微观组织模拟的几种方法(Monte_Carlo)
蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟法
当科学家们使用计算机来试图预测复杂的趋势和事件时, 他们通常应用一类需要长串的随机数的复杂计算。
设计这种用来预测复杂趋势和事件的数字模型越来越依赖于一种称为蒙特卡罗模似的统计手段, 而这种模拟进一步又要取决于可靠的无穷尽的随机数目来源。
蒙特卡罗模拟因摩纳哥著名的赌场而得名。
它能够帮助人们从数学上表述物理、化学、工程、经济学以及环境动力学中一些非常复杂的相互作用。
数学家们称这种表述为“模式”, 而当一种模式足够精确时, 他能产生与实际操作中对同一条件相同的反应。
但蒙特卡罗模拟有一个危险的缺陷: 如果必须输入一个模式中的随机数并不像设想的那样是随机数, 而却构成一些微妙的非随机模式, 那么整个的模拟(及其预测结果)都可能是错的。
最近, 由美国佐治亚大学的费伦博格博士作出的一分报告证明了最普遍用以产生随机数串的计算机程序中有5个在用于一个简单的模拟磁性晶体中原子行为的数学模型时出现错误。
科学家们发现, 出现这些错误的根源在于这5个程序产生的数串其实并不随机, 它们实际上隐藏了一些相互关系和样式, 这一点只是在这种微小的非随机性歪曲了晶体模型的已知特性时才表露出来。
贝尔实验室的里德博士告诫人们记住伟大的诺伊曼的忠告:“任何人如果相信计算机能够产生出真正的随机的数序组都是疯子。
”蒙特卡罗方法（MC）蒙特卡罗（Monte Carlo）方法：蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。
传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
这也是我们采用该方法的原因。
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。
Monte_Carlo方法必备知识
Grain Boundary Dynamics as a Tool for Microstructure Control
Plastic Deformation & Heat Treatment
Motion Motion of of Grain GrainBoundaries Boundaries
different
Recrystallization & Grain Growth Structure
Thermodynamics
Kinetics
Mikrostructure
Control & Analysis
Grain Boundary Dynamics
Material Properties 材料设计优化与生物医用材料研究室
•
•
材料设计优化与生物医用材料研究室
• 研究晶粒长大的目的之一是控制晶粒尺寸。晶粒尺寸既反 映金属材料的微观组织特征，又直接影响材料的性能。例 如低碳钢中晶粒尺寸与材料的机械性能、脆性转变温度有 直接关系。 1.细化晶粒
结构钢： 改善韧性同时提高强度 变形铝合金：提高强度，改善产品表面粗糙度和提高变形能力 超塑性合金：提高其常温强度而降低其高温强度，实现超塑性的关键
材料设计优化与生物医用材料研究室
NN考虑单元的6个最近邻格点与12个次近邻格点以及8个第三近邻的格点。
材料设计优化与生物医用材料研究室
界面能由描述原子相互作用的哈密尔顿算子来定义。下式中J>0可以理解 为相邻原子间的相互作用能。对于任意格点 i，其界面能Ei为：
Ei J (1 Si S j ), Si S j
•
晶粒长大：无应变多晶体材料在退火过程中系统平均晶粒尺寸逐渐增 大的现象。晶粒长大可以是初次再结晶的后继过程，即发生于形变试 样初次再结晶完成以后的继续退火过程中，也可以发生在无原始形变 试样的退火处理过程中。晶粒长大可以分为正常晶粒长大和异常晶粒 长大。 正常晶粒长大的特点是长大速度比较均匀，在长大过程中晶粒的尺寸 分布和形状分布几乎不变。异常晶粒长大是组织中少数晶粒吞并基体 中其他较小的晶粒而长大。 某种意义上讲，晶粒长大研究是一个金属学理论问题，但就这一研究 的起源和最终服务目的而言，晶粒长大研究是与材料性能密切相关 的。随着人们对材料的组织、结构与性能之间相互关系认识的深入， 越来越显出晶粒长大研究对控制和改善材料性能的重要性。
蒙特卡罗方法 (Monte Carlo simulation)
[0, )
• The random vector is uniformly distributed on the region [0,d)×[0,). Accordingly, it has probability density function 1/d. • The probability that the needle will cross one of the lines is given by the integral
