小学奥数几何专题--复杂直线型面积-1(六年级)竞赛测试.doc

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六年级奥数几何; 第1讲;直线型面积_一_;学生版

D A
A
D E E
B
C
B
C

三、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
2010 年·暑假
六年级数学·第 1 讲·学生版
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D
A S1
S2 O
S4
S3
B
C
① S1 : S2 = S4 : S3 或者 S1 × S3 = S2 × S4
② AO : OC = (S1 + S2 ) : (S4 + S3 )
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在 △ABC 中， D, E 分别是 AB, AC 上的点如图 ⑴(或 D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上)，则 S△ABC : S△ADE = ( AB × AC) : ( AD × AE)
一、等积变形 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图 S1 : S2 = a : b
A
B
S1
S2
a
b C
D

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 S△ACD = S△BCD ；
反之，如果 S△ACD = S△BCD ，则可知直线 AB 平行于 CD ．
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边

小学奥数几何专题--复杂直线型面积-6(六年级)竞赛测试.doc

小学奥数几何专题--复杂直线型面积-6（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx 题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？【答案】432【解析】如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都重合到图中的了．这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为平方厘米，所以六边形的面积为平方厘米．【题文】如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于．【答案】【解析】方法一：连接，根据燕尾定理，，,设份，则份，份，份，如图所标所以方法二：连接，由题目条件可得到，，所以，，而．所以则四边形的面积等于．【题文】如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?【答案】5/12【解析】设份，则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米.【题文】四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的多少倍．【答案】2【解析】在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．解法一：∵，∴，∴．解法二：作于，于．∵，∴，∴，∴，∴，∴．【题文】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形的面积；⑵？【答案】6；1：3【解析】⑴根据蝴蝶定理，，那么；⑵根据蝴蝶定理，．【题文】如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求的面积；⑵求的面积．【答案】2/3【解析】⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，根据蝴蝶定理，，所以，那么．【题文】如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．【答案】72【解析】连接，．因为，，所以．因为，，所以平方厘米，所以平方厘米．因为，所以长方形的面积是平方厘米．【题文】如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．【答案】1【解析】因为是边上的中点，所以，根据梯形蝴蝶定理可以知道，设份，则份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米．【题文】在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是多少平方厘米．【答案】12【解析】连接，根据题意可知，根据蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)．【题文】已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．【答案】21【解析】连接．由于是平行四边形，，所以，根据梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，阴影部分面积为(平方厘米)．【题文】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米．【答案】6【解析】连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)．【题文】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米．【答案】4【解析】连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)．另解：在平行四边形中，(平方厘米)，所以(平方厘米)，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为(平方厘米)．【题文】如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为多少平方厘米．【答案】9【解析】连接、．四边形为梯形，所以，又根据蝴蝶定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)．【题文】如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？【答案】12【解析】由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形．在梯形中，和的面积是相等的．而，所以的面积是面积的，那么的面积也是面积的．由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么是的中点，而且，可见和的面积都等于正方形面积的一半，所以的面积与正方形的面积相等，为48．那么的面积为．【题文】下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于多少？【答案】5【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接．设与的交点为．左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的，所以三角形的面积为．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为．如上图所示，在右图中连接、．设、的交点为．可知∥且．那么三角形的面积为三角形面积的，所以三角形的面积为，梯形的面积为．在梯形中，由于，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：，所以三角形的面积为，那么四边形的面积为．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即，那么．【题文】如图，中，，，互相平行，，则．【答案】1：3：5【解析】设份，根据面积比等于相似比的平方，所以，，因此份，份，进而有份，份，所以【题文】如图，平行，且，，，求的长．【答案】10【解析】由金字塔模型得，所以【题文】如图，中，，，，，互相平行，，则．【答案】1：3：5：7：9【解析】设份，，因此份，进而有份，同理有份，份，份．所以有【题文】如图，已知正方形的边长为，l方法二：连接，分别求，，根据蝴蝶定理，所以．【题文】如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点，交于，求的面积．【答案】1/30【解析】解法一：由题意可得，、是、的中点，得，而，所以，并得、是的三等分点，所以，所以，所以，；又因为，所以．解法二：延长交于，如右图，可得，，从而可以确定的点的位置，，，(鸟头定理)，可得。

六年级奥数专题第一讲直线型面积知识

知识提要模型一：任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”)①S1：S2=S4：S3或者S1×S3＝S2×S4② A0：OC=(S1+S2)：(S4+S3)蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．构造模型，一方面我们可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，我们也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①Sl：S3=a2：b2②S1：S3：S2：S4=a2：b2：ab：ab；③S的对应份数为(a+b)2．梯形蝴蝶定理，给我们提供了解决梯形面积与上下底之间关系互相转换的渠道，构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．模型三：燕尾定理：S△ABG：S△AGC=S△BGE：S△EGC =BE：ECS△BGA：S△BGC=S△AGF：S△FGC =AF：FCS△AGC：S△BCG=S△ADG：S△DGB =AD：DB燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径．通过一道例题证明一下燕尾定理：模型四：相似三角形性质①ADAB=AEAC=DEBC=AFAG② S△ADE：S△ABC =AF2：AG2所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变他们都相似)，与相似三角形相关，常用的性质及定理如下：(1) 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；(2) 相似三角形面积的比等于它们相似比的平方；(3) 连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。

这四个模型，再加上我们在秋季学习的三角形面积与底、高成比例的模型共同构成几何的五大模型，这五大模型在以后的学习中会经常用到，希望同学们能认真学习．模型一：“蝴蝶定理”主要抓住两种状态1.任意四边形对角线划分面积的性质：这里最关键的就是“任意”二字，这个定理对四边形的形状没有要求，解决一些所谓“不良四边形”时，如果知道其中三块的面积，就能知道剩下一块，从而能求出整个四边形的面积。

