第十四讲计算方法建模(1)资料
数学建模计算方法
数学建模计算方法蒙特卡罗算法(该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法)数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法(比赛中通常会碰到大量的数据必须要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab 作为工具)线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题(建模比赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件实现) 图论算法(这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，必须要认真准备)动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法(这些算法是算法〔制定〕中比较常用的方法，很多场合可以用到比赛中)4建模计算法三层次结构：最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
中间层：这一层次中包涵了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由假设干个层次组成，包括所必须合计的准则、子准则，因此也称为准则层。
最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及必须要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。
每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过 9 个。
这是因为支配的元素过多会给两两比较推断带来困难。
层次分析法的应用：在应用层次分析法研究问题时，碰到的主要困难有两个：(i)如何依据实际状况抽象出较为贴切的层次结构;(ii)如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理。
层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。
但层次分析法也有其局限性，主要表现在：(i)它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。
建模计划学习方法
建模计划学习方法一、建模的基本知识学习1.1 学习建模的基本理论知识学习建模的基本理论知识是进行建模计划学习的首要任务。
建模的基本理论知识包括数学建模的定义、原理、基本概念和方法等内容。
在学习建模的基本理论知识时，学习者应当掌握以下几个方面的知识内容：（1）mathematical modeling的定义：建模是将具体问题转化为数学模型，通过数学模型表达和求解实际问题的过程。
（2）建模基本原理：建模的基本原理是建模者必须对所研究对象有深刻的认识，能够准确表达问题，并选择合适的数学工具来描述和求解问题。
（3）建模基本概念：建模的基本概念包括变量、参数、约束条件、目标函数等。
（4）建模方法：数学建模的基本方法有：常微分方程模型、离散数学模型（组合数学模型、概率统计模型）、最优化模型（线性规划模型、整数规划模型、非线性规划模型）等。
1.2 学习建模的相关数学知识数学是建模的基础，学习者应该具备扎实的数学基础知识。
建模所依赖的数学知识主要包括微积分、线性代数、概率统计、离散数学等。
在学习建模的相关数学知识时，学习者应该注重以下几个方面的知识内容：（1）微积分：学习者应该掌握微分、积分的运算方法，以及微分方程的基本理论和求解方法。
（2）线性代数：学习者应该掌握矩阵的运算方法、矩阵的逆、行列式等基本理论知识。
（3）概率统计：学习者应该掌握概率的基本概念、统计的基本概念、概率分布、统计推断等相关知识。
（4）离散数学：学习者应该掌握图论、集合论、数论等基本理论知识。
1.3 学习建模的相关计算机知识在现代建模中，计算机已经成为了不可或缺的工具。
学习者应该具备一定的计算机知识，包括计算机编程、数据处理、数据可视化等。
在学习建模的相关计算机知识时，学习者应该注重以下几个方面的知识内容：（1）计算机编程：学习者应该具备一门计算机编程语言，如Python、Matlab、R等的基本编程能力。
（2）数据处理：学习者应该掌握数据的收集、整理、分析和处理的方法。
数学建模与计算方法
数学建模与计算方法在实践中的重要性
实际应用中数学建模与计算方法的挑战与解决方案
实践经验对数学建模与计算方法的与实践方向
数据预处理：缺失值、异常值和离群点的处理方法
结果验证与评估：如何对模型结果进行验证和评估，以及如何处理过拟合和欠拟合问题
实际应用中的注意事项：如何在实际应用中考虑各种因素，以及如何解决实际应用中的问题
数学建模与计算方法的未来发展
人工智能在数学建模中的应用，提高模型精度和预测能力
机器学习算法在数学建模中的应用，实现自动化建模和优化
云计算技术，提供弹性可扩展的计算资源，降低计算成本
大数据处理技术，处理大规模数据集，加速计算速度
数据驱动的数学建模与计算方法
跨学科应用的拓展
计算方法的优化与创新
人工智能与数学建模的结合
汇报人：XX
数学建模与计算方法
目录
数学建模基础
计算方法概述
数学建模与计算方法的结合
常用数学建模与计算方法
数学建模与计算方法的实践
数学建模与计算方法的未来发展
数学建模基础
建模概念：数学建模是将现实问题转化为数学模型的过程，通过数学模型来描述和解决实际问题。
建模重要性：数学建模是科学研究、工程技术和实际应用中不可或缺的重要工具，能够提高问题解决的效率和质量，促进科技创新和社会发展。
不断尝试和优化计算方法
线性回归模型中最小二乘法的应用
微分方程求解中的有限差分法
概率论中的蒙特卡洛模拟方法
优化问题中的梯度下降法
数学建模为计算方法提供理论框架和应用场景
计算方法为数学建模提供高效求解手段和验证工具
数学建模与计算方法的结合有助于解决复杂问题
数学建模与计算方法的相互促进推动科学和技术的发展
计算方法第一章 讲义
L m U 。由于机器数的字长与阶码有限，因此，计算机中的数是有限的。事实上，计算
机中共有 2
t
U L 1 1 个机器数。把计算机中的全体机器数组成的集合记为 F 或
L 1
F(2,t,L,U),称为计算机机器系。显然，机器系数 F 是一个有限的、离散的、分布不均匀的集 合。不难验证，F 中任意非零数 x 满足 2
计算方法讲义 .1.
