事件的相互独立性 课件
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高一下学期数学人教A版必修第二册10.2事件的相互独立性课件
1 2
,
3 4
,
3 4
，将它们中某两个元件并联后再和第三个
元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率
是_______.
解：记 A “T1 正常工作”， B “T2 正常工作”， C “ T3 正常工作”，
则 P(A) 1 , P(B) P(C) 3 ，
23 60
5 12
9 10
.
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响． （1）求 3 人同时被选中的概率；
（2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法二：“3 人中至少有 1 人被选中”的对立事件是“3 人都没有被选中”， 所以 3 人中至少有 1 人被选中的概率为
1 3
1 10
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响． （1）求 3 人同时被选中的概率； （2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法一：3 人中有 2 人被选中的概率为
P2 P(ABC ABC ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC) 2 3 (1 1) 2 (1 3) 1 (1 2) 3 1 23 5 4 3 5 4 3 5 4 3 60
（1）两人都中靶； （2）恰好有一人中靶； （3）两人都脱靶. （4）至少有一人中靶.
解：（3）事件“两人都脱靶” AB ，所以 P( AB) P( A)P(B) 0.2 0.1 0.02
（4）方法 1：事件“至少有一人中靶” AB AB AB ，且 AB, AB 与 AB 两两互斥，
人教A版10.2事件的相互独立性课件(共16张)
P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝ P(AC)＝P(“正正”)=0.25=P(A)P(C) P(BC)＝P(“正正”)=0.25=P(B)P(C)
巩固：事件相互独立性的判断
【2021年·新高考Ⅰ卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有
放回的随机取两次，每次取1个球. 甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，
P(丁) 1 6
C.乙与丙相互独立
P(乙丙) 1 36
P(丙丁) 0
巩固：相互独立事件的概率计算
P248-例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(1)两人都中靶；
(2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶；
(4)至少有一人中靶.
析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B=“乙脱靶”. 由于两个人射击的结果互不影响，∴A与B相互独立， 且A与B，A与B，A与B都相互独立.
= P(J1)P(Y2)＋P(J2)P(Y1)
巩固：互斥与相互独立的区分
判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M: “出现的点数为奇数”；事件N: “出现的点数为偶数”.
M＝{1,3,5}，N＝{2,4,6}，MN＝ϕ P(MN)≠P(M)P(N)
M、N 互斥但不相互独立
－－
(3)至少一个地方降雨的概率. (对立事件)P(M)=1－P(AB) =1－0.
事件M
(拆分事件)P(M)=________________________ =
(并事件)P(M)=P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB) =－
[变式1]甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为，乙被录取的概率为，两 人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为________
巩固：事件相互独立性的判断
【2021年·新高考Ⅰ卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有
放回的随机取两次，每次取1个球. 甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，
P(丁) 1 6
C.乙与丙相互独立
P(乙丙) 1 36
P(丙丁) 0
巩固：相互独立事件的概率计算
P248-例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(1)两人都中靶；
(2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶；
(4)至少有一人中靶.
析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B=“乙脱靶”. 由于两个人射击的结果互不影响，∴A与B相互独立， 且A与B，A与B，A与B都相互独立.
= P(J1)P(Y2)＋P(J2)P(Y1)
巩固：互斥与相互独立的区分
判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M: “出现的点数为奇数”；事件N: “出现的点数为偶数”.
M＝{1,3,5}，N＝{2,4,6}，MN＝ϕ P(MN)≠P(M)P(N)
M、N 互斥但不相互独立
－－
(3)至少一个地方降雨的概率. (对立事件)P(M)=1－P(AB) =1－0.
事件M
(拆分事件)P(M)=________________________ =
(并事件)P(M)=P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB) =－
[变式1]甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为，乙被录取的概率为，两 人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为________
事件的相互独立性-PPT
27
系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解ห้องสมุดไป่ตู้
设Ai
{第i个 元 件 正
(i 1 ,2 , ,n )
常},工 则P作 (Ai)r
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
28
B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ：
设 C ={ 通路①正常工作 }，D={ 通路②正常工作 }
17
例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女 孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩，又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形讨论A与B的独立性； （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。 解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件,
其概率各为1/4,此时
22
结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1,A2,…,An相互独立,则
P (A 1 A 2 A n )1P (A 1 A 2 … A n ）
1P(A 1A 2… A n) 1P (A 1)P (A 2)… P (A n ) A1,A2,…,An
也相互独立
即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积.
