双曲线及其标准方程教案
双曲线及其标准方程教案与说明(甘肃)
双曲线及其标准方程教案与说明（甘肃）教案内容：一、教学目标1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 引导学生掌握双曲线的标准方程及其变换。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学重难点1. 重点：双曲线的定义、性质、标准方程及其变换。
2. 难点：双曲线标准方程的推导及应用。
三、教学准备1. 教师准备：双曲线的课件、例题、习题。
2. 学生准备：笔记本、文具、已学过的相关知识。
四、教学过程1. 导入：通过复习直线、圆等基本几何图形，引导学生思考双曲线的定义和特点。
2. 新课导入：介绍双曲线的定义，引导学生掌握双曲线的性质。
3. 例题讲解：讲解双曲线的标准方程及其变换，让学生通过例题理解并掌握双曲线的标准方程。
4. 课堂练习：让学生独立完成练习题，巩固双曲线标准方程的知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调双曲线标准方程的重要性和应用。
五、课后作业1. 完成课后习题，加深对双曲线及其标准方程的理解。
2. 结合生活实际，寻找双曲线模型的应用，提高学生的数学应用能力。
说明：本教案根据甘肃地区的教学实际情况编写，注重学生的基本数学素养的培养，难度适中。
在教学过程中，教师要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习兴趣和自信心。
通过课后作业的设置，让学生将所学知识应用到实际生活中，提高学生的数学应用能力。
六、教学拓展1. 引导学生探索双曲线的参数方程及其图像。
2. 介绍双曲线在其他领域的应用，如物理学、天文学等。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，让学生总结双曲线及其标准方程的知识。
2. 强调双曲线在数学和实际生活中的重要性。
八、课后反思1. 教师对本节课的教学情况进行反思，分析学生的学习效果。
2. 根据学生的反馈，调整教学方法和解题策略，为下一节课做好准备。
九、章节测试1. 设计一份章节测试题，测试学生对双曲线及其标准方程的掌握程度。
2. 及时批改测试题，了解学生的学习状况，为下一步教学提供依据。
双曲线及其标准方程教案与说明(甘肃)
双曲线及其标准方程教案与说明(甘肃)教案内容：一、教学目标1. 让学生理解双曲线的定义和性质。
2. 引导学生掌握双曲线的标准方程及其应用。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学重难点1. 双曲线的定义和性质的理解。
2. 双曲线标准方程的推导和应用。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究双曲线的定义和性质。
2. 运用几何画图工具，直观展示双曲线的形状和特点。
3. 通过例题讲解和练习，巩固双曲线标准方程的应用。
四、教学准备1. 教学课件和几何画图工具。
2. 练习题和答案解析。
五、教学过程1. 导入：复习直线、圆和椭圆的相关知识，引导学生思考曲线的一般性质。
2. 新课：介绍双曲线的定义和性质，通过几何画图工具展示双曲线的形状和特点。
3. 推导双曲线的标准方程：引导学生运用已知知识，推导出双曲线的标准方程。
4. 应用：通过例题讲解和练习，让学生掌握双曲线标准方程的应用。
5. 总结：回顾本节课所学内容，强调双曲线的定义、性质和标准方程的重要性。
6. 作业布置：布置适量练习题，巩固所学知识。
教案说明：本教案根据甘肃地区的高中数学教学要求，以学生为中心，注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
在教学过程中，通过问题驱动法和几何画图工具，引导学生主动探究双曲线的定义和性质，注重练习和应用，使学生能够熟练掌握双曲线标准方程的应用。
六、教学拓展1. 引导学生思考双曲线与其他曲线的关系，如抛物线和椭圆。
2. 探讨双曲线的应用领域，如物理学中的电磁波传播、天文学中的星体运动等。
七、练习与反馈1. 提供一组练习题，让学生独立完成，巩固双曲线及其标准方程的知识。
2. 针对学生的练习情况，进行反馈和讲解，帮助学生纠正错误和不清晰的地方。
八、课堂小结1. 回顾本节课的主要内容，强调双曲线的定义、性质和标准方程的重要性。
2. 提醒学生注意双曲线在实际问题中的应用，培养学生的数学应用意识。
九、作业布置1. 布置一组练习题，要求学生按时完成，巩固双曲线及其标准方程的知识。
优秀教案双曲线及其标准方程
良机网首页高中青年数学教师优秀课教案:双曲线及其标准方程(一)高中青年数学教师优秀课教案：双曲线及其标准方程（一）教学目标：（1）知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准方程；（2）过程与方法：通过定义及标准方程的深刻开采与探究，使学生进一步体验认识类比发现及数形结合等思想方法的运用，提高学生的不雅察与探究能力；（3）情感态度与价值不雅：通过教师指导下的学生交流探索勾当，发学生的学习兴趣，培养学生用联系的不雅点认识问题。
教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用教学难点：双曲线定义中关于绝对值，2a<2c的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多电视台，一根拉链，小夹子教学过程：一、复习提问师：椭圆定义是什么？生：最简单的面内与两个定点的间隔之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆。
（幻灯片展示椭圆图形及其定义）二、新课引入1、设问师：最简单的面内与两个定点的间隔之差等于常数的点的轨迹是什么？学生思虑（老师在黑板上画出两个点,使F1在左侧,F2在右侧.记=2c,2c>0）。
师：在椭圆里到两个定点的间隔的和这个常数是正数，那么，最简单的面内到两定点的差这个常数还一定是正数吗生：不一定。
师：多是什么数呢？（学生甲回答：是正数，负数或零）师：当常数是零时动点的轨迹是什么？生：是线段F1F2的中垂线。
老师做出的中垂线。
师：当常数是正数时的点的位置在什么地方？生：在线段F1F2的中垂线的右侧。
师：当常数是负数时的点的位置在什么地方？生：在线段F1F2的中垂线的左侧。
师：最简单的面内与两个定点的间隔之差等于非零常数的点的轨迹究竟是是什么呢？我们一路做一个实验来探索。
2、实验：（师生共同完成）道具：一根拉链详细作法：老师在拉开的拉链双侧各取一点打结（实验前已经丈量好，使两结之间的间隔小于两定点间的间隔），请两位同学协助将两点别离固定在定点F1，F2处，使拉链头在的上方。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其应用。
2. 过程与方法：（1）通过观察实例，培养学生的空间想象能力；（2）运用转化思想，引导学生学会用坐标法研究双曲线。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养其探求未知的精神；（2）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其性质；（2）双曲线的标准方程及其应用。
