高等数学模拟试题及答案
2024年高考数学模拟试题与答案解析
2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=3k,k∈Z},则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析:集合A包含所有2的倍数,集合B包含所有3的倍数。
A ∩B表示同时属于A和B的元素,即同时是2和3的倍数的数,也就是6的倍数。
所以A∩B={x|x=6k,k∈Z},故选B。
2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2,则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析:函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a,即x=2。
根据对称轴的公式,得到-(-4)/(21)=2,解得c=4。
故选A。
3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2,若S3=18,S6-S3=24,则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析:根据等差数列的前n项和公式,得到S3=3(a1+a3)/2=18,即a1+a3=12。
又因为S6-S3=24,得到a4+a5+a6=24。
由等差数列的性质,a3+a6=a4+a5。
将a3+a6替换为a4+a5,得到3a4+3a5=48,即a4+a5=16。
解方程组a1+a3=12和a4+a5=16,得到a4=8。
故选B。
二、填空题4.若|x-2|≤3,则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析:由|x-2|≤3,得到-3≤x-2≤3,即-1≤x≤5。
再由|x+1|的图像可知,当-3≤x≤5时,|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。
5.已知函数f(x)=2x²-3x+1,求f(1/2)的值。
【答案】3/4解析:将x=1/2代入函数f(x),得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。
三、解答题6.(1)求证:对任意正整数n,都有n²+2n+1≥n+2。
高数模拟习题集含参考答案
高等数学模拟题A .上册:上册期中(一)一、试解下列各题: 1.求。
2.求。
3.设处连续,在处不连续,试研究在处的连续性。
4.求在上的最大值与最小值。
二、试解下列各题: 1.判断的奇偶性。
2.[5分]设,其中,求。
3.[5分]设,求。
4.[5分]验证罗尔定理对在上的正确性。
三、试解下列各题:1.[6分]设函数由方程所确定,且,其中是可导函数,,求的值。
2.求极限。
3.求的极值。
四、设圆任意一点M (点M 在第一象限)处的切线与轴,轴分别交于A 点和B 点,试将该切线与两坐标轴所围成的三角形AOB 的面积S 表示为的函数。
1cos cos 21cos 2cos 8lim223-+--→x x x x x π242320)1()1(limx x x x --+→0)(x x x f =在)(x g 0x )()()(x g x f x F +=0x x x x f +=2)(]1,1[-)11(11ln 11)(<<-+-+-=x x x e e x f x x )]1ln 1ln(1ln[x x x y ++=10<<x y 'x xy +-=11)(n y 1074)(23--+=x x x x f ]2,1[-)(x y y =)()(22y x f y x f y +++=2)0(=y )(x f 1)4(,21)2(='='f f 0=x dxdy xx x 10)(cos lim +→22)13()(e x x e x f x +++=-222a y x =+),(y x ox oy x五、用函数连续性“”的定义,验证函数在任意点处连续。
六、求极限七、求与的公切线方程。
八、证明:当时,。
九、]一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升,其速率为140米/分,当此气球上升到500米空中时,问观察员的视线的倾角增加率为多少? 参考答案:一、1.2。
高三数学模拟试题及答案
高三数学模拟试题及答案一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3,求f(2)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 7答案:C2. 求下列数列的通项公式:数列:1, 1/2, 1/3, 1/4, ...A. a_n = nB. a_n = 1/nC. a_n = n^2D. a_n = 1/(n+1)答案:B3. 已知圆x^2 + y^2 = 9,点P(1, 2),求点P到圆心的距离。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案:C4. 已知向量a = (3, -4),向量b = (-2, 3),求向量a与向量b的夹角θ。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案:B5. 已知函数y = x^3 - 3x^2 + 4x,求导数y'。
A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x + 5C. 3x^2 - 6x + 3D. 3x^2 - 6x + 2答案:A6. 已知等差数列的第5项为15,第8项为25,求公差d。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案:B7. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3,b = 4,c = 5,求三角形ABC的面积。
A. 6B. 9C. 12D. 15答案:A8. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x),求f(π/4)的值。
A. √2B. √3C. 2D. 1答案:A9. 已知复数z = 1 + i,求z的共轭复数。
A. 1 - iB. 1 + iC. -1 + iD. -1 - i答案:A10. 已知函数y = x^2 - 6x + 9,求函数的最小值。
A. 0B. 3C. 6D. 9答案:A二、填空题(本题共5小题,每小题4分,共20分。
)11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1,求f''(x)的值。
高三数学模拟试题及答案
高三数学模拟试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 若函数f(x)=x^2-4x+m在区间[2,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是:A. m≥4B. m≤4C. m≥0D. m≤02. 已知向量a=(3,-1),b=(2,4),则向量a+b的坐标为:A. (5,3)B. (1,3)C. (5,-3)D. (1,-3)3. 函数y=sin(x)的最小正周期为:A. πB. 2πC. π/2D. 4π4. 直线l:y=2x+3与x轴的交点坐标为:A. (-3/2,0)B. (3/2,0)C. (-3,0)D. (3,0)5. 已知数列{an}满足a1=1,且an+1=2an+1,求数列{an}的通项公式:A. an=2^n-1B. an=2^nC. an=2^(n-1)+1D. an=2^(n-1)6. 已知函数f(x)=x^3-3x,求f'(x)的表达式:A. f'(x)=3x^2-3B. f'(x)=x^2-3xC. f'(x)=x^2-3D. f'(x)=3x^2-9x7. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),若双曲线C 的一条渐近线方程为y=√2x,则双曲线C的离心率e为:A. √2B. √3C. 2D. 38. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c,且满足a^2+b^2=c^2,求三角形ABC的形状:A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不等边三角形9. 已知函数f(x)=x^2-6x+8,求函数f(x)的值域:A. (-∞,1]B. [1,+∞)C. (-∞,8]D. [8,+∞)10. 已知等比数列{bn}的首项b1=2,公比q=1/2,求数列{bn}的前n 项和Sn:A. Sn=2(1-(1/2)^n)/(1-1/2)B. Sn=2(1-(1/2)^n)C. Sn=2(1-(1/2)^(n-1))/(1-1/2)D. Sn=2(1-(1/2)^(n-1))二、填空题(每题4分,共20分)11. 已知函数f(x)=x^3-3x,求f'(1)的值。
高校数学高考模拟试题答案
高校数学高考模拟试题答案一、选择题1. (2021年全国卷Ⅰ)设函数f(x) = a|x-1| + x,若f(x)在区间[0,2]上是增函数,则实数a的取值范围是______。
解析:首先,我们需要分析函数f(x)的单调性。
当x≥1时,f(x) = ax + x - a;当x<1时,f(x) = -ax + x + a。
要使f(x)在[0,2]上是增函数,我们需要保证对于任意的0≤x₁<x₂≤2,都有f(x₁)≤f(x₂)。
对于x₁≥1,x₂≥1的情况,我们有a(x₁ - 1) + x₁ ≤ a(x₂ - 1) + x₂,化简得a ≤ x₂ - x₁。
由于x₂ - x₁的最大值为1,所以a ≤ 1。
对于x₁<1,x₂≥1的情况,我们有-a(x₁ - 1) + x₁ ≤ a(x₂ - 1) + x₂,化简得a ≥ -1。
因此,a的取值范围是[-1, 1]。
2. (2021年全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}满足a₁ + a₄ = 10,a₂+ a₅ = 17,求a₃的值。
解析:设等差数列{an}的首项为a₁,公差为d。
根据题意,我们有以下方程组:a₁ + a₄ = a₁ + (a₁ + 3d) = 10a₂ + a₅ = (a₁ + d) + (a₁ + 4d) = 17解这个方程组,我们得到:a₁ + 3d = 10a₁ + 5d = 17将第一个方程乘以-1,然后将两个方程相加,得到:2d = 7d = 3.5将d的值代入第一个方程,得到:a₁ + 10.5 = 10a₁ = -0.5现在我们知道了首项a₁和公差d,可以求出a₃的值:a₃ = a₁ + 2d = -0.5 + 7 = 6.53. (2021年北京卷)已知函数g(x) = x² - 2x + 5,求g(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。
解析:首先,我们观察函数g(x) = x² - 2x + 5,这是一个二次函数,其开口向上,对称轴为x = 1。
高三数学模拟试题及答案
