高等数学二模拟题(开卷)

《高等数学二》模拟题（开卷）（补）一．填空题1．设xy x y x f sin ),(= 则(1,0)x f '= ___0____ ,(1,0)y f '= __1_____． 2．已知23(,)f x y x y =, 则d z = _32223xy dx x y dy +______．3. 设}14|),{(22≤+=y x y x D ，则⎰⎰=Ddxdy 2π ． 4．dx y x f dy I yy⎰⎰=),(10改变积分次序后，I=___210(,)xxI dx f x y dy =⎰⎰_________．5. 设L 是圆周：t a y t a x sin ,cos ==, 则曲线积分⎰+Ly x 22ds =__22a π______．6.d d d Vxy x y z ⎰⎰⎰ =____2____, 其中31,20,10:≤≤≤≤≤≤z y x V .7．若级数()∑∞=-11n nu收敛，则 =∞→n n u lim 1 ．8．幂级数∑∞=1n nnx 的收敛区间是 (-1,1) ．9．→a =(1，-5，8)，→b =(-1，-1，4)，则||a b -= 6 ． 10．函数1z x y=+的间断点是 0x y += ． 11．21(,)yyI dy f x y dx =⎰⎰改变积分次序后，I=__10(,)x I dx f x y dy =⎰__________．12. 设L 是圆周：cos ,sin x t y t ==, 则曲线积分22()Lx y +⎰ds =__2π______． 13．若级数()121n n u ∞=-∑收敛，则 =∞→n n u lim12． 14．幂级数1(1)nnn x n ∞=-∑的收敛区间是 (-1,1) ．二．单项选择题 1．函数y x z -=2ln的定义域是（A ）。

A ．}|),{(2y x y x > B ．}|),{(2y x y x ≥ C ．}|),{(2y x y x < D ．}|),{(2y x y x ≤2．下列与向量(2,3,5)垂直的平面方程是（ C ）。

A235x y z == B 1235x y z++= C 2351x y z ---= D 都不对3．将极坐标系下的二次积分dr r r f r d I ⎰⎰=θπθθθsin 20)sin ,cos (化为直角坐标系下的二次积分，则=I （ D ）。

A ．⎰⎰--+--11111122),(y y dx y x f dy B ．⎰⎰--+--11111122),(x x dy y x f dx C ．⎰⎰----112222),(y y y y dx y x f dy D ．⎰⎰---22222),(x x x x dy y x f dx4． 若L 是平面内一闭区域D 的正向边界曲线，则曲线积分⎰+Lxy dy x dx xe 2等于二重积分（ B ）。

A ．⎰⎰-Dxy d x e x σ)2(2 B ．⎰⎰-Dxy d e x x σ)2(2 C ．⎰⎰+Dxy xy d e x e σ)(2 D ．⎰⎰-Dxy xy d e x e σ)(2 5．函数),(y x f z =在点),(00y x 处连续是函数在该点处可导的（ D ）。

A ．充分但不必要条件；B ．必要但不充分条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件．6．级数nn n 1)1(11∑∞=--敛散性是（ B ） A ． 发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．以上都不对三．计算题1．求由方程12333-=++xyz z y x 所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数x z ∂∂和yz ∂∂。

解：令()012,,333=+-++=xyz z y x z y x F , 则yz x F x 232-='，xz y F y 232-='，xy z F z 232-='.所以xyz yzx F F x z z x 232322---=''-=∂∂, xyz xzy F F y z z y 232322---=''-=∂∂. 2. 求二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 22sin , 其中}|),{(222π≤+=y x y x D 。

解：区域}|),{(222π≤+=y x y x D .采用为极坐标，令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，dxdy rdrd θ=，极点在区域内，01r ≤≤，02θπ≤≤, 故D⎰⎰=20sin d r rdr ππθ⋅⎰⎰ =200[sin ]d r ππθπ+⎰=2202d ππθπ=⎰． 3. 判定级数∑∞=+112tan n n n π的敛散性。

解： 211(1)tan2lim limtan 2n n n n nn n uu n ππ++→∞→∞++= =2121tan1122lim()2tan22n n n n n n n ππππ++→∞+++⋅⋅⋅=12<1(重要极限0tan lim 1x xx→=)由比值判别法，级数收敛。

4．设)arctan(uv u z =，2x u =，yxe v =，求解：z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ ()ye v u u x v u uv uv ⋅++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=22222121arctan ()34362622arctan 11y yy y yx e x x x e e x e x e ⎡⎤=++⋅⎢⎥++⎣⎦ z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ ()22222arctan 011yuv u uv xe u v u v ⎛⎫=+⋅+⋅ ⎪++⎝⎭5621yy x e x e=+四．应用题1．已知平面过点)0,2,1(-P 且与直线011111-=-=-z y x 和0111+=-=z y x 都平行，试求此平面方程。

解：两已知直线的方向向量分别为()()01101121，，，，，-==v v，平面与直线平行，则平面的法向量()C B A a ，，=与直线的方向向量垂直由a ⊥1v ，有00=++B A （1） 由a ⊥2v ，有00=--B A （2）联立（1），（2）求得0,0==B A ,只有0≠C又因为平面经过点()021，，-P ，代入平面一般方程得 ()00C 2010=+⨯+-⨯+⨯D所以0=D故所求平面方程0=Cz ，即0=z ，也就是xoy 平面。

2．求由曲面222z x y =+, 柱面 221x y +=及0z =所围的曲顶柱体的体积。

解: 22421222101()242x y r V x y d d r r dr ππσσπ+≤=+=⋅⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰3．求过点(3,2,5)-且与平面34=-z x 和13=+-z y x 都平行直线方程。

解：与两平面平行的直线与这两个平面的法向量垂直，则直线的方向向量垂直于这两平面法向量所确定的平面，即直线的方向向量可取为k j i kj in n v ---=--=⨯=13411340121, 又直线过已知点)25,3(-, 故直线方程为1513243-=-=+z y x ． 4．在半径为r 的球内接一长方体，问长、宽、高各为多少时，其体积最大？解：设此内接长方体的长、宽、高分别为z y x 2,2,2，则体积为xyz V 8=，定义域为r z r y r x <<<<<<0,0,0，限制条件为球面方程2222r z y x =++ （1）构造拉格朗日函数()()2228,,,r y x xyz z y x L -++=λλ令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+==+=)4(028)3(028)2(028z xy L y xz L x yz L xy x λλλ 则有λ-===z xy y xz x yz 444. 所以4λ-===z y x , 代入限制条件（1）式得 2243r =⎪⎭⎫⎝⎛-λ，22316r =λ，因为0,0,0>>>z y x ，故取r 34-=λ 所以r z y x 31===，r z y x 32222===.由题意知，此时长方体的体积最大，所以长、宽、高均为r 332的，体积最大，最大值为3938r 。

五．证明题 1. 设 222z y x u ++=, 求证：1)()()(222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u 证明:u u u xyz∂∂∂===∂∂∂。