中职双曲线的定义及标准方程
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F1 F2 F1 F2
双曲线标准方程推导
求曲线方程的步骤： 1.建系 以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中 点为原点建立直角坐标系 2.设点． . 设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.限式 4.代换 5.化简
F
1
y
M
O
F
2
x
|MF1| - |MF2|=±2a
即 ( x c) y
记为2a(a>0).
思考： 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0 （即0<2a<2c）？如果不对常数加以限制 ，动点 的轨迹会是什么？
分3种情况来看：
①若2a=2c,则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线 ②若2a>2c,则轨迹是什么？ 此时轨迹不存在 ③若2a=0,则轨迹是什么？ 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
2 2
( x c) y 2a
2 2
y
M
代数式化简得：
x
F
1
O
F
2
(c a ) x a
2 2 2
2
y a (c a )
2 2 2
2
可令：c2-a2=b2 代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2 此即为焦 点在x轴 上的双曲 线的标准 方程
即: x a
2 2
y b
表示焦点在y轴的双曲线 时，求m的范围。
m 1 0 m2 2 m 0
小结
小结 ----双曲线定义Байду номын сангаас标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1
o
F2
x
F1
x
方程 焦点
a.b.c 的关 系
x y 2 1 2 a b
(2)双曲线上一点Ｐ， |ＰF1|=10,则|Ｐ 4或16 F2|=_________
x y 2.如果方程 1表示双曲线, 2 m m 1 求m的取值范围.
2
2
变式一: 方程 m的取值范围
x2 y2 1 2 m m 1
表示双曲线时，则
m 1 或 m 2
变式二:
x2 y2 1 2 m m 1
F ( ±c, 0)
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
c a b
2
问题1：椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等 于常数（大于|F1F2| ）的点的轨迹叫做 椭圆。 问题2：如果把椭圆定义中“距离的和” 改为“距离的差”那么动点的轨迹会发 生怎样的变化？
一、双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对 值等于常数（小于|F1F2|，且不等于0）的点 的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点 间的距离叫做双曲线的焦距。 通常情况下，我们把|F1F2|记为2c（c>0)； 常数
双曲线的性质
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
双曲线的定义及标准方程
目标解读
知识与技能：了解双曲线的定义，图形和 标准方程，能够运用坐标法推导双曲线的 标准方程。 过程与方法：类比椭圆的定义及标准方程 的推导，经历双曲线标准方程的形成过程， 体会坐标法的应用。 情感态度价值观：激发学习数学的乐趣， 提高分析问题、解决问题的能力。
焦点 a.b.c 的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不 一定大于b， c2=a2+b2
a>b>0， a2=b2+c2
1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双 曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等 于6，则 2 2 x y 1 (1)双曲线的标准方程为______________ 9 16
2
2
（a 0, b 0) 1
其中c2=a2+b2
y
M F O
1
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
F2
x F ( ±c, 0) F(0, ± c)
O
x
x2 y2 y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 （a 0, b 0) 1 2 2 a b a b 练习：写出以下双曲线的焦点坐标 x2 y2 x2 y 2 （） 1 1, (2) 1 16 9 16 9
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ (二次项系数为正,焦点在相应的轴上)
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭
定义 方程
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
x2 y 2 x2 y 2 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b y 2 x2 y 2 x2 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b
双曲线标准方程推导
求曲线方程的步骤： 1.建系 以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中 点为原点建立直角坐标系 2.设点． . 设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.限式 4.代换 5.化简
F
1
y
M
O
F
2
x
|MF1| - |MF2|=±2a
即 ( x c) y
记为2a(a>0).
思考： 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0 （即0<2a<2c）？如果不对常数加以限制 ，动点 的轨迹会是什么？
分3种情况来看：
①若2a=2c,则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线 ②若2a>2c,则轨迹是什么？ 此时轨迹不存在 ③若2a=0,则轨迹是什么？ 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
2 2
( x c) y 2a
2 2
y
M
代数式化简得：
x
F
1
O
F
2
(c a ) x a
2 2 2
2
y a (c a )
2 2 2
2
可令：c2-a2=b2 代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2 此即为焦 点在x轴 上的双曲 线的标准 方程
即: x a
2 2
y b
表示焦点在y轴的双曲线 时，求m的范围。
m 1 0 m2 2 m 0
小结
小结 ----双曲线定义Байду номын сангаас标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1
o
F2
x
F1
x
方程 焦点
a.b.c 的关 系
x y 2 1 2 a b
(2)双曲线上一点Ｐ， |ＰF1|=10,则|Ｐ 4或16 F2|=_________
x y 2.如果方程 1表示双曲线, 2 m m 1 求m的取值范围.
2
2
变式一: 方程 m的取值范围
x2 y2 1 2 m m 1
表示双曲线时，则
m 1 或 m 2
变式二:
x2 y2 1 2 m m 1
F ( ±c, 0)
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
c a b
2
问题1：椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等 于常数（大于|F1F2| ）的点的轨迹叫做 椭圆。 问题2：如果把椭圆定义中“距离的和” 改为“距离的差”那么动点的轨迹会发 生怎样的变化？
一、双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对 值等于常数（小于|F1F2|，且不等于0）的点 的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点 间的距离叫做双曲线的焦距。 通常情况下，我们把|F1F2|记为2c（c>0)； 常数
双曲线的性质
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
双曲线的定义及标准方程
目标解读
知识与技能：了解双曲线的定义，图形和 标准方程，能够运用坐标法推导双曲线的 标准方程。 过程与方法：类比椭圆的定义及标准方程 的推导，经历双曲线标准方程的形成过程， 体会坐标法的应用。 情感态度价值观：激发学习数学的乐趣， 提高分析问题、解决问题的能力。
焦点 a.b.c 的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不 一定大于b， c2=a2+b2
a>b>0， a2=b2+c2
1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双 曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等 于6，则 2 2 x y 1 (1)双曲线的标准方程为______________ 9 16
2
2
（a 0, b 0) 1
其中c2=a2+b2
y
M F O
1
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
F2
x F ( ±c, 0) F(0, ± c)
O
x
x2 y2 y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 （a 0, b 0) 1 2 2 a b a b 练习：写出以下双曲线的焦点坐标 x2 y2 x2 y 2 （） 1 1, (2) 1 16 9 16 9
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ (二次项系数为正,焦点在相应的轴上)
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭
定义 方程
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
x2 y 2 x2 y 2 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b y 2 x2 y 2 x2 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b