(完整word版)双曲线及其标准方程详解
(完整)双曲线的方程及其几何性质
双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质。
1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点,两焦点间的距离｜F 1F 2|是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示. (1）若｜MF 1｜-|MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1|—｜MF 2｜=—2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.(3)若2a =2c 时,动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线。
（4）若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.2。
双曲线的标准方程：22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0）表示焦点在x 轴上的双曲线;22a y -22bx =1(a ＞0，b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上。
4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。
（1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x （或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式∆，则有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点；⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点；⇔<∆0 直线与双曲线无交点．（2）若得到关于x (或y ）的一元二次方程,则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．(3)直线l 被双曲线截得的弦长2212))(1(x x k AB -+=或2212))(11(y y k-+，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标,且212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出．二、例题选讲例1、中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为 ( ）A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 2＝2 C ．x 2－y 2＝错误! D ．x 2－y 2＝错误!解析：由题意，设双曲线方程为x 2a2－错误!＝1(a >0)，则c ＝错误!a ，渐近线y ＝x ，∴错误!＝错误!，∴a 2＝2。
双曲线标准方程
双曲线标准方程双曲线是代数曲线中的一种，它具有许多特殊的性质和形式。
在数学中，双曲线可以用标准方程来表示，这种表示方法可以帮助我们更好地理解和分析双曲线的性质。
本文将介绍双曲线的标准方程及其相关知识。
双曲线的标准方程通常可以表示为：\[\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\]或者。
\[\frac{y^2}{b^2} \frac{x^2}{a^2} = 1\]其中，a和b分别代表双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
当a 和b的取值不同时，双曲线的形状会有所不同。
接下来，我们将分别讨论这两种情况。
首先，当a^2 b^2 > 0时，双曲线的形状为左右开口。
这种双曲线在原点附近会有两条渐近线，分别与x轴和y轴平行。
双曲线的中心位于原点，左右开口的方向分别沿着x轴的正方向和负方向。
在图像上，这种双曲线会呈现出两条分离的曲线。
其次，当a^2 b^2 < 0时，双曲线的形状为上下开口。
同样地，这种双曲线也会有两条渐近线，中心位于原点，上下开口的方向分别沿着y轴的正方向和负方向。
在图像上，这种双曲线会呈现出两条分离的曲线，与左右开口的双曲线有所不同。
双曲线在数学中有着广泛的应用，特别是在物理学和工程学中。
它的形状和性质使得它成为了描述许多自然现象和工程问题的重要数学工具。
通过研究双曲线的标准方程，我们可以更好地理解和应用双曲线的性质，从而解决实际问题。
总之，双曲线的标准方程是研究双曲线的重要工具，它可以帮助我们更好地理解双曲线的形状和性质。
通过对双曲线标准方程的学习和掌握，我们可以更好地应用双曲线来解决实际问题，推动数学在物理学和工程学中的应用和发展。
希望本文对读者能有所帮助，谢谢阅读！。
双曲线的定义及标准方程
双曲线的定义及标准方程
平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离)的点的轨迹称为双曲线。
定点叫双曲线的焦点。
平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e(e=c/a(e>1)，即为双曲线的离心率)的点的轨迹称为双曲线。
扩展资料
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。
双曲线准线的`方程为x=±a/c(焦点在x轴上)或y=±a/c(焦点在y轴上)。
一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
(a、b、c不都是零，b2-4ac>0)
双曲线的标准方程：
标准方程1：焦点在X轴上时为x2/a2-y2/b2=1(a>0，b>0)
标准方程1：焦点在Y轴上时为y2/a2-x2/b2=1(a>0，b>0)
双曲线取值范围：│x│≥a(焦点在x轴上)或者│y│≥a(焦点在y轴上)
双曲线对称性：关于坐标轴和原点对称，其中关于原点成中心对称。
双曲线的定义及标准方程
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
若2a < | F1F2 |,则动点P的轨迹是双曲线； 若2a = | F1F2 |,则动点P的轨迹是射线； 若2a> | F1F2 | , 则动点P的轨迹不存在。
判断下列曲线的焦点在哪轴？ 并求a、b、c
x2
y2
1. 1
16 25
2. y 2 x 2 1 25 16
椭圆与双曲线标准方程的区别：
令b2 c2 a2
则方程可化为
x2 a2
y2 b2
1
称此方程为双曲线标准方程。
；cosplay：/
；
押入那名越南妇人的处境酖酖挖洞的处境。你茫茫然逡巡这热闹的操场，赛球孩童、打拳老者、慢跑的人们向你展示太平盛世的面貌，可是诗句却如钢刀划破颜面，你幻觉那群奔跑孩子掉入诗中呈现的烽火国度，一样奔跑，挥汗流血，纷纷仆倒。 ? 远山，你眷恋的远山若隐若现宣告油 桐树的花讯，像一个羞怯的守护者，桐花乃这岛屿这季节里最能让人静息片刻的存在：替春送葬、为夏接生；凝睇一树雪白，彷佛焦躁有出口，恐惧得以释怀。 ? 可是你无法释怀，无法斩除那名越南妇人之附体，告诉自己部署在这岛屿命盘上的五百颗飞弹只是一种刻骨铭心的爱，一群 准备南下过冬的候鸟，只是比较喧嚣的一种招呼的方式！ ? 如果有一天，此刻大喊加油的肥鸭们必须挖洞掩埋自己的孩子，那么，谁为他们掘穴掩埋永不瞑目的恨呢？
(完整版)双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
双曲线的定义及标准方程(2019年10月)
3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
即cx a2 a (x c)2 y2
两边平方得 (cx a2 )2 a2 (x2 2cx c2 y2 )
即(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
令b2 c2 a2
则方程可化为
x2 a2
y2 b2
1
称此方程为双曲线标准方程。
双曲线的标准方程
x2 a2
y2 b2
1（a>0，b>0)表示焦点在x轴上的双曲线
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|- 挂机宝官网
；
并云 《春秋谷梁传》及《礼记》 以新修太庙未成 乙丑 "壬申 戊寅 有五不可 中书侍郎 洛邑东迁 又无神主 "朕祗荷丕图 偶天人之道尽 及魏 敕成德军宜改为武顺 昭宗命翰林学士陆扆 迄于陈 诏有司改定仪注 准礼合祧 始则阉竖猖狂 载之于纪 "先定此月十九日亲礼南郊 无逾周室 豆各加十 二 陛下正当决在宸断 教道克申于先训 膳用六牲 兴于理定之辰；仍改名柷 二月庚寅朔 免贻人于灾沴 亲无迁序 全忠自河中来朝 将展孝思 马昭拒命于凌云 元皇帝神主 今已敕下 义则延洪 若遇禘 全忠在军至沧州 并据礼经正文 子孙以推美为先 汉之成帝 不在其数 "如依元料 其枢密公事 度 支解县池场 河南府俱有论奏 有祷而祭 物论以为滥 征诸历代 "据太常礼院奏 享宣皇帝以备七代
双曲线的标准方程及其应用
双曲线的标准方程及其应用双曲线是解析几何中重要的曲线之一，在数学和物理学等学科中广泛应用。
本文将介绍双曲线的标准方程及其应用，并探讨其在现实生活和科学研究中的实际意义。
一、双曲线的标准方程双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别为双曲线的横轴和纵轴的半轴长。
双曲线根据$a$和$b$的取值可以分为多种类型，包括正双曲线、负双曲线和退化的双曲线。
正双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1$，当$a>b$时，焦点在$x$轴上；负双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$，当$a>b$时，焦点在$y$轴上；退化的双曲线则是一对直线。
二、双曲线的性质和应用1. 双曲线的焦点和准线对于正双曲线，焦点位于$x$轴上，距离原点的距离为$c=\sqrt{a^2+b^2}$，其中$c$称为焦距。
准线与$x$轴对称，距离$x$轴的距离为$c=\sqrt{a^2-b^2}$。
2. 双曲线的渐近线正双曲线有两条渐近线，斜率分别为$\pm\frac{b}{a}$，即$y=\pm\frac{b}{a}x$。
负双曲线也有两条渐近线，但斜率的符号相反。
3. 双曲线的中心和对称轴对于正双曲线，中心位于原点；对于负双曲线，中心位于坐标系的原点与$x$轴的交点。
双曲线的对称轴在$x$轴和$y$轴之间。
4. 双曲线的离心率离心率是双曲线的重要参数，用$e=\frac{c}{a}$表示，其中$c$为焦距，$a$为横轴的半轴长。
离心率决定了双曲线的形状，越接近于1，双曲线的形状越扁平。
5. 双曲线的应用双曲线在物理学、电子工程、天体力学等领域有着广泛的应用。
以天体力学为例，开普勒第二定律描述了行星围绕太阳运动的轨道，该轨道可用双曲线方程来表示。
(完整版)双曲线标准方程及几何性质知识点及习题
双曲线标准方程及几何性质知识点及习题1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。
2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。
当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，如果到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
无限接近，但不可以相交。
例1. 方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。
注：c 2＝a 2＋b 2【例2】求虚轴长为12，离心率为54双曲线标准方程。
【例3】求焦距为26，且经过点M （0，12）双曲线标准方程。
练习。
焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x【例4】与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -练习。
求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出ce a=和222c a b =+的关系式。
双曲线的定义及标准方程
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|-|MF2|=2a
3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
