数学分析级数的收敛性
数学中的数列与级数收敛性判定方法
数学中的数列与级数收敛性判定方法数学中的数列与级数收敛性判定方法是数学分析中的重要概念，它对于理解和应用各类数学问题具有重要意义。
本文将介绍数学中的数列与级数收敛性判定方法，分别从数列的收敛性判定和级数的收敛性判定两个方面进行论述。
一、数列的收敛性判定方法数列是按照一定规律排列的一组数。
在数列中，如果随着项数的增加，数列中的数值逐渐趋近于某个确定的数，那么我们称这个数列是收敛的。
否则，如果数列不存在极限或者极限为无穷大或无穷小，我们称这个数列是发散的。
下面介绍几种数列的收敛性判定方法。
首先是数列极限的定义。
对于一个数列{an}，如果存在一个数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在项数N，使得当n>N时，对应的数列的项与L之差的绝对值小于ε，那么我们称L为数列的极限。
这是最基本的数列收敛性判定方法。
其次是数列极限的性质。
如果数列{an}收敛，那么它必然有界，即存在一个正数M，使得对于任意的项数n，都有|an|≤M成立。
这是利用数列极限性质的一种常用收敛性判定方法。
同时，我们还可以通过夹逼定理来判定数列的收敛性。
夹逼定理是利用三个数列夹在一起的方式来判断数列的收敛性。
如果对于数列{an}、{bn}和{cn}，当n趋于无穷大时，an≤bn≤cn，并且数列{an}和{cn}都收敛于同一个极限L，那么数列{bn}也收敛于L。
最后，我们还可以通过数列的单调性来判定其收敛性。
单调数列是指数列中的项随着项数的增加而保持单调递增或递减的性质。
如果数列{an}单调递增有上界，那么它必然收敛；如果数列{an}单调递减有下界，那么它也必然收敛。
二、级数的收敛性判定方法级数是将一个数列的各个项按照一定顺序进行求和得到的一类数列。
在级数中，如果求和的结果逐渐趋近于某个确定的数，那么我们称这个级数是收敛的。
否则，如果级数的和不存在或者为无穷大，我们称这个级数是发散的。
接下来介绍几种级数的收敛性判定方法。
首先是级数收敛的定义。
数学分析中的级数收敛的判定方法
级数是数学分析中一个重要的概念，它由无穷多个数的和组成。
在研究级数时，我们常常希望知道该级数是否收敛。
本文将介绍数学分析中的一些级数收敛的判定方法。
首先我们来介绍级数的收敛和发散的定义。
对于给定的级数∑an，它的部分和序列是指Sn=∑an的前n项和。
如果该序列有极限L，即limn→∞Sn=L，那么我们称级数∑an收敛，并且极限L是该级数的和。
如果该序列没有极限，或者极限为无穷大，那么我们称级数∑an发散。
接下来我们将介绍一些级数收敛的判定方法。
1.比较判别法比较判别法是级数判定方法中最基本的方法之一。
其思想是将待判定的级数与一个已知的级数进行比较。
设∑an和∑bn是两个级数，如果对于所有的n，我们有0≤an≤bn，那么有以下结论：•如果∑bn收敛，那么∑an也收敛；•如果∑bn发散，那么∑an也发散。
通过比较判别法，我们可以快速判断某些级数的收敛性。
2.比值判别法比值判别法是另一种常用的级数收敛判定方法。
它通过计算级数的相邻两项的比值来判断级数的收敛性。
设∑an是一个级数，定义rn=|an+1/an|，如果以下条件满足：•如果rn<1，则级数∑an收敛；•如果rn>1，则级数∑an发散；•如果rn=1，则比较判别法不起作用，我们需要采用其他方法进行判定。
比值判别法在实际运用中非常有用，特别是对于一些指数函数形式的级数。
3.根值判别法根值判别法是一种级数收敛的判定方法，它利用级数的项求极限的方法进行判定。
设∑an是一个级数，定义rn=|an|^(1/n)，如果以下条件满足：•如果rn<1，则级数∑an收敛；•如果rn>1，则级数∑an发散；•如果rn=1，则比较判别法不起作用，我们需要采用其他方法进行判定。
根值判别法是一种常用的方法，特别适用于指数函数形式的级数。
4.正项级数判别法正项级数判别法是一种判定正项级数（即级数的每一项都是非负数）收敛性的方法。
它通过判断级数的部分和序列是否有上界来进行判定。
级数的收敛性讲解
级数是数学分析三大组成部分之一， 是逼近理论的基础，是研究函数、进行 近似计算的一种有用的工具. 级数理论 的主要内容是研究级数的收敛性以及级 数的应用.
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对于有限个实数 u1,u2,…,un 相加后还是一个实数，
这是在中学就知道的结果,那么“无限个实数相加” 会有什么结果呢？请看下面的几个例子. 如在第二 章提到《庄子·天下篇》“一尺之棰,日取其半,万 世不竭”的例中,将每天截下那一部分的长度“加” 起来是:
称为数项级数(1)的第 n 个部分和,也简称部分和.
定义2 若数项级数(1)的部分和数列 {Sn }收敛于 S
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(即
lim
n
Sn
S
),
则称数项级数(1)收敛,
S 称为数
项级数(1)的和,记作
S u1 u2 L un L , 或 S un . n1
若 {Sn }是发散数列,则称数项级数(1)发散.
定理12.1(级数收敛的柯西准则)级数(1)收敛的充要
条件是:任给正数 , 总存在正整数 N ,使得当 m N
以及对任意的正整数 p 都有
um1 um2 L um p .
(6)
根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻
写出级数(1)发散的充要条件是: 存在某正数 0 , 对
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n
nnnn
lim
n
1
1 n2
1
n2
n
nn
10
所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.
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例5
运用级数收敛的柯西准则证明级数
1 n2
收敛.
