人教版初三数学上册设计跑道
人教版九年级上册数学教学计划6篇
人教版九年级上册数学教学计划6篇人教版九年级上册数学教学计划 (1)一、指导思想：初三数学是以党和国家的教育教学方针为指导,按照九年义务教育数学课程标准来实施的,其目的是教书育人,使每个学生都能够在此数学学习过程中获得最适合自己的发展。
通过初三数学的教学，提供参加生产和进一步学习所必需的数学基础知识与基本技能，进一步培养学生的运算能力、思维能力和空间想象能力，能够运用所学知识解决简单的实际问题，培养学生的数学创新意识、良好个性品质以及初步的唯物主义观。
二、基本情况:本学期是初中学习的关键时期本学期我担任初三年级三(3)班的数学教学工作，是新课程标准实验教材，如何用新理念使用好新课程标准教材?如何在教学中贯彻新课标精神?这要求在教学过程中的创新意识、引导学生进行思考问题方式都必须不同与以往的教学。
因此，在完成教学任务的同时，必须尽可能性的创设情景，让学生经历探索、猜想、发现的过程。
并结合教学内容和学生实际，把握好重点、难点。
树立素质教育观念，以培养全面发展的高素质人才为目标，面向全体学生，使学生在德、智、体、美、劳等诸方面都得到发展。
为做好本学期的教育教学工作，特制定本计划。
三、教学内容：本学期所教初三数学包括第一章一元二次方程, 第二章二次函数，第三章旋转，第四章圆，第五章概率初步。
其中旋转和圆与几何图形有关的。
一元二次方程，二次函数，这两章是与数及数的运用有关的。
频率初步则是与统计有关。
四、教学目的：在新课方面通过讲授《旋转》和《圆》的有关知识，使学生经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理论证能力，并能运用这些知识进行论证、计算、和简单的作图。
进一步掌握综合法的证明方法，能证明与三角形、平行四边形、等腰梯形、矩形、菱形、以及正方形等有关的性质定理及判定定理，并能够证明其他相关的结论。
在《频率初步》这一章让学生理解频率与概率的关频率与概率系进一步体会概率是描述随机现象的数学模型。
在《一元二次方程》和《二次函数》这两章，让学生了解一元二次方程的各种解法，并能运用一元二次方程和函数解决一些数学问题逐步提高观察和归纳分析能力，体验数学结合的数学方法。
2024年秋新人教版七年级上册数学 第六章 几何图形初步 综合与实践 设计学校田径运动会比赛场地
活动二 规划比赛场地
任务1：径赛项目跑道的设计 （1）一个标准的400m跑道的直道长是多少米？
第一分道的总长度是多少米？ 弯道是什么形状？ 弯道中各分道的长度分别是多少米？
以半径为36m的田径场为例：
（1）一个标准的400m跑道的直道长是多少米？ 一个直道长86.96m，两个直道长173.92m
规划比赛场地时，还有其他问题吗?自己 提出规划学校田径运动会比赛场地时与数学 有关的问题，并加以解决.
活动过程
组建合作 团队
方案构思
方案实施
展示交流
5~8人一组
讨论交流 集思广益
分工合作 完成报价，于老师 和同学一起，通过质疑、辩论、评价，总结成 果，分享体会，分析不足，完成本次综合与实 践活动.
（2）在一个标准的400m跑道内，100m，200m， 400m，800m，1500m等比赛跑道的起点相同吗？为 什么？
100m比赛跑道起点相同，因为400m标准跑道有一条超 过100m的直跑道； 200m，400m，800m，1500m等比赛跑道起点不相同， 因为每个弯道各分道长度不同，导致每个分道总长度不 同，所以起点不同.
r圆2
40 360
r扇形2
143.59m2
任务3：综合考虑其他问题 （1）铅球比赛场地安排在运动场什么位置较好？
铅球比赛场地应设在跑道弯道与足球场端线 之间的半圆区内
（2）跳高比赛场地安排在运动场什么位置更合理？
跳高比赛助跑区是扇形， 安排在运动场半圆区域更 合理.
活动三 自己提出问题并加以解决
（3）在400m跑道内如何规划400m跑比赛和4×100m 接力跑比赛的起跑线？
（4）若学校只有300m跑道，如何规划200m跑比赛 的起跑线？画出示意图，和同学交流.
九年级数学上册《设计跑道》教案、教学设计
（2）新知传授：讲解圆的基本概念、周长和面积计算公式，引导学生将理论知识与实际问题相结合。
（3）实践操作：组织学生分组进行跑道设计，让学生在实际操作中掌握比例尺的应用，提高空间想象力和动手操作能力。
（4）交流展示：各小组展示跑道设计成果，分享设计过程中的经验与收获，教师进行点评和指导。
五、作业布置
1.请学生结合本节课所学知识，尝试设计一个符合以下要求的校园跑道：长度为400米，包含至少两个弯道，比例尺为1:1000。要求学生提交设计图和设计说明，明确跑道的尺寸、比例尺、形状等特点。
2.请学生收集有关跑道设计的资料，如不同运动项目的跑道标准、跑道材质、跑道设计技巧等，并进行整理归纳，以小组为单位进行分享。
3.教师巡回指导，解答学生在讨论过程中遇到的问题，引导学生运用数学知识解决问题。
（四）课堂练习
1.教师提供一份空白图纸，要求学生根据已确定的跑道设计方案，在图纸上绘制出跑道的平面图。
2.学生利用量角器、直尺等工具进行作图，教师密切关注学生的操作过程，及时纠正错误，指导学生完成练习。
3.学生完成作图后，教师组织各小组进行交流，分享设计过程中的心得体会，培养学生的表达能力和团队合作精神。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：理解并掌握圆的周长、面积计算公式，能够将理论知识运用到跑道设计的实际问题中。
难点：将比例尺应用于实际跑道设计中，实现图纸尺寸与实际尺寸的准确转换。
2.重点：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高空间想象力和动手操作能力。
难点：引导学生从多个角度思考问题，培养学生的创新意识和团队合作精神。
（五）总结归纳
九年级数学上册《与设计跑道》教案、教学设计
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结跑道设计中所涉及到的圆的相关知识和数学原理。
2.学生分享自己在课堂练习中的收获和不足，反思在解决问题过程中的思维方法。
3.教师对学生的表现进行点评，强调数学知识在实际生活中的应用，并鼓励学生在课后继续探索与跑道设计相关的数学问题。
五、作业布置
2.学生在解决跑道设计问题时，可能难以将实际问题抽象成数学模型，需要教师引导他们通过观察、分析、归纳等方法，逐步培养这种能力。
3.学生在合作学习过程中，可能存在沟通不畅、分工不明确等问题，需要教师适时引导，帮助他们建立良好的团队协作关系。
4.学生在创新思维方面，可能受到定势思维的影响，需要教师创设情境，激发他们的创新意识，鼓励他们尝试不同的解决方案。
