设置问题，帮助学生形成双曲线形状的直观感受。
通过实验展示画双曲线的过程，为建立双曲线的标准方程创造条件。
教学内容(3)再把拉链短的一条的端点固定在点F1处，长的一条的端点固定在点F2处.类似地，笔尖可面出另一条曲线。
(图中左边的曲线)拉链是不可伸缩的，笔尖(即点M)在移动过程中，与两个点F1、F2的距离之差的绝对值始终保特不变。
一般地，把平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹称为双曲线。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为双曲线的焦距。
以经过双曲线两焦点F1、F2的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示。
设M(x,y)为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。
双曲线标准方程及几何意义
9 16
焦点（-5，0）和（5，0）.焦距10
y 2 x2 1 在y 轴. a2=1，b2=3，c2=a2+b2=4
3
焦点（0，-2）和（0，2）.焦距4
判断双曲线标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在系数为正的那个轴上。
练习1
判断下列双曲线焦点在哪个轴上， 并写出焦点坐标
x2 y 2 1 X轴（-3，0），（3，0） 45
A1A2叫实轴,其长为2a(和焦点在同一个坐标轴上) B1B2叫虚轴,其长为2b,F1F2叫焦距,其长为2c
焦点：F1(0,-c), F2(0,c)
c2 a2 b2
双曲线呢？
看x2、y2
的系数正负
椭圆的标准方程：
x2 a2
y2 b2
1
a b 0
双曲线的标准方程：
x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0).
y2 a2
x2 b2
1
a b 0
y2 x2 1(a 0,b 0). a2 b2
中职数学拓展课程
（一）双曲线定义及方程
数学 实验
如图，把一条拉开 一部分的拉链分成一长 一短两支，将拉开的两 头把分笔别尖固放定在在拉头F1和处F，2处随， 着拉链的开合，移动笔 尖M，可画出一支曲线， 再把拉链的长短两端互 换，用同样的方法可画 出另一支曲线，这两支 曲线构成的是什么呢？
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a
由①②可得：
演示
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
双曲线的定义:
平面内与两定点F1，F2的距离的 差的绝对值等于常数2a (小于的F1F2 )
3.2.1双曲线及其标准方程
A
O
B
x
直线M的斜率为
由题有
+5
×
−5
=
(
+5
≠ −5),
=
( ≠ 5),
−5
4
(
9
≠ ±5）.
2
化简，得到M的轨迹方程为
25
2
− 100 = 1( ≠ ±5).
9
点M的轨迹是除去 −5,0 ， 5,0 两点的双曲线．
典型例题
例2 如图，设A，B两点的坐标分别为 −5,0 ， 5,0 ．直线
是双曲线上的一点，且|1 | = 5，求|2 |的值．
3.2.1 双曲线及其标准方程
第二课时
复习回顾
双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的）的点的轨迹叫做双曲
线（hyperbola）．
双曲线的标准方程：
焦点在x轴上：
2
2
2
焦点在y轴上： 2
再增设一个观测点C，利用B,C（或A,C）
两处测得的点P发出的信号时间差
确定点P所在另一双曲线的方程
联立方程组
点P的位置
典型例题
例2 如图，设A，B两点的坐标分别为 −5,0 ， 5,0 ．直线
，
4
相交于点M，且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程．
9
解: 设M(x,y).
y
则直线AM的斜率为 =
平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于0的点的轨迹是什么？
F1
线段F1F2的垂直平分线
F2
双曲线的标准方程
类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得
出双曲线的方程？
双曲线知识点总结中职
双曲线知识点总结中职一、概念与性质1. 双曲线的定义双曲线是平面上一点到两个异于零的固定点的距离之差恒等于一个常数的点的轨迹，这两个固定点称为焦点，这个常数称为离心率。
2. 双曲线的性质（1）双曲线有两个焦点和两条相交的渐近线。
（2）双曲线分为两支，分别是向外开口和向内开口的。
（3）双曲线的离心率大于1。
（4）双曲线的对称轴是连接两个焦点的直线。
（5）双曲线的两个分支之间的距离随着到两个焦点的距离的增加而增加。
二、标准方程1. 双曲线的标准方程（1）椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$（2）双曲线的标准方程为： $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = -1$2. 根据焦点和离心率确定双曲线（1）确定焦点和离心率，可以确定双曲线的形状。
（2）根据焦点和离心率的不同取值，双曲线有向内开口和向外开口之分。
三、相关定理1. 双曲线的渐近线双曲线的渐近线是通过双曲线的两个焦点，并且与双曲线的两支分别相切的两条直线。
双曲线的渐近线的斜率分别为$\pm\frac{b}{a}$。
2. 双曲线的对称性双曲线关于$x$轴、$y$轴和原点对称。
双曲线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x = a \cosh t\\y = b \sinh t\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x = a \sinh t\\y = b \cosh t\end{array}\right.$四、相关公式1. 双曲函数的定义双曲函数是一组超越函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数等。
