人教版八年级数学全等三角形解题能力提升

八年级数学全等三角形解题能力提升

1．判定全等三角形的方法

三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法,这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来。

全等三角形的性质

（１）全等三角形中，对应边相等,对应角相等。

(2)全等三角形的对应线段（对应边上的中线，对应边上的高,对应角的平分线）相等。

（3）全等三角形的周长相等,面积相等。

全等三角形的五种判定公理：

（１）三边对应相等的两个三角形全等,“边边边”（ＳSＳ);

(2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,“边角边”（SAS)；

(３)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,“角边角”（ASA）;

(4)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，“角角边”(AＡＳ）；

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,“斜边，直角边”（HL）。

SＳS（边边边）SＡS（边角边）ASA（角边角）AAＳ(角角边）HL(斜边，直角边)

注意几点：

（1）在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等；

（2)以下情况两个三角形不一定全等:

①三个角对应相等的两个三角形不一定全等 （A ＡＡ）。 ②两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等(S Ｓ

Ａ)。

如图AAA,△ＡＢC 和△AD Ｅ中,∠A=∠A,∠1=∠3,∠２=∠4，即三个角对应相等，但它们只是形状相同而大小并不相等，故它们不全等；又如图SS Ａ，△AB Ｃ和△A ＢD 中，AB=ＡB ，A Ｃ＝AD ，∠B=∠B,即两边及其中一边的对角对应相等,但它们并不全等。 寻找对应元素的规律

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

（１）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边. (２)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的，公共边是对应边． (4）有公共角的,公共角是对应角. (5)有对顶角的,对顶角是对应角．

（６)如右图中,两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）．

通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

SSA

AAA

平移

翻折

旋转

AAA

⎪

⎪

⎪

⎪⎪

⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪

⎪

⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪

⎨⎧⎪⎩⎪

⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）

找直角（）

找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 【提示】 一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等。 判定全等三角形的思路

判定全等三角形的方法: 一、挖掘“隐含条件”判全等

【提示】：公共边，公共角,对顶角这些都是隐含的边,角相等的条件 1.如图（1)，AB=CD,A Ｃ=ＢD,则△ＡＢＣ≌△D ＣＢ吗?说说理由

２.如图（2),点Ｄ在AB 上，点E 在AC 上,CD 与ＢE 相交于点Ｏ,且AD=AE,AB=A Ｃ．若∠B ＝20°,CD=５cm,则∠C= ２0° ,ＢＥ=5cm ．说说理由.

3.如图（３）,AC 与ＢD 相交于O ，若O Ｂ=OD,∠A=∠C ，若AB=3ｃm ，则C Ｄ= 3ｃｍ . 说说理由.

二、添条件判全等

【提示】:添加条件的题目.首先要找到已具备的条件,这些条件有些是题目已知条件,有些是图中隐含条件.

4、如图，已知AD平分∠BAC,

要使△ABD≌△ACD,

根据“SAＳ”需要添加条件AB＝ＡC;

根据“ＡSA”需要添加条件∠BDA=∠CDA;

根据“AAＳ”需要添加条件∠B=∠Ｃ；

５、已知：∠Ｂ=∠DEＦ,ＢＣ=EF，现要证明△ABC≌△DEＦ,

若要以“SAS”为依据，还缺条件AB=DＥ;

若要以“ＡＳA”为依据，还缺条件∠AＣB=∠F；

若要以“AAS”为依据,还缺条件一∠A=∠D，

并说明理由。

三、熟练转化“间接条件”判全等

6.如图(4)AE=CF,∠AＦD=∠CEB，DF=BE,△AＦＤ与△ＣEB全等吗?为什么？

解：∵AE=CF(已知)

∴AE-FE=CF-EF(等量减等量，差相等）

即AF=CE

在△AFD和△CＥＢ中，

AF=CE(已证)

∠AFD=∠CEB(已知)

DF=BE(已知)

∴△ＡFＤ≌△CEB(ＳＡS)

7.如图（5)∠ＣAE=∠BAＤ，∠Ｂ=∠D,ＡC=AE,△ＡBC与△ADE全等吗?为什么?

解：∵∠ＣAE=∠BAD（已知)

∴∠CAE＋∠ＢAE=∠BＡD+∠BAＥ

(等量减等量，差相等)

即∠BAC=∠DＡE

在△AＢC和△ＡDＥ中，

∴△ABC≌△AＤＥ（ＡAＳ）

８.“三月三,放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝,他根据AB=AD,BC=ＤＣ,不用度量,就知道∠ABC=∠ADＣ。请用所学的知识给予说明。

解: 连接AC

在△ABＣ和△ＡDC中,

∴△ADC≌△ABC(ＳＳS）

∴∠ＡBＣ=∠ADC

(全等三角形的对应角相等)

四、条件比较隐蔽时,可通过添加辅助线

如图３，AB=AC，∠１=∠2.

求证:AO平分∠BAC.

分析:要证AＯ平分∠BAC，即证∠BAO=∠BCＯ,要证∠BＡO=∠BCO,只需证∠BＡO和∠ＢCO所在的两图3

∠BAC=∠DAE(已证)

AC=AE(已知)

∠B=∠D(已知)

BC=DC(已知)

AC=AC(公共边)

AB=AD(已知)