2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的推导；（2）双曲线性质的理解与应用。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究；2. 运用数形结合法，直观展示双曲线的性质；3. 采用分组讨论法，培养学生的合作能力；4. 利用实例讲解，提高学生的应用能力。
四、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关概念：椭圆、抛物线；（2）提问：双曲线是什么？它有哪些特点？2. 自主学习：（1）学生自主探究双曲线的定义及其性质；3. 讲解双曲线的标准方程：（1）引导学生观察双曲线的图形，发现其特点；（2）讲解双曲线标准方程的推导过程；（3）让学生尝试写出常见双曲线的标准方程。
4. 应用拓展：（1）利用双曲线标准方程解决实际问题；（2）引导学生发现双曲线在现实生活中的应用。
五、课后作业1. 复习双曲线的定义及其性质；2. 熟练掌握双曲线的标准方程及其应用；3. 完成课后练习，巩固所学知识。
4. 思考题：（1）双曲线有哪些实际应用场景？（2）如何利用双曲线解决实际问题？六、教学评价1. 课堂讲解：关注学生对双曲线定义、性质和标准方程的理解程度，以及能否运用所学知识解决实际问题。
2. 课后作业：检查学生对双曲线知识点的掌握情况，以及应用能力。
3. 学生互评：鼓励学生之间相互提问、讨论，提高课堂参与度。
七、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
双曲线的定义及其标准方程教案
双曲线的定义及其标准方程教案教学目标：1. 理解双曲线的定义2. 掌握双曲线的标准方程及其性质3. 能够应用双曲线标准方程解决实际问题教学重点：双曲线的定义及其标准方程教学难点：双曲线标准方程的推导与应用教学准备：黑板、PPT、教案、练习题教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入话题：复习椭圆的定义及其标准方程2. 提问：椭圆的定义是什么？它的标准方程是什么？二、双曲线的定义（10分钟）1. 提问：双曲线是什么？它的定义是什么？2. 讲解双曲线的定义：双曲线是平面上到两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的轨迹。
3. 引导学生理解双曲线的性质：双曲线有两条渐近线，渐近线的方程是什么？三、双曲线的标准方程（10分钟）1. 讲解双曲线的标准方程：双曲线的标准方程是\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)（a>b>0)。
2. 解释方程中各个参数的含义：a 是双曲线的实轴半长，b 是双曲线的虚轴半长。
3. 引导学生推导双曲线的标准方程：通过焦点和距离关系推导出双曲线的标准方程。
四、双曲线的性质（10分钟）1. 讲解双曲线的性质：引导学生了解双曲线的渐近线、顶点、对称性等性质。
2. 举例说明双曲线的性质：通过具体例子解释双曲线的渐近线、顶点、对称性等性质。
五、应用与练习（10分钟）1. 提问：双曲线在实际生活中有哪些应用？2. 讲解双曲线的应用：通过实际例子讲解双曲线在工程、物理等领域中的应用。
3. 布置练习题：让学生应用双曲线的标准方程解决实际问题。
本节课讲解了双曲线的定义及其标准方程，学生掌握了双曲线的性质及其应用。
通过练习题的布置，让学生进一步巩固双曲线的知识，并能够应用到实际问题中。
六、双曲线的渐近线（10分钟）1. 讲解双曲线的渐近线：引导学生了解双曲线的渐近线方程为y = ±(b/a)x。
2. 解释渐近线的性质：渐近线是双曲线的斜率趋于无穷大的直线，当x 趋于±∞时，双曲线的曲线部分与渐近线趋于重合。
双曲线及其标准方程 教案
双曲线及其标准方程教案教案标题：双曲线及其标准方程教学目标：1. 理解双曲线的定义和性质。
2. 掌握双曲线的标准方程的推导和应用。
3. 能够绘制双曲线的图像并进行相关分析。
教学准备：1. 教师准备：教案、教学课件、黑板、彩色粉笔、直尺、圆规等。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、直尺等。
教学过程：Step 1：导入（5分钟）教师通过提问或展示一幅双曲线的图像来引起学生对双曲线的兴趣和思考。
Step 2：双曲线的定义和性质（15分钟）1. 教师简要介绍双曲线的定义，并解释双曲线与直角坐标系的关系。
2. 教师引导学生发现双曲线的对称性、焦点和准线等性质，并进行简单的解释和讨论。
Step 3：双曲线的标准方程的推导（20分钟）1. 教师通过几何推导的方式，引导学生推导双曲线的标准方程。
2. 教师讲解标准方程的含义和各参数对双曲线图像的影响。
Step 4：双曲线的图像绘制与分析（25分钟）1. 教师通过示范，教学课件或黑板上的绘制，让学生掌握双曲线的图像绘制方法。
2. 学生根据教师的指导，自主绘制双曲线的图像，并进行相关的分析与讨论。
Step 5：练习与巩固（15分钟）1. 学生个别或小组完成相关的练习题，巩固所学内容。
2. 教师对学生的练习情况进行及时的指导和反馈。
Step 6：拓展与应用（15分钟）1. 教师引导学生思考双曲线在实际生活中的应用，并给予一些例子。
2. 学生进行小组或个人的拓展性应用探究，如双曲线在工程设计或物理问题中的应用等。
Step 7：总结与评价（10分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并回顾学生的学习情况。
2. 学生对本节课的教学效果进行自我评价，并提出问题和建议。
教学延伸：1. 鼓励学生进行更多的双曲线图像绘制和分析练习，加深对双曲线的理解。
2. 引导学生进行更深入的研究和探索，如双曲线的参数方程等。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和表现情况。
2. 学生完成的练习题和拓展性应用探究的成果。
教案双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程教学目标：1. 了解双曲线的定义和性质。
2. 学会如何求解双曲线的标准方程。
3. 能够运用双曲线的性质和标准方程解决实际问题。
教学内容：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义1.2 双曲线的性质第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程2.2 双曲线标准方程的求解方法第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义3.2 渐近线与双曲线的关系第四章：双曲线的焦点和顶点4.1 焦点的定义和性质4.2 顶点的定义和性质第五章：双曲线的参数方程5.1 参数方程的定义5.2 双曲线的参数方程求解方法教学过程：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义【讲解】双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差等于常数的点的轨迹。