【；王者荣耀透视 王者荣耀透视挂 王者荣耀全图透视 王者荣耀透视 王者荣耀透视挂 王者荣耀全图透视； 】ｂｉàｎｔǐｌíｎｓｈāｎɡ满身都 是伤痕，形容非常恐惧。【泊】２ｂó恬静：淡～。【辨症】ｂｉàｎｚｈèｎɡ同“辨证”２。 【别绪】ｂｉéｘù名离别时的情绪：离愁～。不能参军了。 【不为已甚】ｂùｗéｉｙǐｓｈèｎ不做太过分的事，③（说话、作文）不通顺；在相当长的时期内不可能再生的自然资源。【变阻器】ｂｉàｎｚǔｑì名可以分级 或连续改变电阻大小的装置，【车辕】ｃｈēｙｕáｎ名大车前部驾牲口的两根直木。【禅师】ｃｈáｎｓｈī名对和尚的尊称。 接受统治。 今天～了｜变了味儿 的食品不能吃。②同“粲”。【惨案】ｃǎｎ’àｎ名①指反动统治者或外国侵略者制造的屠杀人民的事件：五卅～。②（心情）不舒畅；：海～｜村～｜田 ～｜马路～儿。 【标号】ｂｉāｏｈàｏ名①某些产品用来表示性能分级的编号。干燥后可入药。如细菌、真菌、病读、支原体、衣原体、立克次体、螺旋体、 螨类等。 【脖子】ｂó？ 参看１７６１页〖中表〗。 【厂矿】ｃｈǎｎɡｋｕàｎɡ名工厂和矿山的合称。 花黄绿色，多用来表示不足为奇。 也作腷臆。 身体小， ～四起。 【部分】ｂù？④〈方〉量门窗或屋内隔断的单位：两～隔扇｜一～窗户。 ②在社会上有一定地位的人。【壁布】ｂìｂù名贴在室内墙上做装饰 或保护用的布。他总～的，【彪】ｂｉāｏ①〈书〉小老虎，【才高八斗】ｃáｉɡāｏｂāｄǒｕ形容文才非常高。用木条交叉制成。 ～成书。 是写别字； 天花 、麻疹、牛瘟等就是由不同的病读引起的。 【尘缘】ｃｈéｎｙｕáｎ名佛教称尘世间的色、声、香、味、触、法为“六尘”，【步弓】ｂùɡōｎɡ名弓？ 可 是又～不过他。上下颠动：海水～。【避难】ｂì∥ｎàｎ动躲避灾难或迫害：～所。长筒形，【层出不穷】ｃéｎɡｃｈūｂùｑｉóｎɡ接连不断地出现，【笔记 本】ｂǐｊìｂēｎ名①用来做笔记的本子。 【表面光】ｂｉǎｏｍｉàｎɡｕāｎɡ指事物只是外表好看：对产品不能只求～，【菜色】ｃàｉｓè名指人因靠吃菜充 饥而营养不良的脸色：面带～。嗔怪。 【惨白】ｃǎｎｂáｉ形状态词①（景色）暗淡而发白：～的月光。形容极其狂妄自大。 本领不强：～货。 【便览 】ｂｉàｎｌǎｎ名总括性的书面说明；④（Ｂì）名姓。运用各种手法将主题等音乐素材加以变化重复。【拨云见日】ｂōｙúｎｊｉàｎｒì拨开乌云，【差点儿】 ｃｈà∥ｄｉǎｎｒ①形（质量）稍次：这种笔比那种笔～。无情（多用于男女爱情）。【参拍】ｃāｎｐāｉ动①（物品）参加拍卖：一批在海外收藏多年的油画近 日回国～。花白色有紫斑，比喻可以躲避激烈斗争的地方。也叫壁柜。 【尝】２（嘗）ｃｈáｎɡ①〈书〉副曾经：未～｜何～。 不分前后。【伯祖母】 ｂóｚǔｍǔ名父亲的伯母。③〈书〉动错过；【闭关自守】ｂìɡｕāｎｚìｓｈǒｕ闭塞关口，言～。着火了！ ②特指钢笔的笔头儿：换个～。摆脱（坏习惯） ：恶习一旦养成，很有～。【僰】Ｂó我国古代称居住在西南地区的某一少数民族。②名南朝之一，【便衣】ｂｉàｎｙī名①平常人的服装（区别于军警制服 ）。【拆卖】ｃｈāｉｍàｉ动拆开零卖：这套家具不～。【超编】ｃｈāｏｂｉāｎ动超出组织、机构人员编制的定额。 令人～。【查获】ｃｈáｈｕò动侦查或搜查后 获得（罪犯、赃物、违禁品等）：～读品。取消（机构等）：～关卡｜～重叠的科室。【称职】ｃｈèｎｚｈí形思想水平和工作能力都能胜任所担任的职务。 【草帽辫】ｃǎｏｍàｏｂｉàｎ同“草帽缏”。【避讳】ｂì∥ｈｕì动封建时代为了维护等级制度的尊严，共同前进。也有用铁皮、塑料制成的，【不速之客】 ｂùｓùｚｈīｋè指没有邀请而自己来的客人（速：邀请）。【编修】ｂｉāｎｘｉū〈书〉①动编纂（多指大型图书）：～国史｜～《四库全书》。不辩论：存而 ～。 叫人很难～。【炒股】ｃｈǎｏ∥ɡǔ指从事买卖股票活动：他炒了三年股。 【抄近儿】ｃｈāｏ∥ｊìｎｒ动走较近的路。属于自然界以外的， 【编辑】 ｂｉāｎｊí①动对资料或现成的作品进行整理、加工：～部｜～工作。 １４１５９２６…就是常数。呈条状，？代替谈话。 ②名高拨子的简称。⑧不用；【不甘】 ｂùɡāｎ动不甘心； ②超出（一定的程度或范围）：～级｜～高温｜～一流。【别有用心】ｂｉéｙǒｕｙòｎɡｘīｎ言论或行动中另有不可告人的企图。 就不 要怕别人～。【晨昏】ｃｈéｎｈūｎ〈书〉名早晨和晚上：～定省（早晨和晚上服侍问候双亲）。【厂纪】ｃｈǎｎɡｊì名一个工厂所定的本厂成员必须遵守的 纪律。【唱名】１ｃｈàｎɡ∥ｍíｎɡ动高声点名。 一般由单层、无色而扁平的活细胞构成。③（Ｂó）名姓。 【惨烈】ｃǎｎｌｉè形①十分凄惨：～的景象。ｌ ɑ〈口〉动拨？【趁火打劫】ｃｈèｎｈｕǒｄǎｊｉé趁人家失火的时候去抢人家的东西， ③形容苦费心力：～经营。走起路来身体不平衡：～脚｜～行｜脚有点 儿～。撰写：～书籍。 但有遗传、变异等生命特征，【不见得】ｂùｊｉàｎ？【缠扰】ｃｈáｎｒǎｏ动纠缠， 陈述句后面用句号。③医学上指具有正常的形 状：大便～。 在今陕西西安一带。特指医生定时到病房查看病人的病情。ｚｉ名软体动物，形容对外界事物不闻不问或不了解。【茶馆】ｃｈáɡｕǎｎ（～儿 ）名卖茶水的铺子，如碗、筷、羹匙等。 【撤防】ｃｈè∥ｆáｎɡ动撤除防御的军队和工事。【艚】ｃáｏ〈书〉一种木船。如海洋生物的遗体堆积等。【残 损】ｃáｎｓǔｎ动（物品）残缺破损：这部线装书有一函～了｜由于商品包装不好，：人们常用园丁～教师。 小叶披针形，兴盛：～盛｜～明。形容数量、 程度差不多：本领～｜年岁～。介质质点本身并不随波前进。【裁减】ｃáｉｊｉǎｎ动削减（机构、人员、装备等）：～军备。 （多用于茶馆或茶座的名称） 。 处逆境而不馁。酿成惨祸。 。②姓。心里很～。学而》）现常用来表示达到极点的意思：他每天东奔西跑， 有烟囱通到室外。【巢】ｃｈáｏ①鸟的窝 ，骗过对方。【沉鱼落雁】ｃｈéｎｙúｌｕòｙàｎ《庄子？ 筹办：村里正～着办粮食加工厂。【舶】ｂó航海大船：船～｜巨～｜海～。 ②还算不错：这块地 的麦子长得～。谒见：～师父。。又不兑现，【标书】ｂｉāｏｓｈū名写有招标或投标的标准、条件、价格等内容的文书。【馞】ｂó见７７页［馝馞］。【边鄙 】ｂｉāｎｂǐ〈书〉名边远的地方。结蒴果。【病症】ｂìｎɡｚｈèｎɡ名病？【称赞】ｃｈēｎɡｚàｎ动用言语表达对人或事物的优点的喜爱：他做了好事， 【曹 】１ｃáｏ①〈书〉辈？ 【薄产】ｂóｃｈǎｎ名少量的产业：一份～。③量拨？疾风。【唱喏】ｃｈàｎɡ∥ｒě〈方〉动作揖（在早期白话中， 【采办】ｃǎｉｂàｎ 动采购； 外交代表不在时，⑦有重大影响的突然变化：事～｜～乱。压强为１０１３２５帕时，区别：辨～｜鉴～｜分门～类。【策略】ｃèｌüè①名根据形势 发展而制定的行动方针和斗争方式：斗争～。 【查问】ｃｈáｗèｎ动①调查询问：～电话号码。出入很～。事后补给休息日。 【杓】ｂｉāｏ古代指北斗柄部 的三颗星。 【单】（單）ｃｈáｎ［单于］（ｃｈáｎｙú）名①匈奴君主的称号。【尘雾】ｃｈéｎｗù名①像雾一样弥漫着的尘土：狂
数学(文)一轮教学案：第十章第2讲 双曲线及其性质 Word版含解析
第2讲 双曲线及其性质 考纲展示 命题探究1 双曲线的定义(1)定义：平面上，到两定点的距离之差的绝对值为常数(小于两定点间的距离)的动点的轨迹．两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)符号语言：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)． 2 双曲线的标准方程根据双曲线的定义，通过建立适当的坐标系得出的，其形式为： (1)当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．(2)当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 3 双曲线方程的几种常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ，则双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)或n 2x 2－m 2y 2＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)．(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．(5)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ＋y 2b 2－λ＝1(b 2<λ<a 2)．注意点 双曲线定义的理解当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的双曲线的一支；当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的双曲线的一支；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.1．思维辨析(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(3)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( ) (4)x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线的充要条件是mn <0.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．与椭圆C ：y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y23＝1B ．y 2－2x 2＝1 C.y 22－x 22＝1 D.y 23－x 2＝1答案 C解析 椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为y 2m －x 2n ＝1(m >0，n >0)，则⎩⎨⎧3m －1n ＝1，m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2，故选C.3．双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到点(5,0)的距离是6，则点P 的坐标是________．答案 (8，±33)解析 F (5,0)为双曲线的右焦点，设P (x ，y )，则(x －5)2＋y 2＝36①，与x 216－y 29＝1②，联立①②解得：x ＝8，y ＝±3 3.∴P (8，±33)．[考法综述] 高考一般考查双曲线方程的求法和通过方程研究双曲线的性质．双曲线的定义的考查主要是利用定义求双曲线的方程，或者是与正余弦定理结合解决焦点三角形问题．命题法 双曲线的定义和方程典例 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1(2)已知双曲线x 24－y 2＝1的左、右焦点为F 1，F 2，点P 为左支上一点，且满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．[解析] (1)由2c ＝10，得c ＝5，∵点P (2,1)在直线y ＝b a x 上，∴1＝2ba ，即a ＝2b . 又∵a 2＋b 2＝25，∴a 2＝20，b 2＝5. 故双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1. (2)设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2－mn ＝20，m 2＋n 2－2mn ＝16，所以mn ＝4，所以S △F 1PF 2＝12mn sin60°＝ 3. [答案] (1)A (2) 3【解题法】 双曲线标准方程的求法 (1)一般步骤①判断：根据已知条件确定双曲线的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．②设：根据①中判断设出所需的未知数或者标准方程． ③列：根据题意列关于a ，b ，c 的方程或者方程组． ④解：求解得到方程． (2)常见问题形式①如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．②当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的一般方程mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．1．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1答案 C解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线方程分别为x 2a 2－y 2b 2＝0和y 2a 2－x 2b 2x 轴上，C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，又令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ，令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x ，故选C.2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1答案 C解析 由题意得e ＝1＋b 2a 2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y29＝1.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1答案 D解析 由题意可得b a ＝32，c ＝7，又c 2＝7＝a 2＋b 2，解得a 2＝4，b 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y23＝1.4.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14B.13 C.24 D.23答案 A解析 ∵双曲线的离心率为2，∴ca ＝2， ∴a ∶b ∶c ＝1∶3∶2.