16
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P (A iA j) P (A i)P (A j)
共
C
2 n
Cn3
Cnn
则A 称 1， A2， An两
系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解ห้องสมุดไป่ตู้
设Ai
{第i个 元 件 正
(i 1 ,2 , ,n )
常},工 则P作 (Ai)r
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
28
B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ：
设 C ={ 通路①正常工作 }，D={ 通路②正常工作 }
17
例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女 孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩，又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形讨论A与B的独立性； （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。 解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件,
其概率各为1/4,此时
22
结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1,A2,…,An相互独立,则
P (A 1 A 2 A n )1P (A 1 A 2 … A n ）
1P(A 1A 2… A n) 1P (A 1)P (A 2)… P (A n ) A1,A2,…,An
也相互独立
即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积.
16
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P (A iA j) P (A i)P (A j)
共
C
2 n
Cn3
Cnn
则A 称 1， A2， An两
10.2事件的相互独立性课件高一下学期数学人教A版必修第二册
P()=0.1.
（1）AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（2）恰好有一人中靶；
解 ：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，
（2,1） （2,2）（2,3） （2,4）
（3,1） （3,2）（3,3） （3,4）
（4,1） （4,2）（4,3） （4,4）
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
分析：样本空间 ={(m,n)| m,n ∈{1,2,3,4}},
A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)} ，
所以, P(AB)≠ P(A)P(B)，因此，事件A与事件B不独立.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，从要求的概率可知，需要先
（1）AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（2）恰好有一人中靶；
解 ：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，
（2,1） （2,2）（2,3） （2,4）
（3,1） （3,2）（3,3） （3,4）
（4,1） （4,2）（4,3） （4,4）
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
分析：样本空间 ={(m,n)| m,n ∈{1,2,3,4}},
A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)} ，
所以, P(AB)≠ P(A)P(B)，因此，事件A与事件B不独立.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，从要求的概率可知，需要先
高中数学必修二课件：事件的相互独立性
3．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别是什么？ 答：对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，那么称A，B 互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，那么称 A，B对立，显然A＋B为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但可能同时 不发生．如掷一枚均匀的骰子，“点数为1”为事件A，“点数为2”为事件B， 则A，B可能都不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发 生的概率没有影响． A，B互斥，则P(AB)＝0；A，B对立，则P(A)＋P(B)＝1. A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)，可见这是不相同的概率．
1．对相互独立事件定义的理解
答：对于事件A，B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响，那么称这两个事件为相互独立事件．例如甲袋中装有3个白球，2个黑 球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲 袋摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记 为事件B，显然A与B相互独立．
思考题1 袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第
一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，“第二次摸得黑球”记为 C，那么事件A与B，A与C间的关系是( A )
A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立
课时学案
题型一 相互独立事件的判断
例1 (1)把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独 立事件．
①A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}； ②A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3点}； ③A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}； ④A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}．
10.2事件的相互独立性课件(人教版)
所以AB={(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}．
所以 P( A) P(B)= 1 , P( AB) 1 .
2
4
于是 P(AB)=P(A)P(B)．
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
从上述两个实验的共性中得到启示，我们引入这种事件关系的一般 定义：
对任意两个事件A与B , 如果 P(AB)=P(A)P(B) 成立，则称事件A与 事件B相互独立,简称为独立.
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙 的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”.解题的关键是利用 A, B, A, B 来 表示相关事件.可以借助树状图来分析.如图所示：
B=“第二次摸出球的标号小于3”
B={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}，共6个样本点.
所以AB={(1，2)，(2，1)}．所以 P( A) P(B) 6 1 , P( AB) 2 1 .
