华罗庚的数学解题方法：退步解题法
【高二学习指导】华罗庚谈数学的学习方法
【高二学习指导】华罗庚谈数学的学习方法难！有人说数学难！是否难于上青天？但时至今日，人们已能在月上徘徊，空间漫步。
人类是不满足于现在，从“难”走向更难，要向宇宙空间飞去！实则上，有志者天下无难事，畏难者寸步不敢移，就登天来说：九十九难中，数学仅算其一难，但却是必不可少的工具之一。
从牛顿力学开始就为计算卫星轨道写下了方程。
牛顿以前，算星球轨道知其然，而不知其所以然，的确很难。
有了万有引力定律，至今人造卫星的计算早已不在话下。
时代发展了，难的不难了，人类总是不畏攀登，一步一个脚印，后人踏着前人的脚印前进。
当然一步登天难，三百年来一步一步，一代一代地前进，今天不是已初见成效了吗？就数学来说，也是如此。
要想一步登天万难，但步步踏实，何难之有，君不见，自古失足坠崖者，都是一步落空人。
烦！有人说数学烦！是否烦过千头万绪、相关相联的人类经济活动。
要钢！练钢要矿石，要煤要焦要电力，建炼钢炉本身还要钢，一要炉砖，即使有了原料，还要运得来，成品还要出得去，销得了。
在生产矿石的时候又要挖掘机（钢做的），电力（烧煤的），木材（支撑圹道用的），修铁路又要钢轨、枕木、机车头，等等。
一着出错，全盘牵连，一步落后，全队窝工。
这么复杂的系统，岂是说空话就可以找得出头绪来的。
不！一个不小心的决策，就会使比例失调，顾此失彼，捉襟见肘，甚至于造成灾难，但不怕烦，善御烦，搞得得法，便能收其左右逢源，稳步速见之率。
这样的烦，是否比数学的习题要烦些？烦得多了！但御烦之道也少不了数学这一个助手，特别是有了近代的电子技术，助手更能发挥作用。
但机器毕竟是机器，它们会的，都是人类已经会的。
真正的主人还是有创造性的善驾驭这些机器的人，学好数学是其一个重要的环节。
板，死板高中生物！有人说数学太死板了！一点儿趣味都没有！然！把数学看成是公式的堆积，把定理作为该背诵的教条，把讲解说成为形式逻辑的推演，把考试弄成为死记硬背按标准答案不敢越雷池一步地生搬硬套，这样的情况岂能不死不板不僵化！僵化是科学的大敌，是社会发展的大敌。
关于华罗庚时间统筹小故事
华罗庚时间统筹小故事关于华罗庚时间统筹小故事华罗庚能取得如此大的成就与他善于统筹时间有着很大的关系。
下面我们为大家带来关于华罗庚时间统筹小故事，仅供参考，希望能够帮到大家。
华罗庚时间统筹小故事1华罗庚的数学作业，经常有涂改的痕迹，很不整洁，老师开始时非常不满意。
后来经过仔细辨别，老师发现华罗庚是在不断改进和简化自己的解题方法。
华罗庚在中学读书时，曾对传统的珠算方法进行了认真思考。
他经过分析认为：珠算的加减法难以再简化，但乘法还可以简化。
乘法传统打法是"留头法"或"留尾法"，即先将乘法打上算盘，再用被乘数去乘;每用乘数的一位数乘被乘数，则在乘数中将该位数去掉;将乘数用完了，即得最后答案。
华罗庚觉得：何不干脆将每次乘出的答数逐次加到算盘上去呢?这样就省掉了乘数打上算盘的时间例如：28X6，先在算盘上打上2X6=12，再退一位，加上8X6=48，立即得168，只用两步就能得出结果。
对于除法，也可以同样化为逐步相减来做节省的时间就更多的。
凭着这一点改进，再加上他擅长心算，华罗庚在当时上海的珠算比赛中获得了冠军。
华罗庚不仅对数学肯动脑筋，对语文也很用心。
有一次，老师把自己收藏的文学大师胡适的书分给学生，让每人看完后写一篇读后感。
华罗庚分得的是《尝试集》，书中流露出作者提倡白话文的得意，认为自己是一次成功的尝试，于是在扉页上写了一首《序诗》："尝试成功自古无，放翁这话未必是。
我今为下一转语，自古成功在尝试。
"华罗庚在读后感中，并未表达出老师所期望的对胡适的赞美之词，而是尖锐地指出：胡适的这首诗概念混乱，第一句中的"尝试"与第四句中的"尝试"是两个完全不同的概念。
第一句中的"尝试"是指初次尝试，当然一试就成功是比较罕见的;第四句中的"尝试"则是指经过多次尝试或失败之后的一次成功尝试，所以它们具有不同的含意。
华罗庚难题的十八种答案
世界难题三分角答案规尺作图华罗庚难题的十八种答案和分角定理副高级周易研究师高春阳二十世纪五十年代，华罗庚教授提出：用圆规直尺三等分任意角和步行上月球一样是不可能的。
就因为‘三分角难题’是由华罗庚提出来的，中国人称它‘华罗庚难题'或“华罗庚数学发展计划”,应该是无可非议的。
总体分析如果不想让人们研究破解，最好是不提不让人想到。
既然提了出来并引起了研究兴趣。
这是任何强权都没法阻止的痴迷思想动力。
先提出“此地无银”，然后再用“三百两”推翻自己的提出，绝非智者所为。
因此，提出难题的目的只能是希望有人研究它破解它。
否定说不成立。
