排列组合例题精选

10.1排列与组合

10.1.1学习目标

掌握排列、组合问题的解题策略

10.1.2重点

（1），特殊元素优先安排的策略：

（2），合理分类与准确分步的策略；

（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；

（4 ）正难则反、等价转化的策略；

（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6 ）不相邻问题插空处理的策略。

10.1.3难点

综合运用解题策略解决问题。

10.1.4学习过程：

（1）知识梳理

1 •分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法……在第n类型有m n种不同的方法，那么完成这件事

共有N = mn • m2• m n种不同的方法。

2•分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有m n种不同的方法；那么完成这件事

共有N = mb m2；—心m n种不同的方法。

特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。

3.排列：从n个不同的元素中任取m（m窃）个元素，按照.一定.顺序.排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

4 .排列数：从n个不同元素中取出m（m

素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号 A；表示.

5.排列数公式：A m = n（n「1）（n「m 1）n!（m 乞n,n,m N）

（n _m）!

特别提醒： (1 )规定 0! = 1

(2) 含有可重元素 的排列问题.

对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有k 个不同元素a i , a 2, --；..a n 其中限重复

m n _m m J m m

C n=C n ；

② C n C n=C n1

特别提醒：排列与组合的联系与区别. 联系：都是从n 个不同元素中取出 m 个元素.

区别：前者是’排成一排”，后者是 并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系

(2)典型例题 考点一：排列问题 例1,六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法?

(1) 甲不站两端； (2) 甲、乙必须相邻； (3) 甲、乙不相邻； (4) 甲、乙之间间隔两人； (5) 甲、乙站在两端；

(6) 甲不站左端，乙不站右端 . 考点二 : 组合问题

例 2, 男运动员 6 名，女运动员 4名，其中男女队长各 1人.选派 5人外出比赛 . 在下列情形 中各有多少种选派方法？

（ 1）男运动员 3 名，女运动员 2 名； （ 2）至少有 1 名女运动员； （ 3）队长中至少有 1 人参加； （ 4）既要有队长，又要有女运动员 .

数为n i 、n …k ,且n = n i +n 2+•…n ・k ,则S 的排列个数等于

n!

n =

n 1!

例如：已知数字3、2、2,求其排列个数n =^=3又例如:

1!2!

数字5、5、5、求其排列个数?

其排列个数n =3! =1.

3

6•组合：从n 个不同的元素中任取 m(m

元素的一个组合.

叫做从n 个不同元素中取出 m

7 •组合数公式:

A m

m n

n 二

C m A ；

n(n -1)^ (n -m • 1) C m n! n n

A m

m!

m!(n -

m! &两个公式：①

考点三: 综合问题

例3, 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内（1）恰有1 个盒不放球，共有几种放法？

（2）恰有1 个盒内有2 个球，共有几种放法？

（3）恰有2 个盒不放球，共有几种放法？

2，2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分 别从事

翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其 余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）

A, 48 种 B ，12 种 C ，18 种 D36 种

3，从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位 数的

个数为 （ ）

A,48 B, 12 C ，180 D ，162

4，甲组有 5 名男同学， 3名女同学；乙组有 6 名男同学， 2名女同学。若从甲、乙两组中各

选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（

）

A ， 150 种

B ，180 种

C ，300 种

D ，345 种

共有

6，用 0 到 9 这 10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A ．324

B ， 328

C ，360

D ，648

的不同选法的总数为 （ ）

8，将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两 名学生

不能分到同一个班，则不同分法的总数为 （ ）

A ，18

B ，24

C ，30

D ， 30

女生相邻，则不同排法的种数是 （ ） 10.1.5 当堂测试

1，从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都

有，则不同的组队方案共有

A ，70 种

B ， 80 种

)

C ，100 种

D ， 140 种

5，甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有

1 门不相同的选法

（）

A ， 6 B

，12 C 30 D36

7，从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理，则甲、乙

至少有 1 人入选， 而丙 没有入选

A ，85

B ， 56 C

，49 D ，28

9，3 位男生和 3位女生共 6 位同学站成一排， 若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位

A ， 360

B ， 288 C

， 216

D ， 96