学而思数学六年级第2讲几何一-直线形面积练习题---答案

名校真题测试卷2 （几何篇一）测试时间：15分钟姓名_________ 测试成绩_________1、在直角边为3与4的直角三角形各边上向外作正方形，三个正方形顶点连接成如图所示的六边形ABCDEF ，则这个六边形的面积是 . （07年西城实验考题）FEDCB A2、如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积. （07年清华附中入学测试题）3、四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那么直角三角形中，最短的直角边长度是______米.（06年实验中学入学测试题）4、如图，边长为l 正方形ABCD 中，BE=2EC，CF=FD，求三角形AEG 的面积．（07年人大附中考题）GFED CBA5、如图，长方形ABCD 中，AB＝8，BC＝10，E 是BA 延长线上一点，CE 交AD 于F，△AEF 比△CDF 的面积大40，求AE 的长． (07年四中分班考试题)F ED CB A附答案】图：总面积=三个正方形+中间三角形+CD 边三角形+AB 边=32+42+52【 1. 【解】如三角形+EF 边三角形+12×3×4+12×3×4+12×3×4+12×3×4=742. 【解】根据定理：ABC BED ΔΔ=3211××=61，所以四边形ACDE 的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42.. 【解】小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，所以外边四个为. 【解】连接EF．因为BE=2EC，CF=FD，所以S △DEF =(C3面积和是5-1=4，所以每个三角形的面积是1，这个图形是“弦形”，所以长直角边和短直角边差就是中间正方形的边长，所以求出短边长就是1． (请注意)，先外补4个同样的小直角三角形，得到一个大正方形，其边长两直角边的和，根据两直角边的和是3(通过补完后大图的面积求得) 又根据两直角边的差是1(根据最中间的小正方形的面积求得) 所以，根据和差关系，求出长边为2, 短边为1. 421×31×21)S 正方形ABCD =121S GF ED CBA 正方形ABCD ．因为S △AED =21S 正方形ABCD ，根据燕尾定理，AG:GF=21:121=6，所以S △AGE =6S △GEF =76S △AEF ．因为S △ABE =31S 正方形ABCD ，S △ADF =41S 正方形ABCD ， S△CEF=121S 正方形ABCD ，所以S △AEF =1-31-41-121=31，所以S △AGE =76×31=72，三角形AEG 的面积是72．. 【解】（法一）△AEF 比△CDF 的面积大40，所以三角形AED 的面积比三角形DEC 大40，而两个三面积等于长方形ABCD 面积的一半，所以△CDE 的面积为40，三角形△AED 为40+40=80，5角形的高是一样的都等于10，所以三角形AED 的底比三角形DEC 的底长40×2÷10=8，即AE 的长为8+8=16（法二）△CDE 的而△AED 的高已知为10，所以△AED 的底AE 长16.第二讲小升初专项训练几何篇（一）一、小升初考试热点及命题方向随着小升初考察难度的增加，几何问题变越来越难，一方面，几何问题仍是中学考察的重点，各学校更题）．尤其重、2008年考点预测2008年的小升初考试将继续以大题形式考查几何，命题的热点在于等积变换和燕尾定理在求解三角形、主要常用数学方法运用首先我们来讨论一下和三角形面积有关的问题，大家都知道，三角形的面积喜欢几何思维好的学生，这样更有利于小学和初中的衔接；另一方面几何问题由于类型众多，很多知识点需要提前学，这就加快了学生知识的综合运用，而这恰恰是重点中学学校所期望的．几何问题是小升初考试的重要内容，分值一般在12-14分（包含1道大题和2道左右的小要的就是平面图形中的面积计算，几何从内容方面，可以简单的分为直线形面积（三角形四边形为主），圆的面积以及二者的综合．其中直线形面积近年来考的比较多，值得我们重点学习．从解题方法上来看，有割补法，代数法等，有的题目还会用到有关包含与排除的知识．二面积里的运用．同时还需要重点关注在长方形和平行四边形框架内运用边长比等于相似比的定理，请老师重点补充沙漏原理的讲解．三 1. 等积变换：在三角形中的=12×底×高，面积之比等于对应高的比和三角形面积比有关的题目中它们都能发挥巨2. 用燕尾定理，求线段比：于同一点O, 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因此我们有【结论1】等底的三角形【结论2】等高的三角形面积之比等于对应底的比这2个结论看起来很显然，可大家小看它们，在许多大的作用，因为它们把三角形的面积比转化为了线段的比.运A OE DF C B 在三角形ABC 中，AD,BE,CF 相交那么S △ABO :S △ACO =BD:DC因为△ABO 和△ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用．3.平行线分线段定理（即利用求面积来间接求出线段的比例关系）同学们应该对下图所示的图形非常熟悉了．相交线段AD 和AE 被平行线段BC 和DE 所截，得到的三角形ABC 和ADE 形状完全相似．所谓“形状完全相似”的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例．体现在右图中，就是AB：AD=BC：DE=AC：CE=三角形ABC 的高：三角形ADE 的高．这种关系称为“相似”，同学们上了中学将会深入学习．相似三角形对应边的比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习．EDCB ACBEDA在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化（如右下4. 利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系角形的面积，就相对比较简单了，在解题过程中5. 差不变原理的运用面积，可以给两个图形都加上一个相同的图形，化不规则为规则，然后再作比6. 其他方法类型中几何题目的考点以面积为主，但不排除出现以线段和角度为考点的题目，只、典型例题解析三角形中的运用例1】（★★）如图，四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于O 点，三角形ADO 的面积=5，三角形DOC 的面图），往往不易看出相似关系．如（右下图）AB 平行于DE，有比例式AB：DE=AC：CE=BC：CD，三角形ABC 与三角形DEC 也是相似三角形．下图形状要牢记并且要熟练掌握比例式．比较两个四边形的面积的大小很难，但比较三将难以处理的四边形化作三角形来处理，把三角形作为“中间桥梁”建立两组图形之间的数量关系，题目处理起来就容易了. 比较不规则几何图形较，数量关系就清晰了，这种方法的实质是算术中的差不变原理. 虽然小升初考试要在解题过程中，将难以处理的量通过几何变化，化成我们熟悉的数量关系.题目即可迎刃而解.四【典型例题解析】1 等积变化在【积=4，三角形AOB 的面积=15，求三角形BOC 的面积是多少？ABCDO【解】：S △ADO =5,S △DOC =4根据结论2，△ADO 与△DOC 同高所以面积比等于底的比,即AO:OC=5:4同理S △AOB :S △BOC =AO:OC=5:4,因为S △AOB =15所以S △BOC =12．【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结拓展】S △AOD ×S △BOC =S △COD ×S △AOB ，也适用于任意四边形．练习】如下图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题．事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁”，请同学们体会一下．【【方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？（空白部分为陆地，阴影部分为水面．）例2】（★★★）如图，ABCD 是一长方形纸片，把它的左下角沿虚线EC 折叠过去成右图，AE 恰好AD 是的【41，三角形CDE 面积是27，三角形AHE 面积是3，三角形BCG 面积是16，问三角形DGH（阴影）的面积是多少？27EDCBA B解】S ACE =27÷3=9,S ABCE =27+9+9=45,S 阴=27-（45-3-16）=1． 2 燕尾定理在三角形中的运用例（★★★）在△ABC 中【【3】DC BD =2:1, EC AE =1:3，求OEOB=? DCE OBA【分析】题目求的是边的比值，我们可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以方法二是我们要首选的方法．本题的图形一看就知道是燕尾定理的基本图，但2个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步我们要连接OC．【解】连接OCDCAE OB因为AE:EC=1:3 (条件)，所以AOECOES S ΔΔ=1:3 若设AOE S x Δ=,则3COE S x Δ=，所以, 根据燕尾定理4AOC S x Δ=2:1AOB AOC S BD S DC ΔΔ==，所以8AOB S x Δ=，所以88:1AOB AOE S BO xOE S xΔΔ===．【例4】（★★★）三角形ABC 中，C 是直角，已知AC＝2，CD＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积为多少？ABD ABD C C【解】因为缺少尾巴，所以连接BN 如下，的面积为3×2÷2=3这样我们可以根据燕尾定理很容易发现ABC ΔACN Δ：ANB Δ=CD：BD=2：1；同理CBN Δ：ACN Δ=BM：AM=1：1；设面积为1份，则AMN ΔMNB Δ的面积也是1份，所以ANB Δ得面积就是1+1=2份，而：1，所以ACN Δ：ANB Δ=CD：BD=2ACN Δ得面积就是4份：；CBN ΔACN Δ=BM：AM=1：1，所以CBN 也是Δ4份，这样ABC Δ的面积总共分成4+4+1+1=103×份，所以阴影面积为1=10310．【例5】（★★★）如图，三角形A 的面积形CD BC 是16，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，那四边EF 的面积是多少？【解】连接DF．因为E 是BD 的中点，所以S △FBE =S △FDE ，S △ABE =S △ADE ，所以S △ABF =S △ADF ．因为D 是AC 中点，所以S △ADF =S △CDF ，所以S △ABF =S △ADF =S △CDF ．因为三角形ABC 的面积是16，所以S △CDF =316，S △ABD =8，S △AED =4，所以S △FDE =316-4=34，所以四边形CDEF 的面积是16+4=20【例6】如图，平行四边形ABCD【解】S △BCD =1+4+4+6=16,S △OCD 4和6.求：(1)求△OCF =21S 以S △OCF =8-4=4，所以，=ΔΔCEG OEG S S 所而S △OCE = S △OCB - S △OBE =8-6=2，所以，21EG CG CE ====63GF GO EB 所以S △GCE =322=×.31在三角形中的运用正方形ABCD ，M 为AD 边上的中点，求图中的阴影部分面积．3平行线分线段定理【例7】（★★★）如右图，单位【解1】（平行线分线段定理）两块阴影部分的面积相等，AM GM BC GB ==21,所以GM =32，而三角形GB ABG和三角形AMB 同底，所以S △BAG =32S △ABM =32×1×12=61×21，又因为三角形BAM 和三角形CAM 同底等高，所以阴影面积为61×2=31.【解2】(燕尾定理运用)四边形AMCB 的面积为（0.5+1）×1÷2=43，根据燕尾定理在梯形中的运用，知道：：： =A ：BC ：AM×BC：AM×BC=AMG ΔBCG ΔBAG ΔCMG ΔM 22212⎛⎞⎜⎟⎝⎠：1：221：21=1：4：2：份，所以面积为2；所以四边形AMCB 的面积分成1+4+2+2=9份，阴影面积占43×224122++++=314. 【解3】（等积变化运用）如右图，连结DG，有：S △ACM =S △BAM （同底等高）， AC 又S △AGM =S △GDM （等底同高）又S △BAG =S △ADG （△BAG 与△ADG 关于对称）因此，11AGM D S S ΔΔ==22AG ABG S Δ 2AGB ABM S S ΔΔ=3 又1111222ABM S AM AB Δ=⋅⋅=⋅⋅=14所以，2211AGB ABM S S ΔΔ==×=所以，3346123阴影AGB S S Δ=×=.是平行四边形，面积为72平方厘米，BC 的中点．则积为多少平方厘米？【例8】（★★★★）如图，ABCD E，F 分别为边AB，图形中阴影部分的面【解1】由AE:CD=1：2，CF:AD=1:2，得到对角线被DE 和DF 分为三等分. 以得到空白部分是DEBF 面积的2/3．空白部分面积为72÷2÷3×2=24平方厘米72-24=48平方厘米．理”的运用.连接BD,OE,OF 这样我们可以发现S1的面积是整个四边形的可【解2】出现梯形时可以考虑一下”燕尾定14，即14S2:S4=份×72=18（平方厘米）,在梯形AEOD 中,AD=2×OE,这样我们运用”燕尾定理”得:S5:S3:1:4:2:2,把面积分成9份,求出阴影面积占5份,同理可以求出梯形DCFO 中阴影也占5,所以阴影面积=(72-18) ×59=30,总阴影面积为30+18=48（平方厘米）.4利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系【例9】（★★）如图，正方形ABCD 的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG 的长DG 为5厘米，求它DE 等于多少厘米？的宽GF EHD C BA G【解】：连结AG，自A 作FECBAH 垂直于DG 于H，在△ADG 中，AD=4，DC=4（AD 上的高）. ∴S △AGD =4×4÷2=8，又DG=5， ∴S △AGD =AH×DG÷2，∴AH=8×2÷5=3.2（厘米）， ∴DE=3.2（厘米）.5 差不变原理的运用【例10】（★★★）左下图所示的DA ABCD 的边BC 长10cm，直角三角形BCE 的直角边EC 长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG 的面积大10cm 2，求CF 的长．两块阴影部分的面积和比△EFG 的面积大10,两部分分别加上四边形BCFG，这样四边形ABCD三角形BEC 的面积大10cm2CE【解】：的面积比S △B =12底是10cm，所以高是5cm． ×10×8=40 所以四边形ABCD 的面积是50cm 2．6 其他常考题型【例11】（★★）下图中，五角星的五个顶角的度数和是多少？OEOEDCBADB AC：连接AB（见右图），AC 交BE 于点O．因为∠AOB=∠COD，所以∠OAB+∠OBA=∠OCE+∠OEC．由此角星五个顶角之和等于三角形ABD 的三个内角之和，是180度．【课外知识】春秋战国时代，一位父亲和他的儿子出征打战．父亲已做了将军，儿子还只是马前卒．又一阵号角吹响，战鼓雷鸣了，父亲庄严地托起一个箭囊，其中插着一只箭．父亲郑重对儿子说：“这是家袭宝箭，配带身边，力量无穷，但千万不可抽出来．”那是一个极其精美的箭囊，厚牛皮打制，镶着幽幽泛光的铜边儿，再看露出的箭尾．一眼便能认定用上等的孔雀羽毛制作．儿子喜上眉梢，贪婪地推想箭杆、箭头的模样，耳旁仿佛嗖嗖地箭声掠过，敌方的主帅应声折马而毙．果然，配带宝箭的儿子英勇非凡，所向披靡．当鸣金收兵的号角吹响时，儿子再也禁不住得胜的豪气，完全背弃了父亲的叮嘱，强烈的欲望驱赶着他呼一声就拔出宝箭，试图看个究竟．骤然间他惊呆了．一拂开蒙蒙的硝烟，父亲拣起那柄断箭，沉重地啐一口道：“不相信自己的意志，永远也做不成将军．”托在一只宝箭上，多么愚蠢，而当一个人把生命的核心与把柄交给别人，又多么危险！比如把在儿女身上；把幸福寄托在丈夫身上；把生活保障寄托在单位身上……己才是一只箭，若要它坚韧，若要它锋利，若要它百步穿杨，百发百中，磨砺它，拯救它的都【解】推知，五只断箭，箭囊里装着一只折断的箭．我一直刳着只断箭打仗呢！儿子吓出了一身冷汗，仿佛顷刻间失去支柱的房子，轰然意志坍塌了．结果不言自明，儿子惨死于乱军之中．把胜败寄希望寄托温馨提示：自只能是自己．练习题在三角形ABC 的各边上，分别取AD、BE、CF 各等于AB、BC、CA 长的三分之一，如果三角形DEF 的积为2平方厘米，求三角形ABC 的面积是多少？1、面答案：6平方厘米．2、在图中，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交F＝CE，BG＝DE，于点E，且A 当四边形ABCD 的面积为25平方厘米时，三角形EFG的面积是多少？答案：25平方厘米．如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC3、的中点，四边形BGHF 的面积是________平方厘米．E F GB HCD A EB C来源：02年小学数学奥林匹克试题使BK=CD．三角形EHK 与三角形DHC 成比例，DC：=2：3，所以DH：HK=2：3，由于三角形DEK 的面积=90平方厘米，所以EHK 的面积=90÷【解】：延长EB 到K，EK 3三角形5形EHK 的面积-三角形=54平方厘米，所以四边形EBFH 的面积=三角BKF 的面积=24平方厘米．同理，EB：DC=1：2，所以BG：GD=1：2，所以三角形EBG 的面积=13×三角形EBD 的面积=10平方厘米，所以，四边形BHGF 的面积是24-10=14平方厘米.4、直线CF 与平行四边形ABCD 的AB 边相交于E 点，如果三角形BEF 的面积为6平方厘米，求三角形ADE的面积是多少？答案：6平方厘米．5、（★★★）如图，正方形ABCD 的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEF 宽DE 等于多少厘米？G 的长DG 为5厘米，求它的G F E HG F ED A DCB A B C【解】：连结AG，自A 作AH 垂直于DG 于H，在△ADG 中，AD=4，DC=4（AD 上的高）.∴S △AGD =4×4÷2=8（平方厘米），又DG=5（厘米）， ∴S △AGD =AH×DG÷2，米），∴DE=AH=3.2（厘米）．∴AH=8×2÷5=3.2（厘。

