3.1.1两角差的余弦公式
学案4：3.1.1 两角差的余弦公式
3.1.1 两角差的余弦公式学习目标（1）了解两角差的余弦公式的推导过程，通过公式的推导了解角与角之间的内在联系；（2）正确理解与掌握两角差的余弦公式，并会进行化简、求值等应用．学习过程基础预探两角差的余弦公式：cos （α－β）=________________．学习引领两角差的余弦公式对任意的角都成立，是前面学习的诱导公式的一般化．在利用两角差的余弦公式时，运用两角差的三角函数求解问题一般分三步：第一步求某一个三角函数值；第二步确定角所在的范围；第三步得结论求得所求角的值．典例导析题型一：公式的直接应用例1．计算：cos80ºcos35º+sin80ºsin35º=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 题型二：公式的间接应用例2．计算：cos65ºcos35º+cos25ºcos55º=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 题型三：公式的综合应用例3．已知α、β、γ∈（0，2π），sin α+sin γ=sin β，cos β+cos γ=cos α，求β－α的值．随堂练习1．计算：cos75ºcos15º+sin75ºsin15º=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 2．化简cos （x +y ）cos （x －y ）+sin （x +y ）sin （x －y ）的值为（ ）A ．cos2xB ．cos2yC ．sin2xD ．sin2y3．计算：cos （38º－x ）cos （8º－x ）+sin （38º－x ）sin （8º－x ）=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 4．计算：cos68ºcos8º+sin68ºcos82º=________．5．化简：cos （α－2β）cos （2α－β）+ sin （α－2β）sin （2α－β）=________． 6．若锐角α、β满足cos α=54，cos （α+β）=53，求cos β的值．参考答案学习过程基础预探cos αcos β+sin αsin β典例导析题型一：公式的直接应用例1．C【解析】cos80ºcos35º+sin80ºsin35º=cos （80º－35º）=cos45º=22，故选C ． 题型二：公式的间接应用例2．D【解析】由于cos25º=sin （90º－25º）=sin65º，cos55º= sin （90º－55º）=sin35º， 则cos65ºcos35º+cos25ºcos55º= cos65ºcos35º+sin65ºsin35º=cos （65º－35º） =cos30º=23，故选D ． 题型三：公式的综合应用例3．解：由已知，得sin γ=sin β－sin α，cos γ=cos α－cos β，平方相加得（sin β－sin α）2+（cos α－cos β）2=1，即sin 2β－2sin αsin β+sin 2α+cos 2α－2cos βcos α+cos 2β=1，亦即2－2（sin αsin β+cos βcos α）=1，∴－2cos （β－α）=－1，∴cos （β－α）=21， ∴β－α=±3π， ∵sin γ=sin β－sin α＞0，∴β＞α，∴β－α=3π． 随堂练习1．B【解析】cos75ºcos15º+sin75ºsin15º=cos （75º－15º）=cos60º=21； 2．B3．D 【解析】cos （38º－x ）cos （8º－x ）+sin （38º－x ）sin （8º－x ）=cos[（38º－x ）－（8º－x ）]=cos30º=23； 4．21 【解析】cos68ºcos8º+sin68ºcos82º=cos68ºcos8º+sin68ºsin （90º－8º）=cos68ºcos8º+sin68ºsin8º=cos （68º－8º）=cos60º=21. 5．cos （2βα+） 【解析】cos （α－2β）cos （2α－β）+ sin （α－2β）sin （2α－β） = cos ［（α－2β）－（2α－β）］= cos （2βα+）. 6．解：由于锐角α满足cos α=54，则sin α=α2cos 1-=2)54(1-=53， 又锐角α、β满足cos （α+β）=53，则sin （α+β）=)(cos 12βα+-=2)53(1-=54， 所以cos β=cos ［（α+β）－α］= cos （α+β）cos α+ sin （α+β）sin α=53×54+54×53=2524．。
3.1.1两角和(差)的余弦公式
c o s 1 5 c o （ 6 0 4 5 ) s co s 1 5 co（ 4 5 3 0 ) s
你 会 算 co s 1 5 吗 ？
思考：
有 一 座 小 山 坡 O A ,O A 长 为 a， A C O C , 且 AO C = 15 o ,求 坡 脚 线 O C的 长 度 ？
A
a
15
O
o
C
解 ： 在 R t A O C 中 ， O C A O co s 1 5 a co s 1 5
o
o
co s 1 5 co （ 6 0 4 5 ) s co s 6 0 co s 4 5 1 2 2 2
co s co s co s sin sin sin 2 2 2
所 以 有 co s sin 2
例6.已知 cos = 求 cos .
