双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程
双曲线的一支． 当|MF1|－|MF2|＝2a 时，曲线仅表示焦点 F2 所对
应的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点 F1 所对应 的一支． (2)0＜2a＜|F1F2|.当 2a＝|F1F2|时，则动点的轨迹是以 F1、F2 为端点的 两条射线 ；当 2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在；当 2a
π 答案 {θ|2kπ－2＜θ＜2kπ，k∈Z}
探究 3 种形式：
(1)由于坐标系的建法不同，双曲线的标准方程有两
x2 y2 当焦点在 x 轴上时，其标准方程为 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)； a b y2 x2 当焦点在 y 轴上时，其标准方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)． (2)若曲线方程 Ax2＋By2＝1 表示双曲线，只需 A、B 异号， 即 A· B＜0 即可！
解析
如图，由双曲线定义
|PF2|－|PF1|＝8， |QF2|－|QF1|＝8，
∴|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝16， 即|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16.
答案 C
x2 y2 例 2 已知 M 是双曲线 － ＝1 上的一点，F1，F2 是双曲 40 9 线的两个焦点，∠F1MF2＝90° ，求△F1MF2 的面积．
探究 1
定义是解题的根本方法，好好利用有时能起到意想
不到的效果！
思考题 1
x2 y2 已知 F1、F2 是双曲线 － ＝1 的两个焦点， 16 9
PQ 是过点 F1 的弦，且 PQ 的倾斜角为 α，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ| 的值是( A．8 C．16 ) B．12 D．随 α 角的大小而变化
＝0 时，动点的轨迹是线段 F1F2 的 中垂线．
要点 2
双曲线及其标准方程式
双曲线及其标准方程式
双曲线是代数曲线中的一种，其标准方程常用于描述其形状。
标准方程式表示为：
(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 （双曲线的方程式）
其中x和y是坐标系中的变量，a和b是正实数，而a>b。
双曲线通常是对称于x轴和y轴的，并且具有两个分支。
当a和b相等时，双曲线变成一个特殊的形状，称为单位双曲线。
单位双曲线的标准方程变为：
(x^2/a^2) - (y^2/a^2) = 1 （单位双曲线的方程式）
双曲线在数学和物理中有广泛的应用，例如在电磁学、光学和力学等领域中描述抛物面、光学器件的形状和物体的运动等。
双曲线及其标准方程
双曲线1．双曲线的概念平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0；(1)当a <c 时，P 点的轨迹是双曲线．(2)当a ＝c 时，P 点的轨迹是两条射线．(3)当a >c 时，P 点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)1．方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线．(2)当m <0，n <0时，则表示焦点在y 轴上的双曲线．2．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(（4）．双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是m （5）．若双曲线x )x ±ny ＝0.( )2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 222．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )()A ．2B ．22C ．4D ．423．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.454．(教材改编)过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是()A ．28B ．14－82C ．14＋82D ．825．已知双曲线E ：x 216－y 2m 2＝1的离心率为54，则双曲线E 的焦距为__________．双曲线的定义的应用例题：（1）已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()A.x 22－y 216＝1(x ≤－2) B.x 22－y 214＝1(x ≥2)C.x 22－y 216＝1 D.x 22－y 214＝1（3）已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______________(4)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝__________.(5)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为()A ．1B ．52C ．2D ．5(6)．(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为()A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 2(8)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线．P 在l上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为()A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1(9)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是()A．4B．6C．8D．16(10)双曲线C的渐近线方程为y＝±233x，一个焦点为F(0，－7)，点A的坐标为(2，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△P AF周长的最小值为()A．8B．10C．4＋37D．3＋317双曲线的标准方程求双曲线标准方程的方法:(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB＜0)；②与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2＜k＜a2)．例题：（1）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．(2)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为(－3,0)，且C 的离心率为32，则双曲线C 的方程为()A.y 24－x 25＝1 B.y 25－x 24＝1 C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1(3)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是()A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1（4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为()A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1（5）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是()A ．x12－y 2＝1B ．x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D ．x 223－y 232＝1（6）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为()A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1(7)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在双曲线的右支上，点N 为F 2M 的中点，O 为坐标原点，|ON |－|NF 2|＝2b ，∠ONF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为23，则该双曲线的方程为__________．双曲线的几何性质求双曲线的渐近线方程例：（1）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±12xD ．y ＝±2x（2）已知双曲线T 的焦点在x 轴上，对称中心为原点，△ABC 为等边三角形．若点A 在x 轴上，点B ，C 在双曲线T 上，且双曲线T 的虚轴为△ABC 的中位线，则双曲线T 的渐近线方程为()A ．y ＝±153xB ．y ＝±53xC ．y ＝±33x D ．y ＝±55x (3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝12的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±22x D ．y ＝±2x(4)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形F 1NF 2M 的周长为p ，面积为S ，且满足32S ＝p 2，则该双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±32x B ．y ＝±233xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x求双曲线的离心率(范围)例：(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为()A.72B.132C.7D.13（2）．