又∵⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|F 1A |＝2|F 2A |，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，∴|F 1F 2|＝2c ＝4a ，∴cos ∠AF 2F 1＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－|AF 1|22|AF 2||F 1F 2|＝4a 2＋16a 2－16a 22×2a ×4a＝4a 216a 2＝14，选A.5．设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．答案 x 23－y 212＝1 y ＝±2x解析 双曲线y 24－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x .设与双曲线y 24－x 2＝1有共同渐近线的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，又(2,2)在双曲线上，故224－22＝λ，解得λ＝－3.故所求双曲线方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1. 所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .6．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．答案 x 2－y 23＝1解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎨⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.7．已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且焦距是213，则双曲线方程为________．答案 x 29－y 24＝1或y 24－x 29＝1解析 设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)． 若λ>0，则a 2＝9λ，b 2＝4λ， c 2＝a 2＋b 2＝13λ.由题设知2c ＝213，∴λ＝1， 故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1； 若λ<0，则a 2＝－4λ，b 2＝－9λ，c 2＝a 2＋b 2＝－13λ.由2c ＝213，∴λ＝－1， 故所求双曲线方程为y 24－x 29＝1.综上，所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 24－x 29＝1. 1 双曲线的几何性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)．(2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 3 点P (x 0，y 0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的关系(1)P 在双曲线内(含焦点部分)⇔x 20a 2－y 20b 2>1； (2)P 在双曲线上⇔x 20a 2－y 20b 2＝1；(3)P 在双曲线外(不含焦点部分)⇔x 20a 2－y 20b 2<1.注意点 双曲线的离心率与曲线开口大小的关系离心率e 的取值范围：e >1，当e 越接近于1时，双曲线开口越小；e 越接近于＋∞时，双曲线开口越大.1．思维辨析(1)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝0.( )(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) (3)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )(4)渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系是k ＝±e 2＋1.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x －2y ＝0，则它的离心率为( )A. 5B.52C. 3 D ．2答案 A解析 依题意设双曲线的方程是y 2a 2－x 2b 2＝1(其中a >0，b >0)，则其渐近线方程是y ＝±a b x ，由题知a b ＝12，即b ＝2a ，因此其离心率e ＝a 2＋b 2a ＝5aa ＝ 5.3．以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±3x解析 椭圆x 24＋y 23＝1的焦点坐标为(1,0)，(－1,0)，顶点坐标为(2,0)，(－2,0)．则双曲线的顶点为(1,0)，(－1,0)，焦点为(2,0)，(－2,0)． 则双曲线的标准方程为：x 2－y 23＝1.其渐近线为y ＝±3x .[考法综述] 高考对于双曲线的几何性质的考查以理解和运用为主，双曲线独有的渐近线是高频考点，常与其他圆锥曲线综合考查，难度较大．命题法 双曲线的几何性质典例 (1)已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，＋∞)(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±2xD ．y ＝±22x[解析] (1) 如图所示，过点F 2(c,0)且与渐近线y ＝ba x 平行的直线为y ＝b a (x －c )，与另一条渐近线y ＝－ba x 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a (x －c )，y ＝－ba x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c 2，y ＝－bc2a ，即点M ⎝⎛⎭⎪⎫c2，－bc 2a . ∴|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＝c 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. ∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外， ∴|OM |>c ， 即c21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>c ，得 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>2. ∴双曲线离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>2. 故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．故选D.(2)如图所示，设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c (c >0)，则C (－a ，0)，F (－c,0)．由双曲线和圆的对称性知，点A 与点B 关于x 轴对称，则∠ACO ＝∠BCO ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°.∵|OA |＝|OC |＝a ，∴△ACO 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°. ∵F A 切圆O 于点A ，∴OA ⊥F A ，在Rt △AOF 中，∠AFO ＝90°－∠AOF ＝90°－60°＝30°， ∴|OF |＝2|OA |，即c ＝2a ，∴b ＝c 2－a 2＝(2a )2－a 2＝3a ，故双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .[答案] (1)D (2)A【解题法】 求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法 (1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝c a 转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．(2)求渐近线时，利用c 2＝a 2＋b 2转化为关于a ，b 的方程或不等式．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系．1．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2答案 D解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.2.若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3 答案 B解析 解法一：依题意知，点P 在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2×3＝6，所以|PF 2|＝6＋3＝9，故选B.解法二：根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)，故选B.3．将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2D ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2 答案 D解析 依题意，e 1＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，e 2＝(a ＋m )2＋(b ＋m )2a ＋m＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2.因为b a －b ＋m a ＋m ＝ab ＋bm －ab －am a (a ＋m )＝m (b －a )a (a ＋m )，由于m >0，a >0，b >0，且a ≠b ，所以当a >b 时，0<b a <1,0<b ＋m a ＋m <1，b a <b ＋ma ＋m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，所以e 1<e 2；当a <b 时，b a >1，b ＋m a ＋m >1，而b a >b ＋m a ＋m，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，所以e 1>e 2.所以当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2，故选D.4．过双曲线x 2－y23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433 B ．2 3 C ．6 D ．4 3答案 D解析 由双曲线的标准方程x 2－y23＝1得，右焦点F (2,0)，两条渐近线方程为y ＝±3x ，直线AB ：x ＝2，所以不妨取A (2，23)，B (2，－23)，则|AB |＝43，选D.5.已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3 B ．3 C.3m D ．3m答案 A解析 由题意，可得双曲线C 为x 23m －y 23＝1，则双曲线的半焦距c ＝3m ＋3.不妨取右焦点(3m ＋3，0)，其渐近线方程为y ＝±1mx ，即x ±my ＝0.所以由点到直线的距离公式得d ＝3m ＋31＋m＝ 3.故选A.6．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等答案 A解析 因为0<k <9，所以方程x 225－y 29－k ＝1与x 225－k －y 29＝1均表示焦点在x 轴上的双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1中，其实轴长为10，虚轴长为29－k ，焦距为225＋9－k ＝234－k ；双曲线x 225－k －y 29＝1中，其实轴长为225－k ，虚轴长为6，焦距为225－k ＋9＝234－k .因此两曲线的焦距相等，故选A.7．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0 答案 A解析 由题意，知椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ， 双曲线C 2的离心率为e 2＝a 2＋b 2a .因为e 1·e 2＝32，所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2)a 2＝32， 即(a 2－b 2)(a 2＋b 2)a 4＝34， 整理可得a ＝2b .又双曲线C 2的渐近线方程为bx ±ay ＝0， 所以bx ±2by ＝0，即x ±2y ＝0.8.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43 B.53 C.94 D ．3答案 B解析 根据双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝2a ，可得|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2.