12 2
12 6
此时P(AB)≠P(A)P(B)，因此事件A与事件B不独立．
1 P( AB) 1 0.02 0.98．
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙 的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶．
（4）方法3：事件“至少有一人中靶”可以看成“甲中靶”和“乙中靶”这两个 事件的并事件，根据性质6，可得事件“至少有一人中靶”的概率为
解：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”， A “甲脱靶”， B “乙脱靶”
事件的相互独立性课件
【思路启迪】 如果A、B是，所以利用独立事件的概率公 式来解题即可．
【解】 设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件 B，则A、B相互独立，从而A与 B 、 A 与B、 A 与 B 均相互独 立．
(1)“两个都能破译”为事件AB，则 P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112.
要点二 求相互独立事件的概率
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤是 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌 握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同 时发生．
一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中 任取2个球，取出后再放回，求：
(1)一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和 生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}， B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．已知家庭中有三个小孩， 判断A与B的独立性；
(2)判断下列各对事件是否是相互独立事件： 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从 甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1 名男生”与“从乙组中选出1名女生”．
2．熟记部分符号语言含义：如A，B至少有一个发生的 事件记为A∪B；都发生记为AB；恰有一个发生的事件记为 (A B )∪( A B)；至多有一个发生的事件记为(A B )∪( A B)∪( A B )．
甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率 分别为13和14.
求(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能破译的概率．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝CC2325·CC2225＝130·110＝1300. 故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是 红球的概率是1300.
10.2 事件的相互独立性课件ppt
=0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9
=0.092.
变式训练3某机械厂制造一种汽车零件,已知甲机床的正品率是0.96,乙机
床的次品率是0.05,现从它们制造的产品中各任意抽取一件,试求:
(1)两件产品都是正品的概率;
(2)恰有一件是正品的概率;
(3)至少有一件是正品的概率.
(2)求甲、乙、丙三人的租车费用和为10元的概率.
解 (1)由题意可得,甲、乙、丙 30 分钟以上且不超过 40 分钟还车的概率分
1 1 1
别为 , , ,
4 2 4
1 1 1 1 1 1 1
甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率为 P=2 × 4 × 4 + 4 × 4 × 2 + 4 ×
1 1
生,不会受任何事件是否发生的影响,不可能事件⌀总不会发生,也不受任何
事件是否发生的影响.当然,它们也不影响其他事件是否发生.(3)对于n个事
件A1,A2,…,An,如果其中任意一个事件发生的概率不受其他事件是否发生
的影响,则称n个事件A1,A2,…,An相互独立.
微思考
分别抛掷两枚质地均匀的硬币,事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第
单的相关概率计算问题.(数学运算)
4.培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生数学转化与
化归的能力.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇 自主预习
激趣诱思
常言道:“三个臭皮匠顶个诸葛亮.”怎样从数学上来解释呢?将问题具体化:
假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为0.88,三个臭皮匠甲、乙、丙想出
计谋的概率各为0.6,0.5,0.5.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗?
事件的相互独立性 课件
解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为 Ω＝{(男， 男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， 它有 4 个基本事件，由等可能性知概率都为14. 这时 A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是 P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12. 由此可知 P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件 A，B 不相互独立．
事件的相互独立性
1．相互独立的概念 设 A，B 为两个事件，若 P(AB)＝ 件 A 与事件 B 相互独立． 2．相互独立的性质
P(A)P(B)么 A 与 B， A 与 B， A 与 B 也都
相互独立．
[注意] 事件 A，B 相互独立的充要条件是 P(AB)＝P(A)·P(B)． (1)充分性：由定义知 P(AB)＝P(A)·P(B)时，事件 A，B 相互独 立． (2)必要性：由 A，B 相互独立得 P(B|A)＝P(B)，所以 P(AB)＝ P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 Ω ＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)， (女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}． 由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为18，这时 A 中含有 6 个基本事件，B 中含有 4 个基本事件，AB 中含有 3 个基本事 件． 于是 P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38， 显然有 P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立． 从而事件 A 与 B 是相互独立的．
(2)“至少 1 个人译出密码”的对立事件为“2 个人都未译出密 码”， 所以至少 1 个人译出密码的概率为： 1－P(－A －B )＝1－P(－A )P(－B )＝1－23×34＝12.