谢 进
数理系信息与计算科学教研室 2016 年 9 月
1
第1章
§1.1 计算方法及其相关概念
1.科学计算
绪论
随着人们的生产活动和计算需要， 数学中逐渐发展了一种新的分支一一计算数学。 随着 计算工具的应用，特别是计算机的出现和发展，计算数学（Computational Mathematics）逐 渐发展成为现代意义下的计算科学，或称科学计算(Scientific Computing)，成为了传统的理 论研究和科学实验之后的第三大科学科学方法。 现在， 科学计算在科学研究与工程实际中作 用越来越重要， 甚至用科学计算来取代部分实验和理论研究。 如通过科学让计算机模拟核爆 炸。 这种由科学实验向科学计算的转变， 也促使一些边缘学科的相继出现， 例如， 计算物理、 计算力学、计算化学、计算生物学以及计算经济学等等都应运而生。有些理论证明往往也是 通过科学计算去解决，例如，四色问题，吴文俊院士开创的机器证明等。也就是说，科学计 算可以全部或部分地代替理论证明。
m=-2
0.125 0.15625 0.171875 0.1875 0.203125 0.21875 0.234375
m=-1
0.25 0.3125 0.34375 0.375 0.40625 0.4375 0.46875
数学建模方法知识点总结
数学建模方法知识点总结一、问题分析和建模1.问题分析数学建模的第一步是对实际问题进行分析和理解。
这包括确定问题的背景和范围，理解问题的关键要素，分析问题的复杂程度和不确定性，并确定问题的数学建模的可行性和必要性。
在问题分析阶段，需要充分调研、分析和理解现实世界中的问题，并准确把握问题的本质和特点，为建模和求解奠定基础。
2.建模的基本步骤建模的基本步骤包括确定问题的数学模型的类型，选择合适的数学模型，建立数学模型，进行模型的分析和求解，验证模型的有效性和适用性。
在建模的过程中，需要充分考虑问题的实际背景和要求，选择合适的数学工具和方法，保证模型的准确性和实用性。
3.模型假设在建立数学模型时，需要明确模型的假设，包括输入变量和输出变量，模型的非线性程度，问题的约束条件等。
模型假设的准确性和合理性对于模型的可靠性和有效性至关重要。
二、数学建模的数学方法1.微积分微积分是数学建模中最基本和最常用的工具之一，包括导数、积分、微分方程等。
在建立数学模型和求解问题时，常常涉及到对函数的求导和积分，微分方程的建立和求解等。
2.线性代数线性代数是数学建模中重要的数学工具，包括矩阵和向量的理论和方法，线性方程组的求解，特征值和特征向量的计算等。
在建模和求解问题时，常常需要用到线性代数的知识和方法。
3.概率论与统计学概率论和统计学是数学建模中涉及到的另一个重要领域，包括概率分布，随机变量，样本统计量，假设检验等。
在建立数学模型和分析问题时，需要考虑问题的不确定性和随机性，因此概率论和统计学的知识和方法非常重要。
4.优化方法优化方法是数学建模中用于求解最优化问题的重要工具，包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
在建模和求解问题时，常常需要考虑优化问题，选择合适的优化方法进行求解。
5.离散数学与图论离散数学和图论是数学建模中用于处理离散结构和关系的重要工具，包括图的表示和遍历，图的匹配和覆盖，图的着色和路径等。
在建模和求解问题时，常常需要用到离散数学和图论的知识和方法。
同步电机的建模
0 0
QD
0 0
0 0 0 0
r 0 0 0
0 rf 0 0
a Laa Lab Lac Laf LaD
b
L ba
Lbb
Lbc Lbf
LbD
c Lca Lcb Lcc Lcf LcD
f
Lfa
Lfb
Lfc Lff
LfD
D LDa LDb LDc LDf LDD
Q LQa LQb LQc LQf LQD