高三数学模拟试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 下列函数中,哪一个是奇函数?A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)2. 已知集合A={1, 2, 3},B={2, 3, 4},求A∪B。
A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 3, 4}C. {2, 3, 4}D. {1, 2, 3}3. 若sin(α) = 1/2,且α为锐角,求cos(α)的值。
A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/24. 已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,求其第5项a5。
A. 17B. 14C. 11D. 85. 圆的方程为(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25,求圆心坐标。
A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (0, 0)D. (4, 3)6. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是多少?A. 0B. -4C. 4D. 17. 已知直线y = 2x - 3与抛物线y^2 = 4x相交于两点,求这两个点的坐标。
A. (1, -1), (3, 3)B. (1, 1), (3, -1)C. (1, 1), (3, 3)D. (1, -1), (3, -1)8. 已知向量a = (2, 3),b = (-1, 2),求a·b。
A. 4B. -1C. 1D. -49. 已知三角形ABC,∠A = 60°,a = 5,b = 7,求c的长度。
A. 3B. 4C. 6D. 810. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5,求f'(x)。
A. 3x^2 - 6x - 9B. x^2 - 6x - 9C. 3x^2 - 6x + 5D. x^3 - 3x^2 - 9二、填空题(每题4分,共20分)11. 已知等比数列{bn}的首项b1=8,公比q=2,求其第4项b4的值。
高等数学(下)模拟试题(二)
高等数学(下)模拟试题(二)一、 一、 计算下列各题(每小题6分,共30分)1. 设y z xz xy y x z ∂∂∂∂+=,,322求。
2. 设()xy x z sin 2= 求: d z 。
3. 设y x ux u xz y x u ∂∂∂∂∂+=2222,,求。
4. 设()x x x z z xy y x f z ,,5求+=。
5.x zxyz xyz ∂∂=+求 ,02)cos( 。
二、 二、 解下列各题 (每小题6分,共24分)1.更换积分次序:()⎰⎰xxdyy x f dx 320,。
2. 求x yxy z ++=12在点P (1,2)沿点P 到点M (2,4)的方向上的方向导数。
3. 求曲线325,4,3t z t y t x ===在t = 1处的切线及法平面方程。
4. 求曲面x 2 - 3 y 2 + z 2 = -1在点P (1,1, 1)切平面方程与法线方程。
三、计算下列积分(每小题6分,共12分) 1.y dxd y x D⎰⎰+)2(D :由y = x , x= 0, y = 2 所围成 。
2. ⎰⎰⎰++V dxdydzz y x )( V :-2≤x ≤2 , 0≤y ≤1 , 0≤z ≤4 . 四、计算下列积分应用题(每小题6分,共12分)1. 一均匀物体(密度ρ为常量)占有闭区域Ω由曲面 Z=X 2+Y 2和平面Z =4所围成,求 该物体的质量M 。
2. 求物体的体积V ,该物体是柱体x 2 + y 2≤ 1被平面z=0,z=3所截得的在第一卦限的部分。
五、(8分)求微分方程0|,02=='=-x yx y e y 满足初始条件 的特解。
六、(8分)求微分方程()()022=-++dy y x dx y x的通解。
七、(6分)求一曲线,使其每点处的切线斜率为2x+y,且过点(0,0)。
高等数学(下)模拟试题(二)答案三、 一、 计算下列各题(每小题6分,共30分)1. 已知xy x y zy xy xzxy y x z 6,32,32222+=∂∂+=∂∂+=。
2023年高考数学模拟试题(六)参考答案
2023年高考数学模拟试题(六)参考答案 一㊁选择题1.A 提示:z =(1+i)33-i=-2+2i3-i=(-2+2i )(3+i )(3-i )(3+i)=-1-32-1-32i,所以z =-1-322+1-322=2㊂2.C 提示:由x >0,l o g 2x +1ȡ0,得x ȡ12,故集合A =12,+ɕ,所以0<12xɤ22,即集合B =0,22,故A ɘB =12,22㊂3.B 提示:由题意得2c o s θ=-s i n θ,所以t a n θ=-2,而s i n 3θ+2c o s 3θs i n (π+θ)=s i n 3θ+2c o s 3θ-s i n θ=-s i n 3θ+2c o s 3θs i n θ(s i n 2θ+c o s 2θ)=-s i n 3θ+2c o s 3θs i n 3θ+s i n θc o s 2θ=-t a n 3θ+2t a n 3θ+t a n θ=-35㊂4.D 提示:由题意知2a n =a n -1+a n +1(n ȡ2),所以数列{a n }是首项为1,公差为94-1=12的等差数列,故a 9=1+8ˑ12=5,所以a 9=25㊂5.C 提示:在区间-π,π2上满足c o s X ɤ12的X 只能在区间-π,-π3ɣπ3,π2内,所以P (X ɤ2)=59㊂6.D 提示:当i =1时,S =10;当S =9时,i =2;当S =7时,i =3;当S =4时,满足题意,所以n 的最小值为5㊂7.B 提示:设圆台较小底面半径为r ,则另一底面半径为3r ,由S =π(r +3r )ˑ4=162π,可得r =2,所以圆台的高h =42-(22)2=22,所以圆台的体积为13ˑ22πˑ[(2)2+(32)2+2ˑ32]=522π3㊂8.A 提示:A 77A 22A 22A 33=210㊂9.D 提示:f (2x )=2x 2x =4x ㊃x =4f (x ),从而f (x 2-1)ȡ4f (-1-a x )⇔f (x 2-1)ȡf (-2-2a x )㊂当x >0时,f (x )=x x =x 2在[0,+ɕ)上单调递增,而f (x )为奇函数,所以f (x )在R 上单调递增㊂所以x 2-1ȡ-2-2ax 在R 上恒成立,即x 2+2a x +1ȡ0恒成立,所以Δ=4a 2-4ɤ0,解得-1ɤa ɤ1,故a 的取值范围为[-1,1]㊂图110.A 提示:将三视图还原得到三棱锥D A B C ,如图1所示,其中A B =B C =1,A D =C D =2,R =B D 2=32,所以V =43πR 3=3π2㊂11.C 提示:由双曲线m x 2-n y 2=1得渐近线方程为mnx ʃy =0,则圆心(1,0)到渐近线的距离为m n 1+m n =43-1,解得n =2m ,所以m +1n +1=m +12m +1=m+12+12m +12-12ȡ2m +12㊃12m +12-12=2-12,当且仅当2m +122=1,即m =2-12时,等号成立㊂12.B 提示:要使øA O B 最大,则A ,B两点必须在分段函数的不同部分上,不妨设A (x 1,x 1ex 1-1+1),B (x 2,y 2)(其中x 1>0,图2-1ɤx 2ɤ0),如图2,当øA O B最大时,直线O A 与y =x e x -1+1相切且A 为切点,此时有y '=(x +1)e x -1,从而k O A =x 1e x 1-1+1x 1=(x 1+1)ex 1-1,化简得x 21ex 1-1-1=0(x 1>0),令h (x )=x 2e x -1-1(x >0),易得h (x )在(0,+ɕ)上为增函数且h (1)=1,所以x 1=1,所以k O A =2;当-1ɤx ɤ0时,y =10-1-x 2,变形得x 2+(y -10)2=1(-1ɤx ɤ0,y ɤ10),则øA O B 最大时,直线O B 与圆相切,设此时直线O B 的方程为y =k x (k <0),则由0-101+k2=1得k O B =-3,所以t a n øA O B =k O B -k O A1+k O A k O B=1,故øA O B =π4㊂二㊁填空题13.3316提示:将A (1,2)代入y =a x 2,得a =4,所以抛物线C :x 2=14y ,焦点F 的坐标为0,116,准线方程为y =-116,由抛物线的定义得A F =2+116=3316㊂14.π4提示:10=2a -b =(2a -b )2=4a 2-4a ㊃b +b2=4-4㊃32c o s θ+18,解得c o s θ=22,因为θɪ[0,π],所以θ=π4㊂15.11π6 提示:由题意知π6--π3=T 4(2k +1)=π2ω(2k +1),解得ω=2k +1(k ɪZ ),由8π15ɤT 2=πω,得0<ωɤ158,所以ω=1,由f π6=0,得π6+φ=2k 1π,所以φ=2k 1π-π6(k 1ɪZ ),故φm i n =11π6㊂16.-23n -29(-2)n+29 提示:由a n +1-1=a 2n +a n -1-2a na n -1-1-1,得a n +1-1=(a n -1)2a n -1-1,所以(a n +1-1)(a n -1-1)=(a n -1)2,故{a n -1}是首项为2,公比为q 的等比数列,且a 6-1=-64=2q 5,则q =-2,所以a n -1=2(-2)n -1㊂令b n =n (a n -1),则b n =2n (-2)n -1㊂故T n =2(-2)0+4(-2)1+ +2(n -1)(-2)n -2+2n (-2)n -1;-2T n =2(-2)1+4(-2)2+ +2(n -1)(-2)n -1+2n (-2)n㊂两式相减得3T n =2(-2)0-2n (-2)n+2[(-2)1+ +(-2)n -1],化简得T n =-23n -29(-2)n+29㊂三㊁解答题17.由题得f (x )=(s i n 2ωx -c o s 2ωx )㊃(s i n 2ωx +c o s 2ωx )+23s i n ωx c o s ωx +1=s i n 2ωx -c o s 2ωx +23s i n ωx c o s ωx +1=3s i n 2ωx -c o s 2ωx +1=2s i n 2ωx -π6+1㊂所以T =2π2ω=π,所以ω=1,故f (x )=2s i n 2x -π6+1㊂由2x -π6=k π,得x =k π2+π12(k ɪZ ),故f (x )的对称中心为k π2+π12,1(k ɪZ )㊂(2)由f (A )=2s i n 2A -π6 +1=3,得s i n 2A -π6 =1,而0<A <π,故A =π3㊂由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2b c c o s A ,即1=b 2+c 2-b c ȡ2b c -b c =b c ,所以b c ɤ1,当且仅当b =c 时等号成立㊂S әA B C =12b c s i n A ɤ12㊃1㊃32=34,故әA B C 面积的最大值为34㊂18.