事件的相互独立性-PPT课件
8
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
解（2：）(1其) 中记恰“由甲1射人击击1中次目,击标中的目概标率”为事件A.“乙射 击（31）次至,击少中有目一标人”击为中事目件标B的.且概A率与B相互独立， 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同
A
B
C
.在100件产品中有4件次品.
C42
①从中抽2件, 则2件都是次品概率为__C_1002
C41·C31 C1001·C991
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C102011
（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An） 6
试一试 判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”,
事件1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”,
事件B表示 “第2球罚中”.
P( A • B) P( A) • P(B)
96 • 97 582 100 100 625
答：抽到合格品的概率是 582
13
625
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7)
0.027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P(A • B • C) 1 0.027 0.973
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
解（2：）(1其) 中记恰“由甲1射人击击1中次目,击标中的目概标率”为事件A.“乙射 击（31）次至,击少中有目一标人”击为中事目件标B的.且概A率与B相互独立， 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同
A
B
C
.在100件产品中有4件次品.
C42
①从中抽2件, 则2件都是次品概率为__C_1002
C41·C31 C1001·C991
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C102011
（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An） 6
试一试 判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”,
事件1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”,
事件B表示 “第2球罚中”.
P( A • B) P( A) • P(B)
96 • 97 582 100 100 625
答：抽到合格品的概率是 582
13
625
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7)
0.027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P(A • B • C) 1 0.027 0.973
高二数学课件人教新课标：选修2-32.2.2事件的相互独立性
③A={掷出偶数点}；B={掷出3的倍数点}
独立性的判定：
若 P(AB) P(A) P(B)，则A、B独立。 若事件 A1, A2 An 相互独立，则有：
P( A1A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An )
有些事件不必通过计算就能判断独立性：
甲堆抽，乙堆抽；掷5次同一枚硬币；有放回的抽奖……
例： 事件A：从甲袋摸出一个球；事件B：从乙袋摸出一个球。
则A与B相互独立。
独立性的判定：
若 P(AB) P(A) P(B)，则A、B独立。
例2：把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下 列各组事件是否是独立事件？ ①A={掷出偶数点}；B={掷出奇数点} ②A={掷出偶数点}；B={掷出的点数小于4}
事件的相互独立性
复习巩固：
例1：一个口袋内装有3个白球和2个黑球，那么 （1）从口袋内不放回地摸出两个球，则摸出1个白 球和1个黑球的概率是多少？
（2）从口袋内不放回地摸出两个球，则第一次摸出 白球且第二次摸出黑球的概率是多少？
例1：一个口袋内装有3个白球和2个黑球，那么
（1）从口袋内不放回地摸出两个球，则摸出1个白 球和1个黑球的概率是多少？
• 对峙事件：A、B事件不能同时产生且必产生其一：
P(A) P(B) 1
• 相互独立事件：A事件是否产生对B事件无影响：
若A与B相互独立，则 A与B，A与 B ，A 与 B 都相互独立。
互斥事件、对峙事件、相互独立事件
证明：若A与B相ห้องสมุดไป่ตู้独立，则A与 B 相互独立。
P( AB) P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( A) P(B) P( A)(1 P(B))
独立性的判定：
若 P(AB) P(A) P(B)，则A、B独立。 若事件 A1, A2 An 相互独立，则有：
P( A1A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An )
有些事件不必通过计算就能判断独立性：
甲堆抽，乙堆抽；掷5次同一枚硬币；有放回的抽奖……
例： 事件A：从甲袋摸出一个球；事件B：从乙袋摸出一个球。