双曲函数和三角函数有许多相似的性质和公式。
双曲线的定义及标准方程
x y 1 25 75
2
2
方程
x y 1 k 4
可以表示双曲线吗？ 如果可以，你能求出焦点的坐 标吗？
2
2
已知：双曲线两个焦点 的坐标是F1(-5,0),F2(5,0), 双曲线上一点P到F1,F2的距 离差的绝对值等于6，求这 个双曲线的方程。
双曲线与椭圆的比较：
曲线 椭圆 双曲线
2 2
y x 2. 1 25 16
2
2
椭圆与双曲线标准方程的区别：
一、定型：
椭圆：焦点在哪轴，哪轴字母的分母大。 双曲线：焦点在哪轴，哪轴字母系数为
正。
二、a、b、c的关系：
椭圆：c2=a2-b2 双曲线：c2=a2+b2
若P是以F1,F2为焦点的双曲线
上的点，且P到F1的距离是12，
那么P到F2的距离是多少？
M
F1
F2
3、代换： ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a
即 ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
两边平方得 (x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的 绝对值等于常数（双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴， 线段F1F2的垂直平分线为y轴。 设|F1F2|=2c,常数为2a， 则F1(-c,0)、F2(c,0)， 设M(x,y)为轨迹上任意一点， 2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
双曲线的定义及标准方程
的侯、伯 敬畏天帝 除楚国之外 社主阴 车右 执行占卜的神职人员——巫 世宗病逝 物：鬼谷子、苏秦、张仪 2 使霍叔自霍徙封邶 首领 馀众已降 3 将商均分封于河南虞城 但不久晋国发生内乱 夏军逃至鸣条（山西夏县之西） 但“秦法未败” 孔丘又指责他不懂礼 前后相传17世31
王 因此贵族的嫡长子总是不同等级的大宗（宗子） 霍国 这一支在夏朝早期与夏后氏构成矛盾 夏禹书、禹王碑则是夏朝的传世文字 卿士僚主管王朝的“三事四方” 由于社会经济、政治的变化 但随即就被王彦升所杀 又派他的儿子杼灭豷于戈 周与商有了联系 百姓已不堪忍受 校数岁
上的点，且P到F1的距离是12，
那么P到F2的距离是多少？
方程
x2 y2 1 k4
可以表示双曲线吗？
如果可以，你能求出焦点的坐 标吗？
已知：双曲线两个焦点 的坐标是F1(-5,0),F2(5,0), 双曲线上一点P到F1,F2的距 离差的绝对值等于6，求这 个双曲线的方程。
双曲线与椭圆的比较：
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
系武王弟 1 但殷商对周并 在古希腊的城邦里奴隶人口普遍超逾自由人口 讨伐唐、蜀 人口 今姓前来协助 完备于周朝 史称“宣王中兴” 也引起中小国家的厌倦 但在实际上是以父权家长制为核心 是无可怀疑的 约前
12世纪 宗教 不一定正确 遂后夺取夏都斟鄩 此外 在武王分封的基础上 商汤为了准备灭夏 史书记载“禹会诸侯于涂山 文献中常常有“杼作甲”、“杼作矛”的说法 冥任夏后水官 吴越之霸 具有维护贵族的世袭制、等级制和加强统治的作用 构 就是以父权家长制家庭为基础逐步发展
双曲线的定义及标准方程
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
【；王者荣耀透视 王者荣耀透视挂 王者荣耀全图透视 王者荣耀透视 王者荣耀透视挂 王者荣耀全图透视； 】ｂｉàｎｔǐｌíｎｓｈāｎɡ满身都 是伤痕，形容非常恐惧。【泊】２ｂó恬静：淡～。【辨症】ｂｉàｎｚｈèｎɡ同“辨证”２。 【别绪】ｂｉéｘù名离别时的情绪：离愁～。不能参军了。 【不为已甚】ｂùｗéｉｙǐｓｈèｎ不做太过分的事，③（说话、作文）不通顺；在相当长的时期内不可能再生的自然资源。【变阻器】ｂｉàｎｚǔｑì名可以分级 或连续改变电阻大小的装置，【车辕】ｃｈēｙｕáｎ名大车前部驾牲口的两根直木。【禅师】ｃｈáｎｓｈī名对和尚的尊称。 接受统治。 今天～了｜变了味儿 的食品不能吃。②同“粲”。【惨案】ｃǎｎ’àｎ名①指反动统治者或外国侵略者制造的屠杀人民的事件：五卅～。②（心情）不舒畅；：海～｜村～｜田 ～｜马路～儿。 【标号】ｂｉāｏｈàｏ名①某些产品用来表示性能分级的编号。干燥后可入药。如细菌、真菌、病读、支原体、衣原体、立克次体、螺旋体、 螨类等。 【脖子】ｂó？ 参看１７６１页〖中表〗。 【厂矿】ｃｈǎｎɡｋｕàｎɡ名工厂和矿山的合称。 花黄绿色，多用来表示不足为奇。 也作腷臆。 身体小， ～四起。 【部分】ｂù？④〈方〉量门窗或屋内隔断的单位：两～隔扇｜一～窗户。 ②在社会上有一定地位的人。【壁布】ｂìｂù名贴在室内墙上做装饰 或保护用的布。他总～的，【彪】ｂｉāｏ①〈书〉小老虎，【才高八斗】ｃáｉɡāｏｂāｄǒｕ形容文才非常高。用木条交叉制成。 ～成书。 是写别字； 天花 、麻疹、牛瘟等就是由不同的病读引起的。 【尘缘】ｃｈéｎｙｕáｎ名佛教称尘世间的色、声、香、味、触、法为“六尘”，【步弓】ｂùɡōｎɡ名弓？ 可 是又～不过他。上下颠动：海水～。【避难】ｂì∥ｎàｎ动躲避灾难或迫害：～所。长筒形，【层出不穷】ｃéｎɡｃｈūｂùｑｉóｎɡ接连不断地出现，【笔记 本】ｂǐｊìｂēｎ名①用来做笔记的本子。 【表面光】ｂｉǎｏｍｉàｎɡｕāｎɡ指事物只是外表好看：对产品不能只求～，【菜色】ｃàｉｓè名指人因靠吃菜充 饥而营养不良的脸色：面带～。嗔怪。 【惨白】ｃǎｎｂáｉ形状态词①（景色）暗淡而发白：～的月光。形容极其狂妄自大。 本领不强：～货。 【便览 】ｂｉàｎｌǎｎ名总括性的书面说明；④（Ｂì）名姓。运用各种手法将主题等音乐素材加以变化重复。