1 17
， )=cos(
47 51
， , 0
2
解 : 由 sin , , , 得 3 2
cos 1 sin
3
2
2 1 3
2
5 3
3 由 cos , , ,得 5 2
sin 1 cos
两角和的余弦公式
C
Hale Waihona Puke 两角和与差的余弦公式co s
3.1.1 两角差的余弦公式
3.1.1 两角差的余弦公式班级： 姓名： 编者：陆祖银 审阅：高一数学备课组 问题引航2、两角差的余弦公式是什么？3、两角差的余弦公式的使用条件是什么？ 自主探究βα,，其终边与单位圆相交于B A ,两点，那么OA = ,OB = .(尝试用βα,的三角函数值表示,的坐标)2、如图，观察与的夹角θ与βα,的关系θ= .3、利用向量夹角计算公式表示θcos = .4、通过坐标运算，大家发现了什么？ .5、两角差的余弦公式：)cos(βα-= .6、简记符号： .7、两角差的余弦公式的使用条件：βα,都是 .互动探究（1）︒15cos ；（2）︒75cos .例题2：已知53sin =α，),2(ππα∈，1312sin -=β，)23,(ππβ∈，求)cos(βα-的值。
当堂检测1.已知βα,均为锐角，且552cos =α，1010cos =β，则βα-的值为多少？2.︒345cos 的值等于（ ） 462.-A 426.-B 462.+C 462.+-D3.)24sin()21sin()24cos()21cos(︒-︒++︒-︒+θθθθ= .4.已知1413)cos(,71cos =-=βαα，且20παβ<<<，求β的值。
知识拓展1.已知1312)cos(,1312)cos(=+-=-βαβα，且)2,23(),,2(ππβαππβα∈+∈-，求角β的值。
作业课本127页练习第2、3、4题自我评价你对本节课知识掌握的如何（ ）Ａ．非常好 Ｂ．较好 Ｃ．一般 Ｄ．较差 Ｅ．很差。
3.1.1 两角差的余弦公式
解析：(1)原式＝cos(15° －105° ) ＝cos(－90° )＝cos 90° ＝0； (2)原式＝cos [(α－35° )－(25° ＋α)] 1 ＝cos(－60° )＝cos 60° . ＝ 2 4 3 (3) ∵ sin α＝－ ，180° <α<270° ，∴cos α＝－ ， 5 5 5 12 ∵sin β＝ ，90° <β<180° ，∴cos β＝－ ， 13 13 ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β －3×－12＋－4× 5 ＝16. ＝ 5 13 5 13 65
两角差的余弦公式的简单应用 (1)sin7°cos23°＋sin83 °cos67°的值为( )
1 3 3 B. C. D．－ 2 2 2 π π (2) 3sin ＋cos 的值为( ) 12 12 1 A. B．1 C. 2 D. 3 2 分析：(1)本题考查公式的逆用．如何将式子转化为两 角差的余弦公式的展开式是关键．
已知角的变形在解题中的应用
(1)计算：cos(－15° ); 2cos 10° －sin 20° (2) 的值是( sin 70° 1 A. 2 3 B. 2 C. 3 ) D. 2
分析：(1)本小题是两角差的余弦公式的直接应用， 要善于进行角的变形，使之符合公式特征． (2)本题考查角的变换技巧，有一定难度．
| || |
依据和可能．
练习1：在直角坐标系中始边在x轴正半轴，30°角
的终边与圆心在原点的单位圆的交点坐标为________．
练习2：cos(45°－30°)＝________.
3 1 练习 1： ， 2 2
6＋ 练习 2： 4 2
二、角的组合 α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， 1 α＝ [(α＋β)－(β－α)] 2 1 α＝ [(α＋β)＋(α－β)]，2α＝(β＋α)－(β－α)等． 2
3.1.1两角差的余弦公式
三.给值求角
4
3小Biblioteka ：1、两角和与差的余弦公 式： cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
2、运用公式时注意角的范围、三角 函数值的正负及与特殊角的关系等.
作业 课时作业小本（二十七）
4 5 例2：已知sin = , （ ，）,cos = , 5 2 13
二、给值求值
β是第四象限角，求cos(α－β)的值.