小学奥数几何专题--复杂直线型面积-12(六年级)竞赛测试.doc

小学奥数几何专题--复杂直线型面积-12（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）l【答案】【解析】连接、、，显然，是正三角形将放大至如图⑵．图⑴图⑵连，由对称性知，．因此，．同理，．所以，．【题文】如图：已知在梯形中，上底是下底的，其中是边上任意一点，三角形、三角形、三角形的面积分别为、、．求三角形的面积．评卷人得分【答案】21【解析】如图，设上底为，下底为，三角形与三角形的高相差为．由于，所以．即．又，所以．【题文】如图，已知是梯形，∥，，，，求的面积．【答案】6【解析】本题是09年六年级试题，初看之下，是梯形这个条件似乎可以用到梯形蝴蝶定理，四边形内似乎也可以用到蝴蝶定理，然而经过试验可以发现这几个模型在这里都用不上，因为、这两个点的位置不明确．再看题目中的条件，，，这两个条件中的前一个可以根据差不变原理转化成与的面积差，则是与的面积差，两者都涉及到、以及有同一条底边的两个三角形，于是想到过、分别作梯形底边的平行线．如右图，分别过、作梯形底边的平行线，假设这两条直线之间的距离为．再过作的垂线．由于，所以，故．根据差不变原理，这个差等于与的面积之差．而与有一条公共的底边，两个三角形边上的高相差为，所以它们的面积差为，故．再看，它的面积等于是与的面积之差，这两个三角形也有一条公共的底边，边上的高也相差，所以这两个三角形的面积之差为，故．由于，所以，则，所以．【题文】如图，是一个四边形，、分别是、的中点．如果、与的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形的面积为多少．【答案】60【解析】连接、、．由于是的中点，所以与的面积相等，而比的面积大1，所以比的面积大1；又由于是的中点，所以的面积与的面积相等，那么的面积比的面积大1，所以的面积为9．假设的面积为，则的面积为．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知的面积为，的面积为．要使这两个三角形的面积为整数，可以为1，3或7．由于的面积为面积的一半，的面积为面积的一半，所以与的面积之和为四边形面积的一半，所以与的面积之和等于四边形的面积，即：，得．将、3、7分别代入检验，只有时等式成立，所以的面积为7，、、的面积分别为8、6、9．四边形ABCD的面积为．小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的．【题文】如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积．【答案】70【解析】连接，，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【题文】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？【答案】15【解析】连接．∵∴又∵∴，∴．【题文】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？【答案】5【解析】连接．∵，∴，又∵，∴，∴，．【题文】如图在中，在的延长线上，在上，且，，平方厘米，求的面积．【答案】50【解析】连接，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【题文】已知的面积为平方厘米，，求的面积．【答案】24【解析】，设份，则份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米【题文】如图，三角形的面积为3平方厘米，其中，，三角形的面积是多少？【答案】12.5【解析】由于，所以可以用共角定理，设份，份，则份，份，由共角定理，设份，恰好是平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，三角形的面积是平方厘米【题文】如图所示，正方形边长为6厘米，，．三角形的面积为多少平方厘米？【答案】10【解析】由题意知、，可得．根据”共角定理”可得，；而；所以；同理得，;，，故(平方厘米)．【题文】如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积．【答案】18【解析】(法)本题是性质的反复使用．连接、．∵，，∴．同理可得其它，最后三角形的面积．(法)用共角定理∵在和中，与互补，∴．又，所以．同理可得，．所以．【题文】如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是，求平行四边形与四边形的面积比．【答案】【解析】连接、．根据共角定理∵在和中，与互补，∴．又，所以．同理可得，，．所以．所以．【题文】如图，四边形的面积是平方米，，，，，求四边形的面积．【答案】13.2【解析】连接．由共角定理得，即同理，即所以连接，同理可以得到所以平方米【题文】如图，将四边形的四条边、、、分别延长两倍至点、、、，若四边形的面积为5，则四边形的面积是多少？【答案】60【解析】连接、．由于，，于是，同理．于是．再由于，，于是，同理．于是．那么．【题文】如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？【答案】3.5【解析】∵在和中，与互补，∴．又，所以．同理可得，．所以【题文】如图，，，，，．求．【答案】【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的种情况．最后求得的面积为．【题文】如图所示，正方形边长为厘米，是的中点，是的中点，是的中点，三角形的面积是多少平方厘米？【答案】12【解析】连接、．因为，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到，，，所以平方厘米．。

高斯小学奥数六年级上册含答案第08讲复杂直线型计算

1.n边形的内角和是180n2;
2.n边形的外角和是360°.
二、基本直线形的面积计算：
三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形面积公式（详细公式略）
三、直线形中的比例Байду номын сангаас系
1.等高三角形：面积比等于底的比.
a:b
2.共角三角形：面积比等于共角夹边比的乘积•如右图所示，阴影三角形
与大三角形共享一个角，它的左侧边占大三角形左侧边的〕，右侧边占大三角形
3
右侧边的1,那么它的面积就是大三角形的1- -•
22 3 6
3.沙漏三角中的比例关系:
如下图所示，上下两个三角形底边平行，
另两边呈交叉关
第八讲复杂直线型计算
我们在之前的学习中已经详细学习了直线形长度、
角度以及面积的计算，并学习了
直线形中的各种比例关系•下面我们就对这些知识作一下总结.
本讲知识点汇总:
我们在之前的学习中已经详细学习了直线形长度、角度以及面积的计算，并学习了
直线形中的各种比例关系•下面我们就对这些知识作一下总结.
一、角度问题

六年级下册奥数试题-几何直线形面积-燕尾定理.(含答案)人教版

1. 理解燕尾定理，灵活运用定理解题．2. 用份数思想求面积之间的关系．本讲是在秋季所学四大模型的基础上，讲解运用燕尾定理求解面积问题．至此五大模型已讲解完毕．体会五大模型解决问题的优势．燕尾定理：S△ABG : S△AGC S△BGE :S△EGC BE:EC；S△BGA :S△BGC S△AGF :S△FGC AF:FC ；S△AGC :S△BCG S△ADG : S△DGB AD:DB ；问：为什么称之为燕尾定理？答：我们看看燕子的尾巴然后再看看右图的阴影部分，看看阴影部分是不是很像燕子的尾巴， A 是尾巴与身体的连接点，AG 是燕子尾巴的中分线，左右两个阴影三角形构成燕子尾巴的两侧翼. 同学们也可以自己动手，试试以三角形的另外两个顶点作为尾巴与身体的连接点能不能画出燕子的尾巴燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径通过一道例题证明一下燕尾定理：五年级第四讲提高班｜12 ｜五年级第四讲提高班｜分析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积 . 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，（法一）连接 CF ，因为 BD DC ， EC 2AE ，三角形 ABC 的面积是 30，所以S △ABFS △ABC 7.5 ，S △BFD 15 7.5 7.5 ，4所以阴影部分面积是 30 10 7.5 12.5 ．（法二）连接 DE ，由题目条件可得到 S △ABE 1S △ABC 10 ，△ ABE 3 △ ABCS△ BDE1S BEC S△ BEC 12S △ ABC 10 ，所以AF S △ABE12 23 FDS△BDE111 1 1 11S△ DEF S△ DEAS△ADCS△ ABC2.522 3 2 32而 S △CDE2 1S △ ABC 10．所以阴影部分的面积为 12.5． 32铺垫］右图的大三角形被分成 5 个小三角形，其中 4 个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是．S △ ABF AE 1，S △ ABF BD1 CDS△CBFEC2S△ ACFS△ ABC10， S △ ABD3△ ABC△ ABDS△ ABC2△ ABC15．根据燕尾定理，举例：如右图，D 是 BC 上任意一点，请你说明S 1:S 4 S 2:S 3 BD:DC分析】三角形 BED 与三角形 CED 同高，分别以 BD 、 DC 为底，所以有 S 1:S 4 BD:DC ；三角形 ABE 与三角形 EBD 同高，S 1 : S 2ED : EA 三角形 ACE 与三角形 CED 同高， S 4: S 3 ED : EA ，所以 S 1:S 4 S 2:S 3；综上可得 S 1:S 4 S 2:S 3 BD:DC.【例 1】用燕尾定理求面积如图，已知 BD DC ， EC 2 AE ，三角形 ABC 的面积是 30，求阴影部分面积所以S △ABEA分析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任五年级第四讲提高班｜3何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解们发现右图三角形中存在一个比例关系：2:S阴影1 3 :4，解得S阴影2.方法二：回顾下燕尾定理，有2（: S阴影4）1:3 ，解得S阴影2.例2】如右图，三角形ABC 中，BD :DC 4:9，CE:EA 4:3，求AF:FB. 分析】燕子尾巴非常明显.根据燕尾定理，S△ABO BD4S△ ACO DC9S△ ABOAE3，S△ CBOEC，4所以S△ ACO4 4 27S△BCO9 3 16所以 AF :FB27:16 ..我例3】如图在△ ABC 中，DCDBEA FB 1,求△GHI的面积的值EC FA 2 ,求△ ABC的面积分析】连接BG,设S△BGC 1 份，根据燕尾定理S△AGC:S△ BGCAF :FB 2:1, S△ABG :S△ AGC BD :DC 2:1 , 得S△ AGC 2（份），S△ABG4（份）, 拓展］则S△ABC 7（份），因此S△AGCS△ABC22, 同理连接7AI、CH 得S△ABHS△ABCS△BICS△ABC所以S△GHIS△ ABC72 22如右图，三角形ABC 中，AF:FB BD:DC CE:AE 3 : 2，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．4 ｜五年级第四讲提高班｜A A5 ｜五年级第四讲提高班｜分析］连接 BG ， S △BGC 4份根据燕尾定理， S △AGC :S △BGC AF:FB 3:2， S △ABG : S △AGC BD:DC 3:2 得 S △AGC 6(份)， S △ABG 9(份)，则S △ABC 19 (份) ，因此 S△AGC6S△ ABC19例 4 】如图，三角形 ABC 被分成 6 个三角形，己知其中 4 个三角形的面积，问三角形 ABC 的面积是多少 ?分析】设 S △ AOE x ， S △ BOF y ，根据燕尾定理 , 得分析】令 BE 与 CD 的交点为 M ， CD 与 EF 的交点为 N ，连接 AM ，BN ．在 △ ABC 中，根据燕尾定理， S △ ABM :S △ BCM AE :CE 1:1 , S △ACM : S △ BCMAD :BD 1:1同理连接 AI 、CH得S△ABH6, S △ BIC6,S △ ABC19S △ ABC19所以S△GHI19 6 6 6 1S△ ABC19 19三角形GHI 的面积是 1，所以三角形 ABC 的面积是 19S△ ABO :S△ ACOS △ BDO : S △ CDOS △ ABO : S △ BOC S △ AOE : S △COE (84 y):(x 35) 4:3(84 y):(40 30) x:35 ，即3(84 y) 4(x 35) ，解得35(84 y) 70xx 70 y 56所以三角形 ABC 的面积是 84 40 30 35 56 70 315例 5 】三角形 ABC 的面积为 15 平方厘米， D 为 AB 中点， E 为AC 中点，F 为 BC 中点，求阴影部分的面积．所以S△ABMS△ ACMS△ BCN1 S△ ABC3由于S△ AEM 11S△ AMC S△ABM S，所以BM2△ AMC 2△ABM:ME 2:1在△ EBC 中，根据燕尾定理，S△ BEN :S△CEN BF :CF1:1S△ CEN :S△ CBN ME :MB 1: 2设S△ CEN 1（份），则S△ BEN 1（份），S△ BCN2（份），S△BCE 4（份），所以S△ BCN1 1,S△BCES△ABC, S△ BNE241S△4BCE1 S△ABC ，BCES△ ABC8因为 BM :ME2:1,F 为BC中点所以S△ BMN2S2△ BNE1S△ ABC 1SS△ ABC ,11 S△ BFNS△ BNC11S△ ABC 338122248所以S阴影11 S△ ABC△ ABC5 S△ ABC△ ABC5 15 3.125 （平方厘米）128△ ABC24△ ABC24例6】如右图，△ ABC中， G是AC的中点， D 、 E 、 F是BC边上的四等分点， AD与BG交于 M，AF 与 BG 交于 N ，已知△ABM 的面积比四边形 FCGN 的面积大 7.2平方厘米，则△ABC 的面积是多少平方厘米？连接CM 、CN．根据燕尾定理，S△ABM : S△CBM AG :GC 1:1 ，S△ ABM :S△ ACM BD :CD 1:3 ，所以1；S△ABM S△ ABC ；△ABM 5△ ABC再根据燕尾定理，S△ ABN: S△ CBN AG:GC 1:1 ，所以S△ABN :S△ FBN S△CBN:S△ FBN4:3 ，所以AN:NF 4:3 ，那么S△ ANG 14 2 2，所以SFCGN1 S△ AFC51 S△ ABC△ ABC5 S△ ABC △ABCS△ AFC 24 3 7FCGN7△AFC7428△ABC根据题意，有1S△ ABC 5SS△ABC7.2 ，可得S△ABC 336 （平方厘米）528拓展］如右图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC，分析】CF FG GA，三角形ABC 被分成9 部分，请写出这9 部分的面积各是多少?6 ｜五年级第四讲提高班｜五年级第四讲提高班｜ 7分析］设 BG 与 AD 交于点 P ，BG 与 AE 交于点 Q ，BF 与 AD 交于点 M ，BF 与 AE 交于点 N ．连接 CP ，CQ ， CM ，CN ．根据燕尾定理， S △ABP :S △CBP AG:GC 1: 2 ， S △ABP : S △ ACP BD:CD 1:2，设 S △ABP 1（份），分析】观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解连接 EO 、 AF ，根据燕尾定理：S △AOE:S△ AOFa :b ，S△AOF:S△EOFa :b所以 S △AOE :S △EOF a 2 :b 2 ，作 OM ⊥AE 、ON ⊥EF ，2同理可得，S △ABQ,S △ ABN,而S △ABG1，所以 S △ APQ 2 1 7 23 7 53 35 1 39 5,1 151, S四边形 MNED, S四边形 NFCE, S四边形 GFNQ四边形 MNED 335 7042 四边形 NFCE3 21 426 四边形 GFNQ42已知四边形 ABCD ，CHFG 为正方形， S 甲:S 乙1:8 ，a 与 b 是两个正方形的边长，求a:b同理， S △BPMS△BDM1 , 所以S 四边形 PQMN21则S △ ABC 1 22 5（份），所以 S △ABP53 ，1 21 ，S△ AQG353 72121111 3 21 68 ｜五年级第四讲提高班｜∵ AE EF22∴ OM :ON a 2 :b 2 ∴ S 甲 :S 乙 a 3 :b 3 1:8 ∴ a:b 1:2求面积方法的综合运用例 8】如图，在平行四边形 ABCD 中， BE EC ， CF 2FD ．求阴影面积与空白面积的比．分析】方法一：因为 BE EC ， CF 2FD，所以 S △ABES 四边形 ABCD ，4S △ ADFS 四边形 ABCD ．6因为 AD 2BE ，所以 AG 2GE ，所以S △ BGE1S1S， S △ABES四边形 ABCD ，312 S△ABG2S 1SS △ ABES四边形 ABCD36同理可得，1 ， 1．S△ ADHS四边形 ABCD ，S △ DHFS 四边形ABCD ．因为S △BCD12S 四边形ABCD，所以空白部分的面积 (1212 241 2，)S四边形 ABCDS四边形 ABCD ，83所以阴影部分的面积是 1S 四边形ABCD ．3 四边形12 1:21:2 ，所以阴影面积与空白面积的比是 331:2．方法二：连接 CG 、 CH 、AC, AC 交BD 于 O ，有 AO OC 在 △ ABC 中，根据燕尾定理可以得到 S △ABG : S △ACGBE :CE 1:1 , S △ ABG :S △ CBGAO :OC 1:1 ,所以S△BCGS△ ACGS △ABCS Y ABCD ,所以S △ BGE3 △6 Y△S△ AGOS YABCD ,12 Y同理在 △ ACD 中，根据燕尾定理可以得到 S △ AHC1S △ ACD2△1, 1 1 , SY ABCD, S△ DCHS△ ACDSY ABCD,4 △4 △8所以S △AHO 2 S △AHC1, 1S Y ABCD , S △ DFH S △ DCH8 YABCD △DFH 3 △ DCHSY ABCD24 YABCD五年级第四讲提高班｜ 9分析］连接 BN ．△ABC 的面积为 3 2 2 3所以 S 阴影S△ BEG S△AGOS△ AHOS△DHF1 1 1 1()SYABCD 12 12 8 24 YS Y ABCD3Y所以阴影面积与空白面积的比 1: 2 1:233例 9 】如图，在一个梯形内有两个面积分别为 10 与 12 的三角形，已知梯形的上底长是下底长的 2，那3分析】设上底为 2a, 则下底为 3a, 梯形的高为 2 10 2a 2 123a18 a梯形的面积为1.1 18 (2a 3a) 45, 2a所以阴影部分面积为 45 10 12 23BE: EC 3:1 ， D 是 AE 的中点，那么 AF :FC分析】连接 CD ．由于S △ ABD :S △ BED1:1 ，S△ BED : S△BCD 3: 4 ，所以S △ ABD :S △BCD根据燕尾定理， AF :FCS△ ABD :S△ BCD3: 4 ．2 ，CB3 ，AM BM ，那么三角形 AMN ( 阴如图所示，在 △ ABC 中，3: 4 ，2.三角形 ABC 中， C 是直角，已知 AC 2 ， CD影部分 ) 的面积为多少？A10 ｜五年级第四讲提高班｜根据燕尾定理， △ACN :△ABN CD:BD 2:1 ；同理 △CBN :△CAN BM :AM 1:1设△AMN 面积为 1 份，则 △MNB 的面积也是 1 份，所以 △ ANB 的面积是 1 1 2份，而 △ACN 的面积就是 2 2 4份，△CBN 也是 4份，这样△ ABC 的面积为 4 4 1 1 10份，所以 △AMN 的面积为 3 10 1 0.3．3.三角形 ABC 的面积是 1 平方厘米，且 BE 2EC ， F 是 CD 的中点．那么阴影部分的面积是平方厘米．分析】连接BF ，根据燕尾定理 S △ACF : S △ABF CE:BE 1: 2,又因为 F 是CD 的中点，所以 S △ACF S △ADF ，所以 S △ ADFS △ BDF ,即D 是 AB 的中点，设 S △ECF1（份），则S △BEF 2（份）, S △BDF 3（份）, S 阴影 5（份）， S △ABC 2 （1 2 3） 12（份），所以 S 阴影 5 S △ABC 5 （平方厘米）12 124.如图，线段 AB 与 BC 垂直，已知 AD=EC=4，DB=BE=6，那么图中阴影部分面积是多少？分析】这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，我们不妨连接这个图形的对称轴看看 . 作辅助线 BO ，则图形关于 BO 对称，设△ ADO 的面积为 2 份，则△ DBO 的面积为 3 份，直角三角形 ABE 的面积为 8 份 . 因为 S △ABE 6 10 2 30，而阴影部分的面积为 4 份，所以阴影部分的面积为 30 8 4 15115.如图， △ABC 中AE AB ，AD AC ， ED 与BC 平行， △EOD 的面积是 1平方厘米．那44么 △AED 的面积是平方厘米．11分析】因为AE AB，AD AC， ED与BC平行，44所以 ED:BC 1:4, EO:OC 1:4，S△EOB 4S△EOD 4，则S△CDE 4 1 5，又因为S△AED : S△CDE AD :DC 1:3 所以S△ AED 5 1 5（平方厘米）．33五年级第四讲提高班｜11A12 ｜五年级第四讲提高班｜许多追踪这个富有者的乌鸦立刻成群飞来。