(1)甲㊁乙两生产车间的茎叶图如图3所示㊂以下四个结论中选两个即可:图3①乙车间生产的药品的平均重量大于甲车间生产的药品的平均重量㊂②甲车间生产的药品的重量较乙车间生产的药品的重量更分散(或:乙车间生产的药品的重量较甲车间生产的药品的重量更集中(稳定))㊂③甲车间生产的药品的重量的中位数是134毫克;乙车间生产的药品的重量的中位数是140毫克㊂④甲车间生产的药品的重量的众数是119毫克;乙车间生产的药品的重量的众数是140毫克㊂(2)由题意知一件药品合格的概率为1050=15,故X ~B 3,15,X 的所有可能取值为0,1,2,3㊂P (X =0)=C 03㊃453=64125;P (X =1)=C 13㊃15㊃45 2=48125;P (X =2)=C 23㊃15 2㊃45=12125;P (X =3)=C 33㊃15 3=1125㊂故X 分布列为表1:表1X 0123P6412548125121251125所以E (X )=3ˑ15=35,D (X )=3ˑ15ˑ45=1225㊂19.(1)在面A B C D 内分别作B E ʅA D于E ,B F ʅC D 于F ㊂因为面D A A 1D 1ʅ面A B C D 且交于A D ,所以B E ʅ面D A A 1D 1,故B E ʅD D 1㊂同理得D D 1ʅB F ㊂而B E ɘB F =B ,所以D D 1ʅ面A BCD ㊂(2)由题意知A B 2=A D 2+B D 2,所以D A ʅD B ㊂由(1)知D D 1ʅ面A B C D ,所以D A ,D B ,D D 1两两垂直㊂以D 为坐标原点,图4D A ,D B ,D D 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图4所示的空间直角坐标系D -x yz ,设B D =1,则D (0,0,0),B (0,1,0),M 1,0,22,C 1(-1,1,2),所以B C 1ң=(-1,0,2),B D ң=(0,-1,0),B M ң=1,-1,22㊂设面B C 1M 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则m ㊃B C 1ң=-x 1+2z 1=0,m ㊃B M ң=x 1-y 1+22z 1=0,可取m =(2,3,2)㊂同理可得面B C 1D 的一个法向量为n =(2,0,1),所以c o s <m ,n >=m ㊃nm n=105,故二面角M -B C 1-D 的正弦值为155㊂20.设直线A B 的直线为y =x +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将y =x +m 代入x 2+3y 2=3,得4x 2+6m x +3(m 2-1)=0,Δ=12(4-m 2)>0,得0ɤm 2<4,由韦达定理得x 1+x 2=-32m ,x 1x 2=3(m 2-1)4㊂由弦长公式得A B =1+12㊃(x 1+x 2)2-4x 1x 2=62㊃4-m 2ɤ6,当m =0时,|A B |取得最大值6㊂(2)由题意知直线C D 的斜率必存在,设直线C D 的方程为y =k x +n ,C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),直线P C 的斜率为k P C =y 3x 3+2,则直线P C 的方程为x =x 3+2y 3㊃y -2,将其代入x 2+3y 2=3,得x 3+2y 3㊃y -2 2+3y 2-3=0,即(4x 3+7)y 2-4y 3(x 3+2)y +y 23=0,所以y A y 3=y 234x 3+7,则y A =y 34x 3+7,x A =x 3+2y 3㊃y A -2=-7x 3-124x 3+7=-74+14(4x 3+7),故A-74+14(4x 3+7),y 34x 3+7㊂同理B -74+14(4x 4+7),y 44x 4+7㊂故k A B=y 34x 3+7-y 44x 4+714(4x 3+7)-14(4x 4+7)=4y 3(4x 4+7)-4y 4(4x 3+7)(4x 4+7)-(4x 3+7)=(k x 3+n )(4x 4+7)-(k x 4+n )(4x 3+7)x 4-x 3=(4n -7k )(x 4-x 3)x 4-x 3=4n -7k =1,所以n =74k +14,所以直线C D 的方程为y =k ㊃x +74+14,故直线C D 过定点-74,14 ㊂21.(1)当a =1时,f (0)=0,f'(x )=e x-1c o s 2x,所以f '(0)=0,故所求切线方程为y =0㊂(2)注意到f (0)=0,f '(x )=e x-a c o s 2x=e xc o s 2x -a c o s 2x,令h (x )=e x c o s 2x -a -π2<x <π2,当a ɤ0时,h (x )ȡ0,所以f (x )在-π2,π2上单调递增,而f (0)=0,所以f (x )在-π2,π2上只有一个零点,不符合题意(舍去)㊂当a >0时,h '(x )=e xc o s 2x -2e x㊃s i n x c o s x =e xc o s 2x (1-2t a n x ),由h '(x )>0得-π2<x <x 0;由h '(x )<0得x 0<x<π2,其中0<x 0<π2且t a n x 0=12㊂故h (x )在-π2,x 0上单调递增,在x 0,π2上单调递减㊂而h -π2 =hπ2 <0,所以h (x 0)一定大于0,即0<a <e x 0c o s 2x 0=45e x其中45e x>1㊂所以∃x 1ɪ-π2,x 0,∃x 2ɪx 0,π2 ,使得h (x 1)=h (x 2)=0,且f (x )在-π2,x 1上单调递减,在(x 1,x 2)上单调递增,在x 2,π2 上单调递减㊂而当x ң-π2时,f (x )ң+ɕ;当x ңπ2时,f (x )ң-ɕ㊂又f (0)=0,所以0ɪ(x 1,x 2),故f '(0)=1-a >0,所以0<a <1㊂22.(1)直线l 的普通方程为y =3x ,故极坐标方程为θ=π3(ρɪR )㊂曲线C 的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=9,即x 2+y 2-4x -5=0,故曲线C 的极坐标方程为ρ2-4ρc o s θ-5=0㊂(2)将θ=π3代入ρ2-4ρc o s θ-5=0,得ρ2-2ρ-5=0,ρA ㊁B =1ʃ6,所以A B =ρA -ρB =26㊂由题知点P 的直角坐标为(3,1),所以点P 到直线l 的距离d =3㊃3-12=1㊂故S әP A B =12A B ㊃d =12㊃26㊃1=6㊂23.(1)f (x )=x -1+x +5+x +5ȡ(x -1)-(x +5)+x +5=6+x +5ȡ6,当且仅当x =-5时取等号,所以f (x )的最小值为6,故m =6㊂(2)由(1)知a +3b +2c =6,即(a +2b +1)+(b +2c )=5,所以1a +2b +1+4b +2c =15[(a +2b +1)+(b +2c )]㊃1a +2b +1+4b +2c=15㊃5+4(a +2b +1)b +2c +b +2c a +2b +1 ȡ15㊃5+24(a +2b +1)b +2c ㊃b +2c a +2b +1=95㊂(责任编辑 王福华)。
高等数学基础模拟题答案
高等数学基础模拟题一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)1.设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f --的图形关于(D )对称. (A)x y = (B)x 轴(C)y 轴 (D)坐标原点2.当0→x 时,变量(C )是无穷小量.(A)x 1 (B)x x sin(C)1e -x (D)2x x3.设x x f e )(=,则=∆-∆+→∆x f x f x )1()1(lim 0(B ).(A)e 2 (B)e(C)e 41 (D)e 21 4.=⎰x x xf x d )(d d 2( A ).(A))(2x xf (B)x x f d )(21 (C))(21x f (D)x x xf d )(2 5.下列无穷限积分收敛的是(B ).(A)⎰+∞0d e x x (B)⎰+∞-0d e x x (C)⎰+∞1d 1x x (D)⎰+∞1d 1x x 二、填空题(每小题3分,共15分)1.函数)1ln(92--=x x y 的定义域是 (1,2)U(2,3] .2.函数⎩⎨⎧≤>-=0sin 01x x x x y 的间断点是 X=0 .3.曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是1/2.4.函数1)1(2++=x y 的单调减少区间是 (-∞,-1) .5.='⎰x x d )(sin sinx+c .三、计算题(每小题9分,共54分)1.计算极限xx x 5sin 6sin lim0→. 2.设22sin xx y x+=,求y '. 3.设x y e sin 2=,求.4.设是由方程y x y e cos =确定的函数,求.5.计算不定积分⎰x x x d 3cos . 6.计算定积分⎰+e1d ln 2x x x . 四、应用题(本题12分)圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ,问当底半径与高分别为多少时,圆柱体的体积最大?五、证明题(本题4分)当0>x 时,证明不等式x x arctan >.高等数学基础模拟题答案一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)1.D2.C3.B4.A5.B二、填空题(每小题3分,本题共15分)1.]3,2()2,1(2.0=x3.21 4.)1,(--∞ 5.c x +sin 三、计算题(每小题6分,共54分)1.解:5655sin lim 66sin lim 5655sin 66sin 56lim 5sin 6sin lim 0000=⋅=⋅=→→→→xx x x x x x x x x x x x x 2.解:由导数四则运算法则得3.解:)e 2sin(e e cos e sin e 2xx x x x y =='4.解:等式两端求微分得左端y x x y x y d cos )(cos d )cos (d +==右端y y y d e )e (d ==由此得整理后得5.解:由分部积分法得6.解:由换元积分法得四、应用题(本题12分)解:如图所示,圆柱体高h 与底半径r 满足 222l r h =+圆柱体的体积公式为将222h l r -=代入得求导得令0='V 得l h 33=,并由此解出l r 36=.即当底半径l r 36=积最大.五、证明题(本题4分)证明:设x x x F arctan )(-=,则有2221111)(xx x x F +=+-=' 当0>x 时,0)(>'x F ,故)(x F 单调增加,所以当0>x 时有0)0()(=>F x F ,即不等式x x arctan >成立,证毕.高等数学基础练习题一、单项选择题:(每小题3分,共15分)1.设函数f (x )的定义域为),(+∞-∞,则函数f (x ))(x f --的图形关于()对称。
