函数周期性的应用
高中数学函数的周期性
高中数学函数的周期性一、函数周期性的认识周期性是函数的一个重要性质，指的是函数在一定的时间间隔内重复出现的规律性。
在函数图像上，这种周期性表现为函数图像的重复形状或模式。
函数周期性的理解对于解决与函数相关的数学问题有着重要的意义。
二、函数周期性的判断判断函数是否具有周期性，可以通过以下步骤进行：1、观察函数的图像，看是否存在重复的模式或形状；2、计算函数值之间的差值，看是否存在固定的差值；3、确定函数的定义域，看是否具有周期性；4、根据函数的性质，确定函数的周期。
三、函数周期性的应用函数周期性在数学中有着广泛的应用。
例如，在三角函数中，正弦函数和余弦函数都是具有周期性的函数，它们的周期与角度有关。
函数周期性在信号处理、图像处理等领域也有着广泛的应用。
四、函数周期性的意义函数周期性是数学中一个重要的概念，它反映了函数变化的规律性。
通过对函数周期性的理解和应用，我们可以更好地理解函数的性质和变化规律，为解决与函数相关的数学问题提供帮助。
函数周期性的概念也渗透到了自然科学和社会科学的各个领域，对于这些领域的研究和发展也有着重要的意义。
高中数学函数的周期性是一个非常重要的概念，对于我们理解函数的性质和解决与函数相关的数学问题都有着重要的作用。
在未来的学习和研究中，我们还需要进一步深入理解和应用函数周期性的概念。
原函数与导函数周期性和奇偶性联系的探究标题：原函数与导函数周期性和奇偶性的探究一、引言在数学分析中，函数的周期性和奇偶性是两个非常重要的性质。
对于一个函数来说，如果其值在每隔一定的区间内重复出现，那么这个函数就被称为具有周期性。
而如果一个函数在与其原点的对称点处的值相等，那么这个函数就被称为具有奇偶性。
这两个性质在很多领域都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。
对于周期函数和奇偶函数，其原函数和导函数之间存在一些有趣的和相互影响。
本文将对此进行深入的探究和分析。
二、原函数与导函数的周期性首先，我们观察一个函数与其导函数之间的周期性关系。
函数的周期性
4 已知函数f x 在其定义域上满足f .由对称性得出周期性的常用结论
1. 若f ( x)同时关于x a, x b对称（a b） , 则函数f ( x)的一个周期是（ 2 b a）.
证明：f (a x) f (a x), f (b x) f (b x) 即f (2a-x) f ( x), f (2b-x) f ( x)
f (2a-x) f (2b-x) 即f (2a+x) f (2b+x) f [2a (2a x)] f [2b (2a x)]
f ( x) f [ x (2b 2a)]，即T=（ 2 b-a）
拓展2.由对称性得出周期性的常用结论
2. 若f ( x)同时关于(a,0), (b,0)对称（a b） , 则函数f ( x)的一个周期是（ 2 b a）.
3. 若f ( x)关于x a对称, 同时关于点（b，）对称 0 ( a b) （b 0） , 则 f ( x)的一个周期是（ 4 b a）.
应用：①利用周期函数的周期性求函数值 练习1：已知是定 义在实数集上的周期函数， 且满足 f (1) 1 ， T 2 ， 求 f (2013) 的值。 练习2：若周期函数f(x) 奇函数，6是f(x)的一个 周期，且f(-1)=1，则f(-5)=——？
(2) f ( x a) f ( x)
判断周期练习：
1已知函数f x 在其定义域上满足f x 1 f x 6 ,
求此函数的周期。T=5
2 已知函数f x 在其定义域上满足f x 1 f x ,
求此函数的周期。T=2 1 , 3已知函数f x 在其定义域上满足f x 1 f x 求此函数的周期。T=2 求此函数的周期。T=2
函数周期性与对称性
函数周期性与对称性函数周期性和对称性是数学中重要的概念，它们在函数的图像以及数学建模中都起着关键的作用。
在本文中，我将详细介绍函数的周期性和对称性，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、周期性周期性是指函数具有重复性质，在一定区间内的函数值是相同的或者是呈规律性变化的。
如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f具有周期T。
例如，正弦函数sin(x)是一个周期为2π的函数。
无论x取何值，sin(x+2π)的值与sin(x)的值相同。
同样地，余弦函数cos(x)也是一个周期为2π的函数。
周期性在物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
例如，声音波动、机械振动和电信号的周期性都可以用周期函数进行建模。
通过分析周期性可以得到这些现象的规律和特性。
二、对称性对称性是指函数图像在某种变换下具有不变性。
常见的对称性有轴对称和中心对称两种。
1. 轴对称：如果对于函数f(x)，存在一个实数a，使得对于任意的x，有f(2a-x)=f(x)，则称函数f具有轴对称。
例如，抛物线函数y=x^2是一个关于y轴对称的函数。
对于任意的x，有x^2=(-x)^2，即函数值关于y轴对称。
2. 中心对称：如果对于函数f(x)，存在一个实数a，使得对于任意的x，有f(2a-x)=-f(x)，则称函数f具有中心对称。
例如，奇函数f(x)=sin(x)是一个关于原点对称的函数。
对于任意的x，有sin(-x)=-sin(x)，即函数值关于原点对称。
对称性在几何学、物理学和图像处理等领域中有重要的应用。
例如，通过分析图像的对称性，可以简化计算或者提取图像中的关键特征。
综上所述，函数周期性和对称性是数学中两个重要的概念。
周期性描述了函数重复规律的特性，对于模拟和分析周期性现象非常有用；而对称性则描述了函数图像在变换下不变的性质，对于建模和处理图像有重要应用。
通过理解和应用函数周期性和对称性，我们能更好地理解数学背后的规律，并将其用于实际问题的解决。
函数的周期性原理及应用
函数的周期性原理及应用1. 什么是函数的周期性原理？函数的周期性原理是数学中一个十分重要的概念。
周期是指函数在一定区间内重复的特性。
周期性原理描述了函数以固定的重复模式出现的现象。
2. 周期函数的定义周期函数是指满足f(x+T)=f(x)，其中T是正数，被称为函数的周期。
例如，$f(x) = \\sin(x)$是一个周期为$2\\pi$的周期函数。
3. 周期函数的特点周期函数具有以下特点：•函数值在一个周期内具有相同的模式，即函数图像在重复的周期内呈现相似的形状。
•周期函数的平均值为周期内各个函数值的平均数。
4. 周期函数的图像周期函数的图像可以通过绘制一个周期内的部分来表示。
例如，对于周期为$2\\pi$的正弦函数，我们可以绘制一个周期内的函数曲线。
通过绘制多个周期，我们可以更全面地观察周期函数的特征。
5. 周期函数的应用周期函数在许多领域都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用：5.1 电子信号处理周期函数在电子信号处理领域扮演着重要的角色。
例如，音频信号、视频信号等都是周期函数。
通过对周期函数进行采样和处理，可以实现音频和视频的数字化和传输。
5.2 信号分析与滤波周期函数的频谱分析是信号处理中的一个重要步骤。
通过对周期函数进行傅里叶变换，可以将其表示为一系列正弦和余弦函数的叠加。
这些频谱分析结果可以用于信号的滤波和频率分析。
5.3 电力系统电力系统中的交流电信号可以看作是周期函数，其周期通常为50Hz或60Hz。
电力系统中的稳定性和谐波分析等问题都与周期函数的性质密切相关。
5.4 振动系统振动系统中的运动可以用周期函数描述。
例如，弹簧振子、摆钟等都具有周期性的运动特性。
通过对周期函数进行分析，可以研究振动系统的行为和性能。
6. 总结函数的周期性原理是数学中重要的概念。
周期函数具有在一个周期内重复的性质，并且在各个周期内具有相似的形状。
周期函数在电子信号处理、信号分析与滤波、电力系统和振动系统等领域有着广泛的应用。
函数对称性与周期性关系的应用
函数对称性与周期性关系的应用
简介
函数对称性和周期性是数学中常见的概念。
对称性指的是函数在某个轴线上的图像与轴线两侧的部分完全一致。
周期性则是指函数在某个特定的间隔内重复出现相同的图像。
函数对称性的应用
函数对称性在数学和物理学中有着广泛的应用。
以下是一些例子：
1. 对称函数的性质分析：通过研究函数的对称性，可以得到一些关于函数性质的重要信息。
例如，对称函数的奇偶性决定了函数的对称轴是不是原点，从而可以简化函数的分析和计算。
2. 对称性的图像处理：在图像处理中，往往需要分析和处理对称图像。
通过利用图像中的对称性，可以实现图像的压缩、重建和去噪等操作。
函数周期性的应用
函数周期性在信号处理和物理学中具有重要意义。
以下是一些
例子：
1. 周期信号的分析：周期函数可以用来描述许多信号，如周期
性震荡信号和周期运动。
通过分析周期信号的周期和幅值等特征，
可以获得信号的重要信息，如频率、振幅和相位等。
2. 周期性的运动预测：许多物理过程都可以用周期函数来描述，如天体运动和机械振动。
通过研究周期函数的周期和振幅，可以预
测物理过程的未来状态和行为。
结论
函数的对称性和周期性是数学中一些基本且重要的概念。
它们
在各个领域都有着广泛的应用，包括函数性质分析、图像处理、信
号处理和物理学等。
通过深入理解函数对称性和周期性的原理和应用，可以更好地应用于实际问题的解决中。
函数周期性的判断及应用
函数周期性的判断及应用函数的周期性是指函数在某一范围内呈现出重复的规律性。
周期性的判断主要通过函数的图像或者函数的表达式进行分析。
在数学中，周期性函数是一类非常重要的函数，它们在各个领域有着广泛的应用。
首先我们来讨论如何判断一个函数是否是周期性函数。
一个函数f(x)的周期性可以由以下两种方法进行判断：1. 通过观察函数图像：根据函数图像的规律来判断函数是否具有周期性。
如果函数图像在某一范围内呈现出重复的规律性，则说明函数是周期性函数。
例如，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)具有周期性，它们的图像在任意区间长度为2π的范围内都重复。
同样的道理，周期为T的函数可以通过观察函数图像在T范围内是否重复来判断。
2. 通过函数表达式：根据函数的表达式来推测函数的周期性。
一些特定的函数在函数表达式中就包含周期性的特征，如三角函数、指数函数和对数函数等。
这些函数具有明确的周期性。
例如，sin(x)和cos(x)的周期都是2π，可以在函数表达式中直接看出。