六年级求面积奥数竞赛试题

六年级求面积奥数竞赛试题在六年级的奥数竞赛中，求面积问题通常涉及到一些基本的几何图形，如三角形、四边形、圆等，以及它们的组合。

以下是一些可能的试题和解题思路：1. 三角形面积问题：- 题目：给定一个三角形，其底边长为10厘米，高为8厘米，求这个三角形的面积。

- 解题思路：根据三角形面积公式 \( A = \frac{1}{2} \times\text{底边} \times \text{高} \)，代入数值计算。

2. 四边形面积问题：- 题目：一个长方形的长是15厘米，宽是8厘米，求它的面积。

- 解题思路：长方形面积公式 \( A = \text{长} \times\text{宽} \)，代入数值计算。

3. 圆的面积问题：- 题目：已知一个圆的半径是7厘米，求这个圆的面积。

- 解题思路：圆的面积公式 \( A = \pi r^2 \)，其中 \( r \)是半径，代入数值计算。

4. 组合图形面积问题：- 题目：一个正方形内嵌有一个最大的圆，正方形的边长是14厘米，求这个圆的面积。

- 解题思路：首先确定圆的直径等于正方形的边长，即直径为14厘米，然后计算圆的半径，再使用圆面积公式求解。

5. 不规则图形面积问题：- 题目：一个不规则图形由一个三角形和一个矩形组成，三角形的底边长为12厘米，高为6厘米，矩形的长为10厘米，宽为5厘米，求整个图形的面积。

- 解题思路：分别计算三角形和矩形的面积，然后将它们相加。

6. 图形分割与组合问题：- 题目：一个矩形被分割成两个相等的三角形，矩形的长是20厘米，宽是10厘米，求每个三角形的面积。

- 解题思路：首先计算矩形的面积，然后除以2得到每个三角形的面积。

7. 图形变换问题：- 题目：一个正方形的边长增长了50%，求新正方形的面积是原来的多少倍。

- 解题思路：计算边长增长后的数值，然后计算新正方形的面积，与原面积比较。

8. 比例问题：- 题目：如果一个矩形的长和宽都增加10%，那么它的面积增加了多少百分比？- 解题思路：设原矩形的长和宽分别为 \( l \) 和 \( w \)，计算新矩形的长和宽，然后计算面积增加的百分比。