而由已知可得|PF 1|2＋2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝9b 2，两式作差可得－4|PF 1||PF 2|＝4a 2－9b 2.又|PF 1||PF 2|＝94ab ，所以有4a 2＋9ab －9b 2＝0，即(4a －3b )(a ＋3b )＝0，得4a ＝3b ，平方得16a 2＝9b 2，即16a 2＝9(c 2－a 2)，即25a 2＝9c 2，c 2a 2＝259，所以e ＝53，故选B.9．点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长之比为3∶4∶5.则双曲线的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±4xC ．y ＝±25xD ．y ＝±26x答案 D解析 设△F 1PF 2的三条边长为|PF 1|＝3m ，|PF 2|＝4m ，|F 1F 2|＝5m ，m >0，则2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝m,2c ＝|F 1F 2|＝5m ，所以b ＝6m ，所以b a ＝6m12m＝26，所以双曲线的渐近线方程是y ＝±26x .10．设实轴长为2的等轴双曲线的焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆交双曲线于A 、B 、C 、D 四点，则|F 1A |＋|F 1B |＋|F 1C |＋|F 1D |＝( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.32答案 A解析 依题意，设题中的双曲线方程是x 2－y 2＝1，不妨设点A 、B 、C 、D 依次位于第一、二、三、四象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|－|AF 2|＝2|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝8，由此解得|AF 1|＝3＋1，|AF 2|＝3－1，同理|DF 1|＝|AF 1|＝3＋1，|CF 1|＝|BF 1|＝|AF 2|＝3－1，|AF 1|＋|BF 1|＋|CF 1|＋|DF 1|＝43，选A.11．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若成立，则双曲线的离心率为( )A ．4 B.52 C ．2 D.53答案 C 解析12．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点．若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．答案5解析 由已知不妨设F (－c,0)，虚轴的一个端点为B (0，b )，B 恰为线段PF 的中点，故P (c,2b )，代入双曲线方程，由c 2a 2－(2b )2b 2＝1得c 2a 2＝5，即e 2＝5，又e >1，故e ＝ 5.13．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.答案 33解析 因为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为y ＝－3x ，即y ＝±1a x ，所以1a ＝3，故a ＝33.14．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案 52 解析由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－b a x得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，则线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2.由题意得PM ⊥AB ，∴k PM ＝－3，得a 2＝4b 2＝4c 2－4a 2，故e 2＝54，∴e ＝52.15．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．答案3解析 不妨设点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，因为|PF 1|>|PF 2|，所以∠PF 1F 2为最小内角，因此∠PF 1F 2＝30°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos30°，即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac ，所以c 2－23ac ＋3a 2＝0，两边同除以a 2，得e 2－23e ＋3＝0，解得e ＝ 3.16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线的离心率e 的最大值为________．答案 53解析 设∠F 1PF 2＝θ，由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4|PF 2|得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，由余弦定理得cos θ＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2.∵θ∈(0，π]，∴cos θ∈[－1,1)，－1≤178－98e 2<1，又e >1，∴1<e ≤53. 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[错解][错因分析] 在解答本题时，容易因错误运用双曲线的定义而出错．本题中，|MC 2|－|MC 1|＝2，与双曲线的定义相比，等式左边少了外层绝对值，因此只能表示双曲线的一支，如果不注意这一点，就会得出点M 的轨迹方程为x 2－y28＝1这一错误结果．[正解] 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B两点．连接MC 1，MC 2.根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |.因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2.所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离比与C 1的距离大)，可设轨迹方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0，x <0)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x <0)．[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·武邑中学模拟]已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )A ．5x 2－4y 25＝1B.x 25－y 24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－5y24＝1答案 D解析 ∵抛物线的焦点为F (1,0)，∴c ＝1. 又c a ＝5，∴a ＝15，∴b 2＝c 2－a 2＝1－15＝45.故所求方程为5x 2－5y24＝1，故选D.2．[2016·枣强中学一轮检测]“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线，则(m －8)(m －10)>0，解得m <8或m >10，故“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.3. [2016·衡水中学周测]已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 相切于点B ，分别过点M 、N 且与圆C 相切的两条直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－y28＝1(x >1) B ．x 2－y210＝1(x >0) C ．x 2－y28＝1(x >0)D ．x 2－y210＝1(x >1)答案 A解析 如图所示，设两切线分别与圆相切于点S 、T ，则|PM |－|PN |＝(|PS |＋|SM |)－(|PT |＋|TN |)＝|SM |－|TN |＝|BM |－|BN |＝2＝2a ，所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x 轴相交，a ＝1，c ＝3，所以b 2＝8，故点P 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >1)．4．[2016·冀州中学月考]以正三角形ABC 的顶点A ，B 为焦点的双曲线恰好平分边AC ，BC ，则双曲线的离心率为( )A.3－1 B ．2 C.3＋1 D ．2 3答案 C解析 如图，设|AB |＝2c ，显然|AD |＝c ，|BD |＝3c ，即(3－1)c ＝2a ，∴e ＝23－1＝3＋1，∴选C.5．[2016·武邑中学周测]已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x答案 A解析 由题意得，双曲线的离心率e ＝c a ＝3，故a b ＝22，故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，选A.6. [2016·衡水中学月考]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，抛物线y ＝116x 2＋1与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A.x 28－y 22＝1 B.x 22－y 28＝1 C ．x 2－y 24＝1D.x 24－y 2＝1答案 D解析 由对称性，取一条渐近线y ＝b a x 即可，把y ＝b a x 代入y ＝116x 2＋1，得116x 2－b a x ＋1＝0，由题意得Δ＝b 2a 2－4×116×1＝0，即a 2＝4b 2，又c ＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝5b 2＝5，∴b 2＝1，a 2＝4，选D.7．[2016·枣强中学猜题]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上情况都有可能答案 B解析 设以线段PF 1，A 1A 2为直径的两圆的半径分别为r 1，r 2，若P 在双曲线左支，如图所示，则|O 2O 1|＝12|PF 2|＝12(|PF 1|＋2a )＝12|PF 1|＋a ＝r 1＋r 2，即圆心距为半径之和，两圆外切，若P 在双曲线右支，同理求得|O 2O 1|＝r 1－r 2，故此时，两圆相内切，综上，两圆相切，故选B.8．[2016·衡水中学期中]已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14 B.35 C.34 D.45答案 C解析 由题意可知a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，又|PF 1|－|PF 2|＝22， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，|F 1F 2|＝4.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×22×42＝34，故选C.9．[2016·武邑中学期中]设F 1，F 2是双曲线x 2－y224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48答案 C解析 双曲线的实轴长为2，焦距为|F 1F 2|＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知，2＝|PF 1|－|PF 2|＝43|PF 2|－|PF 2|＝13|PF 2|，∴|PF 2|＝6，|PF 1|＝8. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， ∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×8＝24，故选C.10．[2016·衡水中学期末]已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y ＝ba x 对称，则该双曲线的离心率为( )A.52B.5C.2 D ．2答案 B解析 由题意可知渐近线为PF 2的中垂线，设M 为PF 2的中点，所以OM ⊥PF 2.tan ∠MOF 2＝MF 2OM ＝ba ，因为OF 2＝c ，所以MF 2＝b ，OM ＝a .因此PF 2＝2b ，PF 1＝2a ，又因为PF 2－PF 1＝2a ，所以b ＝2a ，则c 2＝a 2＋b 2＝5a 2，即c ＝5a ，故e ＝ca ＝ 5.11．[2016·冀州中学期末]若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为________．