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__________．(3)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点O 的直线与双曲线C 的左、右支分别交于点P ，Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为()A ．3B ．1＋3C ．2＋3D ．4＋23(4)(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(5)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是()A ．(2，5)B.⎪⎭⎫⎝⎛2535，C.⎪⎭⎫⎝⎛2545，D ．(5，2＋1)双曲线几何性质的综合应用例：（1）已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是()A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3333， B.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6363，C.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-322322， D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332332，逻辑推理(2020·新高考卷Ⅰ)(多选)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.()A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线直线与双曲线的位置关系例题：若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，求k 的值．双曲线课后练习1．方程x2m＋2＋y2m－3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A．－3＜m＜0B．－1＜m＜3C．－3＜m＜4D．－2＜m＜3 2．在平面直角坐标系中，已知双曲线C与双曲线x2－y23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C的焦距为()A.3B．23C．33D．433.设双曲线C：x2－4y2＋64＝0的焦点为F1，F2，点P为C上一点，|PF1|＝6，则|PF2|为()A．13B．14C．15D．224．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则C的渐近线方程为()A．y＝±13x B．y＝±33x C．y＝±3x D．y＝±3x5．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点A到一条渐近线的距离为223a，则双曲线的离心率为()A．223B．13C．3D．226．已知双曲线的一个焦点F(0，5)，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为_____________7．已知双曲线x24－y25＝1的左焦点为F，点P为其右支上任意一点，点M的坐标为(1,3)，则△PMF周长的最小值为()A．5＋10B．10＋10C．5＋13D．9＋138．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB 的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为()A．12B．1C．2D．49.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|.若cos ∠F 1PF 2＝14，则该双曲线的离心率等于()A.22 B.52C ．2 D.3＋110．(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．3211．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°，若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝()A ．11＋43B ．13＋53C ．16－63D ．19－10312．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为()A.52 B.5C.2D ．213．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝6，则双曲线C 的离心率为)______________14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝120°，则双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线C 的实轴长为4，则△F 1PF 2的面积为__________．15．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于_____________16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线的左、右两支于M ，N .若以MN 为直径的圆经过右焦点F 2，且|MF 2|＝|NF 2|，则双曲线的离心率为____________.17．已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线上，F 为双曲线C 的右焦点，O 为原点．若∠FPO ＝90°，则双曲线C 的方程为_____________，其离心率为__________.18．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．19．(2021·山东淄博二模)已知动点P 在双曲线C ：x 2－y 23＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下列结论错误的是()A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y ＝±3xC ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2|2的最大值为14。
双曲线及其标准方程
2
y
F2
2
22
x
上式也是双曲线的标准方程
F1
P o y x F1 F2
步骤一：建立直角坐标系 以F1，F2所在直 线为x轴，线段F1F2 的垂直平分线为y轴， 建立直角坐标系xOy， 则F1，F2的坐标分别 为(－c，0)，(c， 0)．
y P
F1
o
F2
x
步骤二：设动点坐标 设双曲线上任意一点P的坐标为(x,y) ， 步骤三：列等式 根据双曲线定义知：PF1-PF2＝2a， 步骤四：代入坐标 即： ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 ． 2a
步骤五：化简方程
化简,得:
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) 因为c2-a2>0,所以令c2-a2=b2(b>0)得 b2x2-a2y2=a2b2 两边除以a2b2,得
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2
2
想 一 想
如果焦点在y 轴上（如右图）， 此时双曲线的方程是什么？
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数 (大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．
强调:(1)平面内．
(2)常数大于F1F2.
双曲线的定义：
平面内到两个定点F1，F2 的距离的距离的差的绝对值等 于常数 ( 小于F1F2 )的点的轨迹 ——双曲线 两个定点F1，F2——椭圆的焦点 两焦点间的距离——椭圆的焦距
P
y
3.2.1双曲线及其标准方程
A
O
B
x
直线M的斜率为
由题有
+5
×
−5
=
(
+5
≠ −5),
=
( ≠ 5),
−5
4
(
9
≠ ±5）.
2
化简，得到M的轨迹方程为
25
2
− 100 = 1( ≠ ±5).
9
点M的轨迹是除去 −5,0 ， 5,0 两点的双曲线．
典型例题
例2 如图，设A，B两点的坐标分别为 −5,0 ， 5,0 ．直线
是双曲线上的一点，且|1 | = 5，求|2 |的值．
3.2.1 双曲线及其标准方程
第二课时
复习回顾
双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的）的点的轨迹叫做双曲
线（hyperbola）．
双曲线的标准方程：
焦点在x轴上：
2
2
2
焦点在y轴上： 2
再增设一个观测点C，利用B,C（或A,C）
两处测得的点P发出的信号时间差
确定点P所在另一双曲线的方程
联立方程组
点P的位置
典型例题
例2 如图，设A，B两点的坐标分别为 −5,0 ， 5,0 ．直线
，
4
相交于点M，且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程．
9
解: 设M(x,y).
y
则直线AM的斜率为 =
平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于0的点的轨迹是什么？
F1
线段F1F2的垂直平分线
F2
双曲线的标准方程
类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得
出双曲线的方程？
第59讲 双曲线及其标准方程
(2)经过点(2,1),且渐近线与圆 x2＋(y－2)2＝1 相切的
双曲线的标准方程为( )
A.1x12 －1y12 ＝1 3
B.x22－y2＝1
C.1y12 －1x12＝1 3
D.1y12 －1x12 ＝1 3
解：(2) 设双曲线的方程为ax22－by22＝λ(a>0,b>0,λ≠0),
(3)双曲线ax22－by22＝1 的渐近线为ax22－by22＝0.一般地，双 曲线的一个焦点到它的渐近线的距离 d＝b.