九年级数学上册《与设计跑道》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解圆的基本概念，掌握圆的周长、面积的计算公式。
2.学会运用比例关系解决实际问题，特别是与圆相关的跑道设计问题。
3.掌握圆的对称性质，并能运用到实际设计中，如跑道的布局。
4.能够运用数学语言和符号表达与跑道设计相关的计算过程，提高数学表达能力和逻辑思维能力。
3.学生在讨论中，通过实际操作、计算、绘图等方式，尝试将理论知识应用于跑道设计。
（四）课堂练习，500字
1.教师布置课堂练习，要求学生根据所学知识，独立完成一个简化版跑道的设计。
2.练习过程中，教师观察学生的操作，及时发现问题并进行个别指导。
3.学生在完成练习后，相互交流心得体会，分享解决问题的方法。
4.运用信息技术手段，如计算机软件、网络资源等，辅助学生进行跑道设计的计算和绘图，提高实际操作能力。
（三）情感态度与价值观
人教版九年级上册数学教学计划(6篇)
人教版九年级上册数学教学计划一、学情分析本班学生两极分化比较严重，部分学生数学基础不够好,学习积极性不高,其中女生居多：-等。
部分男生学习习惯不太好，家长也不够重视，如：-等。
由于平时学习不够认真和扎实，我非常担心这些学生对前面所学的一些基础知识记忆不清，掌握不牢。
二、教学内容分析本学期的课本内容只剩下投影和视图这一章，因此在一周内把课本最后一章结束，接下来就是整体初中内容的有计划复习，复习的教学内容大致可分成代数、几何两大部分，其中初中数学教学中的六大版块即：“实数与统计”、“方程与函数”、“解直角三角形”、“三角形”、“四边形”、“圆”是学业考试考中的重点内容。
在《课标》要求下，培养学生创新精神和实践能力是当前课堂教学的目标。
在近几年的中考试卷中逐渐出现了一些新颖的题目，如探索开放性问题，阅读理解问题，以及与生活实际相联系的应用问题。
这些新题型在中考试题中也占有一定的位置，并且有逐年扩大的趋势。
如果想在综合题以及应用性问题和开放性问题中获得好成绩，那么必须具备扎实的基础知识和知识迁移能力。
因此在总复习阶段，必须牢牢抓住基础不放，对一些常见题解题中的通性通法须掌握。
学生解题过程中存在的主要问题：（1）审题不清，不能正确理解题意;（2）解题时自己画几何图形不会画或有偏差，从而给解题带来障碍;（3）对所学知识综合应用能力不够;（4）几何依然对部分同学是一个难点，主要是几何分析能力和推理能力较差。
三、教学计划措施1、认真研读学习课标，紧抓中考方向，了解中考的有关的政策，避免走弯路，走错路。
同时研读《中考说明》，看清范围，研究评分的标准，牢记每一个得分点。
2、扎扎实实打好基础。
重视课本，系统复习。
初中数学基础包括基础知识和基本技能两方面。
现中考仍以基础的为主，有些基础题是课本的原型或改造，后面的大题是教材题目的引伸、变形或组合，复习时应以课本为主。
尤其课后的读一读，想一想，有些中考题就在此基础上延伸的，所以，在做题时注意方法的归纳和总结，做到举一反三。
人教版初三数学上册的教学计划
人教版初三数学上册的教学计划工作计划的本身就是一个框架，只有把工作放在框架里，才能从各个方面进行全盘考虑和分析评估，对有可能出现的情况或问题设置应对预案。
这里给大家分享一些关于人教版初三数学上册的教学计划，方便大家学习。
人教版初三数学上册的教学计划1初三毕业班总复习教学时间紧，任务重，要求高，如何提高数学总复习的质量和效益，是每位毕业班数学教师必须面对的问题。
下面就结合我校近几年来初三数学总复习教学，谈谈本届初三毕业班的复习计划。
一、第一轮复习1、第一轮复习的形式第一轮复习的目的是要“过三关”：(1)过记忆关。
必须做到记牢记准所有的公式、定理等，没有准确无误的记忆，就不可能有好的结果。
(2)过基本方法关。
如，待定系数法求二次函数解析式。
(3)过基本技能关。
如，给你一个题，你找到了它的解题方法，也就是知道了用什么办法，这时就说具备了解这个题的技能。
基本宗旨：知识系统化，练习专题化，专题规律化。
在这一阶段的教学把书中的内容进行归纳整理、组块，使之形成结构，可将其分为以下几个单元：实数、代数式、方程、不等式、函数、统计与概率，交线和平行线、三角形、四边形、相似三角形、解直角三角形、圆等。
复习完每个单元进行一次单元测试，重视补缺工作。
2、第一轮复习应该注意的几个问题(1)必须扎扎实实地夯实基础。
使每个学生对初中数学知识都能达到“理解”和“掌握”的要求，在应用基础知识时能做到熟练、正确和迅速。
(2)中考有些基础题是课本上的原题或改造，必须深钻教材，绝不能脱离课本。
(3)不搞题海战术，精讲精练，举一反三、触类旁通。
“大练习量”是相对而言的，它不是盲目的大，也不是盲目的练。
而是有针对性的、典型性、层次性、切中要害的强化练习。
(4)注意气候。
第一轮复习是冬、春两季，大家都知道，冬春季是学习的黄金季节，五月份之后，天气酷热，会一定程度影响学习。
(5)定期检查学生完成的作业，及时反馈。
教师对于作业、练习、测验中的问题，应采用集中讲授和个别辅导相结合，或将问题渗透在以后的教学过程中等手办法进行反馈、矫正和强化，有利于大面积提高教学质量。
[初++中数学]设计学校田径运动会比赛场地+课件++人教版七年级数学上册
![[初++中数学]设计学校田径运动会比赛场地+课件++人教版七年级数学上册](https://img.taocdn.com/s3/m/a84f4cf6d0f34693daef5ef7ba0d4a7302766caf.png)
铅球投掷场地呈扇形，其中投掷区的角度为40°，则这个 角的余角为（ 50 ）°，补角为（ 140 ）°.
练 习
本节课你的收获是什么？
课 堂 小 结
三选一
任务一 了解学校田径运动会比赛项目的设置情况.查阅有关资料，
了解这些项目场地的国际标准，按照适当的比例在A4纸上画出这项
布
运动项目的场地示意图，并配以适当的数据和文字说明.
活
动
第1跑道长度为400米，
探
每往外一圈，起跑线往
究
前移2πd米.
⑧在一个标准的400m跑道内，200m比赛的起点如何确定？
活
动
探 究
第1跑道长度的一半为200米， 每往外一圈，起跑线往前移πd米.
⑨在一个标准的400m跑道内，800m,1500m比赛的起点如何确定？
活
800米是跑100米后至抢道线就不分
活 动 导 入
练 习
探究二 标准400米跑道的设计要求是什么？
活
①一个标准的400米跑道的直道长是多少米？
阅
动
读
探
②第一分道的总长度是多少米？
资
究
料
③弯道是什么形状？
活
①一个标准的400米跑道的直道长是（ 84.39 ）米，半径为（ 36.5 ）米
动 探
②第一分道的总长是（ 400 ）米
究
③弯道的形状是（ 半圆形 ）
人教版数学新教材七年级上册·综合与实践
设计学校田径运动会比赛场地
了解田径运动会比赛项目及其所需场地设计要求.
活
能画出简单的比赛项目场地示意图.
动
目
能对学校田径运动会比赛场地进行设计与规划.