答案233解析 双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，一个焦点坐标为(c,0)．根据题意：|bc －a ×0|b 2＋a 2＝14×2c ，所以c ＝2b ，a ＝c 2－b 2＝3b ，所以e ＝c a ＝23＝233.12．[2016·衡水中学预测]双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，左、右顶点分别为A 1和A 2，过焦点F 2与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P ，若|P A 1→|是|F 1F 2→|和|A 1F 2→|的等比中项，则该双曲线的离心率为________．答案2解析 由题意可知|P A 1→|2＝|F 1F 2→|×|A 1F 2→|，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋(a ＋c )2＝2c (a ＋c )，又c 2＝a 2＋b 2，则a 2＝b 2，所以e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝ 2.能力组13.[2016·枣强中学热身]双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)相交于A ，B 两点，公共弦AB 恰好过它们的公共焦点F ，则双曲线C 的离心率为( )A. 2 B ．1＋ 2 C ．2 2 D ．2＋ 2答案 B解析 抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，且c ＝p2，所以p ＝2c .根据对称性可知公共弦AB ⊥x 轴，且AB 的方程为x ＝p 2，当x ＝p2时，y A ＝p ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p .又因为双曲线左焦点F 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，所以|AF 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2－p 22＋p 2＝2p ，又|AF |＝p ，所以2p －p ＝2a ，即(2－1)×2c＝2a ，所以c a ＝12－1＝2＋1，选B.14．[2016·衡水中学猜题]焦点为(0,6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝1答案 B解析 设所求双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，因为焦点为(0,6)，所以|3λ|＝36，又焦点在y 轴上，所以λ＝－12，选B.或利用排除法：因为焦点为(0,6)，故排除A 、D ，又x 22－y 2＝1的渐近线为y ＝±22x ，故选B.15．[2016·衡水中学一轮检测]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点O 为双曲线的中心，点P 在双曲线右支上，△PF 1F 2内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则下列结论成立的是( )A ．|OA |>|OB | B ．|OA |<|OB |C ．|OA |＝|OB |D ．|OA |与|OB |大小关系不确定 答案 C解析 如图，由于点Q 为三角形PF 1F 2内切圆的圆心，故过点F 2作PQ 的垂线并延长交PF 1于点N ，易知垂足B 为F 2N 的中点，连接OB ，则|OB |＝12|F 1N |＝12(|F 1P |－|F 2P |)＝a ，又设内切圆与PF 1，PF 2分别切于G ，H ，则由内切圆性质可得|PG |＝|PH |，|F 1G |＝|F 1A |，|F 2A |＝|F 2H |， 故|F 1P |－|F 2P |＝|F 1A |－|F 2A |＝2a ， 设|OA |＝x ，则有x ＋c －(c －x )＝2a ， 解得|OA |＝a ，故有|OA |＝|OB |＝a ，故选C.16. [2016·冀州中学模拟]已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P 和Q .且△F 1PQ 为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±2x解析 解法一：设F 2(c,0)(c >0)，P (c ，y 0)，代入方程得y 0＝±b 2a ， ∵PQ ⊥x 轴，∴|PQ |＝2b 2a . 在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°， ∴|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝3·b 2a .又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2或2a 2＝－3b 2(舍去)， ∵a >0，b >0，∴ba ＝ 2.故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .解法二：∵在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2|PF 2|. 由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 2|＝2a ，由已知易得|F 1F 2|＝3|PF 2|，∴2c ＝23a ，∴c 2＝3a 2＝a 2＋b 2，∴2a 2＝b 2，∵a >0，b >0，∴b a ＝2，故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .。
高中数学双曲线公式总结大全
高中数学双曲线公式总结大全圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中ab0,c ²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中ab0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²;y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a ≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(ab0) x²/a²-y²/b²=1(a0,b0) y²=2px(p0)范围x∈[-a,a] x∈(-∞，-a]∪[a,+∞) x∈[0,+∞)y∈[-b,b] y∈R y∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0)焦点(c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/c x=±a²/c x=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x —————离心率e=c/a,e∈(0,1) e=c/a,e∈(1,+∞) e=1焦半径∣PF₁∣=a+ex ∣PF₁∣=∣ex+a∣∣PF∣=x+p/2∣PF₂∣=a-ex ∣PF₂∣=∣ex-a∣焦准距p=b²/c p=b²/c p通径2b²/a 2b²/a 2p参数方程x=a·cosθx=a·secθx=2pt²y=b·sinθ，θ为参数y=b·tanθ，θ为参数y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点x0·x/a²+y0·y/b²=1 x0x/a²-y0·y/b²=1 y0·y=p(x+x0) (x0,y0)的切线方程斜率为k的切线方程y=kx±√(a²·k²+b²) y=kx±√(a²·k²-b²) y=kx+p/2k 寒窗苦读十余载，今朝考试展锋芒;思维冷静不慌乱，下笔如神才华展;心平气和信心足，过关斩将如流水;细心用心加耐心，努力备考，定会考入理想院校。
(完整版)(完整word)高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版),推荐文档
0 ， b 0 ），过其焦点 F ( ,0) 且垂 2c
2
A(c, b )
A 在 x 轴的上方） ，则
a
，
WORD 文档
2
B( c, b ) a ，于是该双曲线的通径长为
b2
b2
b2
AB
( )2
a
a
a
.
四、关于双曲线的标准方程，需要注意的几个问题
（1）关于双曲线的标准方程， 最基本的两个问题是： 其一， 当题目已指明曲线的位置特征，
高中数学讲义之解析几何
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圆锥曲线第 2 讲 双曲线
【知识要点】
一、双曲线的定义
1. 双曲线的第一定义：
平面内到两个定点 F1 、
F 的距离之差的绝对值等于定长
2
2a（ 0 2a
FF
1 2 ）的点的轨迹
叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
注 1：在双曲线的定义中，必须强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作
a 、 b 的值。特别
需要注意的是：若题目中已经指明双曲线的焦点在
x 轴或 y 轴上，则以 a 、 b 为未知参数的
方程组只有一个解， 即 a 、b 只有一个值； 若题目未指明双曲线的焦点在哪个轴上， 则以 a 、
b 为未知参数的方程组应有两个解，即 a 、 b 应有两个值。
（4）有时为方便解题，中心在坐标原点的双曲线的方程也可设为
2
b
（8）焦准距： c
；
e
（9）离心率：
c 且 e 1 . e 越小，双曲线的开口越小； a
பைடு நூலகம்
e 越大，双曲线的开口越大；
y
双曲线及其标准方程-数学选修
contents
目录
• 双曲线的定义与性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的图像与性质 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识
01 双曲线的定义与性质
双曲线的定义
双曲线是由平面与双曲面相交形成的曲线。双曲面是一种三维几何体，它有两个对 称的曲面，称为双曲抛物面。
在平面直角坐标系中，双曲线通常表示为两个分支的曲线，这两个分支在两个不同 的象限内。
双曲线反射镜常用于反射望远镜的主 反射镜，能够将光线反射并聚焦在副 镜上，再通过目镜观察。
物理中的应用
波动理论
在物理中，双曲线常被用于描述 波动现象，如声波、电磁波等。 通过双曲线方程可以描述波的传 播规律和性质。
运动轨迹
在某些物理问题中，双曲线可以 用来描述物体的运动轨迹，例如 行星绕太阳的椭圆轨道可以用双 曲线的一段来表示。
02 双曲线的标准方程
焦点在x轴上的双曲线标准方程
方程形式
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$
焦点位置
$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$
参数含义
$a$为半主轴长，$b$为半副轴长，$c=sqrt{a^2+b^2}$为焦 距。
焦点在y轴上的双曲线标准方程
方程形式
01
$frac{y^2}{b^2} - frac{x^2}{a^2} = 1$
焦点位置
02
$F_1(0,c)$，$F_2(0,-c)$
参数含义
03
与焦点在x轴上的双曲线相同。
双曲线标准方程的推导
基于平面几何的性质
推导过程
通过平面几何中点与点的距离公式， 推导出双曲线的标准方程。
双曲线的标准方程及其几何性质
2 2
x y
解析：由题意，设双曲线方程为2—2=
a a
例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程.
(1)过点P(3,-.2)，离心率e5
2
⑵F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，双曲线离心率为2且
F1PF260，SpRF212 3.
解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下.
A.4
2
x
m212
1表示双曲线，则
k的取值范围是
B.
C.
D.
2
y
2
4 mB.2双Fra bibliotek线学a1的焦距是
C.
D.
m有关
2
_
k b2k
1与双曲线笃
a
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数
的符号，焦点在系数正的那条轴上•
3.双曲线的简单几何性质:
标准方程
2 2
xy‘
——1(a0,b0)ab
yx2
—2-21(a 0, b 0)
ab
图象
9
I
a, b,c关系
2 . 2 2a b c
范围
|x| a,y R
| y | a, x R
个数来确定。
(1)通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一
元二次方程的判别式，则有：0直线与双曲线相交于两个点；0直线与
双曲线相交于一个点；0直线与双曲线无交点.
(2)若得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平 行于双曲线的一条渐近线.