【变式探究】
3．(1)(2017·新课标卷Ⅱ)若 a＞1，则双曲线ax22－y2＝1
的离心率的取值范围是( )
A．( 2，＋∞)
B．( 2，2)
C．(1， 2)
D．(1,2)
解：(1)由题意得双曲线的离心率 e＝
a2＋1 a.
所以 e2＝a2a＋2 1＝1＋a12.
因为 a>1，所以 0<a12<1，所以 1<1＋a12<2， 所以 1<e< 2.
答案：C
(2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x2＝ 2py(p>0)交于 A，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双 曲线的渐近线方程为
曲线 C：x2－my2＝4m(m>0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一
条渐近线的距离为( )
A．2
B．4
C．2m
D．4m
解：双曲线 C：4xm2 －y42＝1，双曲线的焦点到一条渐近
线的距离为虚轴的一半，即 2.
答案：A
双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程一、要点精讲1．双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.说明：⑴在双曲线定义中，如果常数212F F a =，则轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线；如果212F F a >，则轨迹不存在； 如果02=a ，则轨迹为线段21F F 的垂直平分线． ⑵双曲线的定义中，“差的绝对值”和“小于21F F ”都十分重要，不可忽视．如果没有“绝对值”，则动点的轨迹只能是双曲线的一支；若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，则a MF MF 221=-表示双曲线的右支，a MF MF 221-=-表示双曲线的左支．2．双曲线的标准方程二、课前热身1．已知定点()0,21-F ，()0,22F ，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中为双曲线的是（ ）(A) 321±=-PF PF (B) 421±=-PF PF (C) 521±=-PF PF (D) 42221±=-PF PF(A) 4 (B) 2 (C) 8 (D) 162. 设θ是第三象限角，方程θθcos sin 22=+y x 表示（ ）(A)焦点在x 轴上的椭圆 (B) 焦点在y 轴上的椭圆 (C)焦点在x 轴上的双曲线 (D) 焦点在y 轴上的双曲线3. 已知双曲线的焦距为26，且13252=c a ，则双曲线的标准方程是 (A)11692522=-y x (B) 11692522=-x y (C) 11442522=-y x (D) 11442522=-y x 或11442522=-x y 4．已知双曲线116922=-y x 上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为 ．5. 已知两点()0,51-F ，()0,52F ，动点P 满足621=-PF PF ，求动点P 的轨迹方程．6．求以椭圆192522=+y x 长轴端点作焦点，且过点()3,24的双曲线方程．三、典例精析题型一：双曲线的定义及应用1. 1F 、2F 是双曲线1922=-my x 的左、右焦点，AB 是过1F 的一条弦（A 、B 均在双曲线的左支上），若2ABF ∆的周长为30，则弦长|AB|＝ ．2. 双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的焦点为1F 、2F ，弦AB 过1F 且在双曲线的同一支上，若AB BF AF 222=+，则2ABF ∆的周长为（ ）。
双曲线及其标准方程
练习：教材P48练习1
例题分析
例2. 已知 F1 (5, 0), F2 (5, 0) , 动点 P 到 F 1、F2 的 距离之差的绝对值为6，求点 P 的轨迹方程.
双曲线标准方程的推导
5
一、建立坐标系；设动点为 P(x,y)
M(x,y)
注：设两焦点之间的距离为 2c(c>0), 即焦点F 1(c,0),F 2(-c,0)
-5
F1(-c,0)
F2(c,0)
5
二、根据双曲线的定义找出P点 满足的几何条件。
-5
| MF1 | | MF2 | 2a 0 a c
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c
——焦距.
思考：
1、当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是什么图形？
表示以焦点F1 , F2为端点的两条互相反向的射线。
2、当2a>|F1F2|时，点M的轨迹是什么图形？
轨迹不存在。
3、当2a=0时，点M的轨迹是什么图形？
线段F1F2的垂直平分线。
思考 如图： |MF1|＋|MF2| =2a（大于|F1 F2|） ，M 的轨迹是椭圆.那么如果|MF1|-|MF2| =2a 或者 是|MF2|-|MF1| =2a ，M的轨迹又是什么呢？ y
M c c F1 O F2
x
类似椭圆定义: 平面内与两个定点F1，F2的距离的差 等于常数2a的点的轨迹叫做双曲线.
