15随机事件的独立性
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三色。现以A、B、C分别记投掷一次四面 体出现红、白、黑颜色的事件，证明： A、 B、C两两独立，但不相互独立。
定义：设事件 A1, A2,L An，若有
P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj )
1i j n
P(
Ai
Aj
Ak
)
P(
Ai
)P(
Aj )P( M
Ak
)
1i j k n
例4、（系统可靠性）
设一电路由5个同样的电子元件组成（如下图 所示），每个元件正常工作的概率（元件的可
靠性）为p，元件损坏即断路。每个元件工作状 况互相独立，求此电路的可靠性（线路两端保
持连通的概率）。
1
2
5
3
4
其中Bi Ai或Ai
n
n
I （3）A1, A2 ,L An独立，则P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
n
n
n
P(UAi ) 1 P( Ai ) 1 (1 P( Ai ))
i 1
i 1
i 1
例3、n个人组成一个小组，在同一时间内分别 破译一份密码，假定每个人能译出的概率都是 0.7，若要以99.9999%的把握译出，问n至少为 几？
n
n
I
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
则称 A1, A2,L An 相互独立。
（1） A1, A2,L An 相互独立，则其中任取
注 意
k个事件 Ai1 , Ai2 ,L Aik (k 2,3,L n 1) 也相互
独立；反之不一定。
（2）A1, A2,L An独立，则B1, B2,L Bn也相互独立，
§1.5 事件的独立性 一、 两个事件的独立性
例1、在20个产品中有2个次品，从中接连抽两 个产品，第一个产品抽得后放回，再抽第二个 产品，求 （1）已知第一次取得次品的情况下，第二次取 得次品的概率； （2）第二次取得次品的概率。
定义:设事件A、B是某一随机试验的任意两个
事件，若满足 P(AB) P(A)P(B)，则称事件
A、B互相独立，记为i.d.。
定理：若事件A与B相互独立，且
P(A) 0, P(B) 0 则 P(A B) P(A), P(B | A) P(B)
独立扩张定理：事件A与B独立的充要条件是
{A, B}、 {A, B} 、{A, B} 也相互独立。
来自百度文库
二、多个随机事件的独立性 定义：设A, B, C是三个事件，若满足：
P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B) P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则称A, B, C是三个相互独立的随机事件。若 前三个等式成立，则称A, B, C是两两相互 独立事件。
例2、一均匀正四面体，其一、二、三面分别 染成红、白、黑三色，第四面染上红白黑
定义：设事件 A1, A2,L An，若有
P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj )
1i j n
P(
Ai
Aj
Ak
)
P(
Ai
)P(
Aj )P( M
Ak
)
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例4、（系统可靠性）
设一电路由5个同样的电子元件组成（如下图 所示），每个元件正常工作的概率（元件的可
靠性）为p，元件损坏即断路。每个元件工作状 况互相独立，求此电路的可靠性（线路两端保
持连通的概率）。
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其中Bi Ai或Ai
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I （3）A1, A2 ,L An独立，则P( Ai ) P( Ai )
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P(UAi ) 1 P( Ai ) 1 (1 P( Ai ))
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例3、n个人组成一个小组，在同一时间内分别 破译一份密码，假定每个人能译出的概率都是 0.7，若要以99.9999%的把握译出，问n至少为 几？
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P( Ai ) P( Ai )
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则称 A1, A2,L An 相互独立。
（1） A1, A2,L An 相互独立，则其中任取
注 意
k个事件 Ai1 , Ai2 ,L Aik (k 2,3,L n 1) 也相互
独立；反之不一定。
（2）A1, A2,L An独立，则B1, B2,L Bn也相互独立，
§1.5 事件的独立性 一、 两个事件的独立性
例1、在20个产品中有2个次品，从中接连抽两 个产品，第一个产品抽得后放回，再抽第二个 产品，求 （1）已知第一次取得次品的情况下，第二次取 得次品的概率； （2）第二次取得次品的概率。
定义:设事件A、B是某一随机试验的任意两个
事件，若满足 P(AB) P(A)P(B)，则称事件
A、B互相独立，记为i.d.。
定理：若事件A与B相互独立，且
P(A) 0, P(B) 0 则 P(A B) P(A), P(B | A) P(B)
独立扩张定理：事件A与B独立的充要条件是
{A, B}、 {A, B} 、{A, B} 也相互独立。
来自百度文库
二、多个随机事件的独立性 定义：设A, B, C是三个事件，若满足：
P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B) P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则称A, B, C是三个相互独立的随机事件。若 前三个等式成立，则称A, B, C是两两相互 独立事件。
例2、一均匀正四面体，其一、二、三面分别 染成红、白、黑三色，第四面染上红白黑