双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程
双曲线的一支． 当|MF1|－|MF2|＝2a 时，曲线仅表示焦点 F2 所对
应的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点 F1 所对应 的一支． (2)0＜2a＜|F1F2|.当 2a＝|F1F2|时，则动点的轨迹是以 F1、F2 为端点的 两条射线 ；当 2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在；当 2a
π 答案 {θ|2kπ－2＜θ＜2kπ，k∈Z}
探究 3 种形式：
(1)由于坐标系的建法不同，双曲线的标准方程有两
x2 y2 当焦点在 x 轴上时，其标准方程为 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)； a b y2 x2 当焦点在 y 轴上时，其标准方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)． (2)若曲线方程 Ax2＋By2＝1 表示双曲线，只需 A、B 异号， 即 A· B＜0 即可！
解析
如图，由双曲线定义
|PF2|－|PF1|＝8， |QF2|－|QF1|＝8，
∴|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝16， 即|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16.
答案 C
x2 y2 例 2 已知 M 是双曲线 － ＝1 上的一点，F1，F2 是双曲 40 9 线的两个焦点，∠F1MF2＝90° ，求△F1MF2 的面积．
探究 1
定义是解题的根本方法，好好利用有时能起到意想
不到的效果！
思考题 1
x2 y2 已知 F1、F2 是双曲线 － ＝1 的两个焦点， 16 9
PQ 是过点 F1 的弦，且 PQ 的倾斜角为 α，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ| 的值是( A．8 C．16 ) B．12 D．随 α 角的大小而变化
＝0 时，动点的轨迹是线段 F1F2 的 中垂线．
要点 2
双曲线及其标准方程式
双曲线及其标准方程式
双曲线是代数曲线中的一种，其标准方程常用于描述其形状。
标准方程式表示为：
(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 （双曲线的方程式）
其中x和y是坐标系中的变量，a和b是正实数，而a>b。
双曲线通常是对称于x轴和y轴的，并且具有两个分支。
当a和b相等时，双曲线变成一个特殊的形状，称为单位双曲线。
单位双曲线的标准方程变为：
(x^2/a^2) - (y^2/a^2) = 1 （单位双曲线的方程式）
双曲线在数学和物理中有广泛的应用，例如在电磁学、光学和力学等领域中描述抛物面、光学器件的形状和物体的运动等。
双曲线及其标准方程
双曲线1．双曲线的概念平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0；(1)当a <c 时，P 点的轨迹是双曲线．(2)当a ＝c 时，P 点的轨迹是两条射线．(3)当a >c 时，P 点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)1．方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线．(2)当m <0，n <0时，则表示焦点在y 轴上的双曲线．2．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(（4）．双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是m （5）．若双曲线x )x ±ny ＝0.( )2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 222．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )()A ．2B ．22C ．4D ．423．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.454．(教材改编)过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是()A ．28B ．14－82C ．14＋82D ．825．已知双曲线E ：x 216－y 2m 2＝1的离心率为54，则双曲线E 的焦距为__________．双曲线的定义的应用例题：（1）已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()A.x 22－y 216＝1(x ≤－2) B.x 22－y 214＝1(x ≥2)C.x 22－y 216＝1 D.x 22－y 214＝1（3）已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______________(4)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝__________.(5)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为()A ．1B ．52C ．2D ．5(6)．(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为()A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 2(8)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线．P 在l上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为()A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1(9)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是()A．4B．6C．8D．16(10)双曲线C的渐近线方程为y＝±233x，一个焦点为F(0，－7)，点A的坐标为(2，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△P AF周长的最小值为()A．8B．10C．4＋37D．3＋317双曲线的标准方程求双曲线标准方程的方法:(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB＜0)；②与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2＜k＜a2)．例题：（1）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．(2)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为(－3,0)，且C 的离心率为32，则双曲线C 的方程为()A.y 24－x 25＝1 B.y 25－x 24＝1 C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1(3)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是()A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1（4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为()A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1（5）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是()A ．x12－y 2＝1B ．x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D ．x 223－y 232＝1（6）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为()A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1(7)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在双曲线的右支上，点N 为F 2M 的中点，O 为坐标原点，|ON |－|NF 2|＝2b ，∠ONF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为23，则该双曲线的方程为__________．