微观组织数值模拟——相场法与元胞自动机

微观组织的数值模拟
——相场法与元胞自动机法相场法和元胞自动机法是材料科学与工程研究中常用的两种数值模拟方法。

相场模型是一种建立在热力学基础上，考虑有序化势与热力学驱动力的综合作用来建立相场方程描述系统演化动力学的模型。

其核心思想是引入一个或多个连续变化的序参量，用弥散界面模型代替传统的尖锐界面来描述界面。

相场法的不足是计算量巨大，可模拟的尺度较小（最大可达几十个微米）。

元胞自动机法是一种用来描述复杂系统在离散空间-时间上演化规律的数学算法。

元胞在某一时间步的状态转变由一定的演化规则来决定，并且这种转变是随时间推移对体系各元胞同步进行的。

元胞的状态受其相邻元胞状态的影响，同时也影响着相邻元胞的状态。

局部之间相互作用，相互影响，通过一定的规则变化而整合成一总体行为。

相场法
相场法的起源与发展
相场法PFM(Phase Field Method)的提出是针对具有十分复杂的界面结构的
问题时，用经典尖锐界面模型去跟踪界面演化，会遭遇到严重的数值困难。

并且真实材料中的相界或晶界实际上并不是严格的零厚度界面，而是具有一定厚度（纳米尺度）的边界层，这层厚度控制材料相变动力学，由此引入一个序参量场Φ来区分两相（如固相和液相），通常称之为相场。

在相场中，Φ在固/液界面的一侧从一个常值逐渐过渡至界面另一侧的某一常值，将这个扩散界面层定义为界面，因此，在相场法中的固/液界面为弥散型界面。

Φ的主要目的是跟踪两相不同的热力学状态，可以不严格地将其理解为结晶程度的度量。

相场模型的想法最初由Langer(1978, 1986)提出的，Collin和Levine (1985)
也引入了类似的相场模型(Phase field model)。

Caginalp(1985-1991)分析了这些相场模型，证明它们在界面层厚度趋于零时可以还原为尖锐界面的自由边界模型，这就从数学上证明了Langer 等人相场模型的有效性。

Fix(1983),Kobayashi(1991)等采用相场模型对具体凝固过程进行数值模拟。

1992年，Wheeler，Boettinger
和McFadden建立了WBM相场模型，1995年Warren等首次对Ni-Cu合金凝固过程组织演化进行了模拟。

1993年Chen，Wang及Khachaturyan等将弥散界面概念用于固态相变模拟，建立了可考虑弹性场作用的相场模型(continuum field model)。

1998年Kim等基于界面局部平衡建立了KKS相场模型。

1998年及2001年Karma建立了纯物质凝固及合金凝固的定量相场模型。

2002年Elder等建立了晶体相场模型（phase field crystal model)。

相场法的原理及过程
相场法的关键是引入一个序参量场Φ来区分两相，通常称之为相场。

在相场中，Φ在界面的一侧从一个常值逐渐过渡至界面另一侧的某一常值，将这个扩散界面层定义为界面，因此，在相场法中的界面为弥散型界面。

Φ的主要目的是跟踪两相不同的热力学状态，可以不严格地将其理解为结晶程度的度量。

通过上述处理，从而使界面位置随空间和时间的变化隐含在相场变量随时间和空间的演化之中。

相场模型的基础是Landau相变理论。

Landau相变理论强调了对称的重要性，对称性的破坏对应着相变的发生。

在Landau相变理论中，对称性由序参量所描述。

对称破缺意味着序参量不为零的有序相出现。

序参量是某个物理量的平均值，描述偏离对称的性质和程度，可以是标量、矢量、复数或更复杂的量。

如果使序参量在空间上是不均匀和连续的，则可以将Landau理论用于描述微观组织的演化。

通过序参量在空间上的依赖关系，可以确定非均匀组分和结构，并可通过序参量的空间分布对结构形态进行模拟。

对于非均匀的连续体系，需要采取弥散界面进行描述，即利用各种守恒和非守恒场变量（如：浓度、结构、取向、长程有序等）的空间梯度描述各相之间的弥散界面。

相变热力学和伴生的结构演化是通过选构一个依赖于保守和非保守参量的自由能密度泛函而实现的。

相变的本质由一组连续的序参量场所描述。

微观组织演化则通过求解控制空间上不均匀的序参量场的时间关联的相场动力学方程而获得。

相场法对相变过程中可能出现的瞬时形貌和微观组织不做任何事先的假设。

相场法的特点及应用
相场法的优点主要有无需跟踪界面、易于处理复杂的生长行为（如各向异性等）、与热力学直接相关，可耦合真实热力学、动力学数据库、易于与一些物理机制关联（如外场）。