令
c a b
2 2
2
得
双曲线及其标准方程
变式训练
答案：S 1
典例导航：利用双曲线定义的求方程
例2 如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定 圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切， 求动圆圆心M的轨迹方程．
解 圆 F1： (x＋ 5)2＋ y2＝1，圆心 F1(－5， 0)，半径 r1 ＝1； 圆 F2： (x－5)2＋ y2＝42，圆心 F2(5，0)，半径 r2＝ 4. 设动圆 M 的半径为 R， 则有 |MF1 |＝ R＋1，|MF2 |＝R＋4， ∴|MF2|－ |MF1 |＝3<10＝|F1F2|. ∴点 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的双曲线的左支，且 3 91 a＝ ，c＝ 5，于是 b2＝ c2－a2＝ . 2 4 x2 y2 3 ∴动圆圆心 M 的轨迹方程为 － ＝ 1(x≤－ )． 9 91 2 4 4
x2 y2 答：A的轨迹方程为： 1( x 0) 4 12
归纳小结
1．双曲线定义中注意的问题 (1)注意定义中的条件2a＜|F1F2|不可缺少．
若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线；
若2a＞|F1F2|，则动点的轨迹不存在．
(2)注意定义中的关键词“绝对值”.
若去掉定义中的“绝对值”三个字，
F1 (c,0); F2 (c,0)
2
F1 (0,c); F2 (0, c)
2 2
F1F2 2c; c a b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
复习训练
x2 y2 1.已知方程 2 m m 3 1 表示焦点在
y 轴上的双曲线，求 m 的
取值范围； 2.已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线过点(3，－4 2) 9 和( ，5)，求双曲线的标准方程； 4 x 2 y2 3.求与双曲线 － ＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)的双曲 16 4 线方程． y2 x 2 x 2 y2 1. m>2; 2. － ＝1; 3. － ＝1. 16 9 12 8
双曲线及其标准方程
2．3双曲线2．3.1双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程．2.掌握双曲线的标准方程．3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．(3)焦点：两个定点F1、F2．(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.2．双曲线的标准方程1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．()(2)点A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．()(3)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a>0，b>0且a≠b.()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知双曲线x216－y29＝1，则双曲线的焦点坐标为()A．(－7，0)，(7，0)B．(－5，0)，(5，0) C．(0，－5)，(0，5) D．(0，－7)，(0，7)答案：B3．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是()A.y236－x264＝1B.x264－y236＝1C.x236－y264＝1D.x236－y264＝1或y236－x264＝1答案：D4．设双曲线x216－y29＝1的右支上一点P到左焦点F1的距离是15，则P到右焦点F2的距离是________．答案：7探究点一 求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；[解] (1)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设知，a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b 2＝1，解得a 2＝20，b 2＝16. 故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.(2)因为焦点相同，所以设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 所以c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20.①因为双曲线经过点(32，2)，所以18a 2－4b 2＝1.②由①②得a 2＝12，b 2＝8，所以双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.求双曲线的标准方程的步骤求双曲线的标准方程通常采用待定系数法，步骤归结如下：1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)经过点(3，0)，(－6，－3)．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a 2－（15）2b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，因为双曲线经过点(3，0)，(－6，－3)，所以⎩⎨⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.探究点二 双曲线定义的应用设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，求△PF 1F 2的面积．[解] 由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2，因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝2c ＝213，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0， 所以△F 1PF 2为直角三角形．S △PF 1F 2＝12×6×4＝12.若将“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“|PF 1|·|PF 2|＝24”，求△PF 1F 2的面积．解：由双曲线方程为x 2－y 212＝1，可知a ＝1，b ＝23，c ＝1＋12＝13.因为|PF 1|·|PF 2|＝24，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|－|PF 2|）2＋2|PF 1|·|PF 2|－4c 22×24＝4＋2×24－4×1348＝0 所以△PF 1F 2为直角三角形．所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件||PF 1|－|PF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、余弦定理，同时要注意整体运算思想的应用．2.(1)若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点F 2的距离为8，则点P 到它的左焦点F 1的距离是( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6(2)已知双曲线x 24－y 29＝1，F 1、F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积．解：(1)选C.由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝4， 所以||PF 1|－8|＝4，所以|PF 1|＝4或12.(2)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝13，不妨设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)．由双曲线定义得r1－r2＝2a＝4.两边平方得r21＋r22－2r1·r2＝16，即|F1F2|2－4 S△F1MF2＝16，即4 S△F1MF2＝52－16，所以S△F1MF2＝9.