具体分析1.给定条件是‘一样’：意思是‘三分角’和‘上月球’一样是目的；‘用规尺’和‘用步行’一样是方法。
2.论断：因为目的是唯一的，没有对错分别的；方法是多种多样的，有对错优劣差别的。
所以，‘不可能’一词只能否定方法，绝不是否定目的。
3.论证：指导生存革命的中国古代《易经》占卜术提出：“顺（顺应切合）天（自然）命（规律）则昌；逆（违背不切合）天命则亡”。
用现代马克思主义思想解释它，就是主观自我的行为方法步骤，切合了客观实际自然规律，就必然取得成功，趋向昌盛；如果方法步骤违背了实际自然规律，就必然趋向失败，甚至自取灭亡。
这说明古今中外所有的革命科学一律都用是否切合实际来检验自己方法的对和错。
随意放弃（否定）目的停止探索的不是科学思想。
《易经》还提出：“穷（不通）则变，变则通，通则久。
”意思是如果自己行不通，想不通，就应当改变自己的想法做法（行为计划）重新实验。
经过反复多次地自改自验，自验证自改，总会有自己行得通想得通的时刻，这时自己思想中对物变因果规律过程的知觉认识，就是今后可以长期用来指导自身行为实践的真知(觉)真理（解）。
这不仅是古占卜学的中心思想，也是毛泽东《实践论》一书的中心思想。
更是所有科学家一贯继承和坚持的科研思想方法.华罗庚确实说过“不要再钻牛犄角尖了......”“牛犄角尖”一词，正是指用量角器或钟表盘之类行不通又不肯动脑改想新法的死板错误做法。
“退中求进”——特例解题方法探究
示 ＡＡ Ｃ外接圆的面积 ， ｉ ｎ Ｂ 则ｌ１Ｓ＝ Ｉ １
ｎ— ＋∞
反过来 ， 从一 般退到 特殊 、 复杂退 从 从 从整体 退到部 分析 ：随着 ｎ 限 增 大 ， Ｂ趋 近于 到简 单 、 抽象 退到具体 ， 无 Ａ、
标原点 ， 过抛物线 Ｘ ４ 的焦点 Ｆ ２ ｙ ＝ 作一直 “ 例检 验 ” “ 特 及 特例 探路 ”其中 ， 用的 学会 了退中求进的解题方法 ， ． 常 问题解决将 线交抛物线于 Ｐ Ｑ两点， 、 则可 ｂ ＇ ・ｄ＝ － 特例有特殊数值、 特殊数列 、 特殊函数、 特 变得Ｉ 陕速、 高效 ， 且易学易掌握 ． 殊图形 、 殊位置等． 特 二、 问囊 探 究
一
《＞ ，＞ ） × Ｏｙ Ｏ的性质 。同样地 ，
由 ｇ×＝ 。 抽 象 出 ｇｘ・）ｇ× ・ 《）× 可 （ ｙ＝ 《）ｇ
《）×∈Ｒ， Ｒ） ｙ， 《 Ｙ∈ ；
个诀窍．
几何中梅涅劳斯 定理 的极端化情况 。
３ （３上 海 １ ） 知 ＡＯ ） （， ． ０ 已 １ （， ， Ｏ一 Ｂ
ｙ
来说 ，退 ” 进 ” “ 比“ 更重要 ， 解题时 ， 先足够
分析 ：直线运动到 特殊
的退 ，退到我们最 易看清楚 问题的地方 ， 位置 ： Ｍ 与点 Ｂ 点 Ｎ与 点 ， 认透 了， 钻深 了 ， 后再上去 即可。他认 点 Ｃ 重 合 时 ， ｌｎ ｌ 从 然 ｍ＝ ，＝ ， 为， 善于 “ ， 退”足够地 “ ， 退” 是学好数学 的 而 ｍ＋ ＝ 。实际上 ， 题是 ｎ２ 本
维普资讯
喜 一
探 究
华罗庚教授说过 ： 就解题思路的发现 蚴
朱德 松
退进结合-数学教学中的航标
退进结合——数学教学中的航标华罗庚教授在数学归纳法中强调说：“要勇于退，足够地退，退到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍。
”华教授的这句话在教学中时刻启迪着我，同时也把这种以退为进的思想贯穿在教学实践中，收到了良好的效果。
具体的做法简介如下，仅供参考。
一、退进结合在新知识教学中的应用事物是普遍联系的，而联系又是数学的一大特点，任何新知识的学习都是原有知识的迁移、引申，都是在原有知识基础之上建立、发展起来的。
没有旧知识做基石，新知识的大厦是建立不起来的。
至于此，在讲任何新知识的时候，都要为新知识的学习创造良好的环境，扫除其拦路虎，即在讲授新知识时先退一步，复习好新知识所要涉及到的各个知识点，为新知识的学习铺平道路，大开绿灯。
如：在讲解无理方程的解法时，我们知道无理方程和有理方程的根本区别在于无理方程中有根号，而有理方程没有根号，所以在研究无理方程的解法时，就应考虑到运用合理的方法把根号去掉，实现知识间有效的迁移。
怎样去掉根号，必然要用到()nn a= a, 根号去掉后，剩下的就是有理方程了，如果有理方程不会解，就必然影响到无理方程的解答，综上所述()nn a=a和有理方程的解法是无理方程的解法中必然用到的两个知识点，其在解无理方程中缺一不可，若有一个知识点不会，就会影响到无理方程的解答，所以在讲解无理方程之前应该先退一步，把上述两个知识点复习好。
如果上述两个知识点没有真正掌握，就是讲也是欲速则不达，效果也不会理想。