1、对于理想电机，转子以匀角速度逆时针旋转， 转子d轴面对磁路的磁导为d；q轴面对磁路的磁导 为q，证明
（G为重量，单位为公斤）
J GD等2 效
4
14
额定机械角速度为0，额定电角速度0＝pp 0，
转子额定转速时的动能为：
Wk
1 2
J02
J＝
2Wk 0 2
有
2Wk 02
d M m Me M D dt
功率基值－SB，转矩基值MB=SB/ 0
标幺化： TJ
d* dt
Mm*
Me*
M D*
M*
15
水轮发电机的转子
汽轮发电机的转子
6
二、同步发电机的简化等值图
定子
气 隙
转子
同步 发电机运行
7
定子上3个等效绕组
b相绕组
c相绕组
a相绕组
8
转子上3个等效绕组
q轴等效的阻尼绕组Q
励磁绕组
d轴等效的阻尼绕组D
同步发电机为：定子3个绕组、转子3个绕组、气隙、 定子铁心、转子铁心组成的6绕组电磁系统。
9
2
d d
dt2 dt
q轴
0
O
建模算法入门知识点总结
建模算法入门知识点总结一、建模算法概述建模算法是指在数据科学领域中利用数学和统计学的方法对数据进行建模和预测的过程。
建模算法的目标是找到可以解释数据背后规律的数学模型，并利用模型对未来的现象进行预测或分析。
常见的建模算法包括线性回归、逻辑回归、决策树、支持向量机、朴素贝叶斯、神经网络等。
下面将对这些算法进行逐一介绍。
二、线性回归线性回归是一种用于建模和分析变量之间关系的统计技术。
它将一个或多个自变量和一个因变量之间的线性关系进行建模，然后利用这个模型对未来的结果进行预测。
线性回归的数学表示为：y = β0 + β1*x1 + β2*x2 + … + βn*xn ，其中y是因变量，x1、x2、…、xn是自变量，β0、β1、β2、…、βn是回归系数。
线性回归的优势在于简单、易理解、易实现，缺点在于只能处理线性关系，无法处理非线性关系。
三、逻辑回归逻辑回归是一种用于建模二分类问题的统计技术。
它将自变量与因变量的对数几率进行线性回归，并利用对数几率进行分类预测。
逻辑回归的数学表示为：p = 1 / (1 + e^(-z))，其中z = β0 + β1*x1 + β2*x2 + … + βn*xn，p是因变量为1的概率，e是自然常数2.71828。
逻辑回归的优势在于简单、易理解、易实现，缺点在于只能处理二分类问题，无法处理多分类问题。
四、决策树决策树是一种用于建模分类和回归问题的算法。
它通过对数据进行分割、选择最优特征、构建树结构来进行预测。
决策树的优势在于易理解、可解释性强、对数据预处理要求低，缺点在于容易过拟合，对噪声敏感，需要进行剪枝来提高泛化能力。
五、支持向量机支持向量机是一种用于分类和回归问题的算法。
它通过寻找超平面来最大化类别间的间隔，从而进行分类和回归预测。
支持向量机的优势在于对于高维数据和非线性数据有较好的表现，缺点在于对于大规模数据训练时间较长，难以解释模型内部。
六、朴素贝叶斯朴素贝叶斯是一种用于建模分类问题的算法。
数学建模常用方法介绍ppt课件
遗传算法一般步骤
1. 完成了预先给定的进 化代数 2. 种群中的最优个体在 连续若干代后没有改进 3. 平均适应度在连续若 干代后基本没有改进
竞赛中的群体思维方法
✓平等地位、相互尊重、充分交流 ✓杜绝武断评价 ✓不要回避责任 ✓不要对交流失去信心
竞赛中的发散性思维方法
➢ 借助于一系列问题来展开思路
与模糊数学相关的问题（二）
模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构造 模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来 确定其分类关系
模糊层次分析法—两两比较指标的确定