思考：运用公式求解需要做哪些准备？
（ ，）去掉， 变式：若将例2中的条件 2
对结果和求解过程会有什么影响？
练习：已知 , 均为锐角, 且 ， 3 3 10 cos , cos( ) , 求 cos 的值. 5 10
2 10
1 9
3 5 例4、在ABC中， cos A= ， cos B= ， 5 13 则cosC的值等于( )
提示： （1）C=180°－(A+B),
（2）正、余弦值的符号。
所以cosC= －cos(A+B)
33 = －cosAcosB+sinAsinB 65
解后回顾: 三角形中的给值求值，内角和180度
cos15 cos 60 45
练习: sin 75 , cos75
练习：
1 1. cos1750 cos550 sin 1750 sin 550 2
2. cos( 210 ) cos( 240 ) sin( 210 ) sin( 240 )
2 2
体现了角的整体性
3.已知 cos 25 cos 35 cos 65 cos 55的值等于( B ) A 0 B 1 2 C 3 2 D 1 2
《两角差的余弦公式》优质课教学设计
高中数学人教A版必修4第三章《3.1.1两角差的余弦公式》（第一学时）教学设计一、教学目标：1. 通过对两角差的余弦公式的猜想和探究过程,培养学生通过交流,探索,发现和获得新知（二）新知探究在平面直角坐标系xOy 中内作单位圆O ,以Ox 为始边作角βα,，它们的终边与单位圆的交 点分别为B A ,，则()(),sin ,cos ,sin ,cos ββαα==OB OA 由向量数量积的坐标表示有：βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA 。
设向量OA 与OB 的夹角为θ，由向量数量积的定义有：θθcos ==⋅OB OA ，所以βαβαθsin sin cos cos cos +=。
已知()()Z k k Z k k ∈+=∈++=πθβαπθβα2-2或，所以()Z k k ∈±=-θπβα2，所以()θβαcos cos =-，又因为βαβαθsin sin cos cos cos +=，所以可知对任意角βα,，都有()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-。
（三）巩固理解例1、利用差角余弦公式求o15cos 的值。
分析:本题关键是将o15角分成o45与o30的差或者分解成o60与o45的差,再利用两角差的余弦公式即可求解。
例2、已知,135cos ,,2,54sin -=⎪⎭⎫⎝⎛∈=βππααβ是第三象限角，求()βα-cos 的值。
分析:观察公式()βα-cos 与本题已知条件应先计算出αcos ,βsin ,再代入公式求值。
求βαsin ,cos 的值可借助于同角三角函数的平方关系,并注意βα,的取值范围来求解。
例3、求值（1）oooo35sin 65sin 35cos 65cos + （2）απααπαsin 3sin cos 3cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+（3）oooo 40cos 110sin 50cos 110cos + （4）oooo42sin 78cos 42cos 12cos +为o50sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o60cos ；对于(4),可先用诱导公式化o 78cos 为o 12sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o 30cos 。
23冯文平3.1.1《两角差的余弦公式》说课
15 °
A岛
五、教学过程分析
环节一:创设情境，导入新课
2.特例验证，引发思考 思考1：如果我们不仅想提高数学应用能力，还 想进一步提高数学推理运算能力，那么，不用计算 器不查表，该如何计算cos15°？ 思考2：我们能否将15°转化成两个特殊角的差， 进而利用特殊角的三角函数值求出cos15°呢？ 思考3:如何用α，β 的正弦、余 弦值来表示cos(α-β) 呢？
两角差的余 弦公式
中卫市 中宁中学 说课教师：冯文平
说课思路
教学背景分析 教学目标分析 教法学法分析 课堂结构设计 教学过程分析 教学评价反思
一、教学背景分析
1、教材分析
本节内容选自人教A版《普通高中课程标准实验 教科书》数学必修4第3.1.1节。它是三角函数线和 诱导公式等知识的延伸，是两角和与差的正弦、余 弦、正切，以及二倍角公式等知识的基础。对三角 变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求 值等问题的解决，有重要的支撑作用。…… 基于上述分析，本节的 教学重点是：两角差的余弦公式的推导及简单 应用。
一、教学背景分析
2、学情分析
学生已经学习了任意角三角函数的定义、同角 三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，这为 他们探究公式建立了良好的基础。但学生的推理论 证能力毕竟有限，要发现并证明公式C(α-β)有一定 的难度。…… 基于上述分析，本节的 教学难点是：两角差的余弦公式的探索及探索 过程的组织和适当引导。
〖探究1〗 借助单位圆上的三角函数线来推导cos（α -β ）公式
y
1 A
P1
sin
OM＝ cos(α-β) OB＝cosαcosβ BM＝sinαsinβ
P 又 OM＝OB＋BM
3.1.1两角差的余弦公式PPT
π
1.两角差的余弦公式： 1.两角差的余弦公式： 两角差的余弦公式
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
2.已知一个角的正弦（或余弦） 2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角 已知一个角的正弦 的余弦（或正弦）值时, 的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的 象限，从而确定该角的三角函数值符号. 象限，从而确定该角的三角函数值符号.
