优化设计总结最终版

22.无约束优化设计问题最优解: 不受约束条件限制，使目标函数达到最小值的一组设计变 量，即最优点 x*=[x1*,x2*,…,x n*] 和最优值 f (x*)构成无约束问题最优解。 23.约束优化设计问题最优解: 满足约束条件，使目标函数达到最小值的一组设计变量，即 最优点 x*=[x1*,x2*,…,x n*] 和最优值 f (x*)构成约束问题最优解. 24.无适时约束： 目标函数是凸函数，可行域是凸集，则最优点是内点。相当于无约束问题 的最优点 25. 有适时约束:目标函数是凸函数，可行域是凸集，则目标函数等值线与适时约束曲面的 切点为最优点，而且是全局最优点. 26.K-T 条件: 有适时约束时获得最优解的条件, 从几何上看，当从 x (k)点出发不存在一个 S 方向能同时满足：与 x(k)点目标函数的负梯度方向成锐角，即沿 S 方向目标函数值下降； 与 x(k)点约束函数的梯度方向成钝角，即保证 S 方向上各点在可行域内。此时，获得最优解 x (k) 为最优点 x*，f (x (k) )为最优值 f (x*)。 27.一维搜索:在第 K 次迭代时， 从已知点 X(k)出发， 沿给定方向求最优步长因子α(k)， 使 f (X(k) +αS(k) )达到最小值的过程，称为一维搜索。 28.单峰区间：在区间 [α1，α3 ]内，函数只有一个峰值，则此区间为单峰区间。单峰区间 内，一定存在一点α *，当任意一点α2＞α*时，f (α2)＞f (α*)，当α2＜α*时，仍有 f (α 2 )＞ f (α*) ，则α*是最优点，也即为最优步长因子α(k)。 29.约束（曲）面：对于某一个不等式约束 g u(x) ≤ 0 中，满足 g u(x) = 0 的 x 点的集合构 成一个曲面，称为约束（曲）面。 30.设计可行域（简称为可行域） ：对于一个优化问题，所有不等式约束的约束面将组成一个 复合的约束曲面，包围了设计空间中满足所有不等式约束的区域，称为设计可行域 记作 D = x 二 简答 1.机械优化设计方法解决实际问题的步骤 ①分析实际问题，建立优化设计的数学模型 【设计的要求（目标、准则） ； 设计的限制（约 束）条件；设计的参数，确定设计变量，进而建立数学模型】②分析数学模型的类型，选择 合适的求解方法（优化算法）③确定必要的数据和设计初始点；4 编程上机求数学模型的最 优解，并对计算的结果进行评价分析最终确定是否选用此次计算的解。 2. 机械优化设计数学模型的一般形式： 设 X =[x1, x2 , …,xn]T 设计变量 min. f (x) = f ( x1, x2 , …,xn ) X∈Rn 目标函数 s.t. gu(x) ≤ 0 u = 1,2,…,m 不等式约束 hv (x) = 0 v = 1,2,…, p 等式约束 3.判别函数为凸函数的凸性条件及凸函数的性质： ①按梯度判断凸性：设 f(x) 是定义在凸集 D 上具有连续一阶导数的函数，则 f(x) 在 D 上 为 凸 函 数 的 充 要 条 件 是 ： 对 于 任 意 的 x (1) , x (2) ∈ D 都 有 成立。 ②按二阶偏导数判断凸性：设 f(x) 是定义在凸集 D 上具有连续二阶导数的函数，则 f(x)在 D 上为凸函数的充要条件是：f(x)的 Hessian 矩阵处处半正定。 若 Hessian 矩阵处处正定， 则 f(x) 为严格凸函数 ③性质：若 f(x)是定义在凸集 D 上的严格凸函数，则 f(x)在 D 上的一个极小点，也就是全局 最小点。凸函数的线性组合仍然为凸函数 4.K-T 条件的作用 K-T 条件是否为充分必要条件？若是，说明理由；若不是，则说明什么情
一 名词解释 1.优化：在规定的范围内（或条件下） ，寻找给定函数取得的最小值（或最大值）的条件。 优化过程就是求解一个付出的努力最小、获得效益最大的方案。 2.稳健性：是指因素状况（原因）发生微小变差对因变量（结果）影响的不敏感性。 3.稳健设计：就是通过调整设计变量及控制其容差使可控因素和不可控因素当与设计值发生 变差时仍能保证产品质量的一种工程方法。 换言之， 若作出的设计即使在各种因素的干扰下 产品质量也是稳定的，或者用廉价的零部件能组装出质量上乘、性能稳定与可靠的产品，则 认为该产品的设计是稳健的。 4.设计变量： 在优化设计过程中是变化的，需要优选的量。 5.给定参数： 在优化设计过程中保持不变或预先确定数值。 6.设计变量： 优化设计问题有 N 个设计变量 x1, x2 , …,x n，用 x i ( i = 1,2,…,n) 表示，是 设计向量 X 的 n 个分量 7.设计向量： 用 X =[x1, x2 , …,x n]T 表示，是定义在 n 维欧氏空间中的一个向量. 8.设计点： x(k)（ x1(k), x2 (k), …,x n(k) ）是设计向量 X(k)的端点，代表设计空间中的一个 点，也代表第 k 个设计方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。 9.设计空间 R n ： 以 x1, x2 , …,x n 为坐标轴，构成 n 维欧氏实空间 R n。它包含了所有可 能的设计点，即所有设计方案。 10.设计约束：设计变量的选择不仅要使目标函数达到最优值，同时还必须受一定的条件限 制，这些制约条件称设计约束。 