小学奥数几何专题--复杂直线型面积-3(六年级)竞赛测试.doc

小学奥数几何专题--复杂直线型面积-3（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．【答案】8【解析】．【题文】如图，有三个正方形的顶点、、恰好在同一条直线上，其中正方形的边长为10厘米，求阴影部分的面积．【答案】100【解析】评卷人得分对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接、、，则，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得，，所以阴影部分的面积就等于正方形的面积，即为平方厘米．【题文】图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积．【答案】8【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接(见右上图)，可以看出，三角形与三角形的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形是三角形与三角形的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形与三角形面积仍然相等．根据等量代换，求三角形的面积等于求三角形的面积，等于．【题文】如图，与均为正方形，三角形的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为多少．【答案】6【解析】如图，连接，比较与，由于，，即与的底与高分别相等，所以与的面积相等，那么阴影部分面积与的面积相等，为6平方厘米．【题文】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【答案】50【解析】方法一：三角形BEF的面积，梯形EFDC的面积三角形BEF的面积，而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积三角形BCH的面积，进而可得，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)．方法二：连接CF，那么CF平行BD ，所以，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)．【题文】已知正方形边长为10，正方形边长为6，求阴影部分的面积．【答案】20【解析】如果注意到为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直角三角形的斜边)，那么容易想到与是平行的．所以可以连接、，如上图．由于与平行，所以的面积与的面积相等．而的面积为，所以的面积也为20．【题文】图中，和是两个正方形，和相交于，已知等于的三分之一，三角形的面积等于6平方厘米，求五边形的面积．【答案】49.5【解析】连接、，由于与平行，可知四边形构成一个梯形．由于面积为6平方厘米，且等于的三分之一，所以等于的，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知的面积为12平方厘米，的面积为6平方厘米，的面积为3平方厘米．那么正方形的面积为平方厘米，所以其边长为6厘米．又的面积为平方厘米，所以(厘米)，即正方形的边长为3厘米．那么，五边形的面积为：(平方厘米)．【题文】如下图，、分别是梯形的下底和腰上的点，，并且甲、乙、丙个三角形面积相等．已知梯形的面积是平方厘米．求图中阴影部分的面积．【答案】12.8【解析】因为乙、丙两个三角形面积相等，底．所以到的距离与到的距离相等，即与平行，四边形是平行四边形，阴影部分的面积平行四边形的面积的，所以阴影部分的面积乙的面积．设甲、乙、丙的面积分别为份，则阴影面积为份，梯形的面积为份，从而阴影部分的面积(平方厘米)．【题文】如图，已知长方形的面积，三角形的面积是，三角形的面积是，那么三角形的面积是多少？【答案】6.5【解析】方法一：连接对角线．∵是长方形∴∴，∴，∴∴．方法二：连接，由图知，所以，又由，恰好是面积的一半，所以是的中点，因此，所以【题文】如图，在平行四边形中，，．求阴影面积与空白面积的比．【答案】1：2【解析】方法一：因为，，所以，．因为，所以，所以，．同理可得，，．因为，所以空白部分的面积，所以阴影部分的面积是．，所以阴影面积与空白面积的比是．【题文】如图所示，三角形中，是边的中点，是边上的一点，且，为与的交点．若的面积为平方厘米，的面积为平方厘米．且是平方厘米，那么三角形的面积是多少平方厘米．【答案】10【解析】，，所以(平方厘米)．所以(平方厘米)．【题文】如图，在梯形中，，，且的面积比的面积小10平方厘米．梯形的面积是多少平方厘米？【答案】115【解析】根据题意可知，则，，而平方厘米，所以，则平方厘米．又，所以平方厘米．所以(平方厘米)．【题文】如图，是梯形的一条对角线，线段与平行，与相交于点．已知三角形的面积比三角形的面积大平方米，并且．求梯形的面积．【答案】28【解析】连接．根据差不变原理可知三角形的面积比三角形大4平方米，而三角形与三角形面积相等，因此也与三角形面积相等，从而三角形的面积比三角形的大4平方米．但，所以三角形的面积是三角形的，从而三角形的面积是(平方米)，梯形的面积为：(平方米)．【题文】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是，，．那么图中阴影部分的面积是多少？【答案】97【解析】三角形的面积三角形的面积长方形面积阴影部分面积；又因为三角形的面积三角形的面积长方形面积，所以可得：阴影部分面积．【题文】图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？【答案】【解析】如下图，为了方便说明，将某些点标上字母．有为直角，而，所以也为直角.而.与同高，所以面积比为底的比，及===，设的面积为“8”，则的面积为“5”．是由折叠而成，所以有、面积相等，是由、、组成，所以=“8”+“5”+“5”=“18”对应为，所以“1”份对应为，那么△ADE的面积为=平方厘米．即阴影部分的面积为平方厘米．【题文】如图，长方形的面积是2平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】平方厘米【解析】如下图，连接，、的面积相等，设为平方厘米;、的面积相等，设为平方厘米，那么的面积为平方厘米．，．所以有．比较②、①式，②式左边比①式左边多，②式右边比①式右边大0.5，有，即,．而阴影部分面积为平方厘米．【题文】如图，三角形田地中有两条小路和，交叉处为，张大伯常走这两条小路，他知道,且．则两块地和的面积比是多少【答案】1：2【解析】方法一：连接．设的面积为1，的面积，则根据题上说给出的条件，由得，即的面积为、;又有，、，而；得，所以．方法二：连接，设(份)，则,设则有，解得，所以方法三：过点作∥交于点，由相似得,又因为，所以，所以两块田地ACF和CFB的面积比【题文】如图，，，被分成个面积相等的小三角形，那么|【答案】24【解析】由题意可知，，所以，；又，所以，同样分析可得，所以．【题文】如图，在角的两边上分别有、、及、、六个点，并且、、、、的面积都等于1，则的面积等于．【答案】【解析】根据题意可知，，所以，．【题文】、分别为直角梯形两边上的点，且、、彼此平行，若，，，．求阴影部分的面积．【答案】25【解析】连接、．由于、、彼此平行，所以四边形是梯形，且与该梯形的两个底平行，那么三角形与、三角形与的面积分别相等，所以三角形的面积与三角形的面积相等．而三角形的面积根据已知条件很容易求出来．由于为直角梯形，且，，，，所以三角形的面积的面积为：．所以三角形的面积为25．【题文】已知为等边三角形，面积为400，、、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形)【答案】43【解析】因为、、分别为三边的中点，所以、、是三角形的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形和三角形的面积都等于三角形的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有，即，所以．又，所以．【题文】如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，求三角形的面积．【答案】40【解析】连接，．根据题意可知，；；所以，，，，，于是：；；可得．故三角形的面积是40．【题文】如图，点、、在线段上，已知厘米，厘米，厘米，厘米，将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是平方厘米，上边部分面积是平方厘米，则三角形的面积是多少平方厘米？【答案】128【解析】连接设的面积是,由于所以的面积是、的面积是由于上半部分的面积是平方厘米所以的面积是()平方厘米，因为下半部分的面积是平方厘米所以的面积是()平方厘米，因为是的2倍所以可以列方程为：()解得，的面积为平方厘米.【题文】如图，正方形的边长为10，四边形的面积为5，那么阴影部分的面积是多少【答案】40【解析】如图所示，设上的两个点分别为、．连接．根据面积比例模型，与的面积是相等的，那么与的面积之和，等于与的面积之和，即等于的面积．而的面积为正方形面积的一半，为．又与的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形的面积，所以阴影部分的面积为：．【题文】如图，正方形的边长为12，阴影部分的面积为60，那么四边形的面积是多少【答案】6【解析】如图所示，设上的两个点分别为、．连接．根据面积比例模型，与的面积是相等的，那么与的面积之和，等于与的面积之和，即等于的面积．而的面积为正方形面积的一半，为．又与的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形的面积，所以四边形的面积为：．【题文】如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，四边形的面积为多少？【答案】10【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积．由于长方形的面积为，所以三角形的面积为，所以三角形和的面积之和为；又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为．另解：从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为．【题文】如图所示，矩形的面积为24平方厘米．三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则四边形的面积是多少平方厘米？【答案】1.8【解析】因为三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即12平方厘米，又三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则三角形与三角形的面积之和是平方厘米，则四边形的面积三角形面积三角形与三角形的面积之和三角形面积(平方厘米)．【题文】如图所示，矩形的面积为36平方厘米，四边形的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】12【解析】因为三角形面积为矩形的面积的一半，即18平方厘米，三角形面积为矩形的面积的，即9平方厘米，又四边形的面积为3平方厘米，所以三角形与三角形的面积之和是平方厘米．又三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即18平方厘米，所以阴影部分面积为(平方厘米)．【题文】如图，长方形的面积是36，是的三等分点，，则阴影部分的面积为多少？【答案】2.7【解析】如图，连接．根据蝴蝶定理，，所以；，所以．又，，所以阴影部分面积为：．【题文】如图，如果长方形的面积是平方厘米，那么四边形的面积是多少平方厘米？【答案】32.5【解析】如图，过、、、分别作长方形的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为厘米，面积等于平方厘米．设、、、的面积之和为，四边形的面积等于，则，解得(平方厘米)．【题文】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为的正方形，则阴影部分四边形的面积是（）．【答案】48【解析】如图所示，分别过阴影四边形的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形，易知长方形的面积为平方厘米．从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于、、、四个长方形的面积之和，等于正方形的面积加上长方形的面积，为平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为平方厘米，那么阴影四边形的面积为平方厘米．【题文】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？【答案】68【解析】如图所示，分别过阴影四边形的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形，易知长方形的面积为平方厘米．从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于、、、四个长方形的面积之和，等于正方形的面积加上长方形的面积，为平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为平方厘米，那么阴影四边形的面积为平方厘米．【题文】已知正方形的边长为10，，，则？【答案】53【解析】如图，作于，于．则四边形分为4个直角三角形和中间的一个长方形，其中的4个直角三角形分别与四边形周围的4个三角形相等，所以它们的面积和相等，而中间的小长方形的面积为，所以．【题文】如图，三角形的面积是，、的长度分别为11、3．求长方形的面积．【答案】67【解析】如图，过作∥，过作∥，、交于，连接．则另解：设三角形、、的面积之和为，则正方形的面积为．从图中可以看出，三角形、、的面积之和的2倍，等于正方形的面积与长方形的面积之和，即，得，所以正方形的面积为．【题文】如图，长方形中，，．、分别是边上的两点，．那么，三角形面积的最小值是多少？【答案】717【解析】由于长方形的面积是一定的，要使三角形面积最小，就必须使、、的面积之和最大．由于、、都是直角三角形，可以分别过、作、的平行线，可构成三个矩形、和，如图所示．容易知道这三个矩形的面积之和等于、、的面积之和的2倍，而这三个矩形的面积之和又等于长方形的面积加上长方形的面积．所以为使、、的面积之和最大，只需使长方形的面积最大．长方形的面积等于其长与宽的积，而其长，宽，由题知，根据”两个数的和一定，差越小，积越大”，所以当与的差为0，即与相等时它们的积最大，此时长方形的面积也最大，所以此时三角形面积最小．当与相等时，，此时三角形的面积为：．(也可根据得到三角形的面积)【题文】是边长为12的正方形，如图所示，是内部任意一点，、，那么阴影部分的面积是（）．【答案】34【解析】（法1）特殊点法．由于是内部任意一点，不妨设点与点重合(如上中图)，那么阴影部分就是和．而的面积为，的面积为，所以阴影部分的面积为．（法2）寻找可以利用的条件，连接、、、可得右图所示：则有:同理可得：;而,即；同理：,,;所以：而；；所以阴影部分的面积是：即为：．【题文】如图所示，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求阴影部分与四边形的面积之比．【答案】1【解析】(法1)设，，，．连接知，，，；所以；同理．于是；注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形，没算的部分是四边形；因此四块阴影的面积和就等于四边形的面积．(法2)特殊值法(只用于填空题、选择题)，将四边形画成正方形，很容易得到结果．【题文】如图，、、、分别是四边形各边的中点，与交于点，、、及分别表示四个小四边形的面积．试比较与的大小．【答案】【解析】如图，连接、、、，则可判断出，每条边与点所构成的三角形都被分为面积相等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于、这两个不同的组合，所以可知．【题文】如图，四边形中，，，，已知四边形的面积等于4，则四边形的面积是多少？【答案】【解析】运用三角形面积与底和高的关系解题．连接、、、，因为，，所以，在中，，在中，，在中，，在中，．因为，所以．又因为，所以．【题文】如图，对于任意四边形，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形，求四边形的面积是四边形的几分之几？【答案】【解析】分层次来考虑：⑴如下左图，，，所以．又因为，，所以；．⑵如右上图，已知，；所以；所以，即是三等分点；同理，可知、、都是三等分点；所以再次应用⑴的结论，可知，．【题文】有正三角形，在边、、的正中间分别取点、、，在边、、上分别取点、、，使，当和、和、和的相交点分别是、、时，使．这时，三角形的面积是三角形的面积的几分之几？请写出思考过程．【答案】【解析】连接、、，显然，是正三角形将放大至如图⑵．连，由对称性知，．因此，．同理，．所以，．【题文】如图：已知在梯形中，上底是下底的，其中是边上任意一点，三角形、三角形、三角形的面积分别为、、．求三角形的面积．【答案】21【解析】如图，设上底为，下底为，三角形与三角形的高相差为．由于，所以．即．又，所以．【题文】如图，已知是梯形，∥，，，，求的面积．【答案】6【解析】本题是09年六年级试题，初看之下，是梯形这个条件似乎可以用到梯形蝴蝶定理，四边形内似乎也可以用到蝴蝶定理，然而经过试验可以发现这几个模型在这里都用不上，因为、这两个点的位置不明确．再看题目中的条件，，，这两个条件中的前一个可以根据差不变原理转化成与的面积差，则是与的面积差，两者都涉及到、以及有同一条底边的两个三角形，于是想到过、分别作梯形底边的平行线．如右图，分别过、作梯形底边的平行线，假设这两条直线之间的距离为．再过作的垂线．由于，所以，故．根据差不变原理，这个差等于与的面积之差．而与有一条公共的底边，两个三角形边上的高相差为，所以它们的面积差为，故．再看，它的面积等于是与的面积之差，这两个三角形也有一条公共的底边，边上的高也相差，所以这两个三角形的面积之差为，故．由于，所以，则，所以．【题文】如图，是一个四边形，、分别是、的中点．如果、与的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形的面积为多少．【解析】连接、、．由于是的中点，所以与的面积相等，而比的面积大1，所以比的面积大1；又由于是的中点，所以的面积与的面积相等，那么的面积比的面积大1，所以的面积为9．假设的面积为，则的面积为．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知的面积为，的面积为．要使这两个三角形的面积为整数，可以为1，3或7．由于的面积为面积的一半，的面积为面积的一半，所以与的面积之和为四边形面积的一半，所以与的面积之和等于四边形的面积，即：，得．将、3、7分别代入检验，只有时等式成立，所以{{10l连接，，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【题文】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？【答案】15连接．∵∴又∵∴，∴．。