【例题】求点P(x, y)到两个定点F1(-3, 0)和F2(3, 0)距离之差等于4的点的轨迹方程。
1.2 双曲线的性质【讲解】1. 双曲线的中心在原点。
2. 双曲线的焦点在x轴上。
3. 双曲线的实轴是连接两个焦点的线段。
4. 双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【练习】判断双曲线的焦点位置和渐近线方程。
第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程【讲解】双曲线的标准方程为：x^2/a^2 y^2/b^2 = 1。
【例题】求双曲线的标准方程，已知焦点在x轴上，实轴长为2a，焦距为2c。
2.2 双曲线标准方程的求解方法【讲解】求解双曲线标准方程的方法有：1. 直接法：根据双曲线的定义和性质，列出方程。
2. 代换法：将双曲线的参数方程代入标准方程求解。
【练习】求解双曲线的标准方程，给定焦点和实轴长。
第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义【讲解】双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【例题】求双曲线的渐近线方程，已知双曲线的标准方程为x^2/4 y^2/3 = 1。
3.2 渐近线与双曲线的关系【讲解】渐近线与双曲线相交于两个点，这两个点的坐标满足双曲线的方程。
双曲线及其标准方程教案与说明(甘肃)
双曲线及其标准方程教案与说明(甘肃)教案内容：一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义和性质。
2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其应用。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学重点：1. 双曲线的定义和性质。
2. 双曲线的标准方程及其应用。
三、教学难点：1. 双曲线的标准方程的推导和应用。
四、教学准备：1. 教师准备PPT课件和教学素材。
2. 学生准备笔记本和文具。
五、教学过程：1. 引入：通过复习椭圆的定义和性质，引导学生思考椭圆和双曲线的关系，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：a. 讲解双曲线的定义和性质，引导学生通过图形理解双曲线的特点。
b. 推导双曲线的标准方程，并解释其含义。
c. 举例说明双曲线的标准方程在实际问题中的应用。
3. 练习：让学生独立完成一些关于双曲线标准方程的练习题，巩固所学知识。
4. 总结：对本节课的内容进行总结，强调双曲线的定义、性质和标准方程的重要性。
5. 作业布置：布置一些有关双曲线标准方程的应用题，让学生课后思考和练习。
教案说明：本教案以甘肃地区的高中数学教学大纲为依据，结合当地学生的实际情况进行设计。
在教学过程中，注重引导学生从实际问题中发现双曲线的应用，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
通过练习题的设置，让学生巩固所学知识，提高数学综合素质。
六、教学拓展：1. 引导学生探索双曲线的几何性质，如渐近线、焦点、准线等。
2. 介绍双曲线在其他领域的应用，如物理学、天文学等。
七、课堂互动：1. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提问和解答问题。
2. 组织小组活动，让学生合作解决有关双曲线的实际问题。
八、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习题和小组活动，评价学生对双曲线及其标准方程的理解和应用能力。
2. 关注学生在解决问题时的思维过程和方法，鼓励创新和思考。
九、教学反思：1. 反思本节课的教学效果，检查学生对双曲线知识的掌握程度。
2. 根据学生的反馈，调整教学方法和策略，提高教学质量。
双曲线的标准方程教案
双曲线的标准方程教案第一章：双曲线的基本概念1.1 实轴、虚轴和焦点1.2 实半轴、虚半轴和焦距1.3 双曲线的定义第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程的引入2.2 双曲线的标准方程的推导2.3 双曲线的标准方程的形式第三章：双曲线的性质3.1 双曲线的开口方向和大小3.2 双曲线的渐近线3.3 双曲线的离心率第四章：双曲线的图形4.1 双曲线的图形特征4.2 双曲线的对称性4.3 双曲线的渐近线图形第五章：双曲线方程的应用5.1 双曲线在实际问题中的应用5.2 双曲线方程在几何问题中的应用5.3 双曲线方程在其他领域的应用第六章：双曲线的参数方程6.2 双曲线的参数方程的推导6.3 双曲线的参数方程的应用第七章：双曲线的渐近线方程7.1 双曲线的渐近线方程的引入7.2 双曲线的渐近线方程的推导7.3 双曲线的渐近线方程的应用第八章：双曲线的图像变换8.1 双曲线图像的平移8.2 双曲线图像的缩放8.3 双曲线图像的旋转第九章：双曲线与其他曲线的交点9.1 双曲线与椭圆的交点9.2 双曲线与抛物线的交点9.3 双曲线与其他曲线的交点问题第十章：双曲线的综合应用10.1 双曲线在物理学中的应用10.2 双曲线在工程学中的应用10.3 双曲线在其他学科中的应用第六章：双曲线的渐近线方程6.1 双曲线的渐近线方程的引入6.2 双曲线的渐近线方程的推导第七章：双曲线的图像变换7.1 双曲线图像的平移7.2 双曲线图像的缩放7.3 双曲线图像的旋转第八章：双曲线与其他曲线的交点8.1 双曲线与椭圆的交点8.2 双曲线与抛物线的交点8.3 双曲线与其他曲线的交点问题第九章：双曲线方程的应用9.1 双曲线方程在实际问题中的应用9.2 双曲线方程在几何问题中的应用9.3 双曲线方程在其他领域的应用第十章：双曲线的综合应用10.1 双曲线在物理学中的应用10.2 双曲线在工程学中的应用10.3 双曲线在其他学科中的应用教案内容简要概述：第一章：双曲线的基本概念，介绍了实轴、虚轴、焦点、实半轴、虚半轴和焦距等基本概念，并通过具体实例让学生理解双曲线的定义。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其应用。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 双曲线的定义2. 双曲线的性质3. 双曲线的标准方程4. 双曲线方程的求解方法5. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程及其求解方法3. 双曲线在实际问题中的应用四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索双曲线的定义与性质。
2. 利用案例分析法，让学生了解双曲线的标准方程及其应用。