二、退进结合在解题教学中的应用解题是应用知识解决实际问题的过程，是学生能力得到发展和基本技能得以形成的过程。
拿来一道题之后首先要对题目进行分析，寻找解题的切入点，在这过程之中往往可以应用欲进则退原则。
例如：已知对任意满足（x+ 1）2 + y2 = 1的实数x、y，如果x+y+k ≧0恒成立，求k的取值范围。
此题是道综合性较强的题目，在寻找其解题切入点时可以采取欲进则退原则。
由于是求k的取值范围，退一步想，必须转化为有关于k的函数或有关于k的不等式来解决；而已知中有x+y+k≧0恒成立，所以选择转化为不等式；又因为x+y+k≧0恒成立，即k≧-(x+y)恒成立；退一步想，k≧[-(x+y)]max 就可以了；再退一步想，就是求-(x+y)的最大值了；若设w=-(x+y)，w是关于x、y的二元函数，解法受阻，只需消元化为一元函数，结合已知可以实施三角换元；令x=cosβ-1 , y= sinβ,则 w = cosβ-1+ sinβ,通过三角函数知识可以求得w 的最大值为2-1，所以k≧2-1,这样就获得了问题解决的方法。
数学的“梯子”--数学方法选讲
数学的“梯子”--数学方法选讲同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。
看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。
第一讲从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。
【例题】1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。
条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。
谁放入了最后一枚硬币谁获胜。
问：先放的人有没有必定取胜的策略？2．线段AB上有1998个点（包括A，B两点），将点A染成红色，点B染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色。
这时，图中共有1997条互不重叠的线段。
问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？3．1000个学生坐成一圈，依次编号为1，2，3，…，1000。
现在进行1，2报数：1号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下，3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下……学生们依次交替报1或2，凡报1的学生立即离开，报2的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人。
问：这个学生的编号是几号？4．在6×6的正方形网格中，把部分小方格涂成红色。
然后任意划掉3行和3列，使得剩下的小方格中至少有1个是红色的。
那么，总共至少要涂红多少小方格？【练习】1.方程x1+x2+x3+…+x n-1+x n=x1x2x3…x n-1x n一定有一个自然数解吗？为什么？2.连续自然数1，2，3，…，8899排成一列。
从1开始，留1划掉2和3，留4划掉5和6……这么转圈划下去，最后留下的是哪个数？3.给出一个自然数n，n的约数的个数用一个记号A（n）来表示。
华罗庚的数学解题方法：退步解题法
华罗庚的数学解题方法：退步解题法我国著名的数学家华罗庚出生在一个摆杂货店的家庭，从小体弱多病，但他凭借自己一股坚强的毅力和崇高的追求，终于成为一代数学宗师。
少年时期的华罗庚就特别爱好数学，但数学成绩并不突出。
19岁那年，一篇出色的文章惊动了当时著名的数学家熊庆来。
从此在熊庆来先生的引导下，走上了研究数学的道路。
晚年为了国家经济建设，把纯粹数学推广应用到工农业生产中，为祖国建设事业奋斗终生!华罗庚先生悉心栽培年轻一代，让青年数学家茁壮成儿使他们脱颖而出，工作之余还不忘给青多年朋友写一些科普读物。
下面就是华罗庚先生曾经介绍给同学们的一个有趣的数学游戏：有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明。
他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色。
3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。
聪明的读者，想想看，他们是怎么知道帽子颜色的呢?"为了解决上面的伺题，我们先考虑"2人1顶黑帽，2顶白帽"问题。
