最大子序列和的总结

最大子序列和
第一种情况：可以一个不取
【问题描述】：最大子序列和也叫数列的连续最大和，顾名思义，就是在一个长度为n的数列{An}中，求i，j（1<=i<=j<=n），使得数列{An}中，第i个元素到第j个元素之间，所有元素的和最大。

例如：-2, 11, -4, 13, -5, -2时答案为20（11 -4 13）
解法一穷举法：以前我想出了一种算法，具体做法是：取出所给序列的所有子序列求和,共分n组，第一组长度为1，有n个；第二组长度为2, 有n-1个；……，最后一组，长度为n,只有一个。

比较这n(n＋1)/2个序列的和，再将每组的最大值比较，从而得到最大值以及其上下标。

a1 a2 a n-1 a n
a1+a2 a2+a3 a n-1+a n
a1+a2+a3 a2+a3+a4 ......
...... ......
a1+a2......+a n-1 a2+a3......+a n
a1+a2......+a n-1 +a n
此算法比较直接，也容易写出代码，但其时间开销为O(n2)，空间开销为O(n)，效率不高。

解法二：动态规划求解，
1
2
F[i]：表示以元素i结尾的连续最大子序列的和
那么对于第i个元素来说，要形成连续的最大子序列，只和相邻的前一个元素有关。

因为可以不取，所以如果元素a[i]连接到以元素i-1结尾的最大连续子序列f[i-1]后是负数（f[i-1]+a[i]<0）;则宁可不取，这样最大连续子序列和为0。

动态方程：
f[i]:=max{0,f[I-1]+a[i]} (边界条件：f[0]=0;)
3、代码1：
for I:=1 to n do
if (f[I-1]+a[i])>0 then f[i]:=f[I-1]+a[i] else f[i]:=0;
max:=-maxlongint;
for i:=1 to n do if f[i]>max then max:=f[i];
程序代码二：迭代进行
best:=-maxlongint;
temp:=0;
for i:=1 to n do
begin
temp:=temp+a[i]);
if temp>best then best:=temp;
if temp<0 then temp:=0;
end;
注意：加粗的循环体部分的顺序万万不可颠倒！
第二种情况：一定要取一个。

1、解法一：动态规划求解，
2
3
F[i]：表示以元素i结尾的至少要取一个的连续最大子序列的和
那么对于第i个元素来说，有两种选择：
选择一：因至少要选一个，所以可单独选a[i],此时和为a[i];
选择二：把a[i]连接到第i-1个元素结尾的最大连续子序列后。

此时和为f[i-1]+a[i];
两种情况选较大者。

所以动态方程：
f[i]:=max{a[i],f[I-1]+a[i]} (边界条件：f[1]=a[1];)
4、代码：
F[1]:=a[1];
for I:=2 to n do
if (f[I-1]+a[i])>a[i] then f[i]:=f[I-1]+a[i] else f[i]:=a[i]; max:=-maxlongint;
for i:=1 to n do if f[i]>max then max:=f[i];
第三种情况：至少要取两个。

1、解法一：动态规划求解，
选择一：取长度为2：9-2=7；
选择二：把元素a[4]连接到元素a[3]结尾的后面。

F[3]+a[4]=13-2
两者最较大者。

3、动态规划方程为：
F[i]：表示以元素i结尾的至少要取两个的连续最大子序列的和
那么对于第i个元素来说，有两种选择：
选择一：因至少要选两个，所以和为a[i-1]+a[i];
选择二：把a[i]连接到a[i-1]元素结尾的长度至少为2的最大连续子序列后。

此时和为f[i-1]+a[i];
两种情况选较大者。

所以动态方程：
f[i]:=max{a[i-1]+a[i],f[I-1]+a[i]}(i>=3)
(边界条件：f[1]=a[1];f[2]=a[1]+a[2])
5、代码：
F[1]:=a[1]; f[2]:=a[1]+a[2];
for I:=3 to n do
if (f[I-1]+a[i])>a[i-1]+a[i] then f[i]:=f[I-1]+a[i]
else f[i]:=a[i-1]+a[i];
max:=-maxlongint;
for i:=2 to n do if f[i]>max then max:=f[i];
其它情况：
如2014年衢州市竞赛的转型，把相应的内容扩展到矩阵中而已。

5、求M子段和的最值。

问题描述：在一个长度为n的数列{An}中，求m个连续子序列，使得这m个连续子序列的和最大，且m个子序列无公共元素。

特别地，若一子段的数全为负，则这个子段的和为0。

（若两子段x[i..j]与y[i’..j’]不相交，则他们的关系是I<=j<I’<=j’或I’<=j’<I<=j）
输入:
第一行：n, m(1<=n<=100 1<=m<=10,m<=n) n表示数列中有多少数。

第二行：n个数每个数的绝对值<=1000
Sample Input
5 2
-5 9 -5 11 20
Sample Output
40
1、分析：在连续最大子序列和的基础上“加一维”的思想，同样利用动态规划来解决。

用ans[i,j]表示数列前j个元素中，i个无公共元素的子序列的最大和，且必须包含第j个元素，a存放数列元素.
2、则状态转移方程为：
对于第j 个元素，可以单独成一个段，也可以和前面的相连。

选择一：如果元素a[j]单独成一段，那么前面长度为k的序列，划分成不相交的i-1段，能得的和为ans[i-1,k]+a[j];
选择二：如果元素a[j]连接在第i段，那么前面j-1个元素分成不相交的i段，a[j]作为第i段的最后一个元素连上即可。

能得到的和为ans[I,j-1]+a[j 两者取较大值。

ans[i,j]=max{ans[i,j-1]+a[j],ans[i-1,k]+a[]} (i-1<=k<=j-1)
时间复杂度为O(n^3)
3、程序代码：
for i:=1 to m do
for j:=i to n do
begin
ans[i,j]:=ans[i,j-1]+no[j];
for k:=i-1 to j-1 do if ans[i-1,k]+no[j]>ans[i,j] then ans[i,j]:=ans[i-1,k ]+no[j];
end;
for i:=1 to n do if ans[m,i]>best then best:=ans[m,i];
注意：红色部分为确定最大值的过程！因为ans[i,j]表示数列前j个元素中，i 个无公共元素的子序列的最大和，且最大和不一定非要取完所有的元素，所以用一个循环来检测所有m的连续子序列的元素最大和，以确定全局最优值！
6、环形的最大连续子序列和。

方法同上，先断环并复制一份连接上就可以了。

7、矩阵中的最大连续子序列和
把矩阵压缩成线性序列就可以。