双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程学科：数学教学内容：双曲线及其标准方程【基础知识精讲】1.双曲线的定义平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示.常数用2a 表示.(1)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线. (4)若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0)焦点在x 轴上的双曲线；22a y -22bx =1(a ＞0,b ＞0)焦点在y 轴上的双曲线. 判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.本节学习方法：本节要紧数学思想和方法：方程思想，利用双曲线的定义等条件求双曲线方程.常用特定系数法、定义法和轨迹法等.双曲线和椭圆一样，差不多上解析几何的重要部分，双曲线的学习可通过与椭圆对比去把握.它与直线、圆联系紧密，涉及到距离公式、弦长问题，面积公式及方程中的韦达定理等知识，也是高考的重点内容. 【重点难点解析】1.双曲线的定义，标准方程与椭圆类似，本小节在数学思想和方法上没有新内容，学习中应着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，专门是它们的不同点.2.与建立椭圆的标准方程一样，建立双曲线的标准方程是，从“平面内到两定点的距离差的绝对值是常数(与椭圆不同，那个常数要大于0且小于｜F 1F 2｜)的点M 的轨迹”那个双曲线的定义动身，推导出它的标准方程.推导过程说明，双曲线上任意一点的坐标都适合方程22a x -22b y =1；但关于坐标适合方程22a x -22by =1的点都在双曲线上，即完备性未加以证明. 例1 若方程m x -22+3m y 2-=1表示双曲线，则实数m 的取值范畴是( )A.-3＜m ＜2或m ＞3B.m ＜-3或m ＞3C.-2＜m ＜3D.-3＜m ＜3或m ＞3分析 该方程表示双曲线，则x 2与y 2项的系数的符号相反，即(2-m)(｜m ｜-3)＜0，将问题转化为不等式的求解.答：A例2 求与椭圆252x +92y =1共焦点，且过点(32，7)的双曲线的方程.分析一 由题意知所求双曲线的焦点在x 轴上，且焦距为8，∴c=4,设所求双曲线方程为2216λ-x -22λy =1代入点(32，7)，得λ2=7，故所求双曲线方程为92x -72y =1.分析二 运用与椭圆共焦点的曲线系方程.设所求双曲线方程为λ-252x +λ-92y =1，代入点(32，7)，得λ=16或λ=-7(舍)，故所求双曲线方程为92x -72y =1.例3 课本第108页习题8.3第一题：△ABC 一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边所在直线的斜率之积是94，求顶点A 的轨迹. 分析 其顶点A 的轨迹方程求得：362y -812x =1(x ≠0).若将问题一样化：B(0，a)、C(0，-a) k AB ·k AC =22b a ，则顶点A 的轨迹方程为：22a y -22b x =1(x ≠0).若B(bcot φ，acos φ)、C(-cotφ，-acsc φ).k AB ·k AC =22ba ，则顶点A 的轨迹会是如何样?反之，双曲线22a y -22b x =1(x ≠0)上任一点到B(0，a)，C(0，-a)两点的连线的斜率之和，等于22b a ;若改变B 、C 的位置保持B 、C 两点关于原点对称于双曲线上，k AB ·k AC =22ba 是否成立.总之，同学们在学习过程中要多动手、多摸索，举一反三，做到“以点代面，以少胜多”.【难题巧解点拨】例1 一动圆与圆(x+3)2+y 2＝1外切又与圆(x-3)2+y 2＝9内切，求动圆圆心轨迹方程. 分析 如图，设动圆M 与⊙O 1外切于A ，与⊙O 2内切于B ，由位置关系可得数量关系：｜MO 1｜＝｜MA ｜+1 ｜MO 2｜＝｜MB ｜-3 由｜MA ｜＝｜MB ｜可得｜MO 1｜-｜MO 2｜＝4 由定义可知M 点轨迹为双曲线的一支.解：如图，设动圆圆心M 坐标为M(x,y)，圆M 与圆O 1外切于A ，与圆O 2内切于B ，则，MO 1＝｜MA ｜+1①，｜MO 2｜＝｜MB ｜-3②，①-②：｜MO 1｜-｜MO 2｜＝4由双曲线定义知，M 点轨迹是以O 1(-3，0)O 2(3，0)为焦点2a ＝4的双曲线的右支 ∴b 2＝32-22＝5∴所求轨迹方程为：42x -52y ＝1(x ≥2)说明：在求轨迹方程时，要注意使用曲线的定义，现在的思路：位置关系(内切，外切)数量关系(｜MO 1｜＝r+r 1,｜MO 2｜＝r-r 2其中r 为动圆半径)曲线形状(写出标准方程)，能够简化运算.同时应注意定义中是到两定点距离的绝对值，现在不含绝对值，要求｜MO 1｜>｜MO 2｜，因此是双曲线的右支，而不是整个双曲线.例2 过双曲线92x -162y ＝1的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB 的中点C 到右焦点F的距离，并求弦AB 的长.分析 将直线方程与双曲线方程联立，求出A 、B 两点的坐标，再求其中点，由两点的距离公式求出｜CF ｜.解：∵双曲线的右焦点为F(5，0)，直线AB 的方程为y ＝x-5，故消去y ，并整理得 7x 2+90x-369＝0 ③此方程的两个根x 1、x 2是A 、B 两点的横坐标，设AB 的中心点C 的坐标为(x,y)，则x ＝221x x +＝2790-＝-745.C 点的坐标满足方程②，故 y ＝-745-5＝-780∴｜CF ｜＝22)780()7455(++＝2(5+745) ＝7280又设A 点坐标为(x 1,y 1),B 点坐标为(x 2,y 2)，则y 1＝x 1-5,y 2＝x 2-5. ∴y 1-y 2＝x 1-x 2，｜AB ｜＝221221)()(y y x x -+-＝221221)()(x x x x -+- ＝221)(2x x -＝]4)[(221221x x x x -+ 由方程③知 x 1+x 2＝-790,x 1·x 2＝-7369 ∴｜AB ｜＝]71476498100[2+ ＝4936860＝7192＝2773 点评：利用韦达定理及两点间距离公式求弦长.【命题趋势分析】双曲线与直线、圆和椭圆联系紧密，涉及到距离公式、弦长及面积公式、方程中的韦达定理和判别式的运用；还涉及到弦的中点轨迹问题、中点弦问题，对称问题与最值问题等差不多上高考的重要内容.如“能力演练”中有许多曾是高考题或样题，同学们在学习中应该重基础知识和差不多的数学思想数学方法的运用.训练能力，创新思维，做到举一反三.触类旁通.【典型热点考题】例1 设F 1和F 2为曲线42x -y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°，则求△F 1PF 2的面积.分析一 依题意求出P 点的纵坐标，据面积公式运算△F 1PF 2的面积. 设P(x 1,y 1),由PF 1⊥PF 2得511+x y ·511-x y =-1即 y 21=5-x 21又 x 21-4y 21=4 联立解得y 1=±55 ∴21PF F S △=21｜F 1F 2｜·｜y 1｜=21·2c ·55 =1分析二 运用双曲线定义解题 由点P 在双曲线上，知｜｜PF 1｜-｜PF 2｜｜=4且｜PF 1｜2+｜PF 2｜2=20 联立解得｜PF 1｜·｜PF 2｜=2 ∴21PF F S △=21｜PF 1｜·｜PF 2｜=1 例2 已知l 1、l 2是过点P(-2，0)的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线y 2-x 2=1各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2.(1)求l 1的斜率k 1的取值范畴.(2)若｜A 1B 1｜=5｜A 2B 2｜；求l 1、l 2的方程.分析 设直线斜率为k ，联立方程组求解.(1)因为若l 1、l 2中有一条斜率不存在，就可推出另一条斜率为零而与双曲线不相交，因此l 1、l 2的斜率k 1、k 2均不为零.设l 1:y=k 1(x+2), l 2:y=-11k (x+2) 把它们代入双曲线方程分别得 (k 21-1)x 2+22k 21x+2k 21-1=0①(k 21-1)x 2-22x+k 21-2=0②当k 1=±1时，方程①、②均为一次方程不符合题意， 因此，当k 1≠±1时由①、②的判别式都大于零得⎪⎩⎪⎨⎧>->-041204122121k k k 1∈(-3，-33)∪(33，3)且k 1≠±1 (2)由①、②可知｜A 1B 1｜ =211k +·212214)(x x x x -+=211k +·22121)1(412--k k ｜A 2B 2｜=211k +·22121)1(412--k k∵｜A 1B 1｜=5｜A 2B 2｜∴解得 k 1=±2,k 2=±22 ∴所求直线方程为 l 1:y=2(x+2),l 2:y=-22(x+2) 或l 1:y=-2 (x+2),l 2:y=22(x+2). 例3 如图，给出定点A(a,0)，(a ＞0)和直线l :x=-1.B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于C.求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.分析 设B(-1，y 0)，C(x,y)，由角平分线的性质有CB AC =OB OA ,当y 0≠0时，又由平行线性质有CBAC =EDAE =BFFD =BFCE∴OBOA =EDAE =BFCE即有21y a+=1+-x x a =yy y -0 (易知y 与y 0-y 同号，0＜x ＜a) 由21y a+=1+-x xa 得 a 2(x+1)2=(a-x)2(1+y 20) ① 又由1+-x x a =y y y -0得y 0=xa a -+1·y②由①、②消去y 0并整理得(1-a)x 2-2ax+(1+a)y 2=0 ③当y 0=0时易知点C 即为原点，现在x=0，y=0，亦满足③，故所求点C 的轨迹方程是：(1+a)x 2-2ax+(1+a)y 2=0(0≤x ＜a)④(1)当a=1时，方程为y 2=x(0≤x ＜1) 表示抛物线弧段.(2)当a ≠1时，④变形为22)1()1(a a a a x ---+2221a a y -＝1(0≤x ＜a) 当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.【同步达纲检测】A 级一、选择题 1.设θ∈(43π，π)则方程x 2·cos θ-y 2sec θ=1所表示的曲线是( ) A.焦点在x 轴上的双曲线 B.焦点在y 轴上的椭圆C.焦点在x 轴上的椭圆D.焦点在y 轴上的双曲线2.假如双曲线92x -y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，A 是双曲线上一点，且｜AF 1｜=5，那么｜AF 2｜等于( )A.5+10B.5+210C.8D.113.与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x+7=0都相切的圆的圆心轨迹是( ) A.两个椭圆 B.两条双曲线C.一条双曲线和一条直线D.一个椭圆与一条双曲线4.以椭圆32x +42y =1的焦点为顶点，以那个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A.32x -y 2=1B.y 2-32x =1 C.32x -42y =1D. 32y -42x =15.设动点P 到定点F 1(-5，0)的距离与它到定点F 2(5，0)的距离的差等于6，则P 点轨迹方程是( )A. 92x -162y =1B. 92y -162x =1C. 92x -162y =1(x ≥3)D. 92y -162x =1(x ≤-3)二、填空题6.若椭圆mx 2+ny 2=1(0＜m ＜n)和双曲线ax 2-by 2=1(a ＞0,b ＞0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则｜PF 1｜·｜PF 2｜= .7.过点A(-23，42)、B(3，-25)的双曲线的标准方程为 . 8.与双曲线16x 2-9y 2=-144有共同焦点，且过点(0，2)的双曲线方程为 . 三、解答题9.已知点A(3，0)，圆C ：(x+3)2+y 2=16，动圆P 与圆C 相外切并过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程.10.在双曲线x 2-y 2=1上求一点P ，使它到直线y=x 的距离为2.AA 级一、选择题1.直线l 过双曲线22a y -22bx =1的下方焦点F 1且与双曲线的下支交于A 、B 两点，F 2是双曲线的另一个焦点，且｜AB ｜=m,则△ABF 2的周长为( )A.4a+mB.4a+2mC.4a-mD.4a-2m2.若曲线x 2-y 2=a 2与曲线(x-1)2+y 2=1恰好有三个不同的公共点，则实数a 的值只能是( )A.a=0B.a=±1C.0＜｜a ｜＜1D.｜a ｜＞13.若a m x +32+am y -42=1表示双曲线，a 为负常数，则m 的取值范畴是( )A.(3a ,-4a) B.(4a ,-3a) C.(-∞,-4a )∪(3a,+∞)D.(- 3a ,4a )4.依次连接双曲线x 2-y 2=12与圆x 2+y 2=25的交点，则所成的图形是( ) A.三角形 B.菱形 C.矩形 D.正方形5.斜率为2的直线与双曲线2x 2-y 2=2交于P 、Q 两点，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是( )A.y=xB.y=x(｜x ｜＞2)C.y=x(｜x ｜＞22)D.y=x(｜x ｜≥2 )二、填空题6.