模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因素 制约的事物或对象作出一个总的评价，如产 品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植 适应性的评价等，都属于综合评判问题。由 于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性 和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评 判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效 果
3. 合并距离最近的两类为一个新类 4. 计算新类与当前各类的距离（新类与当
前类的距离等于当前类与组合类中包含 的类的距离最小值），若类的个数等于 1，转5，否则转3 5. 画聚类图 6. 决定类的个数和类。
统计方法（判别分析）
➢ 判别分析—在已知研究对象分成若干类型，并已取 得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础 上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样 品进行判别分类。
这个问题与什么问题相似？ 如果将问题分解成两个或几个部分会怎样？ 极限情形（或理想状态）如何？ 综合问题的条件可得到什么结果？ 要实现问题的目标需要什么条件？
➢ 借助于下意识的联想（灵感）来展开思路
抓住问题的个别条件或关键词展开联想或猜想 综合所得到的联想和猜想，得到一些结论 进一步思考找出新思路和方法
计算理论与计算模型课件
生物信息学中的计算模型研究
总结词
详细描述
THANKS
感谢观看
量子计算与量子计算模型研究
总结词
研究量子力学原理在计算领域的应用，包括量子比特、量子门、量子算法等概念， 以及量子计算模型和量子计算机的实现方式。
详细描述
量子计算利用量子比特作为信息的基本单位，通过量子门实现信息的处理和变换， 从而在理论上实现比传统计算机更高效的算法。量子计算模型的研究有助于深入 理解量子计算的原理和机制，为量子计算机的研发和应用提供指导。
数据结构
数据结构是数据的组织方式，对于提高算法效 率至关重要。
图灵机
图灵机是一个理论上能够模拟任何计算机程序的数学模型。
计算理论的应用领域
计算机科学 人工智能 密码学
CATALOGUE
计算模型基础
计算模型的定义与分类
计算模型定义 计算模型分类
常见计算模型介绍
线性回归模型
用于分析两个或多个变量之间的 关系，通过最小二乘法拟合直线， 并计算出回归系数。
决策树模型
一种分类和回归方法，通过递归 地将数据集划分为更小的子集， 构建出一棵树状图。
神经网络模型
模拟人脑神经元网络的一种计算 模型，通过训练和学习过程，实 现对输入数据的分类、预测和识 别等功能。
计算模型的构建方法
数据收集与处理
收集相关数据，并进行清洗、整理和 转换等预处理工作，为构建计算模型 提供基础数据。
计算模型在深度学习中扮演着关 键角色，可以实现复杂的特征提 取和分类任务。
计算模型可以应用于智能控制系 统中，提高系统的稳定性和性能。
CATALOGUE
计算模型的优化与改进
计算模型的性能优化
算法优化 并行计算 内存管理
数学建模数值计算方法总结ppt课件
a12 a22 am2
a1n a2n
x1 x2
a
m
n
x
n
a a
1 1
1 2
a 21 a 22
a 1 n a 2 n
a a
m m
1 2
b1
b
2
a m n
b
m
即 ATAxATb称为正则方程组。
该方程组的解即为超定方程组的最小二乘解。
用最小二乘法解超定方程组的步骤：
x i 1.0 1.25 1.5 1.75 2.0
y i 1.629 1.756 1.876 2.008 2.135
1 .6 2 9 a b
故
1 .7 5 6 a 1 .2 5 b
2
.