证 由于
级数的重要结论
级数的重要结论级数是数学中重要的概念之一，它在数学分析、概率论、统计学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍级数的重要结论，包括级数的收敛性、级数和的性质、级数的运算等内容。
一、级数的收敛性级数的收敛性是指级数的部分和是否趋于一个有限的极限。
对于级数∑an来说，如果存在一个实数L，使得对任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，有|Sn-L|<ε，其中Sn表示前n项的部分和，则称级数收敛于L，记作∑an=L。
1. 收敛级数的性质：如果级数∑an收敛，则它的任意子级数也收敛，并且收敛于相同的极限。
2. 收敛级数的必要条件：如果级数∑an收敛，则必有lim(n→∞)an=0。
3. 收敛级数的比较判别法：设∑an和∑bn是两个级数，如果存在正整数N，使得当n>N时，有|an|≤|bn|，则有以下结论：a) 如果∑bn收敛，则∑an也收敛；b) 如果∑an发散，则∑bn也发散。
二、级数和的性质级数和是指级数的所有项相加得到的结果。
对于级数∑an来说，级数和可以是有限的也可以是无限的。
1. 级数和存在的条件：如果级数∑an收敛，则级数和存在。
2. 级数和的唯一性：如果级数∑an收敛，则级数和是唯一的。
3. 改变级数前有限项不改变级数和：如果级数∑an收敛，则级数∑bn也收敛，并且它们的级数和相同，其中bn=an（n>N）。
三、级数的运算级数的运算包括级数的加法、减法、乘法和除法。
1. 级数的加法：如果级数∑an和∑bn都收敛，则它们的和级数∑(an+bn)也收敛，并且有以下结论：a) (∑an+∑bn)=∑(an+bn)b) (∑an+∑bn)的级数和等于∑an的级数和加上∑bn的级数和。
2. 级数的减法：如果级数∑an和∑bn都收敛，则它们的差级数∑(an-bn)也收敛，并且有以下结论：a) (∑an-∑bn)=∑(an-bn)b) (∑an-∑bn)的级数和等于∑an的级数和减去∑bn的级数和。
级数的收敛性判定与计算
级数的收敛性判定与计算级数是数学中一种特殊的数列求和形式。
在数学分析中，我们通常关心的是级数的收敛性判定与计算。
本文将介绍几种常见的级数收敛性判定方法，并以例子详细说明其计算过程。
一、级数的收敛性判定在讨论级数的收敛性之前，先来了解一下级数的定义。
设有数列{an}，则数列{an}的和称为级数，用Σan表示。
1.正项级数收敛判定如果对于数列{an}的每一项都有an≥0且数列{an}的部分和序列{s1, s2, s3, ...}有上界，则称Σan为正项级数。
关于正项级数的收敛性，有以下判定定理：（1）Cauchy准则：正项级数Σan收敛当且仅当对任意ε>0，存在N∈N，当n>N时，对任意的m>n，有|sm-sn|<ε。
（2）比较判别法：若存在正数c，当n>N时，对任意的m>n，有an≤cn，则正项级数Σan收敛。
（3）极限判别法：如果lim(n→∞)(an+1/an)=l，其中l>0或l=+∞，则正项级数Σan与Σan收敛或发散。
2.交错级数收敛判定若级数Σ(-1)^(n-1)an的一般项是由正项和负项构成的交错形式，则称之为交错级数。
关于交错级数的收敛性，有以下判定定理：（1）莱布尼茨判别法：对于交错级数Σ(-1)^(n-1)an，若满足an≥0、an递减（即an+1≤an）且lim(n→∞)an=0，则交错级数Σ(-1)^(n-1)an收敛。
3.绝对收敛和条件收敛对于级数Σan，若级数Σ|an|收敛，则称Σan为绝对收敛级数；若Σan收敛而Σ|an|发散，则称Σan为条件收敛级数。
二、级数的计算在判断级数的收敛性后，有时我们还需要计算级数的和。
以下是几种常见的级数计算方法。
1.等差级数等差级数是指数列项的差值为常数的级数。
对于等差级数Σa+(n-1)d，其求和公式为Sn=(n/2)[2a+(n-1)d]，其中n为项数，a为首项，d为公差。
2.几何级数几何级数是指数列项的比值为常数的级数。
数学分析级数收敛最全汇总
数学分析级数收敛最全汇总什么是级数级数是由一连串数相加所得到的和，通常写成这种形式：$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$$其中 $a_n$ 为数列的第 $n$ 项。
收敛和发散对于一个级数 $\sum a_n$，如果当 $n$ 趋于无穷大时其部分和$S_n=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k$ 有极限，那么称级数 $\suma_n$ 收敛，同时称其极限为该级数的和，即：收敛，同时称其极限为该级数的和，即：$$\lim_{n \to \infty} s_n = s$$如果极限不存在，或者为 $\pm \infty$，则称级数 $\suma_n$ 发散。
发散。
收敛的判别法对于一个级数 $\sum a_n$，为了判断其是否收敛，通常使用下面这些判别法：- 正项级数判别法- 比值法- 根值法- 级数收敛的必要条件详情可参考资料。
发散的情况当级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散时，可能会出现以下几种情况：- 无穷递增；- 无穷递减；- 振荡。
常见级数示例- 调和级数$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$- 正项级数$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}, p>0$$ - 幂级数$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$其中 $a_n$ 为系数，$x$ 为变量。
- 和式$$\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$其中 $q \neq 1$。
总结本文介绍了级数的定义、收敛和发散等概念，以及常见的判别法和例子。
希望对读者有所帮助。
数学分析级数
项级数, 且存在某正数 N0 及常数 l,
(i) 若对一切 n N0, 成立不等式
n un l 1,
(9)
则级数 un 收敛;
(ii) 若对一切 n N0, 成立不等式
n un 1,
(10)
则级数 un 发散.
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证 由(9)式有un ln , 因为等比级数 l n 当 1 l 1 时收敛, 故由比较原则, 这时级数 un 也收敛, 对
(5)
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则级数 un 收敛.
(ii) 若对一切 n N0, 成立不等式
un1 1,
(6)
un
则级数 un发散.
证 (i) 不妨设不等式 (5) 对一切 n 1 成立,于是有
u2 q, u3 q, , un q, .
u1
u2
un1
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把前n-1个不等式按项相乘后,得到
u n n
n 1 4n 4
根据推论1，级数收敛.
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例7 讨论级数 nxn1( x 0) 的敛散性.
解 因为
un1 un
(n 1)xn nx n1
x
n1 n
x(n
),
根据推论1,当 0 < x <1时级数收敛;当 x>1时级数发
散; 而当 x = 1时, 所考察的级数是 n, 它显然也是
散性做出判断.
例如 对
1 n2
和
1 n
,
都有
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n un 1(n ), 但
1 n2
是收敛的,
而
1 却是 n
发散的.