双曲线的几何性质求双曲线的渐近线方程例：（1）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±12xD ．y ＝±2x（2）已知双曲线T 的焦点在x 轴上，对称中心为原点，△ABC 为等边三角形．若点A 在x 轴上，点B ，C 在双曲线T 上，且双曲线T 的虚轴为△ABC 的中位线，则双曲线T 的渐近线方程为()A ．y ＝±153xB ．y ＝±53xC ．y ＝±33x D ．y ＝±55x (3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝12的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±22x D ．y ＝±2x(4)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形F 1NF 2M 的周长为p ，面积为S ，且满足32S ＝p 2，则该双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±32x B ．y ＝±233xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x求双曲线的离心率(范围)例：(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为()A.72B.132C.7D.13（2）．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__________．(3)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点O 的直线与双曲线C 的左、右支分别交于点P ，Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为()A ．3B ．1＋3C ．2＋3D ．4＋23(4)(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(5)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是()A ．(2，5)B.⎪⎭⎫⎝⎛2535，C.⎪⎭⎫⎝⎛2545，D ．(5，2＋1)双曲线几何性质的综合应用例：（1）已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是()A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3333， B.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6363，C.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-322322， D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332332，逻辑推理(2020·新高考卷Ⅰ)(多选)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.()A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线直线与双曲线的位置关系例题：若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，求k 的值．双曲线课后练习1．方程x2m＋2＋y2m－3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A．－3＜m＜0B．－1＜m＜3C．－3＜m＜4D．－2＜m＜3 2．在平面直角坐标系中，已知双曲线C与双曲线x2－y23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C的焦距为()A.3B．23C．33D．433.设双曲线C：x2－4y2＋64＝0的焦点为F1，F2，点P为C上一点，|PF1|＝6，则|PF2|为()A．13B．14C．15D．224．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则C的渐近线方程为()A．y＝±13x B．y＝±33x C．y＝±3x D．y＝±3x5．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点A到一条渐近线的距离为223a，则双曲线的离心率为()A．223B．13C．3D．226．已知双曲线的一个焦点F(0，5)，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为_____________7．已知双曲线x24－y25＝1的左焦点为F，点P为其右支上任意一点，点M的坐标为(1,3)，则△PMF周长的最小值为()A．5＋10B．10＋10C．5＋13D．9＋138．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB 的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为()A．12B．1C．2D．49.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|.若cos ∠F 1PF 2＝14，则该双曲线的离心率等于()A.22 B.52C ．2 D.3＋110．(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．3211．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°，若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝()A ．11＋43B ．13＋53C ．16－63D ．19－10312．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为()A.52 B.5C.2D ．213．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝6，则双曲线C 的离心率为)______________14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝120°，则双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线C 的实轴长为4，则△F 1PF 2的面积为__________．15．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于_____________16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线的左、右两支于M ，N .若以MN 为直径的圆经过右焦点F 2，且|MF 2|＝|NF 2|，则双曲线的离心率为____________.17．已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线上，F 为双曲线C 的右焦点，O 为原点．若∠FPO ＝90°，则双曲线C 的方程为_____________，其离心率为__________.18．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．19．(2021·山东淄博二模)已知动点P 在双曲线C ：x 2－y 23＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下列结论错误的是()A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y ＝±3xC ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2|2的最大值为14。
3.2.1双曲线及其标准方程
A
O
B
x
直线M的斜率为
由题有
+5
×
−5
=
(
+5
≠ −5),
=
( ≠ 5),
−5
4
(
9
≠ ±5）.
2
化简，得到M的轨迹方程为
25
2
− 100 = 1( ≠ ±5).