高等数学模拟考试题及答案1
《高等数学》模拟试题一一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1.点1=x 是函数112--=x x y 的 ( )A .连续点B .可去间断点C .跳跃间断点D .无穷间断点2.设)(x f 在),(b a 内可导,则在),(b a 内,0)(>'x f 是)(x f 在),(b a 内单调增加的 ( )A .必要条件B .充分条件C .充分必要条件D .无关条件3.设x x x F cos )(2+=是)(x f 的一个原函数,则)(x f 等于 ( )A .x x cos 2B .2cos xxC .x x sin 33+D .x x sin 2-4.级数∑∞=-11)1(n nn( ) A .绝对收敛 B .条件收敛 C .发散 D .敛散性不确定 5.微分方程'''20y y y ++=的通解为 ( )A .x ceB ..x ce -C .12()x c c x e +D .12()x c c x e -+二、 填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1. =--+→121lim21x x x . 2. 设),1cos()(+=x x f 则=')(x f .3. 过点(1,1,1)且与平面2x +3y =1垂直的直线方程为4. 设,1xyz =则=dz . 5. 设⎰-+=xx x dx x f 02,1sin )(则=')(x f .三、计算题(本大题共6小题,共48分).1. 计算极限: 302)1ln(limx dttxx ⎰+→ (5分).2.设0sin 2=++z z x e xy ,求xz∂∂ (5分). 3.设x x x f ln 2)(2-=,求)(x f 的单调区间和极值.(8分)4.D 是由曲线x e y =,Ox 轴,Oy 轴及4=x 围成的平面区域,试在(0,4)内找一点0x ,使直线0x x =平分平面区域D 的面积.(8分)5.验证函数2()n yz x f x =满足方程2z z x y nz x y ∂∂+=∂∂(其中f 可微).(8分) 6.改变二次积分21101(,)yy dy f x y dx --⎰⎰的积分次序(7分)7.求解下列微分方程:'2'1.y xy x y -=+(7分)四、证明题(本大题共2小题,共12分).1.证明:当1>x 时,1)1(2ln +->x x x .(6分) 2.函数f (x )在[0,1]上可导,且f (1)=2120()xf x dx ⎰,证明:存在一点ξ∈(0,1)使得ξf '(ξ)+ f (ξ)=0 (6分).《高等数学》模拟试题二一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1.曲线11+-=x x y 的垂直渐近线为 ( ) A .1-=x B .1=x C .1-=y D .1=y2.当0→x 时,)21ln(xα+与x 是等价无穷小,则α等于( )A .2B . 2-C .21D .21-3.下列式子中正确的是 ( )A .⎰+='c x f dx x f )3()3(B .'[()]()d f x dx f x =⎰C .⎰=bax f dx x f dx d )()( D .⎰⎰=-b a b a du u f dx x f 0)()( 4.下列命题中,正确的是 ( )A .0lim =∞→n n u ,则∑∞=1n n u 必收敛 B .0lim =∞→n n u ,则∑∞=1n n u 必发散C .0lim ≠∞→n n u ,则∑∞=1n n u 必收敛 D .0lim ≠∞→n n u ,则∑∞=1n n u 必发散5.微分方程'''23x y y y xe +-=的特解形式为 ( )A .()x ax b e +B .2x ax eC .x axeD .2()x ax bx e + 二、 填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)6. 201cos limx xx →-=7. 设x x x f ln )(=,则='')1(f . 8.'(sin 1)cos f x xdx +⎰=9. 过点(2,0,1)且与直线210x y z==垂直的平面方程为 10. 幂级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02n nx 的收敛半径为=R .三、计算题(本大题共4小题,共48分).1. 求极限: lim (arctan )2x x x π→+∞- (5分).2.设),(y x z z =是由方程133=-xyz z 确定的隐函数,求全微分dz (5分).3.求函数x x x f ln )(2-=在],1[e 上的最值(8分).4.求由曲线1-=x y ,4=x 与0=y 所围成的平面图形绕Ox 轴旋转所得到的旋转体的体积V (8分).5.f (x )在[0,1]上连续,求证211()()()y x dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰ (7分).6.求解下列微分方程: 2()0ydx x y dy ++= (7分).7.已知1(0),2f =-求f (x )使曲线积分[()]()x l e f x ydx f x dy +-⎰与路径无关,并计算(8分).(1,1)(0,0)[()]()x e f x dx f x dy +-⎰四、证明题(本大题共2小题,共12分).1.证明:当x >0时,2x arctan x >ln(1+x 2) (6分).2.设f (x )在(-1,1)内可微,且f (0)=0, |f ' (x )|< M (M >0), 试证在(-1,1)内恒有|f (x )|<M(6分).《高等数学》模拟试题三一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1.设53)(+=x x f ,则[]2)(-x f f 等于 ( )A .149+xB .33+xC .149-xD .33-x2.设x x f 3)(= ,则ax a f x f a x --→)()(lim 等于( )A .3ln 3aB .a3 C .3ln D .3ln 3a3.设函数f (x )连续,0(),s t I t f tx dx =⎰其中t >0,s >0,则积分I ( )A .依赖于s 和tB .依赖于s ,t,xC .依赖于t 和xD .依赖于s ,不依赖于t4.级数111nn a∞=+∑收敛的条件为( ) A .a ≥1 B .a >1 C . a ≤1 D .a <15.微分方程0cos =+x y dxdy的通解为 ( )A .x c y sin =B .x ce y sin -=C .x ce y cos -=D .x c y cos =二、 填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11. 设3lim ln()16,xx x a x a→∞+=-则a =12. 设22sin ,cos ,x t y t ==则dydx=13. ⎰=xdx x sin cos 3 .14.''()xf x dx ⎰=5.设sin y =xy , 则dydx= 三、计算题(本大题共4小题,共48分). 1. 求极限lim x →+∞(5分).2.求函数f (x )=20(1)(2)xt t dt --⎰的极值(7分).3.平面图形由曲线3,4y x y x=+=,求此图形的面积S (7分).4.求微分方程'cot ln y x y y =满足初始条件4x y π==(5分).5.求幂级数112nnn n x ∞=+∑的收敛区间以及和函数 (8分). 6. 计算二重积分:⎰⎰+Ddxdy y x )3(22,其中区域D 是由直线2,1,2,====x x x y x y 围成(8分)7.设函数f (x )满足0()()()x xx f x x f t dt e tf t dt +=+⎰⎰,求f (x ) (8分).四、证明题(本大题共2小题,共12分).1.证明:当0>x 时,2211)1ln(x x x x +>+++(6分).2.证明:双曲线)0(1>=x xy 上任一点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积等于2(6分).《高等数学》模拟试题一参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1.B 2.B 3.D 4.B 5.D二、 填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1.1422.2sin(1)x x +3.111230x z z ---==4.2()ydx xdyxy + 5. sin 2x -+三、计算题(本大题共4小题,共44分).1.解:220322000ln(1)ln(1)21111limlim lim 6310331x x x x t dtx x x x xx →→→++==⨯=⨯=++⎰ 2.解:方程两边对x 求导得:22sin cos 0xy z zye x z x z x x∂∂+++=∂∂22sin 1cos xy z ye x z x x z∂+∴=-∂+3.解:对函数x x x f ln 2)(2-=求导得:'1()4f x x x =-,令11140 ()22x x x -==-得舍去, 列表:x (0,12) 12 (12,+∞) y’ - 0+ y单减极小值1ln 22+单增由表可知, f (x )在(0,12)上单调减少,在(2,+∞)上单调增加,在12x =处取得极小值1ln 22+.4.解:由题意知,4x xx x e dx e dx =⎰⎰,所以0041x x e e e -=-401 ln2e x +∴=5.证:求函数2()nyz x f x =的偏导数: 113223222()()()()2(),n n n n z y y y y y nx f x f nx f x yf x x x x x x---∂-=+•=-∂ 22221()()(),n n z y y x f x f y x x x-∂=•=∂ 所以132222222222[()2()]2[()] ()2()2()n n n n n n z z y y yxy x nx f x yf y x f x y x x xy y ynx f x yf x yf nzx x x -----∂∂+=-+∂∂=-+=6.解:21101(,)yy dy f x y dx --⎰⎰=0110(,)x dx f x y dy +-⎰⎰+110(,)xdx f x y dy -⎰⎰7.解:整理方程为1(1)dy dx y x x =-+,所以 (ln(1))(ln ln(1))d y d x x -=-+ 1ln(1)ln1xy C x -=++ 11x y Cx =++ 四、证明题(本大题共2小题,共12分).1.证明:令2(1)()ln ,(0)21x F x x F x -=-=+,由于2'2(1)()0 (1)(1)x F x x x x -=>>+, 所以,当1>x 时()(0)20F x F >=>,即1)1(2ln +->x x x .2.证明:令()()F x xf x =,函数F (x )在[0,1]上可导. 