人教版初三数学上册教案设计
激发学生的兴趣，让学生体会数学来源于生活，生活中处处有数学。
创设情境
……
观察实例（8个生活中的）哪些是必然发生的，哪些是不可能发生的？
让学生对必然现象，不可能现象有个深刻的理解：在一定条件下，事件发生的结果是可以确定的。
口述“必然事件”、“不可能事件”的概念，引导学生举出一些生活中的必然事件、不可能事件。（尤其关注学生的事例很有可能会触摸到随机事件，关注事件发生的条件。）
（１）冠军属于中国吗？必然事件
（２）冠军属于外国选手吗？不可能事件
（３）冠军属于王楠吗？随机事件
2．相信你会很快完成
下列事件中，哪些是必然发生的，哪些是不可能发生的，哪些是随机事件。
（1）通常加热到100℃时，水沸腾；
（2）篮球队员在罚线上投篮一次，未投中；
（3）掷一枚骰子，向上的一面是6点；
（4）度量三角形的内角和，结果是360°；
课题：25.1随机事件
如皋市东陈镇雪岸初级中学冒亚林
教学目标
知识技能
①理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念。
②会根据经验判断一个简单事件是属于必然事件、不可能事件、还是随机事件。
数学思考
①经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程，发展学生从复杂的表象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力。
②从事件的实际情形出发，会简单分析事件发生的可能性。
合作学习，强化概念，巩固新知。让学生自己举例子加深对概念的理解，充分发挥学生的想象力和创新力，有利于学生发散思维的培养；充分肯定学生有利于学生信心的提高。
巩固练习
1．做一做
在某次国际乒乓球单打比赛中，我国运动员张怡宁、王楠经过奋力拼搏，一路过关斩将，会师最后决赛，那么，在比赛开始前,你能确定该项比赛的
实验与探究设计跑道-人教版九年级数学上册教案
实验与探究：设计跑道-人教版九年级数学上册教案一、教学目标1.了解什么是扇形，如何计算扇形的面积；2.熟练掌握三角函数的相关知识，并能够灵活应用；3.学习如何运用数学知识解决实际问题；4.培养学生的动手实践能力和创新意识。
二、教学内容本课程中，我们将围绕设计跑道这一主题，完成以下任务：1.制作一个可以让小球沿着扇形跑道运动的装置；2.通过实验测量小球的速度、加速度和斜率等参数；3.根据实验数据，计算小球在扇形跑道上行驶时的力学特性。
三、教学过程1. 制作扇形跑道装置1.准备材料：PVC塑料板、木棒、胶水、小球等；2.按照下图所示的扇形模板，将PVC塑料板裁剪成相应形状；3.使用胶水将PVC塑料板粘贴到木棒上，组成扇形跑道装置。
2. 进行实验测量1.将扇形跑道装置放置在斜面上，使小球从斜面上滚下，经过扇形跑道装置；2.使用计时器和测量尺等工具，分别测量小球从斜面出发、经过扇形跑道和到达终点所用的时间、距离等参数；3.记录测量结果，并计算出小球的速度、加速度、斜率等参数。
3. 计算力学特性1.利用所学知识，计算出小球在扇形跑道上行驶时的力学特性，如重力加速度、向心加速度、摩擦力等；2.分析测量结果，探究小球在扇形跑道上行驶的物理规律和特点。
四、教学评价1.学生制作的扇形跑道装置要能够正常运行，并测量出相关实验数据；2.学生能够熟练运用三角函数相关知识，并能够灵活应用；3.学生要能够清晰地表达小球在扇形跑道上行驶的物理规律和特点。
五、教学反思本次课程设计结合了实验和探究的方法，让学生在实际操作中深入探究扇形跑道的物理规律，提高了他们的动手实践能力和创新意识。
在教学评价上，要着重关注学生实验的操作能力和结果分析的逻辑思维能力。
在教学过程中，教师要及时给予指导和引导，让学生更好地探究和发现实验结果的意义。
人教版九年级上册数学全册教案(完整版)教学设计
人教版九年级上册数学全册教案（完整版）教学设计21.1 一元二次方程一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程及相关概念．2．掌握一元二次方程的一般形式．3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．【过程与方法】从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念．【情感态度与价值观】通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】1．一元二次方程的概念及其一般形式．2．判断一个数是不是一元二次方程的解．【教学难点】能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P1～P4的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解决下列问题：问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？【解析】设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为__(100－2x )_cm__，宽为__(50－2x )_cm__.列方程，得__(100－2x )(50－2x )＝3600__， 化简，整理，得__x 2－75x ＋350＝0__.①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【解析】全部比赛的场数为__4×7＝28(场)__.设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛一场．因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共__12x (x －1)__场．列方程，得__12x (x －1)＝28__.化简、整理，得 __x 2－x －56＝0__.②归纳总结：方程①②的共同特点是：方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__2__.2．一元二次方程的定义：等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．3．一元二次方程的一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__.其中__ax 2__是二次项，__a __是二次项系数，__bx __是一次项，__b __是一次项系数，__c __是常数项．环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】判断下列方程，哪些是一元二次方程？ (1)x 3－2x 2＋5＝0； (2)x 2＝1；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋35；(4)2(x ＋1)2＝3(x ＋1)； (5)x 2－2x ＝x 2＋1； (6)ax 2＋bx ＋c ＝0.【互动探索】(引发学生思考)要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？【解答】(2)(3)(4)是一元二次方程．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个方程是不是一元二次方程，首先看方程等号两边是不是整式，然后移项，使方程的右边为0，再观察左边是否只有一个未知数，且未知数的最高次数是否为2.【例2】将方程2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＋2＝5(x －1)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数． 【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程的一般形式是怎样的？ 【解答】去括号，得x －2x 2＋2＝5x －5.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：2x 2＋4x －7＝0. 其中二次项系数是2，一次项系数是4，常数项是－7.【互动总结】(学生总结，老师点评)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将二次项化负为正，化分为整．【例3】下面哪些数是方程2x 2＋10x ＋12＝0的解？ －4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4.【互动探索】(引发学生思考)你能类比判断一个数是一元一次方程的解的方法判断一元二次方程的解吗？【解答】将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x ＝－2或x ＝－3是一元二次方程2x 2＋10x ＋12＝0的解．【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断一个数是否是方程的解，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．若相等，则这个数是方程的解，若不相等，则这个数不是方程的解．【活动2】 巩固练习(学生独学) 1．下列方程是一元二次方程的是( D ) A ．ax 2＋bx ＋c ＝0 B ．3x 2－2x ＝3(x 2－2) C ．x 3－2x －4＝0D ．(x －1)2＋1＝02．已知x ＝2是一元二次方程x 2－2mx ＋4＝0的一个解，则m 的值为( A ) A ．2 B ．0 C ．0或2D ．0或－2【教师点拨】将x ＝2代入x 2－2mx ＋4＝0得，4－4m ＋4＝0.再解关于m 的一元一次方程即可得出m 的值．3．把一元二次方程(x ＋1)(1－x )＝2x 化成二次项系数大于0的一般式是__x 2＋2x －1＝0__，其中二次项系数是__1__，一次项系数是__2__，常数项是 __－1__.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例4】求证：关于x 的方程(m 2－8m ＋17)x 2＋2mx ＋1＝0，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．【互动探索】(引发学生思考)已知关于x 的方程，且含有字母系数，要证明该方程是一元二次方程，则该方程的二次项系数必须满足什么条件？【证明】m 2－8m ＋17＝m 2－8m ＋42＋1＝(m －4)2＋1. ∵(m －4)2≥0，∴(m －4)2＋1>0，即(m －4)2＋1≠0， ∴不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．【互动总结】(学生总结，老师点评)要证明不论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只需证明二次项系数恒不为0，即m 2－8m ＋17≠0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．一元二次方程⎩⎨⎧必须满足的三要素⎩⎪⎨⎪⎧ 是整式方程只有一个未知数未知数的最高次数是2一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0a ≠02．判断一个数是否是一元二次方程解的方法：将这个数分别代入方程的左右两边，如果“左边＝右边”，则这个数是方程的解；如果“左边≠右边”，则这个数不是方程的解．请完成本课时对应练习！21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法(第1课时)一、基本目标 【知识与技能】1．理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 2．理解并掌握直接开方法、配方法解一元二次方程的方法． 【过程与方法】1．通过根据平方根的意义解形如x 2＝n (n ≥0)的方程，迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m )2＝n (n ≥0)的方程．2．通过把一元二次方程转化为形如(x －a )2＝b 的过程解一元二次方程． 【情感态度与价值观】通过对一元二次方程解法的探索，体会“降次”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标 【教学重点】掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程． 【教学难点】把一元二次方程转化为形如(x －a )2＝b 的形式．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P5～P9的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．一般地，对于方程x 2＝p ：(1)当p >0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x 1＝__p ，x 2＝__－p __.(2)当p ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝__0__； (3)当p ＜0时，方程__无实数根__. 2．用直接开平方法解下列方程： (1)(3x ＋1)2＝9; x 1＝23，x 2＝－43.(2)y 2＋2y ＋1＝25. y 1＝4，y 2＝－6. 3．(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2； (2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2；(3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋ __1__)2.4．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x ＋n )2＝p 的形式，那么就有： (1)当p >0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x 1＝__－n －p __，x 2＝__－n ＋p __；(2)当p ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝__－n __； (3)当p ＜0时，方程__无实数根__. 环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学) 【例1】用配方法解下列关于x 的方程： (1)2x 2－4x －8＝0； (2)2x 2＋3x －2＝0.【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的实质和关键点是什么？ 【解答】(1)移项，得2x 2－4x ＝8. 二次项系数化为1，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋12＝4＋12，即(x －1)2＝5. 