探究点三利用双曲线的定义求轨迹问题动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解]设动圆半径为R，因为圆M与圆C1外切，且与圆C2内切，所以|MC1|＝R＋3，|MC2|＝R－1，所以|MC1|－|MC2|＝4.所以点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且有a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5，所以所求轨迹方程为x24－y25＝1(x≥2)．本例中圆的方程不变，若动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：如图，设动圆半径为R，根据两圆外切的条件，得|MC2|＝R ＋1，|MC1|＝R＋3，则|MC 1|－|MC 2|＝2.这表明动点M 与两定点C 1，C 2的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的右支(点M 与C 1的距离大，与C 2的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，则其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >0)．用定义法求轨迹方程的一般步骤(1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)．(2)根据已知条件确定参数a ，b 的值(定参)．(3)写出轨迹方程并下结论(定论)．3.(1)若动点M 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)的距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1C.x 29－y 216＝1(x <0)D.x 29－y 216＝1(x >0)(2) 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解：(1)选D.由双曲线的定义得，P 点的轨迹是双曲线的一支．由已知得⎩⎨⎧2c ＝10，2a ＝6，所以a ＝3，c ＝5，b ＝4.故P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x >0)，因此选D.(2)以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．因为2sin A ＋sin C ＝2sin B ，所以2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c 2，从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |.所以a ＝2，c ＝22，b 2＝6，所以顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >0，y ≠0)．1．对双曲线标准方程的三点说明(1)标准方程中两个参数a 和b ，是双曲线的定形条件，确定了其值，方程也即确定．并且有b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别．(2)焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x 2的系数为正，则焦点在x 轴上，若y 2的系数为正，则焦点在y 轴上．(3)在双曲线的标准方程中，因为a ，b ，c 三个量满足c 2＝a 2＋b 2，所以长度分别为a ，b ，c 的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c 的线段是斜边，如图所示．2．对双曲线定义的理解设M (x ，y )为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的任意一点，左、右焦点分别为F 1，F 2.若点M 在双曲线的右支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|－|MF 2|＝2a ；若点M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|－|MF 2|＝－2a .因此得到|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，这与椭圆的定义中|MF 1|＋|MF 2|＝2a 是不同的．[注意] 双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．3．双曲线方程的其他形式(1)当双曲线的焦点所在坐标轴不易确定时可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B ＝1.因此，当A >0时，。
双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程
双曲线(Hyperbola)是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹[1]。
双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于中轴的平面的交截线。
设双曲线的焦距为2c，双曲线上任意一点到焦点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(c>a>0)[2]
以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1，F2的坐标分别为（-c,0），（c,0）设M（x,y）为双曲线上任意一点，根据双曲线定义知
|MF1-MF2|=2a
即
以上两种方程都叫做双曲线的标准方程p。
方程推导：
椭圆和双曲线标准方程的推导方法大致有两种：一种是教材上移项平方的方法，另一种是资料上常见的构造对偶式的方法．这两种方法的运算量都比较大，尤其前一种方法需要两次移项平方．最近，笔者在进行椭圆的教学时，又发现了一种运算量较小的办法，即根据圆和椭圆的方程都具备“二元二次”的特征，可通过构造圆的方程能简化椭圆标准方程的推导过程，而该方法也同样适用于双曲线标准方程
的推导。
双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程双曲线是高等数学中的一种曲线，它具有独特的形状和性质。
本文将为您详细介绍双曲线以及其标准方程。
双曲线的定义还是比较复杂的，不过我们可以使用几何的方式来理解它。
首先，我们先来了解一下什么是轴对称图形。
在平面几何中，轴对称图形是指如果以图形中的某一条线为轴进行折叠，那么图形的两部分将完全重合。
举个例子，如果我们把方形图形以竖直中线为轴对称折叠，那么左侧和右侧的两部分将完全重合。
现在我们来介绍一下双曲线的定义。
双曲线可以定义为一个轴对称图形，其中的每一点到两个固定点的距离之差的绝对值始终是一个常数。
这两个固定点称为焦点，而常数称为离心率。
离心率是一个大于1的实数。
我们可以通过一个简单的实例来理解双曲线。
假设有一个点P，它到焦点F1的距离为d1，到焦点F2的距离为d2。
那么根据双曲线的定义， d1 - d2 = k，其中k为常数。
换句话说，对于双曲线上的任意一点P，它到焦点的距离之差始终为常数k。
这就是双曲线的几何性质。
双曲线在数学和物理学中都有着重要的应用。
在数学中，双曲线作为一个重要的几何概念，被广泛应用于各种数学分支中。
另外，双曲线也在物理学中发挥着重要的作用。
在光学中，双曲线被用来描述折射和反射现象。
在电磁学中，双曲线则被用来描述电磁波的传播和辐射。
可见，双曲线的研究对于理解和应用许多自然现象都至关重要。
接下来，我们将介绍双曲线的标准方程。
双曲线的标准方程由两个变量x和y组成。
一般来说，双曲线的标准方程可以表达为：$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$ 其中a和b都是正实数，并且a不等于b。
这是一个非常常见且重要的双曲线方程。
双曲线的标准方程中的a和b分别控制了双曲线的形状。
特别地，a称为双曲线的横轴长度，而b称为双曲线的纵轴长度。
a和b的大小关系将决定双曲线的开口方向和形状。
当a大于b时，双曲线的开口方向为上下，形状较窄。
而当b大于a时，双曲线的开口方向为左右，形状较宽。
双曲线及其标准方程
∴直线 PD 的方程为 y－ 3＝ 13(x＋4)，
①
又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
∴双曲线方程为x42－y52＝1(x≥2)，
②
联立①②，得 P 点坐标为(8,5 3)，
∴kPA＝85－33＝ 3，
因此甲舰行进的方向角为北偏东30°.
