人教新课标版数学高二-人教A版数学必修5【作业】2 余弦定理
人教A版高中数学必修第二册《余弦定理》名师课件
=
+ , 所以 =
+ −
+ −
,得
所以 + − = , 所以 + =
所以△ABC是直角三角形.
= ,
.
方法归纳
判断三角形形状的思路
1、转化为三角形的边来判断
(1)△ABC为直角三角形⇔ 2 = b2 + c 2 或 b2 = 2 + c 2 或 c 2 = 2 + b2
△ 中的最大角与最小角的和为∘ .
=
典例讲授
例2、在△ABC中, = , = , =
,则
= ,sin A = .
解析
根据余弦定理,得
=
+
− =
+
得 = .由 = , − , = 及余弦定理的推论,得
变式训练
2.在△ 中,已知 = 3, = 2, ( + ) =
B.
A.4
C.3
1
,则
3
=( D )
D.
解析
由三角形内角和定理可知, = [ ° − ( + )] = −( + ) = − .
又由余弦定理,得
=
+
ቐ 2 = 2 + 2 − 2cos
2 = 2 + 2 − 2cos
2 + 2 − 2
cos =
2
2 + 2 − 2
cos =
2
#高中数学必修五：1.1.2-1《余弦定理》(人教A版必修5)
∠B=120o，求 AC
A
B
120°
解：由余弦定理得
A 2 C A 2 B B 2 C 2 A B B cC B os C
3222232co1s2o0 19
AC 19
答：岛屿A与岛屿C的距离为 19 km.
例1、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 ,1
解三角形。
cosA<0，A为钝角，△ABC为钝角三角形。 练习2：在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，
求边长c的取值范围。
解：∵coCsa2b2c2 0
a2c2b2
coBs
0
2bc
2ac
3c 5
∴
余弦定理：
推论:
a2b2c22bcco As
cos
b2 A
c2 a2 2bc
b2a2c22acco BscosBc2 a2 b2
例2、已知△ABC的三边为 7 、2、1，
求它的最大内角。
解：设三角形的三边分别为a= 7 ,b=2,c=1
则最大内角为∠A
由余弦定理得coAs b2 c2 a2
2bc
22 12
2
7
221
120
练习1：在△ABC中，已知a=12,b=8,c=6, 判断△ABC的形状。
a2b2c2
设
C a B ,C b A ,A c B
由向量减法的三角形法则得
c ab
c 2 cc (a b )(a b )
﹚
aa 2a b b2b22a ab bcoCs
a2b22ac bo C s
c2a2 b 22 acbo Cs
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用
3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3
人教A版高中数学必修五1.1.2余弦定理
,
B=45°，求b和A。
3.在△ABC中，已知
,
A=45°，求边长c，B，C。
, ,
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解： a b c C为最小角
cos C a2 b2 c2 2ab
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
3 2
C 300
六、作业
1.在△ABC中，已知a=7,b= 5,c=3，求A。
2.在△ABC中，已知
既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有
什么利弊呢？
余弦定理 正弦定理
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角
㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。
㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知 a 3 3, c 2, B 150°求b
解：
=31+18 =49
1.1.2 余弦定理
一、实际应用问题
隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员 先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利 用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算 求出山脚的长度BC。
B
C
A
二、转化为数学问题
已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。
例：在△ABC中，已知AB=c，AC=b，∠BAC=A 求：a（即BC）.
C
b
a=?
A
c
B
三、证明问题
C
b
a=?
A
c
B
向量法：
Cbaຫໍສະໝຸດ AcB四、余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与 它们的夹角的余弦的积的两倍。
2021_2022学年高中数学第一章正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理作业1新人教A版必修5
1.1.2余弦定理基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，b ＝5，c ＝53，A ＝30°，则a 等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．10[答案] A[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a 2＝52＋(53)2－2×5×53×cos30°， ∴a 2＝25，∴a ＝5.2．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于( ) A ．π3B ．π6C ．2π3D ．π3或2π3[答案] C[解析] ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－c 2－bc 2bc ＝－12，又∵0<A <π，∴A ＝2π3.3．(2014·全国新课标Ⅱ理，4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1[答案] B[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×1×sin B ＝12，∴sin B ＝22， ∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．当B ＝3π4时，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，解得b ＝5，故选B ．4．(2014·江西理，4)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．932C ．332D ．3 3[答案] C[解析] 本题考查正弦、余弦定理及三角形的面积公式．由题设条件得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.选C ．5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ， 则cos B ＝( ) A ．14 B ．34 C ．24D ．23[答案] B[解析] 由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a ＝34.6．(2015·广东文，5)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝2，c ＝23， cos A ＝32，且b ＜c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D ． 3[答案] C[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴4＝b 2＋12－6b ，即b 2－6b ＋8＝0， ∴b ＝2或b ＝4. 又∵b <c ，∴b ＝2.二、填空题7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角) [答案] 锐角[解析] 由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cos α＝16＋25－362×4×5＝18>0，因此0°<α<90°. 8．若2、3、x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为________． [答案] (5，13)[解析] 长为3的边所对的角为锐角时，x 2＋4－9>0，∴x >5， 长为x 的边所对的角为锐角时，4＋9－x 2>0，∴x <13， ∴5<x <13.三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .[解析] 解法一：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°.a ＋c ＝8，ac ＝15，则a 、c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根．解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19.∴b ＝19.解法二：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.10．在△ABC 中，已知sin C ＝12，a ＝23，b ＝2，求边c .[解析] ∵sin C ＝12，且0<C <π，∴C 为π6或5π6.当C ＝π6时，cos C ＝32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2. 当C ＝5π6时，cos C ＝－32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝28，即c ＝27.能力提升一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A ．