若(11)式的极限不存在, 则可根据根式 n un 的上极限
《数学分析》第十二章 数项级数
第十二章 数项级数 （ 1 4 时 ）§1 级数的收敛性（ 3 时 ）一． 概念：1．级数：级数,无穷级数;通项 (一般项, 第n 项), 前n 项部分和等概念 (与中学的有关概念联系).级数常简记为∑nu.2. 级数的敛散性与和:介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本, 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例1 讨论几何级数∑∞=0n nq的敛散性.解 当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当 1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ). 例2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性. 解 用链锁消去法求. 例3 讨论级数∑∞=12n n n的敛散性. 解 设 ∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212, =n S 211432221 232221++-++++n n nn ,1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n , ) (∞→n .⇒ n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数∑∞=-1352n n n的敛散性. 解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.3. 级数与数列的关系:⑴设∑nu对应部分和数列{n S }, 则∑nu收敛 ⇔ {n S }收敛;⑵对每个数列{n x },对应级数∑∞=--+211)(n n nx xx ,对该级数,有n S =n x .于是,数列{n x }收敛⇔级数 ∑∞=--+211)(n n nx xx 收敛.可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式. 4. 级数与无穷积分的关系:⑴⎰∑⎰+∞∞=+==111)(n n nf dx x f ∑∞=1n nu, 其中 ⎰+=1n nn f u . 无穷积分可化为级数;⑵对每个级数, 定义函数 , 2 , 1 , 1 , )(=+<≤=n n x n u x f n , 易见有∑∞=1n nu=⎰+∞1)(dx x f . 即级数可化为无穷积分.综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二 级数收敛的充要条件 —— Cauchy 准则 ：把部分和数列{n S }收敛的Cauchy 准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy 准则.Th1 ( Cauchy 准则 )∑nu收敛⇔N n N >∀∃>∀ , , 0ε和∈∀p N ⇒ε | |21<++++++p n n n u u u .由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序) 级数的有限项, 不会影响级数的敛散性. 但在收敛时, 级数的和将改变.去掉前 k 项的级数表为∑∞+=1k n nu或∑∞=+1n kn u.推论 (级数收敛的必要条件)∑nu收敛⇒ 0lim =∞→n n u .例5 证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件.令 21nu n =, 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N . 例6 判断级数∑∞=11sinn nn 的敛散性. (验证 0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)例7 证明调和级数∑∞=11n n发散. 证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.三． 收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质1∑nu收敛,a 为常数⇒∑nau收敛,且有∑nau=a∑nu(收敛级数满足分配律)性质2∑nu和∑nv收敛⇒)(n nv u±∑收敛,且有)(n n v u ±∑=∑n u ±∑nv.问题:∑nu、∑nv、)(n nv u±∑三者之间敛散性的关系.性质3 若级数∑nu收敛, 则任意加括号后所得级数也收敛, 且和不变.(收敛数列满足结合律)例8 考查级数 ∑∞=+-11)1 (n n 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性. 该例的结果说明什么问题 ?Ex [1]P 5—7 1 — 7.§2 正项级数（ 3 时 ）一. 正项级数判敛的一般原则 :1.正项级数: n n S u , 0>↗; 任意加括号不影响敛散性.2. 基本定理: Th 1 设0≥n u .则级数∑nu收敛⇔)1(0=n S .且当∑nu发散时,有+∞→n S ,) (∞→n . ( 证 )正项级数敛散性的记法 . 3. 正项级数判敛的比较原则: Th 2 设∑nu和∑nv是两个正项级数, 且N n N >∃ , 时有n n v u ≤, 则 ⅰ> ∑nv <∞+ , ⇒ ∑nu<∞+ ;ⅱ>∑nu=∞+, ⇒∑nv=∞+ . ( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题 )例1 考查级数∑∞=+-1211n n n 的敛散性 .解 有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 例2 设)1( 0π><<q q p . 判断级数∑∞=+111sin n n n q p 的敛散性.推论1 (比较原则的极限形式) 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数且l v u nnn =∞→lim,则ⅰ> 当∞+<< 0l 时,∑nu和∑nv共敛散 ; ⅱ> 当0=l 时 ,∑nv<∞+⇒∑nu<∞+ ;ⅲ> 当+∞=l 时,∑nv=∞+⇒∑nu=∞+ . ( 证 )推论2 设∑nu和∑nv 是两个正项级数,若n u =)(0n v ，特别地，若 n u ～n v ,) (∞→n ， 则∑nu<∞+⇔∑nv=∞+.例3 判断下列级数的敛散性:⑴∑∞=-121n n n ; ( n n -21～ n 21) ; ⑵ ∑∞=11sin n n ; ⑶ ∑∞=+12) 11 ln(n n .二 正项级数判敛法:1．比值法：亦称为 D ’alembert 判别法.用几何级数作为比较对象,有下列所谓比值法. Th 3 设∑nu为正项级数, 且0 N ∃ 及 0 , ) 10 ( N n q q ><<时ⅰ> 若11<≤+q u u nn ⇒∑n u <∞+; ⅱ> 若11≥+nn u u ⇒∑n u =∞+ . 证 ⅰ> 不妨设 1≥n 时就有11<≤+q u u nn 成立, 有, , , , 12312q u u q u u q u u n n ≤≤≤- 依次相乘⇒11-≤n n q u u , 即 11-≤n n qu u . 由 10<<q , 得∑<nq∞+⇒∑n u <∞+.ⅱ> 可见}{n u 往后递增⇒ , 0→/n u ) (∞→n . 推论 (比值法的极限形式) 设∑n u 为正项级数, 且 q u u nn n =+∞→1lim. 则ⅰ> 当q <1⇒∑nu<∞+; ⅱ>当q >1或q =∞+⇒∑nu=∞+. ( 证 )注: ⑴倘用比值法判得∑nu=∞+, 则有 , 0→/n u ) (∞→n .⑵检比法适用于n u 和1+n u 有相同因子的级数, 特别是n u 中含有因子!n 者. 