小学奥数讲义6年级-14-直线形面积综合-难版

一定综合性的直线形面积问题，重点是需要利用同底或同高的两三角形的面积相除的商等于对应高或对应底相除的商这一性质的问题，有时合理添加辅助线是解决问题的关键。

我们还会常常用到以下结论：（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12::S S a b =baS 2S 1（3）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DC BA知识梳理【例1】★如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．E【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326⨯÷=(平方厘米)．【小试牛刀】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米．【例2】★★如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BAE BA典型例题【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =， ∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =SCGH DGH，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【小试牛刀】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是．E GCFBBFCGE【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48．【例3】★★★已知图中，三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE ＝ED ，BD=23 BC ，求阴影部分的面积。

小学数学奥数测试题复杂直线型面积12_人教版

小学数学奥数测试题复杂直线型面积12_人教版
1．有正三角形，在边、、的正中间区分取点、、，在边、、上区分取点、、，使，当和、和、和的相交点区分是、、时，使．这时，三角形的面积是三角形的面积的几分之几？请写出思索进程．
2．如图：在梯形中，上底是下底的，其中是边上恣意一点，三角形、三角形、三角形的面积区分为、、．求三角形的面积．
12．如图，三角形面积为，延伸至，使；延伸至，使；延伸至，使，求三角形的面积．
13．如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是，求平行四边形与四边形的面积比．
14．如图，四边形的面积是平方米，，，，，求四边形的面积．
15．如图，将四边形的四条边、、、区分延伸两倍至点、、、，假定四边形的面积为5，那么四边形的面积是多少？
如右图，区分过、作梯形底边的平行线，假定这两条直线之间的距离为．再过作的垂线．
由于，所以，故．依据差不变原理，这个差等于与的面积之差．而与有一条公共的底边，两个三角形边上的高相差为，所以它们的面积差为，故．
再看，它的面积等于是与的面积之差，这两个三角形也有一条公共的底边，边上的高也相差，所以这两个三角形的面积之差为，故．
最后求得的面积为．
18．12
【解析】
衔接、．
由于，依据〞当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比〞，，再依据〞当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比〞，失掉，，，所以平方厘米．

小学奥数几何专题--复杂直线型面积-9(六年级)竞赛测试.doc

小学奥数几何专题--复杂直线型面积-9（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】图中三角形的面积是180平方厘米，是的中点，的长是长的3倍，的长是长的3倍．那么三角形的面积是多少平方厘米？【答案】22.5【解析】，等高，所以面积的比为底的比，有,所以=(平方厘米)．同理有(平方厘米)，(平方厘米)．即三角形的面积是22.5平方厘米．【题文】如图，在长方形中，是的中点，是的中点，如果厘米，厘米，求三角形的面积．【答案】24【解析】∵是的中点，是的中点，∴，，又∵是长方形，∴ (平方厘米)．【题文】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．评卷人得分【答案】6【解析】三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半，三角形ADE又是三角形ADC面积的一半．三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积．【题文】如图，在三角形ABC中，厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？【答案】6【解析】∵是的中点∴同理∴(平方厘米)．【题文】如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位．【答案】9【解析】如右图分割后可得，（平方单位）．【题文】如图，长方形的面积是，是边的中点，在边上，且.那么，阴影部分的面积是多少？【答案】5/12【解析】连接，因为是中点所以的面积为又因为，所以的面积为，又因为面积为，所以阴影部分的面积为：.【题文】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．【答案】5【解析】如图，将大长方形的长的长度设为1，则，，所以，阴影部分面积为．【题文】如图，三角形中，，，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形的面积是多少？【答案】120【解析】∵，∴，；又∵，∴，(平方厘米)．【题文】如图，在三角形中，已知三角形、三角形、三角形的面积分别是89，28，26．那么三角形的面积是多少．【答案】【解析】根据题意可知，，所以，那么，故．【题文】如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分．三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD的面积．【答案】30【解析】如右图，作AB的平行线DE．三角形BDE的面积与三角形ABD的面积相等，三角形DEC的面积就是三角形BDC与三角形ABD的面积差(10平方分米)．从而，可求出梯形高(三角形DEC的高)是：(分米)，梯形面积是：(平方分米)．【题文】图中AOB的面积为，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积．【答案】80【解析】在中，因为，且，所以有．因为和等底等高，所以有．从而，在中，，所以梯形面积：．【题文】如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．【答案】【解析】本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点A移到CB的延长线上的A′处，A′BD与面积相等，从而A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形A′DC ．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．具体做法：⑴ 连接BD；⑵ 过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．⑶ 连接A′D，则A′CD与四边形ABCD等积．【题文】一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的，黄色三角形面积是．问：长方形的面积是多少平方厘米？【答案】60【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的，而绿色三角形面积占长方形面积的，所以黄色三角形面积占长方形面积的．已知黄色三角形面积是，所以长方形面积等于（）．【题文】是长方形内一点，已知的面积是，的面积是，求的面积是多少？【答案】3【解析】由于是长方形，所以，而，所以，则，所以．【题文】如右图，过平行四边形内的一点作边的平行线、，若的面积为8平方分米，求平行四边形的面积比平行四边形的面积大多少平方分米？【答案】16【解析】根据差不变原理，要求平行四边形的面积与平行四边形的面积差，相当于求平行四边形的面积与平行四边形的面积差．如右上图，连接、．由于，所以．而，，所以(平方分米)．【题文】如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，求阴影的面积．【答案】10【解析】连接交于点，并连接．如下图所示，可得，所以与面积相等(同底等高)，所以有：，因为，所以．【题文】如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，求阴影的面积．【答案】2【解析】连接交于点，并连接．如右上图所示，可得，所以与面积相等(同底等高)，所以有:，因为，所以．【题文】在长方形内部有一点，形成等腰的面积为16，等腰的面积占长方形面积的，那么阴影的面积是多少？【答案】3.5【解析】先算出长方形面积，再用其一半减去的面积(长方形面积的)，再减去的面积，即可求出的面积．根据模型可知，所以，又与的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以的面积等于长方形面积的，所以．【题文】如右图所示，在梯形中，、分别是其两腰、的中点，是上的任意一点，已知的面积为，而的面积恰好是梯形面积的，则梯形的面积是．【答案】100【解析】如果可以求出与的面积之和与梯形面积的比，那么就可以知道的面积占梯形面积的多少，从而可以求出梯形的面积．如图，连接、．则，，于是．要求与梯形的面积之比，可以把梯形绕点旋转，变成一个平行四边形．如下图所示：从中容易看出的面积为梯形的面积的一半．(也可以根据，，得来)那么，根据题意可知的面积占梯形面积的，所以梯形的面积是．小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半，这是一个很有用的结论．本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设与重合，则的面积占梯形面积的一半，那么与合起来占一半．【题文】如图所示，四边形与都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．【答案】略【解析】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接．(我们通过把这两个看似无关的平行四边形联系在一起．)∵在平行四边形中，边上的高，∴．同理，，∴平行四边形与面积相等．【题文】如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？【答案】6.4【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接．(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形中，边上的高，∴(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，．∴正方形与长方形面积相等．长方形的宽(厘米)．。

2021年小学奥数几何专题——复杂直线型面积-1

2021年小学奥数几何专题——复杂直线型面积-1 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为多少．2．如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？3．长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？4．在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．5．如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，AB =8，AD =15，四边形EFGO 的面积为多少?6．如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE=2ED,求阴影部分的面积．7．已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)8．如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，求三角形ADG的面积.9．如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB=2:5，AE:AC=4:7，S△ADE= 16平方厘米，求△ABC的面积．10．如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？11．如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？12．如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB:AD =5:2，AE:EC =3:2，S △ADE =12平方厘米，求△ABC 的面积．13．如图，平行四边形ABCD ，BE =AB ，CF =2CB ，GD =3DC ，HA =4AD ，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．14．如图所示的四边形的面积等于多少？15．如图所示，ΔABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =5，以AC 为一边向ΔABC 外作正方形ACDE ，中心为O ，求ΔOBC 的面积．16．如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，∠AEB=90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积．17．如下图，六边形ABCDEF中，AB=ED，AF=CD，BC=EF，且有AB平行于ED，AF平行于CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知FD=24厘米，BD=18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？18．如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?19．四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1，且AO=2，DO=3，那么CO的长度是DO的长度的多少倍．320．如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵AG:GC =？21．如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF 、OEF 、ODF 、BOE 的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF 的面积；⑵求GCE 的面积．22．如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积。

6年级-14-直线形面积综合-难版

第13讲直线形面积综合一定综合性的直线形面积问题，重点是需要利用同底或同高的两三角形的面积相除的商等于对应高或对应底相除的商这一性质的问题，有时合理添加辅助线是解决问题的关键。

我们还会常常用到以下结论：（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12::S S a b =baS 2S 1（3）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．知识梳理OFE DC BA【例1】★如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．A B CDE F【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326⨯÷=(平方厘米)．【小试牛刀】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米．【例2】★★如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．典型例题E BAE BA【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =， ∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH V V ， ∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【小试牛刀】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是．E GCBBCGE【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48．【例3】★★★已知图中，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=23BC，求阴影部分的面积。

六年级奥数几何---第1讲; 直线型面积一; 教师版1

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
的面积是
平方厘米．
B
B
D
D
A
E
F
C
A
E
F
C

【解析】连接 CD ．根据题意可知， ΔDEF 的面积为 ΔDAC 面积的 1 ， ΔDAC 的面积为 ΔABC 面积的 1 ，所
3
2
以 ΔDEF 的面积为 ΔABC 面积的 1 × 1 = 1 ．而 ΔDEF 的面积为 5 平方厘米，所以 ΔABC 的面积为 23 6
SΔPNM
+ SΔPLK
=
1 3
(SΔPDC
+
SΔPAB
)
+
5 12
(SΔPDA
+ SΔPBC ) − (SΔDNM
+ SΔBLK )
即为： 1 × 72 + 5 × 72 −10 × 2 = 24 + 30 − 20 = 34 ．
3
12
【例 5】 (2008 年四中考题)如右图， AD = DB ， AE = EF = FC ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米，ΔABC
所以 S+ ABD
=
1 2
×
S+
ABC
积的
1
，所以阴影部分的面积为
62
×
1 (