由此可得x －1＝±5， ∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5. (2)移项，得2x 2＋3x ＝2. 二次项系数化为1，得x 2＋32x ＝1.配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＝2516.由此可得x ＋34＝±54，∴x 1＝12，x 2＝－2.【互动总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，转化为开平方所需要的形式，配方法的一般步骤可简记为：一移，二化，三配，四开．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．若x 2－4x ＋p ＝(x ＋q )2，则p 、q 的值分别是( B ) A ．p ＝4，q ＝2 B ．p ＝4，q ＝－2 C ．p ＝－4，q ＝2D ．p ＝－4，q ＝－22．用直接开平方法或配方法解下列方程： (1)3(x －1)2－6＝0 ； (2)x 2－4x ＋4＝5； (3)9x 2＋6x ＋1＝4； (4)36x 2－1＝0； (5)4x 2＝81； (6)x 2＋2x ＋1＝4. (1)x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2. (2)x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. (3)x 1＝－1，x 2＝13.(4)x 1＝16，x 2＝－16.(5)x 1＝92，x 2＝－92.(6)x 1＝1，x 2＝－3.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy )z的值．【互动探索】(引发学生思考)一个数的平方是正数还是负数？一个数的算术平方根是正数还是负数？几个非负数相加的和是正数还是负数？【解答】由已知方程，得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋z＋2＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋z＋2＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝1 36 .【互动总结】(学生总结，老师点评)若几个非负数相加等于0，则这几个数都等于0.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤：一移项→二化简→三配方→四开方请完成本课时对应练习！21.2.2 公式法(第2课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2．会熟练运用公式法解一元二次方程．【过程与方法】复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．【情感态度与价值观】在一元二次方程求根公式的推导过程中，激发学生兴趣，了解解决问题多样性．二、重难点目标【教学重点】求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P9～P12的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．用配方法解下列方程： (1)x 2－5x ＝0； x 1＝0，x 2＝5. (2)2x 2－4x －1＝0. x 1＝1＋62，x 2＝1－62. 2．如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的两根？ x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a.【教师点拨】因为前面解具体数字的一元二次方程已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定．(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0.当b 2－4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x ＝－b ±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的__求根公式__. (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫__公式法__.(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2__个实数根，也可能__没有__实数根． (5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝__b 2－4ac __.当Δ__>__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ__＝__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根；当Δ__<__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根．4．不解方程，判断方程根的情况． (1)16x 2＋8x ＝－3； (2)9x 2＋6x ＋1＝0； (3)2x 2－9x ＋8＝0； (4)x 2－7x －18＝0. 解：(1)没有实数根． (2)有两个相等的实数根． (3)有两个不相等的实数根． (4)有两个不相等的实数根．【教师点拨】将方程化为一般形式，再用判别式进行判断． 环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】用公式法解下列方程： (1)2x 2＋1＝3x ； (2)2x (x －1)－7x ＝2.【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的步骤是怎样的？ 【解答】(1)原方程整理，得2x 2－3x ＋1＝0. 其中a ＝2，b ＝－3，c ＝1，则Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1>0. ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－－3±12×2，即x 1＝12，x 2＝1.(2)原方程整理，得2x 2－9x －2＝0. 其中a ＝2，b ＝－9，c ＝－2，则Δ＝b 2－4ac ＝(－9)2－4×2×(－2)＝97>0. ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a＝－－9±972×2，即x 1＝9＋974，x 2＝9－974.【互动总结】(学生总结，老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值；(2)求出Δ＝b 2－4ac 的值；(3)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a ；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b2a；当Δ<0时，方程没有实数根． 【活动2】 巩固练习(学生独学)1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个实数根 D ．没有实数根2．如果方程5x 2－4x ＝m 没有实数根，那么m 的取值范围是__m ＜－45__.3．用公式法解下列方程：(1)2x 2－6x －1＝0； (2)2x 2－2x ＋1＝0； (3)5x ＋2＝3x 2.解：(1)x 1＝3＋112，x 2＝3－112.(2)方程没有实数根． (3)x 1＝2，x 2＝－13.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，试判断方程(a ＋b )x 2＋2cx ＋(a ＋b )＝0的根的情况．【互动探索】(引发学生思考)三角形的三边满足什么关系？是怎样根据一元二次方程的系数判断根的情况？【解答】∵a 、b 、c 分别是三角形的三边，∴a ＋b ＞0，c ＋a ＋b ＞0，c －a －b ＜0，∴Δ＝(2c )2－4(a ＋b )·(a ＋b )＝4(c ＋a ＋b )(c －a －b )<0，故原方程没有实数根．【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是掌握三角形三边的关系，即两边之和大于第三边，以及运用根的判别式Δ＝b 2－4ac 判断方程的根的情况．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．一元二次方程根的情况⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根Δ<0⇔方程没有实数根2．当Δ≥0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根为x ＝－b ±b 2－4ac2a.请完成本课时对应练习！21.2.3 因式分解法(第3课时)一、基本目标 【知识与技能】1．掌握用因式分解法解一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法． 【过程与方法】通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．【情感态度与价值观】了解因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度，培养学生的应用意识和创新能力．二、重难点目标 【教学重点】运用因式分解法解一元二次方程． 【教学难点】选择适当的方法解一元二次方程．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P12～P14的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．将下列各题因式分解：am ＋bm ＋cm ＝__m (a ＋b ＋c )__； a 2－b 2＝__(a ＋b )(a －b )__； a 2＋2ab ＋b 2＝__(a ＋b )2__； x 2＋5x ＋6＝__(x ＋2)(x ＋3)__；3x 2－14x ＋8＝__(x －4)(3x －2)__. 2．按要求解下列方程： (1)2x 2＋x ＝0(用配方法)； (2)3x 2＋6x －24＝0(用公式法)．解：(1)x 1＝0，x 2＝－12. (2)x 1＝2，x 2＝－4.3．对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解法__.4．如果ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0，这是因式分解法的根据．即：如果(x ＋1)(x －1)＝0，那么x ＋1＝0或 __x －1＝0__，即x ＝－1或__x ＝1__.环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生对学) 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)x 2－3x －10＝0； (2)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34；(3)3x (2x ＋1)＝4x ＋2； (4)(x －4)2＝(5－2x )2.【互动探索】(引发学生思考)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 【解答】(1)因式分解，得(x ＋2)(x －5)＝0. ∴x ＋2＝0或x －5＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝5.(2)移项、合并同类项，得4x 2－1＝0. 因式分解，得(2x ＋1)(2x －1)＝0. ∴2x ＋1＝0或2x －1＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝12.(3)原方程可变形为3x (2x ＋1)－2(2x ＋1)＝0. 因式分解，得(2x ＋1)(3x －2)＝0. ∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.(4)移项，得(x －4)2－(5－2x )2＝0. 因式分解，得(1－x )(3x －9)＝0， ∴1－x ＝0或3x －9＝0， ∴x 1＝1，x 2＝3.【互动总结】(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0；(2)将方程左边进行因式分解，将一元二次方程转化成两个一元一次方程；(3)对两个一元一次方程分别求解．【活动2】 巩固练习(学生独学) 1．解方程： (1)x 2－3x －10＝0； (2)3x (x ＋2)＝5(x ＋2)； (3)(3x ＋1)2－5＝0； (4)x 2－6x ＋9＝(2－3x )2. 解：(1)x 1＝5，x 2＝－2. (2)x 1＝－2，x 2＝53.(3)x 1＝－1＋53，x 2＝5－13.(4)x 1＝－12，x 2＝54.2．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，求该三角形的周长．解：解x 2－12x ＋35＝0，得x 1＝5，x 2＝7.∵3＋4＝7，∴x ＝5，故该三角形的周长＝3＋4＋5＝12. 【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知9a 2－4b 2＝0，求代数式a b －b a －a 2＋b 2ab的值．【互动探索】(引发学生思考)a 、b 的值能求出来吗？a 、b 之间有怎样的关系？怎样将a 、b 的值与已知代数式联系起来．【解答】原式＝a 2－b 2－a 2－b 2ab ＝－2ba.∵9a 2－4b 2＝0，∴(3a ＋2b )(3a －2b )＝0， 即3a ＋2b ＝0或3a －2b ＝0， ∴a ＝－23b 或a ＝23b .当a ＝－23b 时，原式＝－2b－23b ＝3；当a ＝23b 时，原式＝－3.【互动总结】(学生总结，老师点评)要求a b －b a －a 2＋b 2ab的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a 与b 的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，容易发生错误．本题注意不要漏解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.请完成本课时对应练习！*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(第4课时)一、基本目标【知识与技能】掌握一元二次方程的根与系数的关系．