则A与B相互独立。
独立性的判定：
若 P(AB) P(A) P(B)，则A、B独立。
例2：把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下 列各组事件是否是独立事件？ ①A={掷出偶数点}；B={掷出奇数点} ②A={掷出偶数点}；B={掷出的点数小于4}
事件的相互独立性
复习巩固：
例1：一个口袋内装有3个白球和2个黑球，那么 （1）从口袋内不放回地摸出两个球，则摸出1个白 球和1个黑球的概率是多少？
（2）从口袋内不放回地摸出两个球，则第一次摸出 白球且第二次摸出黑球的概率是多少？
例1：一个口袋内装有3个白球和2个黑球，那么
（1）从口袋内不放回地摸出两个球，则摸出1个白 球和1个黑球的概率是多少？
• 对峙事件：A、B事件不能同时产生且必产生其一：
P(A) P(B) 1
• 相互独立事件：A事件是否产生对B事件无影响：
若A与B相互独立，则 A与B，A与 B ，A 与 B 都相互独立。
互斥事件、对峙事件、相互独立事件
证明：若A与B相ห้องสมุดไป่ตู้独立，则A与 B 相互独立。
P( AB) P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( A) P(B) P( A)(1 P(B))
事件的相互独立性 课件
相互独立事件同时发生的概率的计算
【例3】 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲 射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)两人都射中的概率； (2)两人中恰有一人射中的概率； (3)两人中至少有一人射中的概率； (4)两人中至多有一人射中的概率． 【解题探究】记“甲射击一次，击中”为事件 A，“乙射 击一次，击中”为事件 B，则 A 与 B 相互独立，进而 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立．
8
判断事件是否独立，可由事件本身的性质看是否相互影 响，从而得出相互独立与否，在不易直接判断各事件间是否相 互影响时，一般都采取计算概率的方法判断，此外，还应把相 互独立事件同互斥事件、对立事件区别开．
互斥事件、对立事件、相互独立事件的辨析
【例2】 从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A＝“抽得老 K”，B＝“抽得红牌”，C＝“抽到J”，判断下列每对事件 是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
(2)从一副牌(52 张)中任取一张，抽到老 K 就不可能抽到 J， 抽到 J 就不可能抽到老 K，故事件 C 与事件 A 不可能同时发生， A 与 C 互斥，因为抽不到老 K 不一定就抽到 J，故 A 与 C 不是 对立事件(A 与 C 不相互独立)．
8
解决相互独立问题关键在于找准并设出相互独立的事件， 若从正面比较难解答，可考虑其对立事件的概率，这样可减少 运算量，提高准确率．
事件相互独立性的判断
【例1】 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩 是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一 个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独 立性：
(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩． 【解题探究】可利用独立事件的意义以及独立事件概率公 式来判定．
高中数学必修二(人教版)《10.2事件的相互独立性》课件
[方法技巧] 事件间的独立性关系 已知两个事件 A，B 相互独立，它们的概率分别为 P(A)，P(B)，则有
事件
表示
概率
A，B 同时发生 A，B 都不发生
AB －A －B
P(A)P(B) P(－A )P(－B )
A，B 恰有一个发生
(A －B )∪(－A B)
P(A)P(－B )＋P(－A )·P(B)
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；
(2)至少有一个气象台预报准确的概率． 解：记“甲气象台预报天气准确”为事件 A，“乙气象台预报天气准确”为事 件 B. (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝45×34＝35. (2)至少有一个气象台预报准确的概率为 P＝1－P(－A －B )＝1－P(－A )P(－B )＝1－15×14＝1290.
(1)两个人都译出密码的概率为 P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112.
(2)两个人都译不出密码的概率为 P(－A －B )＝P(－A )·P(－B )＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－13×1－14＝12. (3)恰有 1 个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出 乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有 1 个人译出密码的概率为 P(A－B ∪－A B)＝P(A－B )＋P(－A B)＝P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)＝13×1－14＋ 1－13×14＝152.