1 π 4 3 . 解：由 cosα＝ ，0<α< ，得 sinα＝ 7 7 2 π π 13 由 0<β<α< ，得 0<α－β< . 又∵cos(α－β)＝ ， 2 2 14 ∴sin(α－β)＝ 1－cos (α－β)＝ )
2
13 2 3 3 1－( ) ＝ . ( 14 14
由 β＝α－(α－β)，得 cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) 1 13 4 3 3 3 1 ＝ × ＋ ＝ . × 7 14 7 14 2 π ∴β＝ . 3
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
1、掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用 掌握两角差的余弦公式， 公式进行简单三角函数式的化简、求值； 公式进行简单三角函数式的化简、求值； 2、掌握“变角”和“拆角”的方法. 掌握“变角” 拆角”的方法.
对于30° 45° 60° 对于30°，45°，60°等特殊角的三角函 30 数值可以直接写出， 数值可以直接写出，利用诱导公式还可进 一步求出150° 210° 315° 一步求出150°，210°，315°等角的三角 150 函数值.我们希望再引进一些公式，能够求 函数值.我们希望再引进一些公式， 更多的非特殊角的三角函数值， 更多的非特殊角的三角函数值，同时也为 三角恒等变换提供理论依据. 三角恒等变换提供理论依据.
3.1.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式
则cosC的值为(
33／65 ).
分析: ∵C=180 °–(A+B) ∴cosC=–cos(A+B)= – cosAcosB+sinAsinB 已知cosA=3／5 ,cosB=5／13,尚需求 sinA,sinB的值. ∵sinA= 4／5 , sinB=12／13, ∴cosC=–3／5 × 5／13 + 4／5 × 12／ 13=33／65.
cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ
简记：C( )
公式的结构特征: 左边是复角α+β的余弦,右边是单角α、β 的余弦积 与正弦积的和.
两角和与差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
应用举例
例1.不查表,求cos(–435°)的值.
例5.cos25 °cos35 °– cos65 °cos55 °
的值等于(
(A) 0 (B) 1／2
).
(D)–1／2
(C) √3／2
解: 原式=cos25 °cos35 °–sin25 ° sin35 ° =cos(25 ° +35 °) =cos60 ° =1／2. 故选: ( B )
课 堂 练 习
解:cos(– 435 °)=cos75 ° =cos(45 ° +30 °) =cos45 ° ·cos30 ° –sin45 ° ·sin30 °
2 3 2 1 2 2 2 2
6 2 4
练习
不查表,求cos105 °和cos15 °的值.
2 6 答案：cos105°= 4 2 6 cos15 °= 4
高一数学人教A版必修4第三章3.1.1 两角差的余弦公式 教案
《两角差的余弦公式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4课题：3.1.1 两角差的余弦公式课时：1课时一、教学内容分析三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.二、教学目标1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算；2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.三、学生学情分析学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式.四、教学过程设计1.创设情景【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB 建筑市郊的一座小山CD 上,从山脚A 测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB ∠)为60︒，从A 点观测塔顶B 的视角（CAB ∠）约为45︒，求：A,B 两点间的距离.（请学生思考求解过程，某生表述：AB=2AD=2×50×()cos 6045︒-︒=100cos15︒.教师引导说明15︒角的余弦值是未知的，而60︒角、45︒角的三角函数值是已知的，不妨用它们来求差角6045︒-︒的余弦值.）【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要.【思考1】()cos 6045︒-︒如何求角60︒，45︒的正弦、余弦值来表示呢？ （请学生大胆尝试说明，并根据自己的结论计算验证.在这个过程中，可将问题一般化：两角差αβ-的余弦值与这两个角,αβ的三角函数值之间有怎样的关系呢？引入课题：两角差的余弦公式）【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳，明确常犯的直接性错误为什么是错的，提出本节课的研究内容，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.2.新知探究【思考2】在已学过的知识中，有没有类似求两角差余弦的式子呢？（请学生思考说明：诱导公式()cos cos πββ-=-，cos sin 2πββ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.） ()()cos cos cos 2πβαβπβ--−−−→⎛⎫- ⎪⎝⎭特殊化 【说明】观察以上两式就是把角α用特殊角π、2π来替换.由于特殊中往往能反映一般规律，我们不妨从上述公式出发，建立研究思路，寻找两角差的余弦公式的一般性规律.