工业机器人

3、复合变换的表示：
任何的变换都可以分解为按照一定顺序的变换的组合， 即一定顺序的平移和旋转。 例：坐标系（n,o,a）相对于参考坐标系（x,y,z）依次 进行了下面三个变换： 1、绕x轴旋转α度； 2、接着相对于x,y,z轴分别平移[l1,l2,l3]个单位； 3、最后绕y轴旋转β度。
试写出变换过程。
2、欧拉角 除了最后的旋转是绕当前a轴外，欧拉角的其他方面均与RPY相 似。转动顺序如下： 绕a轴旋转φ度； 绕o轴旋转θ度； 绕a轴旋转ψ度。 表示欧拉角姿态变化的矩阵是：
Euler , , Rota, Roto, Rota, CCC SS SCC CS SC 0 CCS SC SCS CC SS 0 CS SS C 0 0 0 0 1
表示RPY姿态变化的矩阵为：
RPY( a , o , n ) Rot(a, a ) Rot(o, o ) Rot(n, n ) C a C o S C a o S o 0 C a S o S n S a C n S a S o S n C a C n C o S n 0 C a S o C n S a S n S a S o C n C a S n C o C n 0 0 0 0 1
Py l1 l 2 Po cos Pa sin Pz l3 l 4 Po sin Pa cos
上式可以写成矩阵形式（绕x轴旋转的情况）：
Px 1 0 Py 0 cos P z 0 sin
Pn sin Po cos Pa 0
每次变换后旋转坐标系上的点相对于参考坐标系的坐 标都是通过用每个变换矩阵左乘该点的坐标。 ●矩阵的顺序不能变； ●每次变换矩阵都是左乘； ●矩阵书写的顺序和进行变换的顺序正好相反 。
例：已知坐标系中点U的位置矢量u=[7 3 2 1]T ，将此点绕 Z轴旋转90度，再绕Y轴旋转90度，如图所示，求旋转变 换后所得的点W。
本节内容应重点掌握：
1、工业机器人正、逆运动学的含义。 2、空间点的表示，空间向量的表示及其单位化和比例因子的应用。 3、空间坐标系的表示。 4、刚体的表示及正确表示刚体的约束条件。 5、平移算子与旋转算子的形式。 6、会推导旋转算子。 7、复合变换的原则及其计算。
§2-3机器人的正逆运动学
1、正运动学分析： 已知机器人的构型，即它的所有连杆长度和关节角度 都已知，计算机器人手的位姿的过程（已知关节变量，建 立正运动学方程的过程，实质上是建立机器人手的坐标系 和参考坐标的联系）。 2、逆运动学分析： 已知机器人手的期望位姿，求机器人的每一个连杆的 长度和关节的角度（找到正运动学方程的逆，求解所需的 关节变量）。
旋转矩阵中第一列表示相对于x轴的位置，其值为1,0,0， 它表示沿x轴的坐标没有改变。 旋转矩阵可以简写为：
1 0 Rot( x, ) 0 C 0 S 0 S C
运动坐标系中的P的坐标左乘旋转矩阵得到在参考坐标 系中的坐标： Pxyz Rot( x, ) Pnoa 可用同样的方法来分析坐标系绕参考坐标系y轴和z轴旋 转的情况：
这个矩阵表示了仅由RPY引起的姿态变化。要求相对于参考坐 标系的位置和最终姿态是表示位置变化和RPY的两个矩阵的乘积。 例如，假设一个机器人是根据球坐标和RPY来设计的，那么这个机 器人末端相对于参考系的最终位姿是表示球坐标位置变化的矩阵和 RPY矩阵的乘积，表示为：
R
TH Tsph (r, , ) RPY(a ,o ,n )
3、位姿的正逆运动学方程
表示机器人最终位姿的矩阵是前面方程的组合，该矩阵取决于所 用的坐标。假设机器人的运动是由直角坐标和RPY的组合关节组成， 那么该坐标系相对于参考坐标系的最终位姿是表示直角坐标位置变化 的矩阵和RPY矩阵的乘积。表示为：
R
TH Tcart Px , Py , Pz RPYa ,o ,n
l7 rC 3 rS 4
4 可以求出： tan 和 53.1 , r 5, l 7

3
注意：要保证角度位于正确的象限。本例中rCα和rSα都是正的，长 度r也是正的， 所以Cα和Sα都是正的，所以α在第一象限内。
3、球坐标： 球坐标系统由一个线性运动和两个旋转运动组成。1） 沿z轴平移r；2）绕y轴旋转β角；3）绕z轴旋转γ角。 总变换矩阵方程为：
1 0 R TP 0 0
0 1 0 0
0 Px 1 0 0 Py 1 Pz 0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 1 0
3 4 7 1
2、圆柱坐标： 圆柱型坐标系统包括两个线性平移运动和一个旋转运动。 顺序为：先沿x轴移动r，再绕z轴旋转α角，最后沿z轴移动 l。 由于变换都是相对于全局参考坐标系的坐标轴的，因此 由这三个变换所产生的总变换可以通过一次左乘每一个矩 阵而求得：
二、旋转的齐次变换
例：坐标系（n,o,a）绕参考系的x轴旋转一个角度Theta 求：旋转后P点在参考坐标系中的新坐标。
z a a P
θ
z
P
o
n
o
n
θ
Px x
Py
y x Py
y Px
z a P
l3
Pa
Pz
l4
o
Po
θ
y
Py
l1
l2