因为，黑帽只有1顶，我戴了，对方立刻会说自己戴的是白帽。
但他踌躇了一会，可见我戴的是白帽。
这样，"3人2顶黑帽，3顶白帽"的问题也就容易解决了。
假设我戴的是黑帽子，则他们2人就变成"2人1顶黑帽，2顶白帽"问题，他们可以立刻回答出来，但他们都踌躇了一会，这就说明，我戴的是白帽子，3人经过同样的思考，于是，都推出自己戴的是白帽子。
看到这里。
同学们可能会拍手称妙吧。
后来，华罗庚先生还将原来的问题复杂化，"n个人，n-1顶黑帽子，若干(不少于n)顶白帽子"的问题怎样解决呢?运用同样的方法，便可迎刃而解。
他并告诫我们：复杂的问题要善于"退"，足够地"退"，"退"到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃。
华罗庚谈数学学习方法
华罗庚谈数学学习方法华罗庚（1910年-1982年）是中国数学家、教育家，被称为中国的数学奇才。
他在数学研究和教育方面做出了巨大贡献，并对数学学习方法提出了宝贵的经验。
他认为数学学习应注重培养兴趣、理解概念、勤于实践和创新思维。
下面我将从这四个方面详细阐述华罗庚的数学学习方法。
首先，华罗庚认为数学学习的第一步是培养兴趣。
他指出，数学是一门需要思考和探索的学科，而兴趣是促使人们投入思考和探索的动力。
他鼓励学生在学习数学时要发现其中的美丽和乐趣，而不仅仅是为了应付考试。
他提倡在学习过程中保持好奇心和求知欲，发展对数学问题的兴趣和热情，从而激发学生的学习动力。
其次，华罗庚认为数学学习要注重理解概念。
对于华罗庚来说，数学不仅仅是一系列的公式和定理，更是一种思维方式和世界观。
他强调学生要通过思考和实践来理解数学概念的内涵和外延。
他主张数学学习应该贴近实际生活，通过具体的例子和问题来引导学生理解抽象的数学概念。
他倡导理解型学习，即通过深入思考和解决实际问题来掌握数学知识，而不仅仅是机械地记忆公式和定理。
第三，华罗庚强调数学学习要勤于实践。
他认为数学是实践性很强的学科，只有通过大量的实践和练习才能真正掌握数学。
他鼓励学生进行大量的数学实验和推导，通过实践来发现数学规律和解决问题。
他说：“数学学习涉及到探究性认知和创造性思维，只有在实践中才能真正掌握数学的本质。
”因此，他主张学生要多做习题、解决实际问题，并且要注重分析和总结经验，从中得到更深刻的理解和启发。
最后，华罗庚强调数学学习要培养创新思维。
他认为数学是一门富有创造性的学科，数学家需要具备创新和发现的能力。
他鼓励学生在学习过程中培养独立思考和自主解决问题的能力，不断创新并提出新的观点和方法。
他指出：“数学学习应该培养学生的创新思维和解决问题的能力，而不仅仅是死记硬背和应试。
”他认为创新思维的培养是数学学习的重要目标之一，也是培养学生终身学习能力的重要途径。
华罗庚著名公式
华罗庚著名公式华罗庚是我国著名的数学家，他在数学领域做出了许多杰出的贡献，其中一些公式更是具有深远的影响。
咱先来说说华罗庚的统筹方法。
就拿咱日常生活来说吧，比如说你早上起来，既要洗漱，又要做早餐，还得整理书包准备上学。
如果没个合理安排，那可能就手忙脚乱，耽误不少时间。
但要是按照华罗庚的统筹方法，先把水烧上，趁着烧水的功夫去洗漱，水开了煮上鸡蛋或者热个牛奶，然后整理书包。
这样一系列动作下来，就能节省不少时间，还能有条不紊地完成所有事情。
这其实就是华罗庚统筹方法在生活中的一个小小应用。
还有华罗庚的优选法，这在生产和科研中那可太有用啦！记得有一次，我们学校组织科学实验活动。
老师让我们尝试找出最适合植物生长的光照时间。
一开始大家都没个头绪，就是瞎试。
后来有个同学突然想到了华罗庚的优选法，我们就把实验范围划分成几个区间，然后通过对比试验，逐步缩小范围，很快就找到了相对最佳的光照时间。
要是没有这优选法，估计我们还得在那瞎折腾好久呢。
华罗庚有一个著名的公式叫“华氏定理”。
这定理虽然听起来挺高深莫测的，但其实和我们的学习也能挂上钩。
比如说做数学题，有时候一道难题摆在面前，感觉毫无头绪。
但如果我们能像华氏定理所启示的那样，从不同的角度去思考，尝试不同的方法，说不定就能找到解题的突破口。
就像上次我做一道几何题，怎么都做不出来，后来我试着换了个辅助线的做法，嘿，一下子就豁然开朗了。
说到这，我想起之前参加数学竞赛培训的时候，老师给我们讲华罗庚的故事，鼓励我们要像他一样，勇于探索，不怕困难。
那时候，每天都有做不完的练习题，有时候真的觉得特别累，想要放弃。
但一想到华罗庚在那么艰苦的条件下还能坚持研究数学，取得那么大的成就，我就又有了动力。
华罗庚的公式和方法不仅仅是数学上的成就，更是一种思维方式，一种解决问题的智慧。
