循环码的原理及应用

式(2-6)指出了系统循环码的编码方法：首先将信息元多项式 乘以 成为 ，然后将 除以生成多项式 得到余式 ，该余式就是校验元多项式，从而得到码字多项式 。（2-7）
综上所述，系统循环码的编码问题，可以归结为两个多项式的除法运算，即将 除以生成多项式 得到余式 的运算，因此研究多项式除法的电路实现是必要的。
循环码的生成矩阵多项式为：
（1-2）
然后将系数提出就得到生成矩阵G。
2.4
循环码也可以构成为系统循环码。为方便系统码的构造，将消息多项式和码式都记为高位在前，即 的消息多项式为 ，
（1-3）
又设码式的高次幂部分等于m(x)，即 （1-4）
其中p(x)称为校验位多项式，由于码式是生成式的倍式，所以
（1-5）
若已知
（2-1）
并设信息元多项式
（2-2）
要编码成系统循环码形式，即码字的最左边k位是信息元，其余 位是校验元，则要用 乘以 ，再加上校验元多项式 ,这样得到的码字多项式 为
（2-3）
其中
一定是 的倍式，即有
（2-4） . （2-5）
注意到 为 次多项式，而 最多为 次多项式，必有
, （2-6）
即 必是 除以 的余式。
（1）检测 个错误，要求码的最小距离 ；
（2）纠正 个错误，要求码的最小距离 ；
（3）纠正 个错误同时检测 个错误，则要求 ；
循环码的译码分检错译码与纠错译码两类。在无记忆信道上，对码字c，差错图案 和接收向量 的多项式描述为
（4-1）
定义 的伴随多项式为
（4-2）
由于 所以
（4-3）
由此可见， 则一定有差错产生，或说满足 的差错图样 产生，它满足 。
通信传输课程设计
题 目循 环 码 的 原 理 及 应 用
英文题目Principleand Application of
CyclicCodes
专 业通 信 工 程
摘
循环码是线性分组码中最重要的一种子类，是目前研究得比较成熟的一类码。它的检、纠错能力较强，编码和译码设备并不复杂，而且性能较好，不仅能纠正随机错误，也能纠正突发错误。循环码还有易于实现的特点，很容易用带反馈的移位寄存器实现其硬件 。循环码具有许多特殊的代数性质，这些性质有助于按照要求的纠错能力系统地构造这类码，并且简化译码算法，目前发现的大部分线性码与循环码有密切关系正是由于循环码具有码的代数结构清晰、性能较好、编译码简单和易于实现的特点，因此在目前的计算机纠错系统中所使用的线性分组码几乎都是循环码。
（3-8）
综上所述，系统循环码的编码问题，可以归结为两个多项式的除法运算，即将 除以生成多项式 得到余式 的运算。
2.7循环码检错与纠错能力
由于循环码是一种线性分组码，所以其纠检错能力与线性分组码相当。而线性分组码的最小距离可用来衡量码的抗干扰能力，那么一个码的最小距离就与它的纠检错能力有关。
定理： 对于任一个 线性分组码，若要在码字内
（1-6）
因此循环码的系统码码式为
（1-7）
将循环码的系统码构造步骤总结为：
多项式乘
多项式求模（余式） （1-8）
多项式减
如果令 为单项式 ，
（1-9）
（1-10）
那么容易看到， 对应的向量 ， 是线性无关的，从而得到循环码系统码的生成矩阵 为
（1-11）
2.5循环码的编码：
利用生成多项式 实现编码：如上所述，但循环码的生成多项式 确定时，码就完全确定了。现在讨论生成多项式 给定以后，如何实现循环码的编码问题。
也同样是S中的一个码字；或者，一般来说，经过j次循环移位后得到的 也是S中的一个码字。
2.2循环码的多项式描述
码字的多项式描述，一个n元码字可以用一个次数不超过n-1的多项式唯一表示
, （1-1）
其中，我们不关心x的具体位置，其次数只表示相应码元的位置。称这样的 为c的码字多项式。
2.3
如果一种码的所有码多项式都是多项式 的倍式，则称 为该码的生成多项式。在循环码中，次数最低的多项式（0除外）就是生成多项式 ，其他码多项式都是其倍数。且该 的阶数为 ，常数项为1，是 的一个因式。为了寻求生成多项式，必须对 进行因式分解。
其中 （3-4）
一定是 的倍式，即 （3-5） . （3-6）
注意到 为 次多项式，而 最多为 次多项式，必有
, （3-7）
即 必是 除以 的余式。
式(3-7)指出了系统循环码的编码方法：首先将信息元多项式 乘以 成为 ，然后将 除以生成多项式 得到余式 ，该余式就是校验元多项式，从而得到码字多项式
This report details the definition of cyclic codes generated by a generator polynomial matrix and the process of system-generated matrix, and write in the Matlab environment, the cycle code encoder and decoder to achieve the encoding and decoding function. Analysis anddiscussion of this code error is found, the ability to correct errors.