3. 运用数形结合法，帮助学生直观理解双曲线的特点。
4. 开展小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示生活中常见的双曲线现象，引发学生对双曲线的兴趣。
2. 讲解双曲线的定义与性质：引导学生通过观察图形，总结双曲线的特点，进而给出双曲线的定义，并讲解其性质。
3. 介绍双曲线的标准方程：借助实例，引导学生理解双曲线标准方程的推导过程，并掌握其求解方法。
4. 应用实例：让学生运用双曲线方程解决实际问题，体会双曲线在实际中的应用价值。
5. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线及其标准方程的重要性。
6. 布置作业：设计具有针对性的习题，巩固学生对双曲线及其标准方程的理解。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课堂表现，评估学生对双曲线定义和性质的理解程度。
2. 通过课后习题和实践项目，评估学生对双曲线标准方程的掌握及应用能力。
3. 结合小组讨论和课堂互动，评估学生的合作能力和数学思维能力。
七、教学拓展：1. 探讨双曲线在其他领域的应用，如物理学中的引力定律、天文学中的星系运动等。
2. 介绍双曲线的进一步研究，如双曲线几何性质的深入分析和双曲线方程的多种求解方法。
八、教学资源：1. 教学PPT和教学视频，用于展示双曲线的图形和实例。
双曲线及其标准方程精品教案
双曲线及其标准方程（第一课时）（一）教课目的掌握双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程，能依据条件求简单的双曲线标准方程．（二）教课教程【复习发问】由一位学生口答，教师板书．问题 1：椭圆的第必定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是如何的？【新知探究】1．双曲线的观点假如把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程双是如何的呢？（1）演示如图，定点F1、 F2是两个按钉，MN 是一个细套管，点 M 挪动时， MF1MF2是常数，这样就画出双曲线的一支，由MF2MF1是同一个常数，可以画出双曲线的另一支．这样作出的曲线就叫做双曲线．（ 2）设问①定点 F1、 F2与动点M不在同一平面内，可否获得双曲线？请学生回答，不可以．指出一定“在平面内”．② M 到F1与F2两点的距离的差有什么关系？请学生回答，M 到F1与F2的距离的差的绝对值相等，不然只表示双曲线的一支，即MF1MF2是一个常数．③这个常能否会大于或等F1F2？请学生回答，应小于F1F2 且大于零．当常数F1 F2 时，轨迹是以F1、 F2为端点的两条射线；当常数F1F2 时，无轨迹．（3）定义在此基础上，指引学生归纳出双曲线的定义：平面内与两个定点F1、 F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1 F2）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程此刻我们能够用近似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思虑、回想椭圆标准方程的推导方法，随即指引学生给出双曲线标准方程的推导．（ 1）建系设点取过焦点 F1、 F2的直线为 x 轴，线段 F1F 的垂直平分线为 y 轴成立在直角坐标系（如图）．设 M x， y 为双曲线上随意一点，双曲线的焦距为2c c 0F c，、 F c，0 ，又设点M与F1、 F2 ，则 1 0 2的距离的差的绝对值等于常数2a 2a 2c ．（ 2）点的焦合由定义可知，双曲线上点的会合是P M MF1MF22a （ 3）代数方程x c 2 y 2 x c 2 y 2 2a（4）化简方程由一位学生演板，教师巡视，将上述方程化为x c 2 y2 x c 2 y2 2a移项两边平方后整理得：cx a2 a x c 22y两边再平方后整理得：c2 a2 x2 a 2 y2 a 2 c 2 a2由双曲线定义知 2c 2a 即c a ，∴ c2 a2 0，设c2 a2 b2 b 0 代入上式整理得：x2 y2 1 a 0， b 0a2 b2这个方程叫做双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是F c，、 F c，0 ，这里 2 2 2．1 02 c a b假如双曲线的焦点在y 轴上，即焦点F1 0， c ， F2 0， c ，能够获得方程y 2 x21 a 0， b 0a2 b2这个方程也是双曲线的标准方程．教师应该指出：（ 1）双曲线的标准方程与其定义可联系起来记忆，定义中有“差”，则方程“－”号连接，（ 2）双曲线方程中 a 0 ， b 0 ，但a不必定大于 b ；（ 3）假如x2的系数是正的，那么焦点在x轴上，假如y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，有别于椭圆经过比较分母的大小来判断焦点的地点；（ 4 ）双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2 a 2 b2，不同于椭圆方程中c2 a2 b2．【例题剖析】例 1 说明：椭圆x2 y2 1 与双曲线x2 15 y2 15 的焦点同样．25 9由一位学生板演达成，答案都是4，0 ．例 2 已知两点 F1 5，0 、 F2 5，0 ，求与它们的距离的差的绝对值为 6 的点的轨迹方程．假如把上边的 6 改为 12，其余条件不变，会出现什么状况？由教师解说解：按定义，所求点的轨迹是以F1、 F2为焦点的双曲线．这里 a 3 ， c 5 ，∴ b2 c2 a 2 25 9 16 故所求双曲线的方程为x2 y2 9 116若 2a 12，则2c 10 且2a 2c ，因此动点无轨迹．（三）随堂练习1．求合适以下条件的双曲线的标准方程．（ 1）a 4，b 3 ；（ 2）焦点（ 0，－ 6），（ 0， 6），经过点（ 2，－ 5）．2．已知方程mx2 ny 2 m n m 0 m n ，求它的焦点坐标．x2 y 21表示双曲线，求 m 的取值范围．3．已知方程m m2 1答案： 1．（ 1）x2 y 2 1或 y 2 x2 1 ；（2）y2x2 1；2．0，m2 n2 ；16 9 16 9 20 16 mn 3．m 2 或 m 1（四）总结提炼1．双曲线定义m MF1 MF2 2a 2a F1F2（ F1， F2为定点， a 为常数）图形标准方程x2 y21 a 0， b 0y 2 x 21 a 0， b 0 a2 b2 a2 b2焦点坐标F1 c，0 ， F2 c，0 F1 0， c ， F2 0， ca ，b， c 关系c2 a2 b2 c a 0， cb 02．双曲线的标准方程可一致写成Ax 2 By2 1 AB 0．若A 0 ， B 0 表示焦点在 x 轴上的双曲线，若 A 0 ， B 0 则表示焦点在y 轴上的双曲线．