在我们的学习和生活中，只要我们善于运用，就能让很多事情变得更加高效、更加顺利。
在未来的日子里，无论是面对学习中的难题，还是生活中的各种挑战，我们都可以试着运用华罗庚的智慧，说不定就能柳暗花明又一村，找到解决问题的最佳途径呢！让我们一起努力，像华罗庚先生那样，用智慧和坚持去创造属于自己的精彩！。
第15讲 “退”到基本处想
第15讲 “退”到基本处想【培训提示】1.学习把原题“退”到基本处，从中找到解题规律的策略。
2.运用“退”的解题策略分析、解答实际问题。
有些数学问题，看上去非常繁杂，或是数据庞大，让人眼花缭乱；或步骤太多，让人找不着边际；或是数量间关系隐蔽，让人无从下手......怎样分析、解答这类繁难的问题呢？我们常常采用“退”的策略，“退”到最基本处，从中寻找解题的规律。
这里所说的“退”，就是一种把原来的题目“简缩”成为一个很简单但又不失其本质，且基本形式不变的问题，是数据大大减少，步骤缩减到原始的几步，也就较为容易地发现规律、解决原题的策略。
【培训示例】例1 9...999（2004个9）×9...999（2004个9）乘积里的奇数字总共有多少个？（“0”为偶数）例2 在一张纸上画100条直线，这下直线最多能把这张纸分成多少小块？例3 把2003枚硬币全部正面朝上地摊放在桌面上（表示币值得面朝上），每次翻动其中的2002枚，问翻动多少次后，才恰好使这些硬币的正面全部向下呢？例4 甲、乙两个容器里各装有2002克水。
先将甲容器里水的21倒入乙容器；再将乙容器里水的31倒入甲容器；然后又将甲容器里水的41倒入乙容器；接着又将乙容器里水的51倒入甲容器......如此不断地倒来倒去，当倒完2000次后，甲容器里有多少克水？当倒完2001次后，甲容器里有多少克水？例5 把21、51、52、53、54、101、103、107和109这九个数分别填入左边的“九宫格”内，使它们的横行、竖列及对角线上的三个分数的和都相等。
应该怎么填？例6 有2004个不同的自然数，他们当中任意两个数的和都是2的倍数；任意三个数的和都是3的倍数。
为了使这2004个数的和尽可能小，那么这2004个数中最大的一个数是多少？例7 有黑、白两种颜色、大小一样的正方形纸片，两种纸片的张数也相同。
如果先用白色纸片拼成中间没有缝隙的长方形，然后再用黑色纸片围绕着白色长方形继续拼成大的长方形，再接着用白色纸片围绕着黑中套白的的大长方形继续拼成更大长方形......照这样重复拼下去，当黑色纸片拼过五次后，黑色和白色纸片正好全部用完。
数学思想正难则反
反证法应用之故事1 路边苦李
古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一 天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的 果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑 去摘，只有王戎站着没动。他说：“李子是 苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝，李子果然 苦的没法吃。
反证法应用之故事2——堂吉诃德悖论改编版
一个旅行家来到一个小岛上，被当地的食人族 抓住了，族长对旅行家说：现在给你说一句话的 机会，若是说的真话，就把你绞死，若是说的假 话，就把你烧死。聪明的旅行家应该怎么说呢？ 聪明的旅行家说的是：“把我烧死吧”，结果活了 下来，你能解释其中原理吗？
欧提勒士不愧为普罗泰格拉的高徒，他以其人之道还治其人之身， 提出了相反的答辩：
如果我打赢这场官司，依法庭判决，我不应付清普氏另一半学费； 如果我输了这场官司，依双方合约，我也不应付清普氏另一半学费。 我这次官司或者打赢，或者打输。 ----------------------------------------------------我都不应付清另一半学费。
数学思想之：
正难则反——反证法
反证法是数学家最精当的武器之一 ——牛顿 禁止数学家使用反证法，就像禁止拳击家 使用拳头 ——希尔伯特 反证法是数学家最有力的一件武器，比起象 棋开局时以牺牲一子以取得优势的让棋法， 他还要高明，象棋对弈者不外是牺牲一棋一 子，数学家索性把全局拱手让给对方。 — — 哈代
你能解释其中缘由吗？
中世纪宗教神学盛行，一些无神论者为了驳斥 “上帝是万能”的论点时，曾巧妙地向神学家提出一 个问题：“上帝能不能创造一块连他自己都举不起的 石头？”
佛教主张不杀生的一个论调:杀猪变猪,杀牛变牛等等. 对于荤菜爱好者应该怎么反驳呢？ 用归谬法来反驳一下:看来我们只好杀人了.
