结构力学例题

ql 12
2
ql 0 2
ql 12
2
T
杆元①因无外载荷作用，故没有固 端弯矩及固端剪力，在总坐标系中， 固端力矩阵为
P P
(1)
(1)
0
T
由此可列出节点平衡方程式形式如 下：
K11(1) (1) K 21
K12 (1) K 22 (1) (2) K 32 (2)
（3）
整理（1）（2）（3）式，并带入 Q q0l0 / 2 P 0.8q0l0 m q0l02 /15 A l03 / (6EI ) 得：
5M 2 M3 37q0l0 / 60
2
（4） （5）
来自百度文库
M 2 2M3 2q0l0 /15
2
联立（4）（5）式得
M 2 11q0l0 / 90
M 32 0
2
弯矩图如下所示：
0.18ql 2
0.065ql 2
0.125ql 2
0.25ql
2
例4 用能量法求解如图所示梁的静不定 性。已知图中EI为常数，柔性系数 A l / (12EI ) 。
3
解:设弹性支座处的支反力为F，则有力 的平衡关系可得弯矩分布函数，如下：
3P (0 x l ) M ( x) ( F P) x ( F )l 2 3l (l x 3l / 2) M ( x) P( x) 2
(4)求节点外载荷矩阵从而写出节点平衡 方程式。
杆元②因均布荷重引起固端弯矩及 固端剪力，在单元坐标系中，固端力 矩阵为
P
(2)
ql 0 2
ql 12
2
ql 0 2
ql 12
2
T
由于杆元②局部坐标系与总坐标系 同向，故有
P P
(2)
(2)

