《2.14定积分与微积分基本定理》 学案

) 2 B.e －1 1 D.2
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2．设函数 f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若∫3 0f(x)dx＝3f(x0)，则 x0 等于( A．± 1 C．± 3 B. 2 D．2
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)
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3．以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度 v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( 160 A. 3 m 40 C. 3 m 80 B. 3 m 20 D. 3 m
b ∫b af(x)dx＝F(x)|a＝F(b)－F(a)．
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三、例题精析 【例题 1】 【题干】求下列定积分： (1)∫2 0|x－1|dx； (2)

2 0
1－sin 2xdx.
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x∈[0，1 1－x， 【解析】(1)|x－1|＝ x－1， x∈[1，2]
1 2 故∫2 0|x－1|dx＝∫0(1－x)dx＋∫1(x－1)dx 2 2 x |1 x ＝x－ 2 0＋ 2 －x |2 1
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【例题 3】 【题干】 1 如图，曲线 y＝x2 和直线 x＝0，x＝1，y＝4所围成的图形(阴影部分)的面积为( 2 A.3 1 C.2 1 B.3 1 D.4 )
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【答案】D 1 y＝ ， 【解析】由 4 y＝ x2 1 ⇒x＝2或
1 x＝－2(舍)，所以阴影部分面积 1 S＝ 4－x2dx＋ 11 1 1 ＝4x－3x3
1 2 0
1 2 0
2
2 1 x －4dx
1 1 2
1 1 ＋3x3－4x
1 ＝4.
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【例题 4】 10 0≤x≤2 【题干】 一物体在力 F(x)＝ (单位：N)的作用下沿与力 F(x)相同的方向运动了 4 米，力 F(x)做功为 3x＋4 x>2 ( ) A．44 J C．48 J B．46 J D．50 J
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考点 3
定积分的基本性质
b ①∫b akf(x)dx＝k∫af(x)dx.
∫b ②∫b f2(x)]dx＝∫b a[f1(x)± af1(x)dx± af2(x)dx.
c b ③∫b af(x)dx＝∫af(x)dx＋∫c f(x)dx.
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考点 4
微积分基本定理
如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么∫b af(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又 叫做牛顿—莱布尼兹公式． 为了方便，常把 F(b)－F(a)记成 F(x)|b a，即
1 1 ＝2＋2＝1. (2)


2 0
1－sin 2xdx

2 4 2 ＝ 0 |sin x－cos x|dx＝ 0 (cos x－sin x)dx＋ (sin x－cos x)dx

4
＝(sin x＋cos x)
4 0
＋(－cos x－sin x)
2 4
＝ 2－1＋(－1＋ 2)＝2 2－2.
)
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【巩固】
x 4．设 a＝∫π 0sin xdx，则曲线 y＝f(x)＝xa ＋ax－2 在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．
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π 5．(2013· 孝感模拟)已知 a∈0，2，则当∫a 0(cos x－sin x)dx 取最大值时，a＝________.
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学习过程 一、复习预习 1. 2. 导数的概念 导数与函数单调性、极值、最值的关系
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二、知识讲解 考点 1 定积分的概念 在∫b af(x)dx 中，a，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量， f(x)dx 叫做被积式．
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考点 2
定积分的几何意义
①当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b af(x)dx 的几何意义是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所 围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．
②一般情况下，定积分∫b af(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 f(x)以及直线 x＝a，x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和 (右上图中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
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【答案】B
4 【解析】力 F(x)做功为∫2 010dx＋∫2(3x＋4)dx
3 2 4 x ＋ 4 x 2 ＝10x |2 0＋ 2 ＝20＋26＝46.
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四、课堂运用 【基础】 1＋ln x 1.∫e 1 x dx＝( 1 A．ln x＋2ln2x 3 C.2
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课程小结 1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足 F′(x)＝f(x)的函数 F(x)，即找被积函数的原函数，利用求导运算与 求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数，求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出 F(x)． 2．利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分． 3．利用定积分求所围成平面图形的面积，要利用数形结合的方法，确定被积函数和积分上、下限．
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【拔高】 1 6．求曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－3x 所围成图形的面积．
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7．如图，设点 P 从原点沿曲线 y＝x2 向点 A(2,4)移动，直线 OP 与曲线 y＝x2 围成图形的面积为 S1，直线 OP 与曲线 y＝x2 及直线 x＝2 围成图形的面积为 S2，若 S1＝S2，求点 P 的坐标．
定积分与微积分基本定理
适用学科 适用区域 数学 新课标 定积分的概念与几何意义 知 识 点 微积分基本定理 求定积分 定积分的简单应用 学习目标 学习重点 学习难点 1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义． 微积分基本定理 求定积分 微积分基本定理 适用年级 课时时长（分钟） 高三 60
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【例题 2】 x 【题干】 已知函数 f(x)＝∫0 (cos t－sin t)dt(x>0)，则 f(x)的最大值为________．
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【答案】 2－1 π x 【解析】因为 f(x)＝∫0 2sin4－tdt π π x π ＝ 2cos4－t |0 ＝ 2cos4－x－ 2cos 4 π ＝sin x＋cos x－1＝ 2sinx＋4－1≤ 2－1， π 当且仅当 sinx＋4＝1 时，等号成立．