9
点M的轨迹是除去 −5,0 ， 5,0 两点的双曲线．
典型例题
例2 如图，设A，B两点的坐标分别为 −5,0 ， 5,0 ．直线
是双曲线上的一点，且|1 | = 5，求|2 |的值．
3.2.1 双曲线及其标准方程
第二课时
复习回顾
双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的）的点的轨迹叫做双曲
线（hyperbola）．
双曲线的标准方程：
焦点在x轴上：
2
2
2
焦点在y轴上： 2
再增设一个观测点C，利用B,C（或A,C）
两处测得的点P发出的信号时间差
确定点P所在另一双曲线的方程
联立方程组
点P的位置
典型例题
例2 如图，设A，B两点的坐标分别为 −5,0 ， 5,0 ．直线
，
4
相交于点M，且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程．
9
解: 设M(x,y).
y
则直线AM的斜率为 =
平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于0的点的轨迹是什么？
F1
线段F1F2的垂直平分线
F2
双曲线的标准方程
类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得
出双曲线的方程？
第59讲 双曲线及其标准方程
(2)经过点(2,1),且渐近线与圆 x2＋(y－2)2＝1 相切的
双曲线的标准方程为( )
A.1x12 －1y12 ＝1 3
B.x22－y2＝1
C.1y12 －1x12＝1 3
D.1y12 －1x12 ＝1 3
解：(2) 设双曲线的方程为ax22－by22＝λ(a>0,b>0,λ≠0),
(3)双曲线ax22－by22＝1 的渐近线为ax22－by22＝0.一般地，双 曲线的一个焦点到它的渐近线的距离 d＝b.
【变式探究】
3．(1)(2017·新课标卷Ⅱ)若 a＞1，则双曲线ax22－y2＝1
的离心率的取值范围是( )
A．( 2，＋∞)
B．( 2，2)
C．(1， 2)
D．(1,2)
解：(1)由题意得双曲线的离心率 e＝
a2＋1 a.
所以 e2＝a2a＋2 1＝1＋a12.
因为 a>1，所以 0<a12<1，所以 1<1＋a12<2， 所以 1<e< 2.
答案：C
(2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x2＝ 2py(p>0)交于 A，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双 曲线的渐近线方程为
曲线 C：x2－my2＝4m(m>0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一
条渐近线的距离为( )
A．2
B．4
C．2m
D．4m
解：双曲线 C：4xm2 －y42＝1，双曲线的焦点到一条渐近
线的距离为虚轴的一半，即 2.
答案：A
双曲线的定义及标准方程(201911新)
判断下列曲线的焦点在哪轴？ 并求a、b、c
x2
y2
1. 1
16 25
2. y 2 x 2 1 25 16
椭圆与双曲线标准方程的区别：
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
一、定型：
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
即cx a2 a (x c)2 y2
两边平方得 (cx a2 )2 a2 (x2 2cx c2 y2 )
即(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
双曲线的标准方程
x2 a2
y2 b2
1（a>0，b>0)表示焦点在x轴上的双曲线
标准方程，其中F1(-C,0) F2(C,0)
双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程一、要点精讲1．双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.说明：⑴在双曲线定义中，如果常数212F F a =，则轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线；如果212F F a >，则轨迹不存在； 如果02=a ，则轨迹为线段21F F 的垂直平分线． ⑵双曲线的定义中，“差的绝对值”和“小于21F F ”都十分重要，不可忽视．如果没有“绝对值”，则动点的轨迹只能是双曲线的一支；若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，则a MF MF 221=-表示双曲线的右支，a MF MF 221-=-表示双曲线的左支．2．双曲线的标准方程二、课前热身1．已知定点()0,21-F ，()0,22F ，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中为双曲线的是（ ）(A) 321±=-PF PF (B) 421±=-PF PF (C) 521±=-PF PF (D) 42221±=-PF PF(A) 4 (B) 2 (C) 8 (D) 162. 设θ是第三象限角，方程θθcos sin 22=+y x 表示（ ）(A)焦点在x 轴上的椭圆 (B) 焦点在y 轴上的椭圆 (C)焦点在x 轴上的双曲线 (D) 焦点在y 轴上的双曲线3. 已知双曲线的焦距为26，且13252=c a ，则双曲线的标准方程是 (A)11692522=-y x (B) 11692522=-x y (C) 11442522=-y x (D) 11442522=-y x 或11442522=-x y 4．