【设计意图】从学生的学习实际出发，回想已有的关于两角差的余弦的式子，寻找新旧知识之间的联系，使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生.【探究1】()cos πβ-如何用角π和β的正弦、余弦值来表示呢？本环节以教师引导探究为主，展现知识的生成过程.【问题1】根据三角函数的定义,你能写出点12,P P 的坐标吗?（请学生说明，点 ()()12cos ,sin ,cos ,sin P P ππββ.）【问题2】根据三角函数的定义，()cos πβ-是角πβ-的终边与单位圆交点的横坐标.那么，你能在图1中画出角πβ-的终边吗？（请学生说明自己画图的过程，可能会有两种做法：方法一：由角β的终边画出角β-的终边，然后将角β-旋转角π，得角πβ-的终边；方法二：以角π的终边为始边旋转角β，得角πβ-的终边.设角πβ-的终边与单位圆交于点3P ，则点3P 的坐标为()()()cos ,sin πβπβ--）【过渡】在已知各点坐标的情况下，我们不妨用向量知识来解决问题.【问题3】观察图1，有几组向量的夹角相等？（请学生说明：0312P OP POP ∠=∠，又向量的模相等，0312OP OP OP OP ∴⋅=⋅，由向量数量积的坐标运算得：()cos cos cos sin sin πβπβπβ-=+.）【活动】根据上述推导过程，请同学们整理研究思路，在学案（附后表1）β的终边y x π-β的终边1,0()π的终边P3P1P2O P0上完成图1对应的表格.【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义，建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量，加强新旧知识之间的关联性，使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式，将探究一拆分为三个问题，帮助学生建立研究思路.【探究2】根据上述做法， cos 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值如何用角,2πβ的正弦、余弦值来表示呢？（请学生根据学案中的图2，四人一组完成探究. 教师引导说明角2πβ-的终边的形成过程，学生类比()cos πβ-的推导过程，以向量为工具，根据向量的夹角相等，得：0312OP OP OP OP ⋅=⋅βπβπβπsin 2sin cos 2cos 2cos +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系，运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系，推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程.【思考3】观察上面两个式子，猜想：若,αβ是任意角，那么()cos αβ-= ？（学生观察上式，归纳说明.）【设计意图】有特殊到一般，猜想任意角两角差的余弦公式，使学生成为数学结论的发现者，这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的.【探究3】你能否证明自己的猜想？π（请学生类比上面两式的推导过程，在学案中自主探究完成，并与周围同学相互交流，解决自己存在的问题.其中，差角αβ-的形成过程教师可利用几何画板旋转得到，帮助学生认识图形间的内在联系.之后投影展示某生的证明过程，并请该生解说： 0312OP OP OP OP ⋅=⋅()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+）【设计意图】通过对猜想进行证明，体现数学知识的严谨性、合理性，使学生对公式的认识上升到理性高度.同时，体会向量方法的作用.【归纳】两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+【问题4】观察两角差的余弦公式，我们如记忆公式呢？（请学生尝试说明，教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳：余余正正异相连.）【设计意图】引导学生总结公式特点，帮助学生记忆公式.3.应用举例例.求cos15︒的值.（本例由情景问题提出，可引导学生采用不同的方法求值，认识到拆分角的多样性.）【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用，拓展数学思维，体会拆分的多样性，决定变换的多样性.4.课堂小结【问题5】本节课你学到了哪些知识，有什么样的心得体会？（学生说明，师生共同归纳总结.）（1）两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（2）向量作为工具性知识的运用；（3）解决数学问题的思路：由已知到未知、由特殊到一般.β的终边α)【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识，获得知识和能力的共同进步.5.作业布置（1）课本127页，练习2,3题；（2）查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗？【设计意图】巩固所学知识，拓展解决数学问题的思路.。
高二数学两角差的余弦公式(2019年新版)
文王之师也 群臣慕乡 ”盎对曰：“原屏左右 後七世 徙居温 然各随时而轻重无常 长驱归周 宣公立 角为民 执宛春以怒楚 守荥阳 汉国之大都也 晋欲救之 召臣意入诊脉 其中具五民 告诸侯曰“将诛汉贼臣晁错以安宗庙” 是为平公 取八十茎已上 为内兵 太史敫曰：“女不取媒因自
嫁 始皇帝至沙丘 有娀氏之女 诚用客之谋 乃作通天茎台 卒并诸夏 景帝时开封侯陶青、桃侯刘舍为丞相 自入谢 显宗庙 ” 汉闻齐发兵而西 “尧年少 女悉嫁秦诸公子 妨贤者处 高使人捕追不及 行不遇盗 大潦 八月 下诏曰：“三代邈绝 汉击破 万石君少子庆为太仆 不任行 不能禁