（五）部署作业1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：“MF1 MF2 2a （a为常数）”，命题乙：“ M 点轨迹是F1、F2为焦点的双曲线” ，则甲是乙的（）A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件2．已知A 0，5 ，B 0，5 ， PA PB 2a ，当 a 3和5时， P 点的轨迹为（）A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和二条射线C．双曲线一支和一条直线 D ．双曲线一支和一条射线3．双曲线4x2 y2 64 0 上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一焦点的距离等于 ___________ ；若P到它的一个焦点的距离等于17，则点P到另一焦点的距离等_____________ ．4．假如椭圆x2 y 2 1与双曲线x2 y2 1的焦点同样，那么 a __________．4 a 2 a 2x2y25．已知方程 14 a5 a（1）a为什么值时方程表示双曲线；（2）证明这些双曲线有共同焦点．6．已知双曲线的一个焦点坐标为F1 0， 13 ，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．答案：1． B；2． D；3．17， 1 或 33；4． 1；5． 5 a 4 ，当 5 a 4 时，方程x2 y 21 表示双曲线．方程可表示4 a 5 a为 y2a x 2 1 c2 5 a 4 a 1，焦点坐标为（0，± 1）．5 4 ay2 x 2 6．1．144 25 （六）板书设计（一）复习发问问题 1问题 2 （二）双曲线的观点1演示2设问3定义双曲线及其标准方程（一）（三）双曲线的标准方程1．标准方程的推导2．说明（四）例题与练习例 1例 2练习（五）小结。
双曲线及其标准方程教案
双曲线及其标准方程教案一、教学目标1. 能正确认识双曲线；2. 能根据图形结构特点认识双曲线；3. 能给出双曲线的标准方程，能根据标准方程判断双曲线的性质；4. 掌握双曲线的几何特征。
二、教学重点1. 能正确认识双曲线；2. 能根据图形结构特点认识双曲线；3. 掌握双曲线的标准方程。
三、教学难点能根据标准方程判断双曲线的性质。
四、教学过程（一）认识双曲线1. 教师讲解：什么是双曲线？2. 学生讨论：双曲线是何种曲线？它有哪些特点？3. 教师回答：双曲线是一种具有明显反曲点的曲线，具有明显的对称性，有两条对称轴，有两个焦点，可以用标准方程来表示。
（二）双曲线的标准方程1. 教师提问：双曲线可以用标准方程表示吗？2. 学生讨论：用什么样的方程表示双曲线？3. 教师讲解：双曲线的标准方程为ax^2 + by^2 + c = 0 ，其中a,b,c为常数。
（三）根据标准方程判断双曲线的性质1. 教师提问：根据标准方程可以判断双曲线的性质吗？2. 学生讨论：如何根据标准方程判断双曲线的性质？3. 教师讲解：可以根据双曲线的标准方程中的参数a,b,c的值来判断双曲线的性质。
当a=0，b=0时，双曲线不存在；当a=0，b≠0时，双曲线为直线；当a,b 同号，c=0时，双曲线为椭圆形；当a,b同号，c＜0时，双曲线为双曲线；当a,b异号，c＞0时，双曲线为心形。
（四）双曲线的几何特征1. 教师提问：双曲线有哪些几何特征？2. 学生讨论：双曲线有哪些几何特征？3. 教师讲解：双曲线有两条对称轴，有两个焦点，双曲线的准则曲线是圆，双曲线的渐近线是直线，双曲线的曲率可以被表示为1/a,1/b。
;。
双曲线及其标准方程教案
双曲线及其标准方程教案一、教学目标：1.了解双曲线的定义。
2.熟练掌握双曲线的标准方程。
3.能够利用标准方程确定双曲线的基本性质。
二、教学重难点：1.双曲线的标准方程。
2.双曲线的性质及应用。
三、教学过程：Step 1 引入新知识（5分钟）1.师生共同回顾了上一节所学的椭圆，问：椭圆有哪些特点？2.引入新知识：同椭圆一样，双曲线也是一个有两个焦点的曲线。
Step 2 新知呈现（10分钟）1.定义：- 双曲线是平面上满足椭圆定义中的定理四的所有点的集合。
- 双曲线有两个相交的分支，分别在两个焦点的两侧。
2.双曲线的标准方程：- 对于顶点在原点的双曲线：方程形式为：x²/a² - y²/b² = 1 （横轴为 x 轴）方程形式为：y²/a² - x²/b² = 1 （横轴为 y 轴）- 对于顶点不在原点的双曲线：方程形式为：(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1 （横轴为 x 轴）方程形式为：(y - k)²/a² - (x - h)²/b² = 1 （横轴为 y 轴）3.教师讲解并分析标准方程的含义。
Step 3 梳理知识点（5分钟）1.对比椭圆和双曲线的标准方程。
2.总结双曲线的基本性质。
Step 4 拓展练习（15分钟）1.同学们一起完成教材上的例题，巩固标准方程的应用。
2.同学们根据已学知识，互相出题，进行小组内自主练习。
3.教师带领同学们讨论与解答疑惑。
Step 5 活动延伸（15分钟）1.让同学们观看相关视频，了解更多有关双曲线的知识。
2.设计小组活动，让同学们根据已学知识进行双曲线的绘制，提高运用能力。
四、教学反思：通过本节课的教学，使学生了解了双曲线的定义及其标准方程，掌握了双曲线的基本性质和应用。
在教学过程中，通过引入新知识、新知呈现、梳理知识点、拓展练习和活动延伸等多种教学方法，提高了学生的学习兴趣和参与度，培养了学生的综合运用能力，同时也发现了一些问题和不足，为进一步优化教学提供了思路。
双曲线及其标准方程教学设计(教案)
双曲线及其标准方程教学设计(教案)一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其求法。
3. 培养学生运用双曲线解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程3. 双曲线方程的求法4. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：双曲线的定义、性质、标准方程及其求法。
2. 教学难点：双曲线方程的求法及其应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索双曲线的性质与标准方程。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解双曲线的特点。
3. 运用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：简要介绍双曲线的起源和发展，激发学生的学习兴趣。
2. 自主学习：让学生通过阅读教材，了解双曲线的定义与性质。
3. 课堂讲解：讲解双曲线的标准方程及其求法，引导学生掌握关键步骤。
4. 例题分析：分析典型例题，让学生学会运用双曲线方程解决实际问题。
5. 巩固练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，提醒学生注意双曲线在实际问题中的应用。
7. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固双曲线及其标准方程的知识。