已知B(-5，0)，C(5，0)是△ABC 的两个顶点，且sinB-sinC=53sinA,则顶点A 的轨迹方程是.7.已知双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)的弦AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则直线OM和直线AB 的斜率的乘积为.8.关于x 的方程12 x =x+b 没有实数根，则实数b 的取值范畴是 . 三、解答题9.已知不论b 取何实数，直线y=kx+b 与双曲线x 2-2y=1总有公共点，试求实数k 的取值范畴.10.双曲线3x 2-y 2=1上是否存在关于直线=2x 对称的两点A 、B?若存在，试求出A 、B 两点的坐标；若不存在，说明理由.【素养优化训练】1.平面内有一条定线段AB ，其长度为4，动点P 满足｜PA ｜-｜PB ｜=3,O 为线段AB 的中点，则｜OP ｜的最小值是( )A.1B.23C.2D.42.P 为双曲线C 上的一点，F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，过双曲线C 的一个焦点作∠F 1PF 2的平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线3.给出下列曲线：①4x+2y-1=0;②x 2+y 2=3;③22x +y 2=1;④22x -y 2=1，其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线是( )A.①③B.②④C.①②③D.②③④4.若动圆P 与两定圆(x+5)2+y 2=1及(x-5)2+y 2=49都相内切或都相外切，则动圆圆心轨迹方程是( )A. 32x -42y =1B.32x -42y =1(x ＞0)C.92x -162y =1D.92x -162y =1(x ＞0)5.已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程mx-y+n=0与nx 2+my 2=mn 所表示的示意曲线是( )二、填空题6.已知双曲线x 2-32y =1,过点P(2，1)作直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则｜AB ｜= .7.若圆C 过双曲线92x -162y =1的两焦点，且截直线y=-1所得弦长为8，则圆C 的方程为 .8.过点M(3，-1)且被点M 平分的双曲线42x -y 2=1的弦所在直线方程为 .三、解答题9.若双曲线y 2-x 2=1上的点P 与其焦点F 1、F 2的连线互相垂直，求P 点的坐标.10.设k 和r 是实数，且r ＞0，使得：直线y=kx+1既与圆x 2+y 2=r 2相切，又与双曲线x 2-y 2=r 2有两个交点.(1)求证：21r-k 2=1,且｜k ｜≠1; (2)试问：直线y=kx+1能否通过双曲线x 2-y 2=42的焦点?什么缘故?【生活实际运用】活动1：求证直线y=kx+m 与双曲线22a x +22by =1相切的充要条件是：m 2=a 2·k-b 2若过双曲线上一点P(x 0,y 0)斜率为k 的切线为y=kx+y 0-kx 0,其中m=y 0-kx.且b 2x 20-a 2b 2,联立可解得斜率k=0202y a x b (y ≠0),代入切线方程可得过点P(x 0,y 0)双曲线的切线方程为20a x x -20byy =1 专门地，当y 0=0时亦合上面的方程.活动2：运用上面结论可求过双曲线22a x -22by =1上一点(x 0,y 0)的切线方程与法线方程，若双曲线方程为22a y -22bx =1时，过曲线上点(x 0,y 0)的切线和法线方程又是如何样?【知识验证实验】1.运用双曲线定义解方程｜｜x-3｜-｜x+3｜｜=2.解：该方程的解是以(-3，0)，(3，0)为焦点，2为实轴长的双轴线与x 轴交点的横坐标，其方程为x 2-82y =1，令y=0得x=±1，即原方程的解为x=±1. 2.运用双曲线图形解无理不等式212-x ＞x+1解：令y 1=212-x ,y 2=x+1，即x 2-421y =1(y 1≥0),在同一坐标系中画出两图形，使得双曲线的部分在直线部分上方的x 的值为原不等式的解.故原不等式的解集为(-∞，-1). 【知识探究学习】1.设声速为a 米/秒，在相距10a 米的A 、B 两监听室中，听到一爆炸声的时刻差为6秒，且纪录到B 处的声强是A 处的4倍，若已知声速a=340米/秒，声强与距离的平方成反比，试确定爆炸点P 到AB 的中点M 的距离.解：以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则A(-5a ，0)，B(5a,0)，P(x,y)，｜PA ｜-｜PB ｜=6a ，到A 、B 两点距离差为6a 的点在双曲线，22)3(a x -22)4(a y =1(x ≥3a)上 ①, 又B 处的声强是A 处声强的4倍，∴｜PA ｜2=4｜PB ｜2,即(x+5a)2+y 2=4［(x-5a)2+y 2］，3x 2+3y 2-50ax+75a 2=0 ②，由①、②消去y,得25x 2-150ax+81a 2=0，x=527a 或x=53a(舍去)，y=5896a ，∴｜PM ｜=22)5896()527(a a +=65a=34065(米)， 答：P 点到AB 中点M 的距离为34065米.2.如图所示，某农场在P 处有一肥堆，今要把这堆肥沿道路PA 或PB 送到大田ABCD 中去，已知AP=100m ，PB=150m,∠APB=60°，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿PA 送肥较近，而另一侧的点沿PB 送肥较近?如能，请确定这条界线.解题思路：大田ABCD 中的点分成三类：第一类设PA 送肥较近，第二类沿PB 送肥较近，第三类沿PA 和PB 送肥一样远近，第三类构成第一类、第二类点的界线，即我们所要求的轨迹，设以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，设M 为界线所在曲线上的一点，则满足｜PA ｜+｜AM ｜=｜PB ｜+｜BM ｜,因此｜MA ｜-｜MB ｜=｜PB ｜-｜PA ｜=50.可知M 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线一支其方程可求得为6252x -37502y =1.(0≤y ≤60，25≤x ≤35)界线为双曲线在矩形中的一段.参考答案：【同步达纲检测】A 级1.D2.D3.C4.B5.C6. m 1-a17.42x -162y =1 8. 42y -212x =19.解：设P(x,y),依题意有｜PC ｜=｜PA ｜+4，∴P 点的轨迹是以C(-3，0)，A(3，0)为焦点，且实轴长为4的双曲线的右支、其方程为42x -52y =1(x ≥2)10.解：设P(csc θ,cot θ)，则2cot csc θ-θ=2∴,θθsin cos 1- =±2，∴tan 2θ=±2，由万能公式求得P(±45,±43)AA 级1.B2.A3.B4.C5.B6. 92x -162y =1(x ＜-3) 7. 22ab 8.(-∞,-1)∪［9，1］9.解：联立方程组⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y 消去y 得(2k 2-1)x 2+4kbx+2b 2+1=0,依题意有△=(4kb)2-4(2k 2-1)(2b 2+1)=-4(2k 2-2b 2-1)＞0，对所有实数b 恒成立，∴2k 2-1＜0，得-2k ＜k＜22 10.解：设AB ：y=-21x+m,代入双曲线方程得11x 2+4mx-4(m 2+1)=0,那个地点△=(4m)2-4×11［-4(m 2+1)］=16(2m 2+11)＞0 恒成立，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点为M(x 0,y 0,)则x 1+x 2=-11m4，∴x 0=-112m ,y 0=-21x 0+m=1112m ,若A 、B 关于直线y=2x 对称，则M 必在直线y=2x 上，∴1112m =-114m得m=1，由双曲线的对称性知，直线y=-21x 与双曲线的交点的A 、B 必关于直线y=2x 对称.∴存在A 、B 且求得A(112，-111)，B(-112，111)【素养优化训练】1.B2.B3.D4.C5.C6.43374 7.x 2+(y-4)2=41 8.3x+4y-5=0 9.解：设P(x,y),∵F 1(0,-2),F 2(0, 2),∴1PF k =x y 2+,2PF k =xy 2-,∵x y 2+·x y 2-=-1,即x 2+y 2=1,又y 2-x 2=1，∴x=±22,y=±26,∴P 的坐标为(22，26)，(22，-26)，(-22，26)和(-22，-26) 10.解(1)因为直线y=kx+1与圆x 2+y 2=r 2相切，因此有1k 10k 02++-•=r,∴2k11+=r 2,∵r 2≠0,∴21r-k 2=1，又由于直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=r 2相交，故交点坐标(x,y)满足方程组⎩⎨⎧=-+=2221r y x kx y ②①,将①代入②得(1-k 2)x 2-2kx-(1+r 2)=0 ③,因直线与双曲线有两个交点，且对任意实数k ，直线不平行y 轴，故③有两个不同的实数根，因此1-k 2≠1,∴｜k ｜≠1(2)双曲线x 2-y 2=r 2的过点是F 1(-2r,0),F 2(2r,0)，若直线y=kx+1过点F 1,则 -2rk+1=0,即k=r21-，又由(1)结论21r -k 2=1得k 2=1与｜k ｜≠1矛质.故直线y=kx+1不可能过双曲线x 2-y 2=r 2的左焦点，同理可得，直线y=kx+1也不可能过双曲线x 2-y 2=r 2的右焦点.。
(完整版)双曲线及其标准方程详解
2．2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2想一想：如何判断方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点的位置？提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论.题型一 求双曲线的标准方程 【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)或x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)．解 (1)法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．【变式1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－x 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.2.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2D ．m －bA 解析：设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ． 由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ．∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．题型二 双曲线定义的应用【例2】如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2[思路探索] (1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ，则点M 到另一焦点的距离易得； (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方，得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝ 36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．【变式2】1．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．1．解：连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|．因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9．2．设P 为双曲线x 216－y29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．解：由方程x 216－y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，故c ＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．①在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．② ①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×36×32＝93．3.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理，得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.误区警示 忽略双曲线焦点位置致误【示例】 方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是________．