(完整word版)双曲线及其标准方程详解

2．2 双曲线

2．2.1 双曲线及其标准方程

【课标要求】

1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．

2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．

【核心扫描】

1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点)

2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)

自学导引

1．双曲线的定义

把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？

提示(1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示．

(2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在．

(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 想一想：如何判断方程x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)和y a 2－x b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点

的位置？

提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点

在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

名师点睛

1．对双曲线定义的理解

(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．

(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．

(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．

(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”

2．双曲线的标准方程

(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．

(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．

(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．

(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准

方

程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论.

题型一 求双曲线的标准方程

【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．

(1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭

⎫－16

3，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．

[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2

b

2＝

1(a >0，b >0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2

＝1(mn <0)或x 2m ＋

y 2

n

＝1(mn <0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或x 2λ－

y 2

6－λ＝1(0<λ<6)．

解 (1)法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)，

由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－16

3，5在双曲线上， 所以⎩

⎨⎧

9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2

＝1，解得⎩

⎪⎨⎪⎧

a 2＝－16，

b 2＝－9(舍去)．

若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2

b

2＝1(a >0，b >0)，

将P 、Q 两点坐标代入可得⎩

⎨⎧

22516a 2－9

b 2

＝1，25a 2－256

9b 2

＝1，

解之得⎩

⎪⎨⎪⎧

a 2＝9，

b 2＝16，

所以双曲线的标准方程为y 29－x 2

16＝1.

法二 设双曲线方程为x 2

m ＋y 2

n

＝1(mn <0)．

∵P 、Q 两点在双曲线上，

∴⎩⎨⎧

9m ＋225

16n

＝1，2569m ＋25

n ＝1，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧

m ＝－16，

n ＝9.

∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 2

16

＝1.

(2)法一 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)．

依题设有⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＋

b 2＝6，25a 2－4b 2

＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＝5，

b 2＝1，

∴所求双曲线的标准方程为x 25

－y 2

＝1.

法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，

∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 2

6－λ

＝1(其中0<λ<6)．

∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ

＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25

－y 2

＝1.

规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．

【变式1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；

(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，

由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7.

因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－x 2

7

＝1.

(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，

即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2

＝62－42＝20.

因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 2

20

＝1.

2.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2

b

＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线

的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )

A ．m －a

B ．m －b

C ．m 2－a 2

D ．m －b

A 解析：设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ． 由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ．∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．