已知双曲线116922=-y x 上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为 ．5. 已知两点()0,51-F ，()0,52F ，动点P 满足621=-PF PF ，求动点P 的轨迹方程．6．求以椭圆192522=+y x 长轴端点作焦点，且过点()3,24的双曲线方程．三、典例精析题型一：双曲线的定义及应用1. 1F 、2F 是双曲线1922=-my x 的左、右焦点，AB 是过1F 的一条弦（A 、B 均在双曲线的左支上），若2ABF ∆的周长为30，则弦长|AB|＝ ．2. 双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的焦点为1F 、2F ，弦AB 过1F 且在双曲线的同一支上，若AB BF AF 222=+，则2ABF ∆的周长为（ ）。
双曲线及其标准方程
变式训练
答案：S 1
典例导航：利用双曲线定义的求方程
例2 如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定 圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切， 求动圆圆心M的轨迹方程．
解 圆 F1： (x＋ 5)2＋ y2＝1，圆心 F1(－5， 0)，半径 r1 ＝1； 圆 F2： (x－5)2＋ y2＝42，圆心 F2(5，0)，半径 r2＝ 4. 设动圆 M 的半径为 R， 则有 |MF1 |＝ R＋1，|MF2 |＝R＋4， ∴|MF2|－ |MF1 |＝3<10＝|F1F2|. ∴点 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的双曲线的左支，且 3 91 a＝ ，c＝ 5，于是 b2＝ c2－a2＝ . 2 4 x2 y2 3 ∴动圆圆心 M 的轨迹方程为 － ＝ 1(x≤－ )． 9 91 2 4 4
x2 y2 答：A的轨迹方程为： 1( x 0) 4 12
归纳小结
1．双曲线定义中注意的问题 (1)注意定义中的条件2a＜|F1F2|不可缺少．
若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线；
若2a＞|F1F2|，则动点的轨迹不存在．
(2)注意定义中的关键词“绝对值”.
若去掉定义中的“绝对值”三个字，
F1 (c,0); F2 (c,0)
2
F1 (0,c); F2 (0, c)
2 2
F1F2 2c; c a b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
复习训练
x2 y2 1.已知方程 2 m m 3 1 表示焦点在
y 轴上的双曲线，求 m 的
取值范围； 2.已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线过点(3，－4 2) 9 和( ，5)，求双曲线的标准方程； 4 x 2 y2 3.求与双曲线 － ＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)的双曲 16 4 线方程． y2 x 2 x 2 y2 1. m>2; 2. － ＝1; 3. － ＝1. 16 9 12 8
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焦点在y轴:
y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
建系
以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2标的中 垂线为y轴系建立直角坐标系。
M(x, y)
设标
设M(x, y)， y ，F2(c, 0). F1(-c, 0)
x
y
(-c, 0)
F2
(c, 0)
列式
动点M 的集合是： { M | | MF | | MF |= ± 2 a } 1 2 O O x F F
4. 双曲线的标准方程对比
定义
图象
| |MF1| - |MF2| | = 2a(0 < 2a < 2c)
y
F1
y
F2 F2
O
x
O
F1
x
方程 焦点
a、b、c的 关系
x2 y 2 2 1 2 a b
F c, 0
y 2 x2 2 1 2 a b
F 0, c
2 2 2
c a b
预习自测
x2 y 2 1. 双曲线 1 上一点P到点(5, 0)的距离是 16 9
15，则该点到点(-5, 0)的距离是（ D ） A. 7 B. 23 C. 5或25 D. 7或23
x2 y 2 x2 2. 椭圆 1 与双曲线 y 2 1 有相同的 9 m m
焦点，则m＝_____. 4
2. 思考： 平面内与定点F1，F2的距离之差等于的 点的集合（轨迹）会是什么曲线呢？
动手实践
根据下列条件画图，想一想：会是 什么图形呢？
平面内与定点F1，F2的距离之差等于 定长的点的集合（轨迹）。
问题导学
3. 双曲线的定义 定点F1,F2距离之差的绝对值 平面内与_________________________ 定长2a (｜F1F2｜> 2a > 0 )的点的集合 等于______ （轨迹）叫做双曲线，两定点F1，F2叫双曲 焦点，定点之间的距离叫双曲线的焦距 线的____ ____。
y
F1
Байду номын сангаас
y
F2 F2
O
x
O
F1
x
方程 焦点
a、b、c的 关系
x2 y 2 2 1 2 a b
F c, 0
y 2 x2 2 1 2 a b
F 0, c
2 2 2
c a b
反馈测评
x2 y2 1 的两个焦点F1，F2，A是双曲 1. 双曲线 9 16
线上的一点，且|AF1| = 8，则|AF2| =_______.