所以 S F1PF2 ＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
＝12×64× 23＝16 3.
反思 感悟
双曲线的定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离， 进而根据定义求该点到另一焦点的距离. (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、 勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整 体思想和一些变形技巧的灵活运用.
(2)求过点 P3，145，Q－136，5且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程.
解 设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
因为点P，Q在双曲线上，
则9A＋21265B＝1， 2956A＋25B＝1，
解得A＝－116， B＝19.
故双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
反思 感悟
求双曲线的标准方程 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按 焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解. (2)当 mn<0 时，方程xm2＋yn2＝1 表示双曲线.
跟踪训练 1 (1)若双曲线 E：x92－1y62 ＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在
双曲线 E 上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于
A.11
√B.9
C.5
D.3
双曲线及其标准方程
§ 9. 6双曲线1.双曲线的概念平面内动点P与两个定点Fi、F2(|FiF2|二2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c),则点P的轨迹叫_________________ •这两个定点叫双曲线的___________ ,两焦点间的距离叫_________ .集合p 二{Ml |MFi| —|MF2|h 2a}, |FiF21二2c,其中a> c 为常数且a>0, c>0:⑴当 ________ 时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a二c时，P点的轨迹是________________ ;⑶当 ________ 时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程X1 2 y J尹芦I(a>0, b>0)y2 x2 1訂孑|(a>0, b>0)图形性质范囤x> a 或x〈一a, y € R x€ R, y<— a 或y > a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点Ai (— a, 0), A2 (a, 0)Ai (0, — a), A2 (0, a)渐近线7二土bx y 二土ax1 双曲线中a, b, c的关系双曲线屮有一个重要的RtA OAB(如右图)，它的三边长分别是a. b、c.易见凸a2+ b2,c i若记 / AOB 二0,贝U e二i二.a cos 02 双曲线的定义用代数式表示为| —|MF川二2a,其中2a< |FiF21,这里要注意两点：(1)距离Z差的绝对值.(2)2a<| FiF21.这两点与椭圆的定义有本质的不同：①当MFi|— |MF21 = 2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支;② 当|MFi| —|MF2〔二一2a 时，曲线仅表示焦点Fi 所对应的一支； ③ 当2a 二FiF2〔时，轨迹是一直线上以Fi 、F2为端点向外的两条射线; ④ 当2a>|FiF2〔时，动点轨迹不存在. 3. 渐近线与离心率x y三一存二1 (a>0, b>0)的一条渐近线的斜率为看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小. 1.已知点F i (— 4, 0)和F2(4,0),—曲线上的动点P 到Fi, F2距离之差为6,该曲线方程是 _____________________________________________________________________________ • 2. 双曲线m/+ y= 1的虚轴长是实轴长的2倍，贝V m 二 __________________________________ 3•已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中， 有一个内角为60 °则双曲线C 的离心率为 __________2 2 2x广1 Q>0, b>o)和椭圆 「6尸二1有相同的焦点，且双A Znn-i -1. I . -Z- \ ZJ /rn TH7 H+i Zrk°曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 _____________ . 5.若双曲线2-1 (a>0, b 〉0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的a b离心率为 ()1已知定点 A(0,7)、B(0, — 7)、C(12, 2),以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求另一焦点 F 的轨迹方程.探究提高双曲线的定义理解到位是解题的关键•应注意定义屮的条件“差的绝对值”，弄清所 求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支.若是一支，是哪一支，以确保解答的正确性.在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ ABC 的顶点A(6, 0)和C(6, 0),若顶点B 在双曲线 吕一£二1的左支上，贝1」25 11sin A — sin CA. , 5题型一双曲线的定义 B. 5C. 2D. 2ba认2-「可以sin B -------------------- 题型二双曲线的标准方程(1)若双曲线的渐近线方程为y二±3x,它的一个焦点是(_10, 0),求双曲线的方程;⑵已知双曲线的渐近线方程为方程.4y二土x,并且焦点都在圆x2+ y‘二100 ±,求双曲线的题型三双曲线的几何性质3 屮心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点Fi, F2,且|FiF2二2 ,13,椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4,离心率之比为3 : 7.(1)求这两曲线方程；⑵若P为这两曲线的一个交点，求cos/ F1PF2的值.