对数函数ln(x)的周期为e，指数函数e^x的周期为ln(a)，其中a是正实数。
除了以上两种方法之外，还可以通过计算周期性函数的周期来判断。
周期性函数的周期可以通过函数图像上两个相邻波峰或者波谷的横坐标差得出。
接下来我们来讨论周期性函数的应用。
周期性函数在各个领域都有广泛的应用，其中包括：1. 信号处理：在电信号处理中，周期性函数被广泛用于信号的表示和分析。
例如，正弦函数和余弦函数可以用来表示周期性电信号的波形。
傅里叶变换是一种常用的信号处理方法，它可以将任意信号分解成不同频率的正弦波的叠加。
周期性函数在傅里叶变换中发挥着重要的作用。
2. 振动和波动现象：周期性函数在物理学中的振动和波动现象的描述中发挥着重要的作用。
例如，弹簧振子的运动可以通过正弦函数来描述。
波动现象如水波、光波以及声波等，也可以通过周期性函数进行描述和分析。
3. 经济学和金融学：周期性函数在经济学和金融学中有很多应用。
函数周期性研究及其应用
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三角函数的周期性及其应用
三角函数的周期性及其应用三角函数是数学中重要的概念之一，它具有周期性质，即在一定范围内，函数值会重复出现。
本文将探讨三角函数的周期性及其在实际问题中的应用。
一、正弦函数的周期性正弦函数是最基本的三角函数之一，记作sin(x)。
它的定义域为实数集合，值域为[-1,1]。
我们可以观察到，正弦函数在[0,2π]区间内呈现周期性，即在这个范围内，函数值会重复出现。
具体来说，在[0,2π]区间内，sin(x)的图像从0递增至最大值1，然后再递减至最小值-1，最后再回到0。
类似地，在[2π,4π]、[4π,6π]等区间内，sin(x)的图像也会重复出现相同的变化规律。
二、余弦函数的周期性余弦函数是另一个重要的三角函数，记作cos(x)。
与正弦函数类似，余弦函数也在一定范围内呈现周期性。
在[0,2π]区间内，cos(x)的图像从最大值1递减至最小值-1，然后再递增至最大值1，最后再回到1。
在其他区间内，余弦函数的图像也会以相同的方式重复出现。
三、三角函数的应用三角函数的周期性在实际问题中有广泛的应用。
以下是其中几个常见的应用领域：1. 物理学：三角函数的周期性在描述波动现象中起到重要的作用。
例如，正弦函数可以用来描述声音的频率和振幅，余弦函数可以用来描述光的波动。
2. 电工电子学：交流电流和交流电压的变化也可以利用三角函数来描述。
正弦函数可以描述电流和电压的周期性变化，而余弦函数则可以描述相位差。
3. 统计学：三角函数可以应用于周期性数据的分析和预测。
例如，通过对历史天气数据的正弦曲线拟合，可以预测未来几天的气温变化趋势。
4. 工程学：三角函数在工程计算、机械振动等方面也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，通过正弦函数可以描述建筑物受地震等力的变形情况。
总结：三角函数具有周期性质，如正弦函数和余弦函数，在一定范围内函数值会重复出现。
这种周期性在物理学、电工电子学、统计学和工程学等领域中都有广泛的应用。
了解三角函数的周期性及其应用，有助于帮助我们理解和解决实际问题。
函数周期性的五类实际案例
函数周期性的五类实际案例
以下是五个实际案例，展示了函数周期性在不同领域中的应用。
1. 电力供应
电力系统中的交流电具有周期性。
电力公司根据用户需求的周
期性变化来调整电力供应。
例如，白天人们使用电能多，晚上使用
电能少，因此电力公司需要调整发电量以满足这种周期性变化。
2. 天气预测
天气变化呈现出一定的周期性，可以通过函数模型进行预测。
气象学家可以利用历史数据建立函数模型，从而预测未来几天的天
气情况。
这些模型通常使用周期函数来描述季节性和日夜变化等周
期性因素。
3. 经济波动
经济领域中经济波动具有一定的周期性。
经济学家通过研究历史经济数据来发现经济波动的周期性规律，并利用函数模型来预测未来的经济走势。
典型的周期性函数如正弦函数可以用来描述周期性波动。
4. 生物钟调控
生物钟是生物体内的一种周期性调控系统。
生物体的许多生理过程，如睡眠周期、饥饿感和体温等，都受到生物钟的调控。
这些生理过程可以被建模为周期函数，以便研究和预测生物体的行为和反应。
5. 信号处理
信号处理中周期性函数是重要的工具。
例如，通过对音频信号进行傅里叶变换，可以将复杂的音频信号分解为多个周期函数的叠加。
这种分解对于音频压缩和音频信号分析非常有用。
这些案例展示了函数周期性在各个领域的广泛应用。
通过对周期性的研究与应用，我们可以更好地理解和预测自然界和社会现象的变化规律。
三角函数的周期性与应用
三角函数的周期性与应用三角函数是高中数学中重要的内容之一，它包括了正弦函数、余弦函数和正切函数等。
这些函数具有周期性的特点，周期性的应用广泛存在于物理、工程、音乐等领域中。
本文将从周期性的定义入手，介绍三角函数的周期性特点，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、周期性的定义周期性是指某个函数在一定范围内反复重复的性质。
对于三角函数来说，周期性是它们最基本的特征之一。
1. 正弦函数的周期性正弦函数的定义为$f(x) = \sin(x)$，其中$x$为自变量，$f(x)$为函数值。
正弦函数的图像在数学坐标系中表现为一条起伏波动的曲线。
其周期为$2\pi$，表示正弦函数在$x$轴上反复重复的间隔。
即使对于不同的自变量，如$2\pi$、$4\pi$等，正弦函数的值也会相同。
这种周期性使得正弦函数在实际应用中有着重要的作用。
2. 余弦函数的周期性余弦函数的定义为$f(x) = \cos(x)$。
余弦函数与正弦函数非常相似，它们的周期也均为$2\pi$。
但是，余弦函数的图像在$x$轴上的起点并不是在零点，而是在$\frac{\pi}{2}$。
除此之外，余弦函数与正弦函数在周期性上的特点是一致的。
3. 正切函数的周期性正切函数的定义为$f(x) = \tan(x)$。
正切函数的图像在$x$轴上也具有周期性，其周期为$\pi$。
正切函数的图像是一条以原点为对称中心的曲线。
二、周期性的应用三角函数的周期性在实际应用中有着广泛的应用。
下面将从物理、工程和音乐三个领域中具体介绍其中的应用。
1. 物理应用在物理学中，三角函数的周期性被广泛应用于波动的描述。
例如，声波在传播过程中经历周期性的变化。
正弦函数可以用来描述声波的波形，通过调整正弦函数的振幅和频率，可以表达不同的音调和音量。
此外，光波、电磁波等也可以利用三角函数的周期性进行分析和描述。
2. 工程应用在工程领域中，周期性在信号处理、通信等方面有着重要的应用。
例如，调制技术中使用正弦函数来传输信息信号，通过调整正弦函数的频率和振幅调制出不同的信号。
函数的奇偶性与周期性的应用
函数的奇偶性与周期性的应用函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
在实际问题中，我们经常会遇到需要研究函数的奇偶性和周期性的情况。
本文将讨论函数的奇偶性和周期性在数学和实际问题中的应用。
一、函数的奇偶性奇函数和偶函数是指具有特定对称性质的函数。
1. 奇函数奇函数是指满足以下条件的函数：对任意实数 x，有 f(-x) = -f(x)。
奇函数具有关于原点对称的性质，即图像关于原点对称。
例如，常见的奇函数有正弦函数 sin(x) 和三角函数 tan(x)。
在实际问题中，奇函数的应用很广泛。
比如，当我们研究对称材料的性质时，可以使用奇函数来描述。
此外，奇函数在信号处理和电路设计中也有很多应用，可以用于滤波和调制等方面。
2. 偶函数偶函数是指满足以下条件的函数：对任意实数 x，有 f(-x) = f(x)。
偶函数具有关于 y 轴对称的性质，即图像关于 y 轴对称。
例如，常见的偶函数有余弦函数 cos(x) 和绝对值函数 |x|。
在实际问题中，偶函数也有许多应用。
比如，在对称图形的研究中，可以使用偶函数来描述图形的特性。
此外，偶函数在信号处理和图像处理中也有广泛应用，可以用于图像增强和去噪等方面。
二、函数的周期性周期函数是指在一定区间内具有重复性质的函数。
1. 周期函数的定义周期函数是指满足以下条件的函数：存在一个正数 T，对任意实数x，有 f(x+T) = f(x)。
周期函数的图像在一定区间内重复出现，具有明显的周期性。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。
2. 周期函数的应用周期函数在实际问题中的应用非常广泛。
比如，当我们研究震动问题时，可以使用周期函数来描述物体的运动轨迹。
此外，在电路设计和信号处理中，周期函数也有很多应用，例如音乐信号的合成和调节。
总结：函数的奇偶性和周期性在数学和实际问题中起着重要作用。
通过研究函数的奇偶性，我们可以揭示问题中的对称性质，从而更好地理解问题。
而函数的周期性则描述了重复出现的模式，使我们能够分析问题的重复特征。
函数的周期性与奇偶性判断
函数的周期性与奇偶性判断在数学中，函数的周期性和奇偶性是两个重要的性质，它们可以帮助我们更好地理解和分析函数的行为。
本文将详细介绍函数的周期性和奇偶性，以及如何判断一个函数是否具有这些性质。
一、函数的周期性周期性是指函数在一定的区间内，以相同的规律不断重复。
如果函数f(x)满足以下条件，则称其具有周期性：f(x + T) = f(x)，其中T为正实数。
换句话说，如果对于函数f(x)的任意x值，都有f(x + T) = f(x)，那么函数f(x)就是周期函数，其中T称为函数的周期。
常见的周期函数有正弦函数、余弦函数等。
例如，正弦函数sin(x)的周期是2π，即对于任意x，都有sin(x + 2π) = sin(x)。
而余弦函数cos(x)的周期也是2π。
判断一个函数是否具有周期性，可以通过观察函数的图像或使用数学方法来确定。
例如，对于三角函数来说，我们可以观察函数的波形是否在一定区间内不断重复。
对于其他类型的函数，我们可以使用数学方法来求解函数的周期。
二、函数的奇偶性奇偶性是指函数在坐标系中关于原点对称。
具体而言，如果函数f(x)满足以下条件，则称其具有奇偶性：奇函数：f(-x) = -f(x)，即函数关于原点对称。
偶函数：f(-x) = f(x)，即函数关于y轴对称。
对于奇函数来说，当x取正值时，函数值与对应的负值相等但符号相反。
而对于偶函数来说，无论x为正值还是负值，函数值都相等。
常见的奇函数有正弦函数sin(x)，而常见的偶函数有余弦函数cos(x)。
例如，对于正弦函数sin(x)，我们可以观察函数的图像是否关于原点对称，即是否在y轴上下对称。
而对于余弦函数cos(x)，我们可以观察函数的图像是否关于y轴对称。
判断一个函数是否具有奇偶性，可以使用函数的性质来进行推导。
例如，对于三角函数来说，我们可以根据函数的定义和性质来判断其奇偶性。
对于其他类型的函数，我们可以使用函数的表达式进行分析。
三、函数周期性和奇偶性的应用函数的周期性和奇偶性在数学和物理中有广泛的应用。
函数周期性在解题中的应用
函数周期性在解题中的应用函数的周期性是新教材第四章中的难点，也是高考常考的内容之一，一些学生对解周期性的问题无从下手、无所适从。
根据笔者近几年的教学实践，现将函数周期性问题的解法归纳总结如下。
解决函数周期性问题的要点是通过代换、变形，使f（x+T）=f（x）成立（其中T≠0为常数），借此确定函数的周期，然后再通过函数的其他性质去解决问题。
一、在求函数周期上的应用例1.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x），则函数f（x）的一个周期是______。
解：∵ f（x+2）=-f（x），∴作代换将x换为x+2，得f[（x+2）+2]=-f（x+2），即f（x+4）=-f （x+2）=f（x），∴函数f（x）的一个周期是4。
二、在求函数值上的应用例2.设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x,则f（π）=______。
解：∵x∈（-∞，+∞），f（x+2）=-f（x），故将x换为x+2得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是以4为周期的奇函数，∴f（π）=f（-1×4+π）= f（π-4）= f[-（4-π）]=- f（4-π）。
而4-π∈[０,１]且x∈ [０,１]时f（x）=x，∴f（π）=- f（4-π）=-（4-π）=π-4。
三、在求函数解析式上的应用例3.设奇函数f（x）是定义在R上的周期为4的周期函数，当x∈[０,2] 时，f（x）=2x-x2。
当x∈[2,4]时，求f（x）的解析式。
分析：要求x∈[2,4]时f（x）的解析式，须将x换为x+2k（k∈Z）,且使x+2k∈[０,2]，则可由已知条件求得f（x）的解析式。
解：∵ x∈[2,4]，∴ -x∈[-4,-2], ∴4-x∈[０,2]；又∵x∈[０,2] 时， f（x）=2x-x2 ∴f（4-x）=2（4-x）-（4-x）2=-x2+6x-8；又∵ f（4-x）=f（-x）=-f（x），∴-f（x） =-x2+6x-8，即 f（x）=x2-6x+8，x∈[2,4]。
函数的周期性
函数的周期性函数的周期性是数学中的一个重要概念。
周期性是指某一函数在一定范围内以恒定的间隔重复出现相同的数值或形态。
周期性在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将讨论函数的周期性及其在不同领域中的应用。
要理解函数的周期性，首先需要了解函数是什么。
函数是一个将输入值映射到唯一输出值的关系。
函数可以是简单的算术运算，也可以是复杂的数学公式。
函数的周期性意味着函数的输出值在一定间隔内重复出现。
这个间隔被称为函数的周期。
周期性可以用数学符号来表示，通常用T表示。
函数的周期性在数学中有许多重要的应用。
其中之一是三角函数。
三角函数是一类周期函数，最常见的三角函数是正弦函数和余弦函数。
正弦函数和余弦函数在物理领域中广泛应用，用于描述波动和振动现象。
例如，声音、光线和电磁波都可以用三角函数来描述。
正弦函数和余弦函数的周期为2π，也可以表示为360度。
函数的周期性还可以用于描述时间序列数据。
时间序列数据是根据时间顺序排列的数据集合。
例如，股票价格、气温和销售量等数据可以用时间序列来表示。
如果某个数据具有周期性，可以使用函数来描述和预测该数据的未来走势。
周期性函数在时间序列分析中被广泛应用，例如傅里叶变换和自回归移动平均模型等。
另一个应用函数周期性的领域是信号处理。
信号处理是一种改变信号特征的技术，用于提取、增强或压缩信号的信息。
函数的周期性在信号处理中起到重要的作用。
例如，滤波器是一种常用的信号处理工具，用于去除信号中的噪声或保留感兴趣的频率分量。
滤波器的设计和分析依赖于信号的周期性特征。
除了上述领域，函数的周期性还在许多其他应用中发挥重要作用。
例如，天文学中的星体运动可以用周期函数来描述，经济学中的商业周期可以用周期函数来研究，生物学中的生物节律可以用周期函数来探索。
函数的周期性在各个学科中都有着重要的地位。
总之，函数的周期性在数学和各个领域中具有广泛的应用。
函数的周期性可以描述函数在一定间隔内重复出现的特性。
高中数学例题：三角函数周期性的应用
高中数学例题：三角函数周期性的应用例1．如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速运动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处，已知在时刻t （min ）时点P 距离地面的高度f （t ）=Asin （ωt+φ）+h ．（1）试确定在时间t min 时P 点距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多少时间P 点距离地面超过70 m ？【思路点拨】（1）由实际问题求出三角函数中的参数A ，h ，及周期T ，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f （t ）．（2）解不等式()70f t >可得．【答案】（1）2()40sin 5032f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）1分钟 【解析】（1）以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，由题意可知：A=40，h=50，T=3，23ωπ∴=，即2()40sin()503f t x πϕ=++，又(0)40sin 5010f ϕ=+=，sin 1ϕ∴=-，2πϕ∴=-，所以2()40sin 5032f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （2）令240sin 507032t ππ⎛⎫-+>⎪⎝⎭，所以21sin 322t ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以25226326k t k ππππππ+<-<+， 所以22422333k t k πππππ+<<+，所以3k+1＜t ＜3k+2． 令k=0，得1＜t ＜2．因此，共有1分钟时间距地面超过70 m ．【总结升华】 实际问题的解决要求我们在阅读材料时读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，将问题数学化，自行假设与设计一些已知条件，提出解决方案，从而最终解决问题． 举一反三：【变式1】如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数sin y A x ω=(0,0)A ω>>，x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为(3,23)S ；赛道的后一部分为折线段MNP ．为保护参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°．求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．【答案】23 6π 5 【解析】 依题意，有23A =，34T=，又2T πω=，∴6πω=．∴23sin 6y x π=，x ∈[0，4]． ∴当x=4时，223sin33y π==．∴M （4，3）．又P （8，0）， ∴2222(84)(03)435MP =-+-=+=（km ）．。
函数对称性、周期性的应用(含解析)
函数对称性、周期性的应用高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）（2）关于轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可.例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分： 若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有② 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.2、中心对称的等价描述：（1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）（2）关于中心对称 在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和()()f a x f a x -=+⇔()f x x a =0a =()()()f a x f b x f x -=+⇔2a b x +=()()f a x f b x -=+f x ,a b 2a b x +=()f x 1x =()()2f x f x ⇒=-()()31f x f x -=-+()f x ()f x a +()()f x a f x a +=-+()f x x a =()f x a +x x ()()f x a f x a +=-+()f x ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦()f x x ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦()f x a +()f x a +0x =()f x ()f x a +a a ()f x x a =()()f a x f a x -=-+⇔()f x (),0a 0a =()()()f a x f b x f x -=-+⇔,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭()()f a x f b x -=-+f前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可.例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称.① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分： 若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有② 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找x ,a b 2a b x +=()f x ()1,0-()()2f x f x ⇒=---()()35f x f x -=--+()f x ()f x a +()()f x a f x a +=--+()f x (),0a ()f x a +x x ()()f x a f x a +=-+()f x ()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦()f x x ()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦()f x a +()f x a +()0,0()f x ()f x a +a a ()f x (),0a ()f x D x D ∀∈T ()()f x T f x +=()f x T ()f x T ()f x ()()f x T f x +=()()()2f x T f x T f x +=+=2T ()f x ()kT k Z ∈()f x ()kT k Z ∈()f x周期中最小的正数，即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数5、函数周期性的判定：（1）：可得为周期函数，其周期（2）的周期分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：所以有：，即周期注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3）的周期 分析： （4）（为常数）的周期分析：，两式相减可得：（5）（为常数）的周期（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）① 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期分析：关于轴对称关于轴对称的周期为② 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期③ 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期()f x C =()()f x a f x b +=+()f x T b a =-()()()f x a f x f x +=-⇒2T a =()()2f x a f x a +=-+()()()()()2f x a f x a f x f x +=-+=--=2T a =()()()1f x a f x f x +=⇒2T a =()()()()1121f x a f x f x a f x +===+()()f x f x a k ++=k ()f x ⇒2T a =()()()(),2f x f x a k f x a f x a k ++=+++=()()2f x a f x +=()()f x f x a k ⋅+=k ()f x ⇒2T a =()f x ()f x b a >()f x ,x a x b ==()f x ()2T b a =-()f x x a =()()2f x f a x ⇒-=+()f x x b =()()2f x f b x ⇒-=+()()22f a x f b x ∴+=+()f x ∴()222T b a b a =-=-()f x ()(),0,,0a b ()f x ()2T b a =-()f x x a =(),0b ()f x ()4T b a =-7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 （或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为 证明：关于轴对称函数的周期为关于轴对称 注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数()1sin sin f x x x =+，则 （ ）A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（ ）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（ ） ()kT k Z ∈()f x ()(),a b b a T -≤()f x ()(),a kT b kT k Z ++∈T ()f x x a =()f x ()2kT x a k Z =+∈()f x x a =()()2f x f a x ∴=-()f x T ()()f x kT f x ∴+=()()2f x kT f a x ∴+=-()f x ∴2kT x a =+A ．6B ．8C ．12D ．16例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）.A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭ D．⎫⎪⎪⎝⎭例5．（2020·启航中学三模）已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（ ）A ．()()f x f x -=B ．(2)(6)f x f x -=+C ．(2)(2)0f x f x -++--=D ．(3)(3)0f x f x ++-= 例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( ) A ．0 B ．6 C ．12 D ．18例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当1≥x 时，()f x 是增函数，则()3log 2a f =，⎛=- ⎝b f ，(3)c f =的大小关系正确的是（ ）. A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．b a c >> 例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在区间[]1,2上是减函数，()11f =，()01f =-现有下列结论，其中正确的是：（ ）①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间[]3,4上是减函数；④()f x 在区间()4,4-内有8个零点.A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④ 例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( ) A ．222e e +B ．25050e e +C ．2100100e e +D ．222e e --例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()210f x f x -++=，且当()0,3x ∈时，()()12f f ==-则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．0BC ．D ．【精选精练】1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（）A ．2-B ．2log 3C ．3D ．2log 5- 2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()2x f x =，则()2log 2019f =（ ）A ．20482019-B ．40962019-C ．40962019D ．201940963．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-和()()+2f x f x =，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则关于x 的方程13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,4上解的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在R 上的函数满足()()2,(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（ ）A ．6B ．4C ．2D ．05．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe -=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（ ）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是A ．4B ．5C ．6D ．78．（2020·全国高三三模）已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当211x x >>时，2121[()()]()0f x f x x x --<恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为（ ）A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程()222(1)(3)x x x x y e e ----=+的曲线有下列说法： ①该曲线关于2x =对称；②该曲线关于点(2,1)-对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数.其中正确的是（ ）A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-，当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，则函数()()g x cos x f x π-＝在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（ ）A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.5 4.5f f f -＜＜13．（2020·福建高三三模）已知定义在R 上的函数()f x 的对称中心为()2,0，且当[2,)x ∈+∞时，2()2f x x x =-+，则不等式()f x x >的解集为（ ）A．⎛ ⎝-⎭∞ B．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ C．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ D．⎛ ⎝-⎭∞ 14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x +=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1m i i i x y =+=∑（ ） A ．0 B ．m C ．2m D ．4m【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数()1sin sin f x x x =+，则 （ ）A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称 【答案】D【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C ，D ．【解析】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x xππ-=--≠-=+=故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对，故选：D ．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数周期公式，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质．例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（ ）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 【答案】B【解析】因为定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，所以()00f =，因为()()30f x f x -+-=，()()630f x f x -+-=，两式相减可得，()()6f x f x -=-，故6T =，故()()202200f f -==；因为()()()2022064f f f '''-===，故所求切线方程为48088y x =+，故选：B ．例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．16【答案】D【解析】对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立,故()()2f x f x -=+，又()f x 为偶函数，所以()()2f x f x =+，2T =，且当10x -≤≤时，()()()221122f x x x x =-+=-，设()293log log h x x x ==，则()h x 为偶函数，求方程()29log f x x =根的个数转化为求()f x 与()g x 的交点个数，画出当0x >时()y f x =与()y g x =的图像，如图：可知两图像有8个交点，又()f x 与()g x 都为偶函数，所以()f x 与()g x 有16个交点，即方程()29log f x x =根的个数为16.故选：D.例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）.A．0,6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．0,5⎛ ⎝⎭D．5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题可知：cos 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与log a y x =的图像 在0x >的交点至少有3对，可知()0,1a ∈， 如图所示，当6x =时，log 62a >-，则0a <<故实数a的取值范围为0,6⎛ ⎝⎭故选：A例5．（2020·启航中学三模）已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（ ） A ．()()f x f x -=B ．(2)(6)f x f x -=+C ．(2)(2)0f x f x -++--=D ．(3)(3)0f x f x ++-=【答案】D【解析】∵函数(1)f x +的图象关于()1,0对称， ∴函数()f x 的图象关于(2,0)对称，令()(1)F x f x =+，∴()()2F x F x =--，即()(3)1f x f x -=-+，∴()()4f x f x -=- …⑴ 令()(3)G x f x =+，∵其图象关于直线对称，∴()()2G x G x +=-，即()()53f x f x +=-，∴()()44f x f x +=- …⑵ 由⑴⑵得，()()4f x f x +=-，∴()()8f x f x += …⑶ ∴()()()844f x f x f x -=-=+-，由⑵得()()()()()4444f x f x f x +-=--=,∴()()f x f x -=；∴A 对； 由⑶，得()()282f x f x -+=-，即()()26f x f x -=+，∴B 对； 由⑴得，()()220f x f x -++=，又()()f x f x -=， ∴()()(2)(2)220f x f x f x f x -++--=-++=，∴C 对；若()()330f x f x ++-=，则()()6f x f x +=-，∴()()12f x f x +=，由⑶得()()124f x f x +=+，又()()4f x f x +=-，∴()()f x f x =-，即()0f x =，与题意矛盾，∴D 错.故选：D.例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( )A ．0B ．6C ．12D ．18【答案】D 【解析】()211211x g x x x -==+--，由此()g x 的图像关于点()1,2中心对称，()12y f x =+-是奇函数()()1212f x f x -+-=-++，由此()()114f x f x -+++=，所以()f x 关于点()1,2中心对称，1266x x x +++=，12612y y y +++=，所以12612618x x x y y y +++++++=，故选D例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当1≥x 时，()f x 是增函数，则()3log 2a f =，⎛=- ⎝b f ，(3)c f =的大小关系正确的是（ ）. A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】C 【解析】(1)(1)f x f x +=-，∴()f x 关于1x =对称，又1≥x 时，()f x 是增函数，()()3339log 22log 2log 2f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，33392log 4,log 4log 321-==<<<， ∴b a c <<.故选：C.例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在区间[]1,2上是减函数，()11f =，()01f =-现有下列结论，其中正确的是：（ ） ①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间[]3,4上是减函数；④()f x 在区间()4,4-内有8个零点. A ．①③ B ．②④ C ．①③④ D ．②③④【答案】C【解析】由()()2f x f x +=，得()()2f x f x -=-， 结合()f x 为偶函数，得()()2f x f x -=， 则曲线()y f x =关于直线1x =对称，则①正确； 无法推出()()3f x f x -=-，则②不一定正确；由曲线()()12y f x x =≤≤可得曲线()()01y f x x =≤≤， 即得曲线()()02y f x x =≤≤，恰好是在一个周期内的图象； 再根据()f x 是以2为周期的函数，得到曲线()()24y f x x =≤≤，因为在()y f x =在[]1,2上是减函数，()y f x =在[]3,4上是减函数，则③正确； 因为()y f x =在[]1,2上是减函数，()110f =>，()210f =-<，所以()y f x =在[]1,2上有唯一的一个零点，根据对称性，()f x 在区间()4,4-内有8个零点.故选：C.例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( )A ．222e e +B ．25050e e +C ．2100100e e +D ．222e e --【答案】A【解析】由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称 又()f x 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数()()()()()()()()()1281241240f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-=且()()()()2123422f f f f e e +++=+()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222e e =+，故选：A例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()210f x f x -++=，且当()0,3x ∈时，()()12f f ==-则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．0BC ．D ．【答案】B 【解析】()f x 是奇函数且满足()()210f x f x -++=，(1)(2)(2)f x f x f x ，(3)()f x f x ∴+=，()f x ∴是以3为周期的函数，且(0)0f =，()()()()()()()0122020674067416732f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=++=故选：B.【精选精练】1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（） A ．2- B ．2log 3C ．3D ．2log 5-【答案】D 【解析】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，()()(3)f x f x f x ∴-=-=-，∴()f x 的周期为3.3,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，22(2020)(36731)(1)(1log (27)lo )5g f f f f =⨯+==-=--+-=-,故选D ．2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()2x f x =，则()2log 2019f =（ ）A ．20482019-B ．40962019-C ．40962019D ．20194096【答案】B【解析】由()()4f x f x +=，得函数()f x 的周期是4. 由()()0f x f x -+=，则()f x 在R 上是奇函数， 且当()0,2x ∈时，()2xf x =，210log 201911<<，所以()()()222log 2019log 20191212log 2019f f f =-=--212log 2019409622019-=-=-.故选：B 3．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-和()()+2f x f x =，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则关于x 的方程13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,4上解的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由题意可得，函数()f x 为偶函数，且是周期为2的周期函数． 方程1()()3xf x =在[0x ∈，4]上解的个数，即函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，4]上的交点个数，再根据当[0x ∈，1]时，()1f x x =-， 设1,(0)11()()()()330x xx g x g f x =--∴-==.因为1211113()1()0223236g -=--=-=<，数形结合可得，函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，1)内存在两个交点，画出函数()f x 在[0，4]上的图象，如图，故函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，4]上的交点个数为5.（在[0,1]内有2个，在[1,2]有1个，在(2,4]有2个），故选：D ．4．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在R 上的函数满足()()2,(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（ ）A ．6B ．4C ．2D ．0【答案】D【解析】根据题意，函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()4()f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数，当2(]0,x ∈时，()sin f x x x π=-，则()11sin 1f π=-=，()22sin 22f π=-=， 又由()()2f x f x +=-，则()()()()311,422f f f f =-=-=-=-， 所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，所以20201()505((1)(2)(3)(4))0i f i f f f f ==⨯+++=∑．故选：D ．5．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe-=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（ ）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】当[0,3]x ∈时，2()xf x xe =，22211122()x x xf x ee e x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭'=， 当(2,3]x ∈时，()0f x '<，当[0,2)x ∈时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(2,3]x ∈单调递减，在2(]0,x ∈单调递增，(0)0f =，32(3)30f e -=>，又(3)(3)f x f x +=-，函数()f x 关于3x =对称，且是偶函数，所以()()f x f x =-，所以(3)(3)(3)f x f x f x +=-=-，所以函数周期6T =，关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，即()f x t >在[150,150]-上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解结合草图可得：1322,3t e e --⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos xf x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】∵f （x ）是奇函数；∴f （x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f （x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f （x ）的周期为4；∴f （2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫⎪⎝⎭∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C.7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数.又[1,1]x ∈-时，()||f x x =，所以函数()f x 的图象如图所示.再作出3log y x =的图象，易得两图象有4个交点，所以方程3()log ||f x x =有4个零点．故应选A ． 8．（2020·全国高三三模）已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当211x x >>时，2121[()()]()0f x f x x x --<恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】C【解析】：∵当x 2＞x 1＞1时，[f （x 2）-f （x 1）]（x 2-x 1）＜0恒成立， ∴()()()122121,1,,0x x x x f x f x ∀∈+∞>-<且，有 ， ∴f （x ）在（1，+∞）上单调递减， 又∵函数f （x ）的图象关于直线x =1对称， ∴a=f （12-）=f (52),∵e>52>2>1, ∴f (e)<f (52)<f (2) 即b>a>c,故选：C.9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为（ ） A ．[4,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】C【解析】函数()f x 的图象关于点()1,0对称且在(,0)-∞上单调递增，所以()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以对称轴22m≤，即4m ≤.故选：C 10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程()222(1)(3)x xx x y e e ----=+的曲线有下列说法：①该曲线关于2x =对称； ②该曲线关于点(2,1)-对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数. 其中正确的是（ ） A ．②③ B ．①④ C ．②④ D ．①③【答案】D【解析】因为曲线方程为()222(1)(3)x xx x y e e ----=+，而220x x e e --+>恒成立，故等价于()()()22213x xx x y f x ee----==+.①因为()()()()21122xxx x f x f x e e-+-+==-+，故该曲线关于2x =对称；②要该曲线关于()2,1-对称，则需满足()()2212f x f x ++-=-，而由①中所求，显然()()22f x f x ++-不是常数，故该曲线不关于()2,1-对称； ③当0x <时，()()2130x x -->，且220x x e e --+>，则()0f x >恒成立， 故该曲线不经过第三象限；④容易知()()()21,10,30f f f =-==，此外该曲线上没有其它横纵坐标都是整数的点. 事实上，本题可以利用导数和函数对称性可知，函数图像如下所示：，则容易知该曲线的各种性质. 故选：D.11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-，当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，则函数()()g x cos x f x π-＝在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【解析】由()()f x f x -=，得()f x 的图象关于y 轴对称. 由()()2f x f x =-，得()f x 的图象关于直线1x =对称.当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，所以()f x 在[]1,2-上的图象如图. 令()()0g x cos x f x π-=＝，得()cos x f x π=，两函数()y f x =与y cos x π=的图象在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的交点有5个.故选：C.12．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（ ）A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.5 4.5f f f -＜＜【答案】B【解析】∵函数()f x 满足()()13f x f x +=-，∴()()163f x f x +=-+=()1f x 1f x -=-（）， ∴f （x ）在R 上是以6为周期的函数，∴f （12.5）＝f （12+0.5）＝f （0.5），()()()4.5 4.56 1.5f f f -=-+=又()3y f x =+为偶函数，∴f （x ）的对称轴为x ＝3，∴f （3.5）＝f （2.5）， 又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且()f x 在（0，3）内单调递减，∴f （2.5）＜f （1.5）＜f （0.5） 即f （3.5）＜f （-4.5）＜f （12.5），故选B ．13．（2020·福建高三三模）已知定义在R 上的函数()f x 的对称中心为()2,0，且当[2,)x ∈+∞时，2()2f x x x =-+，则不等式()f x x >的解集为（ ）A．⎛ ⎝-⎭∞ B．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ C．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ D．⎛ ⎝-⎭∞ 【答案】D【解析】依题意知()f x 图象关于点(2,0)对称， 作出()f x 图象如图，可知()f x 在R 上为减函数，由图象可得(,2]x ∈-∞时，()(4)(2)(4)f x f x x x =--=--，由(2)(4)x x x x --=⇒=或x 舍去)， 由图象可知()f x x >的解为⎛ ⎝-⎭∞，故选：D .14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x +=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1mi i i x y =+=∑（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】C【解析】因为函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，即函数()f x （x ∈R ）满足()()22f x f x -+=，所以()y f x =是关于点(0,2)对称，函数21x y x +=等价于12y x =+， 所以函数21x y x +=也关于点(0,2)对称，所以函数21x y x+=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 也关于点(0,2)对称，故交点()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 成对出现，且每一对点都关于(0,2)对称，故()12121()()0422mi i m m i mx y x x x y y y m =+=+++++++=+⨯=∑. 故选：C.。
函数的周期性及其应用
高中数学：函数的周期性及其应用(1)已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋34，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32时，f (x )＝ln(x 2－x ＋1)，则函数f (x )在区间(0,6]上的零点个数是( B )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋34得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，即函数是周期为32的周期函数．∵当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32时，f (x )＝ln(x 2－x ＋1)， 令f (x )＝0，得x 2－x ＋1＝1，解得x ＝1(x ＝0舍去)，又∵函数f (x )的周期为32，∴方程f (x )＝0在区间(0,6]上的解有1，52，4，112，共4个．(2)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，当x ∈(1,4]时，f (x )＝3x －1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (100)＝803__.解析：依题意，f (1)＝f (1＋3)＝f (4)＝3×4－1＝11，f (2)＝3×2－1＝5，f (3)＝3×3－1＝8，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝24，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (100)＝33[f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (100)＝33×24＋f (1)＝792＋11＝803.1.函数周期性的判定及应用(1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数整体的性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合考查．(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用．2．熟记4种常见抽象函数的周期(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |；(2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2|a |； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2|a |； (4)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则T ＝2|a |.(1)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝2.5__.解析：f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝f (x )． 故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)．∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5.∴f (105.5)＝2.5.(2)若f (x )是定义在R 上的周期为4的函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，cosπx ，1＜x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝14 . 解析：因为f (x )的周期为4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋53＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝cos 5π3＝cos π3＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝14.。
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函数周期性的应用1．已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，恒有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝e x －1，则f (－2017)＋f (2018)＝( )(A)0 (B)e (C)e －1 (D)1－e2.已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．23.已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝e x －1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝________．4．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．95．函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于( )A ．－9B ．9C ．－3D ．06．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )．若f (2)>1，f (7)＝a ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)7．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－1，0]上单调递减，设a ＝f (－2.8)，b ＝f (－1.6)，c ＝f (0.5)，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．a >c >b8．定义在R 上的偶函数满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x .且f (－1)＝1，f (0)＝－2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2016)的值为( )(A)2 (B)1 (C)0 (D)－29.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________． 10．(2019·湖南四校联考)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52＋f (x )＝0，当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ，则f (16)＝________．11.已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f(1)＝________． 12.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋3)＝－1f （x ），当1<x ≤3时，f (x )＝cos πx 3，则f (2 017)＝________．13.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且其图象关于直线x =1对称，当[]2,0x ∈-时，()22.f x x x +＝当[]2,4x ∈时，求f (x )的解析式函数周期性的应用1．已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，恒有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝e x －1，则f (－2017)＋f (2018)＝( )(A)0 (B)e (C)e －1 (D)1－eD 解析：由题意可知，函数f (x )是周期为2的奇函数，则：f (2018)＝f (2018－1009×2)＝f (0)＝e 0－1＝0，f (－2017)＝－f (2017)＝－f (2017－1008×2)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e.据此可得：f (－2017)＋f (2018)＝1－e.故选D.2.已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2【解析】当x >0时，x ＋12>12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12，即f (x ＋1)＝f (x )， 所以f (6)＝f (5)＝f (4)＝…＝f (1)＝－f (－1)＝2.3.已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝e x －1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝________．解析：因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－2 017)＝f (2 017)，又f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的函数，所以f (2 017)＝f (1)，f (2 018)＝f (0)，又当x ∈[0，1]时，f (x )＝e x －1，所以f (1)＝e －1，f (0)＝0, 所以f (－2 017)＋f (2 018)＝e －1.4．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．95．函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于( )A ．－9B ．9C ．－3D ．0解析：选B.因为f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (－x )＝－f (x －2)．又因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝－f (x －2)＝f (x －4)，故f (x )的周期为4，所以f (0.5)＝f (8.5)＝9.故选B.6．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )．若f (2)>1，f (7)＝a ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选D.因为f (x ＋3)＝f (x )，所以f (x )是定义在R 上的以3为周期的函数，所以f (7)＝f (7－9)＝f (－2)．又因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)，所以f (7)＝f (2)>1，所以a >1，即a ∈(1，＋∞)．故选D.7．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－1，0]上单调递减，设a ＝f (－2.8)，b ＝f (－1.6)，c ＝f (0.5)，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．a >c >b解析：选D.因为偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，所以函数的周期为2.所以a ＝f (－2.8)＝f (－0.8)，b ＝f (－1.6)＝f (0.4)＝f (－0.4)，c ＝f (0.5)＝f (－0.5)． 因为－0.8<－0.5<－0.4，且函数f (x )在[－1，0]上单调递减，所以a >c >b ，故选D.8．定义在R 上的偶函数满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x .且f (－1)＝1，f (0)＝－2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2016)的值为( )(A)2 (B)1 (C)0 (D)－2答案：C9.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________． 解析：因为f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝－4×14＋2＝－1＋2＝1. 10．(2019·湖南四校联考)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52＋f (x )＝0，当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ，则f (16)＝________．解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52＋f (x )＝0，得f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52＝f (x ＋5)，所以函数f (x )是以5为周期的周期函数，则f (16)＝f (3×5＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即1＋a ＝0，a ＝－1，所以当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x －1，所以f (－1)＝－12，则f (1)＝－f (－1)＝12，故f (16)＝12.答案：1211.已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________． 综合运用函数的奇偶性和周期性进行变换求值．∈f (x )为奇函数，周期为2，∈f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∈f (1)＝0.∈f (x )＝4x ，x ∈(0，1)，∈f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2. ∈f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2.12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋3)＝－1f （x ），当1<x ≤3时，f (x )＝cos πx 3，则f (2 017)＝________．解析：由已知可得f (x ＋6)＝f ((x ＋3)＋3)＝－1f （x ＋3）＝－1－1f （x ）＝f (x )，故函数f (x )的周期为6.所以f (2 017)＝f (6×336＋1)＝f (1)．因为f (x )为偶函数，所以f (1)＝f (－1)，而f (－1＋3)＝－1f （－1）， 所以f (1)＝f (－1)＝－1f （2）＝－1cos 2π3＝2.所以f (2 017)＝2.13.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且其图象关于直线x =1对称，当[]2,0x ∈-时，()22.f x x x +＝当[]2,4x ∈时，求f (x )的解析式首先通过题目条件，证明函数为周期函数因为函数关于x =1对称，且函数为奇函数所以有()(2)()f x f x f x ＋＝－＝－又因为(2)()f x f x +=-所以：()()(4)(2)[]f x f x f x f x ＋＝－＋＝－－＝所以函数为周期函数，且周期T=4因为函数在[]2,0x∈-上的解析式已知，所以由[]2,4,4[2,0], x x∈-∈-可得：()22(4)2(4)(4)68.f x f x x x x x----＝＝＋＝＋。