1
3
5
a
2 .0 b
解此超定方程组得 a1.122,b0.505
a3.071,
则拟合曲线为 y3.071e0.505x
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
作半对数坐标系(semilogy)下的图形
2
10
c(t) c0ekt
101
c0, k为待定系数
0
10
0
2
4
6
8
曲线拟合问题的提法
已知一组观测数据： ( x i , y i ) i1,2, ,m 要求在某特定函数类 ( x ) 中寻找一个函数 ( x ) 作为 y f (x) 的近似函数，使得二者在节点产生的残差
数学建模教程
拟 合与 插 值
在大量的应用领域中，人们经常面临这样的问题： 给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或 曲面。对这个问题有两种方法。
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
算法建模入门知识点总结
算法建模入门知识点总结一、基本概念1. 数据建模：数据建模是将真实世界的数据用数学模型表示出来的过程。
这个过程包括数据的采集、准备、建模和验证。
数据建模的目的是利用数据之间的相互关系和规律，在现有数据集上建立一个预测模型，并将该模型应用于新的数据集上，对未来的状况或结果进行预测。
2. 特征工程：特征工程是指对原始数据进行特征提取、特征选择和特征变换的过程。
在建模前，通常需要对原始数据进行一定的处理和特征提取，以满足模型的需求。
3. 建模评价：建模评价是指对建立的模型进行评价和验证的过程。
这包括对模型的准确度、召回率、精确率、F1分数等进行评价，以确保模型的有效性和鲁棒性。
二、常用算法及其应用场景1. 线性回归：线性回归是用于预测连续型变量的一种回归方法。
它的应用场景包括商品价格预测、销售预测、股票价格预测等。
2. 逻辑回归：逻辑回归是用于预测二元型变量的一种回归方法。
它的应用场景包括信用评分、银行盗刷预测、疾病诊断等。
3. 决策树：决策树是一种基于树形结构用于分类和预测的算法。
它的应用场景包括客户分群、产品推荐、疾病诊断等。
4. 随机森林：随机森林是一种基于集成学习的分类和回归方法，它的应用场景包括预测市场趋势、股票价格预测、风险评估等。
5. 支持向量机：支持向量机是一种用于分类和回归的算法，它的应用场景包括文本分类、图像识别、信用评分等。
6. 神经网络：神经网络是一种模拟人脑神经元连接关系进行学习和预测的算法，它的应用场景包括图像识别、语音识别、自然语言处理等。
三、建模流程1. 确定建模目标：首先需要明确建模的目标，即需要预测的结果是什么，希望用什么样的模型来进行预测。
2. 数据准备：对原始数据进行清洗、处理、特征提取和特征选择，以满足模型的需求。
3. 模型选择：根据建模的目标和数据的特点，选择适合的算法进行建模。
4. 模型训练：使用训练数据对模型进行训练，以确定模型的参数和超参数。
5. 模型评价：使用验证数据对模型进行评价，以确定模型的准确性和鲁棒性。
数学模型建模方法论一
目标态
教师的主要 教学目标
* 解决实际问题时，分析出问题的初态和 目标态很困难.
* 未清晰地描述出问题的“初态”和“目 标态”之前，过早地进入解决问题的阶段， 会条件不清、目标不明. 例6．飞行管理问题 尽量拓展思路的基础上, 再进行充分分析 得到的问题分解结果：
初态：现有飞机的飞行状态（数据）与碰 撞条件
, t0
r 其中 S , c K 1 N0 K
数学分析
1. 若 r＜0，则S＜0，随着 t ,则 N ( t ) 0
2. 若 r＞0，讨论Logistic曲线特征
(1) N ( t ) 0, N(t) 是单调上升函数.
K ( 2) K lim N ( t ) lim KSt t 1 Ce t
K是使得人口净增长率 r(K)=0 的人口数，可
理解为该地区能容纳的人口上限.
CK 3 S 2e KSt (Ce KSt 1) ( 3) 令 N ( t ) 0 KSt (1 Ce )
K 存在 t 0 使 N ( t 0 ) 0， x( t 0 ) , 且 2
距离
优 化 算 法
问题的初步理解和想法: 飞行管理问题是优化问题,在调整方向角的 幅度尽量小的同时，还必须注意调整方案及 算法的实时性.
