专题复习四、图形的折叠问题

专题二、图形的折叠问题

折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．

类型1 三角形中的折叠问题

(2015·宜宾)如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直

线AB 翻折，得△ACB.若C(3

2，32

)，则该一次函数的解析式为________．

【思路点拨】 利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO ，AO 的

长，进而得出A 、B 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线AB 的解析式．

折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．

1．(2015·滨州)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E

在边DC 上)，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)，则点E 的坐标为________． A.34 B.45 C.56 D.67

2．(2014·德阳)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A ′处．如果∠A ′EC ＝70°，那么∠A ′DE 的度数为________．

3．(2014·宜宾)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC

折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B ′重合，AE 为折痕，则EB ′＝________．

4．(2015·绵阳)如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ∶DB ＝1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE ∶CF ＝（ ）

类型2 四边形及其他图形中的折叠问题

1．(2013·南充)如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B′

处，若AE ＝2，DE ＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD 的面积是（ ）

A ．12

B ．24

C ．12 3

D ．16 3

2．(2015·泸州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝24，tanC ＝2，如果将△ABC 沿直线l 翻折

后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为（ ）

A ．13 B.152 C.272

D ．12 3．(2015·德阳)将抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3在x 轴上方的部分沿x 轴

翻折至x 轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那

么直线y ＝x ＋b 与此新图象的交点个数的情况有（ ）

A ．6种

B ．5种

C ．4种

D ．3种

4．(2015·成都)如图，在 □ ABCD 中，AB ＝13，AD ＝4，将 ABCD

沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为________．

5．(2015·内江)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝

90°，E 为CD 上一点，分别以EA ，EB 为折痕将两个角(∠D，

∠C)向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处．若AD ＝2，

BC ＝3，则EF 的长为________．

6．(2014·南充)如图，有一矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝17，将此矩形纸

片折叠，使顶点A 落在BC 边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB 、AD(包

括端点)，设BA′＝x ，则x 的取值范围是________．

7．(2014·绵阳)如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，将矩形沿直线AC 折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE.

(1)求证：△DEC≌△EDA；

(2)求DF 的值；

(3)如图2，若P 为线段EC 上一动点，过点P 作△AEC 的内接矩形，使其顶点Q

落在线段AE 上，顶点M 、N 落在线段AC 上，当线段PE 的长为何值时，矩形PQMN

的面积最大？并求出其最大值．