小学奥数几何专题--复杂直线型面积-11(六年级)竞赛测试.doc

小学奥数几何专题--复杂直线型面积-11（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx 题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】如图，点、、在线段上，已知厘米，厘米，厘米，厘米，将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是平方厘米，上边部分面积是平方厘米，则三角形的面积是多少平方厘米？【答案】128【解析】连接设的面积是,由于所以的面积是、的面积是由于上半部分的面积是平方厘米所以的面积是()平方厘米，因为下半部分的面积是平方厘米所以的面积是()平方厘米，因为是的2倍所以可以列方程为：()解得，的面积为平方厘米.评卷人得分【题文】如图，正方形的边长为10，四边形的面积为5，那么阴影部分的面积是多少？【答案】40【解析】如图所示，设上的两个点分别为、．连接．根据面积比例模型，与的面积是相等的，那么与的面积之和，等于与的面积之和，即等于的面积．而的面积为正方形面积的一半，为．又与的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形的面积，所以阴影部分的面积为：．【题文】如图，正方形的边长为12，阴影部分的面积为60，那么四边形的面积是多少？【答案】6【解析】如图所示，设上的两个点分别为、．连接．根据面积比例模型，与的面积是相等的，那么与的面积之和，等于与的面积之和，即等于的面积．而的面积为正方形面积的一半，为．又与的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形的面积，所以四边形的面积为：．【题文】如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，四边形的面积为多少？【答案】10【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积．由于长方形的面积为，所以三角形的面积为，所以三角形和的面积之和为；又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为．另解：从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为．【题文】如图所示，矩形的面积为24平方厘米．三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则四边形的面积是多少平方厘米？【答案】1.8【解析】因为三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即12平方厘米，又三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则三角形与三角形的面积之和是平方厘米，则四边形的面积三角形面积三角形与三角形的面积之和三角形面积(平方厘米)．【题文】如图，如果长方形的面积是平方厘米，那么四边形的面积是多少平方厘米？【答案】32.5【解析】如图，过、、、分别作长方形的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为厘米，面积等于平方厘米．设、、、的面积之和为，四边形的面积等于，则，解得(平方厘米)．【题文】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为的正方形，则阴影部分四边形的面积是．【答案】48【解析】如图所示，分别过阴影四边形的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形，易知长方形的面积为平方厘米．从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于、、、四个长方形的面积之和，等于正方形的面积加上长方形的面积，为平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为平方厘米，那么阴影四边形的面积为平方厘米．【题文】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？【答案】68【解析】如图所示，分别过阴影四边形的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形，易知长方形的面积为平方厘米．从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于、、、四个长方形的面积之和，等于正方形的面积加上长方形的面积，为平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为平方厘米，那么阴影四边形的面积为平方厘米．【题文】已知正方形的边长为10，，，则？【答案】53【解析】如图，作于，于．则四边形分为4个直角三角形和中间的一个长方形，其中的4个直角三角形分别与四边形周围的4个三角形相等，所以它们的面积和相等，而中间的小长方形的面积为，所以．【题文】如图，三角形的面积是，、的长度分别为11、3．求长方形的面积．【答案】67【解析】如图，过作∥，过作∥，、交于，连接．则另解：设三角形、、的面积之和为，则正方形的面积为．从图中可以看出，三角形、、的面积之和的2倍，等于正方形的面积与长方形的面积之和，即，得，所以正方形的面积为．【题文】如图，长方形中，，．、分别是边上的两点，．那么，三角形面积的最小值是多少？【答案】717【解析】由于长方形的面积是一定的，要使三角形面积最小，就必须使、、的面积之和最大．由于、、都是直角三角形，可以分别过、作、的平行线，可构成三个矩形、和，如图所示．容易知道这三个矩形的面积之和等于、、的面积之和的2倍，而这三个矩形的面积之和又等于长方形的面积加上长方形的面积．所以为使、、的面积之和最大，只需使长方形的面积最大．长方形的面积等于其长与宽的积，而其长，宽，由题知，根据”两个数的和一定，差越小，积越大”，所以当与的差为0，即l【解析】（法1）特殊点法．由于是内部任意一点，不妨设点与点重合(如上中图)，那么阴影部分就是和．而的面积为，的面积为，所以阴影部分的面积为．（法2）寻找可以利用的条件，连接、、、可得右上图所示：则有:同理可得：;而,即；同理：,,;所以：而；；所以阴影部分的面积是：即为：．【题文】如图所示，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求阴影部分与四边形的面积之比．【答案】1【解析】(法1)设，，，．连接知，，，；所以；同理．于是；注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形，没算的部分是四边形；因此四块阴影的面积和就等于四边形的面积．(法2)特殊值法(只用于填空题、选择题)，将四边形画成正方形，很容易得到结果．【题文】如图，、、、分别是四边形各边的中点，与交于点，、、及分别表示四个小四边形的面积．试比较与的大小．【答案】【解析】如右图，连接、、、，则可判断出，每条边与点所构成的三角形都被分为面积相等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于、这两个不同的组合，所以可知．【题文】如图，四边形中，，，，已知四边形的面积等于4，则四边形的面积是多少？【答案】4/3【解析】运用三角形面积与底和高的关系解题．连接、、、，因为，，所以，在中，，在中，，在中，，在中，．因为，所以．又因为，所以．【题文】如图，对于任意四边形，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形，求四边形的面积是四边形的几分之几？【答案】【解析】分层次来考虑：⑴如下左图，，，所以．又因为，，所以；．⑵如右上图，已知，；所以；所以，即是三等分点；同理，可知、、都是三等分点；所以再次应用⑴的结论，可知，．。

奥数_六年级竞赛_几何直线形面积_燕尾定理.教师版word

1. 理解燕尾定理，灵活运用定理解题．2. 用份数思想求面积之间的关系．本讲是在秋季所学四大模型的基础上，讲解运用燕尾定理求解面积问题．至此五大模型已讲解完毕．体会五大模型解决问题的优势．燕尾定理： S △ABG :S △AGC =S △BGE :S △EGC =BE :EC ； S △BGA :S △BGC =S △AGF :S △FGC =AF :FC ； S △AGC :S △BCG =S △ADG :S △DGB =AD :DB ；问：为什么称之为燕尾定理？答：我们看看燕子的尾巴然后再看看右图的阴影部分，看看阴影部分是不是很像燕子的尾巴，A 是尾巴与身体的连接点，AG 是燕子尾巴的中分线，左右两个阴影三角形构成燕子尾巴的两侧翼.同学们也可以自己动手，试试以三角形的另外两个顶点作为尾巴与身体的连接点能不能画出燕子的尾巴.燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：第4讲直线型面积—燕尾定理G F E D C B A举例：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明 S 1:S 4=S 2:S 3=BD :DC【分析】三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有S 1:S 4 =BD :DC ；三角形ABE 与三角形EBD 同高，S 1:S 2=ED :EA 三角形ACE 与三角形CED 同高，S 4:S 3=:ED EA ，所以S 1:S 4 =S 2:S 3；综上可得S 1:S 4=S 2:S 3=BD :DC .【例 1】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.B【分析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BDS CD==△△,所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以阴影部分面积是30107.512.5--=．(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABE BDE S AF FD S ==△△， 1111112.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，用燕尾定理求面积S 3S 1S 4S 2EDCBA而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．［铺垫］右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是．【分析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系： ()2:13:4S =+阴影，解得2S =阴影.方法二：回顾下燕尾定理，有2:41:3S +=阴影（），解得2S =阴影.【例 2】如右图，三角形ABC 中，BD :DC =4:9，CE :EA =4:3，求AF :FB . 【分析】燕子尾巴非常明显.根据燕尾定理，49ABO ACO S BD S DC ==△△， 34ABO CBO S AE S EC ==△△，所以44279316ACO BCO S S =÷=△△，所以:27:16AF FB =.【例 3】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBAIHG FEDCB A【分析】连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理O F ED CBA::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△, 所以7222177GHI ABC S S ---==△△［拓展］如右图，三角形ABC 中，AF :FB =BD :DC =CE :AE =3:2，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA［分析］连接BG ，BGC S △=4份根据燕尾定理，::3:2AGC BGC S S AF FB ==△△，::3:2ABG AGC S S BD DC ==△△ 得6AGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGC ABC S S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,619BIC ABC S S =△△, 所以1966611919GHI ABC S S ---==△△ 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【例 4】如图，三角形ABC 被分成6个三角形，己知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少? 【分析】设AOE S x =△，BOF S y =△，根据燕尾定理,得::ABO ACO BDO CDO S S S S =△△△△,::ABO BOC AOE COE S S S S =△△△△即 (84):(35)4:3y x ++=，(84):(4030):35y x ++=，即3(84)4(35)35(84)70y x y x +=+⎧⎨+=⎩，解得7056x y =⎧⎨=⎩，所以三角形ABC 的面积是844030355670315+++++=35304084O FEDCBA【例 5】三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F 为BC 中点，求阴影部分的面积．F CBAF CB【分析】令BE 与CD 的交点为M ，CD 与EF 的交点为N ，连接AM ，BN ．在ABC △中，根据燕尾定理，::1:1ABM BCM S S AE CE ==△△,::1:1ACM BCM S S AD BD ==△△,所以13ABM ACM BCN ABC S S S S ===△△△△由于1122AEM AMC ABM S S S ==△△△S ，所以:2:1BM ME =在EBC △中，根据燕尾定理，::1:1BEN CEN S S BF CF ==△△::1:2CEN CBN S S ME MB ==△△ 设1CEN S =△(份)，则1BEN S =△(份)，2BCN S =△(份)，4BCE S =△(份)，所以1124BCN BCE ABC S S S ==△△△,1148BNE BCE ABC S S S ==△△△，因为:2:1BM ME =,F 为BC 中点,所以221133812BMN BNE ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,11112248BFN BNC ABC S S S ==⨯=△△△,所以115515 3.1251282424ABC ABC S S S ⎛⎫=+==⨯= ⎪⎝⎭△△阴影(平方厘米)【例 6】如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BCD EF【分析】连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)［拓展］如右图，三角形ABC 的面积是1，BD =DE =EC ，CF =FG =GA ，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA［分析］设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPM S =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【例 7】已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S =乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b =baHFEDA baNMHFED A【分析】观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解连接EO 、AF ，根据燕尾定理：::AOE AOF S S a b =△△，::AOF EOF S S a b =△△ 所以 22::AOE EOF S S a b =△△，作OM ⊥AE 、ON ⊥EF ， ∵AE =EF∴22::OM ON a b = ∴33::1:8S S a b ==乙甲 ∴:1:2a b =【例 8】如图，在平行四边形ABCD 中，BE EC =，2CF FD =．求阴影面积与空白面积的比．求面积方法的综合运用B【分析】方法一：因为BE EC =，2CF FD =，所以14ABE ABCD S S =△四边形，16ADF ABCD S S =△四边形．因为2AD BE =，所以2AG GE =，所以11312BGE ABE ABCD S S S ==△△四边形，2136ABG ABE ABCD S S S ==△△四边形．同理可得，18ADH ABCD S S =△四边形，124DHF ABCD S S =△四边形．因为12BCD ABCD S S =△四边形，所以空白部分的面积111112()21224683ABCD ABCD S S =--++=四边形四边形，所以阴影部分的面积是13ABCD S 四边形．12:1:233=，所以阴影面积与空白面积的比是1:2．C方法二：连接CG 、CH 、AC ,AC 交BD 于O ，有AO OC =在ABC △中，根据燕尾定理可以得到::1:1ABG ACG S S BE CE ==△△,::1:1ABG CBG S S AO OC ==△△,所以1136BCG ACG ABC ABCDS S S S===△△△,所以112BGE AGO ABCDS S S ==△△,同理在ACD △中，根据燕尾定理可以得到1124AHC ACD ABCDS S S==△△,1148DCH ACD ABCDS S S==△△,所以1128AHO AHC ABCD S S S==△△,11324DFH DCHABCDS S S ==△△所以11111()12128243BEG AGO AHO DHF ABCDABCDS S S S S SS =+++=+++=△△△△阴影所以阴影面积与空白面积的比12:1:233=【例 9】如图，在一个梯形内有两个面积分别为10与12的三角形，已知梯形的上底长是下底长的23，那么余下的阴影部分的面积是______．【分析】设上底为2a ,则下底为3a ,梯形的高为2102121823a a a⨯⨯+=，梯形的面积为118(23)2a a a⨯+⨯=45, 所以阴影部分面积为45101223--=1.如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE D C BAFE DCB A【分析】连接CD ．由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△，根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△． 2.三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？A［分析］连接BN ．ABC △的面积为3223⨯÷=根据燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△；同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△设AMN △面积为1份，则MNB △的面积也是1份，所以ANB △的面积是112+=份，而ACN △的面积就是224⨯=份，CBN △也是4份，这样ABC △的面积为441110+++=份，所以AMN △的面积为31010.3÷⨯=． 3.三角形ABC 的面积是1平方厘米，且BE =2EC ，F 是CD 的中点．那么阴影部分的面积是平方厘米．CACA【分析】连接BF ，根据燕尾定理::1:2ACF ABF S S CE BE ==△△,又因为F 是CD 的中点，所以ACF ADF S S =△△，所以ADF BDF S S =△△,即D 是AB 的中点，设1ECF S =△(份)，则2BEF S =△(份),3BDF S =△(份),5S =阴影(份)，2(123)12ABC S =⨯++=△(份)，所以551212ABC S S ==△阴影(平方厘米) 4.如图，线段AB 与BC 垂直，已知AD =EC =4，DB =BE =6，那么图中阴影部分面积是多少？ECBAECBA【分析】这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，我们不妨连接这个图形的对称轴看看.作辅助线BO ，则图形关于BO 对称，设△ADO 的面积为2份，则△DBO 的面积为3份，直角三角形ABE 的面积为8份. 因为610230ABE S =⨯÷=△，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为 308415÷⨯=115.如图，ABC △中14AE AB =，AD 14AC =，ED 与BC 平行，EOD △的面积是1平方厘米．那么AED △的面积是平方厘米．【分析】因为14AE AB =，14AD AC =，ED 与BC 平行，所以:1:4ED BC =,:1:4EO OC =，44EOB EOD S S ==△△，则415CDE S =+=△，又因为::1:3AED CDE S S AD DC ==△△,所以15533AED S =⨯=△(平方厘米)．CBODEA12 ｜五年级第四讲提高班｜富乌鸦树上落了一只嘴里衔着一大块东西的乌鸦。

(完整word版)六年级奥数-直线形面积的计算

六年级奥数－直线形面积的计算
1．如下左图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有______个．
2．如上右图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有______个．
3．如下左图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有______对．
4.如上图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．
5．图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（
6.如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，
AD=DH．求四边形EFGH的面积．
7．如下左图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，
已知S△ABC=27平方厘米，求S△DEF．
8．如下左图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、
BC的三等分点，且SABCD=54平方厘米，求S△BEF．
六年级奥数－直线形面积的计算解答
1.3个
2.3个
3.3对
4．证明：∵△ABC与△DBC等底等高，
∴S△ABC=S△DBC
又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC
S△DOC=S△DBC—S△BOC
∴S△AOB=S△COD．
5．4×4÷2=8
6. 连结BD，将四边形ABCD分成两个部分．连结FD，可得S△AEH+S△CGF=2×1=2．同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）。

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小学奥数几何专题--复杂直线型面积-1（六年级）竞赛测试姓名:_____________年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】如图，正方形ABCD的边长为6， 1.5，2．长方形EFGH的面积为多少．【答案】33【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，,所以长方形EFGH面积为33．【题文】如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？评卷人得分【答案】6.4【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接．(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形中，边上的高，∴(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，．∴正方形与长方形面积相等．长方形的宽(厘米)．【题文】长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【答案】13.5【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图：可得：、、，而即；而，．所以阴影部分的面积是：解法二：特殊点法．找的特殊点，把点与点重合，那么图形就可变成右图：这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有：．【题文】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分的面积．【答案】15【解析】（法1）特殊点法．由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，则阴影部分变为如上图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为平方厘米．（法2）连接、．由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，所以阴影部分的面积为平方厘米．【题文】如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，四边形的面积为多少?【答案】10【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积．由于长方形的面积为，所以三角形的面积为，所以三角形和的面积之和为；又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为．另解：从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为．【题文】如图，长方形的面积是36，是的三等分点，,求阴影部分的面积．【答案】2.7【解析】如图，连接．根据蝴蝶定理，，所以；，所以．又，，所以阴影部分面积为：．【题文】已知为等边三角形，面积为400，、、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形)【答案】43【解析】因为、、分别为三边的中点，所以、、是三角形的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形和三角形的面积都等于三角形的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有，即，所以．又，所以．【题文】如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，求三角形的面积.【答案】40【解析】连接，．根据题意可知，；；所以，，，，，于是：；；可得．故三角形的面积是40．【题文】如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积．【答案】70【解析】连接，，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【题文】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三l连接．∵，∴，又∵，∴，∴，．【题文】如图在中，在的延长线上，在上，且，，平方厘米，求的面积．【答案】50【解析】连接，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【题文】如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是，求平行四边形与四边形的面积比．【答案】1：18【解析】连接、．根据共角定理∵在和中，与互补，∴．又，所以．同理可得，，．所以．所以．【题文】如图所示的四边形的面积等于多少？【答案】144【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形绕顶点逆时针旋转，使长为的两条边重合，此时三角形将旋转到三角形的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为.(也可以用勾股定理)【题文】如图所示，中，，，，以为一边向外作正方形，中心为，求的面积．【答案】10【解析】如图，将沿着点顺时针旋转，到达的位置．由于，，所以．而，所以，那么、、三点在一条直线上．由于，，所以是等腰直角三角形，且斜边为，所以它的面积为．根据面积比例模型，的面积为．【题文】如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于．已知、的长分别为、，求三角形的面积．【答案】2.5【解析】如图，连接，以点为中心，将顺时针旋转到的位置．那么，而也是，所以四边形是直角梯形，且，所以梯形的面积为：()．又因为是直角三角形，根据勾股定理，，所以()．那么()，所以()．【题文】如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？【答案】432【解析】如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都重合到图中的了．这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为平方厘米，所以六边形的面积为平方厘米．【题文】如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于（）．【答案】【解析】方法一：连接，根据燕尾定理，，,设份，则份，份，份，如图所标所以方法二：连接，由题目条件可得到，，所以，，而．所以则四边形的面积等于．【题文】如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?【答案】平方厘米【解析】设份，则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米.【题文】四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的多少倍．【答案】2【解析】在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．解法一：∵，∴，∴．解法二：作于，于．∵，∴，∴，∴，∴，∴．【题文】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形的面积；⑵？【答案】6；1：3【解析】⑴根据蝴蝶定理，，那么；⑵根据蝴蝶定理，．【题文】如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求的面积；⑵求的面积．【答案】【解析】⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，根据蝴蝶定理，，所以，那么．【题文】如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．【答案】72【解析】连接，．因为，，所以．因为，，所以平方厘米，所以平方厘米．因为，所以长方形的面积是平方厘米．【题文】如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．【答案】1【解析】因为是边上的中点，所以，根据梯形蝴蝶定理可以知道，设份，则份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米．【题文】在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是多少平方厘米．【答案】12【解析】连接，根据题意可知，根据蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)．【题文】已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．【答案】21【解析】连接．由于是平行四边形，，所以，根据梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，阴影部分面积为(平方厘米)．【题文】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米．【答案】6【解析】连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)．【题文】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米．【答案】4【解析】连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)．另解：在平行四边形中，(平方厘米)，所以(平方厘米)，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为(平方厘米)．【题文】如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为多少平方厘米．【答案】9【解析】连接、．四边形为梯形，所以，又根据蝴蝶定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)．【题文】如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？【答案】12【解析】由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形．在梯形中，和的面积是相等的．而，所以的面积是面积的，那么的面积也是面积的．由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么是的中点，而且，可见和的面积都等于正方形面积的一半，所以的面积与正方形的面积相等，为48．那么的面积为．【题文】下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于多少？【答案】5【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接．设与的交点为．左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的，所以三角形的面积为．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为．如上图所示，在右图中连接、．设、的交点为．可知∥且．那么三角形的面积为三角形面积的，所以三角形的面积为，梯形的面积为．在梯形中，由于，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：，所以三角形的面积为，那么四边形的面积为．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即，那么．【题文】如图，中，，，互相平行，，则（）．【答案】1：3：5【解析】设份，根据面积比等于相似比的平方，所以，，因此份，份，进而有份，份，所以.【题文】如图，平行，且，，，求的长．【答案】10【解析】由金字塔模型得，所以【题文】如图，中，，，，，互相平行，，则．【答案】1：3：5：7：9【解析】设份，，因此份，进而有份，同理有份，份，份．所以有【题文】如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求.【答案】【解析】方法一：连接，延长，两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有，因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有，所以．方法二：连接，分别求，，根据蝴蝶定理，所以．【题文】如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点，交于，求的面积．【答案】【解析】解法一：由题意可得，、是、的中点，得，而，所以，并得、是的三等分点，所以，所以，所以，；又因为，所以．解法二：延长交于，如下图，可得，，从而可以确定的点的位置，，，(鸟头定理)，可得【题文】如图，为正方形，且，请问四边形的面积为多少？【答案】【解析】 (法)由，有，所以，又，所以，所以，所以占的，所以．(法)如图，连结，则(，而，所以，()．而()，因为，所以，则()，阴影部分面积等于()．【题文】如右图，三角形中，，，求．【答案】27：16【解析】根据燕尾定理得（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）所以本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【题文】如右图，三角形中，，，求.【答案】10：9【解析】根据燕尾定理得（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）所以【题文】如右图，三角形中，，，求.【答案】15：8【解析】根据燕尾定理得（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）所以本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【题文】如右图，三角形中，，且三角形的面积是，则三角形的面积为多少，三角形的面积为多少，三角形的面积为多少？【答案】，，【解析】连接、、．由于，所以，故；根据燕尾定理，，，所以，则，；那么；同样分析可得，则，，所以，同样分析可得，所以，．【题文】如右图，三角形中，，且三角形的面积是，求三角形的面积．【答案】19【解析】连接BG，份根据燕尾定理，，得(份)，(份)，则(份)，因此,同理连接AI、CH得,,所以三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19【题文】如图，中，，，那么的面积是阴影三角形面积的多少倍．【答案】7【解析】如图，连接．根据燕尾定理，，，所以，，那么，．同理可知和的面积也都等于面积的，所以阴影三角形的面积等于面积的，所以的面积是阴影三角形面积的7倍．【题文】如图，三角形的面积是，，，三角形被分成部分，请写出这部分的面积各是多少?【答案】【解析】设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，CM，CN．根据燕尾定理，，，设(份)，则(份)，所以同理可得，,,而，所以，．同理，,所以，,,【题文】如图，的面积为1，点、是边的三等分点，点、是边的三等分点，那么四边形的面积是多少？【答案】【解析】连接、、．根据燕尾定理，，，所以，那么，．类似分析可得．又，，可得．那么，．根据对称性，可知四边形的面积也为，那么四边形周围的图形的面积之和为，所以四边形的面积为．【题文】右图，中，是的中点，、、是边上的四等分点，与交于，与交于，已知的面积比四边形的面积大平方厘米，则的面积是多少平方厘米？【答案】336【解析】连接、．根据燕尾定理，，，所以；再根据燕尾定理，，所以，所以，那么，所以．根据题意，有，可得(平方厘米)【题文】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面积.【答案】【解析】令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP ⑴求：在中，根据燕尾定理，设(份)，则(份),(份),(份),所以，所以,,所以,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是面积的⑵求：在中，根据燕尾定理, 所以,同理在中，根据燕尾定理,所以，所以同理另外两个五边形面积是面积的，所以【题文】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中心六边形面积.【答案】【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR在中根据燕尾定理，,所以,同理,所以，同理根据容斥原理，和上题结果【题文】已知的面积为平方厘米，，求的面积．【答案】24【解析】，设份，则份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米。