【过程与方法】利用求根公式得到一元二次方程的根，推导出根与系数的关系，体现了数学推理的严密性与严谨性．【情感态度与价值观】通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识，培养学生观察思考、归纳概括的能力．二、重难点目标【教学重点】理解一元二次方程的根与系数的关系．【教学难点】利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P15～P16的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解下列方程，并填写表格：方程x1x2x1＋x2x1·x2x2－2x＝00220x2＋3x－4＝0－41－3－4x2－5x＋6＝0235 6(1)用语言描述你发现的规律：__一元二次方程的两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项__.(2)关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，请用式子表示x1、x2与p、q的关系：__x1＋x2＝－p，x1x2＝q__.2．解下列方程，并填写表格：方程x1x2x1＋x2x1·x2(1)用语言描述你发现的规律：__两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比__.(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，请用式子表示x 1、x 2与a 、b 、c 的关系：__x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca__.3．求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2－6x －15＝0； (2)5x －1＝4x 2； (3)x 2＝4； (4)2x 2＝3x .解：(1)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝－15. (2)x 1＋x 2＝54，x 1x 2＝14.(3)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－4. (4)x 1＋x 2＝32，x 1x 2＝0.环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】x 1、x 2是方程2x 2－3x －5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值： (1)x 1＋x 2 ； (2)1x 1＋1x 2；(3)x 21＋x 22； (4)x 21＋3x 22－3x 2.【互动探索】(引发学生思考)根据一元二次方程的根与系数的关系可考虑将所求代数式转化为两根之和与两根之积的关系．【解答】(1)x 1＋x 2＝32，(2)∵x 1x 2＝－52，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－35.(3)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝294.(4)x 21＋3x 22－3x 2＝(x 21 ＋x 22 ) ＋(2x 22 －3x 2 )＝1214.【互动总结】(学生总结，老师点评)解答这类问题一般先将求值式进行变形，使其含有两根的和与两根的积，再求出方程的两根的和与两根的积，整体代入即可求解．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积． (1)x 2－5x －3＝0； (2)9x ＋2＝x 2； (3)6x 2－3x ＋2＝0； (4)3x 2＋x ＋1＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝－3. (2)x 1＋x 2＝9，x 1x 2＝－2. (3)方程无解． (4)方程无解．2．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值． 解：另一根为2，m ＝2.【教师点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x ＝1代入方程先求m ，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答．3．若一元二次方程x 2＋ax ＋2＝0的两根满足：x 21 ＋x 22 ＝12，求a 的值． 解：a ＝±4.【教师点拨】由x 21 ＋ x 22 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12，再整体代入方程的两根之和与两根之积得到答案．【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0，且方程两实根的积为5，求k 的值．【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程有根的条件是什么？一元二次方程两实根的积与什么有关？【解答】∵方程两实根的积为5，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－k ＋1]2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14k 2＋1≥0，x 1x 2＝14k 2＋1＝5，∴k ≥32，k ＝±4.故当k ＝4时，方程两实根的积为5.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的值应满足Δ≥0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1、x 2和系数的关系如下：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.请完成本课时对应练习！21.3 实际问题与一元二次方程一、基本目标 【知识与技能】1．会根据具体问题中的数量关系列一元二次方程并求解． 2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理． 【过程与方法】经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学建模作用． 【情感态度与价值观】体会数学来源于实践，反过来又作用于实践，增强数学的应用意识． 二、重难点目标 【教学重点】列一元二次方程解决实际问题的一般步骤． 【教学难点】利用一元二次方程解决实际问题．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P19～P21的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1. 有一人患了感毛，经过两轮传染后共有121人患了感冒，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有__1＋x__人患了感冒，第二轮后共有__1＋x＋x(x＋1)__人患了感冒．可列方程 __1＋x＋x(x＋1)＝121__.解方程，得x1＝__－12(不合题意，舍去)__,_x2＝__10__.所以平均一个人传染了__10__个人．2．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元．依题意，得__5000(1－x)2＝3000__.解得__x1≈0.23，x2≈1.77__.根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__23%__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.依题意，得__6000(1－y)2＝3600__.解得__y1≈0.23，y2≈1.77(不合题意，舍去)__.所以两种药品成本的年平均下降率 __相同__.提示：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】某林场计划修一条长750 m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6 m2，上口宽比渠深多2 m，渠底比渠深多0.4 m.(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？(2)如果计划每天挖土48 m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？【互动探索】(引发学生思考)(1)怎样用渠深表示上口宽和渠底，怎样计算梯形面积？(2)渠道的体积怎样计算？【解答】(1)设渠深为x m，则渠底为(x＋0.4)m，上口宽为(x＋2)m.依题意，得12(x ＋2＋x ＋0.4)x ＝1.6，整理，得5x 2＋6x －8＝0， 解得x 1＝45＝0.8，x 2＝－2(舍去),∴上口宽为2.8 m ，渠底为1.2 m.(2)如果计划每天挖土48 m 3，需要1.6×75048＝25(天)才能挖完渠道．【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是掌握梯形面积的计算方法，正确用未知数表示出相关数量．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是( C ) A ．2和4 B ．6和8 C ．4和6D ．8和102．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x 个小分支， 则1＋x ＋x ·x ＝91.解得x 1＝9或x 2＝－10(舍去)．故每个支干长出9个小分支．3．如图，要设计一幅长30 cm 、宽20 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的14，应如何设计彩条的宽度？(精确到0.1 cm)解：横彩条宽为1.8 cm ，竖彩条宽为1.2 cm.【教师点拨】设横彩条的宽度为3x cm ，则竖彩条的宽度为2x cm.根据题意，得(30－4x )(20－6x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×20×30.解得x 1≈0.61或x 2≈10.2(舍去)． 4.用一根长40 cm 的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm 2.(1)此长方形的宽是多少？(2)能围成一个面积为101 cm 2的长方形吗？若能，说明围法；若不能，说明理由； 解：(1)5 cm.(2)不能．设宽为x cm ，则长为(20－x ) cm ，由x (20－x )＝101，即x 2－20x ＋101＝0，由Δ＝202－4×101＝－4＜0，∴方程无解，故不能围成一个面积为101 cm 2的长方形．【活动3】拓展延伸(学生对学)【例3】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.【互动探索】(引发学生思考)AB与BC之间的数量关系是怎样的？BC还应满足什么条件？【解答】设AB＝x m，则BC＝(50－2x)m.根据题意，得x(50－2x)＝300.解得x1＝10，x2＝15，当x＝10时，BC＝50－10－10＝30＞25，则x1＝10不合题意，舍去．故可以围成AB长为15 m，BC长为20 m的矩形花园．【互动总结】(学生总结，老师点评)利用一元二次方程解决实际问题时，要注意检验方程的根是否符合实际问题．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(2)“列”，即根据题中的等量关系列方程；(3)“解”，即求出所列方程的根；(4)“检验”，即验证是否符合题意；(5)“答”，即回答题目中要解决的问题．请完成本课时对应练习！22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数(第1课时)一、基本目标 【知识与技能】1．理解并掌握二次函数的概念，能判断一个给定的函数是否为二次函数． 2．根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，体会函数的模型思想． 【过程与方法】经历与一次函数类比学习的过程，学会与人合作，并获得代数学习的一些常用方法：类比法、合情推理、抽象概括等．【情感态度与价值观】通过对几个特殊的二次函数的讲解，体验数学中的探索精神，初步体会二次函数的数学模型．二、重难点目标 【教学重点】 二次函数的概念． 【教学难点】能根据已知条件写出二次函数的解析式．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P28～P29的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．正比例的函数的表达式为y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)；一次函数的表达式为__y ＝ax ＋b __(a 、b 为常数，且a ≠0)．2．二次函数的概念：一般地，形如__y ＝ax 2＋bx ＋c __(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为__a 、b 、c __.3．下列函数中，是二次函数的有__①②③__.①y ＝(x －3)2－1；②y ＝1－2x 2；③y ＝13(x ＋2)(x －2)；④y ＝(x －1)2－x 2.4．二次函数y ＝－x 2＋2x 中，二次项系数是__－1__，一次项系数是___2____，常数项是___0____.5．半径为R 的圆，半径增加x ，圆的面积增加y ，则y 与x 之间的函数关系式为__y ＝πx 2＋2πRx (x ≥0)__.环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】已知关于x 的函数y ＝(m ＋1)xm 2－m 是二次函数， 求m 的值．。
新人教版九年级数学上册《24章 圆 24.4 弧长和扇形面积 实验与探究 设计跑道》公开课课件_27
A
B
O
A
B
O
S 扇形 形
nR 22
360
l nR
180
1
S 扇形
lR 2
（1）当已知弧长L和半径R， 求扇形面
积时，应选用
S扇形
1 2
LR
（2）当已知半径和圆心角的度数，求扇
形面积时，应选用
S 扇形
nR 2
360
例2：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径
B●
B
B1
B1
B2
F'
BA
60°
1
BC
DE
B FB2
2
在一块空旷的草地上有一根柱 子，柱子上栓着一条长3m的绳 子，绳子的一端栓着一只狗。
（1）这只狗的最大活动区域有 多大？ S圆=9πm2
（2）如果这只狗只能绕柱 子转过no 的角，那么它的最 大活动区域是一个什么图形 呢?