例4 判断级数 ()()+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性. 解 1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.例5 讨论级数∑>-)0( 1x nx n 的敛散性.解 因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.例6 判断级数∑+nn n n !21的敛散性 .注: 对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n,均有 11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛.Ex [1]P 16 1⑴―⑺， 2⑴⑵⑷⑸，3，4，12⑴⑷；2. 根值法 ( Cauchy 判别法 ): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4 设∑nu为正项级数,且 0 N ∃ 及 0>l , 当 0N n >时,ⅰ> 若 1 <≤l u n n ⇒∑nu<∞+;ⅱ> 若1 ≥n n u ⇒∑nu =∞+. ( 此时有 , 0→/n u ) (∞→n .) ( 证 ) 推论 (根值法的极限形式) 设∑nu为正项级数,且 l u n n n =∞→lim . 则ⅰ> 当1 <l 时⇒∑nu<∞+; ⅱ> 当1 >l 时⇒∑nu=∞+ . ( 证 )注: 根值法适用于通项中含有与n 有关的指数者.根值法优于比值法. (参阅[1]P 12)例7 研究级数 ∑-+nn2) 1 (3的敛散性 .解 1212)1(3l i m l i m <=-+=∞→∞→nnn n nn u ⇒∑+∞<. 例8 判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解 前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 . 3． 积分判别法：Th 5 设在区间) , 1 [∞+上函数0)(≥x f 且↘. 则正项级数∑)(n f 与积分⎰+∞1)(dx x f 共敛散.证 对] , 1[ , 1 A R f A ∈>∀ 且 ⎰-=-≤≤nn n n f dx x f n f 1, 3 , 2 , )1()()(⇒⎰∑∑∑=-===-≤≤mmn m n mn n f n f dx x f n f 12112, )()1()()( . 例9 讨论 -p 级数∑∞=11n pn的敛散性. 解 考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间 ) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dxx f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n pn当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛. 例10 讨论下列级数的敛散性:⑴ ∑∞=2) ln ( 1n p n n ; ⑵ ∑∞=3)ln ln ( ) ln ( 1n pn n n .Ex [1]P 16 1⑻，2⑶⑹，5，6，8⑴―⑶，11；§3 一般项级数 ( 4 时 )一. 交错级数: 交错级数, Leibniz 型级数.Th 1 ( Leibniz ) Leibniz 型级数必收敛,且余和的符号与余和首项相同, 并有1 ||+≤n n u r . 证 (证明部分和序列 } {n S 的两个子列} {2n S 和} {12+n S 收敛于同一极限. 为此先证明} {2n S 递增有界. ))()()()(22122124321)1(2++-+-+-++-+-=n n n n n u u u u u u u u S ≥ n n n S u u u u u u 22124321)()()(=-++-+-- ⇒n S 2↗; 又 1212223212)()(u u u u u u u S n n n n ≤------=-- , 即数列} {2n S 有界. 由单调有界原理, 数列} {2n S 收敛 . 设 )( , 2∞→→n s S n .)( , 12212∞→→+=++n s u S S n n n . ⇒s S n n =∞→lim .由证明数列} {2n S 有界性可见 , ∑∞=+≤-≤111)1 (0n n n u u . 余和∑∞=++-nm m m u 12)1(亦为型级数 ⇒余和n r 与1+n u 同号, 且1 ||+≤n n u r .例1 判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解 当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.二. 绝对收敛级数及其性质:1. 绝对收敛和条件收敛: 以Leibniz 级数为例, 先说明收敛⇒/ 绝对收敛.Th 2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) ∑∞+< ||na, ⇒∑na收敛.证 ( 用Cauchy 准则 ).注: 一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛. 例2 判断例1中的级数绝对或条件收敛性 . 2. 绝对收敛级数可重排性: ⑴ 同号项级数：对级数∑∞=1n nu，令⎩⎨⎧≤>=+=. 0 , 0 , 0 , 2||n n n n n n u u u u u v ⎩⎨⎧≥<-=-= . 0 , 0 ,0 , 2||n n n n n n u u u u u w 则有 ⅰ>∑nv和∑nw均为正项级数 , 且有|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤;ⅱ> n n n w v u +=|| , n n n w v u -= . ⑵ 同号项级数的性质: Th 3 ⅰ> 若∑||nu +∞< ， 则∑n v +∞< ，∑n w +∞< .ⅱ> 若∑nu条件收敛 , 则∑nv+∞= ,∑nw+∞= .证 ⅰ> 由|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤, ⅰ> 成立 .ⅱ> 反设不真 , 即∑nv和∑nw中至少有一个收敛 , 不妨设∑nv+∞< .由 n u = n v n w - , n w =n v n u - 以及 ∑nv+∞<和∑n u 收敛 ⇒∑n w +∞<.而n n n w v u +=||⇒∑||nu+∞<, 与∑n u 条件收敛矛盾 .⑶ 绝对收敛级数的可重排性: 更序级数的概念. Th 4 设∑'nu 是∑nu的一个更序. 若∑||nu+∞<,则||∑'nu +∞<,且∑'n u =∑n u . 证 ⅰ> 若n u 0≥,则∑'nu 和∑nu是正项级数,且它们的部分和可以互相控制.于是,∑nu+∞< ⇒∑'nu +∞<, 且和相等. ⅱ> 对于一般的n u , ∑nu=∑nv ∑-nw⇒∑'nu = ∑'nv ∑'-nw .正项级数∑'nv 和∑'n w 分别是正项级数∑nv和∑nw的更序. 由∑||nu+∞<, 据Th 1 ,∑nv和∑nw收敛. 由上述ⅰ>所证,有∑'nv +∞<,∑'nw +∞<, 且有∑nv =∑'nv , ∑n w ∑n u =∑'n w ⇒∑nu =∑'nu .由该定理可见, 绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢 ? 回答是肯定的 . Th 5 ( Riemann ) 若级数∑nu条件收敛, 则对任意实数s ( 甚至是∞± ),存在级数∑nu的更序∑'nu , 使得∑'nu =s .证 以Leibniz 级数∑∞=+-111) 1 (n n n为样本, 对照给出该定理的证明. 