2014-8-27
Monte Carlo模拟
18
4.Monte Carlo算法的主要组成部分
Monte Carlo算法的主要组成部分 概率密度函数(pdf) 必须给出描述一个物理系统的一组概率密度函数;
随机数产生器 能够产生在区间[0,1]上均匀分布的随机数 抽样规则 如何从在区间[0,1]上均匀分布的随机数出发,随机抽 取服从给定的pdf的随机变量;
p
2014-8-27
0
l sin
0
1 d
2l dAd d
Monte Carlo模拟 8
2.Monte Carlo方法简史 Enrico Fermi
• 1930年,利用Monte Carlo方法研究中子的扩散 • 并设计了一个Monte Carlo机械装置，Fermiac,用于计算核 反应堆的临界状态
2014-8-27
Monte Carlo模拟
12
Monte Carlo模拟
第一章 引言 （Introduction)
1. 2. 3. 4. Monte Monte Monte Monte Carlo方法 Carlo方法简史 Carlo模拟的应用 Carlo算法的主要组成部分
蒙特拉罗方法
用该方法计算π的基本思路是： 1 根据圆面积的公式： s=πR^2 ,当R=1时， S=π。 由于圆的方程是：x^2+y^2=1(x^2为x的平方 的意思),因此1/4圆面积为x轴、y轴和上述方 程所包围的部分。 如果在1*1的正方形中均匀地落入随机点，则 落入1/4圆中的点的概率就是1/4圆的面积。其 4倍，就是圆面积。 由于半径为1，该面积的值为π的值。
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法 蒙特卡罗 方法
蒙特卡洛法是什么？ 蒙特卡洛法是什么？
• 蒙特卡洛 蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或称计算机随机 方法， 方法 模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。 模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。 这一方法源于美国在第二次世界大战中研制原 子弹的“曼哈顿计划” 该计划的主持人之一、 子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、 数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城 诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的 数学家冯 诺伊曼用驰名世界的赌城 摩纳哥的 Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了 来命名这种方法， 来命名这种方法 一层神秘色彩。 一层神秘色彩。
m G内，则随机点落入G内的概率 I ≈ n
一道积分题
• 一道证明积分不等式的题：
π
1 1 −(x2 +y2 ) 23 (1− ) < ∫ e dxdy < 4 e 0 30
• 中间的积分值可以用蒙特卡洛法求得 • 因为它是一个二重积分，其几何直观为一 个立体的体积，很巧的是它可以完全包含 于一个棱长为1的正方体中，我们在其中产 生随机点，其中落于所求体积的点数与正 方体中产生的点数之比即为所求的积分值。
1
需要计算的积分为I = ∫ f ( x)dxΒιβλιοθήκη ,积分I等于图中的面积G。0
Monte-Carlo模拟
曼哈顿计划 Buffon投针实验 大数定律
基本思想：当所求问题是某种随机事件出现的 概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过 某种“试验”的方法，以这种事件出现的频率 估计该随机事件的概率，或者得到这个随机变 量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
3) 建立各种估计量：一般说来，构造了 概率模型并能从中抽样（即实现模拟实 验）后，我们就要确定一个随机变量， 作为所求的问题的解。即针对模拟实验 的结果考察其统计特性（样本均值、方 差、置信区间等），建立各种估计量， 从中得到问题的解。
明确问题，建立模型收集和整理数据资料 编制程序，模拟运行分析模拟输出结果
逆变换法的具体步骤：
•确定随机变量X的概率分布函数F(x)；
例：指数分布的Biblioteka 布函数为：1 e x , x 0, F ( x) x 0. 0,
F ( x) 1 e , x 0
解得
可取
1 x ln(1 ), 1 x ln .
模拟的优点：简单、快速、适应性强
能相对容易地近似很复杂的随机系统，问题 的几何形状的复杂性对其影响不大；
可以在广泛的条件下估计候选方案的性能； 建模者可以在不同层次的水平上进行控制；
模拟的缺点： 建立和运行模拟模型可能相当昂贵； 模拟模型的随机性使得结论受到限制
2、随机数和随机变量的生成 2.1 均匀分布随机数的生成
n=input('输入模拟次数：'); count=0; for i=1:n, rt1=rand; %模拟随机变量t1（火车从A站出发的时刻） if rt1<0.7 T1=0; elseif rt1>=0.7 & rt1<0.9 T1=5; else T1=10; end T2=30+randn*2; %模拟随机变量t2（火车的运行时间） %模拟随机变量t3（他到达B站的时刻） rt3=rand; if rt3<0.3 T3=28; elseif rt3>=0.3 & rt3<0.7 T3=30; elseif rt3>=0.7 & rt3<0.9 T3=32; else T3=34; end if T3 < T1 + T2, count=count+1; end end%for prob=count/n
蒙特卡洛模拟 算法
蒙特卡洛模拟算法
1.确定模拟对象：首先要明确需要模拟的对象或系统。
比如，如果要
计算圆周率，可以考虑在一个单位正方形内随机生成大量的点，然后计算
落入单位圆内的点的比例。
2.随机抽样：根据需要模拟的对象特性，使用随机数生成器生成大量
的样本点。
这些样本点要符合特定的概率分布，以保证模拟的结果是准确的。
3.计算模拟结果：根据模拟对象的特性和目标，使用随机抽样得到的
样本点进行计算。
比如，对于计算圆周率的问题，可以计算出落入单位圆
内的点的比例，并根据面积比例得到近似的圆周率值。
4.重复模拟：由于蒙特卡洛模拟算法是基于随机抽样的，所以需要进
行多次模拟以减少误差。
通过重复上述步骤多次，并取多次模拟结果的平
均值，可以得到更准确的估计。
另外，蒙特卡洛模拟算法还可以通过优化技巧来提高计算效率。
例如，可以使用重要性抽样来增加重要样本点的比例，或者使用方差减少技术来
降低误差。
总结起来，蒙特卡洛模拟算法是一种基于随机抽样的数值计算方法，
适用于解决无法精确求解的问题。
它的基本思想是通过大量的随机抽样来
近似计算问题的解，并且可以通过重复模拟和优化技巧来提高计算的准确
性和效率。
该算法在实际应用中广泛使用，可以解决各种复杂的问题。
微观流体力学中的数值模拟技术
微观流体力学中的数值模拟技术微观流体力学是研究微米尺度下流体运动行为的一个分支学科。
在这个领域，微观粒子的运动和作用起着至关重要的作用。
但是，由于经验和理论模型的限制，微观粒子的解析解通常难以获得。
这时，数值模拟技术便成为了一种解决微观流体力学问题的有效手段。
本文将介绍微观流体力学中的数值模拟技术及其应用。
第一部分：微观流体力学中的数值模拟方法微观流体力学中的数值模拟方法通常分为分子动力学和蒙特卡罗方法两类。
下面将逐一介绍。
1.分子动力学方法分子动力学（Molecular Dynamics，MD）方法是将流体视为大量分子集合，并以牛顿运动方程为基础，通过计算每个分子的运动轨迹得出整个流体的运动状态。
常见的MD算法包括Verlet算法、Leapfrog算法、Velocity-Verlet算法等。
分子动力学方法的优点是可以考虑分子间的相互作用，能够获得各个方向的流体速度分布和物理量的统计分布，但是对于大规模系统计算量较大，难以处理相变等多相系统。
2.蒙特卡罗方法蒙特卡罗（Monte Carlo，MC）方法是基于概率统计原理的一种数值计算方法，可获得宏观物理量的统计分布。
常用的MC算法有Metropolis算法、Kawasaki动力学算法等。
蒙特卡罗方法的优点是能够处理相变和相界面情况，适合处理多相系统，且计算量相对MD方法较小。
但是这种方法难以处理如空气动力学等宏观问题。
第二部分：微观流体力学数值模拟方法的应用微观流体力学数值模拟方法的应用十分广泛，下面将以三个案例进行介绍。
1.纳米流体管道的模拟纳米流体管道在微流控和纳流体力学研究中具有重要意义。
使用分子动力学方法对管道中的交付和转移过程进行探究，对了解纳米流体环境下的分子传输，以及微型流动和传质机理有重要意义。
在这种情况下，分子动力学中的非平衡分子动力学方法得到了广泛应用。
2.多组分流体的模拟在工程实际应用中，多组分流体在润滑油、生物学和食品加工等各领域中都有着广泛的应用。
monto carlo仿真方法
monto carlo仿真方法蒙特卡洛仿真方法简介蒙特卡洛仿真方法是一种基于随机数生成的统计模拟方法，用于解决复杂问题和评估不确定性。
它通过大量的随机抽样和模拟运算来近似计算数学问题的解决方案。
原理蒙特卡洛仿真方法基于概率统计理论和计算机模拟技术。
其主要思想是通过对模型中的随机变量进行抽样和模拟，计算大量的样本数据，从而得到目标问题的近似解。
步骤1.建立模型：首先需要将目标问题抽象成一个数学模型，明确问题的目标、约束和变量。
2.设定随机变量：为模型中的不确定变量设定随机分布，并生成大量的随机数。
3.进行抽样：根据设定的随机分布，抽取一定数量的随机数，并代入模型进行计算。
4.模拟运算：根据模型的计算规则，对每个随机数进行运算，得到相应的结果。
5.统计与分析：对得到的结果进行统计分析，得出问题的近似解、概率分布、置信区间等。
6.反馈与优化：根据分析结果，对模型进行优化和调整，进一步提高计算的准确性和效率。
应用领域蒙特卡洛仿真方法在各个领域都有广泛应用，包括但不限于： - 金融领域：用于风险评估、衍生品估值、投资组合优化等。
- 工程领域：用于可靠性分析、结构优化、系统建模等。
- 生物医学领域：用于药物研发、流行病传播模拟、生物统计等。
- 物理学领域：用于高能物理实验模拟、粒子轨迹模拟等。
优点与限制蒙特卡洛仿真方法具有如下优点： - 适用范围广，可以解决各种类型的问题； - 能够处理复杂和高维的问题； - 可以提供概率分布和置信区间等统计信息。
然而，蒙特卡洛仿真方法也有一些限制： - 需要大量的计算资源和时间； - 对模型中的不确定性敏感，需要合理设定概率分布； - 结果的准确性受到样本数量的限制。
总结蒙特卡洛仿真方法是一种基于随机数生成的统计模拟方法，可以解决复杂问题和评估不确定性。
它通过随机抽样和模拟运算来近似计算问题的解决方案。
该方法在多个领域都有广泛应用，同时也具有一定的优点和限制。
通过合理的模型建立和参数设定，蒙特卡洛仿真方法可以成为解决实际问题的有力工具。
monte carlo方法在定向凝固微观组织模拟中的应用
monte carlo方法在定向凝固微观组织模拟中的应用
随着金属材料表面凝固后结构的研究，已经越来越受到关注。
在宏观级别，它与尺寸和形状效应有关，如表面的粗糙度和摩擦特性。
在微观级别，它与定向凝固行为有关，也就是组织结构中晶体晶格形状和大小的变化。
在宏观和微观级别上，定向凝固微观组织模拟都是极其复杂的过程，模拟后的结果非常容易受到随机扰动的影响。
因此开发一种可以精确模拟定向凝固微观组织变化过程的有效算法就成为了材料工程
领域的热点问题。
目前，Monte Carlo方法已经成为定向凝固微观组织模拟的一种有效的方法。
它的基本原理是根据模拟的环境情况来随机探索系统可能的状态，并从中选择最佳状态。
在定向凝固模拟中，Monte Carlo
方法可以简化组织分布的计算，使空间结构变化的计算效率大大提高。
在实际应用中，Monte Carlo方法可以用来模拟各种定向凝固组织，如多孔晶体、断裂晶体、无定向凝固晶体以及各种合金的晶体组织。
它可以模拟凝固过程中晶胞形状、晶粒形状及其尺寸的变化，也可以在定向凝固中模拟各类不同组相之间的相变。
此外，Monte Carlo方法可以应用于分析定向凝固行为的原因。
它可以用来研究不同空间形状对定向凝固的影响，并研究不同应力水平对定向凝固的影响。
它还可以用来评估不同温度、湿度和其他环境因素对定向凝固过程的影响。
总之，Monte Carlo方法是一种有效且功能强大的定向凝固微观
组织模拟方法，它可以模拟组织结构的变化，并分析定向凝固行为的原因。
它的应用不仅可以提高模拟的准确性，还可以改善材料的性能，为材料工程领域的研究和应用奠定坚实的基础。
monte carlo方法在定向凝固微观组织模拟中的应用
monte carlo方法在定向凝固微观组织模拟中的应用定向凝固（DirectionalSolidification）技术是一种重要的制造技术，被广泛应用于制造和研究材料的微观组织和性能。
它是将溶质以恒定的速度在恒定的温度下沿一个方向移动，以实现特殊需求的材料表面结构，实现材料性能的制造技术。
随着定向凝固的进步，由于它们的自然优势在不断发展，它们已被应用于大型机械零件、航天航空部件、发动机零件、刀具刃片、运载器、电子封装件等许多特定应用。
定向凝固技术由于其自身的特性，受到了许多专家和工程师的关注。
研究者也提出了许多相关的研究理论，以更好地理解定向凝固技术，改进其定向凝固过程中的模拟。
Monte Carlo方法作为一种比较实用的研究模型，受到了许多学者的关注。
在本文中，我们将讨论Monte Carlo方法在定向凝固微观组织模拟中的应用。
首先，让我们快速了解关于定向凝固技术本身的相关信息。
定向凝固技术是一种制作某种金属材料，其微观组织结构可以被调整，以获得特定的性能要求的技术。
定向凝固是通过控制溶质流动速度和温度，使晶体形成的过程。
它的应用不仅体现在工业上，而且还可以在微观方面发挥作用，如纳米材料等。
定向凝固技术的模拟可以分为两类：经典的、显式的分析法，以及统计的、隐式的Monte Carlo方法。
经典的显式模型可以有效解决定向凝固技术中更多的计算问题，但是由于材料微观组织表征模型的不确定性及计算量大，显式模型并不总能很好地表现出定向凝固技术的实际情况。
另一方面，Monte Carlo方法则是一种隐式模型，其中不包括显式的定向凝固技术模型。
它使用随机运动模拟来模拟定向凝固技术，由于它仅需要少量信息，该计算方法可以非常快速地表示出定向凝固技术的模拟结果。
Monte Carlo方法的应用在定向凝固技术中主要体现在模拟晶体构型的分析和控制上。
通过定向凝固技术，可以实现非常复杂的晶体构型，而Monte Carlo方法的模拟正是用于了解定向凝固过程中晶体形成的行为。
Monte Carlo(蒙特卡洛方法)解析
于是有： l p P( X sin ) 2 0
l sin 2
0
2 2l dxd a a
2l ap
若我们独立重复地作 n 次投针试验，记 n ( A) 为 A 发生的次数。 fn ( A) 为 A
U(0,1)随机数的生成
乘同余法：
xi 1 axi
mod m
ui 1 xi 1 / m 其中 xi , a, m 均为整数, x0 可以任意选取。
x0称为种子,a 是乘因子,m是模数
一个简单的例子
当 x0 1 时,得到序列: 1,6,3,7,9,10,5,8,4,2,1,6,3......
1 确定行为的模拟
例：曲线下的面积
本节以曲线下的面 积为例说明蒙特卡罗 模拟在确定行为建模 中的应用．
下面的算法给出了用蒙特卡罗方法求曲线下面积 的计算机模拟的计算格式．
在给定区间上曲线y=cosx下面积的真值是2．注意到即使对 于产生的相当多的点数，误差也是可观的．对单变量函数，一般 说来，蒙特卡罗方法无法与在数值分析中学到的积分方法相比， 没有误差界以及难以求出函数的上界M也是它的缺点．然而，蒙 特卡罗方法可以推广到多变量函数，在那里它变得更加实用．
ˆ f n ( A) 。 在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P( A) 的估计，即 p
ˆ 然后取 2l a.s. ˆ fn ( A) 作为 的估计。根据大数定律，当 n 时， p p. af n ( A) 2l P 。这样可以用随机试验的方法求得 的估计。历史上 af n ( A)
MonteCarlo(蒙特卡洛法)简介
随机数的取得
如果你对随机数有更高的要求，需要自己 编辑“随机数生成器” 最简单、最基本、最重要的一个概率分布 是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布） 例如在Matlab中，命令“rand()”将产生一 个(0,1)中均匀分布的随机数 你可以根据需要给随机数一个“种子”， 以求不同的数
Matlab 的随机数函数
计算定积分--用Monte Carlo 计算定积分
例如 α=1.9
I1.9 = ∫ x e dx.
0
∞
0.9 − x
取
X i = ln Ri , Ri ∼ U (0,1) : R1 = 0.0587, R2 = 0.0961, R3 = 0.9019, R4 = 0.3095, ˆ I = 1.497
应用
科技计算中的问题比这要复杂得多。但 Monte Carlo 方法广泛地应用于许多应用 领域，如计算物理学 、粒子输运计算、 量子热力学计算、量子化学、分子动力 学与 。特别在金融计算中，各方法有不 可取代的优势。
金融中的应用
金融衍生产品（期权、期货、掉期等） 的定价及交易风险估算，问题的维数 （即变量的个数）可能高达数百甚至数 千。对这类问题，难度随维数的增加呈 指数增长，这就是所谓的“维数的灾 难”(Course Dimensionality)，传统的数 值方法难以对付（即使使用速度最快的 计算机）。
一个例子 -
这个问题并不复杂，但不容易找到一个解析表达式。 这个问题并不复杂，但不容易找到一个解析表达式。 而用模拟的方法求解却可以有满意的结果。 而用模拟的方法求解却可以有满意的结果。
一个例子 -建模 下面我们给出这个问题的模拟程序。 我们关心的是一次碰撞后，中子在x轴方 向行进了多少，所以行进方向是正负θ的 结果是一样的，我们就只考虑θ是正的情 形。由于中子运行的方向θ是随机的，我 们用计算机抽取在0到π间均衡分布的随 机数，模拟1000000个中子在铅墙里行 进的情形，看看这些中子与铅原子碰撞7 次后，有多少超过了铅墙的右端。
微观组织模拟的几种方法(Monte_Carlo)
微观组织模拟的几种方法微观组织数值模拟的方法主要有：确定性方法随机方法及相场法。
确定性方法主要依据温度场的分布情况从宏观角度来进行固液划分。
随机方法包括Monte_Carlo 法和Cellular Automaton 法（元胞自动机），基于概率论思想能较合理地反映出晶体生长过程中的随机性。
相场法基于体系总能量总是趋于最小值，熵泛函的变分为零的思路，在描述非平衡状态中复杂相界面演变时，不需要跟踪复杂固液界面，就可实现模拟金属凝固过程中枝晶生长的复杂形貌。
微观组织模拟方法：如传统的热焓(Enthalp y) 法，元胞自动机法（Cellular Automaton），蒙特卡罗法（Monte_Carlo）前沿跟踪法（Front Tracking），水平集法（level - set）和相场法（Phase- field）：相场法通过引入相场变量，其解可描述金属系统中固液界面的形态和界面的移动，逼真地模拟枝晶的演化过程。
元胞自动机法（Cellular Automaton）基于概率论思想，能较合理地反映出晶体生长过程中的随机性。
相场法和元胞自动机是目前凝固组织模拟中最有潜力的两种方法。
确定性方法:型壁或液相中晶粒的形核密度和晶粒生长速度是过冷度的函数并对晶粒形态进行近似处理(将等轴晶视为球状柱状晶视为圆柱状) 它忽略了枝晶的晶体学生长特征着重于铸件中的晶粒总数各区域的平均晶粒尺寸和平均二次枝晶臂间距的模拟。
确定性模拟法基于体积单元来求解连续性方程先把铸件的计算空间分成宏观体积单元每一体积单元的温度假定是均匀的然后基于一定的形核规律将每一体积单元进一步划分成微观体积单元在一个微观体积元中只能有一个球状晶粒以速度v 生长对每一宏观体积单元熔体的能量守恒方程为：对每一微观体积单元假设晶粒的移动速度为零一旦形核晶粒就保持在固定位置忽略晶粒的再辉和熔解在给定体积元v 及凝固时间t的条件下局部平均固相分数可表示为：N(x t )和R(x t )的计算主要基于形核和生长动力学为微观单元上的计算。
蒙特卡罗方法 (Monte Carlo simulation)
例：a=5,c=1,m=16,I0=1 Î周期=m=16 1,6,15,12,13,2,11,8,9,14,7,4,5,10,3,0,1,6,15, 12,13,2,..
蒙特卡罗方法 (Monte Carlo simulation)
RANDU随机数产生器：
1961年由IBM提出 I n +1 = (65539 × I n ) mod 2 存在严重的问题：Marsaglia效用，存在于所有乘同余方法的产生器
蒙特卡罗方法 (Monte Carlo simulation)
==〉伪随机数（Pseudo-Random Number) Î优点： – – – 占用计算机的内存少； 产生速度快； 可以重复前次的模拟结果，便于程序的找错；
蒙特卡罗方法 (Monte Carlo simulation)
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method)
蒙特卡罗方法 (Monte Carlo simulation)
– 所模拟的物理过程要求随机数应具有下列特性：
• 随机数序列应是独立的、互不相关的(uncorrelated)：即序列中的任一 子序列应与其它的子序列无关； • 长的周期(long period)：实际应用中，随机数都是用数学方法计算出来 的，这些算法具有周期性，即当序列达到一定长度后会重复； • 均匀分布的随机数应满足均匀性(Uniformity)：随机数序列应是均匀的、 无偏的，即：如果两个子区间的“面积”相等，则落于这两个子区间内 的随机数的个数影相等。
蒙特卡罗方法 (Monte Carlo simulation)
2.2 随机数的产生 • [0,1]区间上均匀分布的随机数是Monte Carlo模拟的基础，服从 任意分布的随机数序列可以用[0,1]区间均匀分布的随机数序列 作适当的变换火舍选后求得； • [0,1]均匀分布的随机数的产生方法：
monte-carlo方法
monte-carlo方法
Monte Carlo方法是一种利用随机数模拟来计算复杂问题的方法。
其基本思想是通过随机模拟来近似计算一个问题的概率分布、期望值或其他统计量。
这个方法可以用于各种领域，如物理、统计学、金融、计算机科学等。
在应用中，Monte Carlo方法通常通过随机抽样来获得数据。
这些数据可以用来计算某些感兴趣的统计量，如平均值、标准差、方差等。
一旦这些统计量被计算出来，它们就可以被用来近似计算问题的解决方案。
Monte Carlo方法的优点是可以处理各种复杂的问题，因为它不要求求解问题的解析解。
此外，它还可以提供不确定性分析，因为随机模拟的结果本身就有一定程度的随机性。
然而，Monte Carlo方法的缺点是它需要大量的计算资源。
由于需要进行大量的随机模拟，它的计算速度较慢。
此外，它还可能受到随机性的影响，导致结果不准确。
为了减少这种影响，通常需要进行多次模拟并取平均值。
总之，Monte Carlo方法是一种利用随机模拟来解决复杂问题的方法。
虽然它需要大量的计算资源，但它可以处理各种复杂的问题，并提供不确定性分析。
monte carlo方法在定向凝固微观组织模拟中的应用
monte carlo方法在定向凝固微观组织模拟中的应用近年来，越来越多的材料与现实世界中的组织相关，定向凝固微观组织模拟便是把它们模拟出来的一种新方法。
定向凝固微观组织模拟的发展需要一系列的计算技术，其中Monte Carlo方法是最常用的一种。
本文将详细探讨Monte Carlo方法在定向凝固微观组织模拟中的应用。
首先，本文将介绍Monte Carlo方法及其在定向凝固微观组织模拟中的应用。
Monte Carlo方法是一种数值模拟技术，其基本思路是通过模拟随机结果来计算系统的行为，而不采用具体的分析方法。
这种方法可以用来快速预测定向凝固微观组织的结果，进而帮助模拟者了解系统的深层行为。
其次，本文将讨论微观组织模拟中的定向凝固系统的参数模拟。
定向凝固微观组织模拟是指在特定的参数环境下，以一定的概率成功地模拟出一定程度上类似于真实世界中的微观组织。
在实际模拟过程中，需要考虑多个参数，如温度、压力、孔隙度、反应剂浓度等，而这些参数可以用Monte Carlo方法进行优化，以得到最佳的模拟结果。
第三，本文将介绍定向凝固微观组织模拟中Monte Carlo方法的实际应用。
Monte Carlo技术在定向凝固微观组织模拟中的应用非常广泛。
首先，它可以作为迭代优化技术，用来优化参数来达到最佳的模拟结果。
其次，它可以用来拟合不同的实验数据，根据实验结果预测模拟结果。
此外，它还可以用来研究定向凝固微观组织的微观结构和性质，从而更好地了解定向凝固过程中材料的变化。
最后，本文将总结Monte Carlo方法在定向凝固微观组织模拟中的应用。
Monte Carlo方法是一种有效的模拟技术，能够模拟定向凝固微观组织的参数，优化参数，拟合实验数据，研究微观结构和性质等。
基于Monte Carlo方法，定向凝固微观组织模拟可以变得更加准确和速。
因此，Monte Carlo方法在定向凝固微观组织模拟中有着重要的作用，值得深入研究。
蒙特卡罗方法及其应用
蒙特卡罗方法及其应用蒙特卡罗方法是20世纪40年代提出的一种统计模拟方法，以蒙特卡罗赌城命名，因为那里以随机性闻名。
蒙特卡罗方法通过生成大量的随机样本，以此来解决问题。
它在数学、物理、工程、金融、计算机科学等领域有广泛的应用。
本文将介绍蒙特卡罗方法的基本原理、常见应用及优缺点。
1.定义问题的概率模型：将问题转化为概率模型，并定义相应的概率分布。
2.生成随机样本：利用随机数生成器生成符合概率分布的随机样本。
3.计算样本的函数值：将随机样本代入待求的函数，计算其函数值。
4.结果统计分析：利用大量的随机样本进行统计分析，得到问题的数值近似解。
1.数值积分：蒙特卡罗方法可以用来计算复杂的多维积分。
通过生成随机的样本点，并计算函数值，然后求取其均值，即可得到近似的积分值。
2.概率统计：蒙特卡罗方法可以用来估计随机事件的概率。
例如，可以通过生成大量的随机样本，计算事件发生的次数与总样本数的比值，得到近似概率估计。
3. 金融风险评估：蒙特卡罗方法可以用来评估金融产品的风险。
通过模拟资产价格的随机波动，计算投资组合的价值分布，以及不同市场条件下的风险指标，如价值-at-risk（VaR）等。
4.优化问题：蒙特卡罗方法可以用来解决优化问题。
例如，通过生成随机的样本点，并计算目标函数值，然后根据样本的统计信息，寻找最优解。
5.物理模拟：蒙特卡罗方法可以用来模拟物理过程，如粒子传输、能量传递等。
通过生成大量的随机样本，模拟微观过程的随机行为，可以得到宏观行为的统计结果。
1.灵活性：蒙特卡罗方法适用于各种复杂问题，无论问题的维度和复杂程度如何，都可以通过增加样本的数量来提高精度。
2.可并行计算：蒙特卡罗方法的运算过程可以并行计算，可以利用并行计算的优势提高计算效率。
3.建模简单：蒙特卡罗方法不需要对问题建立具体的数学模型，只需要定义问题的概率分布，较容易实现。
然而，蒙特卡罗方法也有一些缺点：1.计算效率低：蒙特卡罗方法通常需要生成大量的样本点，计算过程较为耗时，对于复杂问题可能需要很长的计算时间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
微观组织模拟的几种方法
微观组织数值模拟的方法主要有：确定性方法随机方法及相场法。
确定性方法主要依据温度场的分布情况从宏观角度来进行固液划分。
随机方法包括Monte_Carlo 法和Cellular Automaton 法（元胞自动机），基于概率论思想能较合理地反映出晶体生长过程中的随机性。
相场法基于体系总能量总是趋于最小值，熵泛函的变分为零的思路，在描述非平衡状态中复杂相界面演变时，不需要跟踪复杂固液界面，就可实现模拟金属凝固过程中枝晶生长的复杂形貌。
微观组织模拟方法：如传统的热焓(Enthalp y) 法，元胞自动机法（Cellular Automaton），蒙特卡罗法（Monte_Carlo）前沿跟踪法（Front Tracking），水平集法（level - set）和相场法（Phase- field）：相场法通过引入相场变量，其解可描述金属系统中固液界面的形态和界面的移动，逼真地模拟枝晶的演化过程。
元胞自动机法（Cellular Automaton）基于概率论思想，能较合理地反映出晶体生长过程中的随机性。
相场法和元胞自动机是目前凝固组织模拟中最有潜力的两种方法。
确定性方法:
型壁或液相中晶粒的形核密度和晶粒生长速度是过冷度的函数并对晶粒形态进行近似处理(将等轴晶视为球状柱状晶视为圆柱状) 它忽略了枝晶的晶体学生长特征着重于铸件
中的晶粒总数各区域的平均晶粒尺寸和平均二次枝晶臂间距的模拟。
确定性模拟法基于体积单元来求解连续性方程先把铸件的计算空间分成宏观体积单元每一体积单元的温度假定是均匀的然后基于一定的形核规律将每一体积单元进一步划分成微观体积单元在一个微观体积元中只能有一个球状晶粒以速度v 生长
对每一宏观体积单元熔体的能量守恒方程为：
对每一微观体积单元假设晶粒的移动速度为零一旦形核晶粒就保持在固定位置忽略晶粒的再辉和熔解在给定体积元v 及凝固时间t的条件下局部平均固相分数可表示为：
N(x t )和R(x t )的计算主要基于形核和生长动力学为微观单元上的计算。
共晶合金：
为了处理晶粒碰撞的情况大多数等轴晶凝固的微观模型都采用著名的John son - Mehl[2]或A vrami[3]模型该模型最初被用来描述固相再结晶假设形核和生长的速度均为常数以及再结晶的固相不移动。
蒙特卡罗方法
α+'两相组织，α'为细针状马氏体，晶界β相是从高温快激光快速成形件熔覆层为β
速冷却时保留下来的。