no
3m
如下图，由组成圆心角的___两__条__半__径___和圆
（5） 半 角n.°.所径.的对为.圆.的R.,心弧n角°长所的公对圆式的心是弧：长是l __l __3n6_n10__28_R_0R__n1_8R0_
试一试，看看谁最棒!
（6）半径为 4,90°圆心角所对的弧长是多少？
l 90 4 2
180
例题剖析：
例1:制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长
是6cm，其中水面高3cm，求截面上有水部分的面积。
（结果取整数）。
分析：有水部分的面积 = S扇- S△ 解：连接OA、OB，过点O作OC垂直AB，
垂足为D， 交 AB 于点C，则
人教版数学九年级上册24.4实验与探究(教案)跑道教案
1.理论介绍：首先，我们要了解速度、时间和距离的基本概念。速度是距离与时间的比值，它是描述物体运动快慢的重要指标。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设同学们在操场上跑步，记录下不同速度下的跑步时间，பைடு நூலகம்们如何通过这些数据来计算平均速度，以及预测跑到特定距离所需的时间。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了速度、时间和距离的基本概念，以及它们在实际跑步中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了《实验与探究：跑道教案》，通过这个主题，我发现学生们对数学在实际生活中的应用产生了浓厚的兴趣。他们积极参与实验和讨论，这让我感到很高兴。但在教学过程中，我也注意到了一些问题。
首先，对于速度、时间和距离这些基本概念的理解，大部分同学能够掌握，但在将这些概念应用到实际问题中时，有些同学还是会感到困惑。我意识到，需要通过更多的生活实例来帮助学生建立起这些数学概念与实际情境的联系。
-难点四：小组合作中的沟通和协作。学生在小组合作时可能不知道如何有效地分配任务，交流想法，以及整合结论。
-举例：教师需要引导学生如何在小组内部分工合作，如何记录和分享实验数据，以及如何共同得出结论。
在教学过程中，教师应针对以上重点和难点，采用直观演示、案例分析、小组讨论等多种教学方法，帮助学生透彻理解核心知识，并突破学习难点。
2.通过实验探究，发展学生的数据分析能力，学会从数据中提取信息，建立数学模型，培养逻辑推理和数学抽象的核心素养。
2024-2025学年初中数学七年级上册(人教版)教案综合与实践设计学校田径运动会比赛场地
综合与实践设计学校田径运动会比赛场地教学目标课题综合与实践设计学校田径运动会比赛场地授课人素养目标1.了解环形跑道的基本结构，能用数学的思维分析要素之间的关系并发现规律，能综合运用几何、代数知识来计算并确定不同情况下环形跑道的起跑线位置.2.了解田赛各项目比赛中的各项要求，提高学生的应用意识，培养学生跨学科运用知识的能力.教学重点通过合作探究，了解不同运动项目场地设计的要求，为日后举行的田径运动会规划比赛场地.教学难点1.了解400 m标准跑道各项特征及各赛程比赛跑道起点的情况.2.了解田赛各项目比赛对于场地的各项要求.活动难点1.4×100 m接力跑比赛起跑线的划定.2.在300 m跑道内划定200 m跑比赛的起跑线.教学活动教学步骤师生活动活动一：情景导入，引发思考【情境引入】在400 m比赛中，为什么运动员站在不同的起跑线上？【教学建议】教师引导学生观察对比两图，初步了解不同赛程可能导致起跑点的位置不同.设计意图通过图片形式，引发学生对于起跑线的思考.活动二：逐层设问，完成任务任务1径赛项目跑道的设计任务准备标准跑道由两条直的跑道和两个半圆形跑道组成，两个半圆形跑道合起来就是一个圆.三条重要的跑道数据如下：任务解决问题1（1）上面给出了一个标准的400 m跑道的直道长，说一说第一分道的总长度是多少米（π取3.14159）？第一分道的总长度：圆的周长＝πd＝3.14159×72.6≈228.08（m），跑道全长＝圆的周长＋直道长×2≈228.08＋85.96×2＝400（m）.【教学建议】这里教师注意尽量结合图示让学生说出哪个是直道、弯道、分道，分道排列是怎样的，为便于计算，直接给出了较为重要的数据，以便于解决问题.设计意图这里设置了一个任务准备，目的是要学生了解跑道的基本构造，便于解决图中的一些问题.教学步骤师生活动规律：每一个外侧的弯道都比与其相邻的内侧弯道长约7.85 m.问题2在一个标准的400 m跑道内，100 m，200 m，400 m，800 m，1500 m等比赛跑道的起点相同吗？为什么会出现这种情况？不相同.因为各赛程所经过的弯道数有差异.问题3如何在学校400 m跑道内划定400 m跑比赛的起跑线？4×100 m接力跑比赛的起跑线又该如何划定？画出它们的示意图.4×100 m接力跑比赛可类比进行，示意图略.问题4若学校只有300 m跑道，如何划定200 m跑比赛的起跑线？画出示意图.参考数据：直道67.38 m，分道宽1.22 m，弯道直径52.6 m，类比问题3进行确定，起跑线位置应设置在第二直、曲分界线前的直道上.第一分道起跑线在第二直、曲分界线前17.38 m处，其余各分道起跑线依次前移3.83 m.示意图略.【教学建议】计算分道时注意直道有两个，所以要乘以2.圆的周长实际就是两个半圆弯道长度之和.设计意图任务2田赛项目场地的设计问题1跳高比赛的场地设置有什么具体要求？问题 2 跳远场地中长方形沙坑的长与宽分别是多少米？助跑区的设计有什么要求？选择适当比例画出跳远场地的示意图.沙坑必须长6～9 m（取决于它的近端和起跳线之间的距离），宽至少为2.75 m.助跑道从起点至起跳线的长度至少40 m，助跑道宽（1.22±0.01）m.示意图如下：【教学建议】这里教师还可补充：（1）跳高架立柱与落地区之间至少应有10 cm空隙.跳高架的宽度应短于海绵包的长度.起跳区助跑弧线的半径在条件允许情况下，最好到达25 m以上.（2）跳远中起跳线与落地近端的距离：跳远为1～3 m，三级跳远为男子不少于13 m，女子不少于11 m.通过提问，让学生逐步明确跳高、跳远、铅球三项田赛的具体设置.教学步骤师生活动问题3 铅球场地由扇形的一部分与圆组成，圆的半径是多少米？扇形所在圆的半径是多少米？场地的占地面积约是多少平方米？选择适当比例画出铅球场地的示意图.铅球场地由扇形与圆组成，圆的半径是1.067`5 m，扇形所在圆的半径是25 m，场地（不包含安全区）的占地面积约是195 m2.示意图如下：设计意图任务3各比赛项目场地的合理安排问题1铅球比赛场地比较特殊，安排在运动场什么位置较好？铅球因具有一定的危险性（扇形落地区周围2 m设置为安全区），落地区应设置在跑道运动场内，投掷圈应设置在足球场端线以外.问题2跳高比赛时需要助跑，为尽量不影响其他项目同时比赛，比赛地点安排在运动场什么位置更合理？跳高因需要助跑，场地宜设置在跑道直道的外侧，也可设在半圆区内.问题3请你将铅球、跳高、跳远在图中画出你安排的示意图.图中跑道及数据不用画出，重点画出跳远区、铅球区和跳高区这几个位置.【教学建议】这里重在引导学生思考如何进行田赛项目场地在跑道内的布局，关键是不能占用跑道线，铅球的扇形区域、跳高的落地区域不能在靠近跑道一侧.通过安排田赛项目的空间布局，锻炼学生的统筹布局能力.活动三：随堂训练，课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，请学生回答问题：1.确定径赛跑道起跑线划定的关键是什么？2.不同类型跑道各赛程比赛的起跑线是否相同？3.田赛中有什么场地设置要求？4.田赛场地应该怎样合理布局在径赛场地中？【作业布置】根据活动中各种提问及解答，分组制作一份完整的研究报告.板书设计教学反思本节课是一堂综合与实践课，旨在以解决实际问题为重点.本节课中，选用了学校田径运动场这一典型实际背景，紧扣了学生学习的实际情况.虽说这一场景学生较为熟悉，但实际教学中，学生对于各种情况下起跑线的确定还是存在认识不足，很多事项事先没有接触过.所以实际教学时，应尽可能采用与图示结合的方式，必要时，需要带学生到操场实地进行现场学习.总之，这节课，需要充分利用各种工具、场地进行学习才能起到比较好的效果.。