关于无穷和的交换律, 有如下结果: ⅰ> 若仅交换了级数∑nu的有限项,∑nu的敛散性及和都不变.ⅱ> 设∑'nu 是的一个更序. 若N ∈∃K , 使 nu在∑'nu 中的项数不超过K n +,106则∑'n u 和∑n u 共敛散, 且收敛时和相等 .三. 级数乘积简介:1. 级数乘积: 级数乘积, Cauchy 积. [1] P 20—22.2．级数乘积的Cauchy 定理:Th 6 ( Cauchy ) 设∑||n u +∞<, ||∑n v +∞<, 并设∑n u =U , ∑n v =V . 则 它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛, 且乘积级数的和为UV . ( 证略 ) 例3 几何级数1 || ,1112<+++++=-r r r r rn 是绝对收敛的. 将()2∑n r 按Cauchy 乘积排列, 得到 +++++++++++=++个12222)()()(1)1(1n n n n r r r r r r r r r ++++++=n r n r r )1(3212 .Ex [1] P 24—25 1⑴—⑻ ⑽，4； 31(总Ex ) 2，3，4⑴⑵；四. 型如∑n n b a 的级数判敛法：1．Abel 判别法：引理1 (分部求和公式，或称Abel 变换)设i a 和i b m i ≤≤1)为两组实数.记) (1 ,1m k b B k i i k ≤≤=∑=. 则∑∑=-=++-=m i m i m m i i i i i B a B a a b a 1111)(.证 注意到 1--=i i i B B b , 有∑∑==-+-=m i m i i i ii i b a B B a b a 12111)()()()(123312211--++-+-+=m m m B B a B B a B B a B a107 m m m m m B a B a a B a a B a a +-++-+-=--11232121)()()() )( ( . )(111111∑∑-=+-=+--=+-=m i i i i m m m m m i i i i B a a B a B a B a a. 分部求和公式是离散情况下的分部积分公式. 事实上,⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a ba x a dt t g d x f dx x g x f )()()()( ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x a b a x a x df dt t g dt t g x f )()()()(⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a b ax a x df dt t g dt t g b f )()()()(. 可见Abel 变换式中的i B 相当于上式中的⎰x a dt t g )(, 而差i i a a -+1相当于)(x df , 和式相当于积分. 引理 2 ( Abel )设i a 、i b 和i B 如引理1 .若i a 单调 , 又对m i ≤≤1,有M B i ≤||，则||1∑=mi i i b a ) ||2|| (1m a a M +≤.证 不妨设i a ↘.||1∑=m i i i ba ∑-=++-≤111||||||m i m m i i i B a B a a ) ||2|| ( ||)(1111m m i m i i a a M a a a M +≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤∑-=+. 推论 设i a , 0≥i a ↘,(m i ≤≤1 ). i b 和i B 如引理1. 则有||1∑=m i i i ba 1Ma ≤.( 参引理2证明 ) Th 7 (Abel 判别法)设ⅰ> 级数∑n b 收敛,ⅱ> 数列}{n a 单调有界.则级数∑n n b a 收敛. 证 (用Cauchy 收敛准则,利用Abel 引理估计尾项)设K a n ≤||, 由∑n b 收敛 ⇒对N n N >∃>∀ , , 0ε时 , 对N ∈∀p , 有108 ε | |21<++++++p n n n b b b .于是当N n >时对p ∀有()εεK a a b a p n n pn n k k k 3 ||2|| 11≤+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则 ⇒∑n n b a 收敛.2. Dirichlet 判别法:Th 8 ( Dirichlet)设ⅰ> 级数∑n b 的部分和有界, ⅱ> 数列}{n a 单调趋于零. 则级数∑n n b a 收敛.证 设∑==n i n n bB 1, 则M B n ||≤ ⇒对p n , ∀, 有M B B b b b n p n p n n n 2 ||||21≤-=+++++++ .不妨设n a ↘0 ⇒对εε<⇒>∀∃>∀|| , , , 0n a N n N . 此时就有εM a a M b a P n n pn n k k k 6|)|2|(|2 11<+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则,∑n n b a 收敛. 取n a ↘0,∑n b ∑+-=1) 1(n ,由Dirichlet 判别法, 得交错级数∑+-n n a 1) 1(收敛 . 可见Leibniz 判别法是Dirichlet 判别法的特例.由Dirichlet 判别法可导出 Abel 判别法. 事实上, 由数列}{n a 单调有界 ⇒}{n a 收敛, 设) ( , ∞→→n a a n .考虑级数∑∑+-n n n b a b a a )(,a a n -单调趋于零,n B 有界 ⇒级数∑-n n b a a )(收敛,又级数∑n b a 收敛⇒级数∑∑+-n n n b a b a a )(收敛.109 例4 设n a ↘0.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证 ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑= 2s i n 23s i n 2s i n c o s 212s i n 21x x x kx x n k x n x n x n ) 21sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++， ) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+nk x x n kx 12sin 2) 21 sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx a n cos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .Ex [1]P 24 — 25 2， 3.。
数学中的数列与级数收敛性定理探讨
数学中的数列与级数收敛性定理探讨在数学中，数列和级数是常见的概念，它们在数学分析和实际应用中具有重要作用。
本文将探讨数列与级数的收敛性定理，即数列和级数是否会趋于一个确定的极限值。
一、数列的收敛性定理数列可以看作是一系列按照特定规律排列的数的集合。
关于数列的收敛性，数学家提出了一系列定理来判断数列是否会趋于一个极限值。
1. 常数列的收敛性首先，对于一个常数列来说，即所有的项都相等的数列，其收敛性很容易判断。
常数列一定是收敛的，因为所有的项都等于同一个数，也就是其极限值。
2. 有界数列的收敛性其次，对于一个有界数列来说，即数列的所有项都在某个范围内，可以应用保序定理或柯西收敛准则来判断其收敛性。
保序定理指出，如果数列是递增且有上界，或递减且有下界，那么该数列是收敛的。