对任意两个事件 A 与 B，如果 P(AB)＝___P_(A__)P__(B__) __成立，则称事件 A 与事 件 B 相互独立，简称为独立． 2．相互独立事件的性质：
当事件 A，B 相互独立时，事件__A_与事件_B__相互独立，事件__A_与事件 _B__相互独立，事件_A__与事件_B__相互独立．
课件3：10.2 事件的相互独立性
1 C.2
D．1
解析：设事件 A 表示“甲通过听力测试”， 事件 B 表示“乙通过听力测试”． 根据题意，知事件 A 和 B 相互独立，且 P(A)＝12，P(B)＝13. 记“有且只有一人通过听力测试”为事件 C， 则 C＝A－B ∪ A B，且 A－B 和 A B 互斥， 故 P(C)＝P(A－B ∪ A B)＝P(A－B )＋P( A B) ＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)＝12×1－13＋1－12×13＝12. 答案：C
4．两个相互独立的事件 A 和 B，若 P(A)＝12，P(B)＝14， 则 P(AB)＝________.
解析：∵A、B 是相互独立事件，P(A)＝12，P(B)＝14 ∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝12×14＝18. 答案：18
【课堂探究】
题型一 相互独立事件的判断[经典例题] 例 1 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设 A＝“抽 到 K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到 J”，那么下列每对 事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？ (1)A 与 B；(2)C 与 A.
解：甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率 分别为 1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为 0 元、2 元、4 元三种情 况．租车费都为 0 元的概率为 p1＝14×12＝18，租车费都为 2 元 的概率为 p2＝12×14＝18，租车费都为 4 元的概率为 p3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为 p＝p1＋p2＋p3＝156.
(3)“2 人至少有 1 人射中”包括“2 人都中”和“2 人有 1 人射中”2 种
情况，其概率为 P＝P(AB)十[P(A－B )＋P( A B)]＝0.72＋0.26＝0.98.
事件的相互独立性(使用)ppt课件
球．从甲盒中摸出一个球称为甲试验，从乙盒中摸出一个球
称为乙试验，事件A1表示“从甲盒中取出的是白球”，事件 B1表示“从乙盒中取出的是白球”；
(2)盒中有4个白球、3个黑球，从盒中陆续取出两个球，用
A事2表件示B2表事示件事“件第“一第次二取次出取的出是的白是球白”球，”把；取出的球放回盒中，
(3)盒中有4个白球、3个黑球，从盒中陆续取出两个球，用
精选ppt课件2021
12
练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学符号语言表示
下列关系
① A、B、C同时发生概率；
P(A•B•C)
② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率；
P(A•B•C)
④ A、B、C中恰有两个发生的概率；
⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
( 3 ) P (A • B • C ) P (A • B • C ) P (A • B • C )
事件A：第一次从中任取一个球是白球.
是
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
精选ppt课件2021
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若P(A)0,则P(BA)P(B) P (A)B P (A )P (B )
推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件 同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.即：
P(A1·A2·…·An)= P(A1)·P(A2)·…·P(An)
( 4 ) P ( A • B • C ) P ( A • B • C ) P ( A • B • C )
(5)1P(A•B•C)
精选ppt课件2021
13
例2.甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率 为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率.
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球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一
性，A，B应为互斥事件；D是条件概率，事件B受事件A的影响．
2.(1)家庭中有两个小孩,小孩为男孩、女孩的可能情形为{(男,
男)，(男,女),(女,男),(女,女)},它有4个基本事件,由等可能性
知概率各为 1.此时,A={(男,女),(女,男)},B={(男,男),(男,女),
事件的相互独立性
事件的相互独立 (1)相互独立的概念 设A,B为两个事件,则事件A与事件B相互独立的条件是： P(AB)=_P_(_A_)_P_(_B_)_. (2)相互独立的性质 如果事件A与B相互独立,则A与_B_，_A_与B， A与B 也都相互独立.
1.若事件A与事件B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)？
事件相互独立性的判断
三种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法:直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)公式法：检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立. (3)条件概率法：当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断.
【典例训练】 1．下列事件中，A，B是独立事件的是( ) (A)一枚硬币掷两次，A＝{第一次为正面}，B＝{第二次为反面} (B)袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝{第一次摸到 白球}，B＝{第二次摸到白球} (C)掷一枚骰子，A＝{出现点数为奇数}，B＝{出现点数为偶数} (D)A＝{人能活到20岁}，B＝{人能活到50岁}
提示：如果事件A与事件B相互独立,则有P(B|A)=P(B),又
PB | A P从PA而ABP ,(AB)=P(A)·P(B|A)=P(A)P(B),即
P(AB)=P(A)·P(B)是事件A，B相互独立的充要条件.