初三上册数学课本人教版
初三上册数学课本人教版初三上册数学课本的目录大家了解过吗？在暑假提前先浏览下学期要学内容，对新学期要学的知识有个大概的了解。
以下是店铺搜集整理的人教版九年级数学上册课本目录。
人教版九年级数学上册目录第二十一章二次根式21.1 二次根式21.2 二次根式乘除阅读与思考海伦──秦九韶公式数学活动小结复习题21第二十二章一元二次方程22.1 一元二次方程22.2 降次──解一元二次方程阅读与思考黄金分割数22.3 实际问题与一元二次方程观察与猜想发现一元二次方程根与系数的关系数学活动小结复习题22第二十三章旋转23.1 图形的旋转23.2 中心对称信息技术应用探索旋转的性质23.3 课题学习图案设计数学活动小结复习题23第二十四章圆24.1 圆24.2 与圆有关的位置关系24.3 正多边形和圆阅读与思考圆周率π24.4 弧长和扇形面积实验与研究设计跑道数学活动小结复习题24第二十五章概率初步25.1 概率25.2 用列举法求概率阅读与思考概率与中奖25.3 利用频率估计概率阅读与思考布丰投针实验25.4 课题学习键盘上字母的排列规律数学活动小结复习题25初三数学的学习方法一、上课听懂了，下课会做了，考试出错了这样的一个问题，也是老生常谈的问题，多出现在理科学科上。
特别是数理化学科。
为什么平时能听懂也会做，但是一上考场就耸了呢?这是因为：1、上课听懂了——从已知的结果推导出整个思路，比凭空产生思路容易。
这个道理非常浅显，“接受”远远比“产生”容易的多。
“听懂了”容易，因为老师讲的是普通话，甚至是学生生源地的方言，听众易懂，再加上老师们大都会采用“通俗易懂、潜移默化、循序渐进、深入浅出”等等的教学艺术，听懂不是难事，因此学生和老师首先都要确信一点——没有听不懂的学生。
“听懂而不会”是缺乏思考和动手能力，是思维上的欠缺而不是能力上的不足。
思维上的欠缺指的是对问题思考的主动性不足，不善于分析条件和问题之间的关联性，虽然一听就懂，但是光听而不改变被动灌输的特性，是不会进步的。
初三上册人教版数学
初三上册人教版数学
初三上册人教版数学主要包括以下几个章节：
1. 第二十一章一元二次方程：这一章主要介绍了一元二次方程的概念、一
般形式、解法及其应用。
其中，解一元二次方程的方法包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
通过这一章的学习，学生可以更好地理解一元二次方程的基本性质和解题技巧，提高解决实际问题的能力。
2. 第二十二章二次函数：这一章主要介绍了二次函数的概念、图像和性质。
学生需要掌握二次函数的解析式、开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等。
此外，还需了解二次函数的应用，如最大值和最小值的求法，以及与一元一次方程根的关系。
3. 第二十三章旋转：这一章主要介绍了旋转的基本概念、性质和常见的旋
转图形。
学生需要了解旋转中心、旋转角度和旋转方向对图形的影响，掌握旋转的基本性质，如对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角等。
此外，还需了解一些常见的旋转图形，如正方形、矩形、等边三角形等。
4. 第二十四章圆：这一章主要介绍了圆的基本性质、圆周角定理、点和圆
的位置关系、直线和圆的位置关系等。
学生需要掌握圆心角和圆周角的概念和性质，理解圆上三点确定一个圆的定理，了解点和圆的位置关系以及直线
和圆的位置关系。
此外，还需了解正多边形和圆的关系，掌握弧长和扇形面积的计算方法。
总的来说，初三上册人教版数学的内容比较丰富，需要学生掌握的知识点也比较多。
因此，在学习过程中，学生需要注重基础知识的掌握，多做练习题，提高解题能力和思维灵活性。
同时，还需要注意各章节之间的联系和整合，建立完整的知识体系。
标准跑道小学数学教案
标准跑道小学数学教案
教学重点：本节课主要教授加减法运算和整数的概念和运算。
教学步骤：
一、引入
1. 引导学生回顾上节课所学的内容，通过口算练习复习加减法。
2. 提出本节课的学习目标和重点内容。
二、讲解
1. 讲解加法和减法的基本概念和符号表示。
2. 通过示范和练习，教授加法和减法的运算技巧和方法。
3. 引导学生理解整数的概念，并进行整数的加减法运算练习。
三、练习
1. 以写算式和口算题的形式进行练习，让学生巩固加减法运算技能。
2. 设计一些应用题，让学生运用所学知识解决实际问题。
四、总结
1. 对本节课所学内容进行总结，强调加减法的重要性和应用。
2. 鼓励学生解决问题的积极性和创造性。
五、作业
布置适量的练习题，巩固学生所学内容，为下节课的学习做好准备。
教学反思：教师在教学过程中要注重引导学生思考和解决问题的能力培养，注重巩固基础知识的同时培养学生的创新意识和思维能力。
初中数学人教版九年级上册设计跑道 课件PPT
s﹦100 s﹦100 s﹦100 s﹦100 s﹦100 s﹦100 s﹦100
L﹦200+2π r1
﹦400米
L﹦
L﹦
L﹦
L﹦
L﹦
L﹦
L﹦
• 6、分组讨论，得出结论：
• 结论1：400米跑道的起跑点和终点重合；2道 起跑点的1道提前6.28米；3道起跑点比2道起 跑点提前6.28米，以此类推。
３.展示任务：
二、探究新知：
• 1、400米的跑道，如果比赛的起点和终点 同在一条线上，显然，外侧跑道的路径要 长一些，对内侧跑道上的运动员较为有利。 因此，为了公平比赛，在外侧跑道的运动 员起跑点必须前移。
• 2.每次前移多少米？如何计算？应该考虑什 么问题？
• 2、分组讨论如下问题：
• 问题1:圆的半径对于确定超前起跑点有什么 作用？
• ______米 • 跑道2比400米多了多少米？应该提前多少米起
跑？
• 4、由此类推，3至8跑道应该如何设计？
• 5、动手完成表格，计算多跑的距离，确 定起跑线。
跑道1
跑道2
宽1米，内圈半径为r米的跑道 跑道3 跑道4 跑道5 跑道6
跑道7
跑道8
r1﹦ s﹦100
r2﹦r1+1 r3﹦
r4﹦ r5﹦ r6﹦ r7﹦ r8﹦
三、明晰与探究：
• 1、跑道长 ＝ 两条直道＋ 两条弯道＝ 400米 • （直道为100米，则两条直道 长＝ 200米。） • 2、弯道是什么图形？如何计算它的长?