柯西收敛准则则是指出，对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，当任意两个大于N的项之差的绝对值小于ε时，数列是收敛的。
3. 单调数列的收敛性此外，对于一个单调数列来说，即数列的项严格递增或递减，也可以判断其收敛性。
如果数列是递增且有上界，或递减且有下界，那么该数列是收敛的。
这是因为单调有界数列一定存在极限。
4. 通项公式的收敛性最后，对于一些特定的数列，可以利用数列的通项公式来判断其收敛性。
例如等比数列和等差数列都有明确的通项公式，通过对通项公式中的参数进行分析，可以确定数列的极限值。
二、级数的收敛性定理级数是指数列的项之和，也是数学中常见的概念。
与数列类似，级数的收敛性定理也有多种形式。
1. 收敛级数的必要条件要判断一个级数的收敛性，首先需要满足一个必要条件，即级数的通项趋于零。
只有当级数的通项趋于零时，级数才有可能收敛。
2. 正项级数的收敛性对于正项级数来说，即级数的所有项都是非负数，可以应用柯西收敛准则来判断其收敛性。
柯西收敛准则指出，对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，当级数从第N+1项开始的所有部分和小于ε时，级数是收敛的。
数学分析中的级数收敛理论
数学分析中的级数收敛理论在数学分析学科中，级数收敛理论是一个重要的概念和理论体系。
级数是指由一系列数相加而成的无穷级数，而级数的收敛与发散则是判断级数性质的关键问题之一。
本文将探讨级数收敛理论的基本概念、性质及应用。
1.级数与部分和级数是由一系列项按一定次序相加而成的无穷和。
一般可以表示为S= a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...其中，a₁，a₂，a₃，...为级数的各项，n为级数的项数。
而级数的部分和可以表示为Sn= a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ。
2.级数收敛与发散的定义级数的收敛与发散是指级数的部分和序列是否有极限的情况。
定义1：如果级数的部分和Sn的极限存在，即lim(n→∞) Sn = S存在，则称级数收敛，且极限S称为级数的和。
定义2：如果级数的部分和Sn的极限不存在或趋于无穷大，即lim(n→∞) Sn = ∞或-lim(n→∞) Sn = -∞，则称级数发散。
3.级数收敛的判定方法在数学分析中，有许多方法可以用来判断级数的收敛性。
下面将介绍几种常见的判定方法。
3.1. 正项级数判别法正项级数是指级数的各项都是非负数的级数。
正项级数的判别法非常简便，如果正项级数的部分和序列有上界，则该正项级数一定收敛。
3.2. 比较判别法比较判别法是用来判断任意项为正的级数的收敛性的一种重要方法。
定理：设有两个级数∑aₙ和∑bₙ，若存在正常数c，当n足够大时，有aₙ≤c·bₙ，则若级数∑bₙ收敛，则级数∑aₙ也收敛；若级数∑aₙ发散，则级数∑bₙ也发散。
3.3. 比值判别法比值判别法是判断一般项为正的级数收敛性的一种常用方法。
定理：设有一般项为正的级数∑aₙ，若存在极限lim(n→∞)|aₙ₊₁/aₙ| = L，则当L < 1 时，级数收敛；当L > 1时，级数发散；当L = 1时，判别不出。
4.级数求和的方法在级数的求和问题上，数学家们找到了一些有效的方法。
03第三讲 收敛级数的性质与例子
数学分析第十二章数项级数收敛级数的性质(II)例子第三讲数学分析第十二章数项级数定理12.4在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和. ∑,.nuS 为收敛级数其和为∑n u 下面证明加证设括号后的级数111()k k n n k u u -∞+=++∑ 收敛, 11,,k k k n n v u u 则-+=++-∞+=++∑111()k k n n k uu 且其和也是.S 111,n v u u =++ 为此,记1221,n n v u u +=++11.kn ki i i i u v ===∑∑1k k v ，∞==∑数学分析第十二章数项级数注从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号于是, 若为收敛级数∑n u 的部分和数列, {}n S 时也收敛.例如(11)(11)(11)0000,-+-++-+=+++= 收敛, 但级数1111-+-+却是发散的.则级数{}kkn v S ∑的部分和数列是,{}lim ,n n n S S S →∞=因收敛,{}k n S 故也收敛，lim ,k n k S S →∞=.k v S ∑即级数收敛,且它的和也等于{}.nS 它是的一个子列数学分析第十二章数项级数例6 判别下列级数的敛散性：111111212131314141-+-+-+-+-+-+解考虑加括号的级数111121213131⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭11,4141 ⎛⎫+-+ ⎪-+⎝⎭其一般项112,111n u n n n =-=--+由于级数221n n ∞=-∑112n n∞==∑发散，从而原级数发散.数学分析第十二章数项级数*例7 证明级数1213n n n ∞=-∑收敛，并求其和.121,3nn k k k S =-=∑lim ,n n S →∞证令若能求出就能得到所要的结论. 13n n S S -111112121333n k k k k k -++=+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑11112133n k k k -+=+=+∑由于+--1213n n 1111212133n k n k k n -++=----∑111212133n nk k k k k k +==--=-∑∑数学分析第十二章数项级数11111221333n k n k n -++=-=+-∑12111121213333n k n k n --+=-=+⋅-∑12121,333n n n +-=--所以132121,2333n n n n S +-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭于是132121lim 1.2333n n n n n S +→∞-⎛⎫=--= ⎪⎝⎭这样就证明了级数1213n n n ∞=-∑收敛, 并且其和为1.复习思考题数学分析第十二章数项级数,()1n nn n u vu v 讨论级数与之间性.收敛±∑∑∑的关系.,,2.n n n n u v u v ∑∑∑设级数均收敛问是否一定收敛.3.n k u v 若，均为正项级数且都发散，∑∑±∑∑(),,nn n n uv u v 是否一定发散？问。
级数收敛性与其在实际问题中的应用
级数收敛性与其在实际问题中的应用级数的收敛性是数学分析中的重要概念，与数列收敛有密切关系。
在实际问题中，级数收敛性的应用十分广泛，涵盖了多个领域，如物理学、工程学、经济学等。
本文将从理论和实践两个方面探讨级数的收敛性以及其在实际问题中的应用。
首先，我们来了解一下级数的收敛性。
级数指的是将一列数按照一定规律相加得到的无穷和。
如果这个无穷和存在有限的极限，则称该级数为收敛的；反之，如果无穷和不存在有限的极限，则称该级数为发散的。
判断级数的收敛性通常使用数列的极限以及级数收敛的充分必要条件——柯西收敛准则等方法。
级数的收敛性在实际问题中具有重要的应用。
首先，在物理学中，级数的收敛性与力学、电磁学等领域密切相关。
以牛顿第二定律为例，当弹力恒定时，可以通过级数的方法求解弹簧的弛豫长度。
在电磁学中，电场和磁场的级数展开可以帮助我们分析电磁场的分布以及电磁波等问题。
其次，在工程学中，级数的收敛性在信号处理、电路分析以及结构力学等领域都具有重要的应用。
在信号处理中，傅里叶级数是将周期信号分解为正弦和余弦函数的级数表示，通过判断傅里叶级数的收敛性可以判断信号的稳定性。
在电路分析中，我们可以通过级数展开的方法求解复杂电路中的电流和电压分布。
在结构力学中，级数方法可以用来求解悬链线、悬臂梁以及桥梁等结构的应力和变形。