旋转前： Px Pn , Py Po , Pz Pa
旋转后： Px Pn
例：坐标系B(n,o,a)起始位置与参考坐标系A(x,y,z)重合， 具体变换如下： 1)绕x轴旋转90度； 2)沿当前坐标系a轴平移3个单位； 3)绕z轴旋转90度； 4)沿当前坐标系o轴平移5个单位。 写出描述该运动的方程，并求坐标系B中点P（1,5,4） 相对参考坐标系的最终位置。
解：按照下列原则相应地左乘或右乘每个运动矩阵：
C C C S R TP Tsph (r , , ) Rot( z, ) Rot( y, )Trans(0,0, r ) - S 0 - S C 0 0 S C S S C 0 rS C rS S rC 1
我们可以根据机器人连杆和关节的构型配置，可用一组 特定的方程来建立机器人手的坐标系和参考坐标系的联系。
为了使得过程简化，我们采取这样的方法：分别分析 位置和姿态问题。 1、首先推导出位置方程； 2、然后再推导出姿态方程， 3、最后再将两者结合在一起从而形成一组完整的方 程。
一、位置的正逆运动学方程：
用于给机器人手定位的常用构型：
1、笛卡尔坐标/直角坐标（3P）； 2、圆柱坐标型（R2P）； 3、球坐标型（2RP）； 4、链式/拟人型（3R）。（可在D—H法中考虑）
二、具体说明：
1、笛卡尔坐标： 由于没有旋转运动，表示向P点运动的变换矩阵是一种 简单的平移变换矩阵。在直角坐标系中，表示机器人手位 置的正运动学变换矩阵为：
例：假设要将球坐标机器人手坐标系原点放在[3，4，7]T，计算机器 人的关节变量。 解：将手坐标系原点的位置分量设置为期望值，可以得到：
rSC 3 rSS 4 rC 7
4 前两个式子相除得：tan 3
γ有两个取值： 53.1 , 233.1
一、三像限，两种解将产生同样的位置，但处于不同的姿态，目 前不关注姿态。
C Rot( y, ) 0 S S 1 0 0 C 0
C Rot( z , ) S 0 S C 0 0 0 1
例：动坐标系中有一点P(2,3,4)T，此坐标系中绕参考坐标 系x轴旋转90度。求旋转后该点相对于参考坐标系的坐标。
如果机器人是用球坐标定位、欧拉角定姿态的方式所设计的，那么 将得到下列方程。其中位置由球坐标决定，而最终姿态既受球坐标角 度的影响也受欧拉角的影响。
R
TH Tsph r, , Euler, Βιβλιοθήκη Baidu
本节内容应重点掌握：
1、掌握笛卡尔坐标、圆柱坐标和球坐标定位的运动学方程。 2、会求解以上三种定位方式的逆运动学方程。 3、掌握RPY角及欧拉角定姿的运动学方程。 4、了解以上两种定姿方程的逆运动学求解过程。
相对参考坐标系运动——左乘；
相对当前坐标系（运动坐标系）运动——右乘。
A
动坐标 系B相 对参考 坐标系 A的变 换矩阵
TB Rot( z,90) Rot( x,90)Trans(0,0,3)Trans(0,5,0) 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 1 0 0 0 0 1 0 5 0 0 0 1
二、姿态的正逆运动学方程：
合适的旋转顺序取决于机器人手腕的设计以及关节装配 在一起的方式。
1、滚动角（Roll），俯仰角（Pitching）和偏航角（Yawing ） （RPY） 这是分别绕a,o,n轴的三个旋转顺序，能够把机器人的手调整到 所期望的姿态。
a 滚动角 俯仰角 偏航角 n o
绕a轴旋转φa叫滚动； 绕o轴旋转φo叫俯仰； 绕n轴旋转φn叫偏航。
第一次变换：
P 1, xyz Rot( x, ) P noa
第二次变换：
P2, xyz Trans(l1 , l2 , l3 ) P (l1 , l2 , l3 ) Rot( x, ) Pnoa 1, xyz Trans
第三次变换：
Pxyz P (l1, l2 , l3 ) Rot( x, ) Pnoa 3, xyz Rot( y, ) P 2, xyz Rot( y, ) Trans
1 0 0 0 0 1 0 0 0 Px 0 Py 1 Pz 0 1
R
TP Tcart
对于逆运动学求解，只需简单地设定期望的位置等于P。
例：要求笛卡尔坐标机器人手坐标系原点定位在P=[3,4,7]T，计算所 需要的笛卡尔坐标运动。
解：设定正运动学方程，根据期望位置得到：
1、有一坐标系B沿参考系移动了距离(5,2,6)T，求B相对于参考系的 新位置。
0 1 0 0
0 0 1 0
0 5 0 1
点P（1,5,4）相对参考坐标系的最终位置：
0 1 A P ATB B P 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 3 1 7 5 1 0 5 4 10 1 1 1
C S R TP Tcyl (r , , l ) Trans(0,0, l ) Rot( z, )Trans(r ,0,0) 0 0 S C 0 0 0 rC 0 rS 1 l 0 1
例：假设要将圆柱坐标系机器人手坐标系的原点放在[3，4，7]T， 计算机器人的关节变量。 解：将手坐标系原点的位置分量设为预期值，则有：