322B ．332C ．32D ．3 3[答案] B[解析] 由余弦定理，可得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－1322×3×4＝12，所以sin A ＝32. 则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332，故选B ． 2．在△ABC 中，∠B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形[答案] B[解析] 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝12，则(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又∠B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．3．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( ) A ．19 B ．－14 C ．－18 D ．－19[答案] D[解析] 在△ABC 中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6， 则cos B ＝49＋25－362×5×7＝1935.又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B ) ＝－|AB →|·|BC →|cos B ＝－7×5×1935＝－19.4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3[答案] B[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.二、填空题5．(2015·重庆文，13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. [答案] 4[解析] ∵3sin A ＝2sin B ， ∴3a ＝2b ，又∵a ＝2，∴b ＝3. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×(－14)＝16，∴c ＝4.6．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →＝________.[答案] －83[解析] 由余弦定理，得BC 2＝22＋12－2×2×1×(－12)＝7，∴BC ＝7，∴cos B ＝4＋7－12×2×7＝5714.∴AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·BC →＝AB →·BC →＋BD →·BC → ＝－2×7×5714＋73×7×1＝－83.三、解答题7．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积． [解析] 如图，连结AC ．∵B ＋D ＝180°，∴sin B ＝sin D ．S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB ·BC ·sin B ＋12AD ·DC ·sin D ＝14sin B ．由余弦定理，得AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ， 即40－24cos B ＝32－32cos D ．又cos B ＝－cos D ， ∴56cos B ＝8，cos B ＝17.∵0°<B <180°，∴sin B ＝1－cos 2B ＝437. ∴S 四边形ABCD ＝14sin B ＝8 3.8．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a 、c 的值； (2)求sin(A －B )的值．[解析] (1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又已知a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，∴ac ＝9.由a ＋c ＝6，ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝429. 由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝223，∵a ＝c ，∴A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13.∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c 且a ＝3，C ＝60°，△ABC 的面积为332，求边长b 和c .[解析] ∵S △ABC ＝12ab sin C ，∴332＝12×3b ×sin60°＝12×3b ×32， ∴b ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×cos60° ＝9＋4－2×3×2×12＝7，∴c ＝7.。
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理人教A版必修5
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
探究 2 已知三边(三边关系)解三角形 例 2 (1)在△ABC 中，若 a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则 △ABC 的最小角为( )
πππ π A.3 B.6 C.4 D.12 (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，求此三角形的 最大边长． 答案 (2)见解析
2．做一做
(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 5π
若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，则 B＝____6____. (2) 已知 △ABC 的 三边 分 别为 2,3,4 ， 则此 三 角形是
___钝__角___三角形．
π (3)在△ABC 中，若 a2＋b2－c2＝ab，则角 C 的大小为 ___3_____．
解析 (1)因为 c<b<a，所以最小角为角 C. 所以 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝429×＋74×8－4 133＝ 23， 所以 C＝π6，故选 B.
(2)已知 a－b＝4，且 a>b，且 a＝b＋4，又 a＋c＝2b， 则 b＋4＋c＝2b，所以 b＝c＋4，则 b>c，从而 a>b>c，所以 a 为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
解 利用边的关系判断， 由正弦定理，得sinC＝c，
sinB b 由 2cosAsinB＝sinC，得 cosA＝2ssininCB＝2cb， 又 cosA＝b2＋2cb2c－a2，∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，即 a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴b＝c， 综上 a＝b＝c，∴△ABC 为等边三角形．
高中数学《1.1.2 余弦定理》教案 新人教A版必修5
课题：1.1.2余弦定理
高二数学教·学案
【学习目标】
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
高二数学教·学案
课后反思：。
人教版高中数学必修5(A版) 1.1.2《余弦定理》 PPT课件
A
c a
B
C
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A
C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？ ①已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角.
A C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三 角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两 边和它们的夹角求三角形的另一边和 两个角？
练习：
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角
形(角度精确到1 , 边长精确到0.1cm):
(1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2 ； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3 .
o o
o
课堂小结
1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在 的共同规律，勾股定理是余弦定理的特 例； 2. 余弦定理的应用范围： ①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，求第三边.
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
高二数学必修5 正弦定理、余弦定理(二)
教学目标：
熟练掌握正、余弦定理应用，进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质，综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题；通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功能，反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化.
Ⅱ.讲授新课
［例1］在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长.