思考题：尝试读题与分析
MCM1999A题：强烈的碰撞 美国国家航空和航天局(NASA)从过去某 个时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击 地球会产生的后果。 作为这种努力的组成部分，要求你们队来 考虑这种撞击的后果，假如该小行星撞击到 了南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比 撞到地球的其他地方可能会有很不同的后果。
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学建模方法ppt课件
微
了很大作用。
分
方
应用实例：
程 模
单种群模型(Malthus Logistic )
型
两种群模型
传染病模型（SI SIS SIR）
作战模型
商品销售模型
回归分析是研究变量间统计规律的方法，属于”黑 箱“建模中常用的方法，根据自变量的数值和变化， 估计和预测因变量的相应数值和变化。有线性回归和 非线性回归。
点击添加文本
)点b2击添加文本
ax1m,1x点x21 ,击添a,m加x2nx文2本0 amnxn (, )bn
点击添加文本
建模步骤：
1.建立模型：找出目标函数及相应的限定条件
2.模型的求解：可利用Lin点go击软添件加进文行本求解模型。
3.结果分析
4.灵敏度分析：改变个别相关系数观察最优解是否会
min{D( p, k), D(q, k)}
点击添加文本
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步骤4：重复步骤2和步骤3，直至满足聚类为止。
对于不确定性问题，又可分为随机不确定性与模 糊不确定性两类。模糊数学就是研究属于不确定性， 而又具有模糊性量的变化规律的一种数学方法。
模
点击添加文本
糊
数 学
原理关键词： 模糊集 隶属函数 模糊关系 模糊矩阵
yi 0 1xi1 2 xi2 p xip , i 1,2,, n
其中， i 是随机误差，相互独立且满足E(i ) 0, var(i ) 2
一般非线性模型的形式： 其中， f 是一般的非线性函数， 是 p维参数向量， 是一随机 误差变量，E( ) 0, var( ) 2
，把 Gp 和 Gq 合并
步骤3：计算新类与其他类的距离 点击添加文本
D(r, k) min{d (r, k) r Gr , k Gk , k r} min{d ( j, k) j Gp Gq , k Gk , k j}
小学数学计算课模型流程建模ppt课件
13
④梳理小结（结合具体情境，对算法生成的过程和算 理进行语言的表述。）
操作要领：回顾探究新知的过程，对学习的算理、算法进 一步梳理，能用自己的语言叙述计算的过程，并对算法进行 总结。
例： （1）先用谁去乘14？怎么乘？ （2）再用谁去乘14？怎么乘？ （3）这里的4应写在什么位上？为什么？乘完以后最后干什么？
操作要领：创设氛围，搜集、呈现事实信息，引发问题
例：1.先估算，再列竖式计算：14×2=
231×3=
说一说你是怎么计算多位数乘一位数？
2.课件出示情境图例1观察情景图，我发现的信息有：（ ）
要解决的问题是:（
） 怎样列式？（
）
二 探究新知、互动生成
研究阶段：在学生欲望成功调动后，让学生自己运用已有的知识去尝 试完成感受新旧问题的撞击，激发学生的求知欲。学生小组交流，理清思路 与找出疑难，集体交流，让学生体验问题解决的过程，分享学习的成功。学 生之间、师生之间的相互质疑主要针对汇报中的疑难和自己解决中的困惑， 相互发问弄清算理在此基础上归纳总结出算法，并加以提炼总结优化掌握。
①自主探究
②合作探究
③互动生成
④梳理小结
10
①自主探究（借助小棒和点子图等学具或已有知识的 迁移，初步探究算法，尝试利用自己的算法计算。）
操作要领：经历口算、估算的过程，借助学具、在已有知 识基础上进行自主探究，尝试利用自己的算法计算。
例：（探究算法） （1）先估算一下14×12的结果。
（2）结合点子图，尝试计算14×12 方法一：
笔算两位数乘两位数时要注意什么问题？今天放学以 后，请你们认真观查生活，看看生活中哪里用到了两 位数乘两位数的笔算，把它写到数学日记里，好吗？
2012数学建模培训—计算方法
数学建模培训—计算方法在生产和科研实践所碰到的大量的函数．相当部分是通过实验和观测得到的。
虽然它们的函数关系是客观存在的．但是却不知道其具体的解析表达式．而只能得到离散的数据点(),,0,1,,i i x y i n = 。
因此，希望能对这组数据作分析、处理从而得到比较简单的表达式近似地给出整体上的描述．又由于测定过程中不可避免会产生误差，加之处理数据时所采用方法的近似性，故在求解时又必须考虑这些误差对结果的影响，作好理论分析(收敛性、稳定性、误差分析)．据此合理建立实际系统数学模型的方法称为数值逼近方法．这些方法在数学建模比赛中频繁出现，如2001年血管模拟，2002年灯丝问题等。