根据积分中值定理,存在1(0,)2c ∈,使得1122001(1)(1)2()2()2()()2F f xf x dx F x dx F c F c ====••=⎰⎰再根据罗尔定理,存在一点ξ∈(c ,1使得'()0,F ξ=即 ξf '(ξ)+ f (ξ)=0《高等数学》模拟试题二参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)二、 填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)(sin 1)f x C ++ 40x y +-=三、计算题(本大题共4小题,共48分).22221arctan12lim (arctan )lim lim lim 11121x x x x x x x x x x xxππ→+∞→+∞→+∞→+∞--+-====+-233()0z dz yzdx xzdy xydz -++=2 yzdx xzdydz z xy+∴=-x x x f ln )(2-=求导得:'()2ln f x x x x =--,令'()0,f x =得12x e-=. 比较112211(),(1)0,()22f e e f f e e e --====-可知, f (x ) 在],1[e 上的最小值为2e -,最大值为12e.4442211119(1)()22V dx x dx x x ππππ==-=-=⎰⎰222111111000()()()[]()()yyyx x x dy f x dx dx e f x dy f x e dy dx e e f x dx ===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰20ydx xdy y dy ++=31()03d xy y +=313xy y C +=曲线积分与路径无关的条件,有()()x df x e f x dx=+' (())x y y e y f x -==微分方程'x y y e -=的通解为x x y ce xe =+,由于1(0),2f =-有12c =-,所以1()2x x f x e xe =-+四、证明题(本大题共2小题,共12分).2()2arctan ln(1),(0)0F x x x x F =-+=,由于'2222()2arctan 2arctan 0 (0)11x xF x x x x x x =+-=>>++, 所以,当x >0时()(0)0F x F >=,即2x arctan x >ln(1+x 2).设x 为(-1,1)内任意点,函数f (x )在[x ,0](x <0)或[0, x ](x >0)上可导. 根据拉格朗日中值定理,存在介于x 与0之间的点c ,使得''|()||()(0)||()||0||()|f x f x f f c c f c M =-=-<<《高等数学》模拟试题三参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)2-141cos4x C-+'()()x f x C++cosyy x-三、计算题(本大题共4小题,共48分).3 lim lim lim2 x x x→+∞===f(x)=2(1)(2)xt t dt--⎰求导得:'2()(1)(2)f x x x=--,令'()0,f x=得121,2x x==. 列表:由表可知, f112320017(1)(2)[584]12t t dt t t t dt--=-+-=-⎰⎰.3321131(4)(43ln)43ln32S x dx x x xx=--=--=-⎰整理微分方程得tanlndyxdxy y=1ln ln tan ln|cos|y xdx x C==-+⎰ln|cos|xCey e-=对于初始条件4x y π==C =1. 所以所求特解为ln|cos |x e y e-=幂级数112n n n n x ∞=+∑的收敛半径为1112lim lim 222n n n n n n u n R u n +→∞→∞++==⨯=+,且当x =2或-2时幂级数发散,所以幂级数的收敛区间为(-2,2).设其和函数为S (x ),则1'1112221''22122222()(1)() (1)()222(1)2 ()()1(1)(1)444 1.(2)(2)(1)2n nn n n n n n x x S x n t n t t t t t t t t tt t t x x x x xx x ∞∞∞+===∞+==+=+=+-+====+++++===-+++∑∑∑∑⎰⎰+Ddxdy y x)3(22化为二次积分为222222122223311(3)(3) [()]830.xxDx xx y dxdy dx x y dy x y y dx x dx +=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰'()()xx f x f t dt e +=⎰两边再求导数,整理得到'''()()x f x f x e +=或'''x y y e +=微分方程'''x y y e +=对应的齐次方程的通解为12x y c c e -=+,特解为12x y e =.所以'''x y y e +=的通解为1212x x y c c e e -=++.又由于(0)1f =(原方程两边代入x =0), '(0)1f =(求一次导数后的方程两边代入x =0),所以11,c =212c =-,所求方程的解为11sh 2x x e e y x --=+=+.四、证明题(本大题共2小题,共12分).()ln(1(0)0F x x x F =+=,由于'()ln(0 (0)F x x x =>>,所以,当x >0时()(0)0F x F >=,即2211)1ln(x x x x +>+++.t 为(0,+∞)内任意点,双曲线1y x =上在x=t 处的切线方程为 211()y x t t t -=-- 该直线与两坐标轴分别相交于2(0,),(2,0)A B t t由A ,B 和坐标原点O 形成三角形面积为12|||2|22S t t=⨯⨯=所以结论成立.。
2023年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真模拟卷+答案解析(附后)
2023年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真模拟卷✽一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则的子集共有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 8个2.已知复数,i 为虚数单位,则( )A. 1B.C.D.3.在中,记,,则( )A. B. C. D.4.已知函数,则的单调递增区间为( )A. B. C. D.5.如图,已知正四棱锥的底面边长和高分别为2和1,若点E是棱PD的中点,则异面直线PA 与CE所成角的余弦值为( )A. B. C. D.6.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5 nm规格的芯片,现有25块该规格的芯片,其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块,10块,10块,若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为,,,则从这25块芯片中任取一块芯片,是正品的概率为( )A. B. C. D.7.已知若存在,使不等式有解,则实数m的取值范围为( )A. B.C. D.8.已知a ,b ,,且,,,其中e 是自然对数的底数,则( )A.B. C. D.二、多选题:本题共4小题,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.空气质量指数大小分为五级,指数越大说明污染的情况越严重,对人体危害越大,指数范围分别对应“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重污染”五个等级.如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图,下面说法正确的是( )A. 这14天中有5天空气质量指数为“轻度污染”B. 从2日到5日空气质量越来越好C. 这14天中空气质量的中位数是D. 连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日10.密位制是度量角的一种方法,把一周角等分为6000份,每一份叫做1密位的角.在角的密位制中,单位可省去不写,采用四个数码表示角的大小,在百位数与十位数之间画一条短线,如7密位写成“”,478密位写成“”.若,则角可取的值用密位制表示可能是( )A.B.C.D.11.已知点A ,B 分别是双曲线C :的左,右顶点,点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点,记PA 、PB 的斜率分别为、,则下列说法正确的是( )A. 双曲线C 的离心率为B. 双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为1C.为定值D. 存在点P ,使得12.已知,,若关于x的方程有四个不同的实数根,则满足上述条件的a值可以为( )A. B. C. D. 1三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
高等数学模拟试题及答案[1]
武汉大学网络教育入学考试 专升本 高等数学 模拟试题一、单项选择题1、在实数范围内,下列函数中为有界函数的是( b )A.xy e = B.1sin y x =+ C.ln y x =D.tan y x =2、函数23()32x f x x x -=-+的间断点是( c ) A.1,2,3x x x === B.3x = C.1,2x x == D.无间断点3、设()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在0x x =处( b )A. 一定可导B. 必不可导C. 可能可导D. 无极限 4、当x →0时,下列变量中为无穷大量的是( D ) A.sin x x B.2x-C.sin x x D. 1sin xx+ 5、设函数()||f x x =,则()f x 在0x =处的导数'(0)f = ( d )A.1B.1-C.0D.不存在. 6、设0a >,则2(2)d aaf a x x -=⎰( a )A.0()d af x x -⎰B.0()d af x x ⎰ C.02()d af x x ⎰ D.02()d af x x -⎰7、曲线23x xy e--=的垂直渐近线方程是( d ) A.2x = B.3x = C.2x =或3x = D.不存在8、设()f x 为可导函数,且()()000lim22h f x h f x h→+-=,则0'()f x = ( c ) A. 1 B. 2 C. 4 D.0 9、微分方程''4'0y y -=的通解是( d )A. 4x y e =B. 4x y e -=C. 4xy Ce = D. 412x y C C e =+10、级数1(1)34nn nn ∞=--∑的收敛性结论是( a )A. 发散B. 条件收敛C. 绝对收敛D. 