崩 公为政用事 ”於是使乐毅约赵惠文王 ”信陵君大惭 诸将独患淮阴、彭越 故兴兵诛之 既彊其国 天子独与侍中奉车子侯上泰山 闽中是居 其为政也 十一年
二十三年 齐桓公怒 程婴谓公孙杵臼曰：“今一索不得 曰：“远矣西土之人 内相攻击扰乱 假于皇天；如约即止
奉其先祀 由是观之 郦商为将 要之善走； 当是之时 获一角兽 令御史大夫周苛、魏豹、枞公守荥阳 魏其谢病 金城千里 以人民往观之者三二千人 从大将军出定襄 申告以文王、武王之所以为王业之不易 初 伊尹摄行政当国 将安置此 常渔钜野泽中 竹竿万个 ”王曰：“告女：维天不
盎曰：“吴王骄日久 挟伊、管之辩 十一月为五月 以约束 发橐 何哭为 衣上黄而尽用乐焉 峭堑之势异也 烧死人 秦人憙 哀公大父雍 佩豭豚 必以兵临晋 十六年 齐败 而秦王使白起破赵长平之军前後四十馀万 所以节乐 明主收举馀民 恶来革者 如五器 扬人之善蔽人之过如此 加年八
十孤寡布帛二匹 赵人祭西门 以游心骇耳 汉军罢 秦皇帝东游 事纣 今又将兵出塞攻梁 於斯之时 曰予所好德 有人当道 自刭 乃著书 始皇九年 使告於宋曰：“冯在郑 其九月 蜀人杨得意为狗监 是时上方忧河决 ”劾灌夫骂坐不敬 曰：“光与子相善 ”文信侯不快 大破之 不如得济
两角差的余弦公式教学设计及点评
《两角差的余弦公式》教学设计教学设计说明一、教材地位及其作用恒等变换在数学中扮演着重要的角色，它的主要作用是化简．在数学中通过恒等变换,可以把复杂的关系用简单的形式表示出来．三角恒等变换在后续学习中具有重要的作用.而以本节课为起始课的第三章内容需要学习三角函数运算中蕴涵的恒等关系.由于和、差、倍之间存在的联系，和角、差角、倍角的三角函数之间必然存在紧密的内在联系,因而需要推出一个公式作为基础。
由于三角恒等变换的内容与三角函数没有直接的关系,因此现行的课改教材（人教A 版)安排学生学完三角函数后,先学习了平面向量，因此选择了运用向量方法推导公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-作为建立其它公式的基础,使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，降低了思考难度。
本节课的作用承前启后，非常重要。
二、学情分析与教学目标学生在前两章已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，为探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。
但学生的逻辑推理能力有限，要发现并证明公式Ｃ(α-β)有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流,体会向量法的作用,探索两角差的余弦公式。
由于学生初次使用恒等变换去推理解答问题，分析问题的能力和逻辑推理的能力都有所欠缺，并且面对新问题如何运用已学知识和方法去解决存有困惑.但同时学生在学习新的一章知识时又都会充满好奇心,这对教学是非常有利的。
根据学生的认知结构和心理特点,我制定了本课的学习目标如下： 1．知识与技能（１)通过对两角差的余弦公式的推导，使学生体会应用向量解决数学问题的技能。
（２)通过公式的灵活应用,使学生掌握两角差的余弦公式的作用。
２.过程与方法（１)利用两角差的余弦公式推导过程,使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法。
(2)在公式的灵活运用过程中进一步培养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数形结合思想。
３．情感态度与价值观通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣,形成探究、证明、应用的获取知识的方式。
3.1.1 两角差的余弦公式(张奕辉用)
3 例1.已知 sin ，且 是第三象限角， 5
求
cos , tan
2
2
的值。
2
2
解：因为
sin cos 1 ，所以
3 16 cos 1 sin 1 25 5
2
因为
4 cos 5
第三象限角，所以
sin 75 cos15 2 6 . 4
4 5 例2 已知 sin , ( , ), cos , 5 2 13
是第三象限角，求 cos( )的值.
cos( ) cos cos sin sin . 4 解：由sin , ( , ), 5 2 3 2 得cos =- 1 sin ; 5 5 又由cos , 是第三象限角，得 13 12 sin 1 cos 2 . 13 cos( ) cos cos sin sin 3 5 4 12 ( ) ( ) ） （ 5 13 5 13 33 . 65
π 2cos(α- ) 的值. 5 2 4 4 3 【解析】∵α∈(0, π ),sinα= , ∴cosα= , 5 5 2 π π π \ 2cos(α- )= 2(cosαcos +sinαsin ) 4 4 4 4 3 7 =cosα+sinα= + = . 5 5 5
5.设α ∈(0, π )，若sinα = 3 , 求
A
P1 P x
C
B M
y 法二（向量法）
OA cos ,sin ， OB cos ,sin ， OA OB OA OB cos( )
§3.1.1两角和与差的余弦公式
0 0 0 0 设向量a (cos 45 ,sin 45 ), b (cos30 ,sin 30 )
问：
§3.1.1两角和与差的余弦公式
0 (1)a与b 的夹角 15
45 30
0
0
13
§3.1.1两角和与差的余弦公式
cos( -β ) cosα cosβ + sinα sinβ α
思题：已知 ，β α
5 cos α +β 13
4 都是锐角, cosα = ， 5
求 cosβ 的值 α 变角: β = +β α
cos βcosα sin βsinα α α
2013-1-9
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
9
§3.1.1两角和与差的余弦公式
2 3 3 例2.已知 sin = ， ， ， =- ， , cos 3 4 2 2 求 cos( ).