探究提高在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多•由于e二°是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用甘二c2- /消去b,然后变形求e,并且需注意e>l .如图，已知Fi、F2为双曲线& b尸1 (a>0, b>0)的焦点，过F2作垂直于X轴的直线交双曲线于点P,且/ PF1F2二30 0求：(1)双曲线的离心率；(2)双曲线的渐近线方程.题型四直线与双曲线的位置关系2 2过双曲线X_ y^l的右焦点2,Q a倾斜角为30°的直线交双曲线于A, B两点，0为坐标原点，Fi为左焦点.⑴求ABI；⑵求△ A0B的面积；⑶求证：|AF21+ |BF2|= |AFi|+ |BFi|.探究提高双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系•解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题. 设直线与双曲线交于A(xi, yi), B(X2, y£两点,直线的斜率为k,则|AB|= . 1 + k21xi -X2 .直线I: y二kx+ 1与双曲线C: 2x=— y— 1的右支交于不同的两点A、B .(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.10.忽视直线与双曲线相交的判断致误试题：(14分)已知双曲线疋一2二1，过点P(l,l)能否作一条直线I,与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的屮点学生解答展示审题视角(1)本题属探索性问题•若存在，可用点差法求出AB的斜率，进而求方程；也可以设斜率k,利用待定系数法求方程.(2)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验. 规范解答解设点A(Xi, yi), B(X2, y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x。
双曲线及其标准方程
x y a b
2
2
1(a 0, b 0)
x
9
2
y
2
16
1
例2: 求适合下列条件的双曲线的标准方程。
廓就是双曲线。
下面我们来做个实验：
• 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边 上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔 尖放在M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔 尖所经过的点在画一条曲线，请思考是什么样 的曲线？
这条曲线是满足下面条件的点的集合： ①如图(A)
|MF1|-|MF2|=2a
②如图(B)
|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
上面两条曲线合起来叫做 双曲线。 你能不能类别椭圆的定义，给双曲线下定义呢？
二、双曲线的定义
• 平面内与两定点F1`F2的距离的差的绝对值等 于常数（小于|F1F2| ）的点的轨迹叫做双曲 线。 • 这两个定点叫做双曲线的焦点（F1和F2） • 两焦点的距离叫做双曲线的焦距（ |F1F2| ）
M
焦点在y轴上： y M F2
F1
O
F2
x
x
O
F1
x y 2 1(a, b 0) 2 a b
2
2
y2 x2 2 1(a, b 0) 2 a b
如何判断双曲线的焦点的位置
？
x2项的系数为正，则焦点在x轴上；而
y2项的系数为正，则焦点y在轴上。
双曲线及其标准方程
利用定义解题
12 .已知 A , B 两地相距 800 m , 在 A 地听到炮弹爆炸声比在 2 s , 且声速为 340 m / s , 求炮弹爆炸点的轨迹方 变 1 : 某中心接到其正东、正 正西、正北两个观测点 巨响的时间比其它两观 程. 点的报告 : B 地晚 西、正北方向三个观测
同时听到了一声巨响
( 4 ) a 2 5 , 经过点 A ( 5 , 2 ); ( 5 )过点 ( 3 ,
1、如果明确了双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上， 那么所求的双曲线一定是标准形式. 2、常用的待定系数法可设
x a
2 2
y b
2 2
1,
y a
2 2
x b
2 2
1,
mx
2
ny
2
1( m , n 同号 )
待定系数法求标准方程
4 .求下列双曲线的标准方 程： (1) a 4 , b 2 , 焦点在 x 轴上； 2 )焦点为 ( 0 , 6 ), ( 0 , 6 ), 经过点 ( 2 , 5 ); ( ( 3 )焦点为 ( 5 , 0 ), ( 5 , 0 ), 双曲线上一点 P 到两焦点距离差的绝对 15 4 ), ( 16 3 ,5 ) 值为 6 ;
当0<a<c时，轨迹为双曲线 当a>c时，轨迹为椭圆 当a=c时，轨迹为两条射线 当a=c时，轨迹为线段F1F2 当a>c时，无轨迹 当a<c时，无轨迹 当a=0时，轨迹为垂直平分线
双曲线的标准方程
如图建立坐标系，使x轴经过F1、F2， 并且 原点O与线段F1F2的中点重合。设M(x , y)为 双曲线上任一点,双曲线焦距为2c(c>0),则 F1(－c,0), F2(c,0)
双曲线其标准方程
焦点与顶点关系
双曲线的焦点到顶点的距离等于c，其中a为横轴长度，b 为纵轴长度，c² = a² + b²。
双曲线的切线性质
切线斜率
对于双曲线上的任意一点P，其切线的斜率k满足k = -e²/((1+e²)(1-e²))。其中e为离心率。
双曲线及其标准方程
• 双曲线的定义 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识
目录
01
双曲线的定义
平面上的双曲线
平面上的双曲线由两条开口不 相同的抛物线组成，它们关于x 轴或y轴对称。
双曲线的两个顶点位于x轴或y 轴上，顶点之间的距离称为焦 距。
双曲线的实轴和虚轴分别与x轴 和y轴重合。
双曲线的渐近线
• 渐近线：双曲线有两条渐近线，它们是直线，与 双曲线无限接近但不相交。渐近线的斜率等于离 心率。
双曲线的对称性
• 对称性：双曲线具有对称性，它关于原点对称，也关于两 个渐近线对称。
03
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
当双曲线的焦点位于x 轴上时，其标准方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$， 其中$a$和$b$是常数， 分别表示双曲线的实半 轴和虚半轴的长度。
空间中的双曲面
空间中的双曲面是一种三维几何 图形，由两个开口的旋转抛物面 组成，它们关于x轴、y轴或z轴
对称。
双曲面的两个顶点位于x轴、y轴 或z轴上，顶点之间的距离称为
焦距。
双曲面的实轴和虚轴分别与x轴、 y轴或z轴重合。
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M
符号表示：