无法判定 11、函数()f x =( d )A. [1,)+∞B.(,0]-∞C. (,0][1,)-∞⋃+∞D.[0,1]12、函数()f x 在x a =处可导,则()f x 在x a =处( d )A.极限不一定存在B.不一定连续C.可微D.不一定可微 13、极限1lim(1)sin nn e n →∞-=( c)A.0B.1C.不存在D. ∞ 14、下列变量中,当x →0时与ln(12)x +等价的无穷小量是( )A.sin xB.sin 2xC.2sin xD. 2sin x15、设函数()f x 可导,则0(2)()limh f x h f x h →+-=( c )A.'()f x -B.1'()2f x C.2'()f x D.016、函数32ln 3x y x +=-的水平渐近线方程是( c )A.2y =B.1y =C.3y =-D.0y =17、定积分sin d x x π=⎰( c )A.0B.1C.πD.218、已知x y sin =,则高阶导数(100)y 在0x =处的值为( a )A. 0B. 1C. 1-D. 100. 19、设()y f x =为连续的偶函数,则定积分()d aaf x x-⎰等于( c )A. )(2x afB.⎰adxx f 0)(2C.0D. )()(a f a f --20、微分方程d 1sin d yx x =+满足初始条件(0)2y =的特解是( c )A. cos 1y x x =++B. cos 2y x x =++C. cos 2y x x =-+D. cos 3y x x =-+ 21、当x →∞时,下列函数中有极限的是( C )A.sin xB.1x eC.211x x +- D.arctan x22、设函数2()45f x x kx =++,若(1)()83f x f x x --=+,则常数k 等于 ( a ) A.1 B.1- C.2 D.2- 23、若0lim ()x x f x →=∞,lim ()x x g x →=∞,则下列极限成立的是( b )A. lim[()()]ox x f x g x →+=∞B.lim[()()]0x x f x g x →-=C.1lim()()x x f x g x →=∞+ D. 0lim ()()x x f x g x →=∞24、当x →∞时,若21sin x 与1k x 是等价无穷小,则k =( b )A.2B.12C.1D. 325、函数()f x =[0,3]上满足罗尔定理的ξ是( a )A.0B.3C. 32 D.2 26、设函数()y f x =-, 则'y =( c )A. '()f xB.'()f x -C. '()f x -D.'()f x --27、定积分()d baf x x⎰是( a )A.一个常数B.()f x 的一个原函数C.一个函数族D.一个非负常数 28、已知naxy x e =+,则高阶导数()n y=( c )A. n axa e B. !n C. !axn e + D. !n axn a e + 29、若()()f x dx F x c =+⎰,则sin (cos )d xf x x ⎰等于( b )A. (sin )F x c +B. (sin )F x c -+C. (cos )F x c +D. (cos )F x c -+ 30、微分方程'3xy y +=的通解是( b )A. 3c y x =- B. 3y c x =+ C. 3c y x =-- D. 3c y x =+31、函数21,y x =+(,0]x ∈-∞的反函数是( c )A. 1,[1,)y x =∈+∞B. 1,[0,)y x =∈+∞C. [1,)y =∈+∞D. [1,)y =∈+∞ 32、当0x →时,下列函数中为x 的高阶无穷小的是( a )A. 1cos x -B. 2x x + C. sin xD.33、若函数()f x 在点0x 处可导,则|()|f x 在点0x处( c )A. 可导B. 不可导C. 连续但未必可导D. 不连续 34、当x x →时,α和(0)β≠都是无穷小. 当0x x →时下列可能不是无穷小的是( d )A. αβ+B. αβ-C. αβ⋅D. αβ35、下列函数中不具有极值点的是( c ) A.y x= B. 2y x = C. 3y x = D. 23y x =36、已知()f x 在3x =处的导数值为'(3)2f =, 则0(3)(3)lim2h f h f h →--=( b )A.32B.32-C.1D.1-37、设()f x 是可导函数,则(())f x dx '⎰为( d )A.()f xB. ()f x c +C.()f x 'D.()f x c '+38、若函数()f x 和()g x 在区间(,)a b 内各点的导数相等,则这两个函数在该区间内( d ) A.()()f x g x x -= B.相等 C.仅相差一个常数 D.均为常数二、填空题 1、极限20cos d limxx t tx →⎰=2、已知 102lim()2ax x x e -→-=,则常数 =a .3、不定积分2d xx ex -⎰= .4、设()y f x =的一个原函数为x ,则微分d(()cos )f x x = .5、设2()d f x x x C x=+⎰,则()f x = . 6、导数12d cos d d x t t x-=⎰ . 7、曲线3(1)y x =-的拐点是 .8、由曲线2y x =,24y x =及直线1y =所围成的图形的面积是 .9、已知曲线()y f x =上任一点切线的斜率为2x , 并且曲线经过点(1,2)-, 则此曲线的方程为 .10、已知22(,)f xy x y x y xy +=++,则f f x y∂∂+=∂∂ . 11、设(1)cos f x x x +=+,则(1)f = .12、已知 112lim(1)x x a e x --→∞-=,则常数 =a .13、不定积分2ln d x x x =⎰.14、设()y f x =的一个原函数为sin 2x ,则微分d y = .15、极限22arcsin d limxx t t x →⎰ =.16、导数2d sin d d x a t t x =⎰ .17、设d xt e t e=⎰,则x = .18、在区间[0,]2π上, 由曲线cos y x =与直线2x π=,1y =所围成的图形的面是 .19、曲线sin y x =在点23x π=处的切线方程为 . 20、已知22(,)f x y x y x y -+=-,则f fx y ∂∂-=∂∂ .21、极限01limln(1)sinx x x →+⋅ =22、已知21lim()1axxxex-→∞-=+,则常数=a.23、不定积分x=⎰.24、设()y f x=的一个原函数为tan x,则微分d y=.25、若()f x在[,]a b上连续,且()d0baf x x=⎰, 则[()1]dbaf x x+=⎰.26、导数2dsin ddxxt tx=⎰.27、函数224(1)24xyx x+=++的水平渐近线方程是.28、由曲线1yx=与直线y x=2x=所围成的图形的面积是.29、已知(31)xf x e'-=,则()f x= .30、已知两向量(),2,3aλ→=,()2,4,bμ→=平行,则数量积a b⋅=.31、极限2lim(1sin)x xx→-=32、已知973250(1)(1)lim8(1)xx axx→∞++=+,则常数=a.33、不定积分sin dx x x=⎰.34、设函数y=则微分d y=.35、设函数()f x在实数域内连续, 则()d()dxf x x f t t-=⎰⎰.36、导数2dddx tate tx=⎰.37、曲线22345(3)x xyx-+=+的铅直渐近线的方程为.38、曲线2y x=与22y x=-所围成的图形的面积是.三、计算题1、求极限:lim x →+∞.解:lim x →+∞=lim x →+∞/2x=2、计算不定积分:2sin 2d 1sin xx x +⎰解:3、计算二重积分sin d d Dx x y x ⎰⎰, D 是由直线y x =及抛物线2y x =围成的区域. 解:4、设2ln z u v =, 而x u y =, 32v x y =-. 求z x ∂∂, zy∂∂. 解:5、求由方程221x y xy +-=确定的隐函数的导数d d yx. 解:6、计算定积分: 20|sin | d x x π⎰.解:7、求极限:xxx e x 20)(lim +→.解:8、计算不定积分:x.解:9、计算二重积分22()Dx y d σ+⎰⎰, 其中D 是由y x =,y x a =+,y a =, 3y a =(0a >)所围成的区域. 解:10、设2u vz e -=, 其中3sin ,u x v x ==,求dz d t .解:11、求由方程lny x y=+所确定的隐函数的导数ddyx.解:,12、设2,01,(),1 2.x xf xx x⎧≤≤=⎨<≤⎩. 求0()()dxx f t tϕ=⎰在[0, 2]上的表达式.解:13、求极限:2 0x→解:14、计算不定积分:dln ln lnxx x x⋅⋅⎰.解:15、计算二重积分(4)dDx yσ--⎰⎰,D是圆域222x y y+≤.解:16、设2x yzx y-=+,其中23y x=-,求dzd t.解:17、求由方程1yy xe=+所确定的隐函数的导数ddyx.解:18、设1sin,0,2()0,x xf xπ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.求0()()dxx f t tϕ=⎰在(),-∞+∞内的表达式.解:19、求极限:x→解:20、计算不定积分:1d 1xx +解:21、计算二重积分2Dxy dσ⎰⎰,D是由抛物线22y px=和直线2px=(p>)围成的区域.解:22、设yzx=,而tx e=,21ty e=-,求dzd t.解:四、综合题与证明题1、函数21sin,0,()0,0x xf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x=处是否连续?是否可导?2、求函数(y x=-.解:3、证明:当0x >时, 221)1ln(1x x x x +>+++.证明:4、要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小?这时底直径与高的比是多少?解:5、设ln(1),10,()01x x f x x +-<≤⎧⎪=<<, 讨论()f x 在0x =处的连续性与可导性. 解:,6、求函数32(1)x y x =-的极值.解:7、证明: 当20π<<x 时, sin tan 2x x x +>. 证明:8、某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省?解:9、讨论21, 0,21, 01,()2, 12,, 2x x x f x x x x x ≤⎧⎪+<≤⎪=⎨+<≤⎪⎪>⎩在0x =,1x =,2x =处的连续性与可导性.解:10、确定函数y =(其中0a >)的单调区间.解:;11、证明:当20π<<x 时, 331tan x x x +>. 证明:12、一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入?解:13、函数21, 01,()31, 1x x f x x x ⎧+≤<=⎨-≤⎩在点x =1处是否可导?为什么?解:14、确定函数x x x y 6941023+-=的单调区间. 解:。
1. 《2024年高考数学模拟试题及答案》
1. 《2024年高考数学模拟试题及答案》一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1、已知集合 A ={x |-2 < x < 3},B ={x | x² 5x + 4 <0},则A ∩ B =()A {x | 1 < x < 3}B {x |-2 < x < 1}C {x | 1 < x < 4}D {x |-2 < x < 4}2、复数 z =(1 + i)(2 i)在复平面内对应的点位于()A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3、已知向量 a =(1, 2),b =(m, -1),若 a ⊥ b,则 m =()A -2B 2C -1/2D 1/24、某中学高一年级有学生 1000 人,高二年级有学生 800 人,高三年级有学生 600 人,现采用分层抽样的方法从该校抽取一个容量为 n的样本,若从高二年级抽取了 80 人,则 n 的值为()A 200B 240C 280D 3205、函数 f(x) = log₂(x² 4x + 3)的单调递增区间是()A (∞, 1)B (∞, 2)C (2, +∞)D (3, +∞)6、若直线 l₁:ax + 2y + 6 = 0 与直线 l₂:x +(a 1)y + a² 1= 0 平行,则 a =()A -1B 2C -1 或 2D 17、已知等差数列{aₙ}的前 n 项和为 Sₙ,若 a₁= 2,S₃= S₅,则公差 d =()A -2B 0C 2D 48、已知圆 C:(x 1)²+(y 2)²= 4 与直线 l:x y + 1 = 0 相交于 A,B 两点,则弦长|AB| =()A 2√2B 2√3C 4D 69、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()(正视图和侧视图是等腰三角形,底边为 4,高为 4;俯视图是边长为 4 的正方形)A 32B 64C 128/3D 256/310、设函数 f(x) =sin(ωx +φ)(ω > 0,|φ| <π/2)的最小正周期为π,且f(π/8) =√2/2,则()A f(x)在(0, π/2)上单调递减B f(x)在(π/8, 3π/8)上单调递增C f(x)在(0, π/2)上单调递增D f(x)在(π/8, 3π/8)上单调递减11、已知函数 f(x) = x³ 3x,若过点 M(2, t)可作曲线 y = f(x)的三条切线,则实数 t 的取值范围是()A (-6, -2)B (-4, -2)C (-6, 2)D (0, 2)12、已知双曲线 C:x²/a² y²/b²= 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为 F₁,F₂,过 F₂作双曲线 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 H,若|F₂H| = 2a,则双曲线 C 的离心率为()A √5B 2C √3D √2二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13、已知函数 f(x) = 2sin(2x +π/6),则 f(x)的最小正周期为_____14、若 x,y 满足约束条件 x +y ≥ 1,x y ≥ -1,2x y ≤ 2,则 z= x + 2y 的最大值为_____15、已知抛物线 y²= 2px(p > 0)的焦点为 F,点 A(4, 2)在抛物线上,且|AF| = 5,则 p =_____16、已知数列{aₙ}满足 a₁= 1,aₙ₊₁= 2aₙ + 1,则 a₅=_____三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17、(10 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a = 3,b = 5,c = 7、(1)求角 C 的大小;(2)求△ABC 的面积18、(12 分)已知数列{aₙ}是等差数列,a₁= 1,a₃+ a₅=14、(1)求数列{aₙ}的通项公式;(2)设数列{bₙ}满足 bₙ = aₙ × 2ⁿ,求数列{bₙ}的前 n 项和 Sₙ19、(12 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PA ⊥底面 ABCD,PA = AB = 2,AD = 4,∠BAD = 60°(1)证明:BD ⊥平面 PAC;(2)求二面角 P BD A 的余弦值20、(12 分)某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B原料 3 吨。
高数模拟试题及答案
高数模拟试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 下列函数中,不是偶函数的是:A. f(x) = x^2B. f(x) = cos(x)C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)2. 函数f(x) = 2x - 1在x=1处的导数是:A. 0B. 1C. 2D. -13. 以下哪个选项是微分方程dy/dx + 2y = x的解:A. y = (1/3)x^3 - x^2 + CB. y = x^2 - 2x + CC. y = x^2 + 2x + CD. y = x - 2 + C4. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x在点(1,0)处的切线斜率是:A. 0B. 1C. -2D. 25. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是:A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2/36. 以下哪个级数是收敛的:A. 1 + 1/2 + 1/4 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 2 + 3 + ...D. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...7. 以下哪个选项是泰勒级数展开的公式:A. f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + ...B. f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + f''(1)(x-1)^2/2! + ...C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ...D. f(x) = f(1) + f'(0)(x-1) + f''(0)(x-1)^2/2! + ...8. 以下哪个矩阵是可逆的:A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 1]C. [1 2; 2 4]D. [0 1; -1 0]9. 以下哪个是二阶偏导数的连续性条件:A. f_xx = f_yyB. f_xy = f_yxC. f_xx = f_yy = 0D. f_xy = f_yx = 010. 以下哪个是拉格朗日乘数法的应用场景:A. 求解线性方程组B. 求解最小二乘问题C. 求解线性规划问题D. 求解非线性方程组二、填空题(每题2分,共20分)11. 函数f(x) = ln(x)的定义域是________。
高数下期末复习模拟试题3份
2
∂P ∂P = 在 D 内 连 续 , 且 有 ∂x ∂y , 则
∫
L
( P( x, y ) + y )dx + ( P( x, y ) − x)dy =(
)
2 − 2 a A、 ;
B、 − 2a ;
2
C、 − a ;
2
D、 a
→
2
7. 设流体速度场 v = ci + y j ( c 为常数 ), 则单 位时间内由半径为 2 的球面内部流出球
u = f ( x, xy ), v = g ( x + xy ) ,
∂u ∂u 求 ∂x , ∂y
。
x +t
∂u ∂u 2.(8 分)设 u ( x, t ) = ∫ x −t f ( z )dz ,求 ∂x , ∂t 。 四、求解下列问题(共计 15 分) 。
1.计算 I
= ∫ 0 dx ∫ x e dy 。 (7 分)
即
∫
x0 0
ydx −
1 2 x0 y 0 = x0 2
将 ( x 0 , y 0 ) 改为 ( x, y ) 得: 求导得: y ′ −
∫
x
0
ydx −
1 xy = x 2 2
1 y = −4 ,且 y (1) = 1 x
该方程的通解为 y = (c + (−4)e
∫
−
∫ x dx1dx源自e∫ x dx∂ 2u ∂ 2u 数,则 x ∂x 2 + y ∂y 2
等于(
)
(A) x + y (B) x ; (C) y
(D)0 。
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武汉大学网络教育入学考试 专升本 高等数学 模拟试题一、单项选择题1、在实数范围内,下列函数中为有界函数的是( b )A.xy e = B.1sin y x =+ C.ln y x =D.tan y x =2、函数23()32x f x x x -=-+的间断点是( c ) A.1,2,3x x x === B.3x = C.1,2x x == D.无间断点3、设()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在0x x =处( b )A. 一定可导B. 必不可导C. 可能可导D. 无极限 4、当x →0时,下列变量中为无穷大量的是( D ) A.sin x x B.2x-C.sin x x D. 1sin xx+ 5、设函数()||f x x =,则()f x 在0x =处的导数'(0)f = ( d )A.1B.1-C.0D.不存在. 6、设0a >,则2(2)d aaf a x x -=⎰( a )A.0()d af x x -⎰B.0()d af x x ⎰ C.02()d af x x ⎰ D.02()d af x x -⎰7、曲线23x xy e--=的垂直渐近线方程是( d ) A.2x = B.3x = C.2x =或3x = D.不存在8、设()f x 为可导函数,且()()000lim22h f x h f x h→+-=,则0'()f x = ( c ) A. 1 B. 2 C. 4 D.0 9、微分方程''4'0y y -=的通解是( d )A. 4x y e =B. 4x y e -=C. 4xy Ce = D. 412x y C C e =+10、级数1(1)34nn nn ∞=--∑的收敛性结论是( a ) A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 无法判定 11、函数()f x =( d )A. [1,)+∞B.(,0]-∞C. (,0][1,)-∞⋃+∞D.[0,1]12、函数()f x 在x a =处可导,则()f x 在x a =处( d )A.极限不一定存在B.不一定连续C.