计算物理学复习题整理资料

第一章绪论

1.1 计算物理的性质是什么？试举例说明计算物理在哪些学科中有重要应用？

计算物理是指以计算机及计算机技术为工具和手段，运用计算数学的方法解决复杂物理问题的一门应用科学。（1）计算物理是用计算机作为实现手段的实验物理或“计算机实验”。（2）计算物理是一门新型的边缘学科，物理学、数学、计算机科学三者结合的产物。计算物理在物理学中有很多应用，概括起来主要有四个方面：（1）计算机数值分析：通常在物理研究中，我们从已知的物理规律出发得到描写物理过程的抽象数学公式后，最后或许要作数值求解以便与实验结果对照或作为实验的参考数据。例如：中子输运问题（2）计算机符号处理：利用计算机的符号处理系统进行解析计算、公式的推导和高精度的数值计算。例如：多重不定和定积分；（4）计算机实时控制：使物理实验可以在没有人在场的情况下自己监测设备的正常运行，自动采集和分析实验数据。（4）计算机模拟，利用计算机进行的物理实验或“计算机模拟实验”，例如：第一性原理、分子动力学模拟、蒙特卡罗模拟。

1.2 试阐述计算机模拟方法与理论、实验方法相比有什么特殊的优点和局限性。：

优点：1.省时省钱 2. 具有更大的自由度和灵活性 3. 能够模拟极端条件下的试验。缺点：1.不能获得物理定律和理论公式 2. 计算结果缺乏严格的论证，其结果仍需要试验验证。

1.3 试阐述计算物理学和实验物理及理论物理的关系？

计算物理方法是除理论方法和实验方法之外的第三种研究手段，计算物理现已成为物理学研究的三大支柱之一，它与实验物理和理论物理的关系如下图：

1.5并行计算有什么优点？

１.并行计算可以大大加快运行速度，即在短的时间内完成相同的计算量，或解决原来不能计算的非常复杂的问题，２. 提高传统的计算机的速度一方面受到物理上光速极限和量子效应的限制，另一方面计算机器件的产品和材料的生产受到加工工艺的限制，其尺寸不可能做得无限小，因此我们只能转向并行算法。３. 并行计算对设备的投入比较低，既可以节省开支又能完成任务。

1.6 计算物理基本方法，基建原理

第一原理方法是基于量子力学基本原理建立起来的；分子动力学方法是基于经典力学基本原理建立起来的；蒙特卡罗方法是基于统计力学基本原理建立来的。

第二章随机数和蒙特卡洛方法

2.1 简要叙述蒙特卡洛方法的基本思想。

对求解问题本身就具有概率和统计性的情况，蒙特卡洛方法是按照实际问题所遵循的概率统计规律，用计算机进行直接的抽样试验，然后计算其统计参数。

当问题本身就不具有概率和统计性时，或者可以抽象为某个确定的数学问题时，蒙特卡洛方法则首先建立一个恰当的概率模型，即确定某个随机事件A 或随机变量X，使得待求解的解等于随机事件出现的概率或随机变量的数学期望值。然后进行模拟实验，即重复多次地模拟随机事件或随机变量，最后对随机实验结果进行统计平均，求出A出现的频数或X的平均值作为问题的近似解。

针对待求问题，根据物理现象本身的统计规律，或人为构造一合适的依赖随机变量的概率模型，使某些随机变量的统计量为待求问题的解，进行大统计量Ｎ趋于无穷的统计实验方法或计算机随机模拟方法。

2.2 蒙特卡洛方法对随机数有较高的要求，然而实际应用的随机数通常都是通过某些数学公式计算而产生的伪随机数，但是，只要伪随机数能够通过随机数的一系列的统计检验，我们就可以把它当作真随机数放心使用。在产生伪随机数的方法中，有比较经典的冯·诺曼平方取中法和线性同余法，请分别写出它们的递推关系式？对于伪随机数一般需要做哪些统计检验（至少写出四个）？

线性同余法

2.3 蒙特卡洛方法计算中减少方差的技术有哪些？

2.4 若用蒙特卡罗算法计算定积分，请给出其求解原理与计算步骤。

取，由于定积分的几何意义是被积函数在积分区间上的图形构成的曲边梯形面积，而曲边梯形是正方形

的一部分。显然，D的面积为1。用随机投

点的方法在区域D内产生充分多的均匀分布的点（至少2000个点）。

设随机点总数为N，这些点随机地落入D中任何一处。于是，落入曲边

梯形内点的数目m与N之比反映了曲边梯形面积与正方形D的面积之

比如图1所示。由此可计算曲边梯形面积。

蒙特卡罗算法求定积分算法

第一步：产生正方形D中的N个均匀随机数；

第二步：根据的坐标判断，如果则认为落入曲边梯形区域内。统计落入曲边梯形区域内的随机点数目m；

第三步：输出作为定积分的近似值，结束。

2.5 简要叙述变分蒙特卡洛方法求解基态本征能量E0和基态本征态波函数

基本原理，并以一维情况为例说明蒙特卡洛计算步骤。

4.7乘同余数法产生随机数的Matlab上机实验

在计算机上可以用物理方法来产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生，这样产生的序列与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数

或伪随机序列，只要方法和参数选择合适，所产生的伪随机数就能满足均匀性和独立性，与真正的随机数具有相近的性质。产生随机数的方法是先用一定的方法产生[0,1]均匀分布的随机数，然后通过一个适当的变换就可以得到符合某一概率模型的随机数。

常用的产生[0,1]均匀分布的随机数的方法有乘同余法和混合同余法。用乘同余法产生[0,1]均匀分布的随机数递推公式为：

1i i X aX += (Mod M)

11=i i X M

ξ++ 式中a 为乘子，M 为模，当i=1时，xi=xi -1为初始参数，x0可取1或任意奇数。 用乘同余法产生随机数

①编程如下：

x0=1; N=100; %初始化；

s=input('计算机中二进制最大有可能的有效数字s=')

b=input('b=')

M=2^s ; A=5^(2*b+1)

for k=1:N %乘同余法递推100次；

x2=A*x0; %x2和x0分别表示xi 和xi -1；

x1=mod (x2,M); %将x2存储器的数除以M ，取余数放x1（xi ）中；

v1=x1/M; %将x1存储器的数除以M 得到小于1的随机数放v1中；

v(:,k)=v1; % 将v1中的数（ ）存放在矩阵存储器v 的第k 列中，v(:,k)

%表示行不变、列随递推循环次数变化；

x0=x1; %xi -1= xi ；

v0=v1;

end %递推100次结束；

v2=v %该语句末无‘；’，实现矩阵存储器v 中随机数放在v2中，%且可直接显示在MA TLAB 的window 中；

k1=k;

k=1:k1;

plot(k,v,k,v,'r');

xlabel('k'), ylabel('v');title('(0-1)均匀分布的随机序列')

② 程序运行结果N=100 S=32 K=6 a=5^13 N=100 S=48 K=7 A=5^15

N=200 S=32 k=6 A=5^13 N=200 S=48 K=7 A=5^13