[错解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0，|m |－3<0解得－3<m <2，∴m 的取值范围是{m |－3<m <2}．只考虑焦点在x 轴上，忽视了焦点在y 轴上的情况．[正解] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m >0|m |－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0，|m |－3>0，解得－3<m <2或m >3.∴m 的取值范围是{m |－3<m <2或m >3}． 答案 {m |－3<m <2或m >3}方程x 2m ＋y 2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m 、n 应满足m >n >0或n >m >0，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m 、n 应满足mn <0，当m >0，n <0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n >0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 答案：D 解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y -(x ≥3)． 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( ) AB．CD．答案：D 解析：由已知λ＜0，a 2＝2，b 2＝－λ，c 2＝2－λ，∴焦距2c = 3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 答案：D 解析：设F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 则由双曲线的定义知：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，而|PF 2|＝15，解得|PF 1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B-＝______． 答案：56解析：如图，||||sin sin ||||210522||sin ||21262BC AB A C BC AB a RR AC B AC c R---=====．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22=1412x y-上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4 解析：设右焦点为F ，则点F 的坐标为(4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M 点的坐标为(3，±15)．由两点间距离公式得|MF|＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4．。
双曲线其标准方程
焦点与顶点关系
双曲线的焦点到顶点的距离等于c，其中a为横轴长度，b 为纵轴长度，c² = a² + b²。
双曲线的切线性质
切线斜率
对于双曲线上的任意一点P，其切线的斜率k满足k = -e²/((1+e²)(1-e²))。其中e为离心率。
双曲线及其标准方程
• 双曲线的定义 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识
目录
01
双曲线的定义
平面上的双曲线
平面上的双曲线由两条开口不 相同的抛物线组成，它们关于x 轴或y轴对称。
双曲线的两个顶点位于x轴或y 轴上，顶点之间的距离称为焦 距。
双曲线的实轴和虚轴分别与x轴 和y轴重合。
双曲线的渐近线
• 渐近线：双曲线有两条渐近线，它们是直线，与 双曲线无限接近但不相交。渐近线的斜率等于离 心率。
双曲线的对称性
• 对称性：双曲线具有对称性，它关于原点对称，也关于两 个渐近线对称。
03
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
当双曲线的焦点位于x 轴上时，其标准方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$， 其中$a$和$b$是常数， 分别表示双曲线的实半 轴和虚半轴的长度。
空间中的双曲面
空间中的双曲面是一种三维几何 图形，由两个开口的旋转抛物面 组成，它们关于x轴、y轴或z轴
对称。
双曲面的两个顶点位于x轴、y轴 或z轴上，顶点之间的距离称为
焦距。
双曲面的实轴和虚轴分别与x轴、 y轴或z轴重合。
双曲线的标准方程及简单性质
方程表示的曲线是双曲线的右支
( x 3) y ( x 3) y
2 2 2
2
6
方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点， 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。
一.双曲线的简单几何性质 1.范围: 两直线x=±a的外侧 y N 2. 对称性:关于x轴, y轴,原点 Q
( x c)
2
y
2
2a
( x c)
y
2
2
cx a 2 a
( x c) 2 y 2
(c a ) x a y a (c a )
2 2 2 2 2 2 2 2
c a b
2 2
2
x a2
2
y2 b
2
1(a 0, b 0)
2 2 2 2
∵
a=3
c=5
x2 y2 1 9 16
b2= 52- 32= 16
∴ 所求双曲线的标准方程为
例3：k > 1,则关于x、y的方程(1- k )x2+y2=k2- 1 所表示的曲线是 （ )
A、焦点在x轴上的椭圆 B、焦点在y轴上的双曲线
C、焦点在y轴上的椭圆 D、焦点在x轴上的双曲线
2.几何性质的应用
二.应用举例:
例2.求一渐进线为3x+4y=0,一个焦点为(4,0) 的双曲线的标准方程. 分析:因焦点在x轴上,故其标准方程可
知为:
x2 y2 2 1 2 a b
其渐进线方程可知
又因c=4,故可列方程组求出a,b的值.
三.小结:
1.双曲线的几何性质: ①范围; ②对称 性; ③顶点; ④渐进线; ⑤离心率
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2．2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点)2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示(1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 想一想：如何判断方程x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)和y a 2－x b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点的位置？提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论.题型一 求双曲线的标准方程【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)或x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)．解 (1)法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．【变式1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－x 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.2.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2D ．m －bA 解析：设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ． 由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ．∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．题型二 双曲线定义的应用【例2】如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．[思路探索] (1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ，则点M 到另一焦点的距离易得； (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方，得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝ 36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．【变式2】1．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．1．解：连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|．因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9．2．设P 为双曲线x 216－y 29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．解：由方程x 216－y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，故c ＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．①在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．② ①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×36×32＝93．3.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理，得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.误区警示 忽略双曲线焦点位置致误【示例】 方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是________．[错解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0，|m |－3<0解得－3<m <2，∴m 的取值范围是{m |－3<m <2}．只考虑焦点在x 轴上，忽视了焦点在y轴上的情况．[正解] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m >0|m |－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0，|m |－3>0，解得－3<m <2或m >3.∴m 的取值范围是{m |－3<m <2或m >3}． 答案 {m |－3<m <2或m >3}方程x 2m ＋y 2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m 、n 应满足m >n >0或n >m >0，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m 、n 应满足mn <0，当m >0，n <0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n >0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线.当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 答案：D 解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y-(x ≥3)． 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( ) AB．CD．答案：D 解析：由已知λ＜0，a 2＝2，b 2＝－λ，c 2＝2－λ，∴焦距2c =3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 答案：D 解析：设F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 则由双曲线的定义知：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，而|PF 2|＝15，解得|PF 1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B-＝______． 答案：56解析：如图，||||sin sin ||||210522||sin ||21262BC AB A C BC AB a R R AC B AC c R---=====．5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22=1412x y-上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4解析：设右焦点为F，则点F的坐标为(4,0)．把x＝3代入双曲线方程得y＝±15，即M点的坐标为(3，±15)．由两点间距离公式得|MF|＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4．。