六、教学评价：1. 评价学生对双曲线定义和性质的理解程度。
2. 评价学生是否能熟练掌握双曲线的标准方程及其求法。
3. 评价学生是否能运用双曲线方程解决实际问题。
七、教学资源：1. 教材：双曲线及其标准方程相关章节。
2. 课件：双曲线图像、性质和标准方程的示例。
3. 练习题：涵盖双曲线定义、性质、标准方程及应用的题目。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍双曲线定义与性质。
2. 第二课时：讲解双曲线的标准方程及其求法。
3. 第三课时：例题分析与实际应用。
4. 第四课时：巩固练习与课堂小结。
九、教学反思：1. 反思教学方法是否有效，学生是否能积极参与。
2. 反思教学内容是否适合学生的认知水平。
教案双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其变化规律。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析，培养学生的观察和分析能力；（2）运用数形结合的方法，引导学生探索双曲线的标准方程。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学美的欣赏，培养其对数学的兴趣；（2）培养学生团结协作、积极探究的精神。
二、教学重难点1. 教学重点：双曲线的定义、性质及标准方程。
2. 教学难点：双曲线标准方程的推导和应用。
三、教学过程1. 导入：（1）回顾椭圆的定义和标准方程；（2）通过提问，引出双曲线的概念。
2. 自主学习：（1）让学生根据已有知识，尝试描述双曲线的特征；3. 合作交流：（1）分组讨论，让学生探究双曲线的标准方程；4. 知识拓展：（1）介绍双曲线在实际应用中的例子；（2）引导学生思考双曲线与其他几何图形的关系。
四、课堂练习1. 填空题：（1）双曲线是平面上一对_____为定值的点的轨迹；（2）双曲线的标准方程为_____。
2. 解答题：（1）已知双曲线的方程为\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)，求证它是双曲线；（2）求双曲线\(\frac{x^2}{4} \frac{y^2}{3} = 1\) 的实轴长和虚轴长。
五、课后作业1. 复习双曲线的定义、性质和标准方程；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 探索双曲线在其他领域的应用。
六、教学评价1. 评价目标：了解学生对双曲线及其标准方程的理解和掌握程度。
2. 评价方法：（1）课堂练习的完成情况；（2）课后作业的质量；（3）学生对双曲线实际应用案例的分析能力。
七、教学反思1. 反思内容：（1）学生对双曲线定义和性质的理解程度；（2）学生在探索双曲线标准方程过程中的困难与问题；（3）教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 改进措施：（1）针对学生的掌握情况，调整教学进度和难度；（2）采用更多直观的教学工具，如图形软件，以增强学生的直观感受；（3）鼓励学生提问和参与课堂讨论，提高学生的主动学习意识。
双曲线及其标准方程教学设计(教案)
双曲线及其标准方程教学设计(教案)第一章：双曲线的概念引入1.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的起源和发展历程。
(2) 通过实例让学生感受双曲线的几何性质。
1.2 教学内容：(2) 双曲线的历史：介绍双曲线在数学、天文学和物理学等领域的应用，让学生了解双曲线的重要性。
(3) 双曲线的图形展示：利用多媒体展示双曲线的图形，让学生感受双曲线的美丽和神秘。
1.3 教学方法：(1) 实例分析：通过具体的例子，让学生感受双曲线的特点。
(3) 多媒体展示：利用多媒体展示双曲线的图形，增强学生的直观感受。
第二章：双曲线的标准方程2.1 教学目标：(1) 使学生掌握双曲线的标准方程及其实际应用。
(2) 培养学生利用双曲线标准方程解决实际问题的能力。
2.2 教学内容：(1) 双曲线的标准方程：介绍双曲线标准方程的推导过程，让学生理解并掌握双曲线标准方程。
(2) 双曲线标准方程的应用：通过实例，让学生了解双曲线标准方程在实际问题中的应用。
2.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线标准方程的推导过程，利用图形演示双曲线标准方程的特点。
(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线标准方程的应用。
(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线标准方程的计算，分组讨论解决问题。
第三章：双曲线的性质3.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的基本性质。
(2) 培养学生利用双曲线性质解决实际问题的能力。
3.2 教学内容：(1) 双曲线的性质：介绍双曲线的几何性质，如渐近线、离心率等。
(2) 性质的应用：通过实例，让学生了解双曲线性质在实际问题中的应用。
3.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线的性质，利用图形演示性质的特点。
(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线性质的应用。
(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线性质的计算，分组讨论解决问题。
第四章：双曲线方程的求解4.1 教学目标：(1) 使学生掌握求解双曲线方程的方法。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标1. 让学生理解双曲线的定义和性质。
2. 引导学生掌握双曲线的标准方程及其应用。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 双曲线的定义与性质定义：双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差为常数的点的轨迹。
性质：双曲线是中心对称图形，具有对称性、渐进线等性质。
2. 双曲线的标准方程形式：\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > 0, b > 0\)）焦点：\((\pm c, 0)\)，其中\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)实轴：\(x = \pm a\)虚轴：\(y = \pm b\)渐近线：\(y = \pm\frac{b}{a}x\)三、教学重点与难点1. 重点：双曲线的定义、性质和标准方程。
2. 难点：双曲线标准方程的推导和应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探索双曲线的性质和标准方程。
