排列组合习题_[含详细答案解析]

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排列组合专项训练

1.题1 (方法对比，二星) 题面：(1)有5个插班生要分配给3所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？

(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？ 解析：“名额无差别”——相同元素问题 (法1)每所学校各分一个名额后，还有2个名额待分配，

可将名额分给2所学校、1所学校，共两类：

213

3

C C +(种) (法2——挡板法)

相邻名额间共4个空隙，插入2个挡板，共：

246C =(种) 注意：“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且

每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别，元素无差别)

同类题一 题面：

有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 答案：6

9C 详解：

因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有6

9C 种分法。

同类题二

题面：

求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。 答案：36. 详解：

将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定

由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z

之值, 故解的个数为C 92=36（个）。

2.题2 (插空法，三星)

题面：某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种. 答案：60，48

同类题一

题面：

6男4女站成一排，任何2名女生都不相邻有多少种排法？

答案：A 66·A 4

7种.

详解： 任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 4

7种不

同排法．

同类题二 题面：

有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )

A ．36种

B ．48种

C ．72种

D ．96种

答案：C.

详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个

空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A 33A 2

4＝72种排法，故选C.

3．题3 (插空法，三星)

题面：5个男生到一排12个座位上就座，两个之间至少隔一个空位．

1]没有坐人的7个位子先摆好，

[2](法1——插空)每个男生占一个位子，插入7个位子所成的8个空当中，有：

58A =6720种排法.

(法2)[1]5个男生先排好：55A ；

[2]每个男生加上相邻的一个座位，共去掉9个位置，当作5个排好的元素，

共有6个空，剩下的3个元素往里插空，每个空可以插1个、2个、3个元素，

共有：321

6662C C C ++种，

综上：有5

5

A (321

6

6

6

2C C C ++)=6720种.

同类题一

题面：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目

的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列

方法有多少种？ 答案：30。 详解：

记两个小品节目分别为A 、B 。先排A 节目。根据

A 节目前后的歌舞节目数目 考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，有

种方法。

这一步完成后就有5个节目了。

再考虑需加入的B 节目前后的节目数，同理知有

种方法。故由分步计数原理知，方

法共有

（种）。

同类题二 题面：

(2013年开封模拟)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) A ．60 B ．48 C ．42

D ．36

答案：B. 详解：

第一步选2女相邻排列C 23·A 2

2，第二步与男—女

排列A 22，第三步男生甲插在中间，1种插法，第四步男

—男生插空C 14，故有C 23·A 22·A 22·C 1

4＝48种不同排

法．

4.题4 (隔板法变形，三星)

题面：15个相同．．的球，按下列要求放入4个写上了1、2、3、4编号的盒子，各有多少种不同的放法? (1)将15个球放入盒子内，使得每个盒子都不空；

314364C =

(2)将15个球放入盒子内，每个盒子的球数不小于盒子的编号数；

(3)将15个球放入盒子内，每个盒子不必非空； (4)任取5个球，写上1-5编号，再放入盒内，使每个盒子都至少有一个球；

(5)任取10个球，写上1-10编号，奇数编号的球放入奇数编号的盒子，偶数编号的球放入偶数编号的盒子． 解析：

(2)先将2、3、4号盒子分别放入1、2、3个球，剩下

的9个球用挡板法，38C =56

(3)借来4个球，转化为19个球放入盒子内，每个盒子

非空，3

18

816C =

(4)不能用“挡板法”，因为元素有差别. (法1)必有一个盒子有2个球，245

4

240C A =；

(法2)先选3个球，分别排到4个盒子中的3个里，剩下的盒子自然放2个球.

3354240C A =；

(法3)41

5

4480A C =，会重！需要除2！ 重复原因：1号盒子放1、5号球，先放1后放5与先放5、后放1是一样的！

(5)(法1)每个球都有2种选择，共有10

2种方法；

(法2)奇数号的球有1、3、5、7、9，共5个，可以在1、3号两个盒子中选一个放入，

共有：543210

55

555552C C C C C C +++++=种放法， 同理放偶数号的球也有52种方法，综上共有10

2种方法.

同类题一 题面：

某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．

答案：120. 详解：

先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C 25种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，先从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C 24种，最后，安排其他两辆车共有A 22种方法，故不同的调度方法为C 25

·C 24

·A 22

＝120种．

同类题二 题面：

我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架舰载机准备着舰,如

果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,

那么不同的着舰方法有（ ） A ．12 B ．18 C ．24 答案：C. 详解：

分三步:把甲、乙捆绑为一个元素A ,有2

2A 种方

法;A 与戊机形成三个“空”,把丙、

丁两机插入空中有2

3A 种方法;考虑A 与戊机的排法有

22A 种方法.由乘法原理可知共有22A 2

3A 22A 24=种不同

的着舰方法.故应选C ．

5. 题5(相同与不同，三星)

题面：某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )

A ．4种

B ．10种

C ．18种

D ．20种

同类题一

题面：

(2013·北京高考)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________． 答案：96. 详解：

按照要求要把序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2,2和3,3和4,4和5，故其方法数是4A 44＝96.