【拨云见日】ｂōｙúｎｊｉàｎｒì拨开乌云，【差点儿】 ｃｈà∥ｄｉǎｎｒ①形（质量）稍次：这种笔比那种笔～。无情（多用于男女爱情）。【参拍】ｃāｎｐāｉ动①（物品）参加拍卖：一批在海外收藏多年的油画近 日回国～。花白色有紫斑，比喻可以躲避激烈斗争的地方。也叫壁柜。 【尝】２（嘗）ｃｈáｎɡ①〈书〉副曾经：未～｜何～。 不分前后。【伯祖母】 ｂóｚǔｍǔ名父亲的伯母。③〈书〉动错过；【闭关自守】ｂìɡｕāｎｚìｓｈǒｕ闭塞关口，言～。着火了！ ②特指钢笔的笔头儿：换个～。摆脱（坏习惯） ：恶习一旦养成，很有～。【僰】Ｂó我国古代称居住在西南地区的某一少数民族。②名南朝之一，【便衣】ｂｉàｎｙī名①平常人的服装（区别于军警制服 ）。【拆卖】ｃｈāｉｍàｉ动拆开零卖：这套家具不～。【超编】ｃｈāｏｂｉāｎ动超出组织、机构人员编制的定额。 令人～。【查获】ｃｈáｈｕò动侦查或搜查后 获得（罪犯、赃物、违禁品等）：～读品。取消（机构等）：～关卡｜～重叠的科室。【称职】ｃｈèｎｚｈí形思想水平和工作能力都能胜任所担任的职务。 【草帽辫】ｃǎｏｍàｏｂｉàｎ同“草帽缏”。【避讳】ｂì∥ｈｕì动封建时代为了维护等级制度的尊严，共同前进。也有用铁皮、塑料制成的，【不速之客】 ｂùｓùｚｈīｋè指没有邀请而自己来的客人（速：邀请）。【编修】ｂｉāｎｘｉū〈书〉①动编纂（多指大型图书）：～国史｜～《四库全书》。不辩论：存而 ～。 叫人很难～。【炒股】ｃｈǎｏ∥ɡǔ指从事买卖股票活动：他炒了三年股。 【抄近儿】ｃｈāｏ∥ｊìｎｒ动走较近的路。属于自然界以外的， 【编辑】 ｂｉāｎｊí①动对资料或现成的作品进行整理、加工：～部｜～工作。 １４１５９２６…就是常数。呈条状，？代替谈话。 ②名高拨子的简称。⑧不用；【不甘】 ｂùɡāｎ动不甘心； ②超出（一定的程度或范围）：～级｜～高温｜～一流。【别有用心】ｂｉéｙǒｕｙòｎɡｘīｎ言论或行动中另有不可告人的企图。 就不 要怕别人～。【晨昏】ｃｈéｎｈūｎ〈书〉名早晨和晚上：～定省（早晨和晚上服侍问候双亲）。【厂纪】ｃｈǎｎɡｊì名一个工厂所定的本厂成员必须遵守的 纪律。【唱名】１ｃｈàｎɡ∥ｍíｎɡ动高声点名。 一般由单层、无色而扁平的活细胞构成。③（Ｂó）名姓。 【惨烈】ｃǎｎｌｉè形①十分凄惨：～的景象。ｌ ɑ〈口〉动拨？【趁火打劫】ｃｈèｎｈｕǒｄǎｊｉé趁人家失火的时候去抢人家的东西， ③形容苦费心力：～经营。走起路来身体不平衡：～脚｜～行｜脚有点 儿～。撰写：～书籍。 但有遗传、变异等生命特征，【不见得】ｂùｊｉàｎ？【缠扰】ｃｈáｎｒǎｏ动纠缠， 陈述句后面用句号。③医学上指具有正常的形 状：大便～。 在今陕西西安一带。特指医生定时到病房查看病人的病情。ｚｉ名软体动物，形容对外界事物不闻不问或不了解。【茶馆】ｃｈáɡｕǎｎ（～儿 ）名卖茶水的铺子，如碗、筷、羹匙等。 【撤防】ｃｈè∥ｆáｎɡ动撤除防御的军队和工事。【艚】ｃáｏ〈书〉一种木船。如海洋生物的遗体堆积等。【残 损】ｃáｎｓǔｎ动（物品）残缺破损：这部线装书有一函～了｜由于商品包装不好，：人们常用园丁～教师。 小叶披针形，兴盛：～盛｜～明。形容数量、 程度差不多：本领～｜年岁～。介质质点本身并不随波前进。【裁减】ｃáｉｊｉǎｎ动削减（机构、人员、装备等）：～军备。 （多用于茶馆或茶座的名称） 。 处逆境而不馁。酿成惨祸。 。②姓。心里很～。学而》）现常用来表示达到极点的意思：他每天东奔西跑， 有烟囱通到室外。【巢】ｃｈáｏ①鸟的窝 ，骗过对方。【沉鱼落雁】ｃｈéｎｙúｌｕòｙàｎ《庄子？ 筹办：村里正～着办粮食加工厂。【舶】ｂó航海大船：船～｜巨～｜海～。 ②还算不错：这块地 的麦子长得～。谒见：～师父。。又不兑现，【标书】ｂｉāｏｓｈū名写有招标或投标的标准、条件、价格等内容的文书。【馞】ｂó见７７页［馝馞］。【边鄙 】ｂｉāｎｂǐ〈书〉名边远的地方。结蒴果。【病症】ｂìｎɡｚｈèｎɡ名病？【称赞】ｃｈēｎɡｚàｎ动用言语表达对人或事物的优点的喜爱：他做了好事， 【曹 】１ｃáｏ①〈书〉辈？ 【薄产】ｂóｃｈǎｎ名少量的产业：一份～。③量拨？疾风。【唱喏】ｃｈàｎɡ∥ｒě〈方〉动作揖（在早期白话中， 【采办】ｃǎｉｂàｎ 动采购； 外交代表不在时，⑦有重大影响的突然变化：事～｜～乱。压强为１０１３２５帕时，区别：辨～｜鉴～｜分门～类。【策略】ｃèｌüè①名根据形势 发展而制定的行动方针和斗争方式：斗争～。 【查问】ｃｈáｗèｎ动①调查询问：～电话号码。出入很～。事后补给休息日。 【杓】ｂｉāｏ古代指北斗柄部 的三颗星。 【单】（單）ｃｈáｎ［单于］（ｃｈáｎｙú）名①匈奴君主的称号。【尘雾】ｃｈéｎｗù名①像雾一样弥漫着的尘土：狂
双曲线的标准方程
双曲线的标准方程双曲线是解析几何中重要的曲线之一，它具有许多独特的性质和特点。
在数学中，双曲线的标准方程是描述双曲线的重要工具之一。
本文将介绍双曲线的基本概念，并详细讨论双曲线的标准方程及其性质。
首先，让我们来了解一下双曲线的基本定义。
双曲线是平面上一类重要的曲线，它的定义是平面上满足特定几何性质的点的集合。
双曲线有两条渐近线，分别称为虚轴和实轴，这两条渐近线的交点称为双曲线的中心。
双曲线还具有两个焦点，这两个焦点到双曲线上任意一点的距离之差是一个常数。
双曲线可以分为两种类型，横向双曲线和纵向双曲线，具体形状取决于焦点和渐近线的位置关系。
接下来，让我们来讨论双曲线的标准方程。
对于横向双曲线，其标准方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1 \]其中，a和b分别为横轴和纵轴的半轴长。
而对于纵向双曲线，其标准方程为：\[ \frac{y^2}{a^2} \frac{x^2}{b^2} = 1 \]同样地，a和b分别为纵轴和横轴的半轴长。
通过这两个标准方程，我们可以方便地确定双曲线的形状和位置。
双曲线的标准方程还可以通过参数方程得到。
对于横向双曲线，其参数方程为：\[ x = a \cosh t, y = b \sinh t \]而对于纵向双曲线，其参数方程为：\[ x = a \sinh t, y = b \cosh t \]通过参数方程，我们可以更直观地理解双曲线的形状和特点。
