综合题中的求线段长度问题
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2017年08月11日风的初中数学组卷
一.解答题(共21小题)
1.如图,抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点B,连结AB,点C(6,)在抛物线上,直线AC与y轴交于点D.
(1)求c的值及直线AC的函数表达式;
(2)点P在x轴正半轴上,点Q在y轴正半轴上,连结PQ与直线AC交于点M,连结MO并延长交AB于点N,若M为PQ的中点.
①求证:△APM∽△AON;
②设点M的横坐标为m,求AN的长(用含m的代数式表示).
2.如图1,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4,矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH⊥EO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出l的最大值;(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以M,
A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
3.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其对称轴交抛物线于点D,交x轴于点E,已知OB=OC=6.
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)连接BD,F为抛物线上一动点,当∠FAB=∠EDB时,求点F的坐标;(3)平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点,以线段MN为对角线作菱形MPNQ,当点P在x轴上,且PQ=MN时,求菱形对角线MN的长.
4.如图,在平面直角坐标系中,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A,B两点,其中点A,C的坐标分别为(1,0),(﹣4,0),抛物线的顶点为点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点(不与A,B重合),过点E 作x轴的垂线,交抛物线于点F,当线段FE的长度最大时,求点E的坐标;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点P,使△PEF是以EF为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
5.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).
(1)求抛物线的解析式及点B坐标;
(2)若点M是线段BC上一动点,过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F,交抛物线于点E.求ME长的最大值;
(3)试探究当ME取最大值时,在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M,F,B,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,试说明理由.
6.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(,)和B (4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
7.如图已知二次函数图象的顶点为原点,直线的图象与该二次函数的图象交于A点(8,8),直线与x轴的交点为C,与y轴的交点为B.
(1)求这个二次函数的解析式与B点坐标;
(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A,B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点,与x轴交于点E.设线段PD的长为h,点P的横坐标为t,求h与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;(3)在(2)的条件下,在线段AB上是否存在点P,使得以点P、D、B为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
8.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线y=﹣x+n与x轴、y 轴分别交于B、C两点,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过C、B两点,交x轴于另一点A,连接AC,且tan∠CAO=3.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是射线CB上一点,过点P作x轴的垂线,垂足为H,交抛物线于Q,设P点横坐标为t,线段PQ的长为d,求出d与t之间的函数关系式,并写出相应的自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当点P在线段BC上时,设PH=e,已知d,e是以y
为未知数的一元二次方程:y2﹣(m+3)y+(5m2﹣2m+13)=0(m为常数)的两个实数根,点M在抛物线上,连接MQ、MH、PM,且.MP平分∠QMH,求出t值及点M的坐标.
9.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B(A点在B 点的左侧)与y轴交于点C.
(1)如图1,连接AC、BC,若△ABC的面积为3时,求抛物线的解析式;(2)如图2,点P为第四象限抛物线上一点,连接PC,若∠BCP=2∠ABC时,求点P的横坐标;
(3)如图3,在(2)的条件下,点F在AP上,过点P作PH⊥x轴于H点,点K在PH的延长线上,AK=KF,∠KAH=∠FKH,PF=﹣4a,连接KB并延长交抛物线于点Q,求PQ的长.
10.如图,直线AB分别交y轴、x轴于A、B两点,OA=2,tan∠ABO=,抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点.
(1)求直线AB和这个抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,求△ABD的面积;
(3)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时,MN的长度l有最大值?最大值是多少?
11.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点B,
(1)求抛物线的解析式;
(2)求P在第一象限的抛物线上,P点的横坐标为t,过点P向x轴做垂线交直线BC于点Q,设线段PQ的长为m,求m与t之间的函数关系式并求出m 的最大值;
(3)在(2)的条件下,抛物线上一点D的纵坐标为m的最大值,连接BD,在抛物线是否存在点E(不与点A,B,C重合)使得∠DBE=45°?若不存在.请说明理由;若存在请求E点的坐标.
12.已知抛物线l:y=(x﹣h)2﹣4(h为常数)