此外，在经济学和金融学中，级数的收敛性也有其独特的应用。
在经济学中，经济增长的收敛性问题是一个热门的研究方向。
通过分析国家或地区的经济增长率的级数，可以判断其是否趋于收敛。
在金融学中，级数的应用更加广泛，如利率级数、股票价格级数等。
通过分析这些级数的收敛性，可以帮助投资者制定投资策略和风险管理。
此外，级数收敛性还在计算机科学和信息技术中起着重要的作用。
在数值计算中，级数展开可以用来逼近某些函数，从而使得计算结果更加精确。
在图像处理和压缩中，级数的收敛性被广泛应用于图像变换算法，如傅里叶变换和小波变换等。
综上所述，级数的收敛性在实际问题中有着广泛的应用。
数列与级数的收敛性分析
数列与级数的收敛性分析数学中，数列和级数是常见的概念，它们的收敛性是数学分析中的重要内容。
本文将对数列和级数的收敛性进行详细分析。
一、数列的收敛性数列是由一系列数字按照一定的规律排列而成的序列。
数列的收敛性是指数列是否趋向于一个确定的极限。
一个数列收敛意味着它能够无限接近于某个值。
对于数列{an}，如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε成立，则称数列{an}收敛于a，记作lim(n→∞)an=a。
而如果数列{an}不收敛，则称其为发散数列。
在判断数列收敛性时，有几个常用的判别法：1. 有界性判别法：如果数列{an}既有上界又有下界，则称其为有界数列。
若一个数列有界且单调增加（或单调减少），则该数列收敛。
2. 单调性判别法：若数列{an}单调增加且有上界，则数列收敛；若数列{an}单调减少且有下界，则数列收敛。
3. 夹逼准则：如果数列{an}与数列{bn}以及数列{cn}满足an≤bn≤cn，并且lim(n→∞)an=lim(n→∞)cn=L，则数列{bn}也收敛于L。
二、级数的收敛性级数是指由一列数的和所构成的数列。
级数和数列一样，也具有收敛性和发散性。
给定一个数列{an}，则该数列的部分和序列为{Sn}，其中Sn=a1+a2+⋯+an。
如果数列{Sn}收敛于一个实数S，即lim(n→∞)Sn=S，则称级数∑(n=1 to ∞)an为收敛的，否则为发散的。
对于级数的收敛性，也有一些常用的判别法：1. 正项级数判别法：对于数列{an}，若其所有的项都是非负数，并且满足an≤an+1，则∑(n=1 to ∞)an为收敛的当且仅当数列{Sn}有上界。
2. 比较判别法：对于两个级数∑(n=1 to ∞)an和∑(n=1 to ∞)b n，若存在正数M，使得|an|≤M|bn|对于所有的n>N成立，则当∑(n=1 to ∞)bn收敛时，∑(n=1 to ∞)an也收敛。
高等数学中的级数收敛性研究
高等数学中的级数收敛性研究引言在高等数学领域中，级数是一个重要的概念。
级数的收敛性是数学分析中的核心问题之一，对于理解和应用数学的其他领域具有重要的意义。
本文将从不同的角度探讨级数的收敛性，包括级数的定义、收敛性的判定方法以及一些经典的级数。
一、级数的定义级数是指由一列数相加得到的无穷和。
设{an}是一个数列，那么级数可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ...其中，S表示级数的和。
级数的和可以是有限的，也可以是无穷的。
二、级数的收敛与发散对于给定的级数，我们关心的一个重要问题是它的收敛性。
一个级数可能是收敛的，也可能是发散的。
1. 收敛级数如果一个级数的部分和数列{Sn}收敛到一个有限的值S，那么我们称这个级数是收敛的。
数列{Sn}收敛到S的定义可以表示为：lim(n→∞) Sn = S2. 发散级数如果一个级数的部分和数列{Sn}发散，即不存在有限的值S使得{Sn}收敛到S，那么我们称这个级数是发散的。
三、级数收敛性的判定方法在研究级数的收敛性时，人们发展了许多判定方法。
下面介绍几种常见的方法。
1. 正项级数判别法如果一个级数的所有项都是非负数，并且数列{an}单调递减，那么这个级数是收敛的。
这是一个常用的判别法，也被称为正项级数判别法。
2. 比值判别法对于一个级数，如果存在正数q，使得当n足够大时，有：|an+1/an| ≤ q < 1那么这个级数是收敛的。
这个方法被称为比值判别法。
3. 根值判别法对于一个级数，如果存在正数q，使得当n足够大时，有：|an|^1/n ≤ q < 1那么这个级数是收敛的。
这个方法被称为根值判别法。
四、经典的级数在数学中，有一些经典的级数被广泛研究和应用。
下面介绍几个著名的级数。
1. 调和级数调和级数是指级数：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...调和级数是发散的，即它的部分和数列无穷增大。
2. 几何级数几何级数是指级数：a + ar + ar^2 + ar^3 + ...其中，a是首项，r是公比。
无穷级数与数学分析中的收敛性
无穷级数与数学分析中的收敛性数学分析是一门研究数学概念和方法的学科，其中包括对序列和级数的收敛性进行研究。
在数学中，收敛是一个重要的概念，意味着序列或级数的极限存在。
在数学分析中，无穷级数是一个重要的概念，它是指由无穷多个数相加而成的数列。
无穷级数的求和通常是通过对其部分和进行求极限来确定的。
一个无穷级数可以是收敛的，也可以是发散的。
收敛是指无穷级数的部分和序列趋于某个有限的数，即无穷级数的和存在。
反之，如果无穷级数的部分和序列趋于无穷大或发散，那么该无穷级数就是发散的。
在数学分析中，人们通过一些方法来判断无穷级数的收敛性。
这些方法包括比较判别法、正项级数和、绝对收敛等。
下面将详细介绍这些方法。
比较判别法是判断无穷级数收敛性的常用方法之一。
它的基本思想是将待判断的无穷级数与一个已知的收敛或发散的级数进行比较。
如果待判断的级数比已知级数的部分和序列更小或更大，那么它们的收敛性将与已知级数相同。
据此，人们可以利用已知的级数来判断无穷级数的收敛性。
正项级数和是指级数中所有项都是非负的，并且递增的情况下，求和得到的序列是一个有界的数列。
如果一个级数是正项级数和，那么它就是收敛的。
绝对收敛是指无穷级数的所有项都取绝对值后，得到的级数是收敛的。
绝对收敛是收敛的一种特殊情况，它更强调无穷级数的收敛性。
除了比较判别法、正项级数和、绝对收敛，数学分析中还有其他一些方法来判断无穷级数的收敛性，例如根值判别法、比值判别法等。
这些方法根据级数项的性质和极限的计算方式来确定级数的收敛性。
总结来说，无穷级数的收敛性在数学分析中是一个重要的概念。
人们利用比较判别法、正项级数和、绝对收敛等方法来判断无穷级数的收敛性。
通过对级数的部分和序列进行求极限，可以确定无穷级数的和是否存在。
掌握这些方法对于理解数学分析中的收敛性概念和解决实际问题都非常有帮助。
级数的收敛性
un (unk11 L unk ) vk .
n1
k 1
k 1
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
于是, 若{Sn }为收敛级数 un 的部分和数列, 则级数
vk的部分和数列 Snk 是Sn的一个子列. 由于
Sn
收敛,且
lim
n
Sn
S.
故由子列性质，
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
1 (1) 1 (1) L
中，如果将其写作
(1 1) (1 1) (1 1) L 0 0 0 L ,
结果肯定是0，而写作
1 [(1) 1] [(1) 1] L 1 0 0 0 L ,
则结果是1.两个结果的不同向我们提出了两个基本 问题:“无限个数相加”是否存在“和”; 如果存在, “和”等于什么? 由此可见,“无限个数相加”不能 简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新
S 称为数
项级数(1)的和,记作 S u1 u2 un , 或 S un . n1
若 {Sn }是发散数列,则称数项级数(1)发散.
例1 讨论等比级数(也称几何级数)
a aq aq2 L aqn L
(3)
的收敛性(a≠0).
