有理函数及三角函数有理式的积分.docx

精品文档§3.6 有理函数及三角函数有理式的积分教学目的： 使学生理解有理函数及三角函数有理式积分法， 掌握有理函数及三角函数有理式积分法的一般步骤及其应用。

重点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用 难点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用教学过程：一、问题的提出前面两节我们利用基本积分表、 不定积分性质和两种基本积分发 （换元积分法与分部积分法） 已经求出了一些不定积分。

从求解过程中可见，求不定积分不像求导数那样，只要按照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数， 而求不定积分却没有那样容易。

即使一个看起来并不复杂的函数，要求出结果，有时候都需要一定的技巧，有些甚至还“积不出”。

例如，sin x dx, dx , e x 2 dx ,dx ， xln x1 x 3被积函数都是初等函数，看起来也并不复杂， 但是在初等函数范围内却积不出来，这是因为被积函数的原函数不是初等函数。

本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分计算技巧。

求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套”“拆”，即将被积函数拆项，把积分变为两个或几个较简单的积分。

“变”，即代数恒等变形：加一项减一项、 乘一项除一项、 分子分母有理化、 提取公因子； 三角恒等变形： 半角、倍角公式， 平方和公式， 积化和差、 和差化积、 和角公式； 陪完全平方： 根号下配完全平方、分母配完全平方等； “凑”，即凑微法（第一类换元法） 。

“换”，即第二类换元法（三角代换、倒代换、指数代换法等） 。

“分”，即分部积分法。

“套”，即套基本公式。

求不定积分的主要技巧在一个“巧”字和一个“练”字，即巧用上述方法和综合运用上述方法。

二、 有理函数的积分 有理函数R( x)是指由两个多项式的商所表函数，即P( x) a 0 x na 1x n 1a n 1 x a n R( x) Q( x)b 0 x m b 1 x m 1b m 1 x b m其中 m 和 n 都是非负整数； a 0 , a 1 , a 2, , a n 及 b 0 , b 1, b 2 , , b m都是实数，通常总假定 分子多项式 P( x) 与分母多项式 Q(x)之间没有公因式，并且 a 0 0 ， b 0 0 .当 n m 时，称 R(x) 为真分式；而当 n m 时，称R( x)为假分式 .一个假分式总可化为一个多项式和一个真分式之和的形式.例如x 4 x 3 x 2 x 1x 1 22多 式的 分容易 算， 因此，有理函数的 分主要是解决真分式的 分 ，而真分式的 分往往是 化 最 分式来 算． 此，我 先来 真分式分解 最 分式.P( x)在 数范 内，真分式 Q ( x)可以分解成最 分式之和，且具有 的 关系：①如果 Q( x) 中有因式( x a) k，那么分解后相 有下列 k 个最 分式之和A 1 A 2A k( x a) k ( x a) k 1( x a) ，其中A 1 、A2 、⋯、A k都是常数 .特 地，如果 kA 1 ，那么分解后只有一x a ；②如果 Q( x) 中有因式 ( x 2pxq)k（ p24q），那么分解后相 有下列k 个最 分式之和M 1 x N 1M 2 x N 2M k x N k (x 2px q) k(x 2px q) k 1x 2px q ，Mx N其中M i 、N i都是常数 .特 地，如果 k 1 ，那么分解后只有一x 2px q .有理真分式 能分解 若干个部分分式之和的形式（部分分式是指 一种 分式，其分母 一次因式或二次 因式） 。

从而得到，有理真分式的 分 可以 以下四种形式的部分分式的 分：（ 1）A dx; （ 2）A n dxx a( x a)（ 2）Mx N dx( p 2 4q0)x 2 px q（ 3）Mx N dx (p 2q 0),其中系数 A 、M 、 N 为常数( x 2 px q) n4上所述， 有理函数分解 多 式及部分分式之和以后，各个部分都能 出，且原函数都是初等函数，因此，有理函数的原函数都是初等函数。

由上述定理，我 得到求有理真分式不定 分P n ( x)dx 的步 ：Q m ( x)第一步将 Q m ( x) 分解 （ 2）的形式；P n ( x)第二步将分解 （ 3）的形式；第三步 求各部分分式的原函数。