分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系.其中sin2α利用正弦二倍角展开后出现了cosα，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的.
解：设三角形的三边长分别为x，x＋1，x＋2，其中x∈N*，又设最小角为α，则
［例2］如图，在△ABC中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分线AD＝2 cm，求此三角形面积.
分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式S△ABC＝ AB·AC·sinA，需求出sinA，而△ABC面积可以转化为S△ADC＋S△ADB，而S△ADC＝ AC·ADsin ，S△ADB＝ AB·AD·sin ，因此通过S△ABC＝S△ADC＋S△ADB建立关于含有sinA，sin 的方程，而sinA＝2sin cos ，sin2 ＋cos2 ＝1，故sinA可求，从而三角形面积可求.
2.在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB.
解：在△ADC中，
cosC＝ ＝ ＝ ，
又0＜C＜180°，∴sinC＝
在△ABC中， ＝
∴AB＝ AC＝ · ·7＝ .
评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用.
高中数学《1.1.2 余弦定理》评估训练 新人教A版必修5
1.1.2 余弦定理双基达标 限时20分钟1．在△ABC 中，已知a ＝9，b ＝23，C ＝150°，则c 等于( )．A.39B ．8 3C ．10 2D ．7 3解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝92＋(23)2－2×9×23cos 150°＝147＝(73)2，∴c ＝7 3. 答案 D2．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )．A.π3B.π6C.π4D.π12解析 ∵c <b <a ，∴最小角为角C .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋48－132×7×43＝32.∴C ＝π6，故选B.答案 B3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC( )．A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析 ∵c 2－a 2－b 22ab>0，∴c 2－a 2－b 2>0.∴a 2＋b 2<c 2.∴△ABC 为钝角三角形．故选C. 答案 C4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________. 解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac . ∴原式为0. 答案 05．在△ABC 中，若(a －c )(a ＋c )＝b (b ＋c )，则A ＝________. 解析 ∵(a －c )(a ＋c )＝b (b ＋c )， ∴a 2－c 2＝b 2＋bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.∵0°<A <180°，∴A ＝120°. 答案 120°6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝14，a ＝4，b ＋c ＝6，且b <c ，求b ，c 的值．解 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴16＝(b ＋c )2－2bc －12bc∴bc ＝8，又∵b ＋c ＝6，b <c ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6，bc ＝8，得b ＝2，c ＝4或b ＝4，c ＝2(舍)． ∴b ＝2，c ＝4.综合提高 限时25分钟7．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则三角形一定是( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 解析 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋c 2－2ac ＝0，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c . ∵B ＝60°，∴A ＝C ＝60°. 故△ABC 为等边三角形． 答案 B8．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则AB →·A C →等于 ( )．A.152 B ．－152 C.1532D ．15 解析 ∵cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos∠BAC ＝5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－152，故选B. 答案 B9．在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________． 解析 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝1＋4－4cos C ＝5－4cos C .又∵0<C <π2，∴cos C ∈(0,1)．∴c 2∈(1,5)．∴c ∈(1，5)． 答案 (1，5)10．已知等腰△ABC 的底边BC ＝2，腰AB ＝4，则腰上的中线长为________．解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝42＋42－222×4×4＝78.设其中一腰中线长为x ，则x 满足：x 2＝42＋22－2×4×2cos A ＝20－16×78＝6.∴x ＝ 6.答案611．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac . (1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．解 (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)法一 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714.∵0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114. ∴tan A ＝sin A cos A ＝35.法二 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a . 由正弦定理，得sin B ＝7sin A . ∵B ＝π3，∴sin A ＝2114.又∵b ＝7a >a ，则B >A ， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714.∴tan A ＝sin A cos A ＝35.12．(创新拓展)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sinB ＋(2c ＋b )sinC .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 解 (1)由已知，根据正弦定理得 2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝－12.又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)由(1)中a 2＝b 2＋c 2＋bc 及正弦定理，可得 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 即⎝⎛⎭⎪⎫322＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12，又0<B ，C <π3，∴B ＝C ，∴△ABC 为等腰的钝角三角形．。
新人教A版必修5高中数学第一章1.1.2余弦定理(二)导学案
1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝a b，则∠C的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形答案 D解析∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定答案 A解析在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝2a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．由增加的长度确定答案 A解析设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x所对的最大角变为锐角．二、填空题7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c＝________.答案19解析由题意：a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，∴c＝19.8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．答案2<a<8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ， ∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝A －Bsin C.证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin Asin C·cos B －sin Bsin C·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边．所以a 2－b 2c 2＝A －B sin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53， 且·＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解 （1）∵·＝－21，∴·=21.∴· = ||·||·cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB = 53，∴sinB = 54.∴S △ABC = 21acsinB = 21×35×54 = 14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B. ∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值；（2）设· = 23，求a+c 的值.解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝A ＋C sin 2 B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由· = 23得ca ·cosB = 23 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.。
人教A版高中数学必修五：2《余弦定理》共36页
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
人教A版高中数学必修五：2《余弦定 理》
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人ห้องสมุดไป่ตู้会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
数学1.1.2余弦定理强化作业成才之路(人教A版必修5)
1.1.2一、选择题1．在△ABC 中，若a <b <c ，且c 2<a 2＋b 2，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在[答案] B[解析] ∵c 2<a 2＋b 2，∴∠C 为锐角．∵a <b <c ，∴∠C 为最大角，∴△ABC 为锐角三角形． 2．在钝角三角形ABC 中，若sin A <sin B <sin C ，则( ) A ．cos A ·cos C >0 B ．cos B ·cos C >0 C ．cos A ·cos B >0 D ．cos A ·cos B ·cos C >0[答案] C[解析] 由正弦定理得，a <b <c ，∴角C 是最大角， ∴角C 为钝角，∴cos C <0，cos A >0，cos B >0.3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°[答案] C[解析] cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9＋4－712＝12∴B ＝60°.4．在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是( ) A ．无解 B ．一解 C ．两解 D ．不能确定[答案] B[解析] 已知两边和夹角，三角形唯一确定．5．(2010～2011·醴陵二中、四中期中)在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于( ) A.π3 B.π6 C.2π3 D.π3或2π3[答案] C[解析] a 2＝b 2＋c 2＋bc 变形为b 2＋c 2－a 22bc ＝－12∴cos A ＝－12，∴A ＝2π3.6．(2010～2011·福建福州高二期中)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是( ) A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形[答案] A[解析] 由正弦定理及条件式可得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C (*)由sin A cos A ＝sin Bcos B得，sin(A －B )＝0， ∵0<A <π，0<B <π，∴－π<A －B <π， ∴A －B ＝0，同理B －C ＝0，∴A ＝B ＝C .[点评] (*)式即tan A ＝tan B ＝tan C ，∵0<A ，B ，C <π，∴A ＝B ＝C .7．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32D.78[答案] D[解析] 设等腰三角形的底边边长为x ，则两腰长为2x (如图)，由余弦定理得cos A ＝4x 2＋4x 2－x 22·2x ·2x ＝78，故选D.8．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 等于( )A.833B.2393C.2633D.3926[答案] B[解析] 由正弦定理及等比定理知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R . ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝12·1·c ·32＝3，∴c ＝4.根据余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4×12＝13∴a ＝13，∴原式＝a sin A ＝2393，故选B.9．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且a ＝4，b ＋c ＝5，tan B ＋tan C ＋3＝3tan B ·tan C ，则△ABC 的面积为( )A.34B ．3 3 C.334D.34[答案] C[解析] ∵tan B ＋tan C ＋3＝3tan B ·tan C ， ∴tan B ＋tan C ＝－3(1－tan B ·tan C ) ⇒tan B ＋tan C1－tan B ·tan C＝－3⇒tan(B ＋C )＝－3，∴B ＋C ＝120°，∴A ＝60°，由a ＝4，b ＋c ＝5及余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ， ∴16＝25－2bc －2bc ·12，∴bc ＝3.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝334，故选C.10．(2010～2011·山东苍山高二期中)在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则角B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] B[解析] 由正弦定理知sin A a ＝sin B b ，∵sin A b ＝cos Bb ，∴sin B ＝cos B ，∵0°<B <180°，∴B ＝45°. 二、填空题11．在△ABC 中，已知A >B >C ，且A ＝2C ，b ＝4，a ＋c ＝8，则a 、c 的长分别为________． [答案]245，165[解析] 由正弦定理得：a sin A ＝csin C∵A ＝2C ，∴a sin2C ＝c sin C ，即a 2sin C cos C ＝csin C ，∴cos C ＝a2c.①又由已知a ＋c ＝8＝2b 及余弦定理知： cos C ＝a 2＋b 2－c22ba ＝a 2＋(a ＋c 2)2－c2a (a ＋c )＝(5a －3c )(a ＋c )4a (a ＋c )＝5a －3c4a ，②由①②可知：a 2c ＝5a －3c4a ，整理得：(2a －3c )(a －c )＝0，∵A >B >C ，∴a ≠c ，∴2a ＝3c . 又∵a ＋c ＝8，∴a ＝245，c ＝165.12．在△ABC 中，已知sin A ＝2cos B ·sin C ，则三角形形状为__________． [答案] 等腰三角形[解析] 由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin C ＝c2R ；由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac .所以a ＝2·a 2＋c 2－b 22ac ·c ，即b 2＝c 2.所以b ＝c .因此三角形为等腰三角形．13．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又最大角的正弦等于32，则三边长为__________． [答案] 3,5,7[解析] ∵a －b ＝2，b －c ＝2，∴a >b >c ， ∴最大角为A .sin A ＝32，∴cos A ＝±12， 设c ＝x ，则b ＝x ＋2，a ＝x ＋4 ∴x 2＋(x ＋2)2－(x ＋4)22x (x ＋2)＝±12，∵x >0，∴x ＝3，故三边长为3,5,7.14．(08·湖北)在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．[答案]612[解析] ∵bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋c 2＋a 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝612. 15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.[答案]33[解析] 由正弦定理得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，即3sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，即3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，故cos A ＝33. 三、解答题16．在△ABC 中，已知AB ＝102，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，2033，5的情况下，求相应角C .[解析] 由正弦定理得sin C ＝AB sin A BC ＝10BC(1)当BC ＝20时，sin C ＝12∵BC >AB ，∴A >C ，∴C ＝30°. (2)当BC ＝2033时，sin C ＝32∵AB ·sin45°<BC <AB ，∴C 有两解，∴C ＝60°或120°，(3)当BC ＝5时，sin C ＝2>1，∴C 不存在．17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，且2cos(A ＋B )＝1.求：(1)角C 的度数； (2)AB 的长度．[解析] (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )] ＝－cos(A ＋B )＝－12，∴C ＝120°.(2)由题设：⎩⎨⎧a ＋b ＝23ab ＝2，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝b 2＋a 2－2ab cos120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10.*18.在四边形ABCD 中，已知BC ＝a ，DC ＝2a ，四个内角A 、B 、C 、D 的度数之比为3∶7∶4∶10，求AB 的长．[解析] 设四个角A 、B 、C 、D 的度数依次为3x,7x,4x,10x 则3x ＋7x ＋4x ＋10x ＝360°，∴x ＝15°， ∴A ＝45°，B ＝105°，C ＝60°，D ＝150°. 在△BCD 中，由余弦定理：BD 2＝a 2＋(2a )2－2×a ×2a cos60°＝3a 2， ∴BD ＝3a .此时有DC 2＝BD 2＋BC 2，∴△BCD 为直角三角形，∠CDB ＝30°，∴∠ADB ＝120°. 在△ABD 中，由正弦定理：AB ＝BD ·sin ∠ADB sin A ＝3a sin120°sin45°＝32a 2.高ο考я试╓题╬库。
【人教A版高中数学评课稿】对《高中数学必修5解三角形第二节------余弦定理教学片段》的点评
对《余弦定理教学片段》的点评常态课是教师的日常工作，要提高课堂效率，关键在于提高常态课的实效。
常态课是没有任何包装的课，这种课虽然比不上那些示范课、公开课，会有明显的缺点，甚至是一节不成功的课，但它原汁原味，朴实无华，给人一种真实感。
正因为它真实，才使我们学会反思，发现缺憾或不足，并进行改进。
前段时间笔者听了同校陈老师的一堂常态课，上课内容是余弦定理（普通高中课程标准实验教科书人教A 版必修5解三角形第二节）一课，发现常态课上师生活跃，学生与老师配合自然默契，轻松愉快，是一堂好课。
听后笔者觉得也存在一些缺陷，对其中的一个教学片段：余弦定理引入及证明谈谈自己的一点看法。
一、教学片段实录：提出问题：师：请同学们翻到课本P.10，看习题1.1A 组第2题的第（2）小题.题目是：在∆ABC 中，15,10,60a cm b cm A ===求c .学生通过思考后能用正弦定理求解.师：正弦定理我们是怎样推导的？三角证法的关键点是什么？生：三角证法的关键是作高线，把解斜三角形问题转化为解直角三角形问题.师：这是一种化归的思想.能否应用正弦定理很重要的一点是看能否从题设中知道一组比值（b c sin sin B sin Ca A 或或）.接着，陈老师在原题的基础上交换a c 与的位置，演变成新的问题抛给了学生，即变式1：在∆ABC 中，15,10,60c cm b cm A ===求a .此问题学生很难用正弦定理求解，对学生来说有一定的挑战性，此问题的设计给学生创设了很大的思维空间，学生思考后觉得比较难解，教师提示能用学过的知识解决，前面三角证法的关键点是作高线，这里是否也可以呢?学生通过作高线，作,CD AB ⊥垂足为D ，在RT ADC RT CDB ∆∆和中求出AD 、CD 与BD ，用勾股定理求出BC （即a ）的值，再次让学生感受三角证法的关键点是作高线.然后给出了变式2：在∆ABC 中，已知,,,c b A a 求.学生基本能顺利解决此题，在∆ABC 中，作,CD AB ⊥垂足为D ，在RT ADC ∆中，AD=bcosA ，CD=bsinA ，故BD=cos c b A -，由222BC BD CD =+得到222(cos )(sin )a c b A b A =-+.化简得2222cos a b c bc A =+-.同理可以证明：2222222cos ,2cos b a c ac B c a b ab C =+-=+-.师生共同分析此表达式的特征：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的积的两倍.这就是余弦定理.点评：这样的教学设计优点是：基于学生已经掌握的解直角三角形和正弦定理，从中孕育新知，把余弦定理的推导统一到三角证法中来，设计朴素、自然.能突出以学生为本的教学理念.缺点是：忽视教材，没有突出向量的证法.教材明确指出解这个三角形，就是从量化的角度来研究问题，为此应该引导学生尝试对三角形向量等式进行数量化来探究余弦定理.文[1]指出：余弦定理源于向量和基于向量，它是“好看又好用”的又一数学典范.余弦定理向量证法的价值：向量的数量积是一个重要的工具. 余弦定理向量证法基于一种新的数学结构------空间向量.问题的引入：引用荷兰弗赖登塔尔数学研究所的一个问题“甲离学校10千米，乙离甲3千米，问乙离学校多少千米？”这问题太简单了，简直是小学生的问题.不过，该问题并没有说明甲、乙、学校三点是否在一条直线上.若三点在同一直线上，答案是13千米或7千米；若不在同一直线上，甲、乙、学校三点可以构成直角三角形，问题可以用勾股定理解决；若甲、乙、学校三点不能构成直角三角形，就变成已知三角形的“两边夹一角”如何确定第三边的问题，明确地指向余弦定理.问题的提出从朴素的问题出发，可以让学生感觉到亲切、自然、合理、显得更有人情味.然后，基于向量运算之上的余弦定理的证明：∆ABC 中（如图），,()()AC CB AB AB AB AC CB AC CB +=∴∙=+∙+222cos()AC CB AC C CB π=+∙∙-+222cos b ba C a =-+，即2222cos .c a b ab C =+-同理：2222cos .b a c ac B =+-2222cos .a b c bc A =+-这一证法突出了向量在余弦定理证明中的作用.但是在学习向量时由于对向量的工具性认识不足，对三角形最重要的一个恒等式AC CB AB +=运用不到位，导致在采用向量证明余弦定理时，不能一下子想到这个方法.二、对教学片段的改进：对教学片段实录和文[1]中存在的问题，笔者作了如下的改进:引入采用文[1]中的引入得到，已知三角形的“两边夹一角”如何确定第三边的问题.师：在∆ABC 中，已知,,90,c b A a ︒=求.生：由勾股定理，有222a b c =+.师：能否由向量方法证明勾股定理？生：由CB BA AC =+，两边平方2222()2CB BA AC BA BA AC AC =+=+∙+因为90A =，所以0BA AC ∙=，故222CB BA AC =+即222a b c =+师：当90A ≠时，又如何求a ？生：由CB BA AC =+，两边平方2222()2CB BA AC BA BA AC AC =+=+∙+ 又因为cos()cos BA AC BA AC A bc A π∙=∙∙-=-所以2222cos a c bc A b =-+，即2222cos a b c bc A =+-三、科学地解读教材、合理地挖掘、利用教材教材是课程的重要资源，是教师教学的重要依据和学生学习的重要文本.科学地解读教材，合理地挖掘、利用教材是每个教师必备的基本功，教师只有静下心来，仔细研究教材，充分发挥教材在教学中的引领作用，才能提高教学的有效性.教材是学术数学到教育数学转化的产物，教师使用教材的过程又是一个吸收和改造的过程.一节课教学设计的是否适合学生，首先取决于教师对整节课教学内容的准确把握. 教师只有在认真研读新课标、全面理解全章节知识的基础上才能正确地把握整节课的教学内容，才能正确组织教学内容进行设计，才能明白本节课重点、难点，学生的疑点是什么. 哪些内容不宜放在这一课，哪些知识在本节课学习比较合理，哪些知识适合后续学习；有没有必要在课堂上引领学生进行探究，习题该怎样变式，变式的核心是什么，问题的解决还有哪些方法，教学过程中要渗透什么数学思想方法，要培养学生什么能力等等，这些都值得教师深思. 这要求教师从整体性、联系性的视角审视教学内容，应该根据学生的实际情况去进行教学，使教学设计不偏离数学本质.其实，余弦定理的证明方法很多，如：①三角证法（通过解直角三角形）②利用向量的数量积证明③利用坐标法证明，证法如下：如图，建立平面直角坐标系，设(0,0),(,0),(cos ,sin )C B a A b C b C ，根据两点距离公式得，AB = 即222222cos 2cos sin c b C ab C a b C =-++，整理得：2222cos .c a b ab C =+-④文[3]介绍了通过正弦定理证明余弦定理和通过射影定理证明余弦定理.⑤文[4]介绍了用极坐标证明余弦定理和复数证明余弦定理等等.为了培养学生对数学的兴趣，课后可以引导学生对定理给出新的证明方法.教师把握并使用教材是极富主动性、创造性的工作.在具体的教学过程中，我们要从学校、学生和自身的实际情况出发，主动地、合理地对教材进行解读，引领学生走进教材，要努力形成适合于自己、有益于学生的教学设计和方法.只要我们下真功夫研读教材，科学、合理、有效地用好教材，学生求知的星星之火定能成燎原之势.四、对常态课的一点反思常态课堂即一种自然、真实状态下的课堂教学活动,是师生在不受其他外界因素干扰下的双边教学过程。
1.1.2余弦定理-人教A版高中数学必修五课件
试一试
若三角形的三边为7，8，3，试判断此三角形的形
状.
钝角三角形
四.小结
四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和 角。 （3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两 个角； （4）已知三边，求三个角。
五、题型探究
题型一 余弦定理的简单应用
解：由余弦定理知，有 cos B a 2 c 2 b2 , 2ac
代入c a cos B, 得c a a 2 c 2 b2 , b2 c 2 a 2 2ac
△ABC是以A为直角的直角三角形，sin C c a
又 b a sin C, b a c c. a
△ ABC也是等腰三角形
又 2cos Asin B sin C,且sin B 0 cos A sin C c . 2sin B 2b
由余弦定理，有 cos A b2 c 2 a 2 , 2bc
c b2 c 2 a 2 ,即c 2 b2 c 2 a 2 , a b
2b
2bc
又 (a b c)(a b c) 3ab，且a b
例3、在△ABC中，a2>b2+c2，那么A是( A )
A、钝角
B、直角
C、锐角
D、不能确定
结论：一般地,判断△ABC是锐角，直角还是钝角
三角形,可用如下方法.
设a是最长边,则由 cos
A
b2
c2
a2
可得
2bc
（1）A为直角⇔a²=b²+c²
（2）A为锐角⇔a²<b²+c²
（3）A为钝角⇔a²>b²+c²
又 2cos Asin B sin C,
新人教A版必修5高中数学1.1.2余弦定理学案
高中数学 1.1.2余弦定理学案新人教A 版必修5 学习目标1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 学习重难点 重点：掌握余弦定理内容难点：运用余弦定理解斜三角形一、知识链接问题1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．问题2：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、试一试※ 课前练习探究：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . ∵AC = ，∴AC AC ∙= 同理可得： 2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-．新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=， ， ． [理解定理]（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． （2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角．试试：（1）△ABC 中，33a =，2c =，150B =，求b ．（2）△ABC 中，2a =，2b =，31c =+，求A ．cab A B C※ 模仿练习例1. 在△ABC 中，已知3a =，2b =，45B =，求,A C 和c ．变式：在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________．例2. 在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，37c =，求三角形的最大内角．变式：在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A ．三、总结提升※ 学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围：① 已知三边，求三角； ② 已知两边及它们的夹角，求第三边．※ 知识拓展在△ABC 中，若222a b c +=，则角C 是直角；若222a b c +<，则角C 是钝角；若222a b c +>，则角C 是锐角．当堂检测1. 已知a ＝3，c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（ ）. A. 132 B. 13 C. 222 D. 222. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.A ．60B ．75C ．120D ．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）.A ．513x <<B ．13＜x ＜5C ． 2＜x ＜5D ．5＜x ＜54. 在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB －AC |＝________．5. 在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足222b a c ab +-=，则∠C 等于 ．课后作业1. 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求最大角的余弦值．2. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC ⋅的值.课后反思。
2020年高二数学人教A必修5练习：1.1.2 余弦定理 Word版含解析
文库 精品课时训练2 余弦定理一、利用余弦定理解三角形1.在△ABC 中,a=1,B=60°,c=2,则b 等于( )A.1B.√2C.√3D.3答案:C解析:b 2=a 2+c 2-2ac cos B=1+4-2×1×2×12=3,故b=√3. 2.在△ABC 中,c 2-a 2-b 2=√3ab ,则角C 为( ) A.60° B.45°或135° C.150° D.30°答案:C解析:∵cos C=a 2+b 2-c 2=-√3ab =-√3,∴C=150°.3.在△ABC 中,已知sin A ∶sin B ∶sin C=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于 . 答案:120°解析:由正弦定理可得a ∶b ∶c=3∶5∶7,不妨设a=3,b=5,c=7,则c 边最大,∴角C 最大.∴cos C=a 2+b 2-c 2=32+52-72=-1. ∵0°<C<180°,∴C=120°.4.(2015河南郑州高二期末,15)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sin A=√3sin C ,B=30°,b=2,则边c= . 答案:2解析:∵在△ABC 中,sin A=√3sin C ,∴a=√3c.又B=30°,由余弦定理,得cos B=cos 30°=√32=a 2+c 2-b22ac=22√3c 2,解得c=2.二、判断三角形形状5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b+c=2c cos 2A2,则△ABC 是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形答案:A解析:∵b+c=2c cos 2A2,且2cos 2A2=1+cos A ,∴b+c=c (1+cos A ),即b=c cos A.由余弦定理得b=c ·b 2+c 2-a 22bc ,文库 精品化简得a 2+b 2=c 2,∴△ABC 是直角三角形.6.在△ABC 中,若sin 2A+sin 2B<sin 2C ,则△ABC 的形状是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定答案:A解析:由sin 2A+sin 2B<sin 2C ,得a 2+b 2<c 2,所以cos C=a 2+b 2-c 2<0,所以∠C 为钝角, 即△ABC 为钝角三角形.7.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,若a=2b cos C ,试判断△ABC 的形状.解法一:∵cos C=a 2+b 2-c 2,代入a=2b cos C ,得a=2b ·a 2+b 2-c 2,∴a 2=a 2+b 2-c 2,即b 2-c 2=0. ∴b=c.∴△ABC 为等腰三角形.解法二:根据正弦定理asinA =bsinB =csinC =2R ,得a=2R sin A ,b=2R sin B ,代入已知条件得2R sin A=4R sin B cos C , 即sin A=2sin B cos C ,∵A=π-(B+C ),∴sin A=sin(B+C ). ∴sin B cos C+cos B sin C=2sin B cos C. ∴sin B cos C-cos B sin C=0.∴sin(B-C )=0.又-π<B-C<π,∴B-C=0,即B=C.∴△ABC 是等腰三角形.三、正弦定理、余弦定理的综合应用8.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c.已知b-c=14a ,2sin B=3sin C ,则cos A 的值为( ) A.-14 B.14C.12D.-13答案:A解析:∵2sin B=3sin C ,∴2b=3c.又b-c=a4,∴a=2c ,b=32c.∴cos A=b 2+c 2-a 22bc=94c 2+c 2-4c 22×32c×c=-14. 9.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a 2-b 2=√3bc ,sin C=2√3sin B ,则A= . 答案:π6解析:∵sin C=2√3sin B ,∴由正弦定理得c=2√3b. ∵a 2-b 2=√3bc ,∴cos A=b 2+c 2-a 2=c 2-√3bc=2√3bc -√3bc2bc=√32,∴A=π6.10.(2015山东威海高二期中,17)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c 且满足4a cos B-b cos C=c cos B.(1)求cos B 的值;(2)若ac=12,b=3√2,求a ,c.解:(1)已知等式4a cos B-b cos C=c cos B ,利用正弦定理,得4sin A cos B-sin B cos C=sin C cos B ,整理,得4sin A cos B=sin(B+C ), 即4sin A cos B=sin A ,∵sin A ≠0,∴cos B=14.(2)∵ac=12,b=3√2,cos B=14,∴由b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得a 2+c 2=24,联立a 2+c 2=24与ac=12,解得a=c=2√3.(建议用时:30分钟)1.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a=1,b=2,cos C=14 ,则sin B=( )A.15B.√15C.√15D.7答案:B解析:由已知根据余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=4,∴c=2,即B=C , ∴sin B=√1-116=√154.2.(2015河北邯郸三校联考,3)在△ABC 中,如果sin A ∶sin B ∶sin C=2∶3∶4,那么cos C 等于( ) A.23B.-23C.-13D.-14答案:D解析:由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C=a ∶b ∶c=2∶3∶4,可设a=2k ,b=3k ,c=4k (k>0), 由余弦定理可得cos C=a 2+b 2-c 2=4k 2+9k 2-16k 2=-1,故选D .3.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c.若C=120°,c=√2a ,则( ) A.a>b B.a<b C.a=bD.a 与b 的大小关系不能确定 答案:A解析:由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C 得2a 2=a 2+b 2+ab ,∴a 2-b 2=ab>0,∴a 2>b 2,∴a>b. 4.△ABC 的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.19 B.14 C.-18 D.-19答案:A解析:cos B=72+52-62=19,∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos B=7×5×1935=19. 5.在不等边三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,其中a 为最大边,如果sin 2(B+C )<sin 2B+sin 2C ,则角A 的取值范围为( ) A.(0,π2)B.(π4,π2) C.(π6,π3) D.(π3,π2) 答案:D解析:由题意得sin 2A<sin 2B+sin 2C ,再由正弦定理得a 2<b 2+c 2,即b 2+c 2-a 2>0, 则cos A=b 2+c 2-a 22bc >0,∵0<A<π,∴0<A<π.又a 为最大边,∴A>π3.因此得角A 的取值范围是(π3,π2).6.已知在△ABC 中,2B=A+C ,b 2=ac ,则△ABC 的形状为 .答案:等边三角形解析:∵2B=A+C ,又A+B+C=180°,∴B=60°.又b 2=ac ,由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+c 2-2ac cos 60°=a 2+c 2-ac ,∴有a 2+c 2-ac=ac ,从而(a-c )2=0, ∴a=c ,故△ABC 为等边三角形.7.(2015北京高考,12)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC = . 答案:1解析:在△ABC 中,由正弦定理知,sin2AsinC =2sinAcosA sinC =2cos A ·a c =2cos A×46=43cos A ,再根据余弦定理,得cos A=36+25-162×6×5=34,所以sin2A sinC=43×34=1.8.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cos A+ac cos B+ab cos C 的值为 . 答案:612解析:由余弦定理得bc cos A+ac cos B+ab cos C=b 2+c 2-a 22+a 2+c 2-b 22+a 2+b 2-c 22=a 2+b 2+c 22=32+42+622=612.9.在△ABC 中,已知(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,且2cos A sin B=sin C ,试判定△ABC 的形状. 解:由(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,得(a+b )2-c 2=3ab , 即a 2+b 2-c 2=ab.∴cos C=a 2+b 2-c 22ab=ab 2ab =12.∵0°<C<180°,∴C=60°. ∵A+B+C=180°, ∴sin C=sin(A+B ).又∵2cos A sin B=sin C ,∴2cos A sin B=sin A cos B+cos A sin B , ∴sin(A-B )=0.∵A ,B 均为△ABC 的内角,∴A=B.因此△ABC 为等边三角形.10.在△ABC 中,C=2A ,a+c=10,cos A=34,求b.解:由正弦定理得c a =sinC sinA=sin2AsinA=2cos A , ∴c a =32.又a+c=10,∴a=4,c=6. 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得b 2+20=3,∴b=4或b=5.当b=4时,∵a=4,∴A=B. 又C=2A ,且A+B+C=π,∴A=π4,与已知cos A=34矛盾,不合题意,舍去.当b=5时,满足题意,∴b=5......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理(二)学案新人教A版必修5(2021学年)
2018版高中数学第一章解三角形1.1.2 余弦定理(二)学案新人教A版必修5编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2018版高中数学第一章解三角形１．１．２余弦定理（二）学案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.1．2 余弦定理（二)［学习目标］ 1。
熟练掌握余弦定理及其变形形式，能用余弦定理解三角形。
2。
能应用余弦定理判断三角形形状.３。
能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题．知识点一余弦定理及其推论1.ａ２=b2＋c2-２bc cos__A，b２＝ｃ2+ａ2－2ｃa cos_＿B，c２=ａ2+b2－2aｂcos＿＿C．2.cos A=错误!,ｃos B＝错误!,coｓC＝错误!.３．在△AＢC中,ｃ２=a2＋ｂ2⇔C为直角,ｃ2＞a2＋ｂ2⇔Ｃ为钝角;c2＜a2+ｂ2⇔C为锐角．知识点二正弦、余弦定理解决的问题思考以下问题不能用余弦定理求解的是＿＿＿___＿＿.（1)已知两边和其中一边的对角，解三角形；(2)已知两角和一边，解三角形；（3)已知一个三角形的两条边及其夹角，解三角形;（４）已知一个三角形的三条边,解三角形.答案 (2)题型一利用余弦定理判断三角形的形状例1 在△AＢC中,cｏs２错误!＝错误!,其中a,b，c分别是角A，B，C的对边，则△ＡBＣ的形状为（ )A.直角三角形B．等腰三角形或直角三角形Ｃ．等腰直角三角形D．正三角形答案 A解析方法一在△ABC中，由已知得＼f(1＋ｃoｓＢ,2)=＼f(１，2）+错误!，∴cｏｓB=ac=错误!,化简得c２=a2+ｂ2。
人教A版高中数学必修五正弦定理、余弦定理课时练习
正弦定理、余弦定理●作业导航能运用正弦定理、余弦定理求解三角形问题和进行解的判断．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是() A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝42，B＝45°C．a＝6，b＝63，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°2．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则⋅的值为() A．79 B．69C．5 D．-53．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则CBAcbasinsinsin++++等于()A．33B．3392C．338D．2394．在△ABC中，已知a＝x cm，b＝2 cm，B＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是()A．2＜x＜22B．2＜x≤22C．x＞2 D．x＜25．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是()A．135<<x B．13＜x＜5C．2＜x＜5D．5＜x＜5二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC的面积为3，B＝60°，b＝4，则a＝________；c＝________．2．化简a·cos A＋b·cos B-c·cos(A-B)的结果是________．3．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________．4．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S＝4222cba-+，则角C＝________．5．在△ABC中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|-|＝________；|＋AC|＝________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？2．已知钝角三角形ABC中，B＞90°，a＝2x-5，b＝x＋1，c＝4，求x的取值范围．3．在△ABC中，cos210922=+=ccbA，c＝5，求△ABC的内切圆半径．4．R是△ABC的外接圆半径，若ab＜4R2cos A cos B，则外心位于△ABC的外部．5．半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(3a-b)sin B．(1)求角C；(2)求△ABC面积的最大值．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．C分析：A中b sin C＞c，无解；B中c sin B＜b＜c，有两解；C中a sin B＜a＜b，有一解；D中b sin A＜a＜b，有两解．2．D分析：∵·＝-·，∵·＝||||cos B＝21(||2＋||2-||2)＝21(52＋72-82)＝5∴·＝-·＝-53．B分析：∵S△ABC＝21×1×c×sin60°＝3，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2-2bc cos A＝13∴R＝339 sin2=Aa∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C∴33922sinsinsin==++++RCBAcba4．A分析：若解此三角形有两解，则a sin B＜b＜a，即22x＜2＜x，∴2＜x＜22．5．A分析：由三角形三边的关系，得1＜x＜5，(1)当1＜x＜3时，由22＋x2＞32解得5＜x＜3；(2)当3≤x＜5时，由22＋32＞x2解得3≤x＜13，由(1)(2)可知5＜x＜13．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．7±37±3分析：∵S△ABC＝21acsin B＝3，∴ac＝4 ①∵b2＝a2＋c2-2ac cos B，∴a2＋c2＝20 ②由①②解得a＝7±3；c＝7μ32．0分析：∵a＝b cos C＋c cos B，b＝a cos C＋c cos A，c＝b cos A＋a cos B，∴a·cos A＋b·cos B-c·cos(A-B)＝(b cos C＋c cos B)cos A＋(a cos C＋c cos A)cos B-c·(cos A cos B＋sin A sin B)＝b cos C cos A＋c cos B cos A＋a cos C cos B＋c cos A cos B-c cos A cos B-c sin A sin B ＝cos C(b cos A＋a cos B)＋c(cos A cos B-sin A sin B)＝c cos C＋c cos(A＋B)＝c cos C-c cos C＝03．3337分析：设60°的角的对边长为x，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则x2＝82＋52-2×8×5×cos60°＝49，∴x＝7∵7＝2R sin60°，∴R＝33 7∵S△ABC＝21×8×5×sin60°＝21×r×(8＋5＋7)，∴r＝34．45°分析：S△ABC＝21ab sin C＝21224222222=⋅-+=-+ababcbacbaab cos C∴sin C＝cos C，∴tan C＝1，∴C＝45°5．719分析：由三角形法则知|-|2＝||2＝||2＋|AC|2-2||·|AC|·cos A＝32＋22-2×3×2×cos60°＝7∴|-|＝7类似地由平行四边形及余弦定理可知|＋AC|2＝32＋22-2×3×2×cos120°＝19∴|＋|＝19三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：∵A＝30°，b＝10(1)当0＜a＜b sin A时无解，即0＜a＜5时，无解．(2)当a＝b sin A时，有一解，即a＝5时，有一解．(3)当b sin A＜a＜b时，有两解，即5＜a＜10时，有两解．(4)当a≥b时，有一解，即当a≥10时，有一解．综上(1)、(2)、(3)、(4)得当0＜a＜5时，无解；a＝5或a≥10时，有一解；5＜a＜10时，有两解．2．解：∵B＞90°∴A、C皆为锐角，应有43104310630402232360)1(4)52(14524152102222222<<∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+->><∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+++>+->+->+∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>+>>x x x x x x x x x x x x x x x b c a b c a c b a b∴ x 的取值范围是310＜x ＜4．3．解：∵ c ＝5，1092=+cc b ，∴ b ＝4又cos2c c b A A 22cos 12+=+=∴ cos A ＝c b又cos A ＝bc a c b 2222-+∴c bbc a c b =-+2222∴ b 2＋c 2-a 2＝2b 2 ∴ a 2＋b 2＝c 2∴ △ABC 是以角C 为直角的三角形．a ＝22b c -＝3∴ △ABC 的内切圆半径r ＝21(b ＋a -c )＝1．4．证明：∵ ab ＜4R 2cos A cos B由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ∴ 4R 2sin A sin B ＜4R 2cos A cos B ∴ cos A cos B ＞sin A sin B ∴ cos A cos B -sin A sin B ＞0 ∴ cos(A ＋B )＞0∵ cos(A ＋B )＝-cos C∴ -cos C ＞0 ∴ cos C ＜0 ∴ 90°＜C ＜180°∴ △ABC 是钝角三角形∴三角形的外心位于三角形的外部．5．解：(1)∵ R C cB b A a 2sin sin sin === RbB R cC R a A 2sin ,)2(sin ,)2(sin 2222===∴∵ 2R (sin 2A -sin 2C )＝(3a －b )sin B∴2R ［(R a 2)2-(R c 2)2］＝(3a -b )·R b 2∴ a 2-c 2＝3ab -b 2∴232222=-+ab c b a∴ cos C ＝23，∴C ＝30°(2)∵S ＝21ab sin C＝21·2R sin A ·2R sin B ·sin C＝R 2sin A sin B＝-22R ［cos(A ＋B )-cos(A -B )］＝22R ［cos(A -B )＋cos C ］＝22R ［cos(A -B )＋23］当cos(A -B )＝1时，S 有最大值。
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课时作业2 余弦定理
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．在△ABC 中，a ＝4，b ＝4，C ＝30°，则c 2等于( ) A ．32－16 3 B ．32＋16 3 C ．16
D ．48
解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋42－2× 4×4×3
2＝32－16 3.
答案：A
2．在△ABC 中，a 2－c 2＋b 2＝－3ab ，则角C ＝( ) A ．60° B ．45°或135° C ．150°
D ．30°
解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3ab 2ab ＝－32. ∵0°<C <180°，∴C ＝150°. 答案：C
3．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )
A.π3
B.π6
C.π4
D.π12
解析：∵c <b <a ，
∴最小角为角C .
∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋48－132×7×43＝3
2.
∴C ＝π
6，故选B. 答案：B
4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( )
A.14
B.34
C.24
D.23
解析：因为b 2＝ac 且c ＝2a ，由余弦定理：cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2
＝3
4，故选B. 答案：B
5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则AB →·AC →等于( ) A.152 B ．－152 C.1532
D ．15
解析：∵cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－1
2， ∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝5×3×(－12)＝－15
2，故选B.
答案：B
6．△ABC 中，下列结论：①a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A :B :C ＝1:2:3，则a :b :c ＝1:2:3，其中正确的个数为( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：①∵cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc <0， ∴A 为钝角，正确； ②∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－1
2， ∴A ＝120°，错误； ③∵cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab >0，
∴C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误； ④∵A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°， ∴a :b :c ＝1:3:2，错误．故选A. 答案：A
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．在△ABC 中，a 2
＋b 2
<c 2
，且sin C ＝3
2，则C ＝________.
解析：由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab <0，知C 是钝角． ∴由sin C ＝3
2得C ＝120°.
答案：120°
8．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则顶角的余弦值为________．
解析：设顶角为A ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78.
答案：78
9．在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________．
解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝1＋4－4cos C ＝5－4cos C ， 又∵0<C <π2，
∴cos C ∈(0,1)．∴c 2∈(1,5)． ∴c ∈(1，5)． 答案：(1，5) 三、解答题(共计40分)
10．(10分)在△ABC 中，C ＝2A ，a ＋c ＝10，cos A ＝3
4，求b . 解：由正弦定理得 c a ＝sin C sin A ＝sin2A
sin A ＝2cos A ， ∴c a ＝3
2.又a ＋c ＝10，∴a ＝4，c ＝6. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
得b 2＋2012b ＝3
4，∴b ＝4或b ＝5. 当b ＝4时，∵a ＝4，∴A ＝B . 又C ＝2A ，且A ＋B ＋C ＝π，
∴A ＝π4，与已知cos A ＝3
4矛盾，不合题意，舍去． 当b ＝5时，满足题意，∴b ＝5.
11．(15分)(2012·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .
(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．
解： (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝b
sin B ，得 sin B ＝3cos B .
所以tan B ＝3，所以B ＝π
3.
(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝c
sin C ，得c ＝2a .
由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.
12．(15分)在△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 的值是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求三角形周长的最小值．
解：设三角形的另一边是c ，
方程2x 2
－3x －2＝0的根是x ＝－1
2或x ＝2.
∵－1＜cos C＜1，∴cos C＝－1
2.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C
＝a2＋b2－2ab(－1
2)
＝(a＋b)2－ab＝100－ab＝100－a·(10－a)
＝100＋a2－10a
＝75＋(a－5)2.
要使三角形的周长最小，只要c最小，
当a＝5时，c2最小，∴c最小，c的最小值是75＝53，∴三角形周长的最小值是10＋5 3.。