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§1 级数的收敛性
§1 级数的收敛性
级数的收敛性
例6 判别下列级数的敛散性： 1 1 1 1 1 1 L 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1
解 考虑加括号的级数
1 2 1
1 2
1
1 3 1
1 3 1
其一般项
1 4 1
1 4
级数收敛的定义
级数收敛的定义级数收敛是一个重要的数学概念，它是数学分析和数学建模中经常使用的概念之一。
因此，了解级数收敛的定义和性质，对于更好地理解数学问题和创新解决方案有重要的意义。
级数收敛的定义级数收敛是指当一系列数值依次接近某一定值时，被称为级数收敛。
它可以分为两种，即绝对值收敛和相对错率收敛。
绝对值收敛就是指当一系列数值接近某一定值，不管是正数还是负数，只要是接近就算收敛。
而相对误差收敛就是指当一系列数值与某一定值的相对误差趋近于零时，就算收敛。
级数收敛的性质级数收敛的收敛性有若干规律可以发现：1.晕幅越大，收敛越快。
也就是说，如果后面的数值与前面的数值相比，差值越大，那么这个级数就会收敛得越快。
2.晕速度一定。
也就是说，一个级数一旦收敛，就会按照一定的速度收敛，不会出现先快后慢的情况。
3. 一个级数的收敛限以内的每一项的绝对值都是收敛终点的绝对值。
也就是说，如果一个级数收敛了，那么这个终点的绝对值，会视作这个级数的每一项的绝对值。
4.数收敛的终点是唯一的。
也就是说，一个级数无论收敛多少次，它最终都会收敛到一个独一无二的数字。
级数收敛的应用级数收敛不仅在数学中有着广泛的应用，而且在生活中有着重要的应用。
下面我们看一下级数收敛的典型应用。
1.于计算概率和统计级数收敛可以用于快速地计算概率和运算统计，比如概率的计算、均值的计算等。
2.于物理建模级数收敛也常被用于物理建模，比如用来计算加速度、磁场强度等。
3.于数据挖掘在数据挖掘领域，级数收敛可以用来分析大量数据，并挖掘出有价值的隐藏信息。
以上就是级数收敛的定义和性质，以及它在生活中的一些典型应用。
通过对级数收敛的科学理解和应用，我们可以更好地解决数学难题和实践中的问题。
级数收敛发散的判断方法总结
级数收敛发散的判断方法总结
级数是数学分析中的一种重要概念，指的是把一个无穷序列的项相加的过程。
在数学中，判断一个级数是收敛还是发散是非常重要的，因为这关系到许多数学应用和问题的解决。
下面是几种常见的判断级数收敛发散的方法：
1. 比较法：比较法是一种常用的判断级数收敛发散的方法。
其基本思想是将待判断的级数与一个已知的级数进行比较，如果待判断的级数的通项比已知的级数的通项小于等于某个正数，那么待判断的级数收敛，否则发散。
2. 比值法：比值法也是一种常用的判断级数收敛发散的方法。
其基本思想是将待判断的级数的相邻两项之比取极限，如果极限小于1，则级数收敛；如果极限大于1，则级数发散；如果极限等于1，则比值法不适用。
3. 根值法：根值法是一种比值法的变形。
其基本思想是将待判断的级数的每一项取绝对值后开根号，然后取极限，如果极限小于1，则级数收敛；如果极限大于1，则级数发散；如果极限等于1，则根值法不适用。
4. 积分判别法：积分判别法是一种适用于正项级数的方法。
其基本思想是将待判断的级数中的每一项变成一个函数，然后对这个函数进行积分，如果积分收敛，则级数也收敛；如果积分发散，则级数也发散。
5. Abel定理：Abel定理是一种特殊情况下使用的方法。
其基本思想是将待判断的级数写成一个幂级数的形式，然后使用幂级数的性质来判断级数的收敛性。
总之，判断级数收敛发散的方法有很多种，不同的方法适用于不同的情况。
熟练掌握这些方法，能够更好地解决数学问题和应用。
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2019年12月17日9时57分
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例5 判别级数
ln 1
n2
1 n2
的敛散性
.
解:
ln
1
1 n2
ln
n2 1 n2
ln(n 1) ln(n 1) 2ln n
Sn
n
ln
k 2
1
1 k2
[ln 3 ln1 2ln 2] [ln 4 ln 2 2 ln 3] [ln 5
2019年12月17日9时57分
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基于级数与数列的这种关系,不难根据数列极限的 性质得出下面有关级数的定理．
2019年12月17日9时57分
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定理12.1（柯西准则）级数 un收敛的充要条件是
对任给 > 0 , 存在 N > 0, 使得当 m > N 以及对任意的正
1 1 2
1 23
1 34
1 n(n
1)
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 3 4
n n1
1 1 1 ( n ） n1
所以级数收敛, 其和为 1 .
2019年12月17日9时57分
一、数项级数的概念
例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形,设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
2019年12月17日9时57分
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解 1) 若
则部分和
1 qn a
从而
lim
n
1 Sn
q
1
a
q
因此级数收敛，其和为 a ;
1q
从而
lim
n
Sn
,
因此级数发散．
2019年12月17日9时57分
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2). 若
因此级数发散； 级数成为
因此 从而
a n为奇数
Sn
0
n为偶数
例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减
少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理.
由自由落体运动方程
s
1 g t 2知 2
t
2s g
设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 则小球运动的时间为
T t1 2t2 2t3
2 g
1 2
1 2
2019年12月17日9时57分
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定义1 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , ,
将各项依次用“+” 号连接起来的表达式
称为数项级数或无穷级数, 记为
un , 简记为 un .
n1
其中第 n 项 un叫做级数的通项或一般项.
2019年12月17日9时57分
整数 p , 都有
| um1 um2 um p |
证 设所给级数部分和数列为 Sn(n 1, 2,), 因为
所以, 利用数列 Sn(n 1, 2,)
收敛的柯西准则即得本定理的结论．
2019年12月17日9时57分
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级数 un 发散的充要条件是：存在 0 > 0 , 使得
(
1 2)2
2019年12月17日9时57分
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对于有限个实数 u1,u2,…,un 相加后还是一个实数， 那么“无限个实数相加”会有什么结果呢？请看下
面的几个例子. 如在第二章提到《庄子·天下篇》
“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的例中,将每天截下
ln 3 2 ln 4] [ln(n 1) ln(n 1) 2ln n]
ln 2 ln(n 1) ln n ln(1 1n) ln 2
lim
n
Sn
Hale Waihona Puke n2,故原级数收敛
,
其和为 ln
2.
2019年12月17日9时57分
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结果肯定是0， 如写作
1 [(1) 1] [(1) 1] 1 0 0 0 , 则结果是 1．
2019年12月17日9时57分
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两个结果的完全不同，由此提出了两个问题： “无限个数相加”是否存在“和”； 如果存在， “和”等于什么? 由此可见,“无限个数相加”不能简单地与有限个数相 加作简单的类比，需要建立新的理论．
由于级数的收敛或发散(简称敛散性)是由它的部分和 数列 { Sn }来确定, 因而也可把级数作为数列 { Sn } 的 另一种表现形式．反之, 任给一个数列 { an }如果把它 看作某一数项级数的部分和数列, 则这个数项级数就是
这时数列 { an } 与级数具有相同的敛散性，且当{ an } 收敛时，其极限值就是级数的和．
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级数的前 n 项和
称为级数的第 n 个部分和，简称部分和.
定义2
则称无穷级数收敛 ,
并称 S 为级数的和, 记作
2019年12月17日9时57分
则称无穷级数 un 发散．
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例3. 讨论等比级数 (也称为几何级数)
( q 称为公比 ) 的收散性．
那一部分的长度“加”起来是:
1 2
1 22
1 23
1 2n
,
1
由中学的知识，这无限个数相加的结果是
2 1 1
1
2
2019年12月17日9时57分
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又如下面由“无限个数相加”的表达式
1 (1) 1 (1) 如果将其写作
(1 1) (1 1) (1 1) 0 0 0 ,
不存在， 因此级数发散．
2019年12月17日9时57分
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综合 1)、2)可知， 等比级数
当 q 1 时, 等比级数收敛 ； 当 q 1 时, 等比级数发散．
2019年12月17日9时57分
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例4 判别下列级数的敛散性:
解
Sn