2. 利用数形结合法，直观展示双曲线的几何特征。
3. 运用实例分析法，让学生学会解决实际问题。
五、教学安排1. 第一课时：介绍双曲线的定义与性质。
2. 第二课时：推导双曲线的标准方程。
3. 第三课时：应用双曲线的标准方程解决实际问题。
4. 第四课时：巩固练习，拓展提高。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。
六、教学策略1. 利用多媒体课件，展示双曲线的图形，增强学生对双曲线几何形状的认识。
2. 设计具有梯度的练习题，让学生在实践中掌握双曲线的标准方程。
3. 组织小组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。
七、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对双曲线定义、性质和标准方程的理解程度。
2. 练习题：评价学生运用双曲线标准方程解决实际问题的能力。
3. 小组讨论：评价学生在团队合作中的表现和解决问题的能力。
八、教学反馈1. 课堂讲解：通过提问、回答问题等方式，了解学生对双曲线知识点的掌握情况。
双曲线及标准方程教案
双曲线及标准方程教案本节教案的主题：双曲线及其标准方程教学目标：1.了解双曲线的定义，以及它与其他几何图形的区别。
2.学习如何确定双曲线的标准方程。
3.通过例题演练，提高学生解决双曲线相关问题的能力。
教学步骤：步骤1：导入通过简单的问题导入课题：“你们是否知道什么是双曲线？它与椭圆和抛物线之间有何不同？”引导学生思考。
步骤2：概念解释通过白板或投影幕展示双曲线的定义和一些基本概念，如焦点、直径、偏心率等。
解答学生可能会提出的问题，并让学生做笔记。
步骤3：图形展示展示一些双曲线的图形（如双曲抛物线、单叶双曲线等），让学生观察并尝试从图形中找到双曲线的共同特征和不同之处。
步骤4：标准方程的推导解释和推导双曲线的标准方程。
从焦点、直径和偏心率的定义出发，通过代数推导得出标准方程。
步骤5：标准方程的解释解释标准方程中的各个参数所代表的含义，如焦点的位置、直径的长度和方向等。
并通过例题演示如何求解这些参数。
步骤6：例题演练给学生提供一些双曲线的问题，并指导他们使用标准方程来解决这些问题。
在解答的过程中督促学生思考和推理，培养他们的逻辑思维能力。
步骤7：总结和拓展总结本节课的重点内容，并提醒学生在日常生活中运用所学知识。
可以给学生提供一些拓展问题，让他们更深入地理解和应用双曲线概念。
步骤8：作业布置布置相关作业，要求学生进一步巩固所学知识。
可以包括做一些书本上的练习题，或者让学生上网查找双曲线相关的实际应用例子。
教学资源：1.白板或投影幕2.教科书或相关练习题3.例题和练习题的答案评估方法：1.观察学生在课堂上表现的积极性和参与度。
2.指导学生解答例题和练习题，检查他们的解题能力和理解程度。
3.学生课后完成的作业。
备注：此教案可根据具体情况进行调整和修改，以适应不同教学环境和学生的需求。
双曲线及其标准方程教案
双曲线及其标准方程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其求法；（3）能够运用双曲线及其标准方程解决相关问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳双曲线的性质，提高学生的逻辑思维能力；（2）运用数形结合的方法，引导学生理解双曲线的标准方程的求法；（3）培养学生的动手实践能力，提高学生解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生的探索精神；（2）培养学生合作交流的能力，提高学生的团队协作意识；（3）培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其性质；（2）双曲线的标准方程及其求法。
2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的求法；（2）运用双曲线及其标准方程解决实际问题。
三、教学方法1. 情境导入法：通过展示与双曲线相关的实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生进入学习状态。
2. 讲授法：系统讲解双曲线的定义、性质及其标准方程，使学生掌握双曲线的基本知识。
3. 案例分析法：分析典型例题，引导学生运用双曲线及其标准方程解决问题，提高学生的实践能力。
4. 小组讨论法：组织学生分组讨论，培养学生的合作精神和团队意识。
四、教学过程1. 导入新课：展示与双曲线相关的实际问题，引导学生关注双曲线在实际生活中的应用。
2. 讲解双曲线的定义及其性质：结合图形，讲解双曲线的定义，引导学生理解双曲线的性质。
3. 讲解双曲线的标准方程：引导学生观察双曲线的性质，引导学生归纳出双曲线的标准方程。
4. 案例分析：分析典型例题，引导学生运用双曲线及其标准方程解决问题。
5. 小组讨论：组织学生分组讨论，探讨双曲线及其标准方程在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 复习双曲线的定义及其性质；2. 复习双曲线的标准方程及其求法；3. 完成课后练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对双曲线定义及其性质的理解程度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双曲线及其标准方程（第一课时）
教学目标：
1．掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义；
2．能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标 准方程；
3．能解决较简单的求双曲线标准方程的问题；
4．培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。
教学重点：双曲线的定义和标准方程。
教学难点：双曲线标准方程的推导过程。
教学过程：
一、创设情景，引入新课：
师：我们先来思考这样一个问题：（打开几何画板）已知定点)0,1(1-F 和)0,1(2F ，定圆1C 的圆心为1F ，且半径为r ，动圆2C 过定点2F ，且与定圆相切。
（1）若4=r ，试求动圆圆心的轨迹；（2）若1=r ，试求动圆圆心的轨迹。
（教师结合几何画板演示分析）：
师：当4=r 时，我们得到的轨迹是什么？
生：是椭圆。
是：为什么？
生：因为当4=r 时动圆2C 内切于定圆1C ，所以两个圆的圆心距1MF 满足 214MF MF -=，移项后可以得到：421=+MF MF 满足椭圆的定义，所以得到的轨迹是一个
以1F 、2F 为定点，4为定长的椭圆。
师：很好。
那么，当1=r 呢，此时动圆2C 与定圆1C 相切有几种情况？
生：有两种情况：内切和外切。
师：我们先来考察两圆外切时的情况（演示），我们得到的轨迹满足什么条件？
生（同时教师板书）：由于两圆外切，所以两个圆的圆心距1MF 满足 211MF MF +=，移项后可以得到：121=-MF MF 。
(教师演示轨迹)