2.一个篮球运动员投篮1次命中的概率是0.6，事件A为“第一 次没有命中”，事件B为“第二次命中”，则在事件A发生的条 件下事件B发生的概率是多少？事件A的发生会影响事件B发生 的概率吗？ 提示：因为事件A与B相互独立，故在事件A发生的条件下事件 B发生的概率不变，依然是0.6；事件A的发生不影响事件B发 生的概率.
女,男),(女,女,女)},它有8个基本事件,
由等可能性知这8个基本事件的概率均为 1此. 时 PA 6 3 ,
8
84
PB 4 1 ,P显A然BP (A3B, )=P(A)·P(B),故事件A，B相
82
8
互独立.
【想一想】1，2两题的解题思路分别是什么？ 提示：(1)第1题在求解中直接利用实际背景求解，其理论依据是 “事件相互独立性的概念”. (2)第2题在求解中利用了“事件相互独立性的充要条件 P(AB)=P(A)P(B)”.
P(A+B) P(A·B)
P(A B) P(A B A B)
P A B A B A B
A，B互斥 P(A)+P(B)
B相互独立
1 PAP(B)
0 1-［P(A)+P(B)］
P(A)·P(B)
PA P(B)
P(A)+P(B)
PAPB PAP(B)
1
1-P(A)·P(B)
【典例训练】 1．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转 盘乙得到的数为y，构成数对(x,y)，则所有数对(x,y)中满足 xy=4的概率为( )
相互独立事件的概率求法
与相互独立事件有关的概率问题求解策略 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好 有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的 意义. 一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)， 那么：
(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B； (2)A，B都发生为事件A·B； (3)A，B都不发生为事件 A B； (4)A，B恰有一个发生为事件 A B A B； (5)A，B中至多有一个发生为事件 A B A B A B. 它们之间的 概率关系如表所示：
2.一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的, 令A={一个家庭中既有男孩又有女孩},令B={一个家庭中最多有 一个女孩}.对下述两种情形，讨论A与B的独立性: (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩.
【解析】1.选A.把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立
的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸
P(AB)=P(A)P(B)
P(A∪B)=P(A)+P(B)
2.对事件相互独立性的理解 (1)判断事件独立性的依据：公式可以作为判断两个事件是否 相互独立的理论依据,即P(AB)=P(A)P(B)是A，B相互独立的充 要条件. (2)事件独立性的推广：若n个事件相互独立,则这n个事件同时 发生的概率就等于每个事件发生的概率的积,即 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). (3)公式P(AB)=P(A)P(B)的适用前提：在使用概率的乘法公式 时,一定要注意公式成立的条件,即各事件必须相互独立.
3.若事件E与F相互独立，且 PE PF 1 ，则P(EF)的值等于
4
_______.
【解析】 PEF PEPF 1 1 1 .
4 4 16
答案： 1
16
4.某射击运动员射击一次，命中目标的概率为0.9，则他连续 射击两次都命中的概率是______. 【解析】Ai表示“第i次击中目标”，i＝1,2，则P(A1A2)＝ P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81. 答案：0.81
4
(女,男)},AB={(男,女),(女,男)},
PA 1 ,PB 3 ,PAB 1 ,
2
4
2
由此可知P(AB)≠P(A)·P(B),故事件A，B不相互独立.
(2)家庭中有三个小孩，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为{(男,
男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,
1.相互独立事件与互斥事件的辨析
相互独立事件
互斥事件
如果事件A(或B)是否发生对事 概念 件B(或A)发生的概率没有影响， 不可能同时发生的两
这样的两个事件叫做相互独立事件 个事件叫做互斥事件
符合 相互独立事件A，B同时发生, 记作:AB
互斥事件A，B中有一 个发生，记:A∪B(或 A+B)
计算 公式