大学高数向量及其线性运算

向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
（3）
a (a) 0.
[2]
定义减法
a
b
a
(b)
b
a
a
b
ab
b
b
c
a
b
c
a a
(b ) b
三、向量与数的乘法
设 是一个数，向量a与 的乘积a规定为
a e 与
同方向的单位向量可记作 a0 或
a
零向量：模长为0的向量. 0
零向量没有方向，或者说其方向是任意的
即向量可以在空间中任意地平行移动，如此移 动后仍被看成是原来的向量。本书中考虑的都 是自由向量。
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
设
e
是与
u
轴同方向的单位向量，
AB ( AB)e.
eA o1
B
u
设 A, B,C 是 u 轴上任意三点，不论这三点 的相互位置如何，
AC AB BC, 即 ( AC)e ( AB)e (BC)e ( AB BC)e,
AC AB BC.
例 1 在u轴上取定一点o作为坐标原点．设 A, B,
证 充分性显然；
必要性
设 b‖
a
取
b
,
当
b
与
a
同向时
取正值，
a
当
b
与
a
反向时
取负值，
此时
即有
b
与
a
b a.
同向.
且
a
a
b
a
a
b.
的唯一性.
设
b
a，
又设
b
a，
两式相减，得
(
)a
0，
即
a
0，
a
0， 故
0，
即
.
证毕。
设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
D b
a
M
A
C B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
一、向量在轴上的投影与投影定理
设有一轴 u，AB 是轴 u 上的有向线段.
A
B
u
如果数 满足 AB，且当 AB 与 u 轴同 向时 是正的，当 AB 与 u 轴反向时 是负的， 那末数 叫做轴 u 上有向线段 AB 的值，记作 AB，即 AB.
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量 OM ，叫做点M的 向径.
二、向量的加减法
[1]
定义加法：a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若a‖ b
b
分为同向和反向
c
| c || a
|
|
b
|
a
b a
|
c
|
|
a
|
c |
b
|
| AB | cos
定理1的说明：
(1) 0 , 投影为正；
2
(2) , 投影为负；
2
(3) ,
2
投影为零；
c
a
b
u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在
该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
(b,a)
(0 )
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
空间一点在轴上的投影
•A
过点 A作轴u的垂直
A
u
平面，交点 A即为点
A在轴u上的投影.
空间一向量在轴上的投影
B A
u
A
B
已知向量的起点A 和终点B 在
轴u上的投影分别为 A, B那
a
|
a
|
a
0
a
a0 .
|a|
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
例1
化简
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
解
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
5
b
2a
5
b.
2
例2 试用向量方法证明：对角线互相 平分的四边形必是平行四边形.
证 源自文库AM MC BM MD
么轴u 上的有向线段AB 的
值，称为向量在轴u 上的投影.
数
向量AB在轴u 上的投影记为 Pr ju AB AB.
关于向量的投影定理（1）
向量AB 在轴u 上的投影等于向量的模乘以
轴与向量的夹角的余弦： Pr ju AB | AB | cos
证
B
A
B
A
B
Pr ju AB Pr ju AB
u u
第二节 向量及其线性运算
<<工科数学分析>> 北京理工大学
2010-2011学年第二学期
一、向量的概念
M2
向量：既有大 小又有方向的量. 向量表示：a 或 M1M2
M1
向量的以模M：1向为量起点 的，大M小.2 为| a终| 或点|的M有1M向2线| 段.
单位向量：模长为1的向量. M1M20
A
a1
B
a2
C
u
A
B
C
特别地，如果把上述向量a在轴上
的投影换成向量a在向量b上的投影,
可得到类似的概念与性质：
(a
)b
|
a
|
Cos(a,
b);
(a b)c (a)c (b)c .
二、向量在坐标轴上的分向量与向量
的坐标
设
a
M1M2
为一向量，u
为一条数轴．
点 M1, M2 在轴 u 上的投影分别为点P1, P2．
是 同方u轴向上的坐单标位依向次量为，u证1,明u2A的B两 个(u2点，u1e)e是. 与u轴
证 OA u1,
e
A
o
1 u1
B
u2
u
故
OA
u1e
,
同理，OB
u2e ,
于是
AB
OB OA
u2e
u1e
(u2
u1 )e .
空间两向量的夹角的概念：
向量aa与0,向量bb的0,夹角
b
a
(a,b)
(1) 0,
a
与a
同向，|
a
|
|
a
|
(2) 0,
a
0
(3) 0,
a
与a
反向，|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）分配律：(
)a
a
a
(a
b)
a
b
两个向量的平行关系
分 定必理要设条向件量是a：存0，在那唯一末的向实量数b 平，行使于ba的充a.
又设 P1, P2 在轴 u 上的坐标依次为 u1, u2．
Pr ju M1M2 au ,
M1
P1P2 OP2 OP1
u2 u1,
o P1
M2
P2
u
au u2 u1 .
如果e 是与u 轴正向一致的单位向量，
由例1知
P1P2 aue (u2 u1 )e .
设a 是以M1( x1 , y1 , z1 )为起点、M2 ( x2 , y2 , z2 )