11.约束函数：设计约束是设计变量的函数，称为约束函数。不等式约束函数： g u(x) ≤ 0 u = 1,2,…,m 等式约束函数：h v(x) = 0 ，v = 1,2,…, p＜n ：在可行域内任意一点称为可行设计点，代表一个可行方案。 12.可行设计点（内点） 13.极限设计点（边界点） ： 在约束面上的点称为极限设计点。 14.适时约束：若讨论的设计点 x (k) 点使得 g u(x (k) ) = 0 ，则 g u(x (k) ) ≤ 0 称为适时约束或 起作用约束。 ：在可行域外的点称为非可行设计点，代表不可采用的设计方案。 15.非可行设计点（外点） 16.目标函数：优化设计的过程是从可行设计解中，找出一组最优解的过程。需要一个准则 来评价当前设计点（解）的最优性。 这个准则包含各个设计变量，作为评价函数，一般称 为目标函数， 也称为评价函数、 准则函数、 价值函数。 单目标函数的表达式为： f (x) = f ( x1, x2 , …,x n )多目标函数的表达式为： f (x) = ω1f 1(x) +ω2f 2(x) + … +ωq f q (x)…. 其中： f 1(x)，f 2(x)，… f q (x)代表 q 个分设计目标；ω1，ω2， … ，ωq 代表 q 个加权系数。 17.等值面:对于可计算的函数 f (x)，给定一个设计点 x(k) =(x1(k), x2 (k), …,x n(k) ) ， f (x) 总有一个定值 c 与之对应；而当 f (x) 取定值 c 时，则有无限多个设计点 x(i) =(x1(i), x2 (i), …,x n(i) ) （i=1,2, … ） 与之对应， 这些点集构成一个曲面， 称为等值面(或等值超曲面)。 18.等值面族:当 c 取 c1,c2, …等值时，就获得一族曲面族，称为等值面族。 19.等值线的“心”: 一个“心” ：是单峰函数的极（小）值点，是全局极（小）值点。多个 “心” ：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极（小）值点，必须通过比较各个极值 点和“鞍点” （须正确判别）的值，才能确定极（小）值点。没有“心” ：例，线性函数的等 值线是平行的，无“心” ，认为极值点在无穷远处。 20.凸集： 设 D 为欧氏空间 Rn 中 X 的集合， 即 D ∈ Rn, X ∈D， 若 D 域内任意两个点 x (1)， x (2)的连线上的各点都属于 D 域，则的集合 D 称为 Rn 内的一个凸集。否则，为非凸集。 21.凸函数： f (x)是定义在 n 维欧氏空间中凸集上的函数， 同时 x (1)∈D， x (2)∈D， ξ∈[0,1]， 当下式成立时，f [ξx(1) +(1- ξ)x(2) ]≤ξf(x(1) +(1-ξ) f( x(2) ) 则称 f(x) 为定义在凸集 D 上的凸函数。 当上式中的≤为＜时， f(x)是严格凸函数.
15.参数选择的原则？ ①先易后难的原则：先粗后细、精度先低后高，步长先大后小。尤其工程问题，要根据实际 情况判断，合理、适用即可。②参数选择建议通过试算，再确定。 16.表格数据和图像数据的处理？ ①数据是根据公式计算值列成表格的， 则找出原计算公式； ②数据是根据实验测试值列成表 格的，数据有变化规律，则找拟合曲线，转化成公式；③无规律可循的数据，用数组处理。 求图线的拟合方程，步骤如下：①先等间隔等分，按曲线等分点取值，得离散数据； ②拟合曲线，确定多项式方程，尚有代定系数；③代入离散数据求方程系数，最后得到拟合 方程的公式。 17.程序运行过程中出现死机情况的分析及处理 可能出现分母近似为零的现象；可能超出函数可行域，计算溢出；可能有矛盾约束； 可能 模型有不合理的情况等等 运行出现 “无限循环” ：若设计点来回变化，目标函数值忽大忽小，无规律 ，则属于不 收敛。需要更换算法，或完善数学模型。若计算时间很长，仍未收敛，但目标函数还是在下 降，变化极小，几乎不变。则可能步长太小，或精度太高，需要调整 灵敏度问题：有的参数稍一改变，目标函数值发生很大变化，而有的参数怎么改变，目标函 数几乎不变。运行计算中，有的方向需要作规范化 18.确认最优解？ 1、校核和精确性运算：将未列入约束的设计限制条件 ，作校核；试算后的精确性运算：对 初步运算时，未达到的精度或还不很合理的参数，作进一步调整，再次作精确性优化运算。 2、根据工程实际情况，判断确认最优解：3、根据实用性和合理性，判断确认最优解：4、 复核性运算：(变换初始点，作复核性的优化运算;变换参数，再次作复核性的优化运算；变 换算法，再次作复核性的优化运算。) 19.对不合理运行解的处理? ①可能是局部最优解（改变初始点） ；②可能算法运用不当（变化算法的相关参数） ；③可能 算法选择不合适(重新选择算法)④可能数学模型不完全合适(改善、 完善， 甚至重建数学模型)。 三、各种算法逻辑关系 随机方向 直 统 功 协 接 一 效 调 复合形法 解 多目标 目 系 曲 标 数 线 内点惩罚函数 间 函 法 接 数 有约束转化成无约束 外点惩罚函数 解 数 学 混合惩罚函数 解析法 模 单 有约束 型 维 数值迭代 黄金分割 变 量 插值法 单目标 · 坐标 轮 换 无约束 多 维 变 量 共轭 方 向 梯度法 共轭 梯度 牛顿法 变尺度法