奥 数 解 题 策 略新
奥数解题策略1、尝试试验（最常用但不要多用，应尽量用最好的方法。
）华罗庚爷爷十分欣赏这种试验的方法，他曾经赞不绝口地说：“这方法虽然拙笨些，但这是一个步步能行的方法。
”“不要以为方法笨不可取，有了方法之后，方法是死的，人是活的。
运用之妙，存乎其人。
”2、反过来想即正难则反许多同学都知道司马光破缸救小伙伴的故事吧。
司马光在十分危急的情况下，不但没有惊慌失措，反而想出了一个非常聪明的办法把落在水缸里的小伙伴救出来了。
真叫人佩服！司马光聪明在哪里呢？在于他不受习惯思维的束缚，敢于反过来想问题。
一般人的习惯想法是：人落水了，要救落水的人，就要使人离开水，把人从水缸里拉出来。
可是司马光等孩子人小力气小，水缸又深，让落水的小伙伴离开水一时是办不到的。
于是，司马光就反过来想：为什么不可以让水离开人呢？让水离开人与让人离开水，对于救落水的小孩来说，效果是一样的。
因此，司马光用石头把水缸砸破了，落水的小孩也就得救了。
可见，当你按习惯思路解决问题困难时，不妨也反过来想想。
反过来想，是我们解数学题的一种很好的方法。
正难则反：有些数学问题如果你从条件正面出发考虑有困难，那么你可以改变思考的方向，从结果或问题的反面出发来考虑问题，使问题得到解决。
3、画示意图（要做好数学化或列表或画图或写出数量关系式）在数学中，“数”与“形”就像一对形影不离的亲兄弟。
几乎所有的数量关系或数学规律都可以用生动形象的示意图来反映。
直观画图法：解奥数题时，如果能合理的、科学的、巧妙的借助点、线、面、图、表将奥数问题直观形象的展示出来，将抽象的数量关系形象化，可使同学们容易搞清数量关系，沟通“已知”与“未知”的联系，抓住问题的本质，迅速解题。
4、等量代换（等量替换）小朋友们一定都知道曹冲（曹操的小儿子）称大象的故事吧。
曹冲用一条船，让大象先上船，看船被河水水面淹没到什么位置，然后刻上记号。
把大象赶上岸，再把这条船装上石块，当船被水面淹没到记号的位置时，就可以判断：船上的石块共有多重，大象就有多重。
数学小故事
数学小故事1让命题专家低头认错的题一个正四棱锥和一个正三棱锥的侧面形状全等，当把这两个几何体以侧面为基准粘合在一起后，还露出几个面？一道标准答案是7的全美题被17岁的高中生推翻,并证明应该是5-正三棱锥，凡与任意两条不相邻的棱平行的截面均为矩形；正四棱锥，凡与其底面平行的截面均为正方形。
通过棱的中点分别取两个这样的截面,当两个棱锥重合一个侧面后，在重叠面上的两条边也恰好重合，而另两条边都在原正四棱锥的底的平行平面内，夹角为180°，故a、b边所在同侧的两侧面是共面的。
同理另两个同侧侧面也共面。
故消失了2＋（4－2）＝4个暴露面，只剩下9－4＝5个暴露面。
2Fanfare"三维的空心球名为"Fanfare"三维的空心球体结构上面均匀分布了350个银色风车,5层楼高直径为20米,重达19吨. (悉尼)3爱迪生巧算灯泡容积1878年的一天，发明灯泡的爱迪生（1847—1931年）让助手帮他算一下灯泡的容积。
一个多小时过去了，爱迪生完成了手头的试验，走到助手阿普顿身旁低头一看：嗬，几大张草稿上密密麻麻地写满了数字、符号和一道道算式，但却没有结果爱迪生便自己拿起那只梨子形玻璃灯泡，略一思考。
便端过盛水的杯子，往灯泡里注满水，说：“你看，把这灯泡里的水倒进量杯里，再量出水的体积，不就是这个灯泡的容积了吗？”阿普顿恍然大悟。
爱迪生用了不到一分种就解决了阿普顿花了一两个小时还没有解答出来问题！4还剩几个角这个问题也许是“老生常谈”了：一个正方形的木板，锯下一个角，还剩几个角？当然答还剩三个角不对；还剩五个角对吗？其实也不对请你再考虑：一个长方体木块锯去一个“角”后还剩几个“角”？（答案有四种）5代数与几何法国数学家拉格朗日（Lagrange J.L.,1736.1.25~1813.4.10）曾经说过："只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。
“退步思考”法在数学解题中的应用
图12018年5月退步思考”法在数学解题中的应用⑩江苏省苏州工业园区娄葑学校彭聪聪引例是否存在平方和等于1600的两个自然数？的 数别"，#，*2+#2%1600.想到从数的方和12+22%5,22+32%13,32+42%25 等.1600这数有，想把成 数的方和不是一的.把1600成5或13或25等这的数，那就好办了.对于任意数"，#总有，#%"+#&^&#.若设^&#%(，贝!]"%'+(，#%'-(，我们把这种2 2 2变换称为二兀代换.若将"％'+(，#%'-(代人"2+y2% 1600，得 ('+() 2+(u -v ) 2= 1600.整理得'2+(2=800.我们现 是方和形常数 一半，这是的我们法.设 u ='i +vi，v=u「（i，代入 u 2+v2=800，得'12+(12=400.设'1='2+(2，V 1='2-(2，代人'12+(12=400，得'22+(22=200. 1^'2='3+( 3，V 2%'3-V 3，K y *V'22+V22=200，m '32+V 32% 100.设'3%'4+(4，（3='4&(4，代入'32+(32% 100，得'42+(42=50. i^U4='5+V5，V4='5_V5，K y *VU42+V42=50，|I |U52+V52=25.这我们u52+V52=25的非由此往前步步回代，依次求出U 4、V 4，'3、V 3，U 2、V 2，U i 、 v 1，u 、v ，从而得出原方程的自然数解为!%24，!%32,^#1=32, [#i =24.上面在求"2+/%1600的 数解的过程中，通过二这个数学段，原方程的常数项，使原方程变越来越，变一眼就看出的自数解，这实际是一种退思考问题的方法.