我们主要介绍插值法建模及曲线拟合法建模。
第一节 拉格朗日插值及模型通过实验测得函数()y f x =的两两互异的点01,,,n x x x 的函数值，即得如下数据表表1.1求自变量x 与因变量y 的一个近似的函数关系式()y x ϕ=，使其满足(),0,1,,i i y x i n ϕ== (1.1)其中01,,,n x x x 称为插值结点． ()x ϕ称为插值函数．条件式（1.1）称为插值条件．{}{}min ,max i i x x ⎡⎤⎣⎦称为插值区间。
记作[],a b 。
插值法是寻求近似函数的方法之一。
如果x 不是结点，可计算()x ϕ在点x 的值作为原来函数()f x 在此点的近似值。
从几何上看．插值法就是要求一条曲线()y x ϕ=．它通过已知的1n +个点(),,0,1,,i i x y i n = 并用()x ϕ近似表示()f x (图1)．图1在用插值法寻求近似函数的过程中，对函数的类型可有不同的选取。
考虑到代数多项式结构简单，并有良好的分析性质，便于数值计算和理论分析，所以常用代数多项式作为插值函数。
本节主要介绍多项式插值，样条插值。
一、拉格朗日插值 1。
问题的提出设()y f x =是表1.1所示的函数，求次数不超过n 的多项式()n p x ，使其满足插值条件()()0,1,,n i i p x y i n == (1.2)这就是拉格朗日插值问题。
第14课 算法的验证 课件 五上信息科技浙教版(2023)
1、算法可以先编写成计算机程序，再在计算机上进行验证。（ √ ）。
课堂小结
算法设计的 一般过程
• 问题描述与分解 • 抽象与建模 • 算法设计和描述
在计算机中 验证算法
• 算法可以先编写成计算机程序， 再在计算机上进行验证。
课后作业
利用程序验证下图中从仓库到信息科技教室的最短路径？
新知讲解
• 二、在计算机中验证算法
#计算第一条路径长度S1 S1 = L1 + L3
#计算第二条路径长度S2 S2 = L2 + L4
#比较两条线路 if S1 > S2:
print("机器人沿着L1- > L3路径送货") else:
print("机器人沿着L2- > L4路径送货")
新知讲解
那这个算法是否有效？能否成功解决问题？我们可以采用哪些方式来进行验证呢？
新知讲解
一、用流程图描述算法
二、在计算机中验证算 法
新知讲解
用流程图描述算法
一
新知讲解
• 一、用流程图描述算法
针对自动送货机器人送货最短路径问题，经过前几节课的分解、抽象、建模和算法设计， 该算法的主要流程描述如下：
新知讲解
• 二、在计算机中验证算法
输入4段路程的数值： 170、230、100、 150，验证结果。
思考-讨论
➢ 想一想
如果分段路径的数量增加了，你该怎样修改上面这个程序呢？
课堂练习
• 单选题
1、算法设计完成后，还需（ D ）。 A、问题描述与分解 B、抽象与建模 C、算法设计和描述 D、验证算法
课堂练习
• 一、用流程图描述算法
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用 Ln(x)计算插值称为拉格朗日多项式插值．
例１给定 f (x) x 的函数表如下：
x 144 169 225 y = f (x) 12 13 15
写出二次拉格朗日插值基函数，并用二次拉格朗日 插值多项式计算f (175)的近似值．
解 设 x0 144 , x1 169 , x2 225
x j ( j 0,1,, n) 称为插值节点
式(2)称为插值条件
为了确定插值多项式中的系数，将(2)代入(1)，有
an
x0
n an1x0n1
பைடு நூலகம்
a1x0
a0
y0
(3)
an xnn an1xnn1 a1xn a0 yn
记 未知量
X
x0n
x0
n1 1
xn
n
xn n1 1
系数矩阵
实际上比较方便的作法不是解方程组(4)求 A，而是 先构造一组基函数（ n次多项式 ）：
另一种比较方便的作法：
构造一组基函数（n次多项式）：
l
j
(x)
(x
(x x0 )(x x1)(x x j1)(x x j1)(x xn ) j x0 )(x j x1)(x j x j1)(x j x j1)(x j xn
1 4536
(x 144 )( x 169 )
L2 (x) y0l0 (x) y1l1(x) y2l2 (x) 12l0 (x) 13l1(x) 15l2 (x)
代入 x =175，计算得
L2 (175) 13.23015873
于是
f (175 ) 175 13.23015873
最简单的拉格朗日插值多项式是n=1,即取两个插值 节点的情形，也称为线性插值． 利用线性插值多项式计算例１，得
6.1.1 插值问题
插值问题的提法:
已知n+1个节点(xj,yj)（j=0,1,···, n，其中xj互不相同， 不妨设a= x0 < x1 <···< xn =b）
求任一插值点 x *( xj ) 处的插值 y *.