缺点主要在于计算量巨大、需构造自由能函数（有时很复杂）、界面不真实、、一些物理参数获取较困难、数学处理复杂。

目前，在材料科学中，相场法被广泛应用于模拟液/固相变（枝晶生长、多元多相凝固、多晶凝固等）、固态相变（沉淀相析出、马氏体相变、铁电相变等）、应力相变（薄膜生长，定向粗化）、结构缺陷相变（裂纹扩展、位错动力学）等。

图1,2,3分别展示了相场法在枝晶生长，沉淀相析出以及微裂纹扩展等方面具体的应用。

图1 Al-4.5wt%Cu 合金枝晶生长演变过程相场法模拟结果[1]
图2 Ni4Ti3沉淀相的二维形貌随时间的演化过程[2]
图3 韧性材料的微裂纹扩展和连通的晶体相场模拟[3]
元胞自动机法
元胞自动机法的提出与发展
元胞自动机法是描述复杂系统在离散的时间和空间上演化规律的一种算法。

元胞自动机法最早由V on Neumann和Stanislaw Ulam提出来。

1970 年，剑桥大学的J. H. Conway利用元胞自动机法编制了一个名为“生命”的游戏程序，并由M. Gardner 通过《科学美国人》介绍到全世界。

该游戏通过几条简单“生死”规则的组合，细胞在网格中就可以出现无法预测的延伸、变形、停止和周期性变化的复杂模式。

这种意想不到的结果吸引了大批计算机科学家研究“生命”程序的特点，最终证明这个程序与Turing 机等价，也就是说给定适当的初始条件，“生命”模
型可以模拟任何一种计算机。

20 世纪80 年代，物理学家、计算机科学家对元
胞自动机模型的兴趣大增。

S. Wolfram对CA 的贡献很大，他引入动力系统的思想理论和研究方法，对元胞自动机进行了系统的研究，用熵来描述其演化行为，并将元胞自动机按动力学行为分为平稳型、周期型、混沌型和复杂型，分别对应
于人们已经熟悉的不动点、周期行为、混沌状态和自组织现象。

1986 年，U. Frish 等人发表了《代替Navier-Stocks 方程的格子气自动机》，这种计算机比常见的Navier-Stocks (N-S)方程数值法快得多，开辟了流体力学的一个全新领域。

随后L. O. Chuan将CA 引入神经网络，建立细胞神经网络模型。

另外，由于元胞自
动机的运算每次不涉及全局的状态，专家们正在考虑按照这种思想设计新一代的计算机，采用大规模并行结构, 最终目的是以较小的代价达到超级计算机的能力。

元胞自动机法的原理及过程
在一个元胞自动机模型中,体系被分解成有限个胞,同时把时间离散化为一定间隔的步,每个胞的所有可能状态也划分为有限个分立的状态。

每个胞在前后时间步的状态转变按一定的演变规则来决定,这种转变是随时间不断地对体系各胞同步进行。

因此一个胞的状态受其邻居胞的状态的影响,同时也影响着邻居胞的状态,局部之间互相作用,相互影响。

通过这一定的规则变化而整合成一总体行为。

如此，利用大量的简单的元件，通过简单的连接和简单的运算规则，在时空中并行地持续运行，以模拟出复杂而丰富的现象。

以晶粒生长为例，元胞自动机的模拟过程主要有确定形核、选择时间步长、计算温度场、计算溶质场、计算界面元胞的生长动力学、确定胞状态、捕捉邻胞、计算曲率等过程组成。

元胞自动机法的特点及运用
元胞自动机法的特点主要是空间是离散的、时间是离散的、状态取值是离散的、演化的运算规则是局域的(一般情形）。

目前，元胞自动机法广泛应用于凝固与结晶、晶粒长大与再结晶、相沉淀与相分解、位错花样的形成等过程。

图4
展现了元胞自动机法在晶粒生长演化过程中的运用。

图4 晶粒生长演化过程[4]
相场法(PFM)与元胞自动机法(CA)的比较
相场法与元胞自动机法的异同点比较如表1所示：
表1 相场法与元胞自动机法的异同点
参考文献
[1]龙文元. 铝合金凝固过程枝晶生长的相场法数值模拟[D]. 华中科技大学,
2004.
[2]柯常波, 马骁, 张新平. NiTi形状记忆合金中共格Ni4Ti3沉淀相生长动力学行
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[3]高英俊, 罗志荣, 黄礼琳,等. 韧性材料的微裂纹扩展和连通的晶体相场模拟
[J]. 中国有色金属学报, 2013, (7):1892-1899.
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