函数”有机结合在一起的综合性题目.解答的过程中体 现了数形结合、方程与函数等重要的数学思想.这就要求我们在教学时不要孤立知识，要把知识放 在与其他知识相关的结构中进行，特别是数学复习时， —定要通过知识的梳理来优化学生的知识结构，只有这-道较难的数学题，我们应该怎么办？我国著名数学家华罗庚告诫我们:一的办法是“退”，从 -般退特殊，从复杂退，退、的题上.我们这思考数学题的方法叫做“退步思 考”法.华罗庚的“帽子题”是就是一道利用“退步思考 法”解决数学题的典范.正我们在跳远的时候，了 跳更远，我们在跳远时要从沙坑边后退一段，后 再起跳.表面上看往后退离目标更远了，这样正是为 了跳更远，是“以退进G.下面我们通过实例说明“退 步思考”法在数学解题中的应用.一、从图形一般位置退到特殊位置多几何问题给出的图形都具有一般性，蕴含在其中的数量关系和位置关系并明显.我们 先退一，用一几何变 段，使某基本图形达某一特殊位置，以便寻求其中的数量关系和位置关系，并获启，进而找解决题的思路和方法.例1图1，与",-_为等边三角形，0为*+、-.的中点，的值 .(A )#y :1(B )$r :1(C )5:3 (D )不确定本题的常规解法是从“0为*+、-.的中”这件入手.连接）0、，0，图2.B B样的知识结构才具有迁移性和创新性.同时要向学生渗 透常见的数学思想与方法.培养学生勤于思考、善于思 考的习，遇到综合性的题时 思考、、科学、准确解答，从而取的成绩，不和学生的综合.1!94 十-?农，？初中2018年5月%&AABC与ADEF均为等边三角形，0为BC、EF 的中点，所以A0 丄BC.D0 丄％F,0B(丄BC(丄AB,0%(2 2丄％&=丄D%.2 2在R t A B A0中，由勾股定理，得A0(#A B2-0B2( #AB2*(~2AB%2( #2^AB.在RtA%D0中，由勾股定理，得D0(#DE2-0E2( #D%2-(士D%%2=寻D E.进一步可以推出A A0D&A B0E所以^V T.0B B E答案选*这种解法显然比较麻烦.不妨取B C丄E F的情形.因为A D E F为等边三角形，0为E F O中点，所以D0丄E F所以点D必然在B C上.再取点D'C重合，如图3.在R t A B0E中，'B0E(90。
华罗庚的退步解题法
我国著名数学家华罗庚先生非常注意栽培年轻一代．让青年数学家快速成长。
使他们脱颖而出．工作之余还不忘给青年朋友写一些科普读物(华罗庚先生曾为本刊创刊号写过《熟能生巧勤能补拙》一文——编者注)．下面就是华罗庚曾经介绍给中学生的一个有趣的数学游戏．有位老师．想看看他的3个学生中谁最聪明．他采用了下面的方法：事先准备好3顶白帽子。
2顶黑帽子．让他们看到．然后．让他们闭上眼睛．分别给他们戴上一顶帽子，藏起剩下的2顶帽子．最后．让他们睁开眼．看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色．他们自己看不到自己所戴的帽子．3个学生互相看了看，都思考了一会儿，异口同声地说出自己戴的是白帽子．想想看．他们是怎么知道帽子颜色的呢?我们先考虑“2人l顶黑帽．2顶白帽”的情况．因为．黑帽只有l顶，“我”戴了。
对方立刻会说自己戴的是白帽．但他思考了一会儿．可见“我”戴的是白帽．这样。
“3人2顶黑帽。
3顶白帽”的问题也就容易解决了．假设“我”戴的是黑帽子，则其余2人的情况就变成与“2人1顶黑帽。
2顶白帽”一样的情况，他们可以立刻回答出来．但他们都思考了一会儿。
这就说明，“我”戴的是白帽子．3人都有类似的想法，所以，都推出自己戴的是白帽子．7看到这里．同学们可能会拍手称妙吧．后来．华罗庚先生还将原来的问题复杂化，提出了'“n个人，(n一1)顶黑帽子，若干(不少于n)顶白帽子”的问题．运用上面介绍的方法便可迎刃而解．他还告诉我们：复杂的问题要善于“退”。
足够地“退”到最原始而不失去重要性的地方，是解决数学问题的一个诀窍．1Yl 恒啄教潮47■八年级夔堂．：配合华哽太熬堑匝圆。
中考数学复习重点解析：退步解答
中考数学复习重点解析：退步解答
中考得分有捷径：分段评分，也叫踩点得分，即在一道题中，答对了多少必要的点，就会得到相应的分数。
换句话说，考生们要做到会做的题不失分，有难度的题力求多得分。
一直以来，包括很多数学学霸也会犯的错误是会而不对，对而不全，这个老大难问题其实只要多加留心就能避免，并不是什么学习上拦路老虎。
有些题同学们并不是不会，或者说是不全会，容易出错情况主要是因为逻辑缺陷、概念错误等原因而与这些分数擦肩而过。
因此，考生做题的时候要注意表达准确、考虑周全、书写规范，以免会做的题目被扣分。
而研究表明，对于大部分考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难。
其次，对于绝大多数的考生来说，更加重要的还是想办法从不太会做的题目中捞点分。
那么，怎样才能尽量地捞多点分呢?以下就有四种方法可供选择。
二)退步解答
以退求进是一个重要的解题策略。
如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。
总之，退到一个你能够解决的问题。
为了不产生以偏概全的误解，应开门见山写上本题分几种情况。
这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供
有意义的启发。
数学建模知识及常用方法
数学建模知识——之新手上路一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。