y
y*
y1
•
•
•
y0
•
•
节点(xj,yj)可以看成是由 某个函数y= f (x)产生的, f 的解析表达式可能十分 复杂，或不存在解析式， 只是由节点给出的离散
l0 (x)
(x ( x0
x1 )( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
1 2025
(x
169 )( x
225 )
l1( x)
( x x0 )( x x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
1 1400
(x 144 )( x 225 )
l2 (x)
(x x0 )( x x1) ( x2 x0 )( x2 x1)
)
x xi ( j 0,1,, n)
i0,i j x j xi
（5）
则 l j (x) 满足
l j (xi )
ij
0 1
i j i j
(i, j 0,1,, n)
（6）
n
令
Ln (x) y jl j (x)
（７）
j0
显然Ln(x)是满足(2)的 n次多项式．由方程组(4)解的 唯一性，(7)式表示的 Ln(x)与(1)式相同． lj (x)( j = 0,1,···, n )称为n次插值基函数，
A (an , an1,, a0 )T , Y ( y0 , y1,, yn )T
方程组（３）简写作
XA Y
(4)
其中detX是Vandermonde行列式，利用行列式性质可得
det X (xk xj ) 0 jkn
因x j互不相同，故det X≠0于是方程组(4)中有唯一解， 即根据 n+1个节点可以确定唯一的 n次插值多项式．
ξ处的函数值．
从理论和计算角度看，多 项式是最简单的函数
考虑构造一个过这n+1个点的次数不超过n的多项式：
y Ln (x) an xn an1xn1 ... a1x a0 (1)
使其满足
Ln (x j ) y j , j 0,1,..., n (2)
然后用 Ln ( )作为准确值 f ( ) 的近似值． Ln(x)称为f (x)的n次拉格朗日多项式或插值函数
第六章 计算方法建模（Ⅰ）
§6.1 插值与拟合
• 在计算机技术高速发展的今天，人们越来 越多地依赖计算机．数学与计算机科学的 密切关系，历史已作了回答，可以说计算 机科学是吸吮着数学的乳汁而成长起来 的．而计算机科学的发展，也使传统的计 算方法得到了改进，大量的数学软件库 （包）的引进与开发给求解各种数值问题 带来了极大的方便．本章介绍利用计算机 来求解一些数学模型的方法
x0 x1 x*
数据. xn x
求插值问题的基本思路:
构造一个相对简单的函数y= f (x)，通过全部节点， 即
f (x j ) y j ( j 0,1,, n)
再用 f (x)计算插 值，即
y* f (x*)
y
y*
y1
•
•
y0
•
• •
x0 x1 x *
xn x
在学习高等数学时，我们经常遇到一些近似计算问题，
§6.1 插值与拟合
在工程中，常有这样的问题：给定一批数据点（它 可以是设计师给定，也可能是从测量与采样中得 到），需确定满足特定要求的曲线或曲面 .
如果要求所求曲线（面）通过所给数据点，这就是 插值问题
如果不要求曲线（面）通过所有的数据点，而是要 求它反映对象整体的变化趋势，可得到更简单实用 的近似函数，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲 面拟合．
y
这就是一种插值方 法--分段线性插 值．
0 3
2
2
2 x
插值可以理解为：要根据一个用表格表示的函数，计 算表中没有的函数值，表中有的称为节点，要计算的 称为插值点，结果即为插值。
１.拉格朗日插值 已知y = f (x)在互异的n+1个点 x0, x1,, xn [a,b], 处的函数值 y0, y1,, yn , 而想估计该函数在另一点
如计算 sin 35016 /
已知数学用表中每10'才有一个函数值， 只有 sin 35010 / 0.5760 , sin 3520 0.5783
在sin 3510 到 sin 3520这样小的范围内，正弦函数 可以近似为线性函数．则很容易得到：
sin 35016 / 0.5760 (0.5783 0.5760 ) 0.6 0.5774