有理函数及三角函数有理式的积分.docx

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§3.6 有理函数及三角函数有理式的积分

教学目的： 使学生理解有理函数及三角函数有理式积分法， 掌握有理函数及三角函数有理式积分法的一般步骤及其应用。

重点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用 难点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用

教学过程：

一、问题的提出

前面两节我们利用基本积分表、 不定积分性质和两种基本积分发 （换元积分法与分部积分法） 已经求出了一些不定积分。从求解过程中可见，求不定积分不像求导数那样，只要按

照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数， 而求不定积分却没有那样容易。即使一个看起来并不复杂的函数，要求出结果，有时候都需要一定的技巧，有些甚至还“积不出”。例如，

sin x dx, dx , e x 2 dx ,

dx ， x

ln x

1 x 3

被积函数都是初等函数，

看起来也并不复杂， 但是在初等函数范围内却积不出来，

这是

因为被积函数的原函数不是初等函数。

本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分

计算技巧。

求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套”

“拆”，即将被积函数拆项，把积分变为两个或几个较简单的积分。

“变”，即代数恒等

变形：加一项减一项、 乘一项除一项、 分子分母有理化、 提取公因子； 三角恒等变形： 半角、

倍角公式， 平方和公式， 积化和差、 和差化积、 和角公式； 陪完全平方： 根号下配完全平方、分母配完全平方等； “凑”，即凑微法（第一类换元法） 。“换”，即第二类换元法（三角代换、倒代换、指数代换法等） 。“分”，即分部积分法。 “套”，即套基本公式。

求不定积分的主要技巧在一个“巧”字和一个“练”字，即巧用上述方法和综合

运用上述方法。

二、 有理函数的积分 有理函数

R( x)

是指由两个多项式的商所表函数，即

P( x) a 0 x n

a 1x n 1

a n 1 x a n R( x) Q( x)

b 0 x m b 1 x m 1

b m 1 x b m

其中 m 和 n 都是非负整数； a 0 , a 1 , a 2

, , a n 及 b 0 , b 1, b 2 , , b m

都是实数，通常总假定 分子多项式 P( x) 与分母多项式 Q(x)

之间没有公因式，并且 a 0 0 ， b 0 0 .

当 n m 时，称 R(x) 为真分式；而当 n m 时，称

R( x)

为假分式 .

一个假分式总可化为一个多项式和一个真分式之和的形式

.例如

x 4 x 3 x 2 x 1

x 1 22

多 式的 分容易 算， 因此，有理函数的 分主要是解决真分式的 分 ，

而真分

式的 分往往是 化 最 分式来 算． 此，我 先来 真分式分解 最 分式

.

P( x)

在 数范 内，真分式 Q ( x)

可以分解成最 分式之和，且具有 的 关系：

①

如果 Q( x) 中有因式

( x a) k

，那么分解后相 有下列 k 个最 分式之和

A 1 A 2

A k

( x a) k ( x a) k 1

( x a) ，

其中

A 1 、

A

2 、⋯、

A k

都是常数 .特 地，如果 k

A 1 ，那么分解后只有一

x a ；

②

如果 Q( x) 中有因式 ( x 2

px

q)k

（ p

2

4q

），那么分解后相 有下列

k 个

最 分式之和

M 1 x N 1

M 2 x N 2

M k x N k (x 2

px q) k

(x 2

px q) k 1

x 2

px q ，

Mx N

其中

M i 、

N i

都是常数 .特 地，如果 k 1 ，那么分解后只有一

x 2

px q .

有理真分式 能分解 若干个部分分式之和的形式（部分分式是指 一种 分式，其分母 一次因式或二次 因式） 。从而得到，有理真分式的 分 可以 以下四种形式的部分分式的 分：

（ 1）

A dx; （ 2）

A n dx

x a

( x a)

（ 2）

Mx N dx

( p 2 4q

0)

x 2 px q

（ 3）

Mx N dx (

p 2

q 0),其中系数 A 、M 、 N 为常数

( x 2 px q) n

4

上所述， 有理函数分解 多 式及部分分式之和以后，

各个部分都能 出，

且原函数

都是初等函数，因此，有理函数的原函数都是初等函数。

由上述定理，我 得到求有理真分式不定 分

P n ( x)

dx 的步 ：

Q m ( x)

第一步

将 Q m ( x) 分解 （ 2）的形式；

P n ( x)

第二步

将

分解 （ 3）的形式；

第三步 求各部分分式的原函数。

下面通 具体的 例来 明分解的方法和步 ．

1

例 1

把

x(x

1) 2

分解 最 分式之和

.