2.6循环码的解码
利用生成多项式 实现编码：如上所述，但循环码的生成多项式 确定时，码就完全确定了。现在讨论生成多项式 给定以后，如何实现循环码的式 （3-2）
要编码成系统循环码形式，即码字的最左边 位是信息元，其余 位是校验元，则要用 乘以 ，再加上校验元多项式 ,这样得到的码字多项式 为 （3-3）
3.4在前向纠错中的应用
循环码是线性分组码的一个重要子类,有严密的数学结构,具有纠、检错能力,且编码、解码用软件、硬件都容易实现。研究了循环码实现的方法和应用原理, 结果表明，将该方法应用于前向纠错方式中, 能大大提高通信质量。
数字通信要求传输过程中所造成的数码差错足够低,引起传输差错的根本原因是信道内存在着噪声,以及信道特性不理想所造成的码间串扰。虽然可以通过提高通信系统的信噪比及抗噪声性能, 将差错减小到一定程度,但要进一步提高通信系统的可靠性,就须采用差错控制技术。差错控制的基本工作方式有 4种, 即前向纠错、检错重发、信息反馈和混合纠错,在测井系统中,采用单芯电缆进行数据通信,由于受传输线的限制,双向信息传输不能同时进行,若采用信息反馈或检错重发或混合纠错方式,传输线又用作反馈信道, 必然导致传输速率降低, 为此,通信中采用前向纠错方式。纠错编码的目的在于利用编码后码字的规律性。
循环码的检错译码即是计算 并判断是否为0
3.1循环码在微机网络系统中的应用
在微机局部网络中由于信息传输所造成的错误会影响系统的工作性能，降低系统的靠性。因此采用循环码编码,进行数据传输,是提高系统性能和可靠性的重要措施。
1.生成多项式G(X)的选取;
2.并行信息传输技术;
3.接收检测技术;
4.接收码检错电路;
关键字：循环码；编码；解码；检错；纠错；Matlab
Principle and Application of Cyclic Codes
Cyclic code is a linear block code of a sub-class of the most important, is the more mature studied a class ofcodes.Its review, error correction ability, coding and decoding equipment is not complicated, and the performance is better, not only can correct random errors, burst errors can becorrected.Cyclic code also features easy to implement, it is easy to use feedback shift registers with the hardware.Cyclic code has many special algebraic properties, these properties contribute to the error correction ability of the system as required to construct such codes, and simplify the decoding algorithm, currently found in most of the closely related linear codes and cyclic codes precisely because cyclic codes have a clear code of algebraic structure, better performance, encoding and decoding features simple and easy to implement, so in the present computer system used by the error-correcting linear block codes are almost always cyclic codes.
该码在结构上有另外的限制，即一个码字任意循环移位的结果仍是一个有效码字。其特点是：（1）可以用反馈移位寄存器很容易实现编码和伴随式的计算；（2）由于循环码有很多固有的代数结构，从而可以找到各种简单使用的译码办法。
如果一个 线性码具有以下的属性，则称为循环码：如果n元组 是子空间S的一个码字，则经过循环移位得到的
3.3
循环码是编码方式的一种,检错率高.循环码用来检测随机或突发错误是非常有效的.在通信软件中大多数采用循环码进行数据差错控制。数字通信要求传输过程中所造成的数码差错足够低,引起传输差错的根本原因是信道内存在着噪声,以及信道特性不理想所造成的码间串扰,虽然我们可以通过提高通信系统的信噪比及抗噪声性能,将差错减小到一定程度,但要进一步提高通信系统的可靠性,就需要采用差错控制技术。