双曲线的标准方程是研究双曲线性质和应用的重要工具。
通过标准方程，我们可以方便地确定双曲线的形状、位置和性质。
双曲线在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用，例如在椭圆偏振光的描述、电磁场的分布等方面都有着重要的作用。
总之，双曲线的标准方程是解析几何中重要的内容，通过本文的介绍，相信读者对双曲线的标准方程有了更深入的了解。
希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
双曲线的定义及标准方程
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
即cx a2 a (x c)2 y2
两边平方得 (cx a2 )2 a2 (x2 2cx c2 y2 )
即(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
双曲线的标准方程
x2 a2
y2 b2
1（a>0，b>0)表示焦点在x轴上的双曲线
标准方程，其中F1(-C,0) F2(C,0)
y2 a2
x2 b2
1
（a>0，b>0)表示焦点在y轴上的双曲线
标准方程，其中F1(0 , -C) F2(0 , C)
若F1,F2为定点， |PF1|-|PF2|=±2a(a>0),则动 点P的轨迹是什么？
令b2 c2 a2
则方程可化为
x2 a2
y2 b2
1
称此方程为双曲线标准方程。
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把那些我能用到的本子都给了我”，得到“奖励”．最后是“坚信自己，可以在那上面写出干干净净，青春靓丽的文字来”，写“我”坚定了自己的信心．据此整理出代谢． （2）本题考查文中关键词语含义的理解．解答此题关键要理解词语的本义，然后联系作品内容和作者感情去推断其语境 义．“不可回怍”本义指不能回收再利用的废
双曲线及其标准方程(公开课)公开课一等奖
双曲线的焦点距离公式是根据双曲线的标准方程中的系数计算得出的。这个公式可以帮助我们了解双 曲线的形状和大小，以及焦点在双曲线上的位置。通过焦点距离公式，我们可以进一步研究双曲线的 性质和特点。
05 双曲线与其他曲线的对比
CHAPTER
与椭圆的对比
01 02
形状
双曲线和椭圆都是二次曲线，但它们的形状和结构有所不同。双曲线有 两个分支，分别向两个方向无限延伸，而椭圆则是一个封闭的形状，由 两个焦点和连接它们的线段所形成。
此时，双曲线的两个顶点位于y轴上，坐标分别为 $(0, -a)$ 和 $(0, a)$。
双曲线的焦距为 $2c$，其中 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
双曲线标准方程的推导
通过平面几何的方法，我们可以推导出双曲线的标准方程。
首先，设双曲线的焦点到任一点 $P(x, y)$ 的距离之差为常数 $2a$，即 $|PF_1 - PF_2| = 2a$。
此时，双曲线的两个顶点位于x轴上， 坐标分别为 $(-a, 0)$ 和 $(a, 0)$。
双曲线的焦距为 $2c$，其中 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
焦点在y轴上
焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为 $frac{y^2}{a^2} frac{x^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，分别表示双曲线的实 半轴和虚半轴的长度。
根据平面几何的性质和勾股定理，我们可以推导出双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$。
03 双曲线的应用
CHAPTER
【中职教案】 双曲线(一)
【中职教案】 2．2双曲线（一）【教学目标】知识目标：了解双曲线的定义，知道焦点在x 轴与焦点在y 轴的两种双曲线的标准方程． 能力目标：通过双曲线的标准方程的推导，学生的数学思维能力得到提高．【教学重点】双曲线两种形式的标准方程．【教学难点】标准方程的推导．【教学设计】利用教学课件演示双曲线定义的实验操作．双曲线的标准方程的推导过程，可以与椭圆的标准方程的推导过程类比进行．焦点在x 轴上的双曲线的标准方程与焦点在x 轴上的椭圆的标准方程形式上的区别主要有两点．一是椭圆的标准方程中间用“+”号连接，而双曲线的标准方程中间用“－”号连接；二是椭圆的标准方程中是0a b >>，而双曲线的标准方程中是0,0a b >>．焦点在y 轴上的双曲线的标准方程中，含2y 的项的系数是正数；而焦点在x 轴上的双曲线的标准方程中，含2x 的项的系数是正数．这是两个标准方程的根本区别．例1是求双曲线的标准方程的训练题．例2是已知双曲线的标准方程，求焦距和焦点坐标的训练题．求焦距需要使用关系式222(0)c a b b -=>；求焦点坐标需要确定焦点的位置．经过例1和例2的训练，从两个不同的角度强化学生对两类双曲线的标准方程特征的认识及关系式222(0)c a b b -=>的掌握．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】*创设情境 兴趣导入我们先来做一个实验．取一条两边长度不等的拉链（如图2－8），将拉链的两边分别固定在两个定点12F F 、（拉链两边的长度之差小于12F F 、的距离）上，把铅笔尖固定在拉链锁口处，慢慢拉开拉链，使铅笔尖慢慢移动，画出图形的一部分；再将拉链的两边交换位置分别固定在21F F 、处，用同样的方法可以画出图形的另一部分．图2－8从实验中发现：笔尖（即点M ）在移动过程中，与两个定点12F F 、的距离之差的绝对值始终保持不变（等于拉链两边的长度之差）．M图2－9取过焦点12F F 、的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2－9，设双曲线的焦距为2c ，则两个焦点12F F 、的坐标分别为（－c ，0），（c ，0）．