不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。
”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。
例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。
今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。
特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。
因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。
二、建立数学模型的方法和步骤1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。
如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。
这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。
不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。
华罗庚的计算公式
华罗庚的计算公式华罗庚是我国著名的数学家，他在数学领域做出了卓越的贡献，留下了许多宝贵的计算公式和数学思想。
咱先来说说华罗庚先生的“统筹方法”。
这可真是个神奇的东西，就比如说，早上起床后，咱得洗漱、做早饭、整理书包。
如果没有规划，可能会这儿忙一下，那儿忙一下，浪费不少时间。
但要是用了统筹方法，咱可以在煮早饭的同时洗漱，这样就能大大节省时间啦！记得我读中学的时候，有一次学校组织活动，要准备好多东西。
老师就运用了华罗庚的统筹方法来安排工作。
我们分成了几个小组，一组负责准备道具，一组负责布置场地，还有一组负责组织人员。
老师巧妙地安排了每个小组的工作顺序和时间节点，让整个准备过程有条不紊。
比如，负责布置场地的同学在等待道具送达的时候，就先去打扫卫生、摆放桌椅；负责组织人员的同学在人员还没到齐的时候，就先去熟悉活动流程。
最后，我们高效地完成了准备工作，活动也举办得非常成功。
再来说说华罗庚的优选法。
优选法简单来说，就是帮我们在众多选择中快速找到最优解。
比如说，要做一道菜，需要放盐，放多少合适呢？总不能一点一点试吧。
这时候优选法就能派上用场，通过几次试验，就能找到最合适的放盐量。
我之前在做一个手工的时候，就用到了优选法。
我要给一个小盒子涂颜色，有好几种颜色可以选择。
我先大概挑了几种自己觉得不错的颜色，然后根据颜色的搭配效果，逐步筛选，最后选出了最满意的颜色组合。
华罗庚先生的这些计算公式和方法，不仅在数学领域有着重要的地位，在我们的日常生活中也能发挥大作用呢！在学习数学的过程中，我们常常会觉得那些公式和定理很枯燥，很难理解。
但当我们真正把它们运用到生活中，就会发现数学的魅力所在。
就像华罗庚先生的计算公式，它们不是冷冰冰的数字和符号，而是能帮助我们解决实际问题，让生活变得更美好的工具。
比如说，我们在购物的时候，如果遇到打折活动，要算怎么买最划算，这时候就需要用到数学知识。
还有安排旅行行程，怎么能在有限的时间里去更多的景点，也是需要好好规划的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
华罗庚的数学解题方法：退步解题法
我国著名的数学家华罗庚出生在一个摆杂货店的家庭，从小体弱多病，但他凭借自己一股坚强的毅力和崇高的追求，终于成为一代
数学宗师。
少年时期的华罗庚就特别爱好数学，但数学成绩并不突出。
19
岁那年，一篇出色的文章惊动了当时著名的数学家熊庆来。
从此在
熊庆来先生的引导下，走上了研究数学的道路。
晚年为了国家经济
建设，把纯粹数学推广应用到工农业生产中，为祖国建设事业奋斗
终生!
华罗庚先生悉心栽培年轻一代，让青年数学家茁壮成儿使他们脱颖而出，工作之余还不忘给青多年朋友写一些科普读物。
下面就是
华罗庚先生曾经介绍给同学们的一个有趣的数学游戏：有位老师，
想辨别他的3个学生谁更聪明。
他采用如下的方法：事先准备好3
顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分
别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着
别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色。
3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴
的是白帽子。
聪明的读者，想想看，他们是怎么知道帽子颜色的呢?"为了解决上面的伺题，我们先考虑"2人1顶黑帽，2顶白帽"问题。
因为，黑
帽只有1顶，我戴了，对方立刻会说自己戴的是白帽。
但他踌躇了
一会，可见我戴的是白帽。
这样，"3人2顶黑帽，3顶白帽"的问题也就容易解决了。
假设
我戴的是黑帽子，则他们2人就变成"2人1顶黑帽，2顶白帽"问题，他们可以立刻回答出来，但他们都踌躇了一会，这就说明，我戴的
是白帽子，3人经过同样的思考，于是，都推出自己戴的是白帽子。
看到这里。
同学们可能会拍手称妙吧。
后来，华罗庚先生还将原来的问题复杂化，"n个人，n-1顶黑帽子，若干(不少于n)顶白帽子"的问题怎样解决呢?运用同样的方法，便可迎刃而解。
他并告诫我们：复杂的问题要善于"退"，足够地"退"，"退"到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃。