函数周期性的应用

函数周期性的应用

1．已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，恒有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝e x －1，则f (－2017)＋f (2018)＝( )

(A)0 (B)e (C)e －1 (D)1－e

2.已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，

f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2

3.已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝e x －1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝________．

4．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为

( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

5．函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于( )

A ．－9

B ．9

C ．－3

D ．0

6．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )．若f (2)>1，f (7)＝a ，则实数a 的取值范围为( )

A ．(－∞，－3)

B ．(3，＋∞)

C ．(－∞，－1)

D ．(1，＋∞)

7．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－1，0]上单调递减，设a ＝f (－2.8)，b ＝f (－1.6)，c ＝f (0.5)，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )

A ．a >b >c

B ．c >a >b

C ．b >c >a

D ．a >c >b

8．定义在R 上的偶函数满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫32－x .且f (－1)＝1，f (0)＝－2，

则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2016)的值为( )

(A)2 (B)1 (C)0 (D)－2

9.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝

⎩

⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________． 10．(2019·湖南四校联考)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋52＋f (x )＝0，当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ，则f (16)＝________．

11.已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0

＝4x

，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f(1)＝________． 12.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋3)＝－1f （x ）

，当1

13.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且其图象关于直线x =1对称，当[]2,0x ∈-时，()22.f x x x +＝当[]2,4x ∈时，求f (x )的解析式

函数周期性的应用

1．已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，恒有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝e x －1，则f (－2017)＋f (2018)＝( )

(A)0 (B)e (C)e －1 (D)1－e

D 解析：由题意可知，函数f (x )是周期为2的奇函数，则：

f (2018)＝f (2018－1009×2)＝f (0)＝e 0－1＝0，

f (－2017)＝－f (2017)＝－f (2017－1008×2)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e.据此可得：f (－2017)＋f (2018)＝1－e.故选D.

2.已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－

f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －12，则f (6)＝( )

A ．－2

B ．－1

C ．0

D ．2

【解析】当x >0时，x ＋12>12，

所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋12－12，即f (x ＋1)＝f (x )， 所以f (6)＝f (5)＝f (4)＝…＝f (1)＝－f (－1)＝2.

3.已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝e x －1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝________．

解析：因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－2 017)＝f (2 017)，又f (x ＋

2)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的函数，所以f (2 017)＝f (1)，f (2 018)＝f (0)，又当x ∈[0，1]时，f (x )＝e x －1，所以f (1)＝e －1，f (0)＝0, 所以f (－2 017)＋f (2 018)＝e －1.

4．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

5．函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于( )

A ．－9

B ．9

C ．－3

D ．0

解析：选B.因为f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (－x )＝－f (x －2)．又因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝－f (x －2)＝f (x －4)，故f (x )的周期为4，所以f (0.5)＝f (8.5)＝9.故选B.

6．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )．若f (2)>1，f (7)＝a ，则实数a 的取值范围为( )

A ．(－∞，－3)

B ．(3，＋∞)

C ．(－∞，－1)

D ．(1，＋∞)

解析：选D.因为f (x ＋3)＝f (x )，所以f (x )是定义在R 上的以3为周期的函数，所以f (7)＝f (7－9)＝f (－2)．又因为函数f (x )是偶函数，

所以f (－2)＝f (2)，所以f (7)＝f (2)>1，

所以a >1，即a ∈(1，＋∞)．故选D.

7．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且在[－1，0]上单调递减，设a ＝f (－2.8)，b ＝f (－1.6)，c ＝f (0.5)，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )

A ．a >b >c

B ．c >a >b

C ．b >c >a

D ．a >c >b