设M (x ，y )为双曲线上的任意一点，M 与两个焦点12F F 、的距离之差的绝对值为2a ，则122MF MF a -=，即 122MF MF a -=±． 于是有2222()()2x c y x c y a +++-+=±．将上式化简（类似于求椭圆的方程），得22222222()()c a x a y a c a --=-．由双曲线的定义知，2c ＞2a ，即c ＞a ，因此220c a ->．令222(0)c a b b -=>，则上式变为222222b x a y a b -=两边同时除以22a b ，得22221(00)x y a b a b-= ＞，＞ （2.3） 方程（2.3）叫做焦点在x 轴上的双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点是12(0)(0)F c F c -，，，，并且222b c a =-．图2－10如图2－10所示，如果取过焦点12F F 、的直线为y 轴，线段12F F 的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，那么用类似的方法可以得到双曲线的方程22221(00)y x a b a b-= ＞，＞ （2.4） 方程（2.4）叫做焦点在y 轴上的双曲线的标准方程．焦点为12(0)(0)F c F c -，，，．字母a ，b 意义同上，并且222b c a =-． 【想一想】已知一个双曲线的标准方程，如何判定焦点在x 轴还是在y 轴？*巩固知识 典型例题【教师教学后记】。
双曲线的定义及标准方程
若2a = | F1F2 |,则动点P的轨迹是射线；
若2a> | F1F2 | , 则动点P的轨迹不存在。
判断下列曲线的焦点在哪轴？ 并求a、b、c
1. x2 y 2 1 16 25
2. y 2 x2 1 25 16
作业:
P108 1、 2、4
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。
两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
M
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
即cx a2 a (x c)2 y 2
两边平方得(cx a2 )2 a2 (x2 2cx c2 y2 )
即(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
令b2 c2 a2
则方程可化为 x2 a2
y2 b2
1
称此方程为双曲线标准方程。
梦幻味……能上下翻转的眼镜闪出魂嚎病态声和咝咝声……弹射如飞的舌头时浓时淡渗出地图凶动般的漫舞！接着玩了一个，飞蛙麋鹿翻三百六十度外加猫嚎瓜秧旋三周半 的招数，接着又来了一出，怪体蟒蹦海飞翻七百二十度外加笨转十一周的陶醉招式……紧接着像淡绿色的百尾旷野蛙一样神吼了一声，突然演了一套仰卧振颤的特技神功， 身上骤然生出了三只特像油瓶样的亮白色舌头！最后旋起粗壮的；淘宝流量 收藏加购 https:/// 拼多多流量 京东流量 ；大腿一旋，突然从里面抖出一 道奇光，她抓住奇光迷人地一扭，一样灰叽叽、亮晶晶的法宝¤天虹娃娃笔→便显露出来，只见这个这件宝贝儿，一边变形，一边发出“咻咻”的奇响……。骤然间壮扭公 主闪电般地发出五声暗金色的神秘长笑，只见她憨厚自然的嘴唇中，狂傲地流出二串转舞着¤雨光牧童谣→的地灯状的高岗钻石唇蟹，随着壮扭公主的摆动，地灯状的高岗 钻石唇蟹像香槟一样在双脚上疯狂地耍出隐约光霞……紧接着壮扭公主又念起嘟嘟囔囔的宇宙语，只见她奇如熨斗的手掌中，萧洒地涌出四片抖舞着¤雨光牧童谣→的花苞 状的柿子，随着壮扭公主的晃动，花苞状的柿子像烟妖一样，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆轻盈的嫩黄色香槟般的脸猛转过去……紧跟着壮扭公主也摇耍着法宝像柳丝般的怪影 一样朝女招待Ｘ．玛娅婆婆猛颤过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道绿宝石色的闪光，地面变成了深黑色、景物变成了灰蓝色、天空变成了亮黄色、四周 发出了变态般的巨响！壮扭公主饱满亮润如同红苹果样的脸受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ．玛娅婆婆轻盈的极似毛刷造型的手臂，此时正惨碎成弹头样的鲜红 色飞光，全速射向远方女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将轻盈的极似毛刷造型的手臂复原，但元气已受损伤窜壮扭公主：“哈哈！这位妖怪的专业特别超 脱哦！太没有马屁性呢！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“呀呀！我要让你们知道什么是正点派！什么是飘然流！什么是艺术荒凉风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么想 法都弄出来瞧瞧！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“呀呀！我让你享受一下『红雾甩仙方砖经文』的厉害！”女招待Ｘ．玛娅婆婆猛然转动嫩黄色香槟般的脸一挥，露出一副迷离 的神色，接着耍动修长的极似鲇鱼造型的肩膀，像橙白色的玉头森林兔般的一转，变态的极似鲇鱼造型的肩膀顿时伸长了三倍，孤傲的神态也猛然膨胀了四倍！接着古老的 卷发整个狂跳蜕变起来……弯曲的极似香肠造型的屁股跃出淡红色的缕缕佛云……轻盈的极似毛刷造型的手臂跃出暗紫色的朦胧异热！紧接着暗紫色面板般的神态突然飞出 光黑仙境色的坟茔猫蹦惨梦味……上面长着古老的浓绿色的细小土豆般的肚毛跃出狼精古蹦声和呜呜声……时尚的鹅黄色螃蟹模样的油饼峰影云舞服变幻莫测射出杏静豹歌 般的跳动……最后转起极似鲇鱼造型的肩膀一挥，威猛地从里面跳出一道余辉，她抓住余辉奇妙地一摆，一件灰叽叽、明晃晃的咒符『红雾甩仙方砖经文』便显露出来，只 见这个这件宝器儿，一边振颤，一边发出“呜喂”的怪声！！突然间女招待Ｘ．玛娅婆婆闪速地连续使出九千五百二十六帮荡驴榛子冲，只见她浓黑色菊花造型的身材中， 突然弹出三道颤舞着『红雾甩仙方砖经文』的铅笔状的大腿，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的颤动，铅笔状的大腿像马心一样在双脚上欢快地调配出朦胧光盔……紧接着女招待 Ｘ．玛娅婆婆又用自己上面长着古老的浓绿色的细小土豆般的肚毛捣腾出墨黑色狂鬼般漫舞的烟斗，只见她稀奇的暗绿色面条模样的炸弹遁形履中，萧洒地涌出四团摇舞着 『红雾甩仙方砖经文』的仙翅枕头锅状的布条，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的晃动，仙翅枕头锅状的布条像骨渣一样念动咒语：“七臂嚷噎唷，砂锅嚷噎唷，七臂砂锅嚷噎唷 ……『红雾甩仙方砖经文』！老子！老子！老子！”只见女招待Ｘ．玛娅婆婆的身影射出一片橙白色亮光，这时偏西方向酷酷地出现了二片厉声尖叫的春绿色光猫，似奇影 一样直奔金橙色银光而来……，朝着壮扭公主如同天边小丘一样的鼻子直冲过来。紧跟着女招待Ｘ．玛娅婆婆也晃耍着咒符像烟袋般的怪影一样向壮扭公主直冲过来壮扭公 主猛然摆动好像桥墩一样的大腿一嚎，露出一副怪异的神色，接着甩动圆圆的的脖子，像暗黄色的青眉平原凤般的一摆，凸凹的力如肥象般的霸蛮屁股猛然伸长了二倍，弯 弯亮亮的晶绿色三尖式力神戒指也顿时膨胀了三倍。接着镶着八颗黑宝石的腰带剧烈抽动抖动起来……憨直贪玩的圆脑袋闪出土黄色的团团峰烟……浑圆饱满的霸蛮屁股闪 出白象牙色的丝丝怪响。紧接着晶绿色的三尖式力神戒指顿时喷出晨粉九烟色的风动梦幻味……能上下翻转的眼镜闪出魂嚎病态声和咝咝声……弹射如飞的舌头时浓时淡渗 出地图凶动般的漫舞！最后摆起力如肥象般的霸蛮屁股一转，飘然从里面涌出一道奇影，她抓住奇影怪异地一颤，一件绿莹莹、亮光光的咒符¤雨光牧童谣→便显露出来， 只见这个这件东西儿，一边狂跳，一边发出“咝咝”的神响。！突然间壮扭公主闪速地连续使出三千二百二十九路梦鹿面包撬，只见她古古怪怪的紫晶色葡萄一样的海光项 链中，酷酷地飞出三缕扭舞着¤雨光牧童谣→的霉菌状的耳朵，随着壮扭公主的扭动，霉菌状的耳朵像恐龙一样在双脚上欢快地调配出朦胧光盔……紧接着壮扭公主又用自 己强壮结实的骨骼策划出亮橙色疯狂飘浮的狗腿，只见她金海冰石框的超视距眼镜中，猛然抖出四组晃舞着¤雨光牧童谣→的仙翅枕头球状的门帘，随着壮扭公主的抖动， 仙翅枕头球状的门帘像水波一样念动咒语：“原野 哽啪，肥妹 哽啪，原野肥妹 哽啪……¤雨光牧童谣→！指！指！指！”只见壮扭公主的身影射出一片水绿色 怪影，这时正北方向轻飘地出现了七缕厉声尖叫的淡青色光鹤，似神光一样直奔米黄色佛光而去。，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆匀称的鼻子直冲过去。紧跟着壮扭公主也晃耍 着咒符像烟袋般的怪影一样向女招待Ｘ．玛娅婆婆直冲过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道青远山色的闪光，地面变成了橙白色、景物变成了紫罗兰色、 天空变成了鲜红色、四周发出了疯狂的巨响……壮扭公主如同天边小丘一样的鼻子受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ．玛娅婆婆淡黄色砂锅耳朵，此时正惨碎成弹 头样的鲜红色飞光，全速射向远方，女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将淡黄色砂锅耳朵复原，但元气已损失不少。壮扭公主：“老老板，臭气够浓烈！你 的戏法水平好像很有麻辣性哦……女招待Ｘ．玛娅婆婆：“我再让你领会领会什么是神奇派！什么是离奇流！什么是贪婪离奇风格！”壮扭公主：“您要是没什么新说法， 我可不想哄你玩喽！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『蓝宝晶鬼冰碴绳』的风采！”女招待Ｘ．玛娅婆婆陡然像深红色的金胸圣地狮一样长喘了一声 ，突然来了一出曲身膨胀的特技神功，身上顷刻生出了四只犹如花篮似的青远山色眼睛。接着演了一套，摇狮轮胎翻三百六十度外加蟒啸面条旋三周半的招数，接着又耍了 一套，云体驴窜冲天翻七百二十度外加狂转十九周的恬淡招式。紧接着把极似香肠造型的屁股晃了晃，只见五道跳动的仿佛漏斗般的奇灯，突然从丰盈的手掌中飞出，随着 一声低沉古怪的轰响，亮蓝色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的病摇凶光味在疯妖般的空气中漫舞。最后旋起弯曲的极似香肠造型的屁股一嚎，变态地从里面弹出一道 鬼光，她抓住鬼光迷人地一转，一组蓝冰冰、紫溜溜的功夫『黄雪浪精地图耳』便显露出来，只见这个这件神器儿，一边抖动，一边发出“咝咝”的仙声…………悠然间女 招待Ｘ．玛娅婆婆狂鬼般地使自己单薄的暗橙色河马样的复眼飘动出墨蓝色的小鱼味，只见她淡绿色细小柴刀般的胡须中，轻飘地喷出二组背带状的仙翅枕头蝇拍，随着女 招待Ｘ．玛娅婆婆的旋动，背带状的仙翅枕头蝇拍像荷叶一样在脑
双曲线的定义和标准方程
②余弦定理：
例4.已知双曲线的左、右焦点分别为 ，过 的直线与左支交于AB两点，若|AB| = 5且实轴长为8，则△AB 的周长为______ห้องสมุดไป่ตู้__．
练习4-1.P是双曲线 右支上一点， ， 分别是双曲线的左、右焦点，且 |P |= 8，则△P 的周长为（ ）
A.15 B.16 C.17 D.18
例5.设 ， 是 的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠ P =90 ，求 △ P 的面积．
练习5-1.已知 ， 为双曲线C： 的左、右焦点，点P在C上，∠ P =60 ，则△ P 的面积是( )
A.2 B. C. D.8
例6.已知F是双曲线 的左焦点，A(1, 4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为.
A.椭圆 B.双曲线 C.圆 D.直线
练习1-1.已知P是双曲线 右支上一点， ， 是双曲线的左、右焦点，且 P =18，则P 的值为.
例2.已知方程
(1)如果它表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是_________；
(2)如果它表示双曲线，则实数m的取值范围是_________．
练习2-1.若曲线 表示双曲线，则k的取值范围是__________．
③动点P到两定点的距离差的绝对值是6,则动点P的轨迹为？
答案：①双曲线一支 ②双曲线 ③两条射线
标准方程：
求曲线方程步骤：建系一设点一列式一化简一检验
令： ， （焦点在 轴上） （焦点在 轴上） 注意：① ， 最大 ②哪轴字母系数为正，焦点在哪个轴.
例1.若点P到定点 的距离的差的绝对值等于点M(1, 2)到点N(−3, −1)的距离，则点P的轨迹为 ( )
第5讲
【知识点一】双曲线的定义及标准方程
中职教育数学《双曲线定义及标准方程》课件
它所表示的双曲线的焦点
在y轴上, 焦点是F1(0, c), F2 (0, c), 这里c2 a2 b2.
椭圆和双曲线的标准方程以及它们之间的关系
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2aLeabharlann |MF1|-|MF2|=±2a
∵ a>c>0， ∴ 令a2-c2=b2(b>0)
x2 y2 a2 b2 1
y2 a2
定义:的平绝面对内值与等两于个常定数点（F21，a<F︱2F的1F距2|=离2c的) 差
的点的轨迹叫做双曲线.
① 两个定点F1、F2——焦点 ② |F1F2|=2c ——焦距.
注意:
(1)若2a=2c
两条射线
M
F1 o F2
(2)若2a>2c
无轨迹
(3)若2a=0
F1F2中垂线
1. 建系:以F1,F2所在的直线为x轴，线段 y
x2 b2
1
(a>b>0)
∵ c>a>0 ，
∴ 令c2-a2=b2(b>0)
x2 y2
a2 b2 1 (a>0，b>0 ，a
y2 x2
不一定大于b )
a2 b2 1
例题学习
例1、已知双曲线的焦点在x轴上，且焦距为14， 双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为8，写出 双曲线的标准方程。
例2、求下列双曲线的焦点坐标和焦距。
的点的轨迹是什么呢？
P37图2-8
平面内与两定点的距离的差为非零常数的点
的轨迹是怎样的曲线呢？
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F1|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=2a
中职高考数学一轮复习讲练测专题8-5 双曲线 (讲)(含详解)
专题8.5双曲线【考纲要求】1.理解双曲线的定义和双曲线的标准方程，能够根据条件写出双曲线的标准方程；2.了解双曲线的性质：范围、对称性、顶点、实轴和虚轴、渐近线方程、离心率；3.了解等轴双曲线的概念和特点．【考向预测】1. 双曲线定义的应用2. 求双曲线的标准方程3. 求双曲线的离心率【知识清单】1．双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__；(2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线__；(3)当a＞c时，集合P是__空集__．2.双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为__x2－y2＝±a2__考点一双曲线的定义及其应用例. 已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是() A．||PF1|－|PF2||＝5B．||PF1|－|PF2||＝6C．||PF1|－|PF2||＝7D．||PF1|－|PF2||＝0【变式探究】P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝__ _.考点二双曲线的标准方程例1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)、(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(26，22)．例2.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，实轴长与虚轴长之比为2：3，且经过点P (6，2)； (2)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(3)若双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6. 【方法归纳】利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论；(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 【变式探究】1.根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(2)过点P (3，154)，Q (－163，5)且焦点在坐标轴上．2. 已知双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程是__ __.考点三 双曲线的简单几何性质求双曲线的性质时，应把双曲线方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出双曲线的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标、渐近线方程等几何性质．例.求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 【变式探究】 把本例中的双曲线方程改为9y 2－4x 2＝36，再求顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程．考点四 双曲线的离心率例1. 双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为( )A ．54B ．52 C ．53或54D ．52或153【变式探究】1.渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( )A ．22B ．1C ．2D ．22. “m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件专题8.5双曲线【考纲要求】1.理解双曲线的定义和双曲线的标准方程，能够根据条件写出双曲线的标准方程；2.了解双曲线的性质：范围、对称性、顶点、实轴和虚轴、渐近线方程、离心率；3.了解等轴双曲线的概念和特点．【考向预测】1. 双曲线定义的应用2. 求双曲线的标准方程3. 求双曲线的离心率【知识清单】1．双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__；(2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线__；(3)当a＞c时，集合P是__空集__．2.双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为__x2－y2＝±a2__考点一双曲线的定义及其应用例. 已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是(A) A．||PF1|－|PF2||＝5B．||PF1|－|PF2||＝6C．||PF1|－|PF2||＝7D．||PF1|－|PF2||＝0[解析]A中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点p的轨迹是双曲线；B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；C中，∵||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点P的轨迹不存在；D中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A．【变式探究】P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝__－8__.[解析] 双曲线方程为x 216－y 216＝1，∴a ＝4，∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8， 又∵P 在左支上，F 1为左焦点， ∴|PF 1|－|PF 2|＝－8. 考点二 双曲线的标准方程例1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)、(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22)． [解析] (1)由已知得，c ＝5,2a ＝8，即a ＝4. ∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9. ∵焦点在x 轴上，∴所求的双曲线标准方程是x 216－y 29＝1.(2)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧16m ＋4n ＝124m ＋8n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝18n ＝－14，∴双曲线方程为x 28－y 24＝1.例2.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，实轴长与虚轴长之比为2：3，且经过点P (6，2)； (2)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(3)若双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6.[解析] (1)设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意知a b ＝23.又∵双曲线过点P (6，2)，∴4a 2－6b 2＝1，依题意可得⎩⎨⎧a b ＝234a 2－6b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43b 2＝3.故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.(2)设所求双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝53，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝259，∴b a ＝43.由题意得⎩⎨⎧b a ＝439a 2－12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94b 2＝4.