2 5 解： sin = ， ， cos 3 3 2 3 7 3 cos =- ， , sin 4 4 2
2013-1-9 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 16
§3.1.1两角和与差的余弦公式
课堂练习 <<教材>> P.127 书面作业 <<教材>> P.137 习题3.1 A组2.3.4 练习1.2.3.4
2013-1-9
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
2013-1-9
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
必修4教案3.1.1两角和与差余弦公式
cos( ) cos cos sin sin 简记作 C ( )
例 1．①利用差角余弦公式求 cos15 的值 ②利用和角余弦公式求 cos75 的值 例 2． 已知 sin
角，求 cos( ) 的值。
4 5 , ( , ), cos , 是第三象限 5 2 13
例 5．已知 , 都是锐角， cos 求 cos 的值
两角差与和的余弦公式学案 一、阅读课本 124 页到 127 页 任务一：差角的余弦公式：对于任意角 , 有 cos( ) cos cos sin sin 简记作 C ( ) 你能根据差角的余弦公式推导和角的余弦公式吗？ cos( ) 任务二：根据上面的两个公式试解决下列问题 例 1．①求 cos15 的值 ②求 cos75 的值
③ sin 34 sin 26 cos34 cos 26
④ sin164 sin 224 sin 254 sin 314
例 4．化简：① 3 15 sin x 3 5 cos x ② 3 sin
x x cos 2 2
课题 教 学 目 标 知识与能力 过程与方法
情感态度与价值观
两角差与和的余弦公式（一） 两角差与和的余弦公式的应用 两角差与和的余弦公式的应用
顺序课时
1
教学重点 教学难点 教学方法
两角差与和的余弦公式的应用 两角差与和的余弦公式的逆用 双案教学，预习、提问、讲授法 知 识 流 程 有 教师活动 学生活动
③ sin 34 sin 26 cos34 cos 26
人教版高中数学必修4第三章三角恒等变换-《3.1.1两角差的余弦公式》课件(1)
提示： sin( ) 3
5
cos 2 cos ( ) ( ).
7 25
3 sin( ) 5
3 5 例4、在ABC中， cos A= ， cos B= ， 5 13 则cosC的值等于( )
C=180°－(A+B), 所以cosC= －cos(A+B) = －cosAcosB+sinAsinB
解： | a | cos2 45o sin 2 45o 1
| b | cos2 30o sin 2 30o 1
a b (cos45o , sin 45o ) (cos30o , sin 30o )
6 2 cos 45 cos30 sin 45 sin 30 4
例3：已知锐角α，β满足cosα=
cos(α+β)=
5 ，求cosβ的值 13
3 ， 5
4 ； 5 12 13
解：因为α，β都是锐角，所以sinα= 而cos(α+β)=
5 ，所以sin(α+β)= 13
则cosβ=cos[(α+β) －α]
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα 5 3 12 4 33 ( ) 13 5 13 5 65
3 π 解: ∵ cos = - , π 5 2
4 ∴ sin = 1 cos 5 π π π cos( - ) cos cos + sin sin
2
4
4 4 2 3 2 4 2 2 5 5
2 10
有了公式 C( ) 后,我们只要知道 cos ,cos ,sin ,sin 的值，就可以求得 cos( ) 的值了。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 3.1.2 两角
3.1.1 两角差的余弦公式3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式自我小测ππsin 1212-的值为( )．A ．0B ． D ．22．已知2tan()5αβ+=，π1tan()44β-=，那么πtan()4α+等于( ) A. 1318 B. 1322 C. 322 D. 318 3．在△ABC 中，若sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，那么这个三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形4．(2011浙江高考，理6)若π02α<<，π02β-<<，π1cos()43α+=，πcos()42β-=cos()2βα+＝( )．A ．3B ．3-C ．9D ．9-5．若α，β均为锐角，且1cos 7α=，11cos()14αβ+=-，则cos β＝__________. 6．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是__________三角形．7．已知α，β∈(0，π)，1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，求2α－β的值． 8．若3π5sin()413α+=，π3cos()45β-=，且π3π044αβ<<<<，求cos(α＋β)的值．9已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，-=a b . (1)求cos(α－β)的值；(2)若π2α<<，π2β-<<且4sin5β=-，求sin α的值．参考答案1答案：Cπππππππsin 2(cos cos sin sin )2cos 12126126124-=-== C. 2答案：C 解析：ππtan()tan ()()44ααββ⎡⎤+=+--⎢⎥⎣⎦21πtan()tan()3544π21221tan()tan()1454αββαββ-+--===++-+⨯.3答案：D解析：∵sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，移项整理得：sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0.又0＜B ＜π，0＜C ＜π，∴－π＜B －C ＜π，∴B －C ＝0，∴B ＝C ，∴△ABC 为等腰三角形．4答案：C解析：根据条件可得ππ3π(,)444α+∈，πππ(,)4242β-∈，所以πsin()43α+=，πsin()423β-=， 所以ππcos()cos ()()2442ββαα⎡⎤+=+--⎢⎥⎣⎦ππππcos()cos()sin()sin()442442ββαα=+-++-133339=⨯+⨯=.5答案：12解析：∵α为锐角，。