问题导学
4. 双曲线标准方程的特点
焦点在 ①双曲线的标准方程表示的是_______ 坐标轴上，中心在坐标原点 的双曲线；方 _______________________
1 两数的平方差 ，右边是___. 程的左边是____________ x2项 是正项，焦 ②焦点在x轴的双曲线____
2项 y 点在y轴的双曲线____是正项.
1 2
( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a
化简 验证
(a c ) x a y (a c )a 2 2 x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2 2 2 2 2 2 2 2
F1
令b2 a2 c2
证明所求的方程就是双曲线的方程
预习自测
3. 求满足下列条件的双曲线的标准方程 （1）a = 3，b = 4，有焦点在x轴上；
3 5 ). （2）焦点为(0, -5)， (0, 5)，且过点 P(2, 2
x2 y 2 (1) 1 9 16
y2 y2 (2) 1 9 16
探究一、求下列条件的双曲线的标准方程
（1）焦点在y 轴上，焦距为6，过点A(1, 4); （2）a + b = 14，c = 10; 3 5 和 4 7 （3）过点 P P2 ( , 4) ) 1 ( 2, 3 2 探究二、求与⊙C1：(x + 3)2 + y2 = 1和⊙C2：
(1)当｜F1F2｜＝ 2a时，动点的轨迹是 以F1，F2为端点的直线F1F2上的两条射线 _____________________________________. 无轨迹 (2)当｜F1F2｜< 2a时，_______.
问题导学
3. 双曲线的标准方程 焦点在x轴:
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
x2 y2 1 表示双曲线，求实数m 2. 若方程 | m | 2 5 m 的取值范围。
双曲线及其标准方程
复习导入
1. 椭圆的定义 定点F1，F2的距离之和 等于 平面内与______________________ 定长2a (｜F1F2｜< 2a )的点的集合（轨迹） ______ 焦点 ，两 叫做椭圆，定点F1，F2叫椭圆的_____ 焦距 。 定点之间的距离叫椭圆的______
(x-3)2 + y2 = 9都外切的圆M的圆心的轨迹方程。
总结拓展
1、双曲线的定义 定点F1,F2距离之差的绝对值 平面内与_________________________ 定长2a (｜F1F2｜> 2a )的点的集合（轨 等于______ 迹）叫做双曲线，两定点F1，F2叫双曲线的 焦点 焦距 。 ____，两定点之间的距离叫双曲线的______
｜ ｜MF1｜-｜MF2｜ ｜ =2a (2a>2c>0)
2、轨迹的讨论
(1)当｜F1F2｜> 2a时，轨迹是_______； (2)当｜F1F2｜＝2a时，轨迹是_______； (3)当｜F1F2｜< 2a时， _________.
4. 双曲线的标准方程对比
定义
图象
| |MF1| - |MF2| | = 2a(0 < 2a < 2c)