可微D.不一定可微 13、极限1lim(1)sin nn e n →∞-=( c)A.0B.1C.不存在D. ∞14、下列变量中,当x →0时与ln(12)x +等价的无穷小量是( ) A.sin x B.sin 2x C.2sin x D. 2sin x15、设函数()f x 可导,则0(2)()limh f x h f x h →+-=( c )A.'()f x -B.1'()2f x C.2'()f x D.016、函数32ln 3x y x +=-的水平渐近线方程是( c )A.2y =B.1y =C.3y =-D.0y =17、定积分sin d x x π=⎰( c )A.0B.1C.πD.218、已知x y sin =,则高阶导数(100)y 在0x =处的值为( a )A. 0B. 1C. 1-D. 100. 19、设()y f x =为连续的偶函数,则定积分()d aaf x x-⎰等于( c )A. )(2x afB.⎰adxx f 0)(2C.0D. )()(a f a f --20、微分方程d 1sin d yxx =+满足初始条件(0)2y =的特解是( c ) A. cos 1y x x =++ B. cos 2y x x =++C. cos 2y x x =-+D. cos 3y x x =-+ 21、当x →∞时,下列函数中有极限的是( C )A.sin xB.1x eC.211x x +- D.arctan x22、设函数2()45f x x kx =++,若(1)()83f x f x x --=+,则常数k 等于 ( a ) A.1 B.1- C.2 D.2- 23、若0lim ()x x f x →=∞,lim ()x x g x →=∞,则下列极限成立的是( b )A. lim[()()]ox x f x g x →+=∞B.lim[()()]0x x f x g x →-=C.1lim()()x x f x g x →=∞+ D. 0lim ()()x x f x g x →=∞24、当x →∞时,若21sin x 与1k x 是等价无穷小,则k =( b )A.212 C.1 D. 325、函数()f x =[0,3]上满足罗尔定理的ξ是( a )A.0B.3C. 32 D.2 26、设函数()y f x =-, 则'y =( c )A. '()f xB.'()f x -C. '()f x -D.'()f x --27、定积分()d baf x x⎰是( a )A.一个常数B.()f x 的一个原函数C.一个函数族D.一个非负常数28、已知n ax y x e =+,则高阶导数()n y =( c ) A. n ax a e B. !n C. !ax n e + D. !n axn a e +29、若()()f x dx F x c =+⎰,则sin (cos )d xf x x⎰等于( b )A. (sin )F x c +B. (sin )F x c -+C. (cos )F x c +D. (cos )F x c -+ 30、微分方程'3xy y +=的通解是( b )A. 3c y x =- B. 3y c x =+ C. 3c y x =-- D. 3c y x =+31、函数21,y x =+(,0]x ∈-∞的反函数是( c )A.1,[1,)y x =∈+∞B. 1,[0,)y x =∈+∞C.[1,)y =∈+∞D. [1,)y =∈+∞ 32、当0x →时,下列函数中为x 的高阶无穷小的是( a )A. 1cos x -B. 2x x + C. sin xD.33、若函数()f x 在点0x 处可导,则|()|f x 在点0x处( c )A. 可导B. 不可导C. 连续但未必可导D. 不连续 34、当x x →时,α和(0)β≠都是无穷小. 当0x x →时下列可能不是无穷小的是( d )A. αβ+B. αβ-C. αβ⋅D. αβ35、下列函数中不具有极值点的是( c ) A.y x= B. 2y x = C. 3y x = D.23y x =36、已知()f x 在3x =处的导数值为'(3)2f =, 则0(3)(3)lim2h f h f h →--=( b )A.32B.32-C.1D.1-37、设()f x 是可导函数,则(())f x dx '⎰为( d )A.()f xB. ()f x c +C.()f x 'D.()f x c '+38、若函数()f x 和()g x 在区间(,)a b 内各点的导数相等,则这两个函数在该区间内( d ) A.()()f x g x x -= B.相等 C.仅相差一个常数 D.均为常数二、填空题1、极限20cos d limxx t t x→⎰ =2、已知 102lim()2ax x x e -→-=,则常数 =a . 3、不定积分2d x x e x -⎰= .4、设()y f x =的一个原函数为x ,则微分d(()cos )f x x = .5、设2()d f x x x C x=+⎰,则()f x = . 6、导数12d cos d d xt t x -=⎰ .7、曲线3(1)y x =-的拐点是 .8、由曲线2y x =,24y x =及直线1y =所围成的图形的面积是 .9、已知曲线()y f x =上任一点切线的斜率为2x , 并且曲线经过点(1,2)-, 则此曲线的方程为 .10、已知22(,)f xy x y x y xy +=++,则f f x y∂∂+=∂∂ . 11、设(1)cos f x x x +=+,则(1)f = .12、已知 112lim(1)x x a e x --→∞-=,则常数 =a .13、不定积分2ln d xx x =⎰.14、设()y f x =的一个原函数为sin 2x ,则微分d y = .15、极限022arcsin d limxx t t x →⎰ =.16、导数2d sin d d x at t x =⎰ .17、设0d x te t e=⎰,则x = .18、在区间[0,]2π上, 由曲线cos y x =与直线2x π=,1y =所围成的图形的面是 .19、曲线sin y x =在点23x π=处的切线方程为 . 20、已知22(,)f x y x y x y -+=-,则f fx y ∂∂-=∂∂ .21、极限01lim ln(1)sinx x x →+⋅ =22、已知21lim()1axx x e x -→∞-=+,则常数 =a .23、不定积分d xe x =⎰ .24、设()y f x =的一个原函数为tan x ,则微分d y = . 25、若()f x 在[,]a b 上连续,且()d 0baf x x =⎰, 则[()1]d baf x x +=⎰.26、导数2d sin d d xxt t x =⎰ .27、函数224(1)24x y x x +=++的水平渐近线方程是 . 28、由曲线1y x =与直线y x=2x =所围成的图形的面积是 .29、已知(31)x f x e '-=,则()f x = .30、已知两向量(),2,3a λ→=,()2,4,b μ→=平行,则数量积a b ⋅= .31、极限2lim(1sin )xx x →-=32、已知973250(1)(1)lim 8(1)x x ax x →∞++=+,则常数=a .33、不定积分sin d x x x =⎰ .34、设函数sin 2xy e =则微分d y = .35、设函数()f x 在实数域内连续, 则()d ()d xf x x f t t -=⎰⎰ .36、导数2d d d x ta te t x =⎰ .37、曲线22345(3)x x y x -+=+的铅直渐近线的方程为 . 38、曲线2y x =与22y x =-所围成的图形的面积是 .三、计算题1、求极限:lim x →+∞.解:lim x →+∞=lim x →+∞/2x=2、计算不定积分:2sin 2d 1sin xx x +⎰解:3、计算二重积分sin d d Dx x y x ⎰⎰, D 是由直线y x =及抛物线2y x =围成的区域. 解:4、设2ln z u v =, 而x u y =, 32v x y =-. 求z x ∂∂, zy∂∂. 解:5、求由方程221x y xy +-=确定的隐函数的导数d d y x. 解:6、计算定积分: 20|sin | d x x π⎰.解:7、求极限:xx x e x 20)(lim +→.解:8、计算不定积分:x.解:9、计算二重积分22()Dx y d σ+⎰⎰, 其中D 是由y x =,y x a =+,y a =, 3y a =(0a >)所围成的区域. 解:10、设2u v z e -=, 其中3sin ,u x v x ==,求dz d t .解:11、求由方程lny x y=+所确定的隐函数的导数ddyx.解:,12、设2,01,(),1 2.x xf xx x⎧≤≤=⎨<≤⎩. 求0()()dxx f t tϕ=⎰在[0, 2]上的表达式.解:13、求极限:2x→.解:14、计算不定积分:dln ln lnxx x x⋅⋅⎰.解:15、计算二重积分(4)dDx yσ--⎰⎰,D是圆域222x y y+≤.解:16、设2x yzx y-=+,其中23y x=-,求dzd t.解:17、求由方程1yy xe=+所确定的隐函数的导数ddyx.解:18、设1sin,0,2()0,x xf xπ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.求0()()dxx f t tϕ=⎰在(),-∞+∞内的表达式.解:19、求极限:x→. 解:20、计算不定积分:1d 1xx +解:21、计算二重积分2Dxy dσ⎰⎰,D是由抛物线22y px=和直线2px=(p>)围成的区域.解:22、设yzx=,而tx e=,21ty e=-,求dzd t.解:四、综合题与证明题1、函数21sin,0,()0,0x xf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x=处是否连续?是否可导?2、求函数(y x=-.解:3、证明:当0x >时, 221)1ln(1x x x x +>+++.证明:4、要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小?这时底直径与高的比是多少?解:5、设ln(1),10,()01x x f x x +-<≤⎧⎪=<<, 讨论()f x 在0x =处的连续性与可导性. 解:,6、求函数32(1)x y x =-的极值. 解:7、证明: 当20π<<x 时, sin tan 2x x x +>. 证明:8、某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省?解:9、讨论21, 0,21, 01,()2, 12,, 2x x x f x x x x x ≤⎧⎪+<≤⎪=⎨+<≤⎪⎪>⎩在0x =,1x =,2x =处的连续性与可导性.解:10、确定函数y =(其中0a >)的单调区间.解:;11、证明:当20π<<x 时, 331tan x x x +>. 证明:12、一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入?解:13、函数21, 01,()31, 1x x f x x x ⎧+≤<=⎨-≤⎩在点x =1处是否可导?为什么?解:14、确定函数x x x y 6941023+-=的单调区间. 解:。