||MF1| - |MF2||=常数（小于|F1F2|） F1 o F2
注意 (1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
(2)常数要小于|F1F2|大于0 0<2a<2c
【思考1】如何理解双曲线的定义？
【剖析】“常数要小于|F1F2|且大于 0” 这一条件可以用 “三角形的两边之差小于第三边”加以理解．“差的绝对值”这 条件是因为当|MF1|＜|MF2|或|MF1|＞|MF2|时，点 P 的轨迹为 双曲线的一支．而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中 应为“差的绝对值”．
16 9
16 9
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
(二次项系数为正,焦点在相应的轴上)
双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
y2 x2 1(a 0,b 0)
a2 b2
焦点 a.b.c的关系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0， c2=a2-b2
a最大
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一定大于b， c2=a2+b2 c最大
共性： 1、两者都是平面内动点到两定点的距离问题； 2、两者的定点都是焦点； 3、两者定点间的距离都是焦距。
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
2、双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
4.代换 即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
5.化简
y
M 代数式化简得：
F1 O F2
x (c2 a2) x2 a2 y2 a2 (c2 a2)
可令：c2-a2=b2
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
即:
x2 a2
y2 b2
（ 1 a
0, b
0)
其中c2=a2+b2
区别： 椭圆是距离之和； 双曲线是距离之差的绝对值。
当堂训练：
1.已知方程 x2 y2 1表示椭圆，则 m
的取值范围是m__1___2___m____.
解： m 1 0
2 m 0 m 1 2
m
1
m
2且m
3 2
若此方程表示双曲线，m 的取值范围？
解： (m 1)(2 m) 0 m 1或m 2
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.两条射线 D.一条射线
3、 双曲线标准方程推导
求曲线方程的步骤：
y
1.建系
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中 点为原点建立直角坐标系
2.设点．
F1
M
O F2 x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F. 2(c,0)
3.限式 |MF1| - |MF2|=±2a
和 等于常数
Y Mx, y
O
F1 c, 0
F2 c, 0 X
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
2、椭圆的两种标准方程：
定义 图形
|MF1|+|MF2|=2a
y
y
M
F2
M
F1 o
F2 x
o
x
F1
焦点及位置 判定
焦点F1(c,0), F2 (c,0)
焦点F1(0,c), F2 (0, c)
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
反比例函数的图像 双曲线交通结构可缓拥堵
冷却塔
罗兰导航系统原理
全球卫星定位导航系统
1．了解双曲线标准方程的推导过程． 2．能根据条件熟练求出双曲线的标准方程． 3．掌握双曲线的定义与标准方程．
一.复习提问：
1、椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距的 2a ( 2a > |F1F2| ) 的点的轨迹.
1.在作图的过程中哪些量是定量？ 哪些量是不定量？ 2.动点在运动过程中满足什么条件？ 3.这个常数与|F1F2|的关系是什么？ 4.动点运动的轨迹是什么？ 5.若拉链上被固定的两点互换， 则出现什么情况？
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
F2 c, 0 X
思考问题：
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
1．了解双曲线标准方程的推导过程． 2．能根据条件熟练求出双曲线的标准方程． 3．掌握双曲线的定义与标准方程．
观察演示过程中的变量和不变量。
1、画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
观察画双曲线的过程思考问题
此即为焦 点在x轴 上的双曲 线的标准 方程
y
M
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
F1 O F2 x
O
x
F ( ±c, 0) F(0, ± c)
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
y2 a2
x2 b2
（1 a
0,b
0)
练习：写出以下双曲线的焦点坐标
（1）x2 y2 1, (2) x2 y2 1
若2a>F21c，动点MF的2 轨迹不存在
F1
.
F2
若2a=0，动点M的是轨迹__线__段__F_1_F_2_的M__垂__直__平__分__线___.
因此，在应用定义时，首先要考查 2a与2c的大小 .
当堂训练
1.动点P到点M(-1,0)的距离与到点N(1,0)的距 离之差为2,则点P轨迹是( D )
标准方程
a,b,c之间
的关系
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
a>b>0，a2=b2+c2
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
一.复习提问：
1、椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a > |F1F2| ) 的点的轨迹.
Y Mx, y
O
|MF1|+|
【思考2】说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？
（F1、F2是两定点, |MF1|－|MF2| =2a, |F1F2| =2c (0<a<c)
当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹 双曲线的右支
；
当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹 双曲线的左支 ；
若2a=2c，动点MM的轨迹 以F1、F2为端点的两条射线 ；