ql 0 2
(m M 2 )l0 v Pl0 2 M 2l0 M 3l0 7Ql0 2 • 3EI l0 16EI 3EI 6EI 180EI
•
（1）
M 2l0 M 3l0 2Ql0 2 0 6 EI 3EI 45 EI
（2）
再列节点1处弹性支座的补充方程式:
P M2 m v AR A( ) 2 l0
解: 本例的刚架为静不定结构，现将节 点3处的刚性固定约束去除，并在节点2 处切开，加上未知弯矩 M 3 和 M 2 ，原来 作用于节点2上的外力矩m可考虑在杆1-2 上亦可考虑在杆2-3上，今考虑在杆1-2 上。于是得到两根单跨梁如下图所示。
变形连续条件为节点2转角连续及 节点3转角为零，利用单跨梁的弯曲要 素表，这两个条件给出:
0 6I l 4I 0 6I l 2I
A 0 0 A 0 0
0 12 I 2 l 6I l 0 12 I l2 6I l
0 6I l 2I 0 6I l 4I
杆元①需进行坐标转换，因 270o,故坐 标转换矩阵为
2
M3 q0l02 /180
同时可解得
P M2 m 19 qolo 4 v AR A( ) 2 l0 540 EI
例3 试求解下图连续梁的静不定问题。 l / (6 EI ) I I I， 已知 P ql ，l12 l23 l ， A l / (12EI ) 。画出弯矩图。
Rx1 R y1 u1 M R1 v 1 Rx 2 1 R ql y2 u 2 2 K 23(2) * v2 ql 2 K 33(2) 2 12 0 u3 v 3 v ql 2 3 A ql 2 12
（2）
整理得
31 2 2M1 M 2 ql 120
29 2 M 1 3M 2 ql 120
解得
8 2 M1 ql 75
9 M2 ql 2 200
例2 用力法求解下图简单刚架，设各杆 之长度均为L,断面惯性矩均为I，并已知
P 0.8q0l0
m q0l0 /15
2
A l03 / (6EI )
结构力学例题
例1 利用梁的弯曲要素表计算下图中梁 的固定端弯矩。已知 l / (6 EI ) 。
解：由叠加法原理可将上述结构拆为下 列情况的组合。
q
M1
M2
ql / 3
通过查弯曲要素表有 图（a）中
M 1l M 2l 1 3EI 6 EI
M 1l M 2l 2 6 EI 3EI
由“最小功原理”知
V 0 F
解得
7 F P 5
弹性支座处的挠度
7 Pl 3 v AF 60 EI
此道题也可采用李兹法。设挠度曲 线 v( x) a x 。
n i i 1 i
例5 用矩阵法写出下图所示连续梁单元 ①②的单元刚度矩阵，建立总刚度方 程，并进行约束处理，计算节点处的 3 A l / (12EI ) 。 位移。已知EI为常数，
l l
3
解:(1)根据结构的受力特点，将它离散 为2个单元，3个节点，并建立杆元的 局部坐标及结构的总坐标如上图所示。 (2)计算杆元的刚度矩阵。 杆元①:
0 A 12 I 0 2 l 6I 0 l K (1) E l A 0 0 12 I l2 6 I 0 l
2 6 ql 2 8 l 12 2 EI 6 12 12 6 ql ( 2 2 ) v3 l l l l l 2 3 2 6 ql 2 4 l 12
(5)约束处理。本题中，因不计杆件的轴 向变形又有 u1 v1 1 u2 v2 u3 0,因此 在上式中需划去与 u1, v11, u2 , v2 , u3 对应 的六个行与列。 在节点3处y方向有弹性支座，在总 刚相应行的主对角线元素上加上弹性 支座的刚度后可不计其外载荷项。故 经约束处理后的方程式为
K 22 (2) (2) K 32
K 23 (2) K 33
(2)
(3)根据各杆元刚度矩阵的分割子矩阵， 组成结构刚度矩阵:
K
99
K K
(1) 11 (1) 21
K12 K 22 K32
(1)
(1) (2) (2)
(2) K 23 (2) K33
图 (b) 中
1 ql 3 3 45 EI
7 ql 3 4 360 EI
图（c）中
1 ql 3 5 48 EI
1 ql 3 6 48 EI
由边界条件 左端点 0
;即 （1）
1 3 5 0
右端点 2 ;即
2 4 6 2
弹性支座的应变能
2 3 1 F l 2 V2 AF 2 24 EI
系统的总应变能
V V1 V2
2 3 2 3 l3 3 P 3 P P l F l 2 2 [( F P) 3( F )( P F ) 3( F ) ] 6 EI 2 2 48EI 24 EI
则杆元①在总坐标系中的刚度矩阵为
杆元②的局部坐标与总坐标一致，故有
0 A I 0 12 l2 6I 0 E l (2) K l A 0 0 12 I l2 6I 0 l 0 6I l 4I 0 6I l 2I A 0 0 A 0 0 0 12 I 2 l 6I l 0 12 I l2 6I l 0 6I l 2I 0 6I l 4I
M 32
'
2 EI 6 EI 4 EI 2 2 v3 3 l l l
ql 2
N32
'
N 32
6 EI 12 EI 6 EI 2 2 3 v3 2 3 l l l
将其带入整理，联立求得
13ql 3 1 1200EI
ql 2 120EI
8ql 2 v3 300EI
'
（3） （4）
N 32 N32
'
其中
M 12
v A
Pl ql 2 M 21 8 8
'
M 12
4 EI 2 EI 1 2 l l
M
' 21
2 EI 4 EI 1 2 l l
'
M 23 M 32
ql 2 12
M 23
4 EI 6 EI 2 EI 2 2 v3 3 l l l
3
3ql3 3 200EI
进而可得
M 12 6 EI1 13ql 2 0.065ql 2 l 200
2 2 2 EI 4 EI ql 9 ql 1 2 M 21 M 21 M ' 21 0.18ql 2 8 l l 50
M 23 M 21 0.18ql
该系统的变形能主要由两部分组成杆所 具有的变形能 V1 和弹性支座所具有的 变形能 V2 。
杆件所具有的变形能
3P 3Pl 2 2 [( F P) x ( F )l ] ) 3l ( Px l 2 2 d V1 dx 2 x 0 l 2EI 2EI
2 3 l3 3 P 3 P P l 2 2 [( F P) 3( F )( P F ) 3( F ) ] 6 EI 2 2 48EI
12 23
3

A
解：设节点1、2、3的转角位移为 1, 2 , 3 节点3的挠度为 v3 。 根据平衡条件有 节点1 1 ' M 12 M 12 M 12 （ 1 ） 节点2
(M 21 M21' ) (M 23 M 23' ) 0
（2）
节点3
M 32 M32 0
解得
ql 2 32 EI
ql 3 96 EI
ql 4 v3 32 EI
3
3