• （圆弧形，两条弯道 ＝ 2 πr ）
• 3、跑道1的总长 ＝ 200米 ＋2πr1 ＝ 400米
• 跑道2的总长 ＝ 200米＋ 2π（ r1 ＋1 ）＝
实验与探究设计跑道-人教版九年级数学上册教案
实验与探究设计跑道-人教版九年级数学上册教案教学目的本节课的教学目的为：1.通过设计跑道实验活动，让学生掌握并应用平面图形的基本性质及相关定理。
2.提高学生的实证研究意识和解决问题的能力。
3.培养学生合作学习能力和探究精神。
教学内容本课主要围绕以下内容展开：1.跑道设计概述2.立体图形的投影3.平面图形的基本性质及相关定理教学重点和难点教学重点1.跑道设计实验活动2.平面图形基本性质及相关定理的掌握应用教学难点1.立体图形的投影2.如何在探究中获得结论教学方法本节课采用“设计实验活动-小组合作探究-全班讨论解决问题-师生互动评价”的教学模式，充分发挥学生的主体性和积极性。
教学过程步骤一：课前导学本节课前，教师可提前准备课前视频、文本材料等方式，让学生先了解跑道的设计理念和技巧。
同时，教师可预留少量时间，引导学生思考：如果让你来设计一个全新的跑道，你会如何着手？步骤二：实验活动设计1.教师引导学生讨论并明确设计跑道的目标、规格、材料等内容。
2.学生进行小组合作，根据明确的目标和规格要求，自行设计跑道，并制作相关制图，包括投影和平面图。
3.学生进行实验测试，通过实验测试来检验设计的合理性。
步骤三：结果分享与解决问题1.小组分享经验和结果，让其他小组了解和学习。
2.整个班级共同讨论解决实验过程中遇到的问题，如何解决这些问题，并形成全班结论和应用建议。
步骤四：总结回归1.学生回归教学目标，总结应用平面图形的基本性质及相关定理在实验中的重要性。
2.教师对学生的个人表现、小组合作情况、探究技巧和实验结果进行评价。
教学评价教学评价主要是针对学生掌握平面图形基本性质及相关定理和应用能力的评价，以及探究精神和合作学习能力的评价。
教学延伸教师可要求学生继续探究和研究跑道的应用，如何更好地设计跑道，以及如何应用平面图形和立体图形的相关知识进行设计和改造。
同时，教师也可引导学生探究其他实际问题，在探究中不断提高应用数学知识解决问题的能力和灵活性。
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三、明晰与探究：
• 1、跑道长 ＝ 两条直道＋ 两条弯道＝ 400米 • （直道为100米，则两条直道 长＝ 200米。） • 2、弯道是什么图形？如何计算它的长?
• （圆弧形，两条弯道 ＝ 2 πr ）
• 3、跑道1的总长 ＝ 200米 ＋2πr1 ＝ 400米
• 跑道2的总长 ＝ 200米＋ 2π（ r1 ＋1 ）＝
• ______米 • 跑道2比400米多了多少米？应该提前多少米起
跑？
• 4、由此类推，3至8跑道应该如何设计？
• 5、动手完成表格，计算多跑的距离，确 定起跑线。
跑道1
跑道2
宽1米，内圈半径为r米的跑道 跑道3 跑道4 跑道5 跑道6
跑道7
跑道8
r1﹦ s﹦100
r2﹦r1+1 r3﹦
r4﹦ r5﹦ r6﹦ r7﹦ r8﹦
• 学习重点：1、会计算跑道的的总长。 2、确定超过的距离，从而确定起跑线。 3、设计400米跑道。 • 学习难点：明确起跑线的确定与圆的半径， 跑道的宽度，直的跑道长度有关。
• 学情分析：1、九年级学生已经建立运动会 实践体验和感受，具备较强的观察、分析、 操作及探究能力。
•
2、学生之前已经学过圆，弧长公
３.展示任务：
二、探究新知：
• 1、400米的跑道，如果比赛的起点和终点 同在一条线上，显然，外侧跑道的路径要 长一些，对内侧跑道上的运动员较为有利。 因此，为了公平比赛，在外侧跑道的运动 员起跑点必须前移。
• 2.每次前移多少米？如何计算？应该考虑什 么问题？
• 2、分组讨论如下问题：
• 问题1:圆的半径对于确定超前起跑点有什么 作用？
式等知识，能理解半径的改变对弧长的影
响。另外，学生对跑道的画法规范，跑道
宽等知识尚且不知，想知道如何确定400米
起跑线，需知道1道至8道的长。
一．激发兴趣，导入新课
１．你知道田径场的跑道是由什么几何图形 构成的吗？
２.提出问题：
• 在田径比赛中，在进行400米比赛时，运动 员的起跑点并不处在同一条线上，为什么 会这样呢？
s﹦100 s﹦100 s﹦100 s﹦100 s﹦100 s﹦100 s﹦100
L﹦200+2πr1
﹦400米
L﹦
L﹦
L﹦
L﹦
L﹦
L﹦
L﹦
• 6、分组讨论，得出结论：
• 结论1：400米跑道的起跑点和终点重合；2道 起跑点的1道提前6.28米；3道起跑点比2道起 跑点提前6.28米，以此类推。
• 结论2：弯道半径越大，外道超前起跑点越提 前。
• 3、100米比赛设置在弯道上比，你认为对 几道选手最有利？
•通过进一步探究，学生深入思考了半径对确 定提前起跑点的作用，认识到200米跑的起跑 点与400米的起跑点是 一样的;而100米跑设置
在弯道上涉及物理中的圆周运动，选手速度
会受向心力的作用而不如直道上跑得快，同 时学生也可以结合亲身体验100米若设置在弯 道上，选择最外道有利。
• 问题2：跑道的宽度对于确定超前起跑点有 什么作用？
• 问题3：直的跑道的长度对于确定超前起跑 点有什么作用？
• 3、展示任务：
• 设计一条8道的跑道每条跑道由两条直的跑 道和两端是半圆形的跑道组成，每条跑道 宽1米，内侧跑道长度为400米，画出每条 跑道内的起跑点，使得每个运动员经过400 米比赛后到达同一终点线。
设计跑道
宜城市李当中学 连远慧
• 学习内容： 人教版九年级上册第117页实验与 探究《设计跑道》
• 知识与技能：能够利用弧长公式求出跑道的长， 从而正确设计跑道。
• 过程与方法：通过400米跑道设计的探究，培 养观察、思考、分析的能力，提高解决问题的 能力，渗透应用意识和学习思维。
• 情感态度与价值观：在学习活动中，激发参与 意识，自主探究，合作交流完成问题的解答， 培养自主学习意识，增强自信心。
• 结论3：跑道的宽度决定下一道弯道半径的长，
即 rn ＝ rn－1＋ d
（d为道宽）
• 结论4：直跑道越长，各道的起跑点相差越小。
四、进一步探究：
• 1、一个标准田径场的400米跑道直道长 84.39米，跑道宽1.22 米，又该如何设计起 跑线？每条跑道应提前多少米？
• 2、200米跑起跑线的画法与400米的起跑 点是一样的吗？各道的提前起跑点一样吗？