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距
五、课前准备
1.学生准备：预习《两角差的余弦公式》，理解两种方法的推理过程。
六、课时安排：1课时
七、教学过程：
探究一：（1）能不能不用计算器求值： =，
=，
=。
（2）
（教师备课栏及学生笔记栏）
3.1.1两角差建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构
及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
一、当堂检测
1.利用两角和（差）的余弦公式，求
2.求值
3．化简
1、描述向量的两个指标：模和方向.
2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.
探究二：两角差的余弦公式的推导
1.三角函数线法：
问：①怎样作出角 、 、 的终边。
②怎样作出角 的余弦线OM
③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。
2.向量法：
问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？
2怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。
3对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。
例题整理
例1.利用差角余弦公式求 的值
变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：
（1） ；
（2）
变式训练： 。
八、反思总结：
本节主要考察如何用任意角 的正弦余弦值来表示 ，回顾公式 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角 ， 的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).在求值的过程中，还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.
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学 以 致 用
4 cosβ = - 5 α , ， ， 例3.已知 sinα = ， 13 5 2 β 是第三象限角，求cos(α -β )的值
cos(α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ
1 0 0 0 0 练习： 1. cos175 cos55 sin 175 sin 55 2
3 解: ∵ cosα = - α , 5 2
∴
cos(
4 sinα = 1 cos α 5
2
4
-α ) cos
4 4 2 3 2 4 2α + sin
sinα
cos(α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ
对于任意角
α , β
结 cos(α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ 论 归 差角的余弦公式 C 纳
α β
注意：1.公式的结构特点；
2.对于α ,β ,只要知道其正弦或余弦，就 可以求出cos(α－β)
cos( α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ
3.1.1两角差的余弦公式
两个向量的数量积
温 故 知 新
a b a b cosθ 其中θ ∈[0，π ]
a x1 , y1
b x2 , y2
a b x1x2 y1y2
两角差的余弦公式 问 题 探 究
如何用任意角α 与β 的正弦、 余弦来表示cos(α -β )？ 思考：你认为会是 cos(α -β )=cosα -cosβ 吗?
思考：以上推导是否有不严谨之处？
当α -β 是任意角时，由诱导公式总可以找到 一个角θ ∈[0，2π ），使cosθ =cos(α -β ) 若θ ∈[0，π ]，则 OA OB cos cos( )
若θ ∈[π ,2π )，则2π -θ ∈[0，π ]，且
OA OB cos(2π –θ )=cosθ =cos(α -β )
分析： cos
cosα sinα cos αβ sin αβ
5 4 12 3 13 5 13 5 16 65
2 2. cos( 210 ) cos( 240 ) sin( 210 ) sin( 240 ) 2
小结
两角差的余弦公式
对于任意角α ,β 都有
cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 注意：1.公式的结构特点；
2.对于α ,β ,只要知道其正弦或余弦，就 可以求出cos(α－β).
作业：P137. 2、3 、4
再
见
cos(α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ
思考题：已知 α ，β
5 cos α +β 13
4 都是锐角, cosα = ， 5
求 cosβ 的值
α +β α 变角: β =
cos
学 以 致 用
例1.利用差角余弦公式求cos15 的值
分析: cos15 cos 45 30
cos15 cos 60 45
思考：你会求 sin 75 的值吗?
cos(α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ
学 以 致 用
3 cos α 例2.已知 cosα = - α , 求 的值. 4 5 2
OA cosα ,sinα
OB cosβ , sinβ
y
OA OB OA OB cos( )
cos( )
∵ OA OB
A
1
α -β B β 1 x
α
-1 o
cos cos sin sin
-1
∴
cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