师：我们再来考察两圆内切时的情况（演示），我们得到的轨迹又满足什么条件？ 生（同时教师板书）：由于两圆内切，所以两个圆的圆心距1MF 满足 121-=MF MF ，移项后可以得到：121-=-MF MF 。
(教师演示轨迹)
师（同时演示两种情况下的轨迹）：我们可以得到与定圆相切且过定点的动圆的圆心满足
121±=-MF MF 即121=-MF MF ，圆心的轨迹我们称之为双曲线。
二、新课讲解：
1、定义给出
师：今天我们来学习双曲线。
同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义？ 生：双曲线是到平面上两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。
这两个定点叫
做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
师：由椭圆的定义，一般情况下，我们设该常数为2a 。
那么什么情况下表示的是双曲线的右支，什么情况下表示的是双曲线的左支？ 生：当a MF MF 221=-时，表示的是双曲线的右支，当a MF MF 221-=-时，表示的是双曲线的左支。
2、定义探究
（教师引导学生分情况讨论）：
师：这个常数2a 有没有限制条件？
生：有。
这个常数2a 要比焦距21F F 小。
师：很好。
为什么要有这个限制条件呢？其他情况会是怎样的呢？我们一起来分析一下：
（1）若a=0，则有021=-MF MF 即21MF MF =，此时轨迹为线段21F F 的中垂线；
（2）若2a=21F F ,则有2121F F MF MF ±=-，此时轨迹为直线21F F 上除去线段21F F 中间部分，
以1F 、2F 为端点的两条射线；
（3）若2a>21F F ,则根据三角形的性质，轨迹不存在。
3、双曲线标准方程的推导过程：
师：我们学过求曲线的方程的一般步骤，现在我们一起根据定义求双曲线的标准方程。
（师生互动，
共同推导之）
第一步：建立直角坐标系；
第二步：设点：设M(x ，y)，焦点分别为)0,(1c F -和)0,(2c F ，M 到焦点的距离差的绝对值等于2a ； 第三步：启发学生根据定义写出M 点的轨迹构成的点集： {}a MF MF M P 221±=-=；
第四步：建立方程：a y c x y c x 2)()(2222±=+--++；
第五步：化简，得到)0,0(12222>>=-b a b
y a x
教师强调：我们得到了焦点在x 轴上，且焦点是)0,(1c F -和)0,(2c F 的双曲线标准方程为
)0,0(12
222
>>=-b a b y a x ，这里222b a c += 师：那么如果焦点在y 轴上呢？（学生练习）
生（练习后）：此时的标准方程应该是)0,0(122
22>>=-b a b
x a y 。
4．双曲线标准方程的探讨：
师：刚才我们共同推导了双曲线的标准方程。
请同学想一下，双曲线标准方程中字母a 、b 、c 的关
系如何？是不是b a >？ 生：a 、b 、c 满足等式222b a c +=，所以有222b c a -=，可以得到c b a <,，但不能判断b a >。
师：很好。
我们在求双曲线标准方程过程中还发现，确定焦点对求双曲线方程很重要。
那么如何根
据方程判定焦点在哪个坐标轴上呢？
生：由于焦点在x 轴和y 轴上标准方程分别为122
22=-b y a x 和12222=-b
x a y ，我们发现焦点所在轴相关的未知数的分母总是a ，所以可以由a 来判定。
师：很好。
如果我们知道的方程是12
32
2=-y x ，那么你如何寻找a ？ 生：因为a 所在的这一项未知数的系数是正的，所以只要找正的系数就可以了。
师：如果方程是12
32
2-=-y x 呢？ 生：先化成标准方程。
师：请同学总结一下。
生：化标准，找正号。
5．运用新知：
【练习】已知方程11
922
=+-m y x 表示双曲线，则m 的取值范围是__________，此时 双曲线的焦点坐标是________________，焦距是________________；
【变式】若将9改成m +2，则m 的取值范围是________________________。
【例1】已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5(1-F 、)0,5(2F ，双曲线上一点P 到1F 、2F 的距离的差的
绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
解：因为双曲线的焦点再x 轴上，所以设它的标准方程为
)0,0(12222
>>=-b a b
y a x ，
因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。
所以1635222=-=b ，
所以所求双曲线的标准方程为116
92
2=-y x 。
【变式】已知两个定点的坐标为)0,5(1-F 、)0,5(2F ，动点P 到1F 、2F 的距离的差
等于6，求P 点的轨迹方程。
解：因为621=-PF PF ，所以P 的轨迹是双曲线的右支，设双曲线标准方程为
)0,0(12
2
22>>=-b a b y a x ， 因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。
所以1635222=-=b ，
所以所求P 点的轨迹方程为)3(116
92
2≥=-x y x 。
【例2】已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点1P 、2P 的坐标分别为
)5,4
9()24,3(、-，求双曲线的标准方程。
解：因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设所求双曲线的标准方程为 )0,0(122
22>>=-b a b
x a y ， 因为点1P 、2P 在双曲线上，所以点1P 、2P 的坐标适合方程，代入得： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1492513)24(22222
22b a
b a 可解得：⎪⎩⎪⎨⎧==91622b a 。
所以所求双曲线得标准方程为：19
162
2=-x y 。
【变式】已知双曲线的焦点在坐标轴上，并且双曲线上两点1P 、2P 的坐标分别为
)5,4
9()24,3(、-，求双曲线的标准方程。
（分情况讨论） 【练习】（1）ABC ∆一边两个端点是)6,0(B 和)6,0(-C ，顶点A 满足8=-AC AB ， 求A 的轨迹方程。
（2）ABC ∆一边的两个端点是)6,0(B 和)6,0(-C ，另两边所在直线的斜率之积是9
4，求顶点A 的轨迹。
三、本课小结：
师：我们总结一下本节课我们学了什么？
生：1、双曲线的定义；2、双曲线标准方程推导过程；3、运用已有知识解决一些
简单的问题。
四、作业：
课本P108：2、3、4
问题：一炮弹在M 处爆炸，在1F 、2F 处听到爆炸声。
已知两地听到爆炸声的时间差为2s ，又知两地相距800m ，并且此时的声速为s m /340，那么M 点一定在哪条曲线上？。