下面通 具体的 例来 明分解的方法和步 ．1例 1把x(x1) 2分解 最 分式之和.解：根据真分式的性质可设1ABC x( x 1) 2=x (x 1)2( x 1)上式两端去分母后，得1A(x 1)2Bx Cx( x 1)(1) 或1 ( A C )x 2( 2 A B C ) x A(2)因为这是恒等式，等式两端对应项的系数应相等，于是有A C 02 A B CA 1 从而解得 A1， B 1， C1 .1111于是得x( x1)2=x( x 1) 2(x 1) .注：此题定 A 、 B 、C 还有另法：在恒等式⑴中，代入适当的x值，即可求出待定的常数 .在式⑴中令 x1，得 B 1；令 x0，得 A ；1再令 x2，得 C1 .于是得11 11x( x 1) 2 = x ( x 1) 2( x 1) .x3例 2 把 x 25x6 分解为最简分式之和．解：因为x 2 5x 6 (x 2)(x 3)x 3A B所以，令 x 2 5x 6x 2 x3 ，其中 A 、 B 为待定常数．上式两端去分母后，得x 3 A( x3) B( x2)(3)或x 3 ( A B) x (3A2B)(4)比较两端系数有A B 1(3A B)3从而解得 A5， B6 .所以x 35 6x 2 5x 6x 2 x 3注： 此题也可以采用上例第二种方法确定待定系数．x 2例 3 把( x2)( x 2 2x2)分解为最简分式之和．解：因为分母中 x 22 x 2 为二次质因式，故应分解为x 2ABxC 两端去分母得( x 2)( x 2 2x 2)x 2 x 22x 2x 2 A(x 22x2) (BxC )( x 2)比较两端对应项的系数不难求得 A 2 ， B1，C2所以x 22x 2( x 2)( x 2 2x 2)x 2 x 22x 2由上可知，有理函数总能分解为多项式及最简分式之和，其积分最终归结为多项式、AAMxNMx Nx a 、 ( x a) k 、 x 2pxq 、 (x 2px q) k (kN , k1, p 24q 0) 等五类函数的积分． 显然，前面四类都比较容易积出， 我们将在下面的例子中进行介绍，而对于最后一类积分较繁，其结果可通过查阅积分表求得，这里不作讨论.x34x 22x9dx例 4求x 25x 6.x 3 4x 22x9x 1x 3解：因为x25x6x25x6x 35 6又由前面例 2 知 x 25x6 x 2 x3x34x 22x 9dx56x1所以 ,dxx 2 5x 6x 2 x 3x 2 x 5 ln x 26 ln x3C21dx例 5 求x(x1)2.解：因为1111x( x 1)2=x ( x 1)2( x 1)所以1dx1 11)21 dxx( x 1) 2x ( x( x1)1dx1dx1 dx(x 1) 2xx 1ln x1ln x 1 Cx1.x 2dx求(x 2)( x 2例 62 x 2).解：由例 3 可得x 2dx2 dxx 2 dx(x2)( x 2 2x 2)x2 x 22x 212)1x2( 2xdx2 dxx 22xx 2 2x 2又21 2x2 dx1dx2 x 2x22x 22x 2 1 d ( x 2 2x 2)d (x 1)2x 22x2( x 1)2 11 ln x2 2x 2 arctan( x 1) C从而2x 2dx ln(x 2) 2 arctan( x 1) C(x 2)( x 22x 2) x22x 2二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角有理式。

由于各种三角函数都可用 sin x 及 cos x 的四则运算来表示，故三角函数有理式也可以说是由 sin x 、cos x 及常数经过有限次四则云素所构成的函数，记为 R(sin x ，cos x) ,其中 R(u,v) 表示两个变量的有理式，积分R(sin x, cosx)dx 称为三角有理式的积分。

下面通过举例来说明这类函数的积分方法.1dx求 1 sin x例 7cos x .解：因为2 sin xcos x2 tan xsin x 22 2sin 2x cos 2 x 1 tan 2 x2 22cos 2xsin 2 x 1 tan 2 xcos x 22 2sin 2 x cos 2 xtan 2 x1x2 22tan u所以 ,令 2，则 x 2 arctanu ，于是2u1 u2 2dusin x1 u2 ， cos x1 u2 ， dx1 u2 .代入原积分得12du1dx12u1 u2 1 u 21sin x1u21 u2cos x1 duln 1uC1 uln 1tan xC2 .精品文档一般说来，对于三角函数有理式积分，总可作变量代换理函数的积分 .即有tanxu2 R2uR(sin x, cos x)dx1 u 21 sin xdx例 8 求sin x(1 cos x)tanxu，则 x2 arctanu ，于是解：令21 sin x1 1 u2 dusin x(1 cos x)dxu21 ln u 1 u2 u C241ln tanx1tan 2x tanx2 24 22tan xu2 ，将其转化为 u 的有, 1u 222 2 du1 u1 uC.最后需要指出的是： 上面所谈两类函数的积分方法是常规方法， 虽然有效但往往非常麻烦，因此， 在具体解题时， 应尽量采用其它简便方法，只有在用其它方法难以积分的情况下 才采用上述方法 .如下面的例题x 2dx例 9 求 x 3 1解：此题属于有理函数积分，可采用上述常规方法做，但用下列方法计算较简便x2dx 1 d ( x 31) 1ln x 31 Cx 31 3 x 3 1 3.x 5 dx例10 求(x 1) 2.解：此题也属于有理函数积分，用下列做法计算较简便x 5 2 dx ( x 1) 2 6 dx1dx 6 1 2 dx (x 1)( x 1) x 1 ( x 1)1 1) 6 12 d ( x 1)d ( x ( x 1)x 16ln x 1 Cx 1sin xdx 例11求1 sin x .解：此例属于三角函数有理式积分，用下面做法计算较为简便sin x dxsin x(1 sin x) dx sin x dx1cos 2 x dx 1 sin xcos 2 x cos 2 x cos 2 xd (cos x) 1 dx dx22cos x cos x1tan x x Ccos x精品文档c sin xd cos x220) 形如(的积分，一般可将被积函数的分子凑成分母与dx aba sin x bcosx分母的导数的线形组合，即令c sin xd cos x A( a sin x b cos x) B(a sin x b cos x) ，通过比较等式两端sin x 和 cosx 的系数，求出 A 和 B.对形如sin mx cosnxdx, sin mxsin nxdx, cosmxcosnxdx 的积分一般是将被积函数积化和差后再积分。