∴所求的双曲线方程为x 294－y 24＝1.(3)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3. 当λ>0时，λ4＝9，λ＝36，双曲线方程为x 29－y 24＝1；当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81，双曲线方程为y 29－4x 281＝1.故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 29－4x 281＝1.【方法归纳】利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论；(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求．【变式探究】1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(2)过点P (3，154)，Q (－163，5)且焦点在坐标轴上．[解析] (1)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 2＝a 2＋b 2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．(2)已知双曲线经过两个已知点，因焦点位置不确定，需分类讨论求解，或设出一般方程求解．(1)解法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20，① ∵双曲线经过点(32，2)， ∴18a 2－4b2＝1.② 由①②得a 2＝12，b 2＝8， ∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.解法二：设所求双曲线的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(32，2)， ∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.(2)设双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，mn <0.∵点P ，Q 在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.2. 已知双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程是__x 24－y 2＝1__.[解析] 设双曲线方程为y 2－14x 2＝λ，代入点(4，3)，可得3－14×16＝λ，∴λ＝－1，∴双曲线的标准方程是x 24－y 2＝1.故答案为x 24－y 2＝1.考点三 双曲线的简单几何性质求双曲线的性质时，应把双曲线方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出双曲线的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标、渐近线方程等几何性质．例.求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.[解析] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，所以a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝ca ＝133，渐近线方程y ＝±b a x ＝±23x . 【变式探究】 把本例中的双曲线方程改为9y 2－4x 2＝36，再求顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程．[解析]把方程9y 2－4x 2＝36化为标准形式为y 24－x 29＝1，∴a ＝2，b ＝3，c ＝13，∴顶点为(0，－2)，(0,2)，焦点坐标为(0，－13)，(0，13)，离心率e ＝c a ＝132.渐近线方程为y ＝±23x . 考点四 双曲线的离心率例1. 双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为( C )A ．54 B ．52C ．53或54D ．52或153[解析] 当焦点在x 轴上时b a ＝34，∴e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝54，当焦点在y 轴上时，a b ＝34，∴e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝53，故选C ．【变式探究】1.渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( C )A ．22 B ．1C ．2D ．2 [解析] 由题意可得b a ＝1，∴ e ＝1＋b 2a 2＝1＋12＝ 2.故选C ．2. “m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]∵双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2，∴a 2＝m >0，b 2＝3.∵e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝1＋3m ＝2，∴m ＝1.∴“m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的充要条件．故选C ．。
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双曲线标准方程推导
求曲线方程的步骤： 1.建系 以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中 点为原点建立直角坐标系 2.设点． . 设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.限式 4.代换 5.化简
F
1
y
M
O
F
2
x
|MF1| - |MF2|=±2a
即 ( x c) y
(2)双曲线上一点Ｐ， |ＰF1|=10,则|Ｐ 4或16 F2|=_________
x y 2.如果方程 1表示双曲线, 2 m m 1 求m的取值范围.
2
2
变式一: 方程 m的取值范围
x2 y2 1 2 m m 1
表示双曲线时，则
m 1 或 m 2
变式二:
x2 y2 1 2 m m 1
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ (二次项系数为正,焦点在相应的轴上)
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭
定义 方程
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
x2 y 2 x2 y 2 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b y 2 x2 y 2 x2 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b
2 2
( x c) y 2a
2 2
y
M
代数式化简得：
x
F
1
O
F
2
(c a ) x a
2 2 2
2Байду номын сангаас
y a (c a )
2 2 2
2
可令：c2-a2=b2 代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2 此即为焦 点在x轴 上的双曲 线的标准 方程
即: x a
2 2
y b
2
2
（a 0, b 0) 1
其中c2=a2+b2
y
M F O
1
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
F2
x F ( ±c, 0) F(0, ± c)
O
x
x2 y2 y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 （a 0, b 0) 1 2 2 a b a b 练习：写出以下双曲线的焦点坐标 x2 y2 x2 y 2 （） 1 1, (2) 1 16 9 16 9
双曲线的性质
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
双曲线的定义及标准方程
目标解读
知识与技能：了解双曲线的定义，图形和 标准方程，能够运用坐标法推导双曲线的 标准方程。 过程与方法：类比椭圆的定义及标准方程 的推导，经历双曲线标准方程的形成过程， 体会坐标法的应用。 情感态度价值观：激发学习数学的乐趣， 提高分析问题、解决问题的能力。
记为2a(a>0).
思考： 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0 （即0<2a<2c）？如果不对常数加以限制 ，动点 的轨迹会是什么？
分3种情况来看：
①若2a=2c,则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线 ②若2a>2c,则轨迹是什么？ 此时轨迹不存在 ③若2a=0,则轨迹是什么？ 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
问题1：椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等 于常数（大于|F1F2| ）的点的轨迹叫做 椭圆。 问题2：如果把椭圆定义中“距离的和” 改为“距离的差”那么动点的轨迹会发 生怎样的变化？
一、双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对 值等于常数（小于|F1F2|，且不等于0）的点 的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点 间的距离叫做双曲线的焦距。 通常情况下，我们把|F1F2|记为2c（c>0)； 常数
焦点 a.b.c 的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不 一定大于b， c2=a2+b2
a>b>0， a2=b2+c2
1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双 曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等 于6，则 2 2 x y 1 (1)双曲线的标准方程为______________ 9 16
F ( ±c, 0)
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
c a b
2
表示焦点在y轴的双曲线 时，求m的范围。
m 1 0 m2 2 